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8/2/2019 MEF_Poutre
1/9
1
Universit A. Mira, Bjaa
Facult des Sciences & Sciences de lIngnieur
Dpartement de GnieCivil, 5me Anne.
Module : Mthode des Elments Finis (MEF)
A. SEGHIR
Llment poutre est utilis pour reprendre, en plus de leffort axial comme llment barre, un chargement
perpendiculaire son axe. On retrouve les poutres dans beaucoup de structures de gnie civil et de constructions
mcaniques. Les cas les plus frquents sont les portiques constituant les btiment dhabitation, les ponts etc.
On considre comme poutres les pices lances (en bton arm ou en acier), qui ont une dimension trs grande
par rapport aux deux autres et qui travaillent gnralement en flexion.
La formulation de llment poutre peut tre obtenue en se basant sur le thorie de la rsistance des matriaux ;
on considre une poutre de sectionA et de longueurL soumise un chargement q(x) variant le long de son axe
longitudinal tel que montre sur la figure 3.1 ci-dessous :
Sous leffet du chargement la poutre flchie et se dplace verticalement dun dplacement v(x). On suppose
quaprs cette dformation, les sections droites restent planes et perpendiculaires la ligne moyenne ; elles
subissent de ce fait une petite rotation dangle dans le plan (oxy). Considrons un lment dx de la poutredlimit par deux sections voisines, lune droite et lautre incline.
La rotation de la section dforme est la tangente de la ligne moyenne courbe :
x
v
= (3.1)
A cause de la rotation, les points de la section subissent un dplacement horizontal u variant linairement de la
fibre infrieure la fibre suprieure. En un point de la section ce dplacement vaut :
xvyyu
== (3.2)
oy dsigne la distance partir de la ligne moyenne (centre de la section)
x
y
q(x)
Fig. 3.1 : poutre charge
Fig. 3.2 : dformation dune section
x
yn
v(x)
dxx
xvxv
+
)()(dx
u
y
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2
Dans le cadre de lhypothse des petites dformations, la dformation axiale suivantx le long de la section est :
x
ux
= (3.3)
Si on dsigne par E le module dlasticit du matriau de la poutre, la loi de Hooke donne la rpartition des
contraintes le long de la section :
2
2
x
vyEx
uEE xx=
== (3.4)
Le moment cr par ces contraintes doit quilibrer le moment de flexionMcr par le chargement extrieur :
=ss
dsyx
vEdsyM
2
2
2
0..
=s
dsyx
vEM
2
2
2
(3.5)
avec s dsigne laire de la section droite. En posant Iz le moment dinertie par rapport laxe z perpendiculaire
au plan (xy) = s dsyI2 , lexpression du moment devient :
2
2
x
v
EIM
= (3.6)
Considrons maintenant lquilibre statique dun lment dx.
La somme des moments par rapport son centre de gravit donne :
0)(2
)(2
=+++++ dMMdx
dTTdx
TM
02
=++ dMdx
dTTdx
En ngligeant les termes du second ordre, on obtient la relation entre leffort tranchant et le moment flchissant :
)(2
2
x
vEI
xdx
dMT
== (3.7)
Equilibre des forces verticales pour un chargement positif dans le sens de laxey (figure 3.3):
0=++ TdxqdTT (3.8)
donne la relation entre le chargement q et leffort tranchant Tet relie le chargement au dplacement v par :
)(2
2
2
2
x
vEI
xdx
dTq
== (3.9)
Cette quation traduit lquilibre statique de la poutre. Dans le cas dun mouvement dynamique, il faut ajouter
dans lquation (3.8) un terme traduisant les forces dinertie :
2
2
t
udxAmFi
== (3.10)
avec est la masse volumique du matriau,A la section de la poutre et t reprsente le temps.
Les quations (3.8) et (3.9) deviennent :
FiTdxqdTT =++ (3.11)
)()(2
2
22
2
xqx
vEI
xt
vA =
+
(3.12)
Lquation (3.12) est lquation dEuler-Bernoulli pour la flexion des poutres. Le dplacement v est fonction dela coordonnex le long de laxe de la poutre et du temps t.
Fig. 3.3 : Equilibre statique
T+dT
M+dM
T
Mq
dx
y
x
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!"## En dsignant parL la longueur de la poutre et en prenant v la fonction poids, la formulation variationnelle forteassocie lquation (3.12) scrit :
=
+
LLL
dxxqvdx
x
vEI
x
vdx
t
vAv
00 2
2
2
2
0 2
2
)()( (3.13)
La forme intgrale faible sobtient avec deux intgrations par parties du second terme.
LLL
x
vEI
xvdx
x
vEI
xx
vdx
x
vEI
xv
0
2
2
0 2
2
0 2
2
2
2
)()()(
+
=
(3.14a)
LLL
x
vEI
x
vdx
x
vEI
x
vdx
x
vEI
xx
v
0
2
2
0 2
2
2
2
0 2
2
)(
+
=
(3.14b)
Compte tenu des expressions (3.6) et (3.7), les seconds termes reprsentent la diffrence des chargements en
forces (T0
et TL
) et en moments (M0
etML
) appliqus aux extrmits de la poutre. De plus, en peut remplacer la
drive des perturbations des dplacements par une perturbation des rotions (quation 3.1) : = xv .
On crit ainsi les conditions aux limites comme suit :
LLxx
L
MMx
vEI
x
v==
=
00
0
2
2
(3.15a)
00
0
2
2
)( TvTvx
vEI
xv
xLLx
L
===
(3.15b)
En substituant maintenant (3.15) dans (3.14) et le rsultat dans (3.13) on obtient lexpression de la forme
variationnelle faible :
=++
+
====
L
xxLLxLLx
LL
dxxqvMTvTvMdxx
vIE
x
vdx
t
vAv
000000 2
2
2
2
0 2
2
)( (3.16)
$%%Pour la discrtisation de cette quation on considre un lment deux nuds : un nud chaque extrmit de
la poutre. La prsence de drives dordre deux impose lutilisation de polynmes quadratiques ou plus. En
outre, on voit que lexpression des conditions aux limites fait intervenir la rotation aux extrmit, il est donc
plus intressant de prendre deux degrs de libert par nuds dans le but dassurer en mme temps la continuit
des dplacements et de leurs drives qui sont les rotations. Le nombre de degrs de libert atteint ainsi quatre et
le polynme dinterpolation doit tre cubique (quatre constantes). Le vecteur des dplacements et rotations
lmentaires scrit donc comme suit :T
n vvU >=< 2211 (3.17)
Les dplacements et les rotations le long de la poutres sont approxims par :
3
3
2
210)( xaxaxaaxv +++= (3.18a)
2321 32)( xaxaax ++= (3.18b)
Fig. 3.4 : Elment poutre deux nuds
v2 (F2)v1 (F1)
1 (M1) 2
x1= 0
1 2
x2=L
(M2)
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Lvaluation de ces polynmes aux nuds donne :
10)0( vav == ; 11)0( == a (3.19a)
33
22112)( LaLaLvvLv +++== ;
23212 32)( LaLaL ++== (3.19b)
La rsolution de (3.19b) pour a2 et a3 donne :
)2(1)(3 211222 = Lvv
La ; )(1)(2 2122133 ++= L
vvL
a (3.20)
En remplace ces paramtres dans lquation (3.18) et aprs arrangement des termes on crit linterpolation
nodale des dplacements sous la forme :
24231211 )()()()()( +++= xNvxNxNvxNxv (3.21)
Les fonctions de formeNi sont appeles polynmes dHermite, leurs expressions sont :
3
3
2
2
1
231)(
L
x
L
xxN += ;
2
32
2
2)(
L
x
L
xxxN += ;
3
3
2
2
3
23)(
L
x
L
xxN = ;
L
x
L
xxN
2
2
3
4 )( = (3.22)
On peut vrifier que la somme des fonctions de forme associes aux dplacements est gale lunit : N1+N3=1.Elles prennent aussi des valeurs gales un aux nuds qui leurs correspondent et des valeurs nulles aux nudsopposs. Cette remarque nest pas valable pour les fonctions associes aux rotations puisque les rotations sont
elles mmes des drives des dplacements. Le programme MATLAB qui permet de calculer et de tracer les
fonctions forme dHermite est le suivant :
clear, clc % effacer les variables et la fentre
syms x L real % dclarer x et L symboliques rels
P = inline('[1 x x^2 x^3]') % polynme du 3me degr
dP = inline(diff(P(x))) % drive du polynme
Pn = [ P(0); dP(0); P(L) ; dP(L) ] % valuation au noeuds
N = inline(( P(x) * inv(Pn))) % fonctions de forme et
dN = inline((dP(x) * inv(Pn))) % leurs drives
% graphes des N et des dN
t = 0:0.01:1;
subplot(2,1,1), plot(t, N(1,t')), title(' Fonctions de forme N1 N2 N3 N4 ')
subplot(2,1,2), plot(t,dN(1,t')), title(' Drives dN1 dN2 dN3 dN4 ')
La figure ci-dessous montre les courbes des fonctions de forme et de leurs drives pour un lment poutre de
longueur unitaire (L= 1) :
Fig. 3.5 : Fonctions de forme dun lment poutre et leurs drives
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&%##%On remplace maintenant dans la forme variationnelle (3.16) le dplacement v par son approximation (3.21), on
obtient pour les perturbations :
TTn NUv = ;
TTn
dx
dNU= ; avec >
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Si la poutre est faite dun mme matriau homogne et de mme section (E, Iet sont constantes), alors lesexpressions explicites des matrices lmentaires peuvent tre obtenues et scrivent comme suit :
=
22
22
3
4626
612612
2646
612612
LLLL
LL
LLLL
LL
L
EIKe ;
=
22
22
422313
221561354
313422
135422156
420
LLLL
LL
LLLL
LL
ALMe (4.31)
La mme remarque concernant la matrice masse de llment barre peut tre faite pour llment poutre. On
peut associer la moiti de la masse totale de llment aux degrs de translation de chaque nud. On prends
uniquement les translations parce que les rotations ne produisent pas de forces dinertie. La matrice masse
concentre scrit donc comme suit :
=
0000
0100
0000
0001
2
ALMe (4.32)
Il est noter que les deux matrices concentre et rpartie donnent la mme masse totale avec la somme descomposantes associes aux degrs de libert de translation :M(1, 1) +M(1, 3) +M(3, 1) +M(3, 3) =AL.
'(!"(&% %!"&)&*"'##+Une poutre en bton arm de masse volumique = 2.5 tonnes/m3 et de module dlasticit E= 32000MPa estencastre lune de ses extrmits et charge lautre extrmit dune charge concentre Fy=90 KNet dunmomentM= 60 KN m
Les caractristiques gomtriques de la poutre sont :
- longueurL= 150 cm- largeur b = 30cm- hauteur h= 40 cm
Linertie de la poutre est : I= 3 43 / 12 = 16 104cm4 ;
La matrice de rigidit scrit :
=
6636
6868
3666
6868
2
3
5.1
162.33e
K MN/m
Le vecteur force selon lquation (3.26) est :
T
F >
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7
=
=
=
60
90
75
90
1010
2197.0
6592.0
0
0
6636
6868
3666
6868
1027556.23
2
2
1
1
37
M
F
M
F
K
La deux premires composantes sont les ractions lappuis :Ry = 90 KN;Mz= 90 1.5 60 = 75 KN m.
Le moment est positif cause de la convention de signe adopte la figure 3.4 : Au nud 1, le moment positiftend la fibre suprieure pour avoir une rotation dans le sens trigonomtrique. Les deux dernires composantes
correspondent aux efforts nodaux appliqus lextrmit libre.
Il est remarquer que la solution obtenue que ce soit pour la flche ou les ractions est une solution exacte. Ceci
est du au fait que la flche est une fonction en x3
et les fonctions de forme sont des polynmes du troisime
degr. Il en rsulte que les polynmes dHermite permettent dobtenir la solution exacte.
%!"&)#(On considre maintenant la mme charge prcdente rpartie uniformment le long de la poutre, soit :
q= 90/1.5 = 60 KN/. ;
et on garde le mme moment lextrmit libre.
Le vecteur force du au chargement q, scrit, selon lquation (3.28),
(avec q0=q1=q=60 KN/m) :
TqF >
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Remarque : Dans le cas dune charge trapzodale (expression 3.28a), il faut remplacer q x2
par la somme du
moment dune charge uniforme q0 et celui dune la charge triangulaire (qLq0)x/L soit :
L
xqqxqM Lq
6)(
3
02
021 +=
La matrice masse concentre et la masse rpartie de la poutre sont :
=
0000
022500
0000
000225
cM ;
=
361322778
13262478216
277836132
78216132624
1680
450rM
Les priodes propres de la poutres sont donnes par T= 2/ avec solution de lquation : det(K2M) = 0.
Pour une matrice masse concentre : T1= 0.01397 s ; T2= 0.0 s
Pour une matrice masse cohrente : T1= 0.00968 s ; T2= 0.00098 s
,Si on veut faire ces calcules avec MATLAB, on peut prvoir un script semblable celui-ci :
%-------------------------------------------------------------------
% console.m
% script pour rsoudre le problme d'une poutre console
%-------------------------------------------------------------------
clear, clc % efface les variables et la fentre
L = 1.5; % Longueur de la console
b = 0.3; % Largeur de section
h = 0.4; % Hauteur de section
E = 3.2e10; % Module d'lasticit
rho = 2.5e03; % Masse volumique
A = b*h; % Section
I = b*h^3/12; % Inertie
q = -60000; % Charge rpartie
P = -90000; % Charge concentre
Mz= 60000; % Moment concentr
Fq = q*L/60*[30 5*L 30 -5*L]'; % Vecteur force associ q
Fm = [0 0 0 Mz]'; % Vecteur force associ Mz
Fp = [0 0 P 0 ]'; % Vecteur force associ P
F1 = Fm + Fp; % Premier cas de chargement
F2 = Fm + Fq; % Deuxime cas de chargement
K = E*I/L^3 * [ 12 6*L -12 6*L % Matrice de rigidit
6*L 4*L^2 -6*L 2*L^2
-12 -6*L 12 -6*L
6*L 2*L^2 -6*L 4*L^2];
Mc = rho*A*L/2 * diag([1 0 1 0]); % Matrice masse concentre
Mr = rho*A*L/420 * [ 156 22*L 54 -13*L % Matrice masse cohrente
22*L 4*L^2 13*L -3*L^2
54 13*L 156 -22*L
-13*L -3*L^2 -22*L 4*L^2];
U1 = K([3 4],[3 4])\F1([3 4]) % solution pour le 1er cas
U2 = K([3 4],[3 4])\F2([3 4]) % solution pour le 2em cas
R1 = K*[0;0;U1] % Ractions pour le 1er cas
R2 = K*[0;0;U2]-Fq % Ractions pour le 1er cas
syms x real; % Moment en fionction de x
Mzx = inline(-R2(2) + R2(1) * x + 0.5* q * x.^2)Mzx([0 0.5 1 1.5]')
% priodes propres
Tc = 2*pi*eig(K([3 4],[3 4]),Mc([3 4],[3 4])).^-0.5 % cas d'une masse concentre
Tr = 2*pi*eig(K([3 4],[3 4]),Mr([3 4],[3 4])).^-0.5 % cas d'un masse rpartie
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- !./Le modle SAP de cette poutre console peut tre ralis de la manire suivantes :
1) Crer un lment Frame entre les points (X0.0,Y0.0) et (X1.5,Y0.0). Voir les tapes 1 6 dcrites pourlexemple 2.5. Encastrer le nud au point (0,0)
2) Dans la fentre de dfinition du matriau, mettre 3.2e10 pour Elasticity Modulus, 2500 pour Mass perUniteVolume et 0 dans tous les autres champ de saisie.
3) Pour la section, il faut mettre 0.3 pour Depth (t3) et 0.4 pour Width (t2) puisque les le modle est planet la hauteur de la poutre est dans le sens Y au lieu du sens Z.
4) Dfinir les trois cas de charges statiques FP, FQ et FM dans la fentre Define Static Load Case Names ;choisir le type Live et saisir 0 pour Self Weight Multiplier.
5) Une fois les charge dfinies, on peut faire les combinaisons FM+FQ et FM+FP avec le menu Define/LoadCombinations. Cliquer sur le bouton Add New Combo. Dans la fentre Load Combination Data, saisir FQM
pour les deux champs Load Combination Name et Title, laisser ADD pour Load Combination Type. Dans
le volet Define Combination, choisir FQ Load Case pour Case Name et garder 1 comme Sccale Factor
puis appuyer sur le bouton Add. Ajouter de la mme manire FM et valider avec OK. Dfinir maintenant de la
mme faon la combinaison FPM. Utiliser le bouton Delete pour effacer les charges prcdentes ou le
bouton Modify pour les modifies. Fermer les deux fentres en validant dans les deux cas avec OK.
6) Slectionner llment pour lui assigner la charge rpartie avec le menu Assign/Frame StaticLoads/Point and Uniform. Choisir FQ pour Load Case Name, Forces et GlobalY pour Load Type and
Direction et saisir la valeur -60000 dans le champs Uniforme Load.
7) Slectionner maintenant le nud de lextrmit libre pour lui affecter la charge P avec le menuAssign/Joint Static Loads/Forces. Choisir FQ pour Load Case Name et saisir -90000 pour Force
GlobalY. Slectionner une autre fois le nud pour lui affecter le moment M. choisir maintenant FM pour Load
Case Name et saisir 60000 pour Moment GlobalZZ. Le moment nest visible dans la fentre de dessin que si
elle est en mode 3D ou dans le plan X-Z, changer de vue si ncessaire.
8) Dans la fentre Analysis Options cocher uniquement UY et RZ pour Available DOFs, activer aussiloption Dynamic Analysis et appuyer sur Set Dynamic Parameters pour mettre Number of Modes 1.
9) Lancer lanalyse. Avant de ferme la fentre davancement des calculs, on peut lire : Period = 0.014265, lesecond mode de vibration est supprim par le SAP puisquil est priodes nulle.10)Les rsultats peuvent tre affichs selon les combinaisons dfinies ou selon les charges seules.Remarque :
Remarquer la dfinition des charges et leurs combinaisons dans les tapes 4 6 et comparer avec le script
console.m. Au fait cette remarque se gnralise pour toutes les dclarations de donnes, linterface graphique
de SAP2000 cre un fichier de donnes qui est sauvegard avant lanalyse du modle pour tre charg et lu par
les modules du logiciel. Une version au format ASCII peut tre cre avec le menu File/Export/SAP2000.S2K.
Il est intressant de faire cette opration et dappeler le fichier par exemple console.s2k pour le charger avec
un diteur de textes comme WordPad ou NotePad afin de ltudier.
- $01Retrouver les expressions des matrices de rigidit et de masse de llment poutre (quations : 4.31)
Force F dans le cas dune charge repartie triangulaire