س = ) كانتأ س ( = )1،ص 1إذا ب ، ( 2،ص 2، أ النقطتين بين البعد فإن

العالقة من يتعين بس = ) ب مربع= + 2 (1ص – 2ص + ) 2 (1س – 2أ السينات فرق مربع

الصادات فرق**************************************************************

أ = ) كانت ب ( = ) 2، 1إذا ب ( 6، 4، ، أ بين البعد أوجد

ب = ) وحدات 5 = 25 = 16 +9 = 2(4 + )2(3 = )2 (2 – 6 + ) 2 (1 – 4أ**************************************************************

أ = ) - كانت ب ( = ) 2، 1إذا ب ( 6، 4، ، أ بين البعد أوجد85

الهندسة

الثالث للصفاإلعدادى

بين البعدنقطتين

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

ب = ) وحدات 41 = 16 +25 = 2(4 + )2(5 = )2 (2 – 6 + ) 2 (1 + 4أ**************************************************************

أ = ) - كانت ب ( = ) 2، 2إذا ب ( 6، -4، ، أ بين البعد أوجد

ب = ) وحدات 10 = 100 = 64 +36 = 2(8 + )2(6 = )2 (6 + 2 + ) 2 (2 + 4أ**************************************************************

أ = ) - كانت ب ( = ) -0، 1إذا ب ( 6، 4، ، أ بين البعد أوجد

ب = )- وحدات 5 3 = 45 = 36 +9 = 2(6 + )2(3 = )-2 (0 – 6 + ) 2 (1 + 4أ**************************************************************

أ = ) كانت ب ( = ) 2، 1إذا ب ( 6، 4، ، أ بين البعد أوجد

ب = ) وحدات 5 = 25 = 16 +9 = 2(4 + )2(3 = )2 (2 – 6 + ) 2 (1 – 4أ

أ = ) كان س،( = ) 2، 1إذا ب ب ( = 6، أ طول وحدات 5وكان

قيمةس أوجد

ب = 5أ

س 5 = 2 (2 – 6 + )2 (1 –س ) 0 = 8 –س 2 – 2بالتربيع

0 ( = 2س () +4 –س ) 25 = 2(4 + )2 (1 –س )

2س = -4س = 0 = 25 – 16 +1س +2 – 2س

***************************************************************

أ = ) كان ب( = ) ( = 2، 1إذا أ طول وكان س س، ب وحدات 5،

قيمةس أوجد

ب = 5أ

2 ÷0 = 20 –س 6 – 2س 2بالتربيع 5 = 2 (2 –س + ) 2 (1 –س )

0 = 10 –س 3 – 2س 25 = 2 (2 –س + ) 2 (1 –س )

86

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

0 ( = 2س () +5 –س ) 0 = 25 –4س+4 – 2س+1س +2 – 2س

2س = -5س =

***************************************************************

أ = ) - كان س،( = ) 2، 1إذا ب ب ( = 6، أ طول وحدات 41وكان

قيمةس أوجد

ب = 41أ

س 41 = 2 (2 – 6 + )2 (1س ) + 0= 24 –س 2 + 2بالتربيع

0 ( = 6س () +4 –س ) 41 = 2(4 + )2 (1س ) +

6س = -4س = 0 = 41 – 16 +1س +2 +2س

(= أ النقط أن ب ( = ) 2، 1إثبت جـ ( = ) 4، 2، على ( 8، 4، تقع

واحدة أستقامة

ب = ) 5 = 4 +1 = 2(2 + )2(1 = )2 (2 – 4 + ) 2 (1 – 2أ

جـ = ) 5 3 = 5 × 9 = 45 = 36+9 = 2(6 +)2(3 = )2 (2 – 8 + ) 2 (1 – 4أ

جـ = ) 5 2 = 5×4= 20= 16+4 = 2(4 + )2(2 = )2(4 – 8 + )2(2 – 4ب

جـ + = أ جـ ب ب واحدة أ أستقامة على تقع جـ ، ب ، أ

***************************************************************

الدائرة = محيط أن كذلك طنق = 2الحظ الدائرة مساحة ،،،، نق ط2

87

ب ب، أ نوجد واحدة أستقامة على تقع جـ ، ب ، أ أن الثباتأن نجد جـ أ ، جـ

االكبر = البعد بعدين أصغر مجموع

مالحظة

دائرة علىمحيط تقع جـ ، ب ، أ أن الثباتنثبتأن م مركزها

نق = = = جـ م ب م أ م

مالحظة

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

***************************************************************

أ )- النقط أن ب( )1، 1إثبت ،0 ،4( جـ( على( 1، 3، تقعم ) مركزها واحدة دائرة نصف( 2، 1محيط طول وأوجد

ومساحتها ومحيطها 0قطرها

أ = ) 5 = 1 + 4 = 2 (1 – 2 + ) 2 (1 + 1م

5 = 4+1 = 2 (2 – 4 + ) 2 (0 – 1مب = )

جـ = ) 5 = 1 + 4 = 2 (1 – 2 + ) 2 (1 – 3م

واحدة = = دائرة علىمحيط تقع جـ ، ب ، أ جـ م ب م أ م

نق = 5ويكون

الدائرة = نق = 2محيط 2سم14 = 5ط × × 2ط

نق = ط الدائرة 2سم15.7 = 5ط = × 2 (5ط = ) 2مساحة

أضالعه نوجد الضالعه بالنسبة المثلث نوع لمعرفةكان فإذا الثالثة

االضالع( = = 1) المثلثمتساوى يكون جـ أ جـ ب ب أجـ( = 2) ب الساقين ≠ب المثلثمتساوى يكون جـ أب( 3) جـ ≠أ المثلثمختلفاالضالع ≠ب يكون جـ أ

********************************************************أ = ) فيه إلذى جـ ب أ المثلث نوع ب ( = ) 5، 3بين ،5 ،1 ) ،

( 1، 1جـ = ) الساقين متساوى أم االضالع متساوى

ب = ) 20 = 16 + 4 = 2 (1 – 5 + ) 2 (5 – 3أ

جـ = ) 4 = 16 = 0 + 16 = 2 (1 – 1 + ) 2 (1 – 5ب

جـ = ) 20 = 16 + 4 = 2 (1 – 5 + ) 2 (1 – 3أ

********************************************************

88

مثال

الحــــــــــــــــــــــــــل

مثال

الحــــــــــــل

مالحظة

مالحظة

أضالعه نوجد لزواياه بالنسبة المثلث نوع لمعرفة

جـ أ ، جـ ب ، ب أ الثالثةكان فاذا

االخرين( = 1) الضلعين مربعى مجموع االكبر المثلث ] مربع يكون

] الزاوية قائماالخرين( < 2) الضلعين مربعى مجموع االكبر المثلث ] مربع يكون

الزاوية [ منفرجالمثلثحاد( > ] 3) يكون االخرين الضلعين مربعى مجموع االكبر مربع

الزوايا [********************************************************************

أ = ) فيه الذى جـ ب أ المثلث أن ب ( = )5، 4إثبت جـ( = ) -2، 3، ،3 ،4)

مساحته واوجد الزاوية قائم أ

ب = ) (10 = 9 + 1 = 2 (2 – 5 + ) 2 (3 – 4أ ب ) 10 = 2أ

جـ = ) (40 = 4 + 36 = 2 (2 – 4 + ) 2(3+3ب جـ ) 40=2ب

جـ = ) (50 = 1 +49 = 2 (4 – 5 + ) 2 (3 +4أ 50 = 2أجـ )

) جـ) ب = ) (2أ جـ + ) (2أ الزاوية 2ب قائم جـ ب أ المثلثاالرتفاع = × = القاعدة 2سم10 = 40 × 10مساحته

أ = ) فى الذى جـ ب أ المثلث أن ب ( = )4، 5إثبت جـ( = ) 2، 3، ،1 ،3)

الزاوية منفرج

ب = ) (8 = 4 + 4 = 2 (2 – 4 + ) 2 (3 – 5أ ب ) 8 = 2أ

جـ = ) (5 = 1 + 4 = 2 (2 – 3 + ) 2 (1- 3ب جـ ) 5=2ب

جـ = ) (17 = 1 +16 = 2 (3 – 4 + ) 2 (1 - 5أ 17 = 2أجـ )

) جـ) ب < ) (2أ جـ + ) (2أ الزاوية 2ب منفرج جـ ب المثلثأ*******************************************************************

أ = ) فيه الذى جـ ب أ المثلث أن ب ( = )5، 4إثبت جـ( = ) 2، 6، ،3 ،3)

الزاوية حاد

89

12

12

مثال

الحــــــــــــــل

مثالحـــــال

ـــــــل

مثالحـــــال

ــــــل

ب = ) (13 = 9 + 4 = 2 (2 – 5 + ) 2 (6 – 4أ ب ) 13 = 2أ

جـ = ) (10 = 1+ 9 = 2(3 – 2 + ) 2(6- 3ب جـ ) 10=2ب

جـ = ) (5 = 4 +1 = 2 (3 – 5 + ) 2 (3 -4أ 5 = 2أجـ )

ب) ( جـ > ) (2أ جـ + ) (2أ الزاوية 2ب حاد جـ ب المثلثأ*******************************************************************

ء جـ ب أ الرباعى الشكل أن الثباتء( = = = 1) ب جـ أ ، ء أ جـ ب ، ء جـ ب أ أن نثبت مستطيلء( = = = = 2) ب جـ أ ، أ ء ء جـ جـ ب ب أ أن نثبت مربعجـ( = = = 3) أ ، أ ء ء جـ جـ ب ب أ أن نثبت ء ≠معين بء( = = 4) أ جـ ب ،، ء جـ ب أ أن نثبت أضالع متوازىنثبتأن( 5) منحرف شبه

) ء) أ اليوازى جـ ب ، ء جـ يوازى ب أ أ ) ء) جـ اليوازى ب أ ، ء أ يوازى جـ ب ب

كان فإذا الميل باستخدام وذلكء = // جـ ب أ فان ء جـ ميل ب أ ميل

( أ النقط أن )4، 1إثبت ب( ،4 ،9-( جـ( ء( = ) -12، 1، ،4 ،7) مساحته وأوجد رؤوسمربع هى

ب = ) 34 = 25 + 9 = 2 (4 – 9 + ) 2 (4 – 1أ

جـ = ) 34 = 9 + 25 = 2(9 – 12 + ) 2(1 +4ب

ء = )- 34 = 25 + 9 = 2(7 – 12 + ) 2(4 +1جـ

أ = ) 34 = 9 + 25 = 2(4 – 7 + ) 2 (4+ 1ء

القطران

90

مثال

الحـــــــــــل

مالحظة

جـ = ) 68 = 64 + 4 = 2 (4- 12 + ) 2 (1 + 1أ

ء = ) 68 = 4 + 64 = 2(7 – 9 + ) 2(4 +4ب

ء = = = = ب جـ أ ،، أ ء ء جـ جـ ب ب أ أن ء بما جـ ب أ الشكل

مربع ضلعه = = ) طول مربع 34 = 2 (34مساحته

********************************************************س، = ) أ النقطة كانت من ( 1إذا متساويين بعدين على

(= ،( 2، 4النقطتينب أحسبقيمةس( 3، 3جـ = )

جـ = أ ب أبالتربيع 2 (1 – 3 + ) 2(3 –س = ) 2(1 – 2 + )2(4 –س )

2 (1 – 3 + ) 2(3 –س = ) 2(1 – 2 + )2(4 –س )

4 +9س + 6 – 2س = 1 + 16س +8 – 2س

13س +6 = - 17س +8 -

س8س +6 = -13 – 17 س 2 = 4

2س =

االتية [ 1] النقاط من زوج كل بين البعد أوجد-( = ) أ) ب( = )1، 4أ ،4 ،7-( = ) أ ( ) ب( = )2، 1ب ،3 ،5 )

( = ) أ) ب ( = ) 3، -1جـ ،5 ،3 ( = ) أ( ) ب ( = )2، -0ء ،3 ،4 )

س، [ = ) -2] أ كان ب ( = )1إذا ب ( = 3، 2، أ قيمة 5وكانطول أوجد

س

91

تمارين (5)

مثال

الحــــــــــــــــــل

س، [ = ) 3] أ كانت ب ( = ) -2إذا ب( = 8، 3، أ وحدات 10وكانطول

قيمةس أوجد طوليةأ [ = ) 4] كانت ب ( = ) 2، 1إذا ب ( = 3، أ وكانطول ص أوجد 13،

قيمةص أ [ = )-5] النقط أن ب( = )2، -2إثبت جـ ( = )2، 0، على ( 4، 1، تقع

واحدة أستقامةأ [ = )-6] النقط أن ب( = ) 1، 1إثبت جـ ( = ) 3، 1، على ( 6، 4، تقع

واحدة أستقامةأ [ = )7] النقط رؤوسه الذى المثلث أن ب ( = ) 1، -7إثبت جـ( 3، -1، ،

( =3 ،3 )

الساقين متساوى [8( = أ [ النقط رؤوسه الذى المثلث أن ب ( = ) 3، 2إثبت جـ ( =4، 1، ،

مثلث ( 2، 1)-البعد ) ( قانون بأستخدام مساحته وأوجد الزاوية قائم

أ [ = )-9] النقط رؤوسه الذى المثلث أن ب( = ) 1، -4إثبت جـ( = )5، -0، ،

مثلث ( 4، 1مساحته وأوجد الزاوية قائم

أ[ = ) 10] كانت ب ( = )-2، 1إذا جـ( = ) -5، 3، ء ( = )7، 2، إثبتأن( 4، 2،

الشكلأضالع متوازى ء جـ ب أ

[11(= أ [ النقط أن ب( = )-9، 5إثبت ،2 ،2( = جـ( ء( = )6، 1، هى ( 5، 2،

رؤوسمعين مساحته وأوجد

[12(= أ [ النقط رؤوسه الذى الشكل أن ب( = )-2، 3إثبت جـ( = )2، 3، ،0- ،1)

،(= مساحته( 5، 0ء وأوجد مربع يكون

[13( = أ[ كان =)4، -1إذا ب( جـ( = )4، -10، ء( = )2، 9، الشكل( 2، 2، أن إثبتالساقين منحرفمتساوى شبه ء جـ ب أ

92

[14-(= أ[ النقط رؤوسه الذى ء جـ ب أ الشكل أن ب( = )2، -3إثبت ،5 ،2 )، (6، 3جـ = )

منحرف ( 4، 1ء = )- هىرؤوسشبه

أ[ = )-15] النقطة كانت النقطتين ( 1إذا من متساويين بعدين على ص ،

=)-3، 2ب=) جـ( ،2 ،1)

قيمةص أوجدس،[ = ) 16] أ النقطة كانت النقطتينب( =0إذا من متساويين بعدين على

(2 ،3 ) ،قيمةس ( 3، 0جـ = ) أوجد

أ[ = )-17] كانت ب ( = ) - ( = 3، 1إذا أ وكان ك ، ك أوجد 10ب وحداتطولية

ك قيمةأ [ = ) 18] حيث زواياه حيث من جـ ب المثلثأ نوع ب ( = ) 1، 2إبحث ،5 ، 1 ) ،

(5، 5جـ = )

أ[ = )19] النقط رؤسه الذى جـ ب أ المثلث أن ب ( = )4، 5إثبت جـ( =2، 1، ،

-(1 ،0)

الزاوية منفرجأ [ = ) 20] النقط رؤوسه الذى جـ ب أ المثلث أن ب( = )4، 3إثبت ،4

،1 )،الزوايا( 1، 1جـ = ) حاد

أ[ = )21] النقط أن ب( = )5، 0إثبت ،2 ،3-(= جـ ( على( 1، -2، تقع

دائرة محيط-( = حيثم م مركزها ومساحتها ( 2، 1واحدة محيطها وأوجد

أ[ = )22] النقط أن ب( = )-5، 1إثبت جـ( = )5، 5، على( 4، 2، تقع

واحدة دائرة محيطم = ) - ومساحته ( 1، 2مركزها محيطها وأوجد

93

أ [ = )23] النقطة كانت مركزها( 3، 2إذا التى الدائرة محيط على تقع

طول( 2، -1م = ) - أوجدالدائرة هذه نصفقطر

[24( أ [ فيه مثلث جـ ب ب( )2، -2أ جـ( )4، 8، ،5 ،7 )

فىب- 1 الزاوية قائم جـ ب أ أن إثبتجـ- 2 ب أ برؤوس المارة الدائرة مركز أوجد[25-(= أ[ النقط أن =)4، 2إثبت ب( جـ( = )1، -3، رؤوسمثلث( 5، 4، هى

الساقين متساوىمساحته وأوجد

[26( أ[ النقط كانت ب ( = )0، 5إذا جـ ( ) 3 2، 7، أ ( 3 2، 3، أن إثبتمثلث جـ ب

مساحته وأوجد االضالع متساوى

س = ) أحداثياتأ كانت س ( = ) 1،ص 1إذا ب فإن ( 2،ص 2،،ب = ) منتصفأ (ـــــــــــــــــــ، ـــــــــــــــ أحداثيات

***************************************************************

أ = ) كانت ب ( = ) 2، 1إذا ب ( 6، 3، منتصفأ أوجد

( = ) ( = ) ( = ، ، ب ( 4، 2منتصفأ

***************************************************************

أ = ) كانت ب ( = ) 5، -1إذا ب ( 3، 3، منتصفأ أوجد

( = ) ( = ) ( = ، ، ب ( 1، -2منتصفأ

***************************************************************

أ = ) كانت جـ( = ) 4، 2إذا أوجد( 3، 1، ب منتصفأ جـ وكانت

أحداثياتب

94

+1س2س

ص+1ص2

1+32

2+62

42

82

1+32

- 5+3 2

42

- 2 2

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

نقطة أحداثياتالتنصيف

س،ص = ) ( 6ص + = 4 2س + = 2نفرضأنب

س( = ) ( = 3، 1) 2 = 4 – 6ص = 0 = 2 – 2،

(2، 0أحداثياتب = = ) 3 = 1

***************************************************************

س، = ) أ كانت ب ( = ) -1إذا جـ ( = )3، وكانت ص هى ( 2، 1،

ب منتصفأقيمتىس،ص أوجد

س ( = ) ( 2، 1) 4ص+ = 1 2 = 3 –،

3 = 1 – 4ص = 5 = 3+2س =

1 = 2=

أ = ) كانت ب ( = ) 1، 2إذا ،5- ،1( جـ ( ء ( = ) 5، 6، إثبت ( 7، 3،الشكل أن

أضالع متوازى ء جـ ب أ

(=) ( = ، جـ أ ء( = 3، 4منتصف منتصفب جـ أ منتصف االخر منهما ينصفكال ء ب ، جـ أ

(=) ( = ، ء متوازى ( 3، 4منتصفب ء جـ ب أ الشكل

أضالع ***************************************************************

أ = ) كانت ب( = )-1، -3إذا ،5 ،2-(= جـ( رؤوسمتوازى ( 4، 2، ، االضالع

الراسء أحداثيات أوجد ء جـ ب أ

) ( = ) ( ) ( = ، ، ص س، ء نفرضأن

االضالع = متوازى قطرا ، أضالع متوازى ء جـ ب أ

=

االخر - منهما = 5ينصفكال =2 1س+ ص+1

= س = منتصفبء جـ أ =6=5+1منتصف -1ص

2-=195

س+ 22

ص+ 42

س+ 22

ص+ 42

3 – س 2

ص + 12

3 – س 2

ص + 12

2+62

1+52 - 1+7 2

5+32

3 -(+ 2 ) 2

- 1+4 2

س+ 5 -2

ص+ 22

12

32

س+ 5 -2

ص+ 22 س+ 5 -

2 ص+ 2

212

12

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

ء) ( = ) ( = ) أحداثيات ، ،6- ،1)

***************************************************************-(= أ كانت ب( = ) 1، 3إذا التى ( 5، 5، النقط أحداثيات أوجد

أربعة إلى ب أ تقسممتساوية أجزاء

( = ) ( = ) ( = ، ، ب منتصفأ ( 3، 1ء

- ( = ) ( = ) ( = ، ، ء أ منتصف ( 2، 1جـ

( = ) ( = ) ( = ، ، ب منتصفء ( 4، 2هـ

**************************************************************أ = ) فيها بقطر أ التى الدائرة مركز ب( = ) -2، 1أوجد ،5 ،4 )

-( = ) ( = ) ( = ، ، الدائرة (3، 2مركز

يأتى( 1) مما كال التنصيففى نقطة أحداثيات أوجد( = ] أ] ب( = ) 0، 1أ ،3 ،6-( = ] أ ( ] ب ( = )5، 3ب ،1 ،3)

-( = ] أ] ب( = )-3، 4جـ ،2 ،7( = ] أ( ] ب( = )1، 2ء ،5- ،7 )

(2- ( = أ( كانت جـ ( = ) 4، 1إذا أوجد ( 3، 2، ب منتصفأ جـ وكانت

أحداثياتب كانتب( = ) 3) جـ( = )5، -2إذا أوجد ( 4، 1، ب منتصفأ جـ وكانت

أ أحداثياتس،( = ) 4) أ كانت ب( = ) -3إذا جـ ( = ) 1، ، ص جـ( 5، 1، وكانت

أوجد ب منتصفأقيمتىس،ص

أجزاء( 5) أربعة إلى الداخل من ب أ تقسم التى النقط أحداثيات أوجد

حيث متساويةب( = )2، 0أ=) ،4 ،10)

96

000 بهءجأ- 3+5

21+5

222

62

- 3+1 2

1+32

- 2 2

42

- 1+5 2

3+52

42

82

1 -(+ 5 ) 2

2+42

- 4 2

6تمارين 2(4)

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

أجزاء( 6) أربعة إلى الداخل من ب أ تقسم التى النقط أحداثيات أوجد

حيث متساويةب( = )1، 2أ = )- ،6 ،5)

أ( = ) -7) حيث فيها بقطرا أ التى الدائرة مركز ب ( = )4، 1أوجد ،3 ، 6 )

أ( = ) 8) فيه أضالع متوازى ء جـ ب جـ( = )-1، 4أ أحداثيات ( 7، 2، أوجد

قطريه تقاطع نقطةأ( =)9) النقط أن ب( = )-2، -3إثبت جـ( = )0، 5، ء( = )7، -0، هى ( 9، -8،

رؤوس التنصيف ) ( بأستخدام أضالع متوازى

أ( = ) 10) كانت ب ( = )2، -5إذا جـ ( = )-2، 3، ثالثرؤوس ( 1، 3،

لمتوازى متتاليةء الراسالرابع أحداثيات أوجد ء جـ ب أ االضالع

س،( = ) -11) النقطأ كانت ب ( = ) 1إذا جـ ( = )5، 3، ء ( = ) 2، ، ص ،4 ، رؤوس( 1

قيمتىس،ص أوجد ء جـ ب أ االضالع متوازىأ( = ) 12) كانت ب( = )-3، 5إذا س، ( = ) 1، جـ ، ص ء ( = ) 1، ،1 ،3)

رؤوسمتوازى قيمتىس،ص أوجد ء جـ ب أ االضالع

نقطتين بمعلومية مستقيم ميلس ) بالنقطتين المار س( )1،ص 1المستقيم العالقة ( 2،ص 2، من يتعين

ـــــــــــــــــــــم =

97

1ص – 2ص1س – 2س

مثال

مثال

الميـــــــــــــــــــــل

ميل أوجد بالنقطتين المار المستقيم ميل أوجد

بالنقطتين المار المستقيمب( = ) -2، -1أ ( = )-7، 4،( ) 2، 1 ) ،5 ،1 )

=ـــــــــــــــــــــم = = ــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ م =

= = ـــــــــــــــــــ

ميل أوجد بالنقطتين المار المستقيم ميل أوجد

بالنقطتين المار المستقيم ونقطة ( 4، 3أ( = ) -6، 4،( ) 1، 0 )

االصل

=ـــــــــــــــــــــم= = ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــــم =

=ـــــــــــــــ

ميل كان إذا بالنقطتين المار المستقيم ميل أوجد

بالنقطتين المار المستقيم-( 1 ،2( )،4 ،5- ( )1 ،2 ( )،3 ) يساوى ك فما 2،

ك قيمة

2م= = ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ م =

2 = ـــــــــــــــــــــ

بالنقطتين المار المستقيم ميل أوجد-( 1 ،2( )،4 ،5 )

8 = 2 –ك

10 = 2 + 8ك= = ـــــــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــ م =

98

الحــــــــــــل

مثال

الحــــــــــــل

مثال

الحــــــــــــل

1ص – 2ص1س – 2س

1ص – 2ص1س – 2س

1ص – 2ص1س – 2س

7 – 2 4 – 1

53

6 – 1 4 – 0

54

5 – 2 4 –-( 1)

35

الحــــــــــــل 1ص – 2ص

1س – 2س5 – 2 4 –-( 1)

35

مثال

1ص – 2ص1س – 2س

1 –-( 2)-5 –-( 2)

3 -4

- 3 4

الحــــــــــــل

1ص – 2ص1س – 2س

0 – 4 0 –-( 3)

- 4 3

مثال

الحــــــــــــل

مثال

الحــــــــــــل

1ص – 2ص1س – 2س

2 ك - 3+ 1 =2

2 ك - 4 =2

هامة :- مالحظـــــــاتصفر( 1) أو سالب أو حقيقىموجب عدد يكون المستقيم ميلوهو( ) ( = 2) صفر السينات محور يوازى أفقى مستقيم أى ميل

) = ثابت ) ص معادلته الذى المستقيم(3) ( = ) ( معرف( غير اصادات محور يوازى رأسى مستقيم أى ميل

معادلته الذى المستقيم وهو) = ثابت ) س

الميل( ) ( 4) كان إذا أما شكله يكون موجب المستقيم ميل كان إذا

) ( شكله يكون سالبميله = كان إذا معرف ) ( 0أما غير ميله كان وإذا شكله يكون

) ( شكله يكونم( = 5) القانون طريق عن بيانيا مستقيم ميل إيجاد يمكنأستقامة( 6) على تقع جـ ، ب ، أ أن الثبات الميل فكرة أستخدام يمكن

بإستخدام الميل أن نثبت واحدةجـ ، ب النقطتين بإستخدام الميل يساوى ب ، أ النقطتين

ل المستقيم ميل اوجد المقابل الشكل من

الميل = =

***************************************************************

أ = ) النقط أن ب ( = )2، 1إثبت جـ ( = )4، 2، على ( 8، 4، تقع

واحدة أستقامة

ب = = = أ جـ = = = 2ميل ب ميل ،،،،،،،2

جـ = ب ميل ب أ ميل

99

10

التغيرالرأسى التغير

4 – 2 2 – 1

21

8 – 4 4 – 2

42

مث ال

الحــــــــــــــــــل

مث ال

الحــــــــــــــــــل

التغيرالراسى التغير

32 3

2

واحدة أستقامة على تقع جـ ، ب ، أ النقط

أ = ) النقط أن ب ( = )3، 1إثبت جـ ( = )1، -5، تنتمى ( 1، 3،

واحد لمستقيم

ب = = = - أ جـ = = 1ميل ب ميل 1= -ــــــــ،،،،

جـ = ب ميل ب أ ميل واحدة أستقامة على تقع جـ ، ب ، أ النقط

***************************************************************

أ = ) النقط كانت ب ( = ) -1، 4إذا جـ ( = ) 7، 2، تنتمى ( 3، ص ،

واحد لمستقيمقيمةص . أوجد ثم المستقيم ميل أوجد

المستقيم = = 1 = -1 =-ــــــميل

قيمةص = - 1اليجاد

ص واحد لمستقيم تنتمى 5 = -7 –النقط

- = جـ ب 2 = 7 +5ص = -1ميل

***************************************************************

بالنقطتين ) المار المستقيم ميل كان ،ص (5،( ) 2، -1إذا

قيمةص 3يساوى أوجد

المستقيم = 12 = 2ص +3ميل

2 – 12ص = 3 =

10ص = 3 =

***************************************************************

( جـ النقطة )-1، 8هل أ( بالنقطتين المار للمستقيم ، 1تنتمىب( )3 ،2 ،5 )

100

- 1 - 3 5 – 1

- 4 4

1 – -( 1 ) 3 - 5

2-2

7 – 1 -2 – 4

6-6

– ص 7

3-( -2) – ص 75

( 2 )- – ص 5 – 1

2 ص +4

مث ال

الحــــــــــــــــــل

مث ال

الحــــــــــــــــــل

مث ال

الحــــــــــــــــــل

مث ال

الحــــــــــــــــــل

جـ = = = = ب ميل ،،،، ب أ = ـــــ ميل

ب أ جـ ميل ب ميلب أ للمستقيم تنتمى ال جـ النقطة

شكل( 1) مبينا االتية النقاط من زوج بكل المار المستقيم ميل أوجد

المستقيمب ( = ) 3، 1أ[ = )1] ،4 ،5[ ) 2-(= ( 5، 1،ص( = )2، 1س[

ن( = ) 3، 0مـ[ =)3] ء ( = ) 2، 1جـ[ = ) 4 ( ]0، 4، ،3 ،2 )

ب( = )1، 3هـ[ = )5] ل( = ) -3، 1ع[ = )-6 ( ]5، 3، ،5 ،6 )

**************************************************************

بالنقطتين( )2 ) المار المستقيم ميل كان يساوى ( 4،( ) 2، 1إذا ص ،

قيمةص 1 أوجد***************************************************************

بالنقطتين( )3) المار المستقيم ميل كان ، ( )-2إذا ص 2يساوى ( 4، 3،

قيمةص فما***************************************************************

أ( = ) 4) النقط أن ب ( = )1، -2إثبت جـ ( = )2، 3، تنتمى( 5، 4،

واحد لمستقيم***************************************************************

أ( = )5) النقط أن ب( = ) 3، 1إثبت جـ ( = )1، -5، على ( 1، 3، تقع

واحدة أستقامة**************************************************************

(6(= أ( النقط كانت ب ( = ) 8، 0إذا جـ ( = ) -5، 5، على ( 5، تقع ص ،

واحدة أستقامةقيمةص أوجد ثم المستقيم ميل أوجد

**************************************************************101

5 – 3 2 –-( 1)

23

5 – 1 2 – 8

4 -6

- 2 3

تمارين (1)

أ( = )7) النقط كانت س، ( = ) 1، -2إذا ب جـ( ) 2، تنتمى ( 5، 4،

أوجدس واحد لمستقيم***************************************************************

المستقيم( 8) ميل كان أ = ) 3إذا أ 2يساوى 5س ( +1 –ص قيمة فما***************************************************************

أ( = ) +9) ص المستقيم ميل كان أ 5يساوى 3س ( +1إذا قيمة فما**************************************************************

من( 10) الصاداتفىكال محور من المقطوع والجزء الميل أوجد

االتية المستقيمات5س +4ص = 3( 2س 6 – 5ص( = 1

0 = 3س +4 –ص( 4 6س = 2 –ص 3( 3

***************************************************************

المستقيمان أن 0 = 1ص +6 –س 4، 0 = 5ص +3 –س 2إثبت

متوازيان

2م = 1م = = 1م

متوازيان = = = 2م المستقيمان***************************************************************

المستقيمان أن متوازيان 7س +2،ص = 0 = 5ص +3 –س 6إثبت

2م = 1م 2 = = 1م

متوازيان 2 = 2م المستقيمان***************************************************************

بالنقطتين ) المار المستقيم أن يوازى ( 1، 3، ( ) -5، 2إثبت

الذى المستقيم102

ميلى بين العالقةالمتوازيين تساوى المستقيمين مستقيمين توازى إذا

ميالهما

- 2 -3

23 - 4

-646

23

- 6 -3

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

0 = 7ص +5 –س 4معادلته

2م = 1م = = = ــــــــــــــــــــــ = 1م

متوازيان = = = 2م المستقيمان

المستقيمانأس كان المار 0 = 5ص +6 –إذا والمستقيم

( 1، 0بالنقطتين )

أ( 3، 3، ) قيمة أوجد متوازيان

متوازيان = ـــــــالمستقيمان

12أ = 3 2م = 1م

4أ = ــــــــــــ = ــــــ

***************************************************************

معادلته الذى المستقيم كان يوازى 0 = 1ص +4 –س 6إذا

بالنقطتين الما المستقيمقيمةص ( 1، ( ) 3، 1 ) - أوجد ص ،

متوازيان = المستقيمان 3 = 3 –ص 2م = 1م

= 6=3+3ص =

***************************************************************

المستقيمانكس كان المستقيم 0 = 1ص +4 –إذا يوازى

معادلته الذى

ك 0 = 3ص + 2س - 5 قيمة أوجد

103

1ص – 2ص1س – 2س

1 – 5 -3 – 2

- 4 -5

45

معامل- س

معاملص

- 4 -5

45

أ- -6

3 – 13 – 0

أ6

23

64

3 – ص 1+ 1

32

3 – ص 2

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

متوازيان 20ك = 2المستقيمان

ك = 2م = 1م10ك = =

( أ النقط رؤوسه الذى الشكل أن )-2، 1إثبت ب( ،3 ،5-( جـ( ،2 ،7 )، متوازى( 4، 2ء)

أضالع

جـ = = = = = = ميلب ب أ 2ميل

ء = = = = = أ ميل ء جـ 2ميل

ء = = أ جـ ب ميل ، ء جـ ميل ب أ ميل // ء جـ ب ء // أ أ جـ ب أضالع متوازى ء جـ ب أ الشكل

***************************************************************

-( أ النقط رؤوسه الذى الشكل أن )0، 1إثبت ب( ،7 ،4( جـ( ،5،

8( ء( شبه( 6، 1،منحرف

جـ = = = = = = - ميلب ب أ 2ميل

104

كل أن نثبت أضالع متوازى ء جـ ب أ أن الثباتمتوازيين متقابلين ضلعين

مالحظة

5 - 2 -3-1

3-4

- 3 4

7 – 5 -2-(-3)

21

4 – 7 2-(-2)

- 3 4

4 – 2 2 - 1

21

ضلعين توازى نثبت منحرف شبه ء جـ ب أ أن الثباتاالخرين الضلعين توازى وعدم

مالحظة

4 - 0 7-(-1)

48

12

8 – 4 5 – 7

4-2

6 – 8 1-5

- 2 -4

6 – 0 1-(-1)

62

12

ك- -4

- 5 -2

202

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

ء = = = = = = أ ميل ء جـ 3ميل

جـ = ب ميل ، ء جـ ميل ب أ ء ميل أ منحرف شبه ء جـ ب أ الشكل

بالنقطة )- المار المستقيم معادلة المستقيم( 2، 1أوجد ويوازى

بالنقطتين ) (1، 0المار

( 5 ،4 )

= = المطلوب م = = الموازىم

-( بالنقطة يمر المطلوب = 2، 1المستقيم س +3 = 10 –ص 5وميله(

3

العالقة من معادلته 0 = 3س -3 – 10 –ص 5تتعين

0 = 13 –س 3 –ص 5م = ـــــــــــــــــــ

***************************************************************

بالنقطة ) المار المستقيم معادلة المستقيم( 2، 1أوجد ويوازى

ميله = الذى

= = المطلوب م = الموازىم

( بالنقطة يمر المطلوب = 2، 1المستقيم 3 –س 3 = 8 –ص 4وميله(

العالقة من معادلته 0 = 3س +3 – 8 –ص 4تتعين

0 = 5 –س 3 –ص 4م = ـــــــــــــــــــ

***************************************************************

بالنقطة ) المار المستقيم معادلة المستقيم( 3، -1أوجد ويوازى

معادلته الذى0 = 1س +5 –ص 4

105

353

5

1ص –ص 1س –س

35

2 – ص 1س +

34

34

343

4

1ص –ص 1س –س

34

2 – ص 1 –س

- 5 -4

54

54

3 ص + 1 –س

4 – 1 5 - 0

35

54

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

= = المطلوب م = = الموازىم

( بالنقطة يمر المطلوب = 3، -1المستقيم س -5 = 12ص +4وميله(

5

العالقة من معادلته 0 = 5س +5 – 12ص +4تتعين

0 = 17س +5 –ص 4م = ـــــــــــــــــــ

أ( = )1) كانت ب( = )3، 2إذا جـ( = )2، 4، أب( //6، 0ء( = )5، 2، أن إثبت

ء جـ(2(= أ( كانت ب( = )-3، 2إذا جـ( = )4، 1، ء( = )3، 5، أ( 4، 7، أن إثبت

ء // ب جـء( // 3) جـ ب أ أن علم إذا ك قيمة أوجد ياتى مما كال فى

( = ] أ] ب( = ) 5، 2أ ،3- ،1- ( = ) ، ك جـ ء( = ) 2، ،1 ،4)

(= ] [، ك أ ب( = )3ب جـ( = )4، 1، ء ( = )-3، 0، ،3 ،2 )

(= ] أ] ،( = ) -5، 2جـ ك ب جـ( = )4، ،4 ،1 ( = ) ، ك ء ،10 )

(4-(= أ( كان =)4، 2إذا ب( ،5- ،3(= جـ( ء( =) 1، 7، الشكل( 8، 0، أن إثبت

ء جـ ب أأضالع متوازى

أ( = ) 5) كانت ب( = )-9، 5إذا جـ( =)2، 2، ء ( = )6، 1، أن( 5، 2، إثبت

الشكل أضالع متوازى ء جـ ب أ

(6-(= أ( كانت ب( = )0، 1إذا جـ( = )4، 7، ء( = ) 8، 5، أن( 6، 1، إثبت

ء جـ ب أ الشكلمنحرف شبه

(7-(= أ( كانت ب( =)2، -3إذا جـ( = )2، 5، ء( =)-6، 3، أن( 4، 1، إثبت

ء جـ ب أ الشكل106

54

1ص –ص 1س –س

( 2تمارين)

منحرف شبهالجزء( 8) من وحدات ثالث يقطع الذى المستقيم معادلة أوجد

ويوازى الصادات لمحور الموجببالنقطتين ) المار ( 5، 3،( ) 2، 1المستقيم

السالب( 9) الجزء من وحدتان يقطع الذى المستقيم معادلة أوجد

المستقيم ويوازى الصادات لمحوربالنقطتين )- ( 5، 3،( )2، 1المار

بالنقطة( )10) المار المستقيم معادلة المستقيم ( 3، 2أوجد ويوازى

0=3ص +5 –س 4

المستقيم( 11) ويوازى االصل بنقطة المار المستقيم معادلة أوجد

2س +3ص = 5

بالنقطة( )12) الما المستقيم معادلة المستقيمص( 3، 1أوجد ويوازى

5س +2=

أس( +13) المستقيم كان الما 0=7ص -3إذا المستقيم يوازى

(4، 1،( )-3، 2بالنقطتين )

أ قيمة أوجد

المستقيمس( 14) كان بالنقطتين 5ص = –إذا المار المستقيم يوازى

(، ( 5، 4،( ) 3أ

أ قيمة أوجدالمستقيمان( 15) كان ص + +2إذا متوازيان 0 = 1أص +–،س 0 = 1س

أ قيمة أوجدالمستقيمانكس( 16) كان 0 = 3كص +–س 8، 0 = 1ص +2 –إذا

ك أوجد متوازيانبالنقطتين( )17) المار المستقيم كان س، ( ) 3، 2إذا محور ( 5، يوازى

قيمةس أوجد الصادات

107

بالنقطتين( )18) المار المستقيم كان محور ( 5، ( )3، 2إذا يوازى ،ص

قيمةص أوجد السيناتالنقط( )19) كانت ب ( = )-4، 3إذا ،3- ،1( )،2 ) أستقامة على تقع ص ،

قيمةص أوجد واحدةالنقط( )20) كانت س، ( ) 8، 4،( ) 2، 0إذا أستقامة ( 11، على تقع

قيمةس أوجد واحدةبالنقطتين( )21) المار المستقيم كان يوازى ( 5، 1،( )-3، 1إذا

بالنقطتين المار المستقيم( 3 ،5 ) بينس،ص ( ) العالقة أوجد ص س، ،

(22( أ( كان ) 5، 1إذا س،( ب ،3( جـ( ء( )7، 4، جـ( // 1، 2، ب ء أ وكان

قيمةس أوجداالتية( 23) العبارات أكملالسينات- = ...............1 لمحور الموازى المستقيم ميلالصادات- = .................2 لمحور الموازى المستقيم ميلالمستقيمص- = 3 يساوى ..................5 –س 2ميلالسيناتهى- ..........................4 محور معادلةالصاداتهى- .......................5 محور معادلةالمستقيمص- = 6 يساوى ......................5ميلالمستقيمس- = 7 يساوى .....................3ميلمعادلتهص- = 8 الذى محور .......................3المستقيم يوازىمعادلتهس- = 9 الذى محور .......................3المستقيم يوازى

بالنقطة- ) 10 المار المستقيم السينات ( 3، 2معادلة محور ويوازى

هى ........................بالنقطة- ) 11 المار المستقيم الصادات ( 3، 2معادلة محور ويوازى

هى ........................المستقيمينس- = 12 بين تساوى .............5،س = 3الزاويةالمستقيمينص- = 13 بين تساوى ..............4،س = 2الزاوية

108

***************************************************************

المستقيمان أن 0 = 1ص +4س + 6، 0 = 5ص +3 –س 2إثبت

متعامدين

1 = × = -2م × 1م = = 1م

متعامدان = = 2م المستقيمان***************************************************************

المستقيمان أن س = +2، 0 = 5ص +3س + 6إثبت متوازيان 7ص

1 × = -2 = -2م × 1م 2 = = -1م

متعامدان = 2م المستقيمان***************************************************************

بالنقطتين ) المار المستقيم أن عمودى ( 1، 3، ( ) -5، 2إثبت

الذى المستقيم على0 = 7ص +4س +5معادلته

1 = × = -2م × 1م = = = ــــــــــــــــــــــ = 1م

متعامدين = = = 2م المستقيمان

المستقيمانأس كان المار 0 = 5ص +6 –إذا والمستقيم

( 1، 0بالنقطتين )

109

المستقيمين ميلى حاصلضرب1المتعامدين=-

- 2 -3

23 - 6

4- 3 2

- 6 3

1ص – 2ص1س – 2س

1 – 5 -3 – 2

- 4 -5

45

معامل- س

معاملص

- 5 4

- 5 4

ميلى بين العالقةالمتعامدين المستقيمين

23

- 3 2

12

12

45

- 5 4

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

أ( 3، 3، ) قيمة أوجد متعامدان

متعامدان 1 = -1 × = -ـــــــالمستقيمان

18أ = - 2 1 =-2م × 1م

9أ = - 1ــــــــــــ =- × ــــــ

***************************************************************

معادلته الذى المستقيم كان عمودىعلى 0 = 1ص +6س + 4إذا

بالنقطتين المار المستقيمقيمةص ( 1، ( ) 3، 1 ) - أوجد ص ،

متعامدان × = - 1 = -1المستقيمان

3 = -3ص - +1 =-2م × 1م

6ص = 6=-3-3ص - = -1 × =-

***************************************************************

المستقيمانكس كان عمودىعلى 0 = 1ص +4 –إذا

معادلته الذى المستقيم

ك 0 = 3ص + 2س - 5 قيمة أوجد

متعامدان 8ك = -5المستقيمان

ك = 1 =-2م × 1م-= × 1

- = 1

بالنقطة )- المار المستقيم معادلة على( 2، 1أوجد وعمودى

بالنقطتين المار المستقيم

110

أ- -6

3 – 13 – 0

أ6

23

- 4 6

3 – ص 1+ 1

- 2 3

3 – ص 2

ك- -4

- 5 -2

- 8 5

أ 218

3 ص- +3

ك 58

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

( 0 ،1 ( )،5 ،4 )

= = المطلوب م = = العمودىم

-( بالنقطة يمر المطلوب = 2، 1المستقيم س -5 = -6 –ص 3وميله(

5

العالقة من معادلته 0 = 5س +5 +6 –ص 3تتعين

0 = 1 –س 5ص +3م = ـــــــــــــــــــ

***************************************************************

بالنقطة ) المار المستقيم معادلة على( 2، 1أوجد وعمودى

ميله = الذى المستقيم

= = المطلوب م = العمودىم

( بالنقطة يمر المطلوب = 2، 1المستقيم س +4 = -6 –ص 3وميله( 4

العالقة من معادلته 0 = 4 –س 4 +6 –ص 3تتعين

0 = 10 –س 4ص +3م = ـــــــــــــــــــ

***************************************************************

بالنقطة ) المار المستقيم معادلة على( 3، -1أوجد وعمودى

معادلته الذى المستقيم0 = 1س +5 –ص 4

= = المطلوب م = = العمودىم

( بالنقطة يمر المطلوب = 3، -1المستقيم س4 = -15ص +5وميله( +4

العالقة من معادلته 0 = 4 –س 4 +15ص +5تتعين

0 = 11س +4ص +5م = ـــــــــــــــــــ

111

35- 5

3

1ص –ص 1س –س

- 5 3

2 – ص 1س +

34

34

- 4 3- 4

3

1ص –ص 1س –س

- 4 3

2 – ص 1 –س

- 5 -4

54- 4

5

1ص –ص 1س –س

- 4 5

3 ص + 1 –س

4 – 1 5 - 0

- 5 3

- 4 5

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

(= أ النقط رؤوسه الذى المثلث أن ب( = )2، -2إثبت جـ( = )4، 8، ،

5 ،7 )

الزاوية . قائم مثلث

ب م ب م 1= = = أ جـ م × أ 1 = -ب

جـ م جـ 3= = = أ ب ب أ

جـ م فىب 1 = = = -ب الزاوية قائم جـ ب أ المثلث***************************************************************

(= أ النقط رؤوسه الذى الشكل أن =)0، 3إثبت ب ( ،0- ،4 )، (4، -5جـ=)-

ء = )- معين ( 0، 2،

أضالع متوازى أن الثبات أضالع متوازى الشكل أن أوال نثبت

القطرين تعامد نثبت معينب م جـ م= = = أ = = =أ

جـ م م = = = ب ء صفر 2= = = -ب

ء م جـ م= = جـ ء م × أ 1 × = -2 = -ب ء م ء= = = أ ب جـ أ صفر

ب م ء م= أ ء // جـ جـ ب معين أ ء جـ ب أ الشكل

جـ م ء م= ب ء // أ أ جـ ب

أضالع متوازى ء جـ ب أ الشكل

112

4 -(- 2 ) 8 - 2

66

7 -( - 2 ) 5 - 2

93

7 – 4 5 - 8

3-3

- 4 – 0 0 – 3

- 4 -3

43

- 4+4 -5-0

صفر-5

0 + 4 -2+5

43

0 – 0 -2-3

صفر-5

- 4 - 0 -5 -3

- 4 -8

12

0 – 4 0+ 2

- 4 212

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

(= أ النقط رؤوسه الذى الشكل أن =)-1، 5إثبت ب ( ،1- ،3 )، (0، 3جـ=)-

ء = ) مستطيل ( 4، 3،

م أضالع متوازى الشكل أن أوال ب نثبت جـ م× أ (1= -ب ( ب ق

=90 ب م جـ م= = = أ ء م× ب ( = 1 = -جـ ( جـ 90ق

ء م أ م × جـ ( = 1 = -ء ( ء 90قجـ م ) ( = = = = ب أ 90ق

ء م قوائم= = = جـ زواياه جميع ء جـ ب أ المتوازى

ء م مستطيل = = = أ ء جـ ب أ الشكلب م ء م= أ ء // جـ جـ ب أجـ م ء م= ب ء // أ أ جـ ب

أضالع متوازى ء جـ ب أ الشكل**************************************************************

(= أ النقط رؤوسه الذى الشكل أن =)1، 1إثبت ب ( ،0 ،4(= جـ( ،3 ،5)

ء = ) مربع ( 2، 4،

م أضالع متوازى الشكل أن أوال ب نثبت جـ م× أ (1= -ب ( ب ق

=90 ب م جـ م 3= = =-أ ء م× ب ( = 1 = -جـ ( جـ 90ق

ء م أ م × جـ ( = 1 = -ء ( ء 90قجـ م ) ( = = = ب أ 90ق

زواياه جميع متوازى ء جـ ب أ الشكل

قوائم ء م مستطيل 3= = = -جـ ء جـ ب أ الشكل

المستطيل ليكون القطرين تعامد نثبت

مربعء م جـ م= = أ 2= = = أ

ب م ء م= أ ء // جـ جـ ب أ

113

- 3 – 1 -1 – 5

- 4 -6

23

0+3-3+1

3-2

4 – 0 3+3

46

4 - 1 3 - 5

3-2

23

- 3 2

- 3 2

4 – 1 0 – 1

3-1

5 – 4 3 - 0

13

2 - 5 4 - 3

- 3 1

2 - 1 4 – 1

13

5 – 1 3 – 1

42

2 – 4 4 – 0

- 2 4

- 1 2

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

جـ م ء م= ب م // أ ء أ جـ ء ب = = = ب

ء ب جـ أ أضالع متوازى ء جـ ب أ الشكلقطراه مستطيل ء جـ ب أ الشكل

) مربع ) متعامدان

( أ النقط كانت )3، 1إذا ب( ،3 ،2( جـ ( ،0 ) رؤوسمثلث هى ك ،

فىب الزاوية قائمك قيمة أوجد

فىب = - الزاوية قائم 1المثلث

ب م جـ م× أ 6 = - 2 –ك 1 = -ب

2+6ك = -1 × = -

4ك = -1 × = -

***************************************************************

( أ النقط كانت ) 3إذا ) ، ك ب ، ك ،5( جـ ( رؤوسمثلث( 1، 0، هى

أ فى الزاوية قائمك قيمة أوجد

فىب = - الزاوية قائم 1المثلث

ب م جـ م× أ ك 3 + 9 = - 5ك +6 – 2ك 1 = -أ

0 = 14ك +9 – 2ك 1 × = -

0 ( = 7 –ك () 2 –ك ) 1 × = -

7ك = 2ك =

**************************************************************

هامة مالحظةتساوى = = ثابت ص ثابت، المستقيمينس بين 90الزاوية

114

2 – 3 3 – 1

2 – ك 0 - 3

- 1 2

2 – ك -3

2 – ك 6

5 – ك ك – 3

1 – ك 3 - 0

5 – ك ك – 3

1 – ك 3 - 0

5 ك + 6 – 2 كك 3 – 9

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

المستقيمينس = بين الزاوية 90تساوى 4،ص = 3فمثالالمستقيمينس- بين 90تساوى 0 = 3،ص +0 = 1 –الزاوية

المستقيمان( 1) أن س = +0 = 1ص +5س + 3إثبت متعامدان 2،صالمستقيمانس( 2) أن ص + = 2، 0 = 1ص +2 –إثبت متعامدان 3سبالنقطتين( ) 3) المار المستقيم أن على( 5، 3،( ) 2، 1إثبت عمودى

بالنقطتين المار المستقيم ( 1 ،2 ( )،4 ،0 )

المستقيم( 4) أن المار 0 = 2ص +4س +3إثبت المستقيم على عمودى

(2، 1بالنقطتين )

( ،4 ،6)

المستقيمانكس( 5) كان متعامدان 0 = 1 –ص 2س + 3، 5ص = 6 –إذا

ك قيمة أوجدء( 6) جـ على بعمودى أ أن علم إذا ك قيمة أوجد االتية الحاالت فى

(= ] أ] ب( = )2، 1أ جـ( = )5، 3، ،2- ،1- (= )، ك ء ،3 )

( = ] أ] ب( = )3، 1ب ،4- ،1 (= )، ك جـ ك( = ) - (5، ، ك ء ،(= ] أ] ( = )2جـ ب ، ك جـ ( = )5، 1، ،1 ،4 ( = ) ، ك ء ،5)

وعمودىعلى( 7) االصل بنقطة المار المستقيم معادلة أوجد

0= 2ص +4 –س 3المستقيم

بالنقطة( ) 8) المار المستقيم معادلة على( 3، -2أوجد عمودى

3س+5المستقيمص =

بالنقطة( )-9) المار المستقيم معادلة على( 2، -1أوجد وعمودى

بالنقطتين المار المستقيم ( 2 ،0 ( ) ،5 ،4 )

115

تمارين (3)5

3

الجزء( 10) من وحدات ثالث يقطع الذى المستقيم معادلة أوجد

الصاداتوعمودى لمحور الموجبالمستقيم 0ص = 5 –س 4على

الجزء( 11) من وحدات أربعة يقطع الذى المستقيم معادلة أوجد

الصاداتوعمودى لمحور السالببالنقطتين ) المار المستقيم ( 1، 4، ( ) 5، 1على

أ( = )12) النقط أن ب( = ) 2، 3إثبت جـ( = )-4، -1، هىرؤوس( 0، 1،

الزاوية قائم مثلث(13(= أ( النقط أن ب( =)3، 5إثبت جـ( = ) 2، -3، هىرؤوس ( 5، 0،

الزاوية قائم مثلث(14-(= أ( النقط أن =)3، 1إثبت ب( ،5 ،1(= جـ( ،6 ،4(= ء( هى( 6، 0،

رؤوسمستطيل (15(= أ( النقط أن 3إثبت 3،(= ب( ،5 ،9-(= جـ( ء( = )-7، 1، هى( 1، 3،

رؤوسمعين (16(= أ( النقط أن =)1، 1إثبت ب( ،0 ،4(= جـ( ،3 ،5(= ء( هى( 2، 4،

رؤوسمربع بالنقطتين( 17) المار المستقيم على العمودى المستقيم ميل أوجد

=)3، -2أ=) ب( ،3 ،5)

النقطة ) الصاداتفى محور ويقطع م ميله الذى جـ (0المستقيم ،] الصادات] محور من جـ يقطع

جـ = + مس العالقةص من معادلته تتعين**************************************************************

ميله = الذى المستقيم معادلة الصادات 2أوجد محور ويقطع

النقطة ) ( 3، 0فى

3جـ = 2م =

116

مث ال

الحــــــــــــــــــل

والجزء ميله بمعلومية مستقيم معادلةالصادات محور من المقطوع

= ص = + جـ مس المستقيمص 3س +2معادلة

***************************************************************

ميله = الذى المستقيم معادلة الصادات 3أوجد محور ويقطع

النقطة ) ( 4، -0فى

4جـ = -3م =

= ص = + جـ مس المستقيمص 4س - 3معادلة

***************************************************************

ميله = الذى المستقيم معادلة ثالثوحدات 5أوجد ويقطع

لمحور الموجب الجزء منالصادات

3جـ = 5م =

= ص = + جـ مس المستقيمص 3س +5معادلة

***************************************************************

ميله = الذى المستقيم معادلة ثالثوحدات 2أوجد ويقطع

لمحور السالب الجزء منالصادات

3جـ = -2م =

= ص = + جـ مس المستقيمص 3س - 2معادلة

المقطوع والجزء االتية المستقيمات من كال ميل أوجد

الصادات محور من بواسطتها

4 –س 3ص( = 2 )5س +2ص( = 1)

3الميل = 2الميل =

117

مث ال

الحــــــــــــــــــل

مث ال

الحــــــــــــــــــل

مث ال

الحــــــــــــــــــل

مثال

الحــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــل

= الصادات محور من المقطوع من 5الجزء المقطوع الجزء

- = الصادات 4محور

******************************* ******************************

5 –س 3ص = 2( 4س )4 – 3ص( = 3)

الميل = 4الميل = -= الصادات محور من المقطوع من 3الجزء المقطوع الجزء

= الصادات محور****************************** ******************************

س( = +5) 0 = 6 –س 5 –ص 3( 6 )5ص

الميل = = الميل= الصادات محور من المقطوع من 5الجزء المقطوع الجزء

= الصادات 2محور

******************************* ******************************

1س = 3ص( + 8 )0 = 7س +2ص( - 7)

س 3 – 1ص = 7 –س 2ص = 3الميل = -2الميل =

-= الصادات محور من المقطوع من 7الجزء المقطوع الجزء

= الصادات 1محور

******************************** ******************************

س = +2( 9) (4 –س 3)2ص( = 10 )5ص

6الميل = × = = ــــــالميل =

= من المقطوع الجزء الصادات محور من المقطوع الجزء

- = الصادات 8محور

المستقيم ميل مع 12ص = 3س +2أوجد تقاطعه نقط أوجد ثم

االحداثيات محورى118

32- 5

2

23

53

23

13

1321

312

165

2

الحــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

محور = = مع التقاطع نقط اليجاد الميل

السينات 0نضعص =

نضع الصادات محور مع التقاطع نقط 12س = 2اليجاد

6س = 0س =

=12ص=3 السيناتفى 4ص محور يقطع المستقيم

(0، 6النقطة )

الصاداتفى ) محور يقطع (4، 0المستقيم

المستقيم ميل كان أس = + 2إذا أ 3يساوى 5ص قيمة أوجد

3 = ــــــ 0 = 5 –أس –ص 2

المستقيم = 6أ = 3ميل

= 3

أ = ) ص المستقيم ميل كان أوجد 3يساوى 4س ( + 2 –إذا

أ قيمة

المستقيم = 2+3أ = 3ميل

5أ = 3 = 2 –أ

المستقيم ميل كان أ = ) +3إذا أوجد 4يساوى 1س ( +2ص

أ قيمة

المستقيم = 12 = 2أ + 4ميل

2 – 12أ =

10أ = 4 =

119

معامل- س

معــامل

- 2 3

معامل- س

معــامل

أ2

2 أ + 3

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مثا ل

الحــــــــــــــــــل

مستقيم معادلة على تمارين

والجزء ميلة بمعلوميةالصادات محور من المقطوع

ميله( = 1) الذى المستقيم معادلة االتجاه 3أوجد من وحدتان ويقطع

الصادات لمحور الموجبخمسوحداتمن( = 2) ويقطع ميله الذى المستقيم معادلة أوجد

الصادات لمحور الموجب االتجاهميله( = 3) الذى المستقيم معادلة وحداتمن 4أوجد ثالث ويقطع

الصادات لمحور السالب االتجاهميله( = -4) الذى المستقيم معادلة االتجاه 3أوجد من وحدتان ويقطع

الصادات لمحور الموجبمن( = 5) وحدتان ويقطع صفر ميله الذى المستقيم معادلة أوجد

الصادات لمحور الموجب االتجاهميله( = 6) الذى المستقيم معادلة الصاداتفى 3أوجد محور ويقطع

( 4، 0النقطة )

ميله( = 7 ) الذى المستقيم معادلة الصاداتفى 3أوجد محور ويقطع

( 3، -0النقطة )

ميله( = -8) الذى المستقيم معادلة الصاداتفى 2أوجد محور ويقطع

( 5، 0النقطة )

ميله( = 9) الذى المستقيم معادلة المستقيم 3أوجد 5 –س 4ويوازى

0 = 1ص +

المستقيمص( = = 10) ويوازى ميله الذى المستقيم معادلة 2أوجد

5س +

المستقيم( = 11) ويوازى ميله الذى المستقيم معادلة ص =3أوجد

س 4 – 5ميله( = 12) الذى المستقيم معادلة المستقيم 3أوجد على 4وعمودى

0 = 1ص +5 –س

المستقيم( = 13) على وعمودى ميله الذى المستقيم معادلة أوجد

5س +2ص =

120

23

34

25

34

25

المستقيم( = 14) وعمودى ميله الذى المستقيم معادلة ص 3أوجدس 4 – 5= المار( = 15) المستقيم ويوازى ميله الذى المستقيم معادلة أوجد

بالنقطتين (1 ،2( )،5 ،7)

المار( = 16) المستقيم ويوازى ميله الذى المستقيم معادلة أوجد

بالنقطتين-(1 ،2( )،1- ،3)

المار( = 17) المستقيم ويوازى ميله الذى المستقيم معادلة أوجد

بالنقطتين (0 ،5( )،4 ،0)

المستقيم( = 18) على وعمودى ميله الذى المستقيم معادلة أوجد

بالنقطتين المار(1- ،2( )،5 ،2)

معادلة أوجد( 19)

ميله = المستقيم الذى

المستقيم وعمودى على

بالنقطتين المار-(1- ،2( ) ،3 ،5)

121

13

- 4 3

32

- 3 5

23

للزاوية :- القياسالستينىالدرجة القياسوحداته أنواع من نوع القياسالستينى

والثانية والدقيقة 60الدقيقة ) = // 60 = /1دقيقة ( 60الدرجة ) = / 60 = 1

ثانية ( أو ودقائق درجات أو درجاتفقط من الزاوية تتكون وقد

فمثال وثوانى ودقائق درجاتأ) ( = ب ) ( = 100ق ق أو جـ ) ( = 150 /40 ق أو 15// 35 /

70 طريقتين بأحدى درجات إلى والثوانى الدقائق تحويل ويمكن=================================================

==============بالدرجات التالية الزوايا من أكتبكال

( 100 /25أ ) ( ب ) 15// 30/ 120 الحــــــــــــــــــــــل

أ) ( األولى الطريقة

25/ 100 = i 100 = + 100 + 0.41666667 = 100.41666667الحاسبة ) ( بااللة الثانية الطريقة

122

األساسية المثلثية النسبالحادة للزاوية

2560

100 ,,,,40 ,,,, =100.4166666

مثال

) 120 /30 //15ب)االولى الطريقة

15// 30/ 120 = i 120 + + i 120= ـــــــــــــــ + i 0.5 + 0.00416667 = 120.5041667

الحاسبة ) ( بااللة الثانية الطريقة

===============================================================

والدقائق بالدرجات األتية الزوايا من أكتبكالوالثوانى

( 54.36أ ) ( 100.5ب )الحــــــــــــــــــــل

الحاسبة االلة بأستخدام

54.36 = 36 // 21/ 54 i ) 100.5ب)

الحاسبة بأستخدام

====================================================================

الحادة للزاوية المثلثية النسبجميع إيجاد يمكن الزاوية قائم مثلث فى تقع حادة زاوية أى

الزاوية القائم المثلث أضالع بمعلومية لها المثلثية النسبوهى حادة زاوية الى مثلثية نسب ثالث توجد

بالرمز( ) ( )1) وباالنجليزية جا بالرمز له ويرمز الزاوية جيب

Sin)

وباالنجليزية( ) ( 2) جتا بالرمز له ويرمز الزاوية تمام جيب

(Sinبالرمز )

بالرمز( ) ( )3) وباالنجليزية ظا بالرمز له ويرمز الزاوية ظل

tan)

123

3060

1560 × 60

120 ,,,,30 ,,,, =120.504166630 ,,,,

54.36 =shif ,,,, =54 21 36

100.5 =shif ,,,, =100 30

مثال

أ = = = جاجـ = جا

أ = = = = جتا جتاجـ

أ = = = = ظا ظاجـ********************************************************

الحظأن فيكون والمجاور المقابل وضع يتغير أ لزاوية بالنسبة

ب ) ( ) ( أ والمجاور جـ ب المقابل********************************************************

) جـ :- ) أ أن ب = ) (2الحظ (2أ جـ + ) 2ب

ب ) ( (2أ جـ = ) جـ ) (– 2أ 2ب

) جـ ) (2ب جـ = ) ب ) (– 2أ 2أ

أكمل المقابل الزاوية القائم المثلث منجـ( = ...... )1) أ( = .......3جا جاأ( = .......6جتاجـ( = ........ )3 ) جتاجـ( = ......... )7) أ( = ........ 10ظا ظا

========================================================================

ب = حيثأ فىب الزاوية قائم مثلث جـ ب ب 5أ ، سمأوجد 12جـ = سم

جا أن أثبت ثم أ لزاوية المثلثية الدوال جتا + 2جميع أ =2أ1

الحـــــــــــــــــــــــــــــلجـ) ( ب = ) (2أ جـ + ) (2أ 2ب

( = 5)2( + 12) 2 = 25+144 = 169124

أ

جـبالمقاب

المجا

الوتر

المقابل

الوتــ

ب أجـ أالمجاور

جـ بجـ أ

المقـــابل

ب أ ب

أ

جـب

أ

جـ

س3

س4

س5

المقابل

جـ بجـ أالمجاور

ب أجـ أ

المقـــابل

ب أ ب

*

جـب

أ

بجـ

س5

سم12

مثال

مثال

جـ = سم 13 = 169أأ = = = جا

جتا + 2جا 2 + ) (2أ = ) (2أأ = = = ــــــجتا

1 = ــــــــــ = ـــــــــ + ــــــــ = أ = = = ــــــظا

===================================================================

كان فإذا فىب الزاوية قائم مثلث جـ ب ب = 2أ جـ 3أ أالمثلثية النسب فأوجد

جـ للزاوية األساسيةالحــــــــــــــــــــــــــل

ب = 2 جـ 3أ أ =

) جـ) 2 (2 = ) 2ب – ( 3) 2 = 4 – 3 = 1

جـ = 1ب

جـ = = = = ظا جتاجـ جـ 3جا

سع = ، فىع الزاوية قائم مثلث سم،س 7سصعسم 25ص =

من كال قيمة أوجدظاص( × )1 ) جا + 2جا( 2ظاس ص 2س

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــل 2(7 )– 2(25 = )2سع ) (– 2سص = ) (2عص) (

= 625 – 49 = 576 سم 24 = 576عص =

ظاص × = × = 1ظاس

جا + 2جا 1 = - = = =2 + ) (2ص = ) (2س

125

المقابل

المجاالوتــورالمقـــابل

بجـ

1213

ب أجـ أ

بجـ

513

125

1213

513

144169

25169

169169

أب

جـ أ

3 2

أ

جـب

32

3 2

12

3 1

س

ص عس25سم7

م

مثال

س24 24 7

7 242425

7 24

576625

49625

576 + 49 625

625625

مثال

=================================================

========================

جـ = = أ ب أ فيه الساقين مثلثمتساوى جـ ب ، 5أ سم

جـ = سم 8بجـ لزاوية األساسية المثلثية الدوال جميع أوجد

الحــــــــــــــــــــــل جـ فينصفب جـ علىب عمودى ء أ نرسم

ء أ نوجد ثمء) ( ب = ) (2أ ء ) (– 2أ 9 = 16 – 25 = 2ب

= ء سم 3أظاجـ = = = = = = جتاب جاب

=======================================================

=======================

أكمل ( 1 ) المقابل الشكل فىجاس ( = .........أ

= ) جتاس ..........ب

ظاس ( = ...........جـ

جاع( = جتاع = ............ ء ظاع = .............، ،........

االلة أستخدام بدون لها المثلثية الدوال إيجاد يمكن بعضالزوايا هناك

هذه تسمى ولهذا الحاسبةالخاصة بالزوايا الزوايا

للزاويتين المثلثية الدوال ، 30اليجاد ثالثينى 60 مثلث برسم نقوم

ستينى

126

أ

جب س4س4

س5س5

ء

المقابل الوت

المجاورالوتر

المقابل

المجاو

35

45

34

تدريصسب

عس9م

س40م

لبعض المثلثية النسبالخاصة الزوايا

مثال

للزاوية المقابل الضلع أن المعروف نصف 30من يساوىجـ = = أ فإن ل أب فرضأن وإذا الوتر ل 2طول

جـ ب بإيجاد قمنا وإذا) جـ) (2ب جـ = ) ب ) (– 2أ (2 = ) 2أ 2ل ) (– 2ل

جـ = 2ل 3 = 2ل – 2ل 4 = ب ل 3فيكون = = = 60جا ـــــــــ = = = 30جا

ــــــ = = = 60جتا= = = 30جتا

3 = = = 60ظا = = = 30ظا

=======================================================

================================

للزاوية المثلثية الدوال الزاوية 45اليجاد قائم مثلث نفرضوجود

زواياه الثالثة 45أحدى الزاوية فتكون المثلثسيكون 45 أن أى أيضا

الضلع نوجد ل ، ل طوليهما ساقيه نفرضأن الساقين مثلثمتساوى

الوتر وهو الثالثجـ) ( (2أ ب = ) (2أ جـ + ) 2ل 2 = 2ل + 2ل = 2بجـ = ل 2أ

للزاوية المثلثية الدوال تكون كالتالى 45وبالتالى تكون ـــــــــ = = = 45جا

ــــــــــ = = = 45جتا

1 = = = 45ظا

المقادير من كال قيمة أوجد الحاسبة أستخدام بدون

االتية 30جا 60جتا + 30جتا 60جا( 1)

الحـــــــــــــــــــــــــل

127

أ

جـب 30

60ل2ل

ل 3

المقابل المجاورالوتالوترالمقــا

بل المجاو

لل2

12

ل 3 ل2

32

ل ل3

المقابل الوت

المجاورالوترالمقــا

بل المجاو

1 3

لل2

12

ل 3 ل2

32

ل 3 ل

أ

جـب

ل 2

ل

ل 45i

45i

المقابل المجاورالوتالوترالمقــا

بل المجاو

لل 2

لل 2لل

12

12

32

3212

12

34

14

44

مثال

1المقدار = × + × = + = =

********************************************************

60جتا - 45ظا + 45 2جا( 2)

الحــــــــــــــــــــــــــــــــل1 - = 1 = + – 1 + 2المقدار = ) (

********************************************************

45جتا 45جا + 60 2ظا + 60 2جا( 3)

الحـــــــــــــــــــــــــــل + = = 3 + × = +2 (3المقدار =) ( + )

=================================================

=======================

30 2جتا + 60ظا 60جا – 30جا 60جتا( 4)

الحــــــــــــــــــل = - + 2 + ) (3المقدار = × - ×

= 1 = -

********************************************************

مالحظات فمثال( ) 1) لها المتتمة الزاوية تمام جيب يساوى الزاوية جيب

= (60جتا = 30جا

زاوية( = ) (2) الى أ ظا

أن إثبت الحاسبة أستخدام بدون

128

12

12

12

32

2 12

12

34

12

3+ 12+2 4

174

12

12

12 3

2 3

214

32

34

32

- 1 2

12 جـــا

أ

2ظا – 60 3جتا 9 = 30 3جا( 4 )45جتا 45جا 2 = 45ظا( 1)

45

الحـــــــــــــــــــــل

الحـــــــــــــــــــــــــل = 3االيمن = ) (1االيمن =

1 × = 2 × × = 2االيسر =

× -9 = 2(1 )– 3 ) (9االيسر =

1

متساويان الطرفان - = 1 =

1 – 30 2جتا 2 = 60جتا( 2)

60جا – 30جتا 60جتا( 5الحــــــــــــــــل )

صفر = 30جا االيمن =

الحــــــــــــــــــــــــــــــــــلااليمن = × - × 1 × - 2 =1 – 2 ) (2االيسر=

- = 1 = صفر = - =

متساويان 30 2جا 2 – 1 = 60جتا( 3) الطرفانالحــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

االيمن= × 2 – 1 ) ( = 2 – 1االيسر =

= 1 = -

متساويان الطرفان

129

12

12

3 2

34

32

12

12

12

18

12

12

98

18

12

12

32

32

34

34

12

12

12

214

12

12

كيفيحزن رب عنده من

ويغفر يقدر ويستر

ويرى ويرزقوبيده ويسمع

مقاليد

قيمةسحيث أوجد الحاسبة إستخدام س > >0بدون

أن 90 تحقق التى

60جا 30جا 4ظاس( = 4 )45جتا 45جا 2ظاس( = 1)

الحـــــــــــــــــــل

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل × ×4ظاس × × = 2ظاس =

× 4ظاس × = 2ظاس =

3ظاس = 1ظاس =

س = 45س = 60

جا( = 5 )60جا 2ظاس = 3( 2) 60ظا 30جتاس

الحـــــــــــــــــــــــــل

الحــــــــــــــــــــــــــــــــــل جتاس × = × 2ظاس = 33ظـــــــاس = 3

جتاس = = ظاسفى ومقاما بسطا 30س = 3بالضرب

ظاس = × ــــــــــ ظاس =

ــــــ ظاس =

130

12

12

12

32

12

32

34

3 12

32

3 3

3 3

3 3

33 313

تقل الكثرت راياتالباطل وقم

مثال

30س =

للزوايا المثلثية ، 60، 30تلخيصالدوال 45

********************************************************الحاسبة :- االلة بأستخدام لزاوية االساسية المثلثية الدوال إيجاد

من كال قيمة أوجد مثال200ظا( 3 )120جتا( 2 )50جا( 1)

الحــــــــــــــــــــل الحاسبة( 1) االلة بأستخدام

0.766044443 = 50جا

********************************************************الحاسبة( 2) االلة بأستخدام

0.5 = - 120جتا

********************************************************الحاسبة( 3) االلة بأستخدام

0.363970234 = 200ظا

131

306045

جا

جتا

31ظا

12

12

1212

32

3 2

1 3

nis 05 = 0.766044443

soc 021 = - 0.5

nat 002 = 0.363970234

المثلثية الدوال أحدى علمت إذا زاوية إيجاد

لها :-********************************************************

أن :- تحقق سالتى قيمة أوجد مثال 0.45جاس( = 1)

0.125جتاس( = 3)

0.6124ظاس( = 5)

الحــــــــــــــــــــــــــــــل جيببها( = 1) التى الزاوية الحاسبة 0.45اليجاد االلة بأستخدام

26 /44 //37س = ********************************************************

تمامها( =2 ) جيبب التى الزاوية االلة 0.125اليجاد بأستخدام

الحاسبة

82 /49 //9س = ********************************************************

التىظلها( = 1 ) الزاوية الحاسبة 0.6124اليجاد االلة بأستخدام

31 /28 //59س =

132

shift sin 0.45 = 26 44 37

shift cos 0.125 = 82 49 9

shift tan 0.6124 = 31 28 59

طوله حائطرأسى 10سلم على العلوى بطرفه يستند م

وبطرفه 7أرتفاعه مالتى قياسالزاوية أوجد أرضأفقية على السفلى

االرض مع السلم يصنعهاالحــــــــــــــــــل

جاجـ = جـ ) ( = 44 /25 //37ق

********************************************************

طوله حائطرأسى 7سلم على العلوى بطرفه يستند م

أرض السفلىعلى وبطرفهالحائط عن يبعد السفلى الطرف كان فإذا 5أفقية

التى قياسالزاوية أوجد أمتاراالرض مع السلم يصنعها

الحــــــــــــــــــل جتاجـ =

جـ ) ( = 44 /24 //55 ق

********************************************************

أرتفاعه رأسى حائط على العلوى بطرفه يستند 7سلم

السفلىعلى وبطرفه ماالرض عن يبعد السفلى الطرف كان فإذا 4أرضأفقية

التى قياسالزاوية أوجد ماالرض مع السلم يصنعها

133

أ

جب

م7م 10

االرض

7 10

أ

جب

م 7

م 5

5 7

مثال

مثال

الحــــــــــــــــــل ظاجـ =

جـ ) ( = 60 /15 //18ق

طوله حائطرأسى 10سلم على العلوى بطرفه يستند م

أرض السفلىعلى وبطرفهقياسها االرضزاوية مع يصنع السلم كان فإذا 50أفقية

الحائط أرتفاع أوجدالحــــــــــــــــــل

= 50جا

ب = م 7.66 = 50جا 10أ

********************************************************

طوله حائطرأسى 7سلم على العلوى بطرفه يستند م

أرض السفلىعلى وبطرفهقياسها زاوية االفقى مع يصنع السلم كان فإذا أفقية

السفلى 40 الطرف بعد أوجد الحائط عن

الحــــــــــــــــــل = 40جتا

جـ = م 5.36 = 40جتا 7ب

********************************************************

134

أ

جب

م7

م 4

7 4

أ

جب

م7م 10

االرض

أ ب10

أ

جب

م 7 جـ ب7

مثال

مثال

مثال

50

40

أرتفاعه رأسى حائط على العلوى بطرفه يستند 7سلم

السفلىعلى وبطرفه مزاوية االفقى مع يصنع السلم كان فإذا أرضأفقية

السلم 35قياسها طول أوجد الحــــــــــــــــــل

= 35جا

جـ × = 35جا 7أ

جـ = م 12.2 = ــــــــــــ أ

وبطرفه رأسى حائط على العلوى بطرفه يستند سلم

فإذا أرضأفقية على السفلىقياسها زاوية االفقى مع يصنع السلم أوجد 35كان

الطرف أن علم إذا السلم طولالحائطمسافة عن يبعد م 6السفلى

الحــــــــــــــــــل = 35ظا

ب = 35ظا 6أ

********************************************************

ساقيه الساقينطوال مثلثمتساوى جـ ب سم 10أ

سم 12وقاعدته = زواياه قياسجميع أوجد

الحــــــــــــــــــــل ء ب أ فى

135

أ

جب

م7 7 جـ أ

735جا

35

أ

جب

م7 أ ب635

أ

م 10م 10

مثال

مثال

ء) ( (2أ ب = ) (– 2أ ء ) 2ب

= 100 – 36 = 64

= ء سم 8أجـ ) ( = ــــــجتاب = 53 /7ق

= ) ( ب 53 /7ق = ) ( أ 106 /14 - 180 [ = 53 /7 + 53 /7 ] – 180ق

= 46/ 73 i ********************************************************

ظا كان قيمةسحيث 1س = 3إذا س > >0أوجد

90

الحــــــــــــــل 45س = 3 1س = 3ظا ظا = 3ظا 15س = 45س

136

جـءب م 6م 6

610

مثال