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Mercado de Capitales

Renta Fija – Parte 3

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Key Rate Durations

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La duración mide el riesgo de tasa de interés solamente ante cambios

paralelos de la curva de rendimientos

LIMITACIONES DE DURACION

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La curva de rendimientos no solo se traslada sino que cambia de acuerdo al

ciclos economico y las expectativas de tasas de interes y caracteristicas decada mercado

Duracion: movimientos no paralelos de curva

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KEY RATE DURATIONS

(DURACIONES PARCIALES)

•Mide riesgo de movimientos no paralelos de la curvade rendimientos

• Mide sensibilidad del bono/portafolio a un solo

sector de la curva de rendimientos manteniendo las

demás tasas constantes.

• Mide cambio aproximado en el valor de un bono

/portafolio en respuesta a cambio de 100pb en un

solo spot rate de la curva• La suma ponderada de Key rates del bono/portafolio

es equivalente a su Duracion efectiva

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bono de 5 años

Una duración clave para la tasa spot de 3 años es la derivada parcial

respecto de S(3)

Evaluado en S(3) = 5%

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Duraciones parciales

45.35 86.38 123.41 156.71

3917.63

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

1Yr 2Yr 3Yr 4Yr 5Yr

La suma de duraciones parciales asciende a $4329,la duración total del bono

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Cambios en curva de rendimientos

- 4%- 2%

0%+1%

+1%

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- 4%- 2%

0%+1%

+1%

+ + + +1 1 0 (-2) (-4)$.4535 $.8638 $.12341 $.15671 $39.18

El cambio de curva de rendimientos aumentaría el precio delTreasury a 5 años en $158

= $158

Cambios en curva de rendimientos

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Duraciones parciales del portafolio

• Escoger los puntos de curva donde se van amedir la sensibilidad de cambios en YTM (keyrates)

• Calcular participacion porcentual de cadabono en el portafolio de acuerdo a su valor demercado

•

Suma ponderada de key rates es la duracionefectiva

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Duraciones parciales del portafolio

Ejemplo

Cual es el efecto de incremento de 100pb en 2y, 150pb en10y, 80pb en 20y y una caída de 100pb en sector de25y?

Bono peso% D1 D2 D3 D4 Total

2 y 10% 2 0 0 0

10y 20% 0 10 0 0

20y 40% 0 0 20 025y 30% 0 0 0 25

Key rates 100% 0.20 2.00 8.00 7.50 17.70

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Duraciones parciales del portafolioEjemplo

-(+1%x0.2)=-0.2% decrease

-(+1.5%x2.0)=-3.0% decrease

-(+0.80%x8.0)=-6.4% decrease

-(-1%x7.5)=+7.5% increase

TOTAL: -2.1% decrease

Cual es el efecto de incremento de 100pb en 2y, 150pb en 10y 80pb en 20y ycaida de 100pb en sector de 25y?

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Usos de las duraciones parciales

• Implementación de estrategias oposicionamiento en curva

• Mejor medición de riesgos de tipos de interés:

• La sensibilidad de dos bonos con similar duración

efectiva no es la misma.

Diferencias KRD entre el Portafolio Real versus el Portafolio Sombra

-1.00

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

3m 6m 1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y 8y 9y 10y

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Valorización por arbitraje

• Encontrar dos cosas que son básicamente lo

mismo, vender el mas caro comprar el mas

barato.

• Arbitraje:

– Cero inversión hoy

– Flujo positivo en algún momento del tiempo

(futuro) y estado del mundo

– Sin flujo de caja negativo en el futuro

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Relación entre los “zeros” y las tasas

de interes

• La función de descuento da el precio que uno

debe pagar para recibir un dólar en varias

fechas en el futuro.

• Considere un zero con valor nominal 1 y

vencimiento en T años:

dt = 1/(1+rt )T

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Valorización usando ceros

• Considere la siguiente estructura de pagos:

• Pensemos una alternativa sintética10 20 30 40 50

1 2 3 4 5

Año CF Replicación

1 10 10 zeros de 1 año

2 20 20 zeros de 2 años3 30 30 zeros de 3 año

4 40 40 zeros de 4 años

5 50 50 zeros de 5 año

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Valorizando usando ceros

• Considere un bono de dos años, con cash

flows de K1, k2 y valor de mercado que excede

su valor sintético.

Valor de mercado >d1k1+d2k2

La estrategia de arbitraje consiste en vender el

caro y comprar el barato:

Comprar K1 y k2 de ceros respectivamente y

vender una unidad de bono de 2 años.

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Proceso general para crear bonos

sintéticos

hoy año 1 año 2 año3

Bono 1 p1 k11 k12 k13

Bono 2 p2 k21 k22 k23

Bono 3 p3 k31 k32 k33

Que? P? w1 w2 w3

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Modelos de tasa de interés

• Características de un buen modelo de estructurade plazos:

• La meta es desarrollar una metodología que

provea una descripción de como evolucionaría laestructura de plazos a través del tiempo

• Esta descripción es deseable si:

– Captura importantes hechos estilizados acerca de la

estructura de plazos – No implica la presencia de ganancia por arbitraje

– Es computacionalmente manejable

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Problemas con la construcción de

árboles para Precios de Bonos

• La distribución de precios futuros para un

bono no puede verse como el de una acción

– El valor de un bono libre de riesgo al vencimiento

es conocida con certeza

– También existen restricciones en cuan alto puede

ir un bono

• Los bonos de largo plazo al día de hoy sevolverán bonos de corto plazo en el futuro.

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¿Qué tasa de interés modelar?

• Enfocarse en la tasa de interés de mas corto plazotal como la tasa overnight

• Considere la tasa de interés de composicióncontinua para un bono que vence en t+h:

• Teóricamente, la tasa con el menor vencimiento,

denotado porṙ

es la tasa de un bono con uninstante antes de su vencimiento, es decir elintercepto en la curva de rendimiento

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Estructura de árbol binomial para el

modelo de Vasicek

Paso

Paso

Paso

Paso

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Parametros del modelo

• Especificos del problema – T Vencimiento – Horizonte de planeamiento

– H tiempo – paso

• Tasa de corto plazo actual –

t ṙ t+h

• Específico de la dataμ media de largo plazo

σ volatilidad

Φ reversión a la mediaΦ = 1 no hay reversión

φ = 0 completa reversión a la media

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Paso Vasicek y probabilidades

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Propiedades de las probabilidades de

Vasicek

• La probabilidad q es estocástica y cambia cada

vez que la tasa de corto plazo cambia

• Cuando h0, q0.5

• Si u>r entonces q>0.5

• Si u<r entonces q<0.5

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Ilustración numérica• T = 0.5 años, h = 0.25 y

0ṙ = 8%, μ = 5%, σ = 6%, φ =

0.7

• Paso =Paso

Probabilidad de una subida cuando las tasas están en 8%:

Probabilidad de una subida cuando las tasas están en 10.53%:

Probabilidad de una subida cuando las tasas están en 5.47%:

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Predicción trimestral sobre 6 meses

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Formación de la estructura de plazos

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Estructura temporal bajo LEH

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Se necesita valorizar el cero de 2 años, bajo LEH:

Con la evolución de las tasas de C.P:

En T = 0:

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Bajo la misma lógica, podemos determinar los posibles precios de

un cero de 2 años en 1 año via LEH:

En el escenario de subida para un año:

En el escenario de bajada para un año:

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Dado los precios de un cero de 2 años, calculamos:

Entonces:

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Como ya conocemos los precios de un cero de 2 años en el año 1,

podemos calcular el precio de un cero de 3 años en el año 0 via LEH

como:

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Para recordar, ya tenemos:

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Incorporando la prima temporal

• - El LEH asume que los tenedores de bonos noreciben ninguna recompensa por encima de latasa libre de riesgo

• Cuando un inversionista considera mantenerun bono de dos años en vez de uno, podríarequerir una prima por tiempo o por liquidez.

• Para un periodo de tenencia h, el precio de unbono en tiempo t que incorpora esta prima odenominado fudge factor es:

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•En términos de retornos de bonos, el modelo deVasicek asume que la prima temporal es proporcionalal riesgo extra (medida por la desviación estandar)

• Quiere decir, que el modelo de Vasicek asume elexceso de retorno esperado por unidad de riesgo esuna constante λ para todos los bonos:

(Retorno esperado en el bono 1) – (tasa de corto plazo) =

Desviación estándar del retorno en el bono 1(Retorno esperado en el bono n) – (tasa de corto plazo)

Desviación estándar del retorno en el bono n

Incorporando la prima temporal

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Vasicek Fudge Factors

• Para mantener el exceso de retorno esperado

por unidad de riesgo constante, necesitamos

calcular un fudge factor

• El fudge factor o la penalidad de riesgo, con

vencimiento de 2h en el modelo de Vacisek es

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Una ilustración

• Regresando a la estructura de plazos calculada

en las páginas 5 – 12 e incorpore la prima

temporal para vencimientos mayores a un

año, siendo λ = 1/3:

• El precio en t=0 de un bono de 2 años es

ahora:

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Estructura temporal con prima

• De manera similar usamos un fudge factor de

0.0081 para el escenario de subidas y un

fudge factor de 0.0085 para el escenario de

bajada:

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• Entonces, encontramos que:

Estructura temporal con prima

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Introducción a estrategias dinámicas

• Recordemos:

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Valorizando una call en un bono

• Dado el siguiente árbol de precios en t = 1

año, valorice una opción call en un bono cero

de 2 años con precio de ejercicio en X = 0.94Cero de 1 año Cero de 2 años

(Bono subyacente)Opción CallCon X = 0.94

Año 1 Año 2 Año 2 Año 2Año 1 Año 1

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Valorizando una call en un bono

Encontremos N1, N2 tal que:

Por no arbitraje, el costo del portafolio de réplica es:

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Valorizando una opción call

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Año 0 Año 1 Año 2

Ilustración previa, año 1

Valorizando una opción call

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Para determinar el valor de la call en el año 0, F, busque una

estrategia de réplica tal que

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Documents

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