Mecanisme ID Cap. 2-Baze Angrenaje Plane

2. BAZELE GEOMETRICO–CINEMATICE

ALE ANGRENAJELOR EVOLVENTICE PLANE

Principala funcţie a unui angrenaj constă în transmiterea momentului şi a mişcării continue de rotaţie, de la un arbore la altul, în condiţiile reducerii sau amplificării turaţiei; evident, reducerea turaţiei este însoţită de amplificarea momentului, iar amplificarea turaţiei implică reducerea momentului.

Un angrenaj este un mecanism monocontur format din două elemente dinţate, aflate în angrenare, şi un element-suport H (tab.2.1), care menţine o anumită poziţie relativă între elementele dinţate; prin angrenare se înţelege procesul de transmitere a puterii, pe baza contactului prin tangenţă dintre flancurile dinţilor conjugaţi. Elementele dinţate pot fi de tip roată sau de tip cremalieră; cremaliera reprezintă o roată dinţată la care numărul de dinţi tinde la infinit.

În funcţie de starea elementului-suport H, se deosebesc: angrenaje cu axe fixe, când elementul-suport H este fix, şi angrenaje planetare, când elementul H este mobil.

Dintre angrenajele cunoscute (ai căror dinţi au flancuri evolventice, cicloidale, în arc de cerc etc.), angrenajele evolventice au cea mai largă aplicabilitate tehnică, deoarece:

a) sunt singurele angrenaje la care cremaliera are flancuri drepte (avantaj tehnologic şi economic!) şi, de asemenea,

b) sunt singurele angrenaje care asigură transmiterea mişcării, cu un raport de transmitere constant, în condiţiile modificării distanţei dintre axe.

53 Mecanisme

În acest capitol sunt prezentate şi interpretate, cu ajutorul unor exemple aplicative, principalele noţiuni de geometrie cinematică utilizate în angrenajele evolventice plane, de tip roată-cremalieră (R–C) şi roată-roată (R–R); angrenajul plan este un angrenaj cilindric cu dinţi drepţi (v. tab.2.1) de lăţime (grosime) nulă.

Prin extindere, noţiunile modelate se regăsesc şi în celelalte tipuri de angrenaje evolventice: angrenaje cilindrice cu dantură înclinată, angrenaje conice, angrenaje elicoidale, angrenaje melcate etc.

2.1.OBIECTIVE

Primul obiectiv al acestui capitol se referă la: 1°. Sistematizarea angrenajelor cu roţi dinţate de formă circulară

(care formează corpuri de revoluţie, în raport cu axa arborelui propriu); angrenajele cu roţi eliptice şi poligonale, fiind puţin aplicate, nu sunt incluse în această sistematizare.

Folosind apoi ca suport două exemple aplicative, sunt urmărite următoarele cinci obiective principale:

2°. Algoritmizarea calculului geometric în cazul unei danturi evolventice plane şi apoi a unui angrenaj evolventic plan, în abordare simultană cu următoarele 4 obiective:

3°. Însuşirea şi interpretarea corectă a noţiunilor de geometrie cinematică caracteristice angrenajelor evolventice;

4°. Identificarea şi modelarea principalelor limite de funcţionare;5°. Stabilirea cazurilor fundamentale de sinteză (proiectare

geometrică) şi6°. Sistematizarea angrenajelor R–R, în funcţie de unghiul de

angrenare, şi modelarea proprietăţilor fiecărui tip de angrenaj în parte.

2. Bazele geometrico-cinematice ale angrenajelor evolventice plane 54

2.2. SISTEMATIZAREA ANGRENAJELOR

În tabelul 2.1 sunt sistematizate principalele tipuri de angrenaje, cu roţi dinţate de formă circulară, folosind ca principal criteriu: poziţia relativă a arborilor, pe care sunt montate roţile dinţate. În raport cu acest criteriu se deosebesc: angrenaje cilindrice sau cu arbori paraleli (tab.2.1,a), angrenaje conice sau cu arbori concurenţi (tab.2.1,b) şi angrenaje hiperboloidale sau cu arbori încrucişaţi (tab.2.1,c).

2.2.1. Angrenaje cilindrice (cu arbori paraleli)

Primele şi cele mai larg utilizate sunt angrenajele cu arbori paraleli (tabelul 2.1,a … a4); în acest caz, axa instantanee de rotaţie (a.i.r.) I12

(fig. 2.1,a1, a2), dintre roţile dinţate 1 şi 2, este paralelă cu arborii. În timpul funcţionării, a.i.r. I12 generează, în fiecare roată, câte un cilindru circular. Cei doi cilindri, denumiţi cilindrii de rostogolire, sunt solidari cu danturile celor două roţi şi modelează axoidele mişcării unei roţi faţă de cealaltă; cu alte cuvinte, mişcarea relativă a celor două roţi poate fi descrisă intuitiv prin rostogolirea fără alunecare a unui cilindru de rostogolire faţă de celălalt. Deoarece axoidele au formă cilindrică, angrenajele de acest tip poartă numele de angrenaje cilindrice.

Precizare importantă

Reducând fictiv lăţimea (grosimea) roţilor la zero, angrenajul cilindric devine angrenaj circular plan, axoidele devin centroide şi, implicit, a.i.r. devine c.i.r. (centru instantaneu de rotaţie)!

La rândul lor, angrenajele cilindrice pot fi clasificate: a) în funcţie de poziţia a.i.r. faţă de arbori şi b) în funcţie de forma dinţilor.

În raport cu primul criteriu, se deosebesc: angrenaje exterioare, la care a.i.r. este situată între arborii roţilor (tab.2.1,a1, a2 şi fig. 2.1,a1) şi angrenaje interioare, la care a.i.r. este situată în afara arborilor (tab.2.1,a3, a4 şi fig. 2.1,a2).

55 Mecanisme

FIG. 2.1. Sistematizarea angrenajelor în funcţie de forma axoidelor şi tipul angrenării.

a1 a2

b1 b2

c


În raport cu cel de-al doilea criteriu, se deosebesc: angrenaje cu dantură dreaptă (tab.2.1,a1, a3 şi fig. 2.1,a1) şi angrenaje cu dantură înclinată (tab.2.1,a2, a4).

Definiţii şi semnificaţii ale noţiunilor utilizate

1°. C.i.r. = centru instantaneu de rotaţie (I12 - fig. 2.2 şi 2.3): intervine în mişcarea relativă a două plane suprapuse (1 şi 2) şi este format din două puncte, suprapuse instantaneu (suprapuse un interval de timp infinit mic), care au viteza relativă nulă sau, în altă exprimare, au vitezele absolute identice (fig. 2.2 şi 2.3); prin extindere în spaţiu, c.i.r. devine a.i.r. (axă instantanee de rotaţie, fig. 2.1,a1, a2, 2.2,a şi 2.3,a).

Cu ajutorul c.i.r.-ului, mişcarea relativă a două plane suprapuse poate fi descrisă ca o succesiune de rotaţii instantanee.

2°. Centroidele mişcării relative a 2 plane suprapuse (C12 şi C21 - fig. 2.2 şi 2.3): locurile geometrice descrise de c.i.r., în cele două plane suprapuse, în timpul mişcării relative (fig. 2.2 şi 2.3): C12 este centroida planului 1 în mişcare faţă de planul 2, iar C21 este centroida planului 2 în mişcare faţă de planul 1; extinse în spaţiu, centroidele devin axoide (fig. 2.1,a1, a2).

Consecinţe: a) Mişcarea relativă a două plane suprapuse poate fi descrisă intuitiv prin mişcarea

relativă a celor două centroide conjugate;b) Centroidele angrenajului plan R-C (roată–cremalieră), ilustrate în fig. 2.2,c, sunt

denumite cerc de divizare (C12) şi dreaptă de divizare (C21div); deci cercul de divizare (de rază r şi diametru d) este centroida planului roţii, în mişcare faţă de planul cremalierei, iar dreapta de divizare este centroida planului cremalierei, în mişcare faţă de planul roţii;

c) Centroidele angrenajului plan R–R (roată–roată), ilustrate în fig. 2.3,c, sunt denumite cercuri de rostogolire (C12, C21); deci cercul de rostogolire (de rază rw şi diametru dw) este centroida planului unei roţi, în mişcare faţă de planul altei roţi.

3°. Proprietăţile centroidelor (fig. 2.2 şi 2.3): a) centroidele conjugate C12 şi C21 (fig. 2.2 şi 2.3) sunt tangente în c.i.r.-ul curent

I12; b) datorită tangenţei în c.i.r., centroidele conjugate se rostogolesc fără alunecare,

una faţă de cealaltă (o astfel de mişcare este denumită mişcare centroidală);c) datorită rostogolirii fără alunecare, orice arc de pe o centroidă se imprimă în

aceeaşi lungime pe centroida conjugată; în cazul angrenajelor R–C (fig. 2.2,c) şi R–R (fig. 2.3,c) sunt evidente egalităţile:

plinC12 = golC21; golC12 = plinC21; (plin+gol)C12 = (gol + plin)C21. (2.1)

57 Mecanisme

FIG. 2.2. Mişcarea centroidală

roată–cremalieră.FIG. 2.3. Mişcarea centroidală

roată–roată.

a

b

c

a

b

c

1·rw1 = 2·rw2·r = v

·r = v


4°. Condiţiile angrenării plane (fig. 2.4): angrenarea, adică transmiterea puterii prin contactul incongruent (superior) a două flancuri conjugate, este posibilă numai dacă flancurile vin în contact prin tangenţă (teorema angrenării plane); în conformitate cu fig. 2.4,a şi b, două flancuri conjugate vin în contact prin tangenţă, dacă se îndeplineşte una dintre următoarele condiţii echivalente: 1) dacă viteza relativă vM2M1, în punctul de contact M (fig. 2.4,a), este orientată

după tangenta comună în M (t–t) sau 2) dacă normala comună n–n (fig. 2.4,a), în punctul de contact M, conţine c.i.r.

I12, dintre planele celor două flancuri sau3) dacă componenta vitezei relative, după normala comună n–n (fig. 2.4,b), este

nulă sau4) dacă componentele vitezelor absolute vM2 şi vM1, după normala comună n–n,

sunt identice; În fig. 2.4,c şi d s-a exemplificat îndeplinirea condiţiei 2), în cazul angrenajelor

R–R şi R–C.

2.2.2. Angrenaje conice (cu arbori concurenţi)

Conform fig. 2.1,b1,b2 şi tab.2.1,b, în angrenajele cu arbori concurenţi, a.i.r. I12 este coplanară şi concurentă cu axele arborilor; ca urmare, în timpul funcţionării, a.i.r. I12 generează, în fiecare din cele două roţi, câte un con de revoluţie solidar cu dantura. Cele două conuri, denumite conuri de rostogolire, modelează axoidele mişcării unei roţi faţă de cealaltă; cu alte cuvinte, mişcarea relativă a celor două roţi poate fi descrisă intuitiv prin rostogolirea fără alunecare a unui con de rostogolire faţă de celălalt. Deoarece axoidele au formă conică, angrenajele de acest tip poartă numele de angrenaje conice.

Ca şi angrenajele cilindrice, angrenajele conice pot fi exterioare (fig. 2.1,b1) sau interioare (fig. 2.1,b2); deoarece sunt rar folosite, angrenajele conice interioare nu au fost incluse în tabelul 2.1. Spre deosebire de angrenajele cilindrice, în angrenajele conice dantura poate fi: dreaptă (tab.2.1,b1), înclinată (tab.2.1,b2) sau curbă (tab.2.1,b3); în tehnică se utilizează frecvent dantura dreaptă şi dantura curbă (cu diverse linii mediane: cerc, cicloidă, evolventă, spirală etc.).

59 Mecanisme

FIG. 2.4. Condiţiile angrenării plane.

2.2.3. Angrenaje hiperboloidale (cu arbori încrucişaţi)

Conform fig. 2.1,c şi tab.2.1,c, în angrenajele cu arbori încrucişaţi, a.i.r. I12 şi axele arborilor sunt încrucişate în spaţiu şi au ca normală comună distanţa dintre axe aw; ca urmare, în timpul

a

c

b

d

rw2

rw1

rv = ·r


funcţionării, a.i.r. I12 generează, în fiecare din cele două roţi, câte un hiperboloid de rotaţie, cu o pânză, solidar cu dantura. Cei doi hiperboloizi, denumiţi hiperboloizi de rostogolire, modelează axoidele mişcării unei roţi faţă de cealaltă. Cu alte cuvinte, mişcarea relativă a celor două roţi poate fi descrisă intuitiv prin rostogolirea a unui hiperboloid de rostogolire faţă de celălalt. Spre deosebire de cilindrii de rostogolire (fig. 2.1,a1 şi a2) şi de conurile de rostogolire (fig. 2.1,b1

şi b2), rostogolirea unui hiperboloid faţă de celălalt (fig. 2.1,c) este posibilă numai dacă, simultan, are loc şi o mişcare de alunecare de-a lungul axei I12; această alunecare are ca efect o reducere severă a randamentului şi, implicit, reducerea sferei de utilizare a acestui gen de angrenaj.

Deoarece axoidele au formă hiperboloidală, angrenajele de acest tip poartă numele generic de angrenaje hiperboloidale.

Spre deosebire de angrenajele cilindrice (în care roţile au formă cilindrică) şi de angrenajele conice (în care roţile au formă tronconică), în angrenajele hiperboloidale, utilizate în tehnică, roţile nu au forme hiperboloidale, ci forme care aproximează local un hiperboloid: forma cilindrică, ca aproximare a zonei de ştrangulare a unui hiperboloid, şi forma tronconică, ca aproximare a zonelor hiperboloidului diferite de cea de ştrangulare (fig. 2.1,c). În funcţie de aceste aproximaţii, se deosebesc următoarele variante aplicate ale angrenajului hiperboloidal:

a) angrenajul elicoidal (tab. 2.1,c1), format din două roţi cilindrice cu axe încrucişate,

b) angrenajul melcat (tab. 2.1,c2), derivat din cel elicoidal prin transformarea roţii mici (pinionului) în melc (roată cu număr redus de dinţi şi unghi mare de înclinare), şi

c) angrenajul hipoid (tab. 2.1,c3), format din două roţi tronconice cu axe încrucişate.

Deoarece au randamente reduse, angrenajele hiperboloidale sunt mai puţin folosite în tehnică: angrenajele elicoidale sunt utilizate în

61 Mecanisme

unele lanţuri cinematice de avans ale unor maşini unelte (caracterizate prin momente de torsiune şi turaţii reduse), angrenajele melcate sunt folosite, cu precădere, în construcţia de reductoare, iar angrenajele hipoide sunt aplicate frecvent în antrenarea punţilor motoare dependente ale automobilelor cu capacitate superioară de trecere.

2.3.GEOMETRIA DANTURII EVOLVENTICE PLANE

Pentru facilitarea înţelegerii, însuşirii şi interpretării corecte a noţiunilor referitoare la dantura evolventică plană, precum şi a algoritmului de utilizare a acestora, expunerea se realizează cu ajutorul unei aplicaţii:

Se dau: Schema la scară a unei danturi evolventice plane şi conturul

cremalierei de referinţă a acesteia (fig. 2.5).

Se cer: 1°. Parametrii intrinseci ai danturii: a) Numărul de dinţi z = ?;b) Parametrii cremalierei de referinţă:

m0–0– – = ?–20°–1–0,25; c) Coeficientul deplasării danturii: x = ?;d) Diametrul cercului de cap da = ?2°. Să se construiască grafic mărimile: a) , , p, s, e, m, corespunzătoare cercului de divizare, b) a,a, pa, sa, ea, ma, corespunzătoare cercului de cap;

să se calculeze aceste mărimi şi să se compare valorile calculate cu cele măsurate.


FIG

. 2.5

. Sch

ema

dant

urii

evo

lven

tice

pla

ne ş

i con

turu

l cre

mal

iere

i de

refe

rinţ

ă.

63 Mecanisme

FIG

. 2.6

. Pri

ncip

alel

e el

emen

te g

eom

etri

ce a

le d

antu

rii p

lane

con

side

rate

.


2.3.1. Parametrii intrinseci ai danturii evolventice plane

a) Numărul de dinţi z se stabileşte construind şi măsurând pasul unghiular (fig. 2.6):

măsurat 18° => z = 360°/ = 360°/18° = 20 dinţi.b) Modulul cremalierei de referinţă m0 se determină măsurând

pasul p0 = ·m0 (un plin + un gol) pe dreapta de referinţă ref (fig. 2.6):p0 31,5 mm => m0 = p0/ 31,5/ = 10,0267mm => m0 = 10 mm (STAS).Ca urmare, cremaliera de referinţă are parametrii: 10–20°–1–0,25.


1°. Cercuri şi drepte caracteristice unei danturi evolventice plane: În conformitate cu fig. 2.7, o dantură evolventică plană, de tip roată sau cremalieră, are următoarele cercuri şi, respectiv, drepte caracteristice:a) Cercul de cap (cu raza ra şi diametrul da): delimitează dantura unei roţi faţă de

“afara” acesteia (fig. 2.7,a şi b); la limită (z), când roata devine cremalieră, cercul de cap devine dreaptă de cap (a, fig. 2.7,c);

b) Cercul de picior (cu raza rf şi diametrul df): delimitează dantura unei roţi faţă de corpul acesteia (fig. 2.7,a şi b); la limită (z), când roata devine cremalieră, cercul de picior devine dreaptă de picior (f, fig. 2.7,c);

c) Cercul de bază (cu raza rb şi diametrul db): cercul cu ajutorul căruia se generează evolventele normale care formează flancurile active ale dinţilor (locul geometric al centrelor de curbură ale evolventelor normale, fig. 2.7,a şi b); la limită (z), când roata devine cremalieră, evolventele normale devin drepte (fig. 2.7,c);

d) Cercul de divizare (cu raza r şi diametrul d): centroida planului roţii în mişcare faţă de planul cremalierei (fig. 2.7,d); cercul de divizare intervine în angrenajul R–C şi are ca centroidă conjugată dreapta de divizare div, care este centroida planului cremalierei în mişcare faţă de planul roţii (fig. 2.7,d);

e) Cercul de rostogolire (cu raza rw şi diametrul dw): centroida planului roţii în mişcare faţă de planul altei roţi (fig. 2.7,e);

f) Cercul oarecare, de rază ry şi diametru dy (fig. 2.7,a şi b);g) Dreapta de referinţă a cremalierei ref (fig. 2.7,c): dreapta cremalierei pe care

plinul este egal cu golul; se precizează faptul că pentru roata dinţată nu este introdusă o noţiune similară: cu alte cuvinte nu există noţiunea de cerc de referinţă!

65 Mecanisme

FIG. 2.7. Cercuri şi drepte caracteristice danturilor şi angrenajelor evolventice.

2°. Paşi caracteristici unei danturi evolventice plane: Pasul are semnificaţia generică de plin+gol; în conformitate cu fig. 2.7,a,b şi c, o dantură este caracterizată prin trei tipuri de paşi:

a) Pasul unghiular al danturii (a z-a parte din unghiul subîntins de dantura completă a unei roţi):

= 2/z [rad] = 360/z [grd]; (2.2)

b) Pasul circular sau prescurtat pasul danturii pe un anumit cerc dy (a z-a parte din lungimea circumferinţei cercului considerat):

a

c

b

d

e


py = dy/z = sy+ey [mm], (2.3)

în care sy reprezintă grosimea unui dinte (plinul danturii) pe cercul dy, iar ey

reprezintă grosimea golului danturii pe acelaşi cerc;c) Pasul diametral sau prescurtat modulul danturii pe un anumit cerc dy (a z-a

parte din diametrul cercului considerat sau a -a parte din pasul danturii pe acel cerc):

my = dy/z = py/ [mm]. (2.4)

Precizare: Spre deosebire de o roată dinţată, care are o infinitate de valori pentru pasul py şi pentru modulul my, o cremalieră are un singur pas p0 şi, implicit, un singur modul m0 (care este standardizat).

3°. Tipurile cremalierei: În conformitate cu fig. 2.8, se deosebesc trei tipuri de cremalieră:

a) cremaliera de referinţă (reprezentată cu gri), b) cremaliera generatoare sau sculă, specifică unui angrenaj R–C generator,

adică unui angrenaj format dintr-o roată semifabricat (iniţial fără dantură) şi o cremalieră sculă;

c) cremaliera de funcţionare, specifică unui angrenaj R–C de funcţionare (angrenaj format dintr-o roată dinţată şi o cremalieră conjugată).

a) Cremaliera de referinţă, a unei roţi dinţate, se obţine mărind la infinit numărul de dinţi ai roţii considerate (fig. 2.8,a şi b); are următoarele proprietăţi caracteristice:

este o cremalieră fictivă situată de aceeaşi parte cu roata dinţată (fig. 2.8,a);

este limita tuturor roţilor dinţate care pot angrena între ele; reciproc: două roţi dinţate pot angrena dacă au aceeaşi cremalieră de referinţă !

parametrii profilului de referinţă (fig. 2.8,c): m0–0– – şi sunt

standardizaţi; notaţiile folosite au următoarele semnificaţii (fig. 2.8,c):— m0 = p0/ = m este modulul cremalierei de referinţă; — 0 = 20° este unghiul de presiune al cremalierei de referinţă;

— = ha0/m0 = 1; prin ha0 şi s-au notat înălţimea capului cremalierei de

referinţă (fig. 2.8,c) şi respectiv coeficientul capului cremalierei de referinţă;

— = c0/m0 = 0,25; prin c0 şi s-au notat jocul cremalierei de referinţă

(fig. 2.8,c) şi respectiv coeficientul jocului cremalierei de referinţă;

— = f0 /m0 = 0,38 este coeficientul razei de racordare (fig. 2.8,c).

67 Mecanisme

c0 = m0· ; ha0 = m0· ; hf0 = ha0 + c0; h0 = ha0 + hf0.

FIG. 2.8. Tipuri de cremaliere.

Precizări: 1) Pentru modulul cremalierei de referinţă, în construcţia de maşini sunt folosite valorile (STAS 822-82): m0 = m = 1; (1,125); 1,25; (1,375); 1,5; (1,75); 2; (2,25); 3; (3,5); 4; (4,5); 5; (5,5); 6; (7); 8; (9), 10; (11); 12; (14); 16; (18), 20; … 100 [mm]; dintre acestea sunt preferate cele nesituate în paranteze.

2) Din motive didactice, s-a preferat generalizarea indicelui 0 pentru toate mărimile geometrice ale cremalierei de referinţă, deşi în STAS-ul 821-82 (referitor la profilul de referinţă), pasul şi modulul sunt notate fără acest indice; prin egalităţile p = p0 şi m = m0, din relaţiile (2.5), se asigură corectarea acestui artificiu didactic.

b) Cremaliera generatoare este “negativul” cremalierei de referinţă (fig. 2.8,b şi c), este reală şi este sculă; pe maşina de danturat, cremaliera generatoare formează, împreună cu roata semifabricat, un angrenaj R-C generator.

a

c

b


c) Cremaliera de funcţionare coincide d.p.d.v. geometric cu cremaliera de referinţă, dar spre deosebire de aceasta, este o cremalieră reală şi conjugată roţii dinţate, adică angrenează cu roata (fig. 2.8,a şi c); împreună cu o roată dinţată, această cremalieră formează un angrenaj R-C de funcţionare.

4°. Evolventa normală (a cercului de bază): locul geometric descris, în planul unui cerc de bază (rb), de un punct (My), al unei drepte b (fig. 2.9,a), în timpul rostogolirii fără alunecare dintre dreapta b şi cercul de bază rb. Flancurile active ale dinţilor, dintr-o dantură evolventică (fig. 2.7), sunt arce de evolventă normală.

FIG. 2.9. Evolventa normală a cercului de bază.

În conformitate cu fig. 2.9,a, evolventa normală a cercului de bază are următoarele proprietăţi: 1) Normala (n–n), într-un punct My, la evolventa normală este tangentă la cercul

de bază, într-un punct (A) care este centrul de curbură, al evolventei normale în My.

2) Raza de curbură AMy coincide cu arcul subîntins, pe cercul de bază, între centrul de curbură A şi piciorul evolventei normale M0: AMy= arc(AM0).

3) Unghi de presiune: unghi format de viteza punctului de contact al elementului condus şi forţa cu care elementul conducător (motor) împinge în elementul condus. Unghiul de presiune (αy), al evolventei normale pe un cerc oarecare ry, poate fi construit (fig. 2.9,b) cu ajutorul cercurilor ry şi rb (deci, fără trasarea evolventei normale).

a b

69 Mecanisme

Precizare: Pe baza notaţiilor introduse, egalităţile datorate rostogolirii fără alunecare dintre centroidele angrenajelor plane R–C (fig. 2.7,d) şi R–R (fig. 2.7,e) pot fi scrise astfel:

a) rostogolirea fără alunecare dintre cercul de divizare (r, d) şi dreapta de divizare div induce următoarele egalităţi (fig. 2.7,d):

s = ediv; e = sdiv; p = p0; m = m0; = 0 = 20°; (2.5)

b) rostogolirea fără alunecare dintre cercul de rostogolire al unei roţi (rw1, dw1) şi cercul de rostogolire al celeilalte roţi (rw2, dw2) induce următoarele egalităţi (fig. 2.7,e):

sw1 = ew2; ew1 = sw2; pw1 = pw2 = pw; mw1 = mw2 = mw; w1 = w2 = w. (2.6)

4) În raport cu semiaxa polară OM0y (fig. 2.9,a), un punct curent My al evolventei normale este definit prin următoarele coordonate polare:

ry = rb/cos y; y = <) AOM0 – y = AMy/rb – y = tg y – y = inv y, (2.7)

în care prin inv y s-a notat funcţia involută de y. Exemplu de calcul pentru unghiul polar al evolventei normale pe cercul de divizare:

= inv = tg – = tg 20° – 20°·(/180°) = 0,0149 [rad] = 0,0149·(180°/) = 0,8539°.

5) Relaţiile de invarianţă ale evolventei normale, pentru raze, paşi şi moduli, se obţin pornind de la relaţia ry = rb/cos y: rb = ry cos y = rcos = rw cos w = racos a = …= const. |·2/z (2.8)

pb = py ·cos y = pcos = pw cos w = … = constant· (2.9)

mb = my cos y = mcos = mw cos w = … = constant. (2.10)Pe baza egalităţii rcos = rw cos w, scrisă pentru cele două roţi ale unui

angrenaj R–R (fig. 2.7,e) şi ţinând seama că 1 = 2 = 0 = 200 şi w1 = w2 = w, se obţine relaţia de invarianţă pentru distanţe între axe:

r1 cos 1 = rw1 cos w1; r2 cos 2 = rw2 cos w2 =>

(r2 r1) cos 0 = (rw2 rw1) cos w a0·cos 0 = aw·cos w, (2.11)

în care aw = rw2 + rw1 reprezintă distanţa dintre axele angrenajului R–R exterior, iar aw = rw2 – rw1 reprezintă distanţa dintre axele angrenajului R–R interior.

c) Coeficientul deplasării danturii (x = ?)


Pe baza relaţiilor (2.4) şi (2.5) se determină mai întâi diametrul şi raza cercului de divizare:

m0 = m = d/z => d = z·m0 = 20·10 = 200 mm => r = d/2 = 100 mm.

Se trasează cercul de divizare (r) şi dreapta de divizare div

(tangentă la cercul de rază r şi paralelă cu ref – fig. 2.6); se măsoară acum deplasarea danturii, ca distanţă între dreapta de referinţă (ref) şi dreapta de divizare (div), şi din aceasta se determină apoi coeficientul deplasării x:

x·m0 = +5 mm => x = (x·m0)/m0 = +5 [mm]/10 [mm] = +0,5 [-].

Această modalitate de stabilire a coeficientului x este relevantă numai d.p.d.v. didactic. În practică, coeficientul deplasării (x) se determină folosind, uzual, cota peste N dinţi WN (fig. 2.6); cu ajutorul unui micrometru (cu talere), se testează numărul de dinţi convenabil N şi se măsoară cota WN. În cazul fig. 2.6 se obţine W3 = 80,023 mm; din expresia cotei WN se explicitează şi se calculează coeficientul deplasării x:

WN = [(N–0,5) + 2x·tg0+ z·inv0]·m0·cos0 =>

x = [WN / (m0·cos0) – (N–0,5) – z·inv0]/(2·tg0) =

= [80,023/(10·cos20°) – (3–0,5) – 20·inv20°]/(2·tg20°) = +0,5 [-].


1°. Deplasarea danturii: este notată cu x·m0 (în care x are semnificaţia de coeficient al deplasării) şi reprezintă distanţa (fig. 2.10,a) dintre dreapta de referinţă ref (dreapta cremalierei pe care plinul şi golul sunt egale) şi dreapta de divizare div (centroida cremalierei faţă de roată).

Prin intermediul deplasării (x·m0) se reglează distribuţia gol (ediv) – plin (sdiv) pe dreapta de divizare (fig. 2.10,a) şi implicit distribuţia plin (s) – gol (e) pe cercul de divizare; din fig. 2.10,a se obţine următoarea expresie pentru grosimea dintelui pe cercul de divizare s:

71 Mecanisme

s = ediv = bb1 = aa1+2bb’ = p0/2 + 2(x·m0)·tg0 = m0(/2 + 2x·tg0). (2.12)

În conformitate cu fig. 2.10,a şi cu relaţia (2.12), se deosebesc următoarele cazuri relevante:

a) x·m0 = 0 (x = 0) s = 0,5m0 = e, când ref div;b) x·m0 > 0 (x > 0) s > 0,5m0 > e, când ref nu intersectează cercul de

divizare;c) x·m0 < 0 (x < 0) s < 0,5m0 < e, când ref intersectează cercul de

divizare.

FIG. 2.10. Deplasarea danturii (xm0)·şi influenţa acesteia asupra formei şi grosimii dinţilor.

a

b


Prin urmare, deplasarea (x·m0) influenţează semnificativ grosimea şi implicit forma dintelui; pentru exemplificare, în fig. 2.10,b sunt ilustrate trei danturi cu acelaşi numărul de dinţi şi aceeaşi cremalieră de referinţă, dar cu deplasări diferite: x3 > x2 > x1; se observă că prin creşterea coeficientului deplasării (prin depărtarea cremalierei de roată), baza dintelui tinde să se îngroaşe şi capul tinde să se ascută.

Precizare importantă: o dantură interioară poate fi considerată ca fiind obţinută dintr-o dantură exterioară prin transformarea plinului în gol şi a golului în plin. Ca urmare, semnele şi efectele deplasării, stabilite pentru dintele danturii exterioare, rămân valabile şi pentru dantura interioară, dar cu referire la golul acesteia.

2°. Parametrii definitorii ai unei danturi evolventice plane: O dantură plană, cu dinţi ascuţiţi (fig. 2.11), poate fi generată prin legarea în paralel a două familii (antiomoloage între ele): o familie cu z evolvente omoloage echiunghiulare, reprezentate cu linie continuă, şi o familie, simetrică cu prima, în care cele z evolvente sunt reprezentate cu linie întreruptă.

FIG. 2.11. Parametrii geometrici definitorii ai unei danturi evolventice plane.

Fiecare familie este complet definită prin mărimile geometrice rb şi pb

(fig. 2.11), iar poziţia unei familii, faţă de cealaltă, poate fi descrisă prin grosimea sy

= s. Ca urmare, dantura plană considerată (fig. 2.11) este complet determinată,

d.p.d.v. geometric, prin mărimile: rb, pb şi sy = s; din analiza expresiilor analitice ale acestor mărimi:

rb = r·cos0 = 0,5·z·m0·cos0, (2.13)

pb = p0·cos0 = m0·cos0, (2.14)

s = m0(/2 + 2x·tg0), (2.15)

73 Mecanisme

reiese că dantura plană, cu dinţi ascuţiţi (fig. 2.11), este complet determinată prin următorii parametrii intrinseci:

z (numărul de dinţi),

m0–0– – (cremaliera de referinţă) şi

x (coeficientul deplasării).

Deoarece dinţii ascuţiţi nu pot fi acceptaţi, la parametrii anteriori se adaugă şi raza cercului de cap ra; cercul de cap se stabileşte astfel încât să se evite ascuţirea capului dintelui:

sa k·m0; k = 0,3…0,5. (2.16)

3°. Cota peste N dinţi WN: În conformitate cu generarea evolventei normale şi cu fig. 2.12, cota peste N dinţi, WN = AB, este măsura arcului DC de pe cercul de bază (rb):

WN= AB = arc(DC) = arc(CE) + arc(ED) = (N–1)·pb + (2 + s/r)·rb =>

WN = [(N–0,5) + 2x·tg0+ z·inv0]·m0·cos0. (2.17)

FIG. 2.12. Cota peste dinţi WN.

Numărul de dinţi N se poate stabili, cu aproximaţie, pe baza următoarelor egalităţi (fig. 2.12):

arc(AF) = N·s + (N–1)·e 0,5·p0(2N–1) = 0,5m0(2N–1);

arc(AF) = (’ + )·r 2r· = d· = zm0·0 =>

0,5m0(2N–1) zm0·0 => N z·0[rad]/ + 0,5 = z·0[grd]/180 + 0,5. (2.18)


d) Pentru aplicaţia considerată, diametrul cercului de cap se obţine prin măsurarea directă a razei acestuia (fig. 2.6):

ra = 110 mm => da = 220 mm.

În concluzie, dantura plană dată (fig. 2.5 şi 2.6) este complet determinată prin următorii parametrii intrinseci:

z = 20 dinţi, cremaliera de referinţă: 10–20°–1–0,25, x = +0,5 [-] şi da = 220 mm.

Semnificaţii ale noţiunilor utilizate

1°. Cercul de picior (rf, df ): se imprimă în roată în procesul de danturare; în premisa danturării cu o sculă-cremalieră (de tip pieptene), conform fig. 2.13,a, cercul de picior rezultă tangent la dreapta de cap a cremalierei generatoare:

rf = r + x·m0 – (ha0 + c0) = m0·(0,5z + x – 1,25), (2.19)

în care (ha0 + c0) reprezintă înălţimea capului cremalierei generatoare.În mod analog se determină expresia razei rf şi în cazul danturii interioare;

evident, în acest caz (fig. 2.13,a1), cremaliera generatoare este o cremalieră fictivă. Stabilirea razei cercului de picior pentru dantura interioară (fig. 2.13,a1) se propune ca temă de casă

2°. Cercul de cap (ra, da): se prelucrează în roata semifabricat (fără dinţi) prin strunjire; calculul acestui cerc se bazează pe următoarea condiţie (fig. 2.13,b): între cercul de cap considerat şi cercul de picior al roţii conjugate trebuie să existe

un joc c (de regulă, c = c0 = ·m0). În conformitate cu fig. 2.13,b, în cazul

angrenajului exterior, se poate scrie:

ra1 = aw – rf2 – c; ra2 = aw – rf1 – c, (2.20)

în care prin aw s-a notat distanţa dintre axele angrenajului (aw = rw2 + rw1). Se verifică apoi evitarea ascuţirii capului dintelui: sa k·m0; k = 0,3…0,5; dacă sa < k·m0, se micşorează raza cercului de cap, până când se asigură cel puţin: sa k·m0.

În mod analog se stabilesc expresiile razei ra1 şi în cazul angrenajului R–R interior (fig. 2.13,b1) şi R–C (fig. 2.13,b2); determinarea acestor expresii se propune ca temă de casă.

75 Mecanisme

FIG. 2.13,a…b2. Schemele pentru calculul razelor cercurilor de cap ra şi de picior rf.

ba

b1

b2

a1


2.3.2. Mărimi geometrice caracteristice danturii evolventice plane

În conformitate cu punctul 2° al aplicaţiei considerate (fig. 2.5), se cere să se construiască grafic şi să se calculeze mărimile:

a) , , p, s, e, m, corespunzătoare cercului de divizare, şib) a,a, pa, sa, ea, ma, corespunzătoare cercului de cap. În fig. 2.6, s-au reprezentat mai întâi grafic mărimile p, s, e, m şi

pa, sa, ea, ma. Pentru reprezentarea unghiurilor de presiune (, a ) şi a unghiurilor polare (, a), ale unei evolvente normale, este necesară, mai întâi, determinarea şi reprezentarea cercului de bază; din relaţia de invarianţă a evolventei pentru raze (v. rel. 2.8) se obţine:

rb = r·cos = 100·cos20° = 93,9692 mm.

Cu această rază, s-a trasat cercul de bază (fig. 2.6), s-a marcat piciorul M0 al unei evolvente normale şi s-a construit semiaxa polară OM0y. În raport cu această semiaxă polară, s-au reprezentat coordonatele polare (r, ), pentru punctul M, şi (ra, a), pentru punctul Ma; unghiurile şi a sunt denumite: unghiul polar al evolventei normale pe cercul de divizare şi respectiv unghiul polar al evolventei normale pe cercul de cap. Apoi, după modelul din fig. 2.9,b, s-au construit: unghiul de presiune al evolventei normale pe cercul de divizare şi unghiul de presiune al evolventei normale pe cercul de cap a.

Mărimile reprezentate grafic sunt determinate acum analitic. Pentru mărimile corespunzătoare cercului de divizare rezultă

valorile:m = m0 = 10 mm; p = p0 = ·m0 = ·10 = 31,4159 mm; s = m0(/2 + 2x·tg0) = 10(/2 + 2·0,5·tg20°) = 19,3476 mm; e = p – s = 31,4159 – 19,3476 = 12,0683 mm; = 0 = 20°;

77 Mecanisme

= inv = inv0 = tg20° – 20°·/180° = 0,0149 [rad] = 0,0149.180°/ = 0,8537°.

Pentru mărimile corespunzătoare cercului de cap, se obţin următoarele valori:

ra ·cos a = r·cos => a = arccos(r·cos /ra) = arccos (100·cos20°/110) = 31,3212°;pa ·cos a = p·cos => pa = p·cos /cos = 31,4159·cos20°/cos31,3212°= 34,5574 mmma ·cos a = m·cos => ma = m·cos /cos a = 10·cos20°/cos31,3212°= 10,9999 mma = inv a = tg 31,3212° – 31,3212°·/180° = 0,06185 [rad] =

0,06185·180°/ = 3,544°;sa = (s/d + inv – inva)·da = (19,3476/200 + 0,0149 – 0,0618)·220 =

10,9643 mm => sa =10,9643 mm > k·m0 = 0,5·10 = 5 mm (este evitată ascuţirea capului

dintelui).

Analiza comparativă arată că rezultatele grafice concordă cu cele analitice.

Semnificaţii ale noţiunilor utilizate

1°. Grosimea dintelui pe cercul de cap (sa) şi condiţia evitării ascuţirii capului dintelui: Grosimea dintelui pe cercul de cap se obţine prin particularizarea formulei pentru calculul grosimii dintelui pe un cerc oarecare (sy); la rândul său, grosimea sy se stabileşte în funcţie de grosimea dintelui pe cercul de divizare, stabilită anterior:

s = m0(/2 + 2x·tg0).

Conform fig. 2.10,a, grosimea sy poate fi determinată din egalitatea:

y + y = + => sy/(2·ry) + y = s/(2·r) + 0 =>

sy/dy + invy = s/d + inv0 = constant, (2.21)

denumită relaţia de invarianţă pentru grosimile dinţilor; prin urmare:

sy = (s/d + inv0 – invy)·dy; y = arccos (rb/ry). (2.22)


Grosimea dintelui pe cercul de cap (sa) rezultă din relaţia precedentă, particularizând ry = ra, implicit, y = a şi sy = sa:

sa = (s/d + inv0 – inva)·da; a = arccos (rb/ra). (2.23)

Pentru evitarea ascuţirii capului dintelui se impune condiţia:

sa = (s/d + inv0 – inva)·da k·m0, (2.24)

cu valorile: k = 0,3, pentru danturi îmbunătăţite sau normalizate, şi k = 0,5, pentru danturi călite. Dacă relaţia (2.24) nu este îndeplinită, se micşorează corespunzător raza cercului de cap ra.

Temă de casă

Pe baza noţiunilor şi corelaţiilor prezentate şi a fig. 2.13,c şi d, se cere să stabilească expresiile analitice pentru:

1°. Mărimile (coarda constantă) şi (înălţimea la coarda constantă), pe baza

schemei grafice din fig. 2.13,c (indicaţie: este egal cu arcul subîntins, pe

cercul de bază, de picioarele evolventelor care trec prin A şi O).2°. Unghiul plan B şi cota peste bile MB, cu ajutorul fig. 2.13,d,d1 şi d2 (indicaţie:

se determină unghiul B + /z în funcţie de DB/2, şi s).

FIG. 2.13,c. Schemă pentru determinarea coardei constante .

79 Mecanisme

FIG. 2.13,d,d1,d2. Schemă pentru determinarea cotei peste bile MB

(DB = diametrul bilei).

2.4.GEOMETRIA ANGRENAJELOR EVOLVENTICE PLANE

Cu ajutorul unei aplicaţii (de sinteză directă), formulată mai jos, în continuare se abordează geometria angrenajelor evolventice plane, prin prisma obiectivelor 2°…6°, formulate la începutul capitolului:

2°. Algoritmizarea calculului geometric; 3°. Însuşirea şi interpretarea corectă a noţiunilor de geometrie

cinematică;4°. Identificarea şi modelarea principalelor limite de funcţionare;

d1 d2

d


5°. Stabilirea cazurilor fundamentale de sinteză (proiectare geometrică) şi

6°. Sistematizarea angrenajelor R–R, în funcţie de unghiul de angrenare, şi modelarea proprietăţilor fiecărui tip de angrenaj în parte.

Se dau: două danturi evolventice plane identice: a) z1 = z2 = z = 20 dinţi; b) cremaliera de referinţă: 15–20°–1–0,25; c) x1= x2= x = +0,5.

Se cer: 1°. Să se determine principalele mărimi geometrice ale danturilor

date.2°. Să se reprezinte schema angrenajului, fără joc lateral între

dinţi, format prin punerea în angrenare a celor două danturi. 3°. Să se traseze grafic principalele elemente geometrice

caracteristice angrenajului format.4°. Să se determine analitic mărimile geometrice reprezentate ale

angrenajului şi să se compare rezultatele grafice cu cele analitice.

5°. Să se verifice condiţiile angrenării corecte ale danturilor, în premisa generării acestora cu scula cremalieră.

6°. Să se verifice condiţiile angrenării corecte ale angrenajului R–R.7°. Să se stabilească tipul angrenajului obţinut şi să se precizeze

proprietăţile acestuia.

2.4.1. Determinarea principalelor mărimi geometrice ale danturilor

Cele două danturi fiind identice, calculul se reduce la una dintre ele; pe baza parametrilor intrinseci de intrare, pot fi determinate următoarele mărimi geometrice:a) Cercul de divizare (centroida roţii faţă de cremaliera-sculă):

81 Mecanisme

d/z = m = m0 = 15 mm =>

d1 = d2 = d = z·m0 = 20·15 = 300 mm => r = d/2 = 150 mm;

b) Cercul de bază:

rb = ry·cosy = r·cos =>

rb1 = rb2 = rb = r·cos = 150·cos20° = 140,9538 mm;

c) Grosimea dintelui pe cercul de divizare:

s = m0(/2 + 2x·tg0) = 15(/2 + 2·0,5·tg20°) = 29,0214 mm,

d) Paşii danturii pe cercul de divizare şi pe cercul de bază:

p = p0 = ·m0 = ·15 = 47,1238 mm;pb = py·cosy = p·cos => pb = p·cos = 47,1238·cos20° = 44,2819 mm.

e) Cercul de picior:

rf1 = rf2 = rf = m0(z/2 + x – 1,25) =15(20/2 + 0,5 –1,25) =

=138,7500 mm;

f) Determinarea razei cercului de cap ra, şi implicit a grosimii sa, se bazează pe distanţa dintre axele angrenajului format de cele două danturi. Conform punctului 2.4.4, aw = 313,1199 mm; ca urmare:

ra1 = aw– rf2 – c = ra2 = ra =>

ra = aw – rf – 0,15·m0 = 313,1199 – 138,7500 – 0,15·15 = 172,1199 mm =>

a = arccos (rb/ra) = arccos (140,9538/172,1199) = 35,0223° =>

a = inva = tga – a = tg35,0223° – 35,0223°·/180° = 0,0895 [rad] => sa = da·(s/d + inv – inva) =

= 344,2398·(29,0214/300 + 0,0149 – 0,0895) = 7,6208 mm.

g) Cota peste N dinţi (fig. 2.11,b):


N = z·0 /180° = 20·20°/180° = 2,2222 3 dinţi,

WN1 = WN2 = WN = W3 = [·(N–0,5) + 2x·tg0 + z·inv0]·m0·cos0

=

= [·(3–0,5) + 2·0,5·tg20° + 20·inv20°]·15·cos20° = 120,0356 mm.

2.4.2. Schema angrenajului fără joc lateral între dinţi

Prin punerea în angrenare a celor două danturi evolventice, fără joc lateral între flancuri, se obţine angrenajul din fig. 2.14,a; pe schema acestui angrenaj sunt trasate cercurile de divizare (r1 = r2 = r), cercurile de bază (rb1 = rb2 = rb), cercurile de picior (rf1 = rf2 = rf) şi cercurile de cap (ra1 = ra2 = ra) ale celor două roţi.

2.4.3. Determinarea grafică a principalelor elemente geometrice ale angrenajului

a) Distanţa dintre axe (aw) este modelată prin segmentul care uneşte centrele O1 şi O2 ale celor două roţi: aw = O1O2 (fig. 2.14,a).

b) Linia de angrenare şi segmentele de angrenare: În premisa că roata motoare 1 se roteşte în sens trigonometric (sens antiorar), contactul dintre flancurile conjugate active (flancurile conjugate care transmit forţă de la roata 1 la roata 2), are loc pe dreapta, tangentă interior la cercurile de bază, trasată cu linie continuă în fig. 2.14,c; această dreaptă modelează linia de angrenare a angrenajului.

Observaţie

Când roata motoare 1 se roteşte în sens orar, linia de angrenare este modelată de cealaltă tangentă interioară a cercurilor de bază (trasată cu linie punctată în fig. 2.14,c).

83 Mecanisme

FIG

. 2.1

4. a

– a

ngre

naju

l evo

lven

tic

plan

R–R

, făr

ă jo

c la

tera

l înt

re r

oţi;

b –

exem

plu

de a

ngre

naj c

u jo

c la

tera

l înt

re d

inţi

(j)

.

j

a

b


FIG

. 2.1

4,c.

Pri

ncip

alel

e m

ărim

i geo

met

rice

ale

ang

rena

julu

i evo

lven

tic

plan

R–R

.

85 Mecanisme

FIG

. 2.1

4,d.

Evi

denţ

iere

a gr

afic

ă a

cond

iţii

lor

de a

ngre

nare

ale

ang

rena

julu

i evo

lven

tic

plan

R–R

.


Dreapta de angrenare are două segmente importante (fig. 2.14,d): segmentul teoretic de angrenare AE (delimitat de punctele de tangenţă ale dreptei de angrenare cu cercurile de bază) şi segmentul real de angrenare BD (delimitat de punctele de intersecţie ale dreptei de angrenare cu cercurile de cap).

c) Cercurile de rostogolire (centroidele angrenajului R–R) sunt tangente în punctul de intersecţie C al dreptei de angrenare cu dreapta centrelor O1O2 (fig. 2.14,c); acest punct, numit polul angrenării, formează segmentele O1C = rw1 şi O2C = rw2, care desemnează razele cu care s-au trasat aceste cercuri.

d) Unghiul de angrenare w (adică unghiul de presiune al evolventelor normale pe centroidele angrenajului R–R: w1 = w2 = w) s-a trasat, conform fig. 2.9,b, folosind ca tangentă la cercurile de bază chiar dreapta de angrenare (fig. 2.14,c). În mod analog, pentru comparaţie, s-a trasat şi unghiul de presiune al evolventelor normale pe cercurile de divizare (1 = 2 = = 0 = 20°); acesta desemnează unghiul de angrenare al angrenajului generator: roată semifabricat–sculă cremalieră.

e) Paşii danturii pe cercurile de bază: Evolventele normale active, ale celor două roţi, pot fi generate simultan de puncte echidistante, situate pe o dreaptă suprapusă liniei de angrenare, care se rostogoleşte fără alunecare, peste cercurile de bază; intuitiv, dreapta suprapusă liniei de angrenare poate fi privită ca o sfoară care se derulează de pe un cerc de bază şi se înfăşoară pe celălalt cerc de bază. Conform fig. 2.14,c, datorită rostogolirii fără alunecare dintre dreapta suprapusă liniei de angrenare şi cercurile de bază, rezultă că: pb1 = pb, pb2 = pb şi implicit pb1 = pb2 = pb.

Ca urmare, danturile angrenajului au acelaşi pas pe cercurile de bază: pb; acest pas poate fi măsurat, pe linia de angrenare, ca segment de dreaptă (între două puncte consecutive de contact, fig. 2.14,c).

87 Mecanisme

f) Raportul de transmitere al angrenajului cu axe fixe se determină grafic ca raport al razelor cercurilor de bază sau ca raport al razelor cercurilor de rostogolire:

i1,2 = 1/2 = – rb2/rb1 = – rw2/rw1 = –1.

g) Gradul de acoperire () se obţine grafic prin măsurarea segmentelor de dreaptă BD şi pb (fig. 2.14,c), urmată de împărţirea acestora: = BD/pb 1,38. Valoarea numerică obţinută semnifică numărul mediu de perechi de dinţi care ar angrena permanent; în realitate, angrenarea cuprinde momente cu două perechi de dinţi în angrenare (angrenare bipară) urmată de momente cu o pereche de dinţi în angrenare (angrenare unipară), care se succed ciclic.

h) Diagrama gradului de acoperire evidenţiază grafic, pe segmentul real de angrenare BD (fig. 2.14,d), zonele angrenării bipare (în care angrenează simultan două perechi de dinţi) şi zona angrenării unipare (în care angrenează o singură pereche de dinţi); delimitarea acestor zone se obţine trasând punctele de contact, a două perechi de dinţi consecutive, în momentul intrării în angrenare a unei perechii şi în momentul ieşirii din angrenare a celeilalte perechi (distanţa dintre punctele de contact consecutive, rămâne permanent constantă şi egală cu pb, fig. 2.14,d).

i) Zonele de lucru ale flancurilor active: Zona de lucru a unui flanc activ este formată din mulţimea punctelor (de pe evolventa normală) care participă efectiv la angrenare. În conformitate cu proprietăţile punctelor conjugate şi cu fig. 2.14,d, zona de lucru, a flancului unei roţi, este cuprinsă între cercurile roţii care trec prin punctele B şi D (capetele segmentului real de angrenare).


1°Linia de angrenare şi punctele conjugate: Linia de angrenare reprezintă locul geometric descris, în planul bazei, de punctul de contact dintre două flancuri conjugate ale unui angrenaj. În conformitate cu prima proprietate a evolventei


normale (fig. 2.9,a) şi cu fig. 2.14 şi 2.15 reiese că în cazul angrenajului evolventic plan, linia de angrenare este o dreaptă tangentă interior la cercurile de bază: întradevăr, în angrenare, două evolvente conjugate, fiind tangente în punctul de contact M (fig. 2.15), au o normală comună care este tangentă (interior) la ambele cercuri de bază; deci, cele două evolvente conjugate pot veni în contact numai pe această tangentă interioară la cercurile de bază.

Întrucât cercurile de bază admit două tangente interioare, rezultă că un angrenaj evolventic plan are două linii de angrenare (fig. 2.14,c): dreapta trasată cu linie continuă (activă la rotirea roţii motoare 1 în sens trigonometric) şi dreapta trasată cu linie punctată (activă la rotirea roţii motoare 1 în sens orar).

Evident, pe o dreaptă (linie) de angrenare vin în contact (angrenează) numai acele evolvente conjugate pentru care acea dreaptă este normală comună (fig. 2.14,c).

Perechile de puncte, de pe cele două flancuri conjugate, care vin în contact pe linia de angrenare se numesc puncte conjugate; exemple (fig. 2.15): punctele conjugate b1 şi b2, care vin în contact pe linia de angrenare în B; punctele

conjugate d1 şi d2, care vin în contact pe linia de angrenare în D etc.

Conform fig. 2.14,d, pentru un punct dat Q, pe linia de angrenare, punctele conjugate q1 şi q2 se găsesc astfel: q1 se află la intersecţia flancului roţii 1 cu cercul roţii 1 care trece prin Q, iar q2 se află la intersecţia flancului roţii 2 cu cercul roţii 2 care trece, de asemenea, prin Q; dacă se dă q1, punctele Q şi q2 se obţin în mod analog: Q se află la intersecţia liniei de angrenare cu cerul roţii 1 care trece prin q1, iar q2 se află la intersecţia flancului roţii 2 cu cercul roţii 2 care trece prin Q.

2°.Segmentul teoretic de angrenare (fig. 2.14,c, fig. 2.15,a,b şi c). Contactul prin tangenţă dintre două flancuri teoretice (nelimitate prin cercurile de cap) este posibil numai pe o anumită porţiune a dreptei de angrenare. Mulţimea punctelor dreptei de angrenare, în care contactul flancurilor conjugate teoretice are loc prin tangenţă, se numeşte segment teoretic sau semidreaptă teoretică de angrenare; conform fig. 2.15, se disting următoarele cazuri:

a) la angrenajul R–R exterior (fig. 2.15,a), contactul prin tangenţă dintre flancurile teoretice este posibil numai pe segmentul teoretic AE;

b) la angrenajul R–R interior (fig. 2.15,b), contactul prin tangenţă dintre flancurile teoretice este posibil numai pe semidreapta teoretică Aa, iar

c) la angrenajul R–C (fig. 2.15,c), contactul prin tangenţă dintre flancurile teoretice este posibil numai pe semidreapta teoretică AE.

În afara segmentului teoretic şi semidreptei teoretice de angrenare, contactul flancurilor conjugate are loc prin interferenţă (se intersectează, v. fig. 2.15,a).

89 Mecanisme

a b

c d

FIG. 2.15. Mărimi geometrice caracteristice angrenajelor evolventice.


3°.Segmentul real de angrenare (fig. 2.14,c şi fig. 2.15). Spre deosebire de flancurile teoretice, flancurile evolventice reale sunt limitate prin cercurile de cap. Ca urmare, angrenarea acestora, pe linia de angrenare, se reduce la segmentul BD, delimitat de intersecţia dreptei de angrenare cu cercurile de cap.

4°. Unghiul de angrenare şi razele cercurilor de rostogolire. Unghiul de angrenare al unui angrenaj reprezintă unghiul de presiune al flancurilor, pe centroidele angrenajului; se disting două situaţii:a) la un angrenaj R–R (roată-roată), unghiul de angrenare coincide cu unghiul de

presiune al evolventelor normale pe cercurile de rostogolire (fig. 2.14,c şi fig. 2.15,a şi b): w = w1 = w, iar

b) la un angrenaj R–C (roată-cremalieră), unghiul de angrenare coincide cu unghiul de presiune al flancurilor pe cercul şi, respectiv, dreapta de divizare: = 0 = 20° (fig. 2.15,c şi d).Ca urmare, razele cercurilor de rostogolire (centroidele angrenajului R–R,

v. fig. 2.14 şi 2.15,a şi b) pot fi determinate cu relaţiile:

rb = ry·cosy = r·cos = rw·cosw =>

rw1 = r1·cos / cosw; rw2 = r2·cos / cosw. (2.25)

5°. Raportul de angrenare şi raportul de transmitere la un angrenaj cu axe fixe. Conform STAS 915/2, raportul de angrenare se notează cu u şi reprezintă raportul dintre numărul de dinţi ai roţii mari (z2) şi numărul de dinţi ai pinionului (roţii mici, z1): u = z2/z1.

Conform aceluiaşi STAS, raportul de transmitere al unui angrenaj cu axe fixe reprezintă raportul dintre viteza unghiulară a roţii motoare (conducătoare) 1 şi viteza unghiulară a roţii conduse 2, în premisa că elementul suport-axe H este fix:

i1,2 = iH1,2 = 1/2 = 1H / 2H.

Datorită rostogolirii fără alunecare dintre dreapta, suprapusă liniei de angrenare, şi cercurile de bază (fig. 2.15,a şi b), rezultă că cercurile de bază au aceeaşi viteză periferică:

1·rb1 = 2·rb2; (2.26)

de asemenea, cercurile de rostogolire (care se rostogolesc fără alunecare unul faţă de celălalt) au aceeaşi viteză periferică:

1·rw1 = 2·rw2. (2.27)

Ca urmare, abstracţie făcând de semne, se obţine:

|i1,2 | = |1/2| = rb2/rb1= rw2/rw1 = constant. (2.28)

91 Mecanisme

Ţinând seama că razele cercurilor de bază sunt constante, egalitatea (2.28), specifică numai angrenajelor evolventice, arată că la modificarea distanţei dintre axe (aw = rw2 rw1), razele de rostogolire se modifică astfel încât raportul de transmitere rămâne invariant.

Ţinând seama şi de sensurile de rotaţie ale roţilor, raportul de transmitere devine:

i1,2 = 1/2 = rb2/rb1= rw2/rw1 = dw2/dw1= (z2·mw)/(z1·mw) = z2/z1, (2.29)

în care semnul plus se referă la angrenajele cilindrice interioare, iar semnul minus la cele exterioare.

Conform relaţiei (2.29), într-un angrenaj cu axe fixe (H 0), raportul vitezelor unghiulare este egal cu raportul invers al numerelor de dinţi.

6°. Gradul de acoperire (fig. 2.14,d şi fig. 2.16): reprezintă raportul dintre segmentul real de angrenare (BD) şi distanţa dintre două punctele consecutive de contact pe linia de angrenare (pb): = BD/pb; acest raport exprimă fizic numărul mediu de perechi de dinţi aflaţi permanent în angrenare.

FIG. 2.16. Condiţia angrenării a două roţi (pb1 = pb2 = pb) şi condiţia transmiterii continue a mişcării de rotaţie (BD>pb = BD/pb>1) .

bd = BD – 2(BD – pb) bd = 2pb – BD bd = pb (2 – ε) – angrenare unipară;

BD – bd = 2(BD – pb) BD – bd = 2pb(ε – 1) – angrenare bipară;


În conformitate cu fig. 2.16, în angrenarea reală, care se desfăşoară pe segmentul BD, intervin momente cu angrenare bipară (cu două perechi de dinţi în contact, v. zonele punctate pe segmentul BD), urmate de momente cu angrenare unipară (cu o singură pereche de dinţi în contact, v. zona nepunctată pe segmentul BD); alăturat fig. 2.16, sunt prezentate lungimile segmentelor corespunzătoare angrenării unipare şi respectiv bipare, iar în fig. 2.14,d, aceste zone sunt prezentate sub forma unei diagrame în trepte denumită diagrama gradului de acoperire.

În fig. 2.17,a,b şi c sunt ilustrate schemele geometrice, pentru determinarea gradului de acoperire, în cazul angrenajelor R–R exterior, R–R interior şi respectiv R–C.

În cazul angrenajului R–R exterior, conform fig. 2.17,a, se obţine următoarea expresie a gradului de acoperire:

BD = AD + EB – AE = AD + EB – (AC + CE) =

=>

. (2.30)

Determinarea expresiilor gradului de acoperire, pentru angrenajul R–R interior (fig. 2.17,b) şi pentru angrenajul R–C (fig. 2.17,c), se propune ca temă de casă.

2.4.4. Determinarea analitică a mărimilor geometrice reprezentative

Un rol determinant, în sinteza analitică a unui angrenaj evolventic de tip R-R, îl au următoarele trei corelaţii:

invw – inv0 = 2·tg0·(x2 x1)/(z2 z1); (2.31)

aw·cosw = a0·cos0, a0 = r2 r1= 0,5·m·(z2 z1); (2.32)

rw1·cosw = r1·cos0, rw2·cosw = r2·cos0; (2.33)

în semnele duble ale acestor relaţii, semnul superior (+) se referă la angrenajul exterior, iar semnul inferior (–) la angrenajul interior.

93 Mecanisme

FIG. 2.17. Scheme pentru calculul gradului de acoperire în cazul: a) angrenajului R–R exterior; b) angrenajului R–R interior şi

c) angrenajului R–C.

c

a b


În cazul aplicaţiei considerate, care constituie o problemă de sinteză directă (se dau parametrii danturilor şi se cer parametrii angrenajului), determinarea analitică a parametrilor geometrici se efectuează în următoarea succesiune (fig. 2.13 şi 2.14):a) Din relaţia (2.31) se determină unghiul de angrenare w:

invw= 2·tg0·(x2 x1)/(z2 z1) + inv0 =

= 2·tg20°·(0,5 + 0,5)/(20 + 20) + inv20° = 0,0331 =>

w = 25,8° (v. tab. 2.2).

b) Pe baza unghiului de angrenare obţinut, din relaţiile (2.32) se calculează distanţa dintre axe (aw), iar din relaţiile (2.33) se determină razele cercurilor de rostogolire (rw1 şi rw2):

aw = (r2 + r1)·cos0/cosw = (150 + 150)·cos20°/cos25,8° = 313,1199 mm.

rw1 = r1·cos0/cosw = 150·cos20°/cos25,8° = 156,5599 mm =>

rw2 = rw1 = rw = 156,5599 mm.

c) Raportul de transmitere al angrenajului cu axe fixe (fig. 2.13,a) are valoarea:

i1,2 = 1/2 = – z2/z1 = – 20/20 = –1;

ca urmare, angrenajul obţinut este un inversor de turaţie.d) Cu ajutorul acestor date, se poate determina acum analitic gradul

de acoperire al angrenajului R–R obţinut:

Prin comparaţie, se constată că rezultatele grafice concordă cu cele analitice.

95 Mecanisme

TAB. 2.2. Valorile funcţiei involută inv = tg – [rad]

[grd] inv [grd] inv

[grd] inv

[grd] inv

15 0,00615 18,1 0,010946 21,2 0,017865 24,3 0,027402

15,1 0,006276 18,2 0,011133 21,3 0,018129 24,4 0,02776

15,2 0,006404 18,3 0,011323 21,4 0,018395 24,5 0,028121

15,3 0,006534 18,4 0,011515 21,5 0,018665 24,6 0,028485

15,4 0,006665 18,5 0,011709 21,6 0,018937 24,7 0,028852

15,5 0,006799 18,6 0,011906 21,7 0,019212 24,8 0,029223

15,6 0,006934 18,7 0,012105 21,8 0,01949 24,9 0,029598

15,7 0,007071 18,8 0,012306 21,9 0,01977 25 0,029975

15,8 0,007209 18,9 0,012509 22 0,020054 25,1 0,030357

15,9 0,00735 19 0,012715 22,1 0,02034 25,2 0,030741

16 0,007493 19,1 0,012923 22,2 0,020629 25,3 0,03113

16,1 0,007637 19,2 0,013134 22,3 0,020921 25,4 0,031521

16,2 0,007784 19,3 0,013346 22,4 0,021217 25,5 0,031917

16,3 0,007932 19,4 0,013562 22,5 0,021514 25,6 0,032315

16,4 0,008082 19,5 0,013779 22,6 0,021815 25,7 0,032718

16,5 0,008234 19,6 0,013999 22,7 0,022119 25,8 0,033124

16,6 0,008388 19,7 0,014222 22,8 0,022426 25,9 0,033534

16,7 0,008544 19,8 0,014447 22,9 0,022736 26 0,033947

16,8 0,008702 19,9 0,014674 23 0,023049 26,1 0,034364

16,9 0,008863 20 0,014904 23,1 0,023365 26,2 0,034785

17 0,009025 20,1 0,015137 23,2 0,023684 26,3 0,035209

17,1 0,009189 20,2 0,015372 23,3 0,024006 26,4 0,035637

17,2 0,009355 20,3 0,015609 23,4 0,024332 26,5 0,036069

17,3 0,009523 20,4 0,015849 23,5 0,02466 26,6 0,036505

17,4 0,009694 20,5 0,016092 23,6 0,024992 26,7 0,036945

17,5 0,009866 20,6 0,016337 23,7 0,025326 26,8 0,037388

17,6 0,010041 20,7 0,016585 23,8 0,025664 26,9 0,037835

17,7 0,010217 20,8 0,016836 23,9 0,026005 27 0,038287

17,8 0,010396 20,9 0,017089 24 0,02635 27,1 0,038742

17,9 0,010577 21 0,017345 24,1 0,026697 27,2 0,039201

18 0,01076 21,1 0,017603 24,2 0,027048 27,3 0,039664


TAB. 2.2.Vloilfunc iiinvolu inv=g–[d]ţ ă (coninu)

[grd] inv [grd] inv

[grd] inv

[grd] inv

27,4 0,040131 30,5 0,05672 33,6 0,077968 36,7 0,104841

27,5 0,040602 30,6 0,057328 33,7 0,078741 36,8 0,105814

27,6 0,041076 30,7 0,05794 33,8 0,07952 36,9 0,106795

27,7 0,041556 30,8 0,058558 33,9 0,080305 37 0,107782

27,8 0,042039 30,9 0,059181 34 0,081097 37,1 0,108777

27,9 0,042526 31 0,059809 34,1 0,081894 37,2 0,109779

28 0,043017 31,1 0,060441 34,2 0,082697 37,3 0,110788

28,1 0,043513 31,2 0,061079 34,3 0,083506 37,4 0,111805

28,2 0,044012 31,3 0,061721 34,4 0,084321 37,5 0,112829

28,3 0,044516 31,4 0,062369 34,5 0,085142 37,6 0,11386

28,4 0,045024 31,5 0,063022 34,6 0,08597 37,7 0,114899

28,5 0,045537 31,6 0,06368 34,7 0,086804 37,8 0,115945

28,6 0,046054 31,7 0,064343 34,8 0,087644 37,9 0,116999

28,7 0,046575 31,8 0,065012 34,9 0,08849 38 0,118061

28,8 0,0471 31,9 0,065685 35 0,089342 38,1 0,11913

28,9 0,04763 32 0,066364 35,1 0,090201 38,2 0,120207

29 0,048164 32,1 0,067048 35,2 0,091067 38,3 0,121291

29,1 0,048702 32,2 0,067738 35,3 0,091938 38,4 0,122384

29,2 0,049245 32,3 0,068432 35,4 0,092816 38,5 0,123484

29,3 0,049792 32,4 0,069133 35,5 0,093701 38,6 0,124592

29,4 0,050344 32,5 0,069838 35,6 0,094592 38,7 0,125709

29,5 0,050901 32,6 0,070549 35,7 0,09549 38,8 0,126833

29,6 0,051462 32,7 0,071266 35,8 0,096395 38,9 0,127965

29,7 0,052027 32,8 0,071988 35,9 0,097306 39 0,129106

29,8 0,052597 32,9 0,072716 36 0,098224 39,1 0,130254

29,9 0,053172 33 0,073449 36,1 0,099149 39,2 0,131411

30 0,053751 33,1 0,074188 36,2 0,10008 39,3 0,132576

30,1 0,054336 33,2 0,074932 36,3 0,101019 39,4 0,13375

30,2 0,054924 33,3 0,075683 36,4 0,101964 39,5 0,134931

30,3 0,055518 33,4 0,076439 36,5 0,102916 39,6 0,136122

30,4 0,056116 33,5 0,0772 36,6 0,103875 39,7 0,13732

97 Mecanisme

2.4.5. Verificarea condiţiilor de angrenare corectă ale danturilor, în premisa generării acestora cu scula cremalieră

Generarea unei danturi impune verificarea următoarelor două condiţii, pentru angrenajul generator R–C (roată semifabricat – cremalieră sculă):a) Evitarea ascuţirii capului dintelui (sa k·m):

sa1 = sa2 = sa = 7,6208 mm > k·m = 0,5·15 = 7,5 mm,

ceea ce însemnă că riscul ascuţirii dinţilor este evitat.b) Evitarea interferenţei la generare (x xmin):

x1 = x2 = x = +0,5 > xmin = (17 – z)/17 = (17 – 20)/17 = – 0,1764 [-],

ceea ce înseamnă că, la generare, dinţii nu rezultă subtăiaţi.

2.4.6. Verificarea condiţiilor de angrenare corectă ale angrenajului R–R

În cazul unui angrenaj R–R, principalele condiţii de angrenare corectă se referă la: a) condiţia angrenării celor două danturi, b) condiţia evitării interferenţei, adică a tendinţei de blocare cauzată de coliziunea dinţilor conjugaţi şi c) condiţia transmiterii continue a mişcării de rotaţie (de la roata motoare la cea condusă).

a) Condiţia angrenării celor două danturi. Conform fig. 2.14,b, cele două danturi pot angrena între ele (adică, pot veni simultan în contact, pe o linie de angrenare, cel puţin două perechi de flancuri succesive) deoarece au: pb1 = pb2 = pb şi, implicit, au aceeaşi cremalieră de referinţă (pb1 = pb2 = pb <=> m01 = m02 = m0).

b) Condiţia evitării interferenţei, în funcţionarea angrenajului R–R, este îndeplinită (în exprimare grafică) deoarece, conform fig. 2.14,a: BD AE; aceasta înseamnă că flancurile conjugate vor


realiza numai contacte prin tangenţă, întrucât punctele segmentului real BD aparţin şi segmentului teoretic AE.

c) Condiţia transmiterii continue a mişcării de rotaţie, de la o roată la cealaltă, este de asemenea îndeplinită deoarece (fig. 2.14,b): = BD/pb 1,38 > 1; aceasta înseamnă că o pereche de dinţi intră în angrenare înainte ca perechea precedentă să iasă din angrenare şi, în acest fel, riscul opririi intermitente a roţii conduse este evitat.

2.4.7. Tipul angrenajului obţinut şi proprietăţile acestuia

Având unghiul de angrenare w = 25,8° > 0 = 20°, angrenajul R–R obţinut în fig.2.14 este deplasat plus. Ca urmare, în acest angrenaj se regăsesc următoarele corelaţii (fig.2.14,a şi b):

xS = x2 + x1= 0,5 + 0,5 = +1 > 0,

aw = 313,1199 mm > a0 = r2 + r1 = 300 mm şi

rw1= rw2 = rw = 156,5599 mm > r1 = r2 = r = 150 mm.

Definiţii, corelaţii şi semnificaţii ale noţiunilor utilizate

1°. Interferenţa flancurilor: proces nedorit, care apare în funcţionarea unui angrenaj, atunci când contactul flancurilor conjugate nu se mai realizează prin tangenţă, ci prin intersecţie; într-un angrenaj generator, interferenţa se manifestă prin subtăierea dinţilor roţii prelucrate, iar într-un angrenaj de funcţionare, interferenţa se manifestă prin coliziunea dinţilor conjugaţi, care produce blocare sau tendinţă de blocare.

Evitarea interferenţei presupune ca flancurile conjugate să vină în contact numai prin tangenţă; în exprimare grafică, această condiţie este îndeplinită dacă segmentul real BD este inclus în segmentul teoretic AE (fig. 2.15,a), respectiv în semidreapta teoretică de angrenare Aa (fig. 2.15,b) sau AE (fig. 2.15,c şi d):

BD AE (fig. 2.15,a); BD Aa (fig. 2.15,b); BD AE (fig. 2.15,c şi d).

2°. Deplasare minimă (m·xmin) este distanţa dintre dreapta de divizare şi dreapta de referinţă, când angrenajul R–C se află la limita interferenţei: BA

99 Mecanisme

(fig. 2.15,d). Prin urmare, deplasarea minimă (m·xmin) reprezintă deplasarea pentru care condiţia grafică a evitării interferenţei, BD AE (fig. 215,c şi d), este îndeplinită la limită (BA).

Evident, în cazul angrenajului R–C, condiţia grafică, BD AE (fig. 215,c şi d), este echivalentă condiţiei analitice: x xmin, în care prin xmin s-a notat coeficientul deplasării minime.

Expresia coeficientului xmin rezultă din fig. 2.15,d:

m0·xmin = bc = ha0 – aC = m0· – AC·sin 0 = m0· – OC·sin² 0 =

= m0· – r·sin² 0 = m0· – 0,5·m0·z·sin² 0 =>

xmin = – 0,5·z·sin² 0. (2.34)

Pentru =1 şi 0= 20°, relaţia (2.34) poate fi scrisă sub forma simplificată:

xmin (17 – z)/17, (2.35)

iar condiţia evitării interferenţei, în exprimare analitică pentru angrenajul R–C, devine:

x xmin = – 0,5·z·sin² 0 x xmin (17 – z)/17. (2.36)

3°. Corelaţia w = w(x1, x2). Această corelaţie are un rol determinant în sinteza geometrică a angrenajelor evolventice de tip R–R. Fiind date două danturi evolventice plane (z1, z2, m1 = m2 = m0, x1 şi x2), se cere să se determine unghiul de angrenare w al angrenajului R–R obţinut prin punerea în angrenare, fără joc lateral între dinţi, a celor două danturi. În această premisă, conform fig. 2.18, rostogolirea fără alunecare dintre cercurile de rostogolire este caracterizată prin egalităţile:

ew1 = sw2 => pw1 = pw2 = pw = sw1 + ew1 = sw1+ sw2 = ·mw =>

sw1+ sw2 = ·mw. (2.37)

Grosimile sw1 şi sw2 se explicitează mai întâi din relaţiile:

sw1/dw1 + invw = s1/d1 + inv0; dw1 = z1·mw;

d1 = z1·m0; s1 = m0·(/2 + 2x1·tg0), (2.38)

sw2/dw2 + invw = s2/d2 + inv0; dw2 = z2·mw;

d2 = z2·m0; s2 = m0·(/2 + 2x2·tg0) (2.39)


FIG. 2.18. Schemă pentru determinarea corelaţiei w = w (x1, x2).

şi apoi se înlocuiesc în relaţia (2.37). În urma calculelor, se obţine următoarea corelaţie pentru angrenajul R–R exterior:

invw – inv0 = 2 tg0·(x2+x1)/(z2+z1). (2.40)

În mod analog, pentru angrenajul R–R interior se obţine:

invw – inv0 = 2 tg0·(x2 – x1)/(z2 – z1). (2.41)

4°. Problema sintezei directe şi problema sintezei inverse. În sinteza geometrică a unui angrenaj R–R se porneşte de la relaţiile:

invw – inv0 = 2 tg0·(x2 x1)/(z2 z1), (2.42)

aw·cosw = a0·cos0, a0 = r2 r1 = 0,5·m·(z2 z1), (2.43)

rw1·cosw = r1·cos0, rw2·cosw = r2·cos0, (2.44)

în care semnul superior (+) se referă la angrenajul exterior, iar semnul inferior (–) la angrenajul interior.

În sinteza geometrică, a angrenajelor R–R, prezintă o relevanţă deosebită:a) problema sintezei directe şi b) problema sintezei inverse.

101 Mecanisme

a) Problema sintezei directe: în acest caz se cunosc parametrii intrinseci ai danturilor (z1, z2, m1 = m2 = m0, x1 şi x2) şi se cer parametrii angrenajului R–R (w, aw, rw1, rw2, etc.).

Principial, în rezolvarea acestui tip de problemă se procedează astfel: 1°. se determină, mai întâi, unghiul de angrenare w, din relaţia (2.42); 2°. se calculează apoi distanţa dintre axe (aw) din relaţia (2.43);3°. se determină razele cercurilor de rostogolire (rw1 şi rw2) cu ajutorul relaţiilor

(2.44); pe baza acestora pot fi determinate, mai departe, celelalte mărimi ale angrenajului R–R.

b) Problema sintezei inverse: în acest caz se cunosc (şi/sau se stabilesc) distanţa dintre axe (aw), numerele de dinţi (z1 şi z2) şi modulul m1 = m2 = m0 şi se cer coeficienţii x1 şi x2 ai danturilor şi ceilalţi parametrii ai angrenajului R–R (w, rw1, rw2, etc.).

Principial, pentru rezolvarea acestui tip de problemă se foloseşte următorul algoritm:

1°. se determină, mai întâi, unghiul de angrenare w, din relaţia (2.43);2°. se calculează x2 x1 din relaţia (2.42) şi se împarte în x1 şi x2; această

împărţire se realizează, de regulă, adoptând un criteriu suplimentar adecvat, privind optimizarea durabilităţii angrenajului; în absenţa unui astfel de criteriu, pot fi utilizate următoarele recomandări:

2a) dacă x2 + x1 = xS >0 (pentru angrenajul exterior) şi, respectiv, x2 – x1 = xD < 0 (pentru angrenajul interior), atunci împărţirea coeficienţilor, pe cele două roţi dinţate, poate fi făcută adoptând raportul:

x1/x2 = z2/z1 = u,prin intermediul căruia se obţine:

x2 = xS/(1+u) > 0 şi x1 = u·x2 = xS·u/(1+u) > 0, pentru angrenajul exterior şix2 = xD/(1–u) > 0 şi x1 = u.x2 = xD·u/(1–u) > 0, pentru angrenajul interior;

evident, dacă se obţine x1 < x1min = (17–z1)/17, atunci se adoptă x1 = x1min şi, implicit, rezultă:

x2 = xS – x1min, pentru angrenajul exterior şi x2 = xD + x1min, pentru angrenajul interior.2b) dacă x2 + x1 = xS < 0 (pentru angrenajul exterior) şi, respectiv, x2 – x1 =

xD > 0 (pentru angrenajul interior), atunci împărţirea coeficienţilor, pe cele două roţi dinţate, poate fi făcută folosind raportul:

x2/x1 = –z2/z1 = –u, prin intermediul căruia se obţine:

x1 = xS/(1–u) > 0 şi x2 = –u·x1 = –xS·u/(1–u) < 0, pentru angrenajul exterior şix1 = –xD/(1+u) < 0 şi x2 = –u·x1 = xD·u/(1+u) > 0, pentru angrenajul interior;


FIG. 2.19. Sistematizarea angrenajelor R–R în funcţie de unghiul de angrenare w.

evident, dacă se obţine x1 < x1min = (17–z1)/17, atunci se adoptă x1 = x1min şi, implicit, rezultă:

x2 = xS – x1min, pentru angrenajul exterior şi x2 = xD + x1min, pentru angrenajul interior.2c) dacă x2 + x1 = xS = 0 (pentru angrenajul exterior) şi, respectiv, x2 – x1 = xD

= 0 (pentru angrenajul interior), atunci împărţirea coeficienţilor, pe cele două roţi dinţate, poate fi făcută adoptând:

x2 = –x1 = 0, pentru angrenajul exterior şi x1 = x2 = 0, pentru angrenajul interior;

evident, dacă x1 = 0 < x1min = (17–z1)/17, atunci se adoptă x1 = x1min şi, implicit, rezultă:

x2 = –x1min, pentru angrenajul exterior şi x2 = x1min, pentru angrenajul interior;3°. se determină razele cercurilor de rostogolire (rw1 şi rw2), cu ajutorul relaţiilor

(2.44).

Angrenaj deplasat plusw > 0;x2 + x1 > 0; aw > a0; rwi > ri.

Angrenaj zero deplasatw = 0;x2 + x1 = 0; aw = a0; rwi = ri.

Angrenaj deplasat minusw < 0;x2 + x1 < 0; aw < a0; rwi < ri.

ca b

103 Mecanisme

Pe baza mărimilor astfel determinate, pot fi calculate, mai departe, celelalte mărimi geometrice ale danturilor şi ale angrenajului.

5°. Tipurile angrenajelor R–R (roată–roată) şi proprietăţile acestora. În funcţie de unghiul de angrenare w, se deosebesc trei tipuri de angrenaje evolventice (fig. 2.19):

a) Angrenaj R–R zero deplasat, când w = 0 = 20° (fig. 2.19,b). Conform relaţiilor (2.42),…,(2.44) şi fig. 2.19,b, acest angrenaj este caracterizat prin următoarele proprietăţi:

x2 x1 = 0 x2 = –( x1); aw = a0 = r2 r1; rw1 = r1; rw2 = r2. (2.45)

În cazul particular, în care x2 = –( x1) = 0, angrenajul zero deplasat este numit angrenaj nedeplasat.

b) Angrenaj R–R deplasat plus, când w > 0 = 20° (fig. 2.19,a). Conform fig. 2.19,a şi relaţiilor (2.42),…,(2.44), acest angrenaj este caracterizat prin următoarele proprietăţi:

x2 x1 > 0; aw > a0 = r2 r1; rw1 > r1; rw2 > r2. (2.46)

c) Angrenaj R–R deplasat minus, când w < 0 = 20° (fig. 2.19,c). Conform relaţiilor (2.42),…,(2.44) şi fig. 2.19,c, acest angrenaj are următoarele proprietăţi caracteristice:

x2 x1 < 0; aw < a0 = r2 r1; rw1 < r1; rw2 < r2. (2.47)

Temă de casă

Să se rezolve problema sintezei inverse, derivată din exemplul prezentat. Se cunosc: aw = 313,1199 mm, z1 = z2 = z = 20 dinţi şi m1 = m2 = m0 = 15 mm şi se cere să se regăsească mărimile danturilor şi angrenajului format de acestea (v. fig. 2.14).

Documents

Mecanisme ID Cap. 2-Baze Angrenaje Plane