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Prof. Jos Amaral MAT M11 - 1 02-12-2007
Exerccios.
Funes, Limites e Continuidade.
1. Determine o domnio da funo
1
1)(
8
2
+=
z
zzf
Calculando as razes do numerador e denominador, relembrando
que,
nkjnnez
)2(11 +=
temos
))((1
1
01
2
2
2
jzjzz
jz
z
z
+=+
=
=
=+
e
48
20
8
1
08
1
8
8
)()1(
1
01
+
====
=
=
jkk
jj
eeez
z
z
com 7,,1,0 L=k , resulta
T P I C O S
Funes de varivel complexa.
Limites e continuidade.
Diferenciao.
Integrao.
Mdulo 11 Note bem, a leitura destes apontamentos no dispensa de
modo algum a leitura atenta da bibliografia principal da cadeira
Chama-se ateno para a importncia do trabalho pessoal a realizar
pelo aluno resolvendo os problemas apresentados na bibliografia,
sem consulta prvia das solues propostas, anlise comparativa entre
as suas resposta e a respostas propostas, e posterior exposio junto
do docente de todas as dvidas associadas.
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( )
( ) ( ) ( )
+
+++=
jzjzjz
jzjzjzzzz
12
21
2
21
2
2
12
2))()(1)(1(18
Logo
( ) ( ) ( ) ( )
+
++
=
+=
jzjzjzjzzz
z
zzf
12
21
2
21
2
21
2
2)1)(1(
1
1
1)(
8
2
, pelo que o domnio da funo
( ) ( )jjzz 12
2,1
2
2,1C
2. Calcule
+
+
+
jjz
z
jz2
17lim
7
2
Temos
0
072
)1(
1172
)(
1lim72
1lim722
17lim
3
32
2
7
2
7
2
+=
+
++=
+
++=
+
++=
+
+
+
j
jjj
jzz
zj
jz
zjj
jz
z
jz
jzjz
Recorrendo regra de LHospital, temos
0
22
)1(
122
)(
1lim22
1lim22
7
2lim72
1lim722
17lim
2
22
5
6
7
2
7
2
=
=
+=
+=
+=
+=
+
++=
+
+
+
jj
jj
zzj
zj
z
zj
jz
zjj
jz
z
jz
jz
jz
jzjz
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Diferenciao complexa.
3. Calcule )(zf , sendo
)3262()26()( 232322 ++++= xyxyxjyyyxxzf
Vamos verificar as equaes de Cauchy-Riemann. Temos
xxyy
v
yyxx
v
yyxy
u
xyxx
u
212
266
266
122
22
22
=
+=
+=
+=
pelo que se verificam as equaes de Cauchy-Riemann. )(zf
diferencivel em C ,
sendo
)266(122
)(
22yyxjxyx
x
vj
x
u
dz
dfzf
+++=
+
==
Integrao complexa.
4. Sendo = jezC 2)(: com 0 calcule
dzezC
z
Sendo zezzf =)( uma funo analtica em C , o integral no depende
do
percurso, podendo ser aplicado o teorema fundamental do clculo
integral. Sendo
22)(
22)0(
2
0
1
===
===
j
j
ezz
ezz
temos
[ ]
22
2222
2
2
2
2
3
22
2
1
+=
++=
=
=
=
ee
eeee
eez
dzez
dzezdzez
zz
z
z
z
z
C
z
5. Calcule
dzzzz =2
5 )cos(
A funo
)cos()( 5 zzzf =
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a)
b)
Figura M11.1
analtica em C (portanto tambm o no interior do crculo de raio
2). Assim sendo, atendendo ao teorema de Cauchy, temos
0)cos(2
5= = dzzzz
6. Calcule
dzzzz
z
z = +4 22
)52)(1(
O denominador tem zeros em
izzz
zz
21)52(
101
3,22
1
=+
==
, todos eles no interior do crculo de raio 4. Para alm do clculo
explcito do integral de linha (opo mais trabalhosa), podemos fazer
o clculo de dois modos:
a)
Consideremos trs curvas simples fechadas, 1
C ,2
C e 3
C ,
todas elas no interior de C , mas de modo a que cada uma delas
contenha no seu anterior apenas uma das singularidades da funo,
respectivamente
1z ,
2z e
3z
como se mostra na figura M11.1 b). Sendo )(zf analtica
na regio entre C e as trs curvas interiores, temos
++=321
)()()()(CCCC
dzzfdzzfdzzfdzzf
Por outro lado, podemos fazer
+
=
+=
+
+
=
+=
+
+
=
+
=
+
3
33
2
22
1
11
)21(
)(
)21(
))21()(1(
))21())(21()(1(
)21(
)(
)1(
))21())(21((
))21())(21()(1(
)21(
)(
)21(
))21()(1(
))21())(21()(1(
3
2
2
2
2
2
1
2
2
C
CC
C
CC
C
CC
dzjz
zf
dzjz
jzz
z
dzjzjzz
z
dzjz
zf
dzz
jzjz
z
dzjzjzz
z
dzjz
zf
dzjz
jzz
z
dzjzjzz
z
Sendo )(1zf , )(
2zf e )(
3zf analticas no interior de
1C ,
2C e
3C , respectivamente,
podemos, recorrendo s formulas integrais de Cauchy, escrever
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8
432
))21()21)((1)21((
)21(2
)(2)21(
))21()(1(
)21(
)(
4
12
))21(1))(21(1(
12
)(2)1(
))21())(21((
)21(
)(
8
432
))2121)(121(
)21(2
)(2)21(
))21()(1(
)21(
)(
2
33
2
3
2
22
2
2
2
11
2
1
33
22
11
=
+
=
=
+=
+
=
+
=
=
+=
+
+=
+++
+=
=
+
=
+
jj
jjj
jj
zjfdzjz
jzz
z
dzjz
zf
j
jjj
zjfdzz
jzjz
z
dzjz
zf
jj
jjj
jj
zjfdzjz
jzz
z
dzjz
zf
CC
CC
CC
Ento
j
jjj
jjj
jj
dzzfdzzfdzzfdzzfCCCC
=
+=
++
+=
++=
2
8
432432
8
432
4
12
8
432
)()()()(321
b)
Decompondo )(zf em fraces simples temos
)21(8
1
)21(8
1
)1(4
1
))21())(21()(1()(
2222
jz
z
jz
z
z
z
jzjzz
zzf
+
+
+
=
+
=
Temos ento,
j
jjj
jjj
dzjz
z
dzjz
z
dzz
z
dzzfCCCC
=
+=
+=
+
+
+
=
2
)441(8
1)441(
8
1
4
12
)21(8
1)21(
8
1)1(
4
12
)21(8
1
)21(8
1
)1(4
1
)(
222
222
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Auto-Avaliao.
Frmulas integrais de Cauchy Eq. de Caucy-Riemann Derivada
complexa
x
v
y
u
y
v
x
u
=
=
yy
xx
ujv
vjuf
=
+=
Integral de Linha
)(2)(
afjdzaz
zf
C
=
)(!
2
)(
)( )(1
afn
jdz
az
zf n
Cn
=
+
=b
aC
dttztzfdzzf )())(()(
1.
1. Calcule
1
1lim
2
4
1 +
z
z
z
2. Sendo = jezC 2)(: com 0 calcule
dzzC )12(
3
3. Sendo
22 ))(1()(
jzz
zzf
+
=
Calcule
a) dzzfjz = 1 )( b) dzzfz = 11 )( c) dzzfjz =+ 1 )(
d) dzzfz =+ 11 )( e) dzzfz =2 )(
Solues
1. 2 ; 2. 4 ; 3.a) 0 ; 3.b) 2
; 3.c) 0 ; 3.d) 2
; 3.e) 0 ;
