1

Repetitorij matematike – zadaci za maturu 2008. 

1. Izračunaj :  3 1 2 71.2 1 1 : 2.5 : 35 2 5 8⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ + − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

 

2. Izračunaj :  

a. ( )33

24 320.25

4xx yy

−−− − ⎛ ⎞

⋅ − =⎜ ⎟⎝ ⎠

  b. 1 4

181 327 9

n n

n n

+ −

−

⋅⋅

3. Rastavi na faktore :  5 3 22 8 16a a a+ − − =  

4. Skrati razlomke :  

a. ( )22 2

3 2 22a b a ba a b ab− + +

=+ +

  b. 2

22 8 8

2x xx x

+ +=

+ −

5. Izračunaj i skrati :  

a. 2

2 2

2 24 2xy y xx y y x

++ =

− −  b.

2

22 51 :

2 3 4 9a a aa a− +⎛ ⎞− =⎜ ⎟+ −⎝ ⎠

6. Pojednostavi :  22 1 1 2

3 31 1:a a b b

b a a b

−− − − −

− −

− + ⎛ ⎞+ =⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ 

7. Podijeli polinome i rezultat provjeri:  ( ) ( )3 2 24 4 1 : 2 1x x x x x− − + − − =  

8. Riješi jednadžbu:  2 2 22 5 5 2

3 9 3x x xx x x x x

− − ++ =

− − + 

9. Riješi jednadžbe: 

a. 3 2 2x x= + +   b. ( ) ( )x x a b a x− = −

10. Površine dvaju sličnih trokuta odnose se kao 4:9. Osnovica manjeg trokuta je 6 cm , a visina 

na nju 8 cm. Izračunaj površinu , osnovicu i visinu na osnovicu većeg trokuta . 

11. Jedan se par stranica tetivnog četverokuta odnosi kao 4:5 , a drugi kao 2:3 . Koliki su kutovi 

tog tetivnog četverokuta ? 

12. Riješi jednadžbu  1 1 32 1 2 1x xx x− +

− =− −

 

13. Izračunaj  42 3 2 36 33 4a a a a a a⋅ − ⋅ + ⋅  

14. Pravokutni trokut ima katetu b=3 cm i ortogonalnu projekciju katete a na hipotenuzu p=3cm 

. Koliki je opseg i površina trokuta ? 

15. Riješi jednadžbu u skupu realnih brojeva:  2 3x x − =  

16. Riješi u skupu realnih brojeva sustav jednadžbi: 2 2 5

6x yxy⎧ − =⎨ =⎩

 

2

17. Izračunaj 2 5Re2

z zw

+−

  ako su  2 , 3z i w i= + = − .  

18. Odredi realne brojeve a i b ako je ( )2 3 2 2a b i a b i+ + = + − . 

19. Odredi  z  ako je  ( )

( )2

193

3

3

iz ii

−= ⋅

−  

20. Prikaži u Gaussovoj ravnini  1 12

zz i−

≤+

. 

21. Riješi jednadžbe:  

a. 02199 24 =+− xx   b. 0531315 23 =−+− xxx

22. Odredi realni broj k tako da jednadžba  ( ) ( )2 2 1x k k x− = +  nema kompleksnih rješenja. 

23. Faktoriziraj  ( )2 3 2 6x a b x ab− + + . 

24. Odredi kvadratnu jednadžbu kojoj je jedno rješenje 2ii+. 

25. Skrati razlomak2

22 32 6 7x xx x

− −=

+ − 

26. Izračunaj oplošje i obujam pravilne četverostrane piramide pobočnog brida 25 cm i visine 

pobočke 20 cm. 

27. Jednakostranični valjak ima površinu plašta 169π cm2. Izračunaj oplošje i obujam. 

28. Visina uspravnog stošca je 12 cm, a volumen 324π cm3. Koliko je oplošje i središnji kut 

kružnog isječka u plaštu stošca?  

29. Pravilna uspravna šesterostrana piramida ima pobočni brid dvostruko veći od osnovnog 

brida. Odredi kut pobočke i osnovke. 

30. Riješi jednadžbu  2 225 5 6 5x x+ ++ = ⋅ . 

31. Riješi u skupu R jednadžbu :  2 2 22 1 2 3 5

2 3 2 3x x xx x x x x x

− + −− =

− − − + 

32. Odredi   ( )( )iii

+− 21Re

115

 

33. Za koji  Rm∈  , jednadžba  0log421

2 =−− mxx  , ima realna rješenja ? 

34. Zadana je jednadžba  0532 2 =−− xx . Odrediti : a)  2 21 2 1 2x x x x+     b)  1 2x x−  

35. Riješi jednadžbu 22 1 2 13 4 0

1 1x xx x− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 . 

36. Nacrtaj graf funkcije  ( ) 2 1f x x x= + − −  

3

37. Za koji realni broj m funkcija  ( ) 2( ) 2 3 2f x m x x m= − + + +  ima negativne vrijednosti na 

cijelom području definicije funkcije? 

38. Odredi polinom drugog stupnja ako je  (1) 0, (2) 4, ( 1) 1f f f= = − =  

39. Riješi nejednadžbe: 

a. 2

23 2 2

2 3x xx x

− −≤

− +  b.

2

21 1

2 1 2x xx x− +

≤− −

40. Riješi simetričnu jednadžbu  4 3 212 4 41 4 12 0x x x x+ − + + =  

41. Riješi sustav nejednadžbi: 2

2

4 04 9 0x xx

⎧ − ≥⎪⎨

− <⎪⎩ 

42. Riješi jednadžbu  2 5 6 1x x x+ − − = − . 

43. Riješi jednadžbu  1 2 3 2 3 49 5 5 5 3 3 3x x x x x x+ + + + + +⋅ + + = + +  

44. Riješi jednadžbu  2 2 321 3 5 9 3 5x x x x+ + +⋅ − = ⋅ − . 

45. Riješi logaritamske jednadžbe: 

a. 3log10 log0.1 log 3x x x⋅ = −  

b. 4 2log 8 log 8 log 16x x x− =  

c. ( )log 9 2 log 2 1 2x x− + − =  

d. ( )2log 2 3 2x x− = −

46. Riješi sustave jednadžbi: 

a. ( )2 5 200

2

2 1

12

x y

x y

− +⋅ =

− = −

⎧⎨⎪

⎩⎪log   b.

5 2 3125 8 9

log log

log log

x y

x y

+ =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

47. Riješi jednadžbu  ( )2log 15 36 110 3x x x+ − + = +  . 

48. Riješi nejednadžbu ( )2

12

log 5 7

3 1x x− +

<  . 

49. Pojednostavi izraz   ( ) 7log 25

27log 15 7−⎡ ⎤⋅⎢ ⎥⎣ ⎦

 

50. Baza prizme je pravokutan trokut čije se katete odnose kao 3:4, a površina mu je 96. Kako se 

odnose volumeni toj prizmi opisanog i upisanog valjka. 

51. Odredi obujam pravilne trostrane krnje piramide u kojoj su duljine bridova osnovki 30 i 20, a 

pobočje je jednako sumi površina osnovki. 

52. Trokut stranica a = 6 cm i kutova  45β = °  i  120γ = °  rotira oko poznate stranice. Odredi 

obujam i oplošje tako dobivenog rotacijskog tijela. 

53. Kugli volumena  288π  upisan je stožac s kutom pri vrhu osnog presjeka od 75° .Odredi 

obujam stošca. 

4

54. Odredi temeljni period funkcije  ( ) ( )2 sin 3 2 35 2

xf x tg xπ π⎛ ⎞= + − +⎜ ⎟⎝ ⎠

. 

55. Izračunaj, svođenjem na prvi kvadrant, vrijednost izraza:  41 28sin6 3

ctgπ π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− ⋅ − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 

56. Zadana je trigonometrijska funkcija  ( ) 3sin 23

f x x π⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

. Odredi minimume i nultočke. 

57. Riješi jednadžbu  3sin 26 2

x π⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

  na intervalu  ( )0,2π .  

58. Pojednostavi izraz   sin 2sin 2 sin 3cos cos3 2cos2x x xx x x− +

=+ −

 

59. Odredi  ( )tg α β+  ako je  12 7cos , 313 2

πα α π= − − < < −  i  4 3sin , 25 2

πβ β π= − < < .  

60. Odredi  ( )4tg x− ako je  3sin5

x =  i  11 52

xπ π− < < − . 

61. Izračunaj  7 23sin cos12 12π π⋅ =  

62. Dokaži identitet: 

a. ( ) ( )2 2221 1

sinctgx ctgx

x− + + =   b.

( )2sin 4 1 1

cos2 sin 2α

α α−

= −−

63. Odredi jednadžbu tangente i normale povučenih iz )0,1( <yA  na parabolu  2 16y x= . Odredi 

površinu trokuta kojem su vrhovi fokus parabole, sjecišta direktrise i osi x te točka A. 

64. Pod kojim se sijeku krivulje  2 2 4 28x y x+ + =  i  2 8y x= ?  

65. Odredi jednadžbe tangenata povučenih iz točke  ( )4,2T  na elipsu  2 23 4 48x y+ = . 

66. Odredi jednadžbu hiperbole kojoj je jedan fokus u točki ( )15,0 , a pravac  2 0x y+ =  asimptota.  

67. Odredi jednadžbu istostrane hiperbole konfokalne (isti fokusi) elipsi  2 25 7 35x y+ = . 

68. Odredi kut između krivulja  2 29 25 225x y+ =  i  2 23 12x y− =  . 

69. Odredi duljinu one tetive parabole  2 8y x=  , koja prolazi točkom A(2,‐4) i koja je paralelna s 

pravcem 2 2 3x y− = . 

70. Kraci trapeza čije su paralelne stranice 70 cm i 20 cm , a neparalelne 40 cm i 30 cm , produže 

se do presjeka. Kako se odnosi površina dopunskog trokuta prema površini trapeza ? 

71. Površina trokuta iznosi 4 kvadratne jedinice. Dva su njegova vrha A(2,1) i B(3,‐2) , a treći vrh 

C nalazi se na osi apscisa .Odredi jednadžbu visine na stranicu c ( cv ) 

5

72. Koliki je kut između vektora  1 2 1 22 4 ,a e e b e e→→ → → → →

= + = +  , ako su  1 2,e e→ →

 jedinični vektori i ako je 

120ϕ = °  , kut između tih jediničnih vektora . 

73. Odredi jednadžbu kružnice koja dodiruje os x i ima polumjer 5 . 

74. Ako je  ( ) 3sin cos2 2

f x x xπ ππ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

 , koliko je  223

f π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

 ? 

75. Oko pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta a = 5cm i b = 5 3 cm, opisana je kružnica. 

Kolika je površina kružnog odsječka nad katetom AC tog trokuta ? 

76. Odrediti interval na kojem je funkcija  ( ) ( ) 22 3 2f x m x x m= − + + +  uvijek pozitivna. 

77. Odredi zbroj rješenja jednadžbe  ( )2 10.75 x xxx x− +

=  . 

78. Riješi trigonometrijsku jednadžbu  2 24sin sin cos cos 2x x x x+ + =  . 

79. Riješi trigonometrijsku nejednadžbu  22sin 3cos 0x x− <  . 

80. Izračunaj  1 sin 2cos2

xx

+  , ako je  12

tgx = −  . 

81. Kut uz osnovicu jednakokračnog trokuta je  53β = ° , a duljina simetrale tog kuta  3.8s cm=  . 

Koliki je opseg trokuta ? 

82. Pravac prolazi kroz točku M(3,7) i raspolavlja dužinu čije su krajnje točke A(2,4) i B(8,2). 

Kako glasi jednadžba pravca i pod kojim kutom on sječe danu dužinu ? 

83. Odredi jednadžbe zajedničkih tangenata krivulja  2 2 8x y+ =  i  2 23 12x y+ =  

84. Riješi nejednadžbu  2

22 5 1

2 1x xx x

− + −<

− − 

85. Izračunaj  °15sin  bez upotrebe računala . 

86. Izračunaj  sin3π α⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

, ako je  34

tgα = −   ako je  3 22π α π< <  . 

87. Riješi pravokutni trokut ako su zadani a = 136cm i v = 120cm.  

88. Osnovice jednakokračnog trapeze su a=6 cm  , c = 2 cm , a površina P =  28 3cm . Izračunaj 

unutrašnje kutove u tom trapezu i njegov opseg. 

89. Točke P i S nalaze se sa suprotnih strana jezera. Odrediti širinu jezera (PS) , ako je 

1.2 , 1,6 , 50PT km ST km STP= = = ° . 

90. Stranice paralelograma su 3 cm i 7 cm , a duljina manje dijagonale iznosi 6 cm. Kolika je 

duljina veće dijagonale ? 

6

91. Stranice nekog trokuta odnose se kao  5 : 7 : 8 , a površina trokuta je  290 3cm . Izračunaj 

polumjer upisane i opisane kružnice trokuta . 

92. Osnovka prizme je trokut kojemu je zadano  21 , 15 , 60a c cm b cm α+ = = = ° . Odredi obujam i  

oplošje prizme , ako je njena visina jednaka trećini opsega osnovice . 

93. U kosom stošcu najdulja izvodnica duljine  6 3S cm=  i najkraća izvodnica duljine  6s cm= , 

zatvaraju kut od  °30 . Izračunaj obujam stošca . 

94. Osnovica uspravne piramide  je trokut kojemu je  18 , 30 , 120a cm b cm γ= = = ° . Bočni bridovi 

nagnuti su prema ravnini osnovice pod kutom  30ϕ = ° . Odredi obujam piramide . 

95. Visina pravilne krnje četverostrane piramide jednaka je 3 cm , a njezin obujam  238cm . 

Površine baza ove piramide u omjeru su 9:4 . Izračunaj površinu pobočja ove piramide . 

96. Odredi  Rt ∈  , tako da duljina vektora  ( ) ( )1 2a t i t j→ → →= − + −  bude jednaka 1. 

97. Zadane su točke A(1,3) i B(2,4)  C(5,2). Odredi  a b+rr ako je  a AB=

r uuur i  b BC=r uuur

. 

98. Neka su  a→ i   b

→vektori , takvi da je  3, 2, ( , ) 120a b a b

→ →→ →= = ∠ = ° .   Odredi : a)  a b

→→⋅   b) 

2

a→  

99. Odredi realan parametar λ , tako da su pravci  2 7 0x yλ + + =  i 2 5 0x yλ+ + = : 

a. usporedni  b. okomiti 

100. Napiši jednadžbe elipse kojoj je linearni ekscentricitet 3 , a numerički 21 . Fokusi elipse 

nalaze se na osi apscisa . 

101. Kako glasi jednadžba hiperbole koja prolazi točkom  ( )1,3 3T , a pravac  6y x= −  je jedna 

njezina asimptota ? 

102. Odredi jednadžbu tangente i normale povučene u točki ( )10, 0D y >  hiperbole 

2 24 64x y− = . 

103. Odredi vrijednost parametra m  , tako da pravac  3 7 0mx y m− + + =  , bude tangenta 

parabole  2 8y x= . 

104. Riješi trigonometrijske jednadžbe: 

a. ( )4sin cos 2 sin cos 1 0x x x x− + + =    

b. 2 23sin 4sin cos 5cos 2x x x x− + =  

c. ( ) ( )sin 2 sin 1 cos sin 2x x x x− = +  

d. 2 23sin cos 1x x+ =  

e. 3 3sin2 4 2x π⎛ ⎞− = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

7

105. Odredi jednadžbu tangente na kružnicu  ( ) ( )221 2 4x y− + − =  u točkama sjecišta kružnice i 

pravca  4 3 5 0x y− + = . 

106. Odredi jednadžbu kružnice koja prolazi točkama (‐6,‐2) i (0,6), a središte joj se nalazi na 

pravcu  4 3 6 0x y+ + = . 

107. Vrhovi trokuta ABC su A(2,1),B(‐1,5) i C(‐6,0).Odredi kut pod kojim se sijeku težišnice iz 

vrhova A i B. 

108. Pod kojim se kutom sijeku krivulje  2 2 25x y+ =  i  24 9y x= ? 

109. Dan je trapez stranica  7 , 3a cm c cm= =  i kutova 30 , 45α β= ° = ° . Odredi površinu trapeza. 

110. Odredi koordinate ortocentra i težišta trokuta A(4,0) , B(‐2,3) i C(7,‐6). 

111. Dokaži matematičkom indukcijom da je izraz  1 33 5 2n n n+ +⋅ +  djeljiv sa 13 za svaki prirodni 

broj n. 

112. Dokaži matematičkom indukcijom  da vrijedi  ( ) ( )( )1 2 71 3 2 4 ... 26

n n nn n + +⋅ + ⋅ + + + =  . 

113. Riješi jednadžbu ( )( )

( )( )

1 ! 1 !422 ! 2 !

n nn n+ −

=− −

. 

114. Odredi član u razvoju binoma 15

23 1aa

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

, koji ne sadrži nepoznanicu a .  

115. Odredi  12w  ako je zadan kompleksni broj  5 212cos 2 sin16 16

w iπ π= − + . 

116. Riješi jednadžbu  3 1 3 02 2

z i+ − =  te rješenja prikaži grafički. 

117. Stranice trokuta čine aritmetički niz s razlikom 1, a površina trokuta iznosi  284cm . Kolike 

su stranice trokuta ? 

118. Odredi inverznu funkciju funkcije  0.252( ) log log4xf x x= +  .  

119. Bridovi kvadra, čije je oplošje 28, čine geometrijski niz. Odredi prostornu dijagonalu. 

120. U jednakokračni  trapez, duljine osnovice a = 18 cm i duljine kraka b = 13 cm , može se 

upisati kružnica. Izračunaj površinu trapeza. 

121. Odredi 13.član u razvoju binoma  193

n

xx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

, ako je binomni koeficijent trećeg člana 105. 

122. Dokazati da je  n N∀ ∈ , vrijednost  izraza  2 26 3 3n n n++ +  djeljiva s 11. 

8

123. Odredi prirodnu domenu funkcije  12

1( ) log2

xf xx+

=−

 

124. Zbroj prva tri člana geometrijskog niza iznosi 42. Ti su brojevi prvi, drugi i šesti član 

rastućeg aritmetičkog niza. Nađi te brojeve, te odredi sumu nizova . 

125. Izračunaj: 

a. ( ) ( )

2

3 32 2lim

1 1x

x xx x→∞

− ++ − −

  b. 31lim

2

x

x

xx

+

→∞

+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

126. Odredi jednadžbu normale i na krivulju  lny x x= , koja je paralelna s  2 2 3 0x y− + = . 

127. Riješi jednadžbu  2 1 3 2 12 2 2 ... 3 3 3 ...x x x x x x+ + + + ++ + + = + + +  

128. Riješi jednadžbu  ( )( )f g x x= −o  , ako su zadane  ( ) ( ) 10.75 xf x +=  i  ( ) ( )43

log 2g x x= + . 

129. Tri su broja uzastopni članovi geometrijskog niza. Ako od trećega oduzmemo 4 , dobit će se 

tri uzastopna člana aritmetičkog niza .Ako zatim od drugoga i trećega oduzmemo po 1 , opet 

dobijemo tri uzastopna člana geometrijskog niza . Koji su to brojevi ? 

130. Riješi nejednadžbu ( )( ) 1f g x =o , ako su zadane funkcije  ( ) 12 xf x −= , ( ) 12

2log1

xg xx+

=−

 

131. Deriviraj slijedeće funkcije :  

a. ( ) ( )( )( )21 1 1f x x x x= − + +  

b. ( )( )2

2

2 111

xf xx

x

+=

+ ⋅ 

c. ( ) ( )( )ln ln sinf x x=  

132. Riješi nejednadžbu  ( ) ( )f x g x′ ′>  , ako su zadane funkcije  ( ) 2f xx

=  i  ( ) 3g x x x= −  

133. Zapiši kompleksan broj ( )2 1 3

17cos sin6 6

iz

iπ π− −

=⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

 u trigonometrijskom obliku . 

134. Odredi domenu funkcije: 

a. 2 1( ) log1 3xf xx

−=

− 

b. 3( ) 3 22xf x x

x= + −

−  

c. ( )225( ) log 3

4xf x xx

= + +−

 

d. 22

1( ) 3 23 2

f x x xx x

= − + ++ −

  

135. Riješi jednadžbu  ( ) ( )f x g x′ ′= ako su  34( ) 3 cos , ( ) cos cos3

f x x g x x x= − = − .  

136. Odredi inverznu funkciju i  ( )f x′′  ako je  ( )2( ) ln 1f x x= −  

9

137. .U sjecištu krivulje  2y x= −  i osi y položena je tangenta na krivulju. Kolika je udaljenost 

tangente od ishodišta? 

138. Riješi jednadžbe : 

a. 4 1 0z + =  

b. 4 16 0z + =  

c. 3 8 0z − =  

139. Ako su  2( ) 5 3f x x= −  i  ( ) 1g x x= +  odredi  , ( ), ( )f f g f x g x′′ ′o o .