Meccanicadel puntomateriale

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Meccanica

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Introduzione

La Meccanica è quella branca della Fisica che si occupa della descrizione dei moti dei corpi e delle forze che sono responsabili dei moti stessi.

Tradizionalmente si suole dividere la Meccanica in Cinematica, Statica e Dinamica.

Cinematica Descrizione dei moti a prescindere delle cause che li generano

Statica Condizioni di equilibrio

Dinamica Ricerca l’equazione del moto di un corpo quando si conoscono le forze ad esso applicate.

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Descrizione cinematica del moto

Si dice che un corpo si muove quando la sua posizione rispetto ad altri corpi, considerati come fissi, varia nel tempo. Il concetto di moto ha perciò sempre un significato relativo.

In meccanica, il moto di un corpo è sempre riferito ad un sistema di riferimento. Per descrivere poi lo stato di moto del corpo facciamo ricorso alle grandezze cinematiche spostamento, velocità, accelerazione.

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Traiettoria e legge oraria

Definiamo traiettoria del moto la linea descritta dal punto durante il suo moto. Se la traiettoria è nota, per descrivere completamente il moto, basta conoscere la posizione del punto lungo la traiettoria ad ogni istante.

Se indichiamo con s il tratto di traiettoria percorso dal punto P nel tempo t, il moto è completamente descritto quando si conosce la relazione

s = s(t)

che prende il nome di legge oraria.

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Spostamento

Il tratto di traiettoria coperto prende il nome si spostamento.

In generale, lo spostamento è una grandezza vettoriale.

La legge oraria (o legge del moto) può quindi essere descritta mediante le tre funzioni del tempo:

x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)

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Velocità

Posizione x (m) Tempo di transito t (s)

0 0

4 10

14 20

24 30

Velocità media: vm = Δs/ Δt (m/s)

ma: Δs1 / Δt ≠ Δs2 / Δt = Δs3 /Δt

Se però prendiamo un Δt sempre più piccolo, a questo corrisponderà un Δs sempre più piccolo e il rapporto rimarrà un numero finito; definiamo pertanto

Velocità istantanea: v = lim (Δs /Δt) = ds/dt Δt→0

10

30

20

10 20 30 40 t (s)

pos.(m)

Δs1

Δs2

Δs3Δt

A. Merla - Corso di Fisica - UdA 8

Interpretazione trigonometrica della velocità

B CA C

s2 – s1

t2 – t1

= = vm

Se invece di B scegliamo un punto P via via più vicino ad A, il Δt diminuisce e di conseguenza anche il corrispondente Δs diminuisce: per P che tende a coincidere con A, avremo che la corda AP tende a coincidere con la tangente alla curva in A. Quindi potremo definire la velocità istantanea nel punto A della legge oraria come: v = tg α

Se AB è un tratto di legge oraria, dal grafico si evince che, considerando la corda AB, si ha:

A

B

Cα

s2

s1

t2t1

s

t

P


Accelerazione

Analogamente a quanto fatto per la velocità definiamo l’accelerazione media come:

am = Δv/Δt

Mentre definiamo l’accelerazione istantanea come:

a = lim Δv/Δt = dv/dt Δt→0

L’accelerazione si misura in (m/s)/s, ovvero in m/s2


Moto rettilineo uniforme

Per s1 ed s2 qualsiasi

Se e

s – s0

tv = e s = s0 + vt

a = 0 v = cost = vm


Moto uniformemente accelerato

a = costante

v1

v0

a > 0

a < 0

Δt t

v

In prima approssimazione sarà: s1 = v1 . Δ t

In questo caso avremo: a = am

v(t) = v0 + at

Il diagramma orario delle velocità è una retta:

Tuttavia, poiché il valore di v varia istante per istante, non è possibile calcolare lo spazio direttamente dallarelazione s = v . t


Integrazione delle leggi del moto

v0

v0 + at

tΔt

v

Per trovare lo spazio percorso nel tempo t osserviamo che esso è dato dalla somma dei prodotti: (s0 = v0 . Δt) + (s1 = v1 . Δt) + … + (sn = vn . Δt)ovvero dalla somma dei rettangolini in figura. In definitiva tale somma approssima l’area del trapezio di base v0 e (v0 + at), e altezza t, ovvero l’area della porzione di piano racchiusa tra la retta e l’asse dei tempi.

s(t) = ½ [v0 + (v0 + at)] • t =

s(t) = v0t + ½ a • t2

In generale le equazioni del moto uniformemente accelerato sono:

s(t) = s0 + v0t + ½ a • t2

v(t) = v0 + a • tricavando t dalla seconda equazione e sostituendo nella prima si ricava: v2(t) = v0

2 + 2a • s


Moto naturalmente accelerato

g = 9.81 m/s2


Moto naturalmente accelerato

In questo caso le equazioni del moto divengono:

s(t) = s0 + v0t - ½ g . t2

v(t) = v0 - g . t

Combinando le due relazioni sopra, si ottiene:

v2(t) = v02 + 2g . s

In particolare se il corpo parte da fermo, dopo essere caduto per un dislivello h ha acquistato una velocità pari a: v = (2g . h)1/2


Moto di un punto nello spazio

Se un punto materiale si muove nello spazio tridimensionale e non solo lungo una sola direzione, le equazioni del moto sono simili a quelle viste precedentemente, ma per indicare lo spazio percorso, la velocità e l’accelerazione bisogna usare dei vettori.

s(t) = s0 + v0t + ½a t2

v(t) = v0 + a t

Questo moto può essere scomposto nel moto lungo l’asse X, lungo l’asse Y e lungo l’asse Z

€

x(t) = x0 + vx0t +12axt

2

€

y(t) = y0 + vy0t +12ayt

2

€

z(t) = z0 + vz0t +12azt

2


Moto su traiettoria curvilinea

P1P2 = OP2 – OP1

Allora

A

Bt1

P1

t2

P2

O

se t2 = t1 + Δt, con Δt molto piccolo:

P2 è molto vicino a P1 e P1P2 ha circa la direzione della tangente alla traiettoria in P1 e le sua lunghezza ~ P1P2

Direzione della tangente alla traiettoria

Verso del moto

Modulo uguale alla velocità scalare v

€

v = P1P2

Δt


Moto su traiettoria curvilinea

Se, come in precedenza, t2 = t1 + Δt, con Δt molto piccolo, al vettore

si dà il nome di accelerazione del punto P all’istante t.In generale la direzione del vettore accelerazione NON è quella della tangente alla traiettoria!!

t2

P2

Nello spostamento dal punto P1 al punto P2 la velocità del punto è variata.Anche se il modulo della velocità è rimasto costante (come ad esempio nel moto circolare uniforme), la direzione della velocità è diversa.Una variazione della velocità implica sempre la presenza di un’accelerazione.

A

Bt1

P1

O

€

ΔvΔt


Moto circolare

P1P2 = OP2 – OP1

P1

P2v1

v2

••

O

v1 v2

A

BCΔvIn generale, per un moto circolare non uniforme,

a può pensarsi scomposto in due componenti at ed an

P•v

an

P• aat

an

v1

v2

Δv

La variazione di velocità, e quindi l’accelerazione, è perpendicolare alla velocità stessa.


Moto circolare

O

v1v2

A

B

CΔv

Analizzando meglio la figura a fianco osserviamo che il segmento AB ≈ normale alla traiettoria,

mentre il segmento

BC ≈ v2 – v1 ≈ tangente alla traiettoria.

Quindi, con buona approssimazione possiamo scrivere che: BC/Δt = at e che at = (v2 – v1)/ Δt

che non è altro che l’accelerazione istantanea definita nel moto unidimensionale. an, invece, ci dice come varia la direzione della velocità, istante per istante. Quindi, in definitiva:

at è nulla se v = cost moto uniforme, an è nulla se la traiettoria è rettilinea,

an si chiama accelerazione centripeta


Composizione e decomposizione dei movimenti


Composizione e decomposizione dei movimenti

O x

yP

Py

Px

Se il punto P si sposta in un piano, possiamo individuarne la posizione nel r i ferimento cartesiano di origine O mediante il vettore OP.

OP può pensarsi come somma dei due vettori OPx ed OPy, che sono le sue componenti lungo gli assi.

Il moto del punto P si riduce allo studio di due movimenti rettilinei: quelli di Px e Py, proiezioni ortogonali di P.


Moto del proiettile


Moto del proiettile

y

O Px

Py

x

Pv

v0

•

Lungo l’asse x il moto è uniforme x = v0t

Lungo l’asse y il moto è uniformemente accelerato y = ½ gt2


Moto circolare uniforme

E’ il moto di un punto che descrive archi uguali in tempi uguali.Il moto è periodico. La velocità angolare è l’angolo (in radianti)descritto nell’unità di tempo ω = Δα/Δt

Δs = rΔα = rωΔt Δs/Δt = v = ωr

ωΔt = Δα

r

Cv2

v1

O

B AΔv

v1v2

ωΔt


Moto circolare uniforme

Il periodo del moto è La frequenza è

AB /Δt = v2 – v1 = Δv Ma per Δt molto piccolo sarà Δv ≅ vωΔt

Poiché v = costante at = 0 , mentre an ≠ 0

Δv = vωΔt

ac = vω = v2/r = ω2r

E poiché at è nulla an = ac = Δv Δt


Moto armonico

v

ωt

or

A B

C

Py

PXx

y

Pac

ωt

Se P si muove di moto circolare uniforme la sua proiezione Pxsi muove di moto armonico.

Sia t = 0 quando Px è in 0.Allora l’angolo al centro sottesoda PC è ωt e

x = r sin(ωt) r = ampiezza ω= pulsazione y = r cos(ωt)

è la legge del moto armonico il cui diagramma orario è una sinusoide:


Moto armonico

x+r

-r

-2π ω

-π ω

π ω

2π ω

t

Il periodo T = 2π/ ω e la frequenza ν = ω/ 2π sono quelli del moto circolare uniforme corrispondente.


Moto armonico

v

ωt

or

A B

C

Py

PXx

y

Pac

ωt

La velocità istantanea del moto èla proiezione di v su AB

vx = v cos(ωt) = ωr cos(ωt)

Analogamente per l’accelerazione axche è la proiezione di ac su AB

ax = -ω2x

Quindi nel moto armonico l’accelerazione è proporzionale allo spostamento e diretta sempre verso il centro del moto.


LEGGI FONDAMENTALI DELLA DINAMICA

Newton formulò le leggi della dinamica ~300 anni fa, scegliendole in modo che esse, e le loro conseguenze, siano in accordo, entro le precisioni di misura, con le osservazioni sperimentali effettuate.

Nel tempo, nuovi fenomeni (o migliori p rec i s i on i ) hanno po r ta to a miglioramenti successivi; le vecchie leggi sono prime approssimazioni delle nuove (ex . re la t i v i tà spec ia le , meccanica quantistica).


Prima Legge

“Un corpo non soggetto ad interazioni permane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme, in un sistema di riferimento inerziale ”.

La legge dice che il moto dei corpi si può studiare solo nei sistemi in cui non compaiono anomalie (accelerazioni non dovute ad interazioni);

Dato un sistema di riferimento inerziale, tutti i sistemi, in quiete o in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso, sono anche essi dei sistemi di riferimento inerziali;

Dal punto di vista della dinamica, quiete e moto rettilineo uniforme sono equivalenti.


Seconda Legge

“Nei sistemi di riferimento inerziali, una forza impressa ad un corpo produce un’accelerazione parallela alla forza e ad essa proporzionale; il coefficiente di proporzionalità non dipende dalla forza, ma dalle proprietà intrinseche del corpo.”

F = m a

richiede la conoscenza delle forze, a priori dal loro effetto sul moto dei corpi;

il coefficiente “ m ”è la massa inerziale di un corpo :

la massa non dipende dallo stato di quiete o di moto del corpo;

la massa si mantiene costante nel tempo.


Forze Additive


Sistemi di Riferimento Inerziali

Le leggi di Newton implicano il concetto di accelerazione, quindi quello di un sistema di riferimento rispetto a cui misurare l’accelerazione. Non tutti i sistemi di riferimento sono appropriati;

Definiamo sistemi inerziali tutti quelli in cui valgono le leggi di Newton.

Ad esempio un sistema solidale con la Terra non serve a descrivere le leggi che regolano il moto dei pianeti (gravitazione universale), ma in esso si possono ben descrivere fenomeni inerziali su “piccola” scala, quali la caduta dei gravi, ecc.

Un sistema di riferimento inerziale o galileiano classico è quello collegato a delle stelle fisse. È inerziale ogni altro sistema non accelerato rispetto ad esso.

Ogni sistema di riferimento che si muove con velocità costante rispetto ad un sistema inerziale è anch’esso inerziale.

F = ma F = mav


Unità di Misura della Forza

[F] = [m] · [a] = [m · l · t -2 ]

si misura in Newton (MKS) o in dine (CGS);

1 N = 1 Kg · 1 m / 1 s 2

1 dine = 1 g · 1 cm / 1 s 2 = 1 N / 10 5


Terzo Principio

“Quando un corpo A imprime una qualsiasi forza FAB su un corpo B, automaticamente il corpo B imprime su A una forza FBA uguale in modulo ed opposta in verso” (Principio di azione e reazione).

F AB = -F BA

Es.: molti esempi pratici (nuoto, camminata, barche a remi, rimbalzo ecc.);

Nei sistemi isolati , la somma vettoriale di tutte le forze (cioè la forza totale) è sempre nulla, perché tutte le forze tra corpi, comunque complicate, si cancellano due a due.


Forza Peso

Il peso è una forza.

P = mg

con g = accelerazione di gravità del luogo dove si effettua la misura.

La massa di un corpo è legata alle quantità di materia del corpo, e rimane quindi invariata se quel corpo è posto, ad esempio, sulla Terra o sulla Luna. Il peso no. Quindi sulla superficie della Terra un corpo di massa m = 1 kg ha un peso P = 1 x 9.8 = 9.8 N, un uomo di massa 80 kg ha un peso P = 784 N


Forza Peso

Il peso di un corpo è uguale alla Fgrav solo in assenza di accelerazione nelladirezione di g


Origine della Forza Peso: Legge di Gravitazione Universale

La forza peso è un aspetto della FORZA di GRAVITAZIONE UNIVERSALE

M2M1 r

F F

Due corpi di massa M1 e M2 si attraggono con una forza che è direttamente proporzionale al prodotto delle masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza tra le masse stesse.

In modulo: F = G0 M1M2/r2

dove la forza si esercita tra i centri delle masse e G0 è la costante di gravitazione universale.

G0 = 6.67 10-11 (N.m2)/Kg2


Accelerazione di Gravità

Possiamo utilizzare la legge di gravitazione universale per calcolare in modo semplice g:

In prossimità della superficie terrestre possiamo scrivere che

Fgrav = G0mMT/RT2

con MT e RT massa e raggio della Terra rispettivamente.

Poiché deve valere anche che Fgrav = Fpeso = mg

Risulta g = G0MT/RT2 = 9.81 m/sec2


Massa Inerziale e Massa Gravitazionale

Le domande da porsi allora sono:

1) La massa inerziale e la massa gravitazionale sono la stessa cosa?

2) Due corpi con differente massa inerziale cadono al suolo con differente accelerazione gravitazionale?


Reazioni Vincolari

Nel caso in cui il corpo non è libero, ma condizionato a muoversi entro certe condizioni, si parla di vincoli.

Esempi: tavoli,rotaie,fili inestensibili, ...

Il “trucco” consiste nel sostituire il vincolo con una forza ( R e a z i o n e V i n c o l a r e ) ortogonale al vincolo, che produca lo stesso effetto sul moto.


Esempi di Reazioni Vincolari


Il piano inclinato

lungo il piano inclinato : m · a = W · sin θ = m · g · sin θ

l’accelerazione di gravità g è minore di un fattore sin θ .


Forze d’attrito

Le forze d’attrito sono forze di contatto. Esistono due tipi di attrito :

attrito statico (impedisce l’inizio del moto) opposto alle forze che agiscono sul corpo;

valore massimo : Fstat (max) = µs N = µs m g

(NB in modulo, la direzione è differente !!!).

attrito dinamico (agisce durante il moto) :

F d = µd N = µd m g

direzione e verso = - v

I coefficienti µs e µd sono differenti ( µd < µs ) e dipendono dalle superfici dei corpi e dalla presenza di lubificanti, polveri, etc. (cioè dalla presenza di asperità che impediscano lo scorrimento delle superfici) e NON dipendono dalla estensione delle superfici.


Il piano inclinato con attrito


Forza Elastica

Si definiscono Forze Elastiche (ex. molla) quelle definite dalla legge di Hooke:

F = - Kx• la forza è proporzionale alla deformazione (spostamento) della molla;

• la costante di proporzionalità K indica la “robustezza” della

molla (= forza per deformazione unitaria);

• la forza è diretta lungo l’asse della mol la , in senso opposto a l la deformazione;

La forza elastica NON ha modulo costante

L’accelerazione NON è costante


Forza Elastica nei Materiali

La forza elastica NON ha modulo costante

L’accelerazione NON è costante


Forze Elastiche e Moto Armonico

Nel moto armonico l’accelerazione è proporzionale ed opposta allo spostamento

ax = -ω2x

La forza elastica genera moti armonici:

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Quantità di MotoIntroduciamo una nuova grandezza fisica, la quantità di moto di un corpo, come il prodotto della sua massa per la sua velocità:

p = m v

La quantità di moto è un vettore concorde con la velocità(p si misura in Kg.m/s)

Come vedremo la motivazione per l’introduzione di questa nuova grandezza sta nel fatto che ci permetterà di riscrivere la seconda legge di Newton in modo più generale

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Forma generale della seconda legge di NewtonRicordiamo la seconda legge di Newton: F = m a = m Δv/Δt [1]che possiamo anche scrivere come F = Δ(mv)/Δt = Δp/ΔtNel caso di più forze agenti sul corpo di massa m avremo infine: ΣF = Δp/Δt [2]La variazione nel tempo della quantità di moto di un corpo è uguale alla forza risultante ad esso applicataLa seconda legge scritta in questa nuova forma è in realtà più generale di quella vista a suo tempo: infatti tiene conto anche della possibilità che la massa di un corpo possa variare (caso del razzo).

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Esempio di massa variabile

Quando il razzo ha i motori spenti il serbatoio è pieno di carburante (H2 e O2 solidi).

Quando il razzo è in movimento brucia con continuità il carburante fino al suo esaurimento e quindi la sua massa diminuisce: questo caso non è prevedibile dalla formulazione [1], mentre lo è secondo la [2]

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Teorema dell’impulso

Riscriviamo la relazione F = Δp/Δt moltiplicando primo e secondo membro per Δt:

F Δt = Δp [3]

Se definiamo il primo membro della [3] impulso della forza, possiamo dire che l’impulso di una forza è uguale alla variazione totale della quantità di moto di un corpo. La relazione [3] prende anche il nome di Teorema dell’impulso

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Impulso

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Principio di Conservazione della Quantità di Moto

Supponiamo che su un corpo agisca dall’esterno un insieme di forze tali che la loro risultante sia nulla. In tal caso avremo che:

ΣF = 0 = Δp/Δt Δp = 0

Se Δp = 0 ne consegue che p = costante.

Possiamo quindi enunciare il Principio di Conservazione della Quantità di Moto:

Se la risultante delle forze esterne agenti su un corpo è nulla la quantità di moto totale del corpo si conserva

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Considerazioni sulla conservazione della quantità di moto

Il principio suesposto è una relazione vettoriale, e si riferisce alla quantità di moto totale di un corpo o di un sistema. Ciò vuol dire che occorre scomporre i vettori nelle varie componenti (x, y, eventualmente z) ed imporre la conservazione lungo ciascun asse. Inoltre il principio si applica alla somma vettoriale di tutte le quantità di moto del sistema. Vediamo qualche esempio.

1) Due corpi fermi su un piano privo di attrito e connessi da una molla compressa. Quale sarà il moto dei due corpi se la molla si decomprime?

La ΣFest è nulla, quindi la p totale prima della decompressione sarà uguale a quella dopo.

m1g m2g

N1 N2

v1 v2

x

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Potremo quindi scrivere:

p1 + p2 = p1’ + p2’

e poiché i due corpi inizialmente sono fermi avremo:

0 = p1’ + p2’ m1v1’ + m2v2’ = 0

Osserviamo che il problema è unidimensionale, per cui traducendo scalarmente la relazione suscritta otteniamo:

- m1v1’ + m2v2’ = 0

ed infine: v1’/v2’ = m2/m1

ovvero le velocità sono inversamente proporzionali alle masse.

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Uguali risultati si ottengono nei due casi mostrati nelle figure di lato. In particolare nel caso del razzo, questo accelera perché il gas acquista una p uguale e contraria a quella del razzo, e non perché i gas espulsi esercitano una spinta contro il suolo o l’aria!

2)

3)

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