Measures Of Measures Of

Central TendencyCentral Tendency

المستخدمة * المقاييس وتسمى

مقاييس النزعة المركزية

ميل لها العامة الحياة فى ظاهرة كل

؛ معينة نقطة حول إذا للتجمع ثم ومن

سنصل فإننا النقطة هذه تحديد استطعنا

إلى

القيم . حولها تتجمع متوسطة التجمع* قيمة إلى الميل ذلك يسمى

القيمة هذه حول

بالنزعة المركزية

البيانات .• دقة على تؤثر ال سهلة بطريقة يحسب

لها .• المقياس حساب المطلوب المفردات جميع االعتبار فى يأخذ

العامة .• الحياة فى يستخدم مفهوم طبيعى معنى له يكون

حسابه .• طرق بتغير يتغير وال ، الظاهرة فى التغير يعكس

تاما .• خضوعا الجبرية للعمليات يخضع

المتطرفة .• او الشاذة بالقيم يتأثر ال

الواحد .• الحجم ذات العينات باختالف يتأثر ال

مقاييس النزعة المركزية Measures Of Central TendencyMeasures Of Central Tendency

مقاييس النزعة المركزية Measures Of Central TendencyMeasures Of Central Tendency

الحسابى الوسطArithmetic MeanArithmetic Mean

الحسابى الوسطArithmetic MeanArithmetic Mean

التوافقى الوسطHarmonic MeanHarmonic Mean

التوافقى الوسطHarmonic MeanHarmonic Mean

الهندسى الوسطGeometric MeanGeometric Mean

الهندسى الوسطGeometric MeanGeometric Mean

الوسيطMedianMedianالوسيطMedianMedian

المنوالModeMode

المنوالModeMode

االحصاء فى المستخدمة المقاييس أكثر من يعدبين للمقارنة يصلح و الفهم وسهل بسيط انه حيث

. المجموعات

Arithmetic MeanArithmetic Meanالوسط الحسابى

المبوبة :أوال غير البيانات حالة :-فىالمتغير قيم كانت حيث x1 , x2 , … , xn هـــى( x )إذا

(n ) حجم يمكن يمثل الحسابى الوسط فإن ؛ المجموعة

التالى النحو على عنه :-التعبير

n

xΣ== n

x+...+x+x n21x

للقيم مثال الحسابى الوسط ، 2احسب4 ،6 ،1

25.3=4

1+6+4+2=X يتأثر الحسابى الوسط

والجمع بالطرح

للقيم الحسابى فالوسط

X1+a ,X2+a ,… ,Xn+a-: يكونa+n

xΣ=x

مثالللقيم الحسابى الوسط احسب

3 5 7 2، ، ،1+25.3=25.4=

4

2+7+5+3=x يتأثر الحسابى الوسط

القسمة و بالضرب

للقيم الحسابى فالوسط

X1*b ,X2*b ,… ,Xn*b-: يكونb*

n

xΣ=x

مثالللقيم الحسابى الوسط احسب

6 10 14 4، ، ،2*25.4=5.8=

4

4+14+10+6=x

المبوبة :ثانيا البيانات حالة فى :-فى البيانات ألن ذلك ؛ جديد نوع من صعوبة تواجهنا هناتكون التكرارى التوزيع جدول

نظرا أجماال معروفة هى بل ، بالتفصيل معروفة غيرفئات . فى الختصارها

؛ الفئة مدى على عادال توزيعا موزعة فئة كل فى المفردات كل ان سنفترض لذلكالفئة مركز عند متجمعة تكون فئة كل فى المفردات اعتبرنا اذا كثيرا نخطئ لن اننا .اى

الحد = + للفئة األدنى الحد الفئة مركزللفئة األعلى

2

الحسابى الوسط يعرف ذلك وعلىنة بأ التكرارية للتوزيعات

بالتكرارات المرجح الحسابى .الوسط

الحسابى الوسط يعرف ذلك وعلىنة بأ التكرارية للتوزيعات

بالتكرارات المرجح الحسابى .الوسط

الفئات لمراكز الحسابى المناظرة X1, X2,… ,Xn الوسط بالتكرارات والمرجح

F1,F2,…,Fn يكون F

FX= Σ

Σxمثال

للعامل األسبوعى األجر يمثل التالى الجدولالخيمة :- شبرا بمنطقة محل مائتين فى بالجنية

للعامل المطلوب األسبوعى األجر متوسط حساب

بالجنية األسبوعي 55 35 - 25 - 15 - 5 - األجر المجموع 45 - المحالت 200 40 50 60 20 30 عدد

يمكن االستفادة من خصائص الوسط الحسابى يمكن االستفادة من خصائص الوسط الحسابى فى حل المثال بثالث طرق فى حل المثال بثالث طرق

لتحسين ســـــــــرعة الحسابلتحسين ســـــــــرعة الحساب

الطريقة المطولة

لفئات التكرارا)F(

- 530- 1520- 2560- 3550- 4540

SUM200

مراكزالفئات )X(

10 = 2/)5+15(20 = 2/)15+25(30 = 2/)25+35(40 = 2/)35+45(50 = 2/)45+55(

30*10=30020*20=40060*30=180050*40=200040*50=2000

6500

F*X

5.32=200

6500=

F

FX= Σ

ΣX

جنية32.5أى أن متوسط األجر األسبوعى للعامل هو

مقدار ) نطرحوهنا الطريقة المختصرة فرضيا وسطا مراكز ( من ثابتثم إضافته الفئات الوسط نعيد إلى حسابه بعد الحسابى

المعدلة ) الفئات مراكز ( .منوذلك للتغلب على الصعوبات فى الحساب عندماوذلك للتغلب على الصعوبات فى الحساب عندما

كسرية . كسرية .أوأو تكون مراكز الفئات أرقام كبيرة تكون مراكز الفئات أرقام كبيرة

لفئات مراكزالفئات التكرارا)F()X(

- 53010- 152020- 256030- 355040- 454050

SUM200

مراكزالفئاتالمعدلة )X1=X-30(

20-10-0

1020

30*-20=-60020*-10=-20060*0 =050*10 =50040*20 =800

500

F*X1

5.32=30+200

500=30+

F

1FX= Σ

ΣX

الطريقة األكثر اختصارا( نقسم وهنا على ) سابقا المعدلة الفئات مراكز

ثم ثابت ضربة مقدار الحسابى نعيد الوسط فىالنهائية ) الفئات مراكز من حسابه ) .بعد

لفئات مراكزالفئاتالمعدلة مراكزالفئات التكرارا)F()X()X1=X-30(

- 5301020-- 15202010-- 2560300- 35504010- 45405020

SUM200

اتالنهائية مراكزالفئ)X2=X1/10(

2-1-012

30*-2=-6020*-1=-2060*0 =050*1 =5040*2 =80

50

F*X2

5.32=30+10*200

50=30+10*

F

2FX= Σ

ΣX

منتظما عموماعموما التكرارى الجدول كان متساوية ) إذا الفئات )أطوالفئة اى أمام صفر وضع يمكن ،فأنةاالرقام الفئة ،...3،-2،-1- ووضع لهذه السابقة الفئات ، أمام

االرقام 1 ووضع لها ،…،2 التالية الفئات .أمام

مقياس أخر

Geometric MeanGeometric Meanالوسط الهندسى

المبوبة :أوال غير البيانات حالة :-فىالمتغير قيم كانت حيث x1 , x2 , … , xn هـــى( x )إذا

(n ) حجم يمكن يمثل الهندسى الوسط فإن ؛ المجموعة

التالى النحو على عنه :-التعبيرn

n21 x*...*x*x=G باالستعانة باللوغاريتمات

n

Log=Log

xΣG

الحسابى مثال الوسط و الهندسى الوسط احسب2للقيم 4 2 16، ، ،

4=256=16*2*4*2=G 44

4=

602.0=4

16Log+2Log+4Log+2Log=Log

G

G

6=4

24=

4

16+2+4+2=X الحظالحظ

أنأن

الوسط الحسابى دائما أكبر من

)لنفس البيانات الوسط الهندسى )

المبوبة :ثانيا البيانات حالة :-فى

الفئات لمراكز الهندسى المناظرة X1, X2,… ,Xn الوسط بالتكرارات والمرجح

F1,F2,…,Fn يكون

nnn2211 FX*...*FX*FX=G

F

)LogX(F=Log Σ

ΣG

الجدول مثال من الهندسى الوسط احسبالتالى :- التكرارى

لفئات -0 -ا 10- لمجموع30 - 2040 ا

583420التكرار

لفئات التكرارا)F(

- 05- 108- 203- 304

SUM20

مراكزالفئات )X(

5=2/)0+10(15=2/)10+20(25=2/)20+30(35=2/)30+40(

LogX0.6991.1761.3971.544

F*LogX3.4959.4084.1916.176

23.27

58.14=G

16.1=20

27.23=LogG

مقياس أخر

هو القيم من لمجموعه التوافقى الوسطالقيم هذه لمقلوبات الحسابى الوسط . مقلوب

Harmonic MeanHarmonic Meanالوسط التوافقى

المبوبة :أوال غير البيانات حالة :-فى

المتغير قيم كانت حيث x1 , x2 , … , xn هـــى( x )إذا

(n ) حجم يمكن يمثل التوافقى الوسط فإن ؛ المجموعة

التالى النحو على عنه :-التعبير

x1

=

nx1

+...+2

x1

+1

x1

=Σ

nnH

الوسط مثال و التوافقى الوسط احسبللقيم الحسابى الوسط و الهندسى

10 20 40 50، ، ،

15.25=400000=50*40*20*10=G 44

5.20=195.

4=

501

+401

+201

+101

4=H

30=4

120=

4

50+40+20+10=X

الحظالحظأنأن

من دائمادائما أكبر الحسابى الوسط

الوسط الهندسى أكبر من

)الوسط التوافقى )لنفس البياناتX<G<H

المبوبة :ثانيا البيانات حالة :-فى

الفئات لمراكز التوافقى المناظرة X1, X2,… ,Xn الوسط بالتكرارات والمرجح

F1,F2,…,Fn يكون

XFF

=ΣΣH

التعامل حالة فى التوافقى الوسط استخدام مع

معدالت السر عاتمعدالت السر عات أو األسعار القياسيةاألسعار القياسيةمعدالت التغيرمعدالت التغيرأو

يفضل

مثالالتالى الجدول من التوافقى الوسط احسب

عات لسر التكرارى التوزيع يوضح 100والذىمتسابق :-

hKm25.9=84.10

100=H مقياس أخر

لفئات التكرارا)F(

-2.520-7.550

-12.520-17.510

SUM100

مراكزالفئات )X(

5= 2/)2.5+7.5(10= 2/)7.5+12.5(15=2/)12.5+17.5(20=2/)17.5+22.5(

1/x0.20.10.0670.05

F*1/x45

1.340.5

10.84

/ عة سا ال سرعاتبالكيلومتر .2-ال 5-7. 5-12. 5-17. لمجموع5 ا

متسابقين 20502010100عددال

منتصف الوسيط الوسيط فى الموجودة القيمة هو ) تنازليا ) أو تصاعديا ترتيبها بعد . البيانات

MedianMedian الوسيطالمبوبة :أوال غير البيانات حالة :-فى

المتغير قيم كانت حيث x1 , x2 , … , xn هـــى( x )إذا

(n ) حجم فإن يمثل ؛ هو يكون الوسيطالمجموعة

رتبتها التى الترتيب ) المفردة ) بعدn + 1 = رتبة الوسيط

2

عدد القيم فردى

عدد القيم زوجى

رتبتان هماالوسيط له

n & n + 1 2 2

مثالللقيم الوسيط 112احسب 3 4 5 6، ، ، ، الترتيب

للقيم التصاعدى( ) ( ) ( ) ( ) ( )54321 112&6&5&4&3

[ ]

3=2

1+5=OrderMedian

odd5=nيتأثر لم الوسيط

الشاذة بالقيمة112

مثالللقيم الوسيط 1،-3 -احسب 3 6 7 8، ، ، ،

(-3)1& (-1)2& (3)3& (6)4& (7)5& (8)6

4&3=1+2

6&

2

6=OrdersMedian

]even[6=n

5=Median

5.4=2

6+3=Median

المبوبة :ثانيا البيانات حالة :-فى

يجب يجب الهابط أو الصاعد المتجمعين التكراريين الجدولين أحد من الوسيط حساب

مجموع المقابلة القيمةهو الوسيطالوسيط لنصف. التكرارات

2=رتبة الوسيط

FΣ لذلك لذلك

فى حالة الحساب من الجدول التكرارى *المتجمع الصاعد )بعد تكوينه(

الوسيط =الوسيط =

الوسيط + ) فئة طول الوسيط لفئة األدنى الوسيط - الحد رتبة

الوسيط لفئة السابق الصاعد المتجمع )التكرارالوسيط لفئة األصلى التكرار

مثالللعامل األسبوعى األجر يمثل التالى الجدول

الخيمة :- شبرا بمنطقة محل مائتين فى بالجنية

الوسيط .المطلوب باستخدام للعامل األسبوعى األجر متوسط حساب

ΔϴϨΠϟΎΑϲ ϋϮΒγ ϷήΟϷ5 - 15 - 25 - 35 - 45 - 55 ωϮϤΠϤϟΕϼΤϤϟΩΪϋ30 20 60 50 40 200

لفئات التكرارا)F(

5-153015-252025-356035-455045-5540

SUM200

يا العل الحدودلفئات ل

Less Than 15Less Than 25Less Than 35Less Than 45Less Than 55

المتجمع لتكرار اعد الصا

3050

110160200

رتبة الوسيط

100=2

200=

2

FΣ=

.E.L33.33=

)(10+25=

)(10+25=Median

6050

6050_100

حنىالمتجمعالصاعد من ال

0

50

100

150

200

250

Less Than 15 Less Than 25 Less Than 35 Less Than 45 Less Than 55

Median

33.33

البيانات التى تكثر بها القيم الشاذة . •

الجداول التكرارية المفتوحة من أحد طرفيها أو من •

كليهما .

التوزيعات التكرارية غير المتساوية فى طول الفئات . •

يفضاستخدام الوسيط فى حالة التعامل استخدام الوسيط فى حالة التعامل ل

معمع

مقياس أخر

شيوعا المنوال المنوال األكثر القيمة هو. البيانات بين

ModeMode المنوالالمبوبة :أوال غير البيانات حالة :-فى

للقيم مثال المنوال 2 احسب 3 4 2 11 2، ، ، ، ،أكثر القيم تكرارا هى

2القيمة 2=Mode

المنوالالمنوالالشاذة بالقيم تأثر المركزية النزعة مقاييس أقل

ال يمكن اعتبار مقياساالمنوال

للنزعة المركزية

إن لم يكن هناك قيم •مكررة .

إن كان هناك أكثر من قيمة لها •نفس الشيوع .

3مثال 4 5 6 7، ، ، ،

2مثال 3 2 5 3 4، ، ، ، ،

المبوبة :ثانيا البيانات حالة :-فىالقيمة المنوال المنوال هو

تكرار؛ ألكبر تكرار المقابلة أكبر لها التى للفئة تنتمى والتىالمنوالية) )الفئة فأن ذلك فى المنوالالمنوال وعلى يقع

تأثير تحت المنوالية الفئةللفئة الالحقو السابقالتكراريين

يحدد المنوال باستخدام قانون الرافعة : .المنواليةذراعها = x القوة

ذراعها x المقاومة

مثالللعامل األسبوعى األجر يمثل التالى الجدول

الخيمة :- شبرا بمنطقة محل مائتين فى بالجنية

للعامل .المطلوب األسبوعى األجر منوال حساب

ΔϴϨΠϟΎΑϲ ϋϮΒγ ϷήΟϷ5 - 15 - 25 - 35 - 45 - 55 ωϮϤΠϤϟΕϼΤϤϟΩΪϋ30 20 60 50 40 200

الفئة المنوالية = 25-35

لها أكبر تكرار(60(

2التكرار 0

السابق

المنوال

25

5التكرار 0

الالحق

35

بداية الفئة المنوالية

نهاية الفئة المنوالية

- 10سس

)س_10(50=)س(20

=س70

500=14.7

= 7.14 + 25المنوال = جنية32.4

المنوال تحديد بيانيابيانيايمكن

التكرارى المدرج رسم من

المدرجالتكرارى

010203040506070

15-15 15-25 25-35 35-45 45-55

32.14

Mode

مقياس أخر