Maximización de bene�cio, minimización de

coste y la función de coste

December 12, 2011

8.1

1.

f(λL, λK) = (λL)1/4

(λK)1/2

= λ1/4λ

1/2L1/4K

1/2︸ ︷︷ ︸f(K,L)

= λ3/4f(K,L) < λf(K,L)

La función de producción exhibe rendimientos decrecientes a escala.

2.

Min{L,K}CT = wL+ rK

s.a. L1/4K

1/2 = Y

Utilizaremos el método de sustitución (también se puede aplicar el métodolagrangiano). Primero despejamos en la restricción L en función de K :

L =(Y K−

12

)4= Y 4K−2

A continuación lo introducimos en la función objetivo y obtenemos un prob-lema de maximización sin restricciones:

Min{L,K}CT = w(Y 4K−2

)+ rK

Entonces:

∂CT

∂K= 0

1

−2wY 4K−3 + r = 0

r = 2wY 4 1

K3

La demanada condicionada del capital es:

K(w, r, Y )=

(2wY 4

r

)1/3

Para encontrar la demanda condicionada del trabajo repetimos el procesodespejando la restricción K en función de L :

K =(Y L−

1/4)2

= Y 2L−1/2

lo introducimos en la función objetivo y obtenemos un problema de maxi-mización sin restricciones:

Min{L,K}CT = wL+ rY 2L−1/2

Entonces:

∂CT

∂L= 0

w − 1

2rY 2L−

3/2 = 0

w =rY 2

2L3/2

La demanda condicionada del trabajo es:

L(w, r, Y )=

(rY 2

2w

)2/3

3.

CT = wL+ rK

Sustituimos las demandas encontradas en el apartado anterior:

CT = w

(rY 2

2w

)2/3

+ r

(2wY 4

r

)1/3

2

CT = 2−2/3w1w−

2/3︸ ︷︷ ︸w1/3

r2/3Y

4/3

+ r1r−1/3︸ ︷︷ ︸

r2/3

21/3w

1/3Y4/3

Sacamos factor común:

CT = r2/3Y

4/3

w1/3

(1

22/3+ 2

1/3

)︸ ︷︷ ︸

3

22/3

Coste medio:

CMe =CT

Y

CMe = Y1/3

w1/3r

2/3

(3

22/3

)Coste Marginal:

CMg =∂CT

∂Y

CMg =22

3Y

1/3

w1/3r

2/3

(3

22/3

)= 2

4/3Y1/3

w1/3r

2/3

8.2

1.

RTS(L,K) = − PMgL

PMgK= −

∂F/∂L∂F/∂K

Calculemos la RTS para f(L,K) = 3L1/3K1/3

RTS(L,K) = −13 3L−2/3K1/3

13 3L1/3K−2/3

= −L−2/3K1/3

L1/3K−2/3= −K

L

La RTS es la pendiente de la isocuanta y mide la relación a la que tendráque sustituir un factor de producción por otro para mantener constante la pro-ducción. En este caso, debemos sustituir una unidad de L por una unidad de Kpara mantener constante la producción.

3

2.

f(λL, λK) = 3 (λL)1/3

(λK)1/3

= λ1/3λ

1/33L1/3K

1/3︸ ︷︷ ︸f(K,L)

= λ2/3f(K,L) < λf(K,L)

La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala.

3.

Las funciones de productividad marginal de L y K son:

PMgL =∂F

∂L= L−

2/3K1/3

PMgK =∂F

∂K= L

1/3K−2/3

Las funciones de productividad media de L y K son:

PMeL =f(K,L)

L=

3L1/3K1/3

L= 3L−

2/3K1/3

PMeK =f(K,L)

K=

3L1/3K1/3

K= 3L

1/3K−2/3

4.

El problema de maximización de bene�cios de la empresa es:

Max{L,K}Π : p f(K,L)− wL− rK

las condiciones de primer orden son:

∂Π

∂L= 0→ p L−

2/3K1/3 = w

∂Π

∂K= 0→ p L

1/3K−2/3 = r

Cojo la segunda ecuación:

p L1/3K−

2/3 = r

4

L1/3 =

rK2/3

p

L2/3 =

r2K4/3

p2

lo sustituyo en la primera ecuación:

pK1/3(r2K4/3

p2

) = w

p3

r2K= w

K(w, r, p) =p3

r2w

Entonces:

L2/3 =

r2(p3

r2w

)4/3

p2

L(w, r, p) =r3(p3

r2w

)2p3

=r3p6

r4p3w2=

p3

rw2

5.

K(2, 1, 2) =23

122= 4

L(2, 1, 2) =23

22= 2

Cantidad ofrecida de producto:

f(2, 4) = 3 · (2)1/3(4)

1/3 = 6

5

8.3

1.

Calculemos la RTS para f(L,K) = 4L1/4K1/4

RTS(L,K) = −14 4L−3/4K1/4

14 4L1/4K−3/4

= −L−3/4K1/4

L1/4K−3/4= −K

L

La RTS es la pendiente de la isocuanta y mide la relación a la que tendráque sustituir un factor de producción por otro para mantener constante la pro-ducción. En este caso, debemos sustituir una unidad de L por una unidad de Kpara mantener constante la producción.

2.

f(λL, λK) = 4 (λL)1/4

(λK)1/4

= λ1/4λ

1/44L1/4K

1/4︸ ︷︷ ︸f(K,L)

= λ1/2f(K,L) < λf(K,L)

La función de producción tiene rendimientos decrecientes a escala.

3.

Las funciones de productividad marginal de L y K son:

PMgL =∂F

∂L= L

−3/4K1/4

PMgK =∂F

∂K= L

1/4K−3/4

Las funciones de productividad media de L y K son:

PMeL =f(K,L)

L=

4L1/4K1/4

L= 4L−

3/4K1/4

PMeK =f(K,L)

K=

4L1/4K1/4

K= 4L

1/4K−3/4

6

4.

El problema de maximización de bene�cios de la empresa es:

Max{L,K}Π : p f(K,L)− wL− rK

las condiciones de primer orden son:

∂Π

∂L= 0→ p L

−3/4K1/4 = w

∂Π

∂K= 0→ p L

1/4K−3/4 = r

Cojo la segunda ecuación:

p L1/4K

−3/4 = r

L1/4 =

rK3/4

p

L3/4 =

r3K9/4

p3

lo sustituyo en la primera ecuación:

pK1/4(r3K9/4

p3

) = w

p4

r3K2= w

K(w, r, p) =p2

r3/2w1/2

Entonces:

L3/4 =

r3(

p2

r3/2w1/2

)9/4

p3

L(w, r, p) =r4(

p2

r3/2w1/2

)3p4

=r4p6

r9/2p4w3/2=

p2

r1/2w3/2

7

5.

K(4, 4, 4) =42

43/241/2= 1

L(4, 4, 4) =42

41/243/2= 1

Cantidad ofrecida de producto:

f(1, 1) = 4 · (1)1/4(1)

1/4 = 4

8

8.4

(a)

1.

2.

Max{L,K}Π : pL1/4K

1/2 − wL− rK

las condiciones de primer orden son:

∂Π

∂L= 0→ p − 1

4L

−3/4K1/2 = w

∂Π

∂K= 0→ p − 1

2L

1/4K−1/2 = r

9

De la segunda ecuación saco:

pL1/4K−

1/2 = 2r

K−1/2 =

2r

pL1/4

K1/2 =

pL1/4

2r

Sustituyo en la primera ecuación:

p − 1

4L

−3/4

(pL1/4

2r

)= w

p2L−1/2

8r= w

L−1/2 =

8rw

p2

L1/2 =

p2

8rw

L(w, r, p) =p4

(8wr)2

Entonces:

K1/2 =

p(

p4

(8wr)2

)1/4

2r=p(

p

(8wr)1/2

)2r

=p2

2r(8wr)1/2

K(w, r, p) =p4

4r28rw=

p4

32r3w

Oferta de producto:

Y (w, r, p) =

(p4

(8wr)2

)1/4(p4

32r3w

)1/2

=p

(8rw)1/2· p2

321/2r3/2w1/2=

p3

81/232

1/2︸ ︷︷ ︸16

r2w

10

3.

Min{L,K}CT : wL+ rK

s.a. L1/4K

1/2 = Y

Usaremos el método lagrangiano:

L(L,K, λ) = wL+ rK − λ(L1/4K

1/2 − Y )

Las tres condiciones de primer orden son:∂L∂L = 0 → w − 1

4λL−3/4K1/2 = 0

∂L∂K = 0 → r − 1

2λL1/4K−1/2 = 0

∂L∂λ = 0 → L1/4K1/2 − Y = 0

Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K:

wL =1

4λL−

3/4L︸ ︷︷ ︸L1/4

K1/2

︸ ︷︷ ︸Y

=1

4λY

rK =1

2λL

1/4K−1/2K︸ ︷︷ ︸

K1/2︸ ︷︷ ︸Y

=1

2λY

Entonces:

L = λY

4w

K = λY

2r

Sustituimos en la tercera ecuación para despejar λ:(λY

4w

)1/4(λY

2r

)1/2

= Y

λ(1/4+1/2)Y

1/4 (4w)−1/4Y

1/2 (2r)−1/2 = Y

λ3/4 =

Y

Y 1/4 (4w)−1/4Y 1/2 (2r)−1/2= Y Y −

1/4 (4w)1/4Y −

1/2 (2r)1/2 = Y

1/4 (4w)1/4 (2r)

1/2

11

λ =(Y

1/4 (4w)1/4 (2r)

1/2)4/3

= Y1/3 (4w)

1/3 (2r)2/3

Sustituyo λ en L y K :

L(w, r, Y ) =Y 1/3 (4w) 1/3 (2r) 2/3Y

4w=Y 4/3 (2r) 2/3

(4w) 2/3=

(1

2

)2/3Y 4/3r2/3

w2/3

K(w, r, Y ) =Y 1/3 (4w) 1/3 (2r) 2/3Y

2r=Y 4/3 (4w) 1/3

(2r) 1/3= 2

1/3Y4/3w1/3

r1/3

La función de costes a largo plazo será:

CTlp = w L(w, r, Y ) + r K(w, r, Y )

= w

(1

2

)2/3Y 4/3r2/3

w2/3+ r 2

1/3Y4/3w1/3

r1/3

=

(1

2

)2/3

Y4/3r

2/3w1/3 + 2

1/3Y4/3r

2/3w1/3

Sacamos factor común:

CTlp(w, r, Y ) =

((1

2

)2/3

+ 21/3

)Y

4/3r2/3w

1/3 =

(12/3 + 21/322/3

22/3

)Y

4/3r2/3w

1/3 =

(3

22/3

)Y

4/3r2/3w

1/3

4.

Función de oferta:

Max{L,K}Π : p Y −(

3

22/3

)Y

4/3r2/3w

1/3︸ ︷︷ ︸CT

c.p.o =∂Π

∂Y= 0

p− 4

3

3

22/3Y

1/3r2/3w

1/3 = 0

Y1/3 =

p4

22/3r2/3w1/3

12

Y (w, r, p) =p3

16 r2w

Es la misma función de oferta que la que encontramos en el apartado 1.

5.

Nos esta hablando de la elasticidad:

εCTlp,w =4CT/CT4w/w

=4CT4w

w

CT

εCTlp,w =

13

(3

22/3

)Y 4/3r2/3w−2/3w(

322/3

)Y 4/3r2/3w1/3

=1

3

Si el salario w aumenta en 1 % el coste a largo plazo de producir Y unidadesse incrementa en 1/3%.

6.

A corto plazo el capital es �jo:

MinCT = wL+ rK

s.a. L1/4K

1/2= Y

Aislamos L en la restricción:

L = K−2Y 4

la substituimos en la función objetivo para encontrar la función de coste acorto plazo:

CTcp(w, r, Y ) = wY 4K−2

+ rK

7.

CTcp(1, 1, Y ) = CTlp(1, 1, Y )

1Y 41−2 + 1 =

(3

22/3

)Y

4/312/31

1/3

13

(b)

1)

2.

Max{L,K}Π : pL1/3K

2/3 − wL− rK

las condiciones de primer orden son:

∂Π

∂L= 0→ p − 1

3L

−2/3K2/3 = w

∂Π

∂K= 0→ p − 2

3L

1/3K−1/3 = r

Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K:

14

p1

3L

−2/3L︸ ︷︷ ︸L1/3

K2/3 = wL

p2

3L

1/3K−1/3K︸ ︷︷ ︸K2/3

= rK

Suponiendo que Y = L1/3K2/3 reformulamos estas expresiones:

p1

3Y = wL

p2

3Y = rK

Despejamos L y K para encontrar las demandas óptimas de los factores:

L =pY

3w

K =2pY

3r

Introducimos las demandas óptimas de los factores en la función de produc-ción:

L1/3K

2/3 = Y

(pY

3w

)1/3(2pY

3r

)2/3

= Y

Sacamos factor común:

Y1/3+2/3

( p

3w

)1/3(

2p

3r

)2/3

= Y

( p

3w

)1/3(

2p

3r

)2/3

= 0

¾Que problema hay? Cuando la empresa tiene redimientos constantes deescala la función de oferta no está bien de�nida. Esta empresa es indeferente encuanto a su nivel de producción.

15

(c).

1.

2.

Max{L,K}Π : pL3/4K

3/4 − wL− rK

las condiciones de primer orden son:

∂Π

∂L= 0→ p − 3

4L

−1/4K3/4 = w

∂Π

∂K= 0→ p − 3

4L

3/4K−1/4 = r

Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K:

16

p3

4L

−1/4L︸ ︷︷ ︸L3/4

K3/4 = wL

p3

4L

3/4K−1/4K︸ ︷︷ ︸K3/4

= rK

Suponiendo que Y = L3/4K3/4 reformulamos estas expresiones:

p3

4Y = wL

p3

4Y = rK

Despejamos L y K para encontrar las demandas óptimas de los factores:

L =3

4

pY

w

K =3

4

pY

r

Introducimos las demandas óptimas de los factores en la función de produc-ción:

L3/4K

3/4 = Y

(3

4

pY

w

)3/4(3

4

pY

r

)3/4

= Y

Y3/4+3/4

(3

4

p

w

)3/4(3

4

p

r

)3/4

= Y

Y −1/2 =

(3

4

p

w

)3/4(3

4

p

r

)3/4

Y1/2 =

(3

4

p

w

)−3/4(3

4

p

r

)−3/4

Y (w, r, p) =

(3

4

p

w

)−3/2(3

4

p

r

)−3/2

=(w r)

3/2(34 p)3

17

3.

Min{L,K}CT : wL+ rK

s.a. L3/4K

3/4 = Y

Usaremos el método lagrangiano:

L(L,K, λ) = wL+ rK − λ(L3/4K

3/4 − Y )

Las tres condiciones de primer orden son:∂L∂L = 0 → w − 3

4λL−1/4K3/4 = 0

∂L∂K = 0 → r − 3

4λL3/4K−1/4 = 0

∂L∂λ = 0 → L3/4K3/4 − Y = 0

Multiplicando la primera ecuación por L y la segunda por K:

wL =3

4λL−

1/4L︸ ︷︷ ︸L3/4

K3/4

︸ ︷︷ ︸Y

=3

4λY

rK =3

4λL

3/4K−1/4K︸ ︷︷ ︸

K3/4︸ ︷︷ ︸Y

=3

4λY

Entonces:

L = λ3

4

Y

w

K = λ3

4

Y

r

Sustituimos en la tercera ecuación para despejar λ:(λ

3Y

4w

)3/4(λ

3Y

4r

)3/4

= Y

λ3/2

(3

4

)3/2

Y3/2w−

3/4r−3/4 = Y

λ3/2 =

(3

4

)−3/2

Y −1/2w

3/4r3/4

18

λ =

(3

4

)−1Y −

1/3w1/2r

1/2

Sustituyo λ en L y K :

L(w, r, Y ) =

(3

4

)−1Y −

1/3w1/2r

1/2 3

4

Y

w= Y

2/3w−1/2r

1/2

K(w, r, Y ) =

(3

4

)−1Y −

1/3w1/2r

1/2 3

4

Y

r= Y

2/3w1/2r−

1/2

La función de costes a largo plazo será:

CTlp = w L(w, r, Y ) + r K(w, r, Y )

= w Y2/3w−

1/2r1/2 + r Y

2/3w1/2r−

1/2 = 2Y2/3w

1/2r1/2

4.

Función de oferta:

Max{L,K}Π : p Y − 2Y2/3w

1/2r1/2︸ ︷︷ ︸

CT

c.p.o =∂Π

∂Y= 0

p =4

3Y

−1/3w1/2r

1/2

Y1/3 =

4

3w

1/2r1/2p−1

Y (w, r, p) =(w r)

3/2(34 p)3

Es la misma función de oferta que la que encontramos en el apartado 1.

19

5.

Nos esta hablando de la elasticidad:

εCTlp,w =12 2Y 2/3w−1/2r1/2w

2Y 2/3w1/2r1/2=

1

2

Si el salario w aumenta en 1 % el coste a largo plazo de producir Y unidadesse incrementa en 1/2%.

6.

A corto plazo el capital es �jo:

MinCT = wL+ rK

s.a. L3/4K

3/4= Y

Aislamos L en la restricción:

L = K−1Y

4/3

la substituimos en la función objetivo para encontrar la función de coste acorto plazo:

CTcp(w, r, Y ) = wK−1Y

4/3 + rK

7.

CTcp(1, 1, Y ) = CTlp(1, 1, Y )

Y4/3 + 1 = 2Y

2/3

Y4/3 − 2Y

2/3 + 1 = 0

Tenemos una ecuación de segundo grado:

Y ∗ =2±

√4− 4(1)(1)

2= 1

20

(d)

1.

2.

La empresa tiene rendimientos constantes de escala.

21

(e)

1.

2.

La empresa tiene rendimientos constantes de escala.

8.5

Max{L}Π : pL1/2K

1/2 − wL− rK

c.p.o :∂Π

∂L= 0

1/2 pL−1/2K

1/2 − w = 0

22

L−1/2 =

2w

pK1/2

L1/2 =

pK1/2

2w

L(w, p) =p2K

(2w)2

Función de oferta:

Y (w, p) =

(p2K

(2w)2

)1/2 (K)1/2

=pK

1/2K

1/2

2w=pK

2w

• ¾Cómo afecta un cambio en el precio del factor trabajo w en la oferta ?

∂Y

∂w= −pK

2

p y K son positivos por lo tanto un aumento de w disminuye la producción.

• ¾Cómo afecta un cambio en el precio del producto p en la oferta ?

∂Y

∂p=

K

2w

w y K son positivos por lo tanto un aumento de p aumenta la producción.

8.6

Max{Y }Π : pY − Y 3 + 7Y 2 − 17Y − 66

c.p.o :∂Π

∂Y= 0

Entonces:

p− 3Y 2 + 14Y − 17 = 0

Reescribimos:

23

−3Y 2 + 14Y − (17− p) = 0

Tenemos una ecuación de segundo grado:

Y =−14±

√142 − 4(−3)(−17 + p)

2(−3)=

14 +√

12p− 8

6, para p ≥ 2/3

Grá�co:

8.7

1.

f(λL) = (λL)α = λαLα

Es una función homogénea de grado α.

2.

Y = Lα

24

L = Y1/α

CT = wY1/α

3.

CMg =1

αw Y

(1−α)/α

4.

CMe =wY 1/α

Y= wY

(1−α)/α

Sí es cierto.

8.8

1.

Min{L,K}2L+K

s.a. 27L2K = Y

Utilizamos el lagrangiano:

L(L,K, λ) = 2L+K − λ(27L2K − Y )

Condiciones de primer orden:

2− 2λ27LK = 0→ 27LK =1

λ

1− λ27L2 = 0→ 27L2 =1

λ

27L2K − Y = 0→ 27L2K = Y

Igualamos la primera y segunda ecuación:

27LK = 27L2

25

K = L

Sustituimos en la tercera ecuación:

27L2L = Y

L =

(Y

27

)1/3

K =

(Y

27

)1/3

Costes Totales:

CT = 2

(Y

27

)1/3

+

(Y

27

)1/3

= 3

(Y

27

)1/3

26

2.

CMe = 3

(1

27

)1/3

Y −2/3

CMg =

(1

27

)1/3

Y −2/3

3.

Min{L,K}2L+K

s.a. 27L2K = Y

Aislamos K en la restricción:

K =Y

27L2

27

y lo sustituimos en la función objetivo:

2L+Y

27L2

Derivamos con respecto a L e igualamos a zero:

2− 2Y

27L= 0

L =Y

27

Costes Totales:

CT =2

27Y + 1

4.

CMe =2

27+

1

Y

28

CMg =2

27

29