Eötvös Loránd TudományegyetemMatematikai Intézet

A doktori értekezés tézisei

Measure and Category in Real Analysis(Mérték és kategória a valós analízisben)

Balka Richárd

Doktori Iskola: MatematikaIskolavezető: Laczkovich Miklós

Egyetemi tanár, a Magyar Tudományos Akadémia tagja

Doktori Program: Elméleti MatematikaProgramvezető: Szűcs András

Egyetemi tanár, a Magyar Tudományos Akadémia levelező tagja

Témavezető: Elekes MártonTudományos főmunkatárs, Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet

Eötvös Loránd Tudományegyetem Analízis Tanszék,Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet és

Eszterházy Károly Főiskola

2011

1. Előszó

Az értekezés három valós függvénytani problémát tárgyal, a mérték és kategória fogal-ma mindháromnál fontos szerepet játszik. A problémákhoz kapcsolódó definíciókat éseredményeket három szakaszban foglaljuk össze.

A 2. Szakasz eredményei Buczolich Zoltánnal és Elekes Mártonnal, a 4. Szakaszeredményei Elekes Mártonnal közösek.

2. A topologikus Hausdorff dimenzió

Bevezetünk egy új dimenzió fogalmat metrikus terek esetén, az úgynevezett topologikusHausdorff dimenziót. Megvizsgáljuk a fogalom tulajdonságait, és összevetjük más, ismertdimenzió fogalmakkal. Meghatározzuk a dimenzió értékét néhány klasszikus fraktál ese-tén. Első alkalmazásként általánosítjuk Chayes, Chayes és Durrett nevezetes eredményéta Mandelbrot fraktál perkoláció összefüggőségének fázisátmenetéről. Második alkalma-zásként megmutatjuk, hogy a topologikus Hausdorff dimenzió pontosan leírja a kompaktmetrikus téren értelmezett tipikus folytonos függvény (Baire kategória értelemben) szint-halmazainak Hausdorff-dimenzióját. Sokféle módszert alkalmazunk, központi szerepetjátszik a Baire kategória elmélet, és megjelennek véletlen fraktálok is.

Emlékeztetünk a (kis induktív) topologikus dimenzió fogalmára:

Definíció. Legyen dimt ∅ = −1. A nemüres X metrikus tér topologikus dimenzióját akövetkezőképpen definiáljuk indukcióval :

dimt X = inf{d : X-nek van olyan U bázisa, hogy minden U ∈ U -ra dimt ∂U ≤ d− 1}.

A topologikus Hausdorff dimenziót hasonlóan definiáljuk, azonban a topologikus di-menzióval ellentétben felvehet nem egész értékeket is, és a definíció nem lesz induktív.Az X metrikus tér Hausdorff-dimenzióját dimH X jelöli, ahol dimH ∅ = −1.

Definíció. Legyen dimtH ∅ = −1. A nemüres X metrikus tér topologikus Hausdorffdimenziója legyen

dimtH X = inf{d : X-nek van olyan U bázisa, h. minden U ∈ U -ra dimH ∂U ≤ d− 1}.

1

2.1. Eredmények

2.1.1. A topologikus Hausdorff dimenzió alaptulajdonságai

2.1. Tény. dimtH X = 0⇐⇒ dimt X = 0.

A topologikus Hausdorff dimenzió értéke mindig a topologikus és a Hausdorff-dimen-zió között van, így nem-triviális alsó becslése a Hausdorff-dimenziónak.

2.4. Tétel. Minden X metrikus térre

dimt X ≤ dimtH X ≤ dimH X.

A topologikus Hausdorff dimenzió kiterjeszti a klasszikus dimenzió fogalmat, és tel-jesíti a következő, dimenziótól elvárt tulajdonságokat.

2.6. Tény (Monotonitás). Ha X ⊆ Y metrikus terek, akkor dimtH X ≤ dimtH Y .

2.8. Következmény (Bi-Lipschitz invariancia). Ha X, Y metrikus terek és f : X → Y

bi-Lipschitz leképezés, akkor dimtH X = dimtH Y .

2.16. Tétel (Megszámlálható stabilitás zárt halmazokra). Legyen X szeparábilis met-rikus tér és X = ⋃

n∈N Xn, ahol Xn (n ∈ N) zárt részhalmaza X-nek. Ekkor dimtH X == supn∈N dimtH Xn.

A következő tétel olyan metrikus terekre ad példát, melyeknek a topologikus Haus-dorff és a Hausdorff-dimenziója megegyezik.

2.19. Tétel (Szorzat). Legyen X nemüres szeparábilis metrikus tér. Ekkor

dimtH (X × [0,1]) = dimH (X × [0,1]) = dimH X + 1.

A 2.23. Tételben leírjuk az összes lehetséges (dimt X, dimtH X, dimH X) hármast,ami maga után vonja a következőt.

2.24. Következmény. dimtH X nem függvénye dimt X-nek és dimH X-nek, még kom-pakt metrikus terek esetén sem.

2.1.2. A topologikus Hausdorff dimenzió kiszámítása

Kiszámoljuk a topologikus Hausdorff dimenziót több klasszikus fraktál esetén.

2.25. Tétel. Ha S jelöli a Sierpiński-háromszöget, akkor dimtH(S) = 1.

2

2.26. Tény. Ha K homeomorf a [0,1] intervallummal, akkor dimtH K = 1.

2.27. Következmény. Ha K jelöli a von Koch görbét, akkor dimtH K = 1.

2.28. Tétel. Ha T jelöli a Sierpiński-szőnyeget, akkor dimtH(T ) = log 6log 3 .

Kakeya-halmazok lehetséges dimenzióját is vizsgáljuk, az alábbi tétel szerint a topo-logikus Hausdorff dimenzió nem segít a Kakeya-sejtés megoldásában.

2.30. Tétel. Minden d ∈ N+ esetén létezik olyan K ⊆ Rd Kakeya-halmaz, melynektopologikus Hausdorff dimenziója 1.

Megmutatjuk, hogy a d-dimenziós Brown-mozgás pályájának topologikus Hausdorffdimenziója egy valószínűséggel 1 minden dimenzióban, eltekintve esetleg a d = 2 ésd = 3 esetektől. A fejezet legfontosabb nyitott problémája tehát a következő:

2.32. Probléma. Legyen d = 2 vagy 3. Határozzuk meg a Brown-mozgás pályájánaktopologikus Hausdorff dimenzióját egy valószínűséggel !

2.1.3. Első alkalmazás: A Mandelbrot fraktál perkoláció

Általánosítjuk Chayes, Chayes és Durrett nevezetes eredményét a Mandelbrot fraktálperkoláció összefüggőségének fázisátmenetéről. Az M = M (p,n) Mandelbrot fraktál per-koláció egy véletlen Cantor-halmaz, amit a következőképpen konstruálunk. Felosztjukaz egységnégyzetet n × n egybevágó négyzetre, és mindegyiket egymástól függetlenülp valószínűséggel kiválasztjuk. Ezt az eljárást iteráljuk a kiválasztott négyzetekre, vé-gül azok a pontok alkotják a Mandelbrot fraktál perkolációt, melyeket minden lépésbentartalmaz egy kiválasztott négyzet.

Tétel (Chayes-Chayes-Durrett, [4]). Létezik egy kritikus pc = p(n)c ∈ (0,1) valószínűség,

hogy p < pc esetén M egy valószínűséggel teljesen összefüggéstelen, és p > pc esetén Mpozitív valószínűséggel tartalmaz nemtriviális összefüggőségi komponenst.

Könnyen látható, hogy e tétel speciális esete a következő eredményünknek. A fen-ti tétel lényegében azt állítja, hogy egy kritikus valószínűségnél megjelennek a görbéka perkolációban. A következő tétel bizonyításából az derül ki, hogy (a megfelelő kriti-kus valószínűségnél) görbék egész családja is megjelenik, vagyis a Mandelbrot fraktálperkoláció tartalmazza C × [0,1] „Lipschitz-képét”, ahol dimH C > d− 1.

2.34. Tétel. Minden d ∈ [0,2) esetén létezik p(d)c = p(d,n)

c ∈ (0,1) kritikus valószínűség,hogy p < p(d)

c esetén dimtH M ≤ d egy valószínűséggel, és p > p(d)c esetén dimtH M > d

egy valószínűséggel (feltéve, hogy M 6= ∅).

3

Numerikus felső becslést is adunk dimtH M -re:

2.49. Tétel. Ha p > 1√n, akkor egy valószínűséggel

dimtH M ≤ 2 + 2 log plog n.

2.50. Következmény. Egy valószínűséggel

dimtH M < dimH M, vagy M = ∅.

2.1.4. Második alkalmazás: Tipikus folytonos függvény szinthalmazainakHausdorff-dimenziója

B. Kirchheim [6] igazolta, hogy a [0,1]d-n értelmezett tipikus folytonos f függvényre (Ba-ire kategória értelemben) teljesül, hogy minden y ∈ int f

([0,1]d

)esetén dimH f

−1(y) == d− 1. Más szóval a „legtöbb” szinthalmaz Hausdorff-dimenziója d− 1.

Ha dimt K = 0, akkor a tipikus f ∈ C(K) injektív, azaz minden nemüres szinthal-mazának Hausdorff-dimenziója 0.

Ha dimt K > 0, akkor a következő tétel bizonyos értelemben általánosítja Kirchheimeredményét [0,1]d helyett tetszőleges kompakt metrikus térre.

2.71. Tétel. Ha K kompakt metrikus tér és dimt K > 0, akkor tipikus f ∈ C(K) esetén

(i) dimH f−1(y) ≤ dimtH K − 1 minden y ∈ R-re,

(ii) minden ε > 0 esetén létezik nemelfajuló If,ε intervallum, hogy dimH f−1(y) ≥

≥ dimtH K − 1− ε teljesül minden y ∈ If,ε-ra.

A fenti tétel a következőt vonja maga után.

2.72. Következmény. Ha K kompakt metrikus tér és dimt K > 0, akkor tipikus f ∈∈ C(K) esetén sup{dimH f

−1(y) : y ∈ R} = dimtH K − 1.

Ha K elegendően homogén, például önhasonló, akkor többet is mondhatunk. JelöljeB(x, r) az x középpontú r sugarú zárt gömböt.

2.73. Tétel. Legyen K olyan kompakt metrikus tér, hogy dimt K > 0 és dimtH B(x, r) == dimtH K minden x ∈ K és r > 0 esetén. Ekkor tipikus f ∈ C(K) esetén tipikusy ∈ f(K)-ra

dimH f−1(y) = dimtH K − 1.

4

A bizonyítások során több ekvivalens definíciót is kapunk dimtH K-ra, talán az alábbia legérdekesebb.

2.64. Következmény. Ha K kompakt metrikus tér, akkor dimtH K az a legkisebb dszám, melyre K lefedhető véges sok tetszőlegesen kis átmérőjű kompakt halmazzal úgy,hogy az egynél többször fedett pontok Hausdorff-dimenziója legfeljebb d− 1.

Belátható, hogy a tipikus f ∈ C(K) esetén teljesülő sup{dimH f−1(y) : y ∈ R} =

= dimtH K − 1 egyenlőségben a szuprémum felvevődik. Másrészről bizonyos értelembennem mondhatunk többet, létezik olyan K, hogy tipikus f ∈ C(K)-hoz pontosan egyolyan y ∈ R létezik, melyre dimH f

−1(y) = dimtH K−1. Ugyanakkor önhasonló metrikusterek esetén a „tipikus y ∈ f(K)” helyettesíthető „minden y ∈ int f(K)”-val, Kirchheimtételéhez hasonlóan. E bekezdés eredményei nem szerepelnek az értekezésben, a [B3]cikkben találhatóak meg.

A fejezet eredményei a [B2] cikkből származnak.

3. Dualitás LCA lengyel csoportokon

E fejezetben a mérték és kategória közötti dualitással foglalkozunk. Legyen G egy lokáli-san kompakt kommutatív (LCA) lengyel csoport. LegyenekM és N az első kategóriájúés nullmértékű (a Haar-mértékre nézve) halmazok σ-ideáljai.

Definíció. Az F : G→ G bijekciót Erdős-Sierpiński leképezésnek hívjuk, ha

X ∈ N ⇔ F [X] ∈M és X ∈M⇔ F [X] ∈ N .

Tétel (Erdős–Sierpiński). A kontinuum hipotézis mellett létezik Erdős–Sierpiński leké-pezés R-en.

Ilyen leképezés létezése független ZFC-től. A fő kérdésünk a következő:Létezik-e konzisztensen additív Erdős–Sierpiński leképezés G-n, azaz olyan F , melyre

∀x, y ∈ G F (x+ y) = F (x) + F (y)?

A kérdés Ryll-Nardzewski-től származik a G = R esetben. Az eredeti kérdés extra moti-vációja az volt, hogy pozitív válasz esetén az úgynevezett erősen nullmértékű és erősenelső kategóriájú halmazok konzisztensen izomorf σ-ideált alkotnának. (A definíciók meg-találhatóak a [3] cikkben.)

5

Először T. Bartoszyński [1] adott negatív választ a kérdésre a G = 2ω esetben, majdBartoszyński ötletét tovább fejlesztve M. Kysiak [7] tisztázta a G = R esetet, mellyelmegválaszolta Ryll-Nardzewski kérdését.

3.1. Eredmények

Választ adunk az általános kérdésre, a fejezet célja a következő tétel igazolása.

3.1. Tétel. Nem megszámlálható lokálisan kompakt kommutatív lengyel csoporton nemlétezik additív Erdős–Sierpiński leképezés.

Carlson [3] után jelölje (ϕM) a következő állítást: Minden S ∈ M esetén létezikS ′ ∈M, hogy

∀x1, x2 ∈ G∃x ∈ G (S + x1) ∪ (S + x2) ⊆ S ′ + x.

Legyen (ϕN ) a duális állítás, melyetM és N felcserélésével kapunk.Ha létezik additív Erdős–Sierpiński leképezés, akkor (ϕM) és (ϕN ) ekvivalensek.

Egyrészt belátjuk, hogy LCA lengyel csoportokban teljesül (ϕM). Mivel az ismert bizo-nyítások csak a valós számokra működnek, ezért egy új, topologikus bizonyítást adunk.Másrészt igazoljuk, hogy (ϕN ) nem teljesül nem megszámlálható LCA lengyel csoportokesetén. Az [5] cikk stratégiáját alkalmazva három speciális csoportra vezetjük vissza aproblémát, miközben az LCA csoportok struktúratételeit használjuk. A fejezet végénmindhárom csoportra igazoljuk a tételt, a bizonyítás alapja Kysiak [7] cikke.

A fejezet eredményei megtalálhatóak a [B1] cikkben.

4. A merev függvények struktúrája

Egyszerű számolás mutatja, hogy az f(x) = ex exponenciális függvény rendelkezik azzala „paradox” tulajdonsággal, hogy cf(x) az f(x) eltoltja minden c > 0 esetén. Könnyenlátható, hogy az a+ bekx alakú függvények is bírnak e tulajdonsággal. Ez az összefüggésa függvényegyenletek irányából megközelítve is érdekes lehet. Cain, Clark és Rose [2]bevezették a függőlegesen merev függvény fogalmát, melyet most a többváltozós esetbenis megfogalmazunk.

Definíció. Az f : Rd → R függvényt függőlegesen merevnek hívjuk, ha graph(cf) ésgraph(f) egybevágóak minden c ∈ (0,∞) esetén. (Természetesen c ∈ R\{0} is ugyaneztadja.)

6

Az a+bx alakú függvények szintén függőlegesen merevek, és D. Janković azt sejtette(lásd [2]), hogy folytonos függvények esetén a megfordítás is igaz.

Sejtés (D. Janković). A folytonos f : R→ R függvény akkor és csak akkor függőlegesenmerev, ha a+ bx vagy a+ bekx (a, b, k ∈ R) alakú.

Cain, Clark és Rose [2] a következőt kérdezték:

1. Kérdés (Cain, Clark és Rose). Igaz-e, hogy minden függőlegesen merev f : R → Rfüggvény a+ bx vagy a+ beg alakú, ahol a, b ∈ R és g additív függvény?

Janković sejtése karakterizálja az egyváltozós függőlegesen merev folytonos függvé-nyeket, ezért természetes a következő kérdés.

2. Kérdés. Mik a folytonos függőlegesen merev függvények több változó esetén?

Cain, Clark és Rose [2] vezették be a következő definíciót:

Definíció. Az f : Rd → R függvényt vízszintesen merevnek nevezzük, ha graph (f (c~x))és graph (f (~x)) egybevágóak minden c ∈ (0,∞) esetén.

3. Kérdés. Igaz-e, hogy minden folytonos vízszintesen merev f : R→ R függvény a+bx

alakú?

4.1. Eredmények

A fő eredményünk a folytonos függőlegesen merev függvények karakterizációja az egy-és kétváltozós esetben. Először az egyváltozós esetet tárgyaljuk. Szükségünk lesz a kö-vetkező technikai definícióra.

Definíció. Legyen C ⊆ (0,∞) és G az Rd+1 egybevágóságainak egy részhalmaza. Aztmondjuk, hogy f függőlegesen merev a C halmazra G által, ha minden c ∈ C eseténlétezik ϕ ∈ G, hogy ϕ (graph(f)) = graph(cf). (Ha nem említjük a C vagy a G halmazt,akkor C = (0,∞) és G az összes egybevágóság halmaza.)

Bebizonyítjuk Janković sejtését, ráadásul csak annyit használunk, hogy f folytonosés függőlegesen merev egy nem megszámlálható C halmazra.

4.4. Tétel (Janković sejtésének bizonyítása). A folytonos f : R→ R függvény akkor éscsak akkor függőlegesen merev, ha a+ bx vagy a+ bekx (a, b, k ∈ R) alakú.

7

Az f függvényre legyen Sf az f grafikonjának pontpárjai által meghatározott irányokhalmaza, azaz

Sf ={p− q|p− q|

: p, q ∈ graph(f), p 6= q

}.

A 4.4. Tétel bizonyítása azon a megfigyelésen alapul, hogy ha f függőlegesen merev,akkor az Scf (c > 0) halmazok egybevágóak. Visszavezetjük a problémát arra az esetre,hogy az egybevágóságok eltolások, végül algebrai módszerek segítségével oldjuk meg afelmerülő függvényegyenleteket.

Ha az egybevágóságok eltolások, akkor a következő, erősebb tételeket is igazoljuk.

4.11. Tétel. Legyen f : R → R függőlegesen merev függvény a nem megszámlálhatóC ⊆ (0,∞) halmazra eltolásokkal. Ha f legalább egy pontban folytonos, akkor a + bekx

(a, b, k ∈ R) alakú. Ha f függőlegesen merev eltolásokkal (azaz C = (0,∞)) és korlátosegy nemelfajuló intervallumon, akkor szintén a+ bekx (a, b, k ∈ R) alakú.

Megmutatjuk, hogy Janković sejtése nem teljesül Borel-mérhető függvények esetén.Az ellenpéldánk tagadó választ ad az 1. Kérdésre.

4.14. Tétel. Létezik olyan Borel-mérhető függőlegesen merev (vízszintes eltolásokkal)f : R→ [0,∞) függvény, mely nem a+ bx vagy a+ beg alakú, ahol a, b ∈ R és g additívfüggvény.

A 4.14. Tétel ellenpéldája majdnem mindenütt (reziduális halmazon) nulla, így lehet-séges, hogy teljesül Janković sejtésének a következő variánsa: Minden Lebesgue (Baire)mérhető függőlegesen merev függvény a + bx vagy a + bekx alakú majdnem mindenhol(reziduális halmazon). Eltolások esetén igazoljuk az előző állítást.

4.15. Tétel. Az f : R → R függvény legyen függőlegesen merev a nem megszámlálhatóC ⊆ (0,∞) halmazra eltolásokkal. Ha f Lebesgue (Baire) mérhető, akkor a + bekx

(a, b, k ∈ R) alakú majdnem mindenhol (reziduális halmazon).

Igazoljuk, hogy sok esetben e kivételes halmazok eltávolíthatók. Ehhez geometriaimértékelméletet (Baire kategória elméletet) használunk.

4.16. Tétel. Ha az f : R → R függvény függőlegesen merev és a + bx (b 6= 0) vagya + bekx (bk 6= 0) alakú majdnem mindenütt (reziduális halmazon), akkor mindenholilyen alakú.

Ha f : R→ R függőlegesen merev, akkor Sf merev az alábbi definíciónak megfelelően.

8

Definíció. Minden c > 0 esetén legyen ψc : S1 → S1 a c-vel való szorzásból adódókövetkező leképezés:

ψc((x, y)) = (x, cy)|(x, cy)| ((x, y) ∈ S1).

Az origóra szimmetrikus H ⊆ S1 halmazt merevnek nevezzük a C ⊆ (0,∞) halmazranézve, ha minden c ∈ C esetén ψc(H) és H egybevágóak.

Ha f Borel, akkor Sf analitikus, tehát rendelkezik a Baire-tulajdonsággal. Ezért akövetkező tétel tekinthető úgy, mint az első lépése a függőlegesen merev Borel-függvényekleírásának.

4.21. Tétel. Legyen H ⊆ S1 egy Baire-tulajdonságú halmaz, mely merev a nem meg-számlálható C halmazra. Ekkor a (0,±1) és (±1,0) pontok által meghatározott negyedekmindegyikében H első kategóriájú vagy reziduális.

Karakterizáljuk a kétváltozós folytonos függőlegesen merev függvényeket, amivelrészleges választ adunk a 2. Kérdésre.

4.22. Tétel. A folytonos f : R2 → R függvény akkor és csak akkor függőlegesen merev,ha a z-tengely körüli alkalmas forgatás után f(x, y) felírható a + bx + dy, a + s(y)ekx

vagy a+ bekx + dy (a, b, d, k ∈ R, k 6= 0, s : R→ R folytonos) alakban.

A bizonyítás hasonló ötleteken alapul mint a 4.4. Tétel bizonyítása, de a sok külön-böző eset kezelése és a technikai nehézségek sokkal komplikáltabbá teszik.

Eltolások esetén megválaszoljuk a 3. Kérdést.

4.38. Tétel. Az f : R→ R függvény akkor és csak akkor vízszintesen merev eltolásokkal,ha létezik olyan r ∈ R, hogy f konstans a (−∞, r) és (r,∞) intervallumokon.

Később C. Richter [8] megválaszolta a 3. Kérdést, megmutatta, hogy minden folyto-nos vízszintesen merev f : R→ R függvény affin. Elekes M. és az értekezés írója igazoltaa [B4] cikkben, hogy ez a kétváltozós esetben is igaz. Ha kettőnél több változó van, afolytonos függőlegesen merev függvények karakterizációjáról még sejtésünk sincs, és nemtudjuk eldönteni, hogy minden folytonos vízszintesen merev függvény affin-e.

A fejezet eredményei a [B6] és [B5] cikkekből származnak.

Az értekezés alapjául szolgáló közlemények

[B1] Balka R., Duality between measure and category in uncountable locally compactabelian Polish groups, Real Anal. Exchange, megjelenés alatt.

9

[B2] Balka R., Buczolich Z. és Elekes M., A new fractal dimension: The topologicalHausdorff dimension, közlésre benyújtva.

[B3] Balka R., Buczolich Z. és Elekes M., Topological Hausdorff dimension and level setsof generic continuous functions on fractals, közlésre benyújtva.

[B4] Balka R. és Elekes M., Continuous horizontally rigid functions of two variables areaffine, közlésre benyújtva.

[B5] Balka R. és Elekes M., The structure of continuous rigid functions of two variables,Real Anal. Exchange 35, no. 1 (2009), 139–156.

[B6] Balka R. és Elekes M., The structure of rigid functions, J. Math. Anal. Appl. 345,no. 2 (2008), 880–888.

Hivatkozások

[1] T. Bartoszyński, A note on duality between measure and category, Proc. Amer.Math. Soc. 128, no. 9 (2000), 2745–2748.

[2] B. Cain, J. Clark and D. Rose, Vertically rigid functions, Real Anal. Exchange 31,no. 2 (2005/2006), 515–518.

[3] T. J. Carlson, Strong measure zero and strongly meager sets, Proc. Amer. Math.Soc. 118, no. 2 (1993), 577–586.

[4] J. T. Chayes, L. Chayes and R. Durrett, Connectivity Properties of Mandelbrot’sPercolation Process, Probab. Th. Rel. Fields, 77 (1988), 307–324.

[5] M. Elekes and Á. Tóth, Covering locally compact groups by less than 2ω manytranslates of a compact nullset, Fund. Math. 197, (2007), 243–257.

[6] B. Kirchheim, Hausdorff measure and level sets of typical continuous mappings inEuclidean spaces, Trans. Amer. Math. Soc., 347 (1995), no. 5, 1763–1777.

[7] M. Kysiak, Another note on duality between measure and category, Bull. Pol. Acad.Sci. Math. 51, no. 3 (2003), 269–281.

[8] C. Richter, Continuous rigid functions, Real Anal. Exchange 35, no. 2 (2009), 343–354.

10