MATRIZES - Teoria e Exercicios

7/31/2019 MATRIZES - Teoria e Exercicios

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Teoria e Exerccios

MATRIZES


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1. Matriz - Conceito

Matriz m x n uma tabela de m . nnmeros reais dispostos em m linhas (filas horizontais)

e n colunas (filas verticais).

Exemplos:

= 27

523

342

101

C

uma matriz 2 x 1

2linhas

1coluna

uma matriz 3 x 3

Diz-se tambm,

QUADRADA DE

ORDEM 3

= 0 1 3 51 2 3

uma matriz 2 x 3

2linhas

3colunas

Representa-se a matriz como uma tabela de

nmeros entre parnteses ou colchetes


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2. Representao de uma matriz

Consideremos uma matriz A do tipo m x n.

Um elemento qualquer dessa matriz ser representado pelo smbolo aij, onde o ndice irefere-se linha em que se encontra tal elemento e o ndice jrefere-se coluna em que

se encontra o elemento.

Exemplo 1:

Seja a matriz do tipo 3 x 2

O elemento

O elemento

O elemento

=

2

= 2 = 1

20

14

32

A


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Exemplo 2:

Escreva a matriz A = (ai j)2 x 2, onde ai j = 2i + j.

Trata-se de uma matriz quadrada de ordem 2, que pode genericamente ser representada

da seguinte forma:

2221

1211

aa

aaA

Utilizando a regra de formao dos elementos dessa matriz, teremos:

= 2. +

= 2.1 + 1 = 2 + 1 = 3 = 2.1 + 2 = 2 + 2 = 4

= 2.2 + 1 = 4 + 1 = 5

= 2.2 + 2 = 4 + 2 = 6

Logo:

65

43A

= =

=

=


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Diagonal Secundria (DS)

3. Tipos de Matrizes

Matriz Quadrada

Considere uma matriz m x n.

Quando m = n (o nmero de linhas igual ao nmero de colunas), diz-se que a matriz

quadrada de ordem n x n ou simplesmente de ordem n.

Exemplos:

uma matriz de ordem 2

Diagonal Principal (DP)

= 3 20 1

uma matriz de ordem 3


201

123

645

B

Diagonal Secundria (DS)


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Matriz Triangular

Considere uma matriz quadrada de ordem n.

Quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal so todos nulos, dizemos

que a matriz triangular.

Exemplos:

13

02A

152

043

001

B =1 1 3 80 2 5 23

00 00 3 70 4

Matriz Diagonal

A matriz quadrada de ordem n em que todos os elementos acima e abaixo da diagonal

principalso nulos chamada de matriz diagonal.

Exemplos:

400

010

003

A

10

03B


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Matriz Nula

A matriz que tem todos os elementos iguais a zero chamada de matriz nula. A matriz

nula de ordem m x n indicada por 0m x n e a matriz nula de ordem n por 0n.

Exemplos:

00

00

000

000

000

Matriz Identidade

Uma matriz quadrada de ordem n chamada de matriz unidade ou identidade (indica-se

por ) quando os elementos de sua diagonal principalso todos iguais a 1, e os demaisiguais a zero.

Exemplos:

10

01

2I

100

010

001

3I


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4. Igualdade de matrizes

Duas matrizes de mesmo tipo m x n so iguais quando todos os seus elementos

correspondentes so iguais.

Exemplo:

Determine a, b, c, e dde modo que se tenha a igualdade seguinte:

36

11

12

2

11

1

dc

b

a

Sabendo-se que os elementos correspondentes devem ser iguais, teremos:

= 2 + 1 = 1 = 0 2 = 6 = 8

= 3


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Exerccios de fixao:

1) Determinex, yez que satisfaam a igualdade:1 2

3 5 1 =1 2 3 4

6 5 0

=343 = 6 = 2

1 = 0 = 1

2) Escreva a matriz A (2, 3) = [aij], tal que aij = i2 j

= = 1 1 = 1 1 = 0

= 1 2 = 1 2 = 1 = 1 3 = 1 3 = 2 = 2 1 = 4 1 = 3 = 2 2 = 4 2 = 2

= 2 3 = 4 3 = 1

= 0 1 23 2 1


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3) Determine os elementos da diagonal principal da matriz sabendo que a matriz dada

representa uma matriz diagonal.

yxx

yyx

3

52


+ 3 = 0 = 3

+ 5 = 0 = 5 = 2 = 2 . 3 5

= 6 + 5 = 1

= + = 3 + 5 = 3 5 = 8

DP: 1 e = 8

= 0

0 =


11/46

3 2 = 0 + 9 = 1

= 12 3 = 0

4) Determine os valores de a, b, c e d, para que a matriz dada represente uma

matriz unidade.

932

23

dcba

dcba

=1 00 1

= 1 3 2 = 02 3 = 0 + 9 = 1

3 3 = 3 2 + 3 = 0

()

= 3

3 = 13 1 =

= 2

3 2 = 0 + = 1 0

3 2 = 0 2 + 2 = 2 0

5 = 2 0

= 44 + = 1 0

= 6


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5. Operaes

Adio e Subtrao

Dadas duas matrizes, A = (ai j)m x n e B = (bi j)m x n , a matriz soma A + B a matriz C = (c i j)m x n ,onde ci j = ai j + bi j para todo i e todoj.

Assim, a matriz soma C do mesmo tipo que A e B, de modo que cada um de seus

elementos a soma de elementos correspondentes de A e B, conforme exemplo a seguir:

35

42

01

63

34

25+ =

Exemplo 2: Encontre a matriz M de modo que a igualdade seja verdadeira.

2 31 14 2 + = 5 14 33 2

Sabe-se que a matriz procurada ter de ser do mesmo tipo, isto , 3 x 2.


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2 31 14 2

+

=5 14 33 2

Equacionando de acordo com os termos correspondentes teremos:

2 + = 5 = 3 1 + = 4 = 5

4 + = 3 = 1

3 + = 1 = 41 + = 3 = 4

2 + = 2 = 4

=3 45 4

1 4


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Matriz Oposta

Seja a matriz A = (a i j )m x n. Chama-se oposta de A, a matriz representada por A , tal que

A + ( A) = 0, onde 0 a matriz nula do tipo m x n.

Para isso, basta trocar o sinal dos termos da matriz dada.

51

73A

51

73AExemplo:

Matriz Diferena

Dadas duas matrizes A e B, definimos a matriz diferena A B como a soma de A com a

oposta de B, isto A B = A + ( B).

Exemplo: 72

33 =

72 +

3+3 =

7 3 2 + 3 =

41


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Multiplicao de um nmero real por uma matriz

Considerando uma matriz qualquerA de ordem m x n e um nmero real qualquerp.

Quando multiplicamos o nmero realp pela matrizA encontraremos como produto outramatrizp.A de ordem m x n cujos elementos so o produto dep por cada elemento deA.

Exemplo 1:

Seja = 1 11 2

3 4 3 2 4 . = 4 . 1 4 .1 4 .

1 2

4 . 3 4 4 .3 4 .2

4 = 4 4 23 12 8

Exemplo 2: Resolver a equao matricial 2X = A + B, conforme segue, onde

= 1 35 2 =3 1

1 0

Primeiro determina-se genericamente a matriz =


16/46

2 . =1 3

5 2 +3 1

1 0

2 22 2 = 4 26 2

= 2 = 3

= 1 = 1

= 2 13 1


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Multiplicao de Matrizes

Dadas as matrizesA = (ai j)m x ne B = (bi j)n x p, chama-seproduto deA por B, e

indica-se porA . B, matriz C = (ci k)m x p, onde um elemento qualquer c obtido da seguintemaneira:

1) Tomamos ordenadamente os n elementos da linha ida matrizA: ai 1 , ai 2 , ..., ai n. ( I )

2) Tomamos ordenadamente os n elementos da coluna kda matriz B: bi k , b2 k , ..., bn k. ( II )

3) Multiplicamos o 1 elemento de ( I ) pelo 1 elemento de ( II ), o 2 elemento de ( I )

pelo 2 elemento de ( II ) , e assim sucessivamente.

4) Somamos os produtos obtidos.

Assim: ci k= ai 1 . b1 k+ ai 2 . b2 k+ ... + ai n . bn k


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Vamos a um exemplo:

41

05

23

ASendo e

26

13B determine a matriz C =A . B:

41

05

23

26

13


19/46

Vamos a um exemplo:

41

05

23

ASendo e

26

13B determine a matriz C = A . B:

41

05

23

26

13

=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21


20/46

Vamos a um exemplo:

41

05

23

ASendo e

26


41

05

23

26

13

=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21 =3 . 1+ 2 . 2= 3 + 4 = 7

=5 . 3+ 0 . 6= 1 5 + 0 = 15 =


21/46

Vamos a um exemplo:

41

05

23

ASendo e

26


41

05

23

26

13

=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21 =3 . 1+ 2 . 2= 3 + 4 = 7

=5 . 3+ 0 . 6= 1 5 + 0 = 15 =5 . 1+ 0 . 2= 5 + 0 = 5

=


22/46

Vamos a um exemplo:

41

05

23

ASendo e

26


41

05

23

26

13

=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21 =3 . 1+ 2 . 2= 3 + 4 = 7

=5 . 3+ 0 . 6= 1 5 + 0 = 15 =5 . 1+ 0 . 2= 5 + 0 = 5

=

1 . 3

+ 4 . 6

= 3 + 2 4

= 27

=


23/46

Vamos a um exemplo:

41

05

23

ASendo e

26


41

05

23

26

13

=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21 =3 . 1+ 2 . 2= 3 + 4 = 7

=5 . 3+ 0 . 6= 1 5 + 0 = 15 =5 . 1+ 0 . 2= 5 + 0 = 5

=

1 . 3

+ 4 . 6

= 3 + 2 4

= 27

=1 . 1+ 4 . 2= 1 + 8 = 9


24/46

Vamos a um exemplo:

41

05

23

ASendo e

26


41

05

23

26

13

=3 . 3+ 2 . 6= 9 + 1 2 = 21 =3 . 1+ 2 . 2= 3 + 4 = 7

=5 . 3+ 0 . 6= 1 5 + 0 = 15 =5 . 1+ 0 . 2= 5 + 0 = 5

=

1 . 3

+ 4 . 6

= 3 + 2 4

= 27

=1 . 1+ 4 . 2= 1 + 8 = 9

=21 715 527 9

AGORAFICOUFCIL!!!


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Sua vez de tentar : = 1 2 01 0 2 e =1 12 34 1

1 2 01 0 2

1 12 34 1

1.1 + 2.2 + 0.4 = 5

5


26/46


1 2 01 0 2

1 12 34 1

51.1 + 2.3 + 0.9 = 7

7


27/46


1 2 01 0 2

1 12 34 1

5 7

1.1 + 0.2 + 2 . 4 = 9

9


28/46


1 2 01 0 2

1 12 34 1

5 79

1.1 + 0.3 + 2 . 1 = 3

3 . = 5 7

9 3


29/46


1 2 01 0 2

1 12 34 1

5 79 3 . = 5 7

9 3

NOTE QUE:

1) O produtoA.B existe, se e somente se, o nmero de colunas de A for igual ao nmero

de linhas de B.

2) A matriz produto C = A.B uma matriz cujo nmero de linhas igual ao nmero delinhas deA e o nmero de colunas igual ao nmero de colunas de B.

A(m x n) . B(n x p) = C(m x p)

3) Notemos que, seA do tipo m x n e B do tipo n x p, comp diferente de m, entoA.B

existe, mas B.A no existe.


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Matriz Transposta

SejaA uma matriz m x n.

Denomina-se matriz transposta deA (indica-se porAT) a matriz n x m cujas linhas so,

ordenadamente, as colunas deA.

Exemplo:

54

26A

TA

Notamos que, seA de ordem m x n, entoAT de ordem n x m e bj i= ai j.

Propriedades da matriz transposta:

I. (AT)T = A

II. ( . A)T = . AT

III. (A + B)T = AT + BT

IV. (A . B)T = BT . AT

52

46


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Matriz Simtrica

Observe a matrizA seguinte e sua transpostaAT:

985

843

532

A

985

843

532

TAe

Comparando, vemos que A = AT. Quando isso acontece, dizemos queA matriz simtrica.

Dada uma matriz quadradaA = (ai j) n, dizemos queA matriz simtrica se, e somente se,

ai j = aj i, para todo 1 i n e 1 j n.

Matriz antissimtrica

Observe as matrizes quadradas a seguir:

085

804

540

A e

085

804

540

TA

Comparando, vemos que A = AT. Quando isso acontece, dizemos queA matriz

antissimtrica. Note que cada elemento ai j o oposto de aj i.

Assim, definimos:

Dada uma matriz quadradaA = (ai j) n, dizemos queA matriz antissimtrica se, e

somente se, ai j = aj i, para todo 1 i n e 1 j n.


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Matriz Inversa

SejaA uma matriz quadrada de ordem n.A dita invertvel ou inversvel se existir uma

matriz B tal que:

A . B = B . A = In

Neste caso, B dita inversa deA e indicada porA1.

Exemplo:

A inversa de

34

02A

3/13/2

02/11A pois . = . =

MAS COMO QUEPOSSO ENCONTRAR A

MATRIZ INVERSA?


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Somente matrizes quadradas so invertveis. SendoA, quadrada e de 2 ordem, sua

inversa ser do mesmo tipo, da:

=

Sabemos que . = , logo, vamos montar a multiplicao:

2 04 3

1 00 1

2. + 0. = 1 2. + 0. = 0

4. + (3). = 0 4. + (3). = 1

2 = 14 3 = 0 = 1 2

4 . 12 3 = 02 = 3 = 2 3

2 = 04 3 = 1 = 0

4 . 0 3 = 1 3 = 1 = 1 3

= 1 2 02 3 1 31 2 2 3

0 1 3


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Exerccios Diversos

a) =

= 3. 2. + 4

= 3.1 2.1 + 4 = 5 = 3.2 2.1 + 4 = 8 = 3.3 2.1 + 4 = 11

= 3.1 2.2 + 4 = 3 = 3.2 2.2 + 4 = 6 = 3.3 2.2 + 4 = 9

= 5 38 611 9


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Exerccios Diversos

b) =

= 3. + 2. 5

= 3.1 + 2.1 5 = 0

= 3.2 + 2.1 5

= 3

= 3.3 + 2.1 5 = 6

= 3.1 + 2.2 5 = 2

= 3.2 + 2.2 5

= 5

= 3.3 + 2.2 5 = 8

=0 2 43 5 7

6 8 10

= 3.1 + 2.3 5 = 4

= 3.2 + 2.3 5

= 7

= 3.3 + 2.3 5 = 10


36/46

3 + 2 22 3 3 =

7 22 3

3 + 2 = 73 3 = 3

3 + 2 = 7 3 + 3 = 3

5 = 1 0

= 2

3 + 2 . 2 = 7 = 1


37/46

a) =

=

0 000

0

0

=0 0

0 00 0

24

6

b) = 0 0 0

0 0

0

0

0

0

0 0 0

=

1 0 0 00 2 0 0

00 00 30 04


38/46

1 + + = 9

= 3

1 + 3 + = 94 = 8

= 2

= 3 . 2 = 6


39/46

=

=3.1 1 3.1 23.2 1 3.2 23.3 1 3.3 2

=2 15 48 7

a) + = 2 15 48 7 + 2 15 48 7 = 4 210 816 14

b) +

0 0

0 00 0 = =

2 1

5 48 7


40/46

+ = 0 = = + ()

=3

25

+12

4 =

201

=1 00 1

0 11 0

=1 00 1 +

0 11 0

=1 1

1 1


41/46

2. 1 02 1 12 .

4 21 0 =

2 04 2 +

2 1 1 2 0 =

= 2 2 0 14 12 2 0 = 4 17 2 2


42/46

1 22 1

43

+ 2 = 42 + = 3

2 + 4 = 82 + = 3

5 = 5 = 12 + 1 = 32 = 3 1

2 = 4

3

4

= 2

Produto . = 2 . 1 = 2


43/46

13 1

2

00 2 + = 06 = 0 = 6 2 + 6 = 02 = 6 = 3

. = 3 . 6 = 18


44/46

= 1 01 2 = 1 10 2

1 10 2

10 12

1 01 2

= 1 . 1 + 0 . 0 = 1 + 0 = 1

= 1 . 1 + 2 . 0 = 1 + 0 = 1 = 1. 1 + 0 . 2 = 1 + 0 = 1 = 1. 1 + 2 . 2 = 1 + 4 = 5

1 11 5


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a) Apesar de ser possvel calcular , pois uma matriz quadrada, impossvelsomar e que so matrizes diferentes tipos.b) O produto . possvel, pois o nmero de colunas de igual ao nmero delinhas de, porm esse produto resulta numa matriz 3 3 que no pode sersomada que do tipo 2 3.c) O produto . possvel, pois o nmero de colunas de igual ao nmero delinhas de , porm esse produto resulta numa matriz 2 3 que no pode sersomada que do tipo 3 2.e) No possvel somar , do tipo 3 3 , do tipo 2 3.

d) O produto. possvel, pois o nmero de colunas de igualao nmero de linhas de , e esse produto resulta numa matriz 3 3que pode ser somada que do mesmo tipo.


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ISERJ 2012

Professora Telma Castro Silva

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