MecanicaFluidos_mod03

8/18/2019 MecanicaFluidos_mod03

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Mecânicados Fluidos

FUNDAMENTOS DA

FLUIDOSTÁTICA

O conceito de pressão eplano de carga em diversos casos da engenharia

Valor, direção e sentido da pressão nointerior dos fluidos

Utilizando o plano horizontalxoy como plano de referênciapara a medição de cotas


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APRESENTAÇÃO

O lá, querido(a) aluno(a)! Seja bem-vindo(a)!Neste módulo iremos, finalmente, começar a “engenheirar” com os fluidos, estudando avariação da pressão no interior dos fluidos incompressíveis e aprendendo o conceito decarga, principal elemento na resolução da maioria dos problemas da engenharia.

Vamos, também, conhecer o comportamento de dois fluidos incompressíveis e imiscíveis(que não se misturam) em um mesmo recipiente, sem separação e, ainda, como construirdiagramas de pressões, muito utilizados na engenharia, principalmente em cálculosestruturais.

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo final desse módulo você deverá ser capaz de:

• Identificar o valor, direção e sentido da pressão no interior dos fluidos;

• Aplicar o conceito de pressão e plano de carga em diversos casos da engenharia, tais comoo prisma de pressões;

• Utilizar o plano horizontal xoy como um plano de referência para a medição de cotas,denominando-o de datum (que, em latim, significa "dado", isto é, nossa referência inicial).

F I C H A T

É C

N I C A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE

EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Gestão PedagógicaCoordenaçãoGabrielle Nunes PaixãoTransposição PedagógicaEdiane Cardoso de Araújo Fernandes

Produção deDesign MultimídiaCoordenaçãoRodrigo Tito M. ValadaresDesign MultimídiaAlan Galego BerniniRaphael Gonçalves Porto Nascimento

Infra-Estrututura e SuporteCoordenaçãoAnderson Peixoto da Silva

AUTORIA DA DISCIPLINA

Profa. Maria da Glória Braz

BELO HORIZONTE - 2013


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FUNDAMENTOS DA FLUIDOSTÁTICA

A pressão e sua variação

dentro da porção fuida

O termo pressão é muito difundido no nosso cotidiano. O médico medenossa pressão sanguínea, vamos ao posto de gasolina conferir a pressãonos pneus e ouvimos os meteorologistas dizerem que o centro de altapressão resultou no aumento do frio em determinado local. Mas... O queé pressão? Analise os exemplos da figura 1.

FIGURA 1 – EXEMPLOS DE PRESSÃO

Pressão do corposobre o pé e sobre o sapato

Pressão do martelosobre a cabeça do prego

A pressão é definida como a razão de uma força, uniformemente distribuída, sobre umasuperfície, da seguinte forma:

P F

A=

Sendo:

P = pressão;

F = Força;

A = superfície

A unidade de pressão no SI é o N/m²= 1Pa (Pasca) e no MKfs é kgf/m2.

EXEMPLO 1:

Uma força de intensidade 60N atua, perpendicularmente, sobre a superfície de uma placacircular, cuja área é de 0,3 m². Calcule o valor da pressão exercida por esta força.

P F

A

P

N

m N m Pa

=

= = =

60

0 3 200 2002

2

, /

Fundamentos da Fluidostática 41


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EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DE EQUILÍBRIO ESTÁTICOConsidere uma partícula de fluido em repouso, estando ela sujeita a, somente, a ação dagravidade. Assim, podemos dizer que ela está submetida à força de massa, que é a gravi-dade e à força de superfície, que é a pressão.

O equilíbrio dessas duas forças agindo sobre uma partícula de fluido elementar expressa

em forma diferencial é conhecida como equação fundamental de equilíbrio estático parao campo das forças da gravidade, sendo:

P = a pressão estática no ponto;

r = a massa específica do fluido no ponto;

g = a aceleração da gravidade no ponto;

z = a cota do ponto, medida a partir de um nível de referência arbitrário.

FIGURA 2 - EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DO EQUILÍBRIO ESTÁTICO

Fonte: Vianna, 2009.

De acordo com Vianna (2009), ao consideramos uma porção fluida genérica, referida aum sistema de eixos coordenados x, y, z, estando o eixo z, na vertical e os eixos x e ysejam normais entre si e no plano horizontal, de acordo com a figura 2, temos a compo-nente das forças de pressão no eixo x, que é uma força de superfície, como:

F p p

x

dxdydz i p

p

x

dxdydz i

F

x

x

= − ∂

∂

− +

∂

∂

2 2

== − ∂

∂

p

xdxdydz i

Admitindo-se que:

• ( i

), ( j

) e ( k

) são vetores unitários segundo os eixos coordenados x, y e z, respec-tivamente.

• A porção fluida tem a forma de um paralelepípedo cujos lados são paralelos aosplanos yoz, xoz e xoy e com dimensões dx, dy e dz.

• P é o ponto localizado no centro da porção fluida, com pressão p.

• Conforme sejam as direções dos eixos, ∂ ∂ p x/ , ∂ ∂ p y/ e ∂ ∂ p z / são as leis devariação da pressão segundo os eixos coordenados x, y e z, respectivamente.

Fundamentos da Fluidostática42


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Agora, estendendo as componentes, conforme os eixos dos (y) e (z), tem-se:

F p

ydxdydz j

F p

z dxdydz k

y

z

= − ∂

∂

= − ∂

∂

Ao consideramos a forma vetorial, podemos deduzir que:

F=Fx+Fy+Fz e, assim, tem-se que:

F p

xdxdydz i

p

ydxdydz j

p

z dxdydz k = −

∂

∂

+ −

∂

∂

+ −

∂

∂

F F p

xi

p

y j

p

z k dxdydz = −

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

Mas, a resultante das forças de massa que atuam sobre a porção de massa fluida tem,apenas, uma componente específica, que é o peso próprio (força de massa), cuja direçãoé a do eixo dos z, podendo-se escrever que:

W g dx dy dz k = −ρ . . . . .

Então, podemos assumir que a resultante das forças atuantes na porção fluida é:

R F W

R p

xi

p

y j

p

z k dxdydz gdxdydzk

= +

= − ∂

∂ +

∂

∂ +

∂

∂

− ρ

Mas, se a porção fluida estiver em equilíbrio dentro da massa fluida, então a resultante

das forças atuantes é R=0 e, assim, podemos assumir que:

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

∂

∂

∂

∂

∂

∂

p

xi

p

y j

p

z k dxdydz gdxdydzk

p

xi

p

y j

p

z k

+ +

+ =

+ +

0

+ =

+ +

+ =

ρ

∂

∂

∂

∂

∂

∂ ρ

gk

xi

y j

z k p gk

0

0

E, dessa forma, tem-se, na forma diferencial, a equação fundamental de equilíbrio estático

para o campo das forças da gravidade, apresentada a seguir.

∇ + = p gk ρ 0 , sendo ∇ p, o gradiente de pressão, ou seja, o diferencial de pressão.

As componentes da equação fundamental de equilíbrio estático nas direções X, Y e Zfornecem as seguintes equações escalares:

∂

∂ =

∂

∂ =

p

x

p

y

0

0

pressão constante no plano horizontal

∂∂

+ = p

z pg 0



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Ao separarmos as variáveis, temos a equação:

dp+ ρgdz=0

IMPORTANTE

Para efetuar a integração da equação fundamental do equilíbrio estático tem-se que se conhe-

cer a variação da aceleração da gravidade em função da altitude, e a relação existente entrea pressão e a massa especifica do fluido que se considere.

Vianna (2005) comenta que nas aplicações práticas em engenharia, adota-se a acele-ração da gravidade como constante e, dentro do intervalo compreendido entre a maiorprofundidade encontrada nos oceanos (10km aproximadamente abaixo do nível do mar)e as camadas da estratosfera (aproximadamente 20km acima do nível do mar), a varia-ção do valor da aceleração da gravidade é desprezível, se for comparada às variações depressão correspondentes, ou mesmo da massa especifica do ar atmosférico ou da água.

O valor padrão internacional adotado para g pela Comissão Internacional de Pesos e Medidas

é 9,80665 m/s2 correspondente aproximadamente à latitude de 45° e nível do mar.

Como curiosidade, a tabela 1 apresenta a variação da aceleração da gravidade em funçãoda latitude e da altitude adotada como padrão nas normas internacionais, tendo-se.

TABELA 1 - VARIAÇÃO DA ACELERAÇÃO DA GRAVIDADE G (M/S2) COMA LATITUDE E A ALTITUDE MÉDIA ACIMA DO NÍVEL DO MAR

Latitude(graus)

Altitude acima do nível do mar (m)

0 1000 2000 4000

g(m/s2)

0 9,78049 9,77740 9,77432 9,76815

10 9,78204 9,77896 9,77587 9,76970

20 9,78652 9,78343 9,78034 9,77417

30 9,79338 9,79029 9,78721 9,78103

40 9,80180 9,79872 9,79563 9,78946

50 9,81071 9,80770 9,80461 9,79844

60 9,81924 9,81615 9,81307 9,80690

70 9,82614 9,82305 9,81997 9,81390

Fonte: Vieira, apud Vianna, 2009.

APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO FUNDAMENTALDE EQUILÍBRIO ESTÁTICO PARA O CAMPODAS FORÇAS DA GRAVIDADE

Fluidos Incompressíveis

Quando se tratar de fluidos incompressíveis, que é o caso da água em quase todas asaplicações de engenharia, dp será constante e, dessa forma,

p g z

p gz cte

= −

= − +

ρ

ρ



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Sendo o termo cte = constante, podemos escrever que:

p p gz o

= − ρ , mas, ρ γ g =

Então: p p z o

= − γ

Onde po é a pressão reinante no plano horizontal x o y, sobre o qual z = 0, conforme

figura 3, a seguir.

FIGURA 3 - VARIAÇÃO DA PRESSÃO NO INTERIOR DEUMA PORÇÃO FLUIDA INCOMPRESSÍVEL

Fonte: Vianna, 2009

Vamos admitir, agora, que o eixo O’H, na mesma direção do eixo OZ, tenha sentido posi-tivo e o OZ, sentido negativo. Podemos, então, escrever que:

p p h= +0 ' γ

Onde, como no caso anterior, p’ o

é a pressão reinante no plano horizontal x'oy' , sobre oqual h = 0.

LEI DE STEVIN

“A diferença de pressão entre dois pontos de um fluido em repouso é igual ao

produto do peso específico do fluido pela diferença das cotas dos dois pontos.”

Observe a garrafa, cheia de água, da figura 4 e responda:

FIGURA 4 – GARRAFA COM ÁGUA E FUROS

• Em qual furo da garrafa, o fluxo atingirá maior distância?

• Isso equivale dizer que, no furo mais profundo, a água sairá com maior pressão.• Como podemos comprovar essa teoria?



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P F

A= , mas

F W mg

V Ah A V

h

= =

= ⇒ =

então, P

mgh

V = , mas ρ =

m

V , então:

P gh=ρ , como γ ρ = g ,

Tem-se que: P h= γ , podemos concluir que:

• Quanto maior a profundidade, maior a pressão efetiva;

• Na diferença de pressão entre dois pontos, o que interessa é a diferença de cota;

• A pressão em um ponto é a mesma em todos os outros pontos que estejam nomesmo nível horizontal;

• A forma do recipiente que contém o fluido não interfere no o cálculo da pressão;

• Se a pressão atmosférica na superfície for nula, a pressão num ponto com cota h será calculada: P h= γ

FIGURA 5 – PRESSÃO EM TUBOS COM FORMAS DIFERENTES

LEI DE PASCAL

A pressão aplicada num ponto de um fluido em repouso transmite-se integralmente atodos os pontos do fluido.

Bem, se raciocinarmos sobre esta lei, verificaremos que se a pressão não fosse a mesma,ou seja, se houvesse desequilíbrio, a partícula fluida estaria em movimento.

EXEMPLO 2:

Imagine um recipiente, com área de 10 cm2, contendo um fluido incompressível, conformefigura 6, abaixo. Os dois pontos P 1 e P 2, dentro do fluido, possuem, respectivamente,pressão de 1N/cm2 e 6N/cm2. Ao aplicar a força de 150N sobre a superfície do fluido,teremos um acréscimo na pressão de:

FIGURA 6 – EXEMPLO DA LEI DE PASCAL

Fonte: próprio autor



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P N

cm N cm= =

150

1015

2

2/

Pressão no ponto P 1 = 1 N/cm2+15 N/cm2 = 16 N/cm2

Pressão no ponto P 2 = 6 N/cm2+15 N/cm2 = 21 N/cm2

EXEMPLO 3:

Um cabo submarino de fibra ótica deverá ser implantado no assoalho submarino a, apro-ximadamente, 6,5 km de profundidade. Sabendo-se que a densidade relativa () da águasalgada é 1,025, calcule a pressão absoluta e a pressão efetiva sobre o caso. Dadopo=10000 kgf/m2

Resolução:

p p habs o= + γ

Mas:

δ

γ

γ =

as

0

, Sendoas

, o peso específico da água salgada e0

, o peso específico da

água=1000kgf/m3, tem-se as

=1025 kgf/m2.

A pressão efetiva será p h x x kgf mef = = =γ 1025 6500 6 66 106 2

, /

E a pressão absoluta p x kgf m x kgf mabs = + =10000 6 66 10 6 67 106 2 6 2

, / , /

EXEMPLO 4:

A pressão sanguínea conduz o sangue do coração para os vasos sanguíneos, criando umgradiente de pressão que faz o sangue retornar ao coração, ciclicamente. Assim, existeuma variação de pressão sanguínea expressiva em diversos pontos do sistema circulató-rio, sendo os valores dados em altura de 120 mmHg e 80 mmHg, considerados normaispara um indivíduo. Determine os valores da pressão efetiva referentes a essas alturas e acorrespondência das mesmas em alturas de coluna de água. Dados: Hg=13600 kgf/m3 eH2O=1000 kgf/m3.

Resolução:

a. Cálculo do valor das pressões:

p hef = γ

Para h=120 mmHg

p h kgf m x m p kgf mef ef = = × ⇒ =

−

γ 13600 120 10 1632

3 3 2

/ /

Para h=80 mmHg

p h kgf m x m p kgf mef ef = = × × ⇒ =−

γ 13600 80 10 10883 3 2

/ /

b. Cálculo das alturas correspondentes em coluna de água:

p hef = γ

Para P ef =1632 kgf/m2, tem-se que:

1632 1632 1000

1632

1000

2 2 3

2

kgf m h kgf m kgf m h

h kgf m

kgf

/ / /

/

/

= ⇒ = × ⇒

=

γ

mmh m

3 1 632⇒ = ,



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E para h=80 mmHg

1088 1088 1000

1088

1000

2 2 3

2

kgf m h kgf m kgf m h

h kgf m

kgf

/ / /

/

/

= ⇒ = × ⇒

=

γ

mmh m

3 1 088⇒ = ,

Fluidos compressíveis

Lembrando que a massa específica é a razão entre a massa e o volume de um elemento,considera-se fluido compressível aquele cuja massa específica não é constante, podendovariar, quando nele se aplica determinada pressão.

No interior da massa dos fluidos compressíveis, para se obter a diferença de pressão entredois pontos, em função da diferença de cota (z), é necessário se conhecer a variação damassa específica [r=r (z)], para poder se efetuar a integração da equação fundamentalde equilíbrio estático, de acordo com a figura 7.

FIGURA 7 - INTEGRAÇÃO DA EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DEEQUILÍBRIO ESTÁTICO, EM FLUIDOS COMPRESSÍVEIS.

∫ = − ∫ ⇒ − = − ∫1

2

1

2

1

22 1dp gp z dz P P g z dz ( ) ( )ρ

Fonte: Próprio autor

VARIAÇÃO DA PRESSÃO NA ATMOSFERA TERRESTRE

A atmosfera é uma camada, composta, fundamentalmente, de gases e poeira retidos pelaação da gravidade, que envolve alguns planetas, dentre eles, a Terra.

A alteração da temperatura entre as camadas da atmosfera se dá em altitudes da atmos-fera da Terra e se altera entre camadas em altitudes distintas. Dessa forma, a relaçãomatemática entre temperatura e altitude é variável, sendo um indicador na classificaçãoda estrutura da atmosfera.

Esta estrutura se divide em três camadas relativamente quentes, intercaladas por duascamadas relativamente frias. As áreas de contato entre essas camadas são regiões dedescontinuidade e se denominam com a junção do prefixo da camada subjacente com osufixo “pausa”.

A figura 8 mostra a estrutura da atmosfera terrestre para melhor compreensão.

Datum

vem do latim e significa dado. É,de forma simplificada, o pontoou plano de referência a partir doqual foi elaborada a representaçãográfica do desenho ou projeto.



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FIGURA 8 - ESTRUTURA VERTICAL DA ATMOSFERA TERRESTRE

Na maioria das aplicações de engenharia, o limite de altitude considerado é de, apro-ximadamente, 20 km, onde se localizam, de acordo com a figura 8, a Troposfera e a

Estratosfera.

A Troposfera é a camada da atmosfera que se estende do nível do mar até a base daestratosfera, tendo como espessura média 11 km. Pode-se observar, através da figura 8,que a temperatura diminui com o aumento da altitude.

RECAPTULANDO

Vamos lembrar alguns conceitos:

1º Em fluidos compressíveis, a relação entre a pressão aplicada a certa massa fluida e seuvolume pode ser expressa genericamente através da expressão:

P cte

nρ

= , onde n é comumente chamado de expoente politrópico.

Mas, o que isso significa?

2º Vamos recordar que essa relação define os tipos de transformação dos gases, em funçãodo valor atribuído a n, de acordo com a figura 9.

Se

n

n

n

= ⇒

= ⇒

= ∞ ⇒

0

1

Transformação isobárica

Transformação isotérmica

Trransformação isovolumétrica

FIGURA 9 – TRANSFORMAÇÕES POLITRÓPICAS SEGUNDO O EXPOENTE N



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Sendo assim, pode-se afirmar que a troposfera possui atmosfera politrópica, porque nessaregião tem-se grande variação de temperatura e, dessa forma, há variação da massa espe-cífica dos gases que compõem essa região da atmosfera.

Agora, verifique na figura 8, onde se localiza e qual é a temperatura da estratosfera.

Na estratosfera, na faixa de até 20 km de altitude, onde há interesse nas aplicações deengenharia, a temperatura se mantém constante, ao longo da altitude. Dessa forma, pode-

mos admitir que essa região da atmosfera é isotérmica.

Com base no exposto acima, podemos analisar as duas regiões da atmosfera, conformea seguir:

Troposfera (atmosfera politrópica)

Para esse estudo, vamos introduzir o termo gradiente atmosférico vertical de temperatura,mostrado abaixo:

λ λ

= − → = −dT

dz dz dT

1

Ele demonstra a diminuição da temperatura à medida que a altitude aumenta. Substituímosdz, pelo gradiente atmosférico vertical de temperatura na equação fundamental de equilí-brio estático para o campo das forças da gravidade dp=- r gdz, obtendo:

dp g dT = ρ λ

1

Mas, a lei dos gases, diz que:

p gRT

gRT

p

p

gRT ρ ρ ρ = → = → =

1

Substituindo r , na primeira equação, tem-se:

dp p

gRT g dT

dp

P

dT

RT = → =

1

λ λ

Procedendo a integração, entre os limites 1 e 2, tem-se:

ln ln ln ln

ln ln

p p R

T T

p

p

T

T

p

p

T

T

R

2 1 2 1

2

1

2

1

1

2

1

2

1

1− = −( )

=

=

λ

λ

1

λ R

Segundo Vianna (2009), é possível verificar se esta equação satisfaz à equação de trans-formação politrópica ( p/r n=constante). A lei dos gases é escrita da seguinte maneira:

p

g RT T

p

gRρ ρ = → =

Onde:

T

p

gR1

1

1

=

ρ e T p

gR2

1

2

=

ρ



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Assim, a expressão anterior pode ser escrita:

p

p

p

gR

p

gR

p

p

p

p

p

R

R2

1

2

2

1

1

1

2

1

2 1

1 2

1

2=

⇒ =

⇒

ρ

ρ

ρ

ρ

λ

λ

p p

p

p

R R

R

R

1

1 1

1

2

1

2

1

1

1

2

1

=

⇒

=

−

−

λ λ

λ

λ λ

ρ

ρ

ρ

ρ

R R R

R R

p

p

p p⇒ =

⇒ =

−

− −

2

1

1

2

1

1

1

1

1

2

2

1

1

1

ρ

ρ ρ ρ

λ

λ λ

Fazendo 1

1− λ R, conseguimos chegar à equação fundamental de equilíbrio estático para

o campo das forças da gravidade:

p p

n n

1 2

21

ρ ρ =

Para o ar atmosférico com ( R = 29,3m/K ) os valores de n correspondentes aos diversosvalores de (), entre os limites usuais, são os da Tabela 2.

TABELA 2 - VALORES DE N CORRESPONDENTES A DIVERSOSVALORES DE PARA O AR ATMOSFÉRICO

n () [°C/m] n () [°C/m]

1,54 0,012 1,13 0,004

1,41 0,010 1,06 0,002

1,34 0,008 1,00 0,000

1,21 0,006 0,94 -0,002

Fonte: Vianna (2009)

Como podemos obter a relação entre altitudes e pressões?Para se obter a relação entre altitudes e pressões, podese proceder da seguinte forma, conforme Vianna (2009).

Dado que:

pcte

nρ =

Retira-se o expoente do denominador e se escreve a equação, da forma a seguir:

p p pn n n1

1

1

1

2

1

2ρ ρ ρ

= =

Assim:

1 1 1

1

1

1 2

1

2ρ ρ ρ

= =− −

p p

p p

n

n

n

n

/ /



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Admitindo que se conheça os valores de p e r no ponto 2, tem-se:

1 1 2

1

2ρ ρ =

−

p p

n

n

/

Substituindo na equação:

dp gdz ρ

= −

Tem-se:

dp p p

gdz nn

. /−

= −1 2

1

2ρ

Efetuando a integração entre os dois pontos (1) e (2), obtém-se:

p p d p g dz

nn2

1

2

1

1

2

1

2

ρ

−

∫ ∫= −/

Então:

p n

n p p g z z

n n

n

n

n2

1

2

2

1

1

1

2 1

1ρ − −

= − −( )

− −

Rearranjando:

z z n

n

p

g

p

p

n

n

2 1

2

2

1

2

1

11−( ) =

−

−

−

ρ

Podemos, aqui também, calcular a relação entre altitudes e temperaturas, a partir da defi-nição do gradiente atmosférico vertical de temperatura:

dT dz dz dT = − → = −λ λ

1

Efetuando a integração entre dois pontos (1) e (2):

dz dT

1

2

1

2

1

∫ ∫= −λ

Tem-se:

z z T T 2 1 1 2

1

− = − −( )λ

Mas

n R R n

=−

→ − = −

1

1

1 11

λ λ

λ =−n

Rn

1

Assim:

z z Rn

n

T T 2 1 1 21

−

( )=

−

−

( )



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Estratosfera (atmosfera isotérmica)

Nessa região, a temperatura é constante e, dessa forma o gradiente atmosférico verticalde temperatura (l ) é nulo e, então, seguindo o desenvolvimento de Vianna (2009), temos:

n R R

=

−

=

−

=

1

1

1

1 01

λ ( )

A expressão p p p

cten

ρ ρ ρ = = =

1 demonstra as condições de transformação isotérmica

e, dessa forma:

dp gdz dp

p gdz = − → = −ρ e

p RT

γ =

Denominando a temperatura constante até o limite de 20 km na estratosfera de (T1),

reescrevemos a expressão anterior, conforme a seguir:

p gRT

gRT

pρ ρ = → =

1

11

Então:

dp gRT

p gdz

dp

p RT dz 1

1= − → = −

Efetuando a integração da expressão anterior, tem-se:

RT p p z z

p

p

z z

RT

p

pe

z z

R

ln ln

ln

2 1 2 1

2

1

2 1

1

2

1

2 1

−( ) = − −( )

= − −

→ =

− −

T T 1

Admitindo-se que z2 - z1 = h, obtemos: p

pe

h

RT 2

1

1=

−

Estendendo essa equação exponencial para pequenas diferenças de nível, pode-se escre-ver, segundo a expressão da função (ex), numa série de Taylor:

p

pe p

h

RT

h

RT 2

1

1

1

1 1= = −+

−

...

Ou, tendo em vista que:

p

g RT

p

RT g

p p gh

ρ ρ

ρ

= → =

− =

1

1

2 1

IMPORTANTE

Essa expressão mostra que, podendo a temperatura ser considerada constante, admitimosque o ar atmosférico é incompressível para o cálculo da diferença da pressão entre doispontos em seu interior.



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EXEMPLO 5:

A figura 10 mostra uma montanha, cujo cume está sob a pressão absoluta de 0,7 kgf/cm2.Determine a altura do pico e a temperatura do ar no seu ponto mais alto.

Considerar:

G = 9,8 m/s2

l = 0,0065 ºC/m R = 29,3 m/K

r 1 = 0,125 kgf.s2/m4

T 1 = 15 ºC

FIGURA 10 - EXEMPLO 5

Fonte: Autora

Resolução:

Altura do pico:

z z n

n

p

g

p

p

n

n

2 1

2

2

1

2

1

11−( ) =

−

−

−

ρ

Tomando o plano de referência (datum) que passa pelo ponto (1), resulta z1 = 0. Para (l )

+-0,0065 °C/m, obtemos:

n R

n=−

→ =1

11 235

λ ,

Falta, agora, determinar a densidade ( r 2) do ar no alto do pico Para isto usaremos a equa-ção de transformação politrópica p/ r n = constante.

p p p

p

x

n n

n1 2

2

2

1

1

1

2

1

1 235

1 2

0 7

10 125 0 0

ρ ρ

ρ ρ

ρ

= → =

=

=

,, ,

,

9936 2 4kgf s m. /

Como teremos:

p kgf cm kgf m2

2 20 7 7000= =, / /

Então:

z

x

− =

−

0 1 235

0 235

7000

0 0936 9 8

1

0 7

1

0 235

1 235,

, , , ,

,

,

z z m= 2816



17/26

O CONCEITO DE CARGA APLICADO AOS LÍQUIDOSImagine um líquido em repouso, cujas forças atuantes sobre ele sejam às devidas aocampo gravitacional. Assuma, agora, que a pressão atmosférica ( p

atm) atue sobre a super-

fície livre desse líquido, conforme apresentado na figura 11.

FIGURA 11 - LÍQUIDA EM REPOUSO SUBMETIDO APENAS À AÇÃO DA GRAVIDADE

Fonte: Vianna, 2009.

No caso dos fluidos incompressíveis, podemos aplicar a equação, a seguir:

p p z o

= − γ , observe na figura 7, que po é a pressão atuante no datum.

Sendo patm

, a pressão atmosférica atuante na superfície líquida, o valor de po será:

p p z p p z atm o o o atm o

= − → = +γ γ

Então, a pressão em um ponto P qualquer, localizado à distância (z) acima do datum, será:

p p z p p z z o atm o

= − → = +( ) −γ γ γ ou p p z p p z z o atm o= − → = +( ) −γ γ γ

Para valores de patm

e z constantes:

p z p z cteatm o

+ = + =γ γ

Ora, o que acabamos de demonstrar, através da equação acima é que “no interior de uma porção de fluido incompressível e em equilíbrio, sob, apenas, à ação da gravidade, qual-

quer ponto dessa porção fluida tem o mesmo valor para a soma de sua pressão com o

produto do peso específico do fluido pela distância do ponto até o em relação a um datum

pré-estabelecido” (Vianna, 2009)

A forma mais disseminada no meio técnico, desta equação, é:

z p

z p

cteo

atm+ = + =

γ γ

Onde:

Z = carga de posição (m) p p

atm

γ γ e = carga piezométrica ou carga de pressão (mca ou mH

2O)

O que é mca ou mH2O

?



18/26

Você deve estar se perguntando o que é mca ou mH 2O

. Então vamos pensar: Utilizando oTeorema de Stevin, podemos expressar o valor da pressão em unidades de comprimentode um determinado fluido, pois se:

P h h p

= =γ γ

então

Dessa forma, mca ou mH 2O

significam metros de coluna de água. Podemos, também,

utilizar o mercúrio e, nesse caso, trabalhamos com mmHg (milímetros de mercúrio). É oque exprimem os termos ( p

atm / ) e ( p/ ).

FIG.12 - REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA EXPRESSÃO z p

z p

cteabs

o

atm

abs

+ = + =

γ γ


Com base na figura 12, podemos escrever que a soma z p

o

atm+

γ

, constante, é denomi-

nada carga total absoluta que define o plano de carga absoluta (PCA).

ATENÇÃO

Ressalta-se que a altura patmγ

não representa a altura da camada de ar atmosférico, mas a

altura do líquido de peso específico () capaz de reproduzir o valor da pressão atmosféricasobre a superfície líquida.

Nas aplicações de engenharia, utilizamos, quase sempre, pressões efetivas e, dessa forma,

reescreveremos as expressões anteriores:

z p

z cteo

+ = =

γ

Onde:

p p pabs

atm

abs−

=

γ γ

Sendo p a pressão efetiva.

A figura 13 apresenta a forma utilizada na engenharia civil, para representar os planos de

carga nos fluidos incompressíveis.



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É importante ressaltar que, no meio técnico, quando há referência a determinada pressão,entende-se que se trata da pressão efetiva.

FIGURA 13 - PLANOS DE CARGA ESTÁTICA ABSOLUTA E EFETIVA


EXEMPLO 6 (VIANNA, 2009)

No esquema da figura 14, determine:

a. A carga total efetiva do sistema, quando o nível do mar (elevação 900m) é tomadocomo datum (plano de referência);

b. A carga total absoluta do sistema, admitindo que a pressão atmosférica absolutaseja igual a 1 quilograma-força por centímetro quadrado em relação ao mesmodatum;

c. As cargas de posição e piezométricas dos pontos A e B.d. As leituras, em quilogramas-força por centímetro quadrado, que seriam fornecidas

por manômetros que fossem instalados em A e B.

FIGURA 14 – EXEMPLO 6

Resolução:

a. Carga total efetiva do sistema:

H = 900 m

b. Carga total absoluta do sistema:

H x mabs

= + =900 1 10000

1000910



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c. Cargas de posição e piezométricas dos pontos A e B:

z p

z p

m

z m

pm

z m

p

A A

B B

A

A

B

B

+ = + =

=

= − =

=

= −

γ γ

γ

γ

900

800

900 800 100

850

900 8500 50= m

d. Leituras, em quilogramas-força por centímetro quadrado, que seriam fornecidas pormanômetros que fossem instalados em A e B:

p x

kgf cm

p x

kgf cm

A

B

= =

= =

100 1000

1000010

50 1000

100005

2

2

/

/

EXEMPLO 7 (VIANNA, 2009)

Na instalação hidráulica predial representada na figura 15, e tendo como referência a cotazero (datum), determine as cargas de posição e de pressão dos pontos A, B, C, D e E,estando fechados todos os pontos de utilização (chuveiros, torneiras, etc.).

Figura 15 – Exemplo 7

Resolução:

Os pontos A, B e C estão submetidos à carga imposta pelo reservatório mais alto. Portanto:

z p

z p

z p

m A A

B B

C C

+ = + = + =

γ γ γ 50

Dados:

z A = 50 m

z B

= 25,20 m

zC = 16,80 m



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Obtemos:

p A

γ = 0

pm

pm B C

γ γ = =24 80 33 20, ,

Os pontos D e E estão submetidos à carga imposta pelo reservatório mais baixo. Portanto:

z p

z p

m D

D

E

E + = + =

γ γ 25

Dados:

ZD = 50 m

ZE = 25,20 m

Obtemos:

p

pm

D

E

γ

γ

=

=

0

23 50,

Fluidos incompressíveis e imiscíveis superpostos

O que são fluidos incompressíveis?E fluidos imiscíveis superpostos?

A definição mais simples é que fluidos imiscíveis são aqueles que não se misturam,conforme pode se ver na figura 16.

FIGURA 16 - FENÔMENO DA IMISCIBILIDADE: IMPACTODE UMA GOTA DE ÓLEO EM ÁGUA

A figura 17 mostra que, em posição de equilíbrio estável o fluido mais denso irá para ofundo e haverá uma superfície de separação entre eles, formada pelo contato da super-fície do fluido mais denso com o início da parte mais profunda do fluido menos denso.



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FIGURA17 - FLUIDOS INCOMPRESSÍVEIS IMISCÍVEIS:SUPERFÍCIE DE SEPARAÇÃO

O cálculo da pressão no interior de um desses fluidos deve levar em conta a presença dosoutros fluidos que exercem pressão sobre ele, conforme os exemplos que você verá agora.

EXEMPLO 8:

Um frasco de vidro contendo óleo ( = 0,87) e água ( = 1,00) precisa ser deixado sobreuma mesa de vidro, que suporta a pressão máxima de 30 kgf/m2. Verifique se o vidro nãoirá se quebrar, haja vista que as alturas das camadas dos fluidos são iguais e medem0,05m.

FIGURA 18 – EXEMPLO 8

Resolução:Pressão no fundo do frasco: P =

óleo x h

óleo +

água x h

água

= x água

óleo

= 0,87 x água

= 0,87 x 1000 kgf/m3 = 870kgf/m3

água

= x água

= 1 x 1000 = 1000 kgf/m3

Pressão no fundo do frasco: P = 870kgf/m3 x 0,05m + 1000kgf/m3 x 0,05m

P = 50kgf/m2, o vidro da mesa irá se quebrar.



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DIAGRAMAS DE PRESSÕES

Vamos falar agora de diagrama de pressões. Trata-seda representação gráfica das pressões atuantes sobredeterminada superfície, devendo ser efetuada em

escala que mostre a realidade dos processos.

As figuras 19 e 20 mostram exemplos do diagrama de pressões em um reservatório e emuma piscina.

FIGURA 19 - DIAGRAMA DE PRESSÕES NUM RESERVATÓRIO


FIGURA 20 - DIAGRAMA DE PRESSÕES NUMA PISCINA

Fonte Vianna (2009)

EXEMPLO 9 (VIANNA, 2009):

Fazer o diagrama de pressões no fundo e nas laterais do reservatório pressurizado, figura21, com pressão de ar igual a 0,15 kgf/cm2 contendo água ( = 1000 kgf/m3).



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FIG. 21 - DIAGRAMA DE PRESSÕES NUM RESERVATÓRIO PRESSURIZADO

Resolução:

Até a superfície livre do líquido, a pressão é de 0,15 kgf/cm2, ou 1500 kgf/m2. A partir daí,aumenta linearmente, atingindo no fundo o máximo de:

p h x kgf m

p h kgf cm

o

o

+ = + =

+ =

γ

γ

1500 1000 3 4500

0 45

2

2

/

, /

APLICAÇÕES PRÁTICAS

Quais são as aplicação práticas para osconceitos que aprendemos nesse módulo?

Você já viu ou, pelo menos, ouviu falar na prensa hidráulica? A Prensa Hidráulica, naprática, constitui um multiplicador de forças. A relação que descreve o funcionamento deuma prensa é dada por:

( F 1 /A1) = ( F 2 /A2)



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Onde: F 1 e F

2 são as forças aplicadas, respectivamente, sobre os êmbolos 1 e 2;

A1 e A

2 são as áreas dos êmbolos da prensa hidráulica em m2.

Considere a situação da figura 22 a seguir, onde um fluido é submetido a uma variaçãode pressão em um de seus pontos pela aplicação de uma força F

1. A alteração causa a

elevação da pressão em todo o fluido. Essa elevação da pressão impulsiona o êmbolo S 2,

ficando sujeito à ação da força F 2

, iniciando um movimento ascendente.

FIGURA 22 – FUNCIONAMENTO DA PRENSA HIDRÁULICA



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Síntese

Neste módulo, você aprendeu sobre a variação da pressão no interior da porção fluida eo conceito de carga.

Com esse aprendizado, você aperfeiçoou o seu conhecimento sobre o comportamen-

to dos fluidos incompressíveis e imiscíveis e a elaboração de diagramas de pressões,muito empregados na engenharia, principalmente em cálculos estruturais e de geotecnia,ciência que estuda o comportamento dos solos e das rochas em função de projetos deconstrução.

Referências

Bibliografia Básica:

BRUNETTI, Franco. Mecânica dos fluidos. São Paulo. Ed. Prentice Hall. 2005

FOX, R. W., McDonald, A. T. and Pritchard, P. J.; Introdução à Mecânica dos Fluidos, LTC, 6ª ed. (2004)VIANNA, Marcos Rocha , Mecânica dos Fluidos para Engenheiros. 5ª Ed. Nova Lima, Imprimatur, 2009.

Bibliografia Complementar:

FAY, J. A., “Introduction to Fluid Mechanics”, MIT Press, 1994

GILES, Ranald; EVETT, Jack. Mecânica dos fluidos e hidráulica. São Paulo. Ed. Makron Books, 1996. – coleçãoSchaum.

WHITE, F. M., "Fluid Mechanics" Mc Graw Hill, 2002

Documents

MecanicaFluidos_mod03