MEHANIKA FLUIDA dio 2

Željko Andreić – Mehanika fluida P2 1

MEHANIKA FLUIDA

dio 2

prof. Željko Andreić

Rudarsko-geološko-naftni fakultet

Sveučilište u Zagrebu

[email protected]

http://rgn.hr/~zandreic/


Kratki sadržaj:

1. dimenzionalna analiza

2. kinematika fluida

3. model kontinuuma

4. zakon neprekinutosti


Dimenzionalna analiza

Metoda za pronalaženje funkcionalnog oblika raznih fizikalnih formula i zakona uz pomoć analize dimenzije fizikalne veličine koja se tim zakonom opisuje.

Ne može dati iznos konstante proporcionalnosti!

Princip homogenosti: svi članovi jednadžbe koja opisuje neku fizikalnu pojavu moraju imati iste dimenzije.


Dimenzionalna analiza 2

Princip analitičnosti: ako neka pojava ovisi o većem broju fizikalnih veličina x1, x2,..., xn, ta se pojava može opisati nekom analitičkom funkcijom oblika:

f(x1, x2,...,xn)=0

Ovisno o broju fizikalnih veličina xi postoje dva pristupa rješavanju problema.


1. mali broj varijabli xi (3-4 max.):

Jednadžbu prepišemo u eksplicitni oblik, primjerice:

x4=f(x1,x2,x3)

Dimenzije lijeve i desne strane moraju biti jednake (princip homogenosti).


1. primjer - brzina zvuka:

ZNAMO:

Mali poremećaji (=zvuk) šire se kroz sretstvo konstantnom brzinom v0.

Brzina reakcije sretstva ("poništavanja poremećaja") proporcionalna je modulu elastičnosti E.

Tromost sretstva koja se tome suprotstavlja proporcionalna je gustoći sretstva ρ.


1. primjer - brzina zvuka 2

Sad slažemo našu jednadžbu:

B je bezdimenzionalna konstanta proporcionalnosti, a x i y racionalni brojevi. U idućem koraku umjesto samih fizikalnih veličina u gornju jednadžbu uvrštavamo njihove dimenzije:

(l = duljina, m = masa, t = vrijeme)



sa rješenjem:



Ovako dobivene eksponente vratimo u početnu jednadžbu, pa nalazimo:

Točnost ovako izvedenog zakona i vrijednost konstante B mora se odrediti pokusima. Za tekućine se tako nalazi da je B=1 a za plinove B=Cp/Cv.



Ako postoji više rješenja, desna strana je zbroj članova sa svim mogućim kombinacijama eksponenata:

Ako ne postoji rješenje, dimenzionalna jednadžba nije dobro postavljena (neku veličinu smo previdjeli ili sl.).


2. veliki broj varijabli xi:

π teorem (Vaschy-Buckingam teorem): izraz f(xi)=0 ne smije ovisiti o sistemu mjernih jedinica. To znaći da f mora biti bezdimenzionalna!

Odatle slijedi da se f može napisati kao

πi su bezdimenzionalni monomi složeni od varijabli xi tako da je svaki monom kombinacija svih osnovnih fizikalnih veličina i jedne izvedene. Uvoñenje ovakvih monoma smanjuje broj varijabli za broj osnovnih fizikalnih veličina.


2. primjer - otpor tijela:

Otpor koji tijelo pruža pri gibanju kroz fluid ovisi o ρ, v i karakterističnoj dimenziji tijela l. Otpor uz to očito ovisi i o viskoznosti µ. Imamo dakle:

Od 5 varijabli u argumentu funkcije f su 3 (ρ,l i v) osnovne veličine, a 2 (F i µ) izvedene. Prema π teoremu imat ćemo 5-3=2 monoma u funkciji Φ:


2. primjer - otpor tijela 2

Svaki od dva monoma slaže se od produkta jedne izvedene i svih osnovnih veličina:

Za svaki od ovih monoma napravimo dimenzionalnu analizu:



Rješenje prvog je x1=-1, y1=-2 i z1=-2, pa je:

A rješenje drugog x2=0, y2=-1 i z2=-1, pa slijedi:



Odnosno:

Odtuda nalazimo izraz za silu F:



Ako stavimo:

dobijamo Newton-ovu formulu za otpor tijela:

Koeficijent C ovisi o Re i obliku tijela i odreñuje se eksperimetalno.


2. kod automobila C se zove Cw...


Kinematika fluida

1. proučava gibanje fluida bez obzira na uzroke tog gibanja.

2. fluid smatramo kontinuumom.

3. koristimo se pojmom čestice fluida: maleni volumen fluida konstantne mase.


Model kontinuuma – čestica fluida 1

Čestica fluida: vrlo mali djelić fluida promjenjivog oblika i volumena ali konstantne mase!

V1, m V2,m V3,m


Model kontinuuma – čestica fluida 2

Kontinuum: matematička tvorevina koja se može dijeliti u beskonačno malene dijelove.Diferencijalni elementi kontinuuma:

dz

dy

dx

dV

dx

dy dAds


Lagrange-ov pristup (supstancijalni pristup)

x

y

z

R(t1)

v

v

v

R(t2)

R(t3)


Euler-ov pristup (lokalni pristup)

x

y

z

RM

Mv


Euler-ov pristup 2

Tečenje promatramo u jednoj odreñenoj točci u prostoru:

Fizikalne varijable koje opažamo u toj točci funkcije su koordinata te točke i vremena, npr. brzina je:

odnosno, po komponentama:


Euler-ov pristup 3

Trenutni iznos brzine je:

a njen smjer:

Ako se smjer i/ili iznos brzine u danoj točki prostora mijenja u vremenu, kažemo da je tečenje NESTACIONARNO.


Euler-ov pristup 4

Ako je smjer i iznos brzine u danoj točki prostora vremenski nepromjenjiv, kažemo da je tečenje STACIONARNO.

Stacionarnost tečenja ovisi o izboru koordinatnog sustava. Ako je to moguće, koordinatni sustav bira se tako da proučavano tečenje u njemu bude stacionarno.

Stacionarnost tečenja dakle nije fizikalno svojstvo tečenja, već ovisi o točki gledišta (=koordinatni sustav).


Euler-ov pristup 5

za opažača na obali optjecanje vode oko broda je NESTACIONARNO!

R(t)


Euler-ov pristup 6

Opažač na brodu uvijek vidi istu sliku optjecanja vode oko broda. Za njega je to optjecanje STACIONARNO!


Staza čestice fluida

= putanja čestice u prostoru

t=t1 t=t2 t=t3 t=t4 t=t5 itd...


Strujnica

= smjer gibanja mnogo čestica u jednom trenutku

čestica A B C D E itd...


Strujnica 2

kod toga se slijedeća čestica nalazi na vektoru brzine prethodne čestice

itd...


Strujnica 3

Brzina je tangenta na strujnicu!

Nestacionarno tečenje: strujnice s vremenom mijenaju svoj oblik.

Stacionarno tečenje: strujnice su uvijek iste i poklapaju se sa stazama čestica.

Praksa: strujnice se čine vidljivima mlazom dima (plinovi) ili ubacivanjem sitnih čestica, mlaza obojene tekućine i sl. u strujanje (tekućine).


Strujna cijev

Pratimo sve strujnice koje prolaze kroz plohu A. Nakon neke udaljenosti one sve prolaze kroz A'. 3D cjevasti oblik koji tako dobivamo nazivamo strujna cijev.

A'

A


Strujno vlakno

Ako gledamo strujnu cijev vrlo malog presjeka dA nazivamo ju strujno vlakno.

Strujnica koja prolazi kroz centar strujne cijevi naziva se os strujne cijevi. PAŽNJA, ona je opčenito krivulja u prostoru!

dA'dA


Zakon neprekinutosti (kontinuiteta)

x

y

z

v1x

v2x

dy

dx

dz

1

2

ρ(x,y,z,t)

v(x,y,z,t)


Zakon neprekinutosti 2

x-komponentu brzine razvijemo u Taylor-ov red:

A isto napravimo i sa gustoćom:



U vremenu dt u naš volumen kroz prednju plohu uñe volumen fluida:

y i z komponente brzine paralelne su plohi pa ne doprinose toku fluida kroz plohu!

Odgovarajuća masa fluida je:



Istovremeno kroz stražnju plohu iz volumena izlazi masa fluida:

Sreñivanjem, uz formule razvoja brzine i gustoće, nalazimo:

Razlika ove dvije jednadžbe je masa fluida koja je u x-smjeru napustila volumen V:



Na isti način našli bismo gubitak mase u smjerovima y i z:



Ukupni gubitak mase je:

Kad ove dvije jednadžbe izjednačimo i sredimo, nalazimo:

Masa fluida je sačuvana, pa gubitak mase iz volumena mora rezultirati smanjenjem gustoće:



Ovo je opća jednadžba kontinuiteta (neprekinutosti) i pretstavlja zakon sačuvanja mase za fluide.Ona se jednostavnije zapisuje u nekoliko oblika:



gdje je tzv. nabla operator:


Posebni oblici jednadžbe neprekinutosti

1. stacionarno strujanje:

2. tekućine:


1-D jednadžba neprekinutosti

Element volumena prelazi u element dužine, dA isčezava:

ili za tekućine:

Odatle v=konst., nema praktične primjene!


Kvazi 1-D jednadžba neprekinutosti

3D slučaj kod kojeg je strujanje uvijek u smjeru neke prostorne krivulje. Element dužine te krivulje ds formalno poistovjetimo s dx, zanemarujući u ovom času promjene smjera na krivulji. U tom slučaju vy i vz isčezavaju, dA=dydz je okomita na brzinu vx au vremenu dt kroz dA protekne masa fluida dm:

Odatle definiramo maseni protok kao:


Kvazi 1-D jednadžba neprekinutosti 2

Umnožak površine presjeka toka i brzine naziva se (volumni) protok:

dA maleno ---> v i ρ na njemu konstantni, pa je

Ako je dA malo, ovo je OK i govorimo o toku u strujnom vlaknu.



su srednje vrijednosti brzine i gustoće na plohi A.

Za realne presjeke A moramo:

i

Drugačije napisano (simbole usrednjavanja ispuštamo!):



v i ρ su srednje vrijednosti brzine i gustoće na plohi A.

Za tekućine je još jednostavnije:

a maseni i volumni protok postaju proporcionalni:

Zapamtite:

Documents

MEHANIKA FLUIDA dio 2