MEHANIKA FLUIDA I – Što valja zapamtiti - FSB Online · PDF file• Osim tla čnih sila u sustavu djeluju i sile trenja (u fluidu su to viskozne sile). Budu ći ... MEHANIKA FLUIDA

MEHANIKA FLUIDA I – Što valja zapamtiti 27

5. DINAMIKA FLUIDA

• Materijalni volumen (fluidno tijelo) je ekvivalentno sustavu materijalnih točaka u

mehanici, te zatvorenom termodinamičkom sustavu u termodinamici, pa će svi

zakoni mehanike i termodinamike biti direktno primjenjivi i na materijalni

volumen.

• U mehanici su definirani Newtonovi zakoni gibanja, od kojih se drugi Newtonov

zakon, može zapisati u obliku zakona količine gibanja, zakona momenta količine

gibanja ili zakona kinetičke (mehaničke) energije, a u termodinamici su definirani

prvi zakon termodinamike (zakon očuvanja energije) i drugi zakon termodinamike.

Svi su ti zakoni, kao i zakon očuvanja mase, osnovni za klasičnu fiziku pa tako i za

mehaniku fluida.

• U termodinamici se uvodi koncept topline, unutarnje energije i entropije, a radni

medij je uglavnom plin, kojemu se djelovanjem sile tlaka može mijenjati volumen.

Za smanjivanje volumena plina unutar termodinamičkog sustava (kada se govori o

kompresiji), potrebno je ulagati mehanički rad, a pri širenju plina (ekspanziji) plin

vrši rad u odnosu na okolinu. U procesima pri konstantnom volumenu korisni

mehanički rad jednak je nuli.

• Osim tlačnih sila u sustavu djeluju i sile trenja (u fluidu su to viskozne sile). Budući

su sile trenja uvijek suprotne pomaku, njihovim se djelovanjem uvijek mehanička

energija pretvara u unutarnju, a nikad obrnuto. Iz rečenog se zaključuje da se u

sustavima s konstantnim volumenom ne može povećati mehanička energija na

račun unutarnje. Zato se u mehanici krutog tijela (sustava materijalnih točaka,

kojima je volumen konstantan) ne razmatraju termodinamički zakoni, odnosno

unutarnja energija, jer se iz unutarnje energije ne može dobiti mehanička energija,

odnosno ne može se djelovati na gibanje tijela. U mehanici se rad sila trenja, kojim

se mehanička energija (zbroj kinetičke i potencijalne energije) pretvara u unutarnju

označuje kao gubitak mehaničke energije (jer je jasno da je ta pretvorba

jednosmjerna).

• U mehanici fluida se bitno razlikuje stlačivo od nestlačivog strujanja. U stlačivom

strujanju se gustoća fluida u strujanju mijenja, dok je u nestlačivom strujanju

(najčešće se radi o strujanju kapljevina) gustoća fluida (dakle i volumen čestica)

konstantna. S obzirom na gore rečeno u nestlačivom strujanju se neće moći

unutarnju energiju iskoristiti u gibanju fluida, te će se gibanje fluida opisati samo

Newtonovim zakonima, kao i u mehanici krutog tijela, dok će za opis stlačivog

strujanja biti nužno uzeti i termodinamičke zakone, što je dano u sljedećoj tablici.

Nestlačivo strujanje ( konst.ρ = ) Stlačivo strujanje

1) Zakon očuvanja mase

2) Zakon očuvanja količine gibanja

3) Zakon očuvanja momenta količine gibanja

4) Zakon mehaničke (kinetičke) energije 4) Zakon očuvanja energije

(I. zakon termodinamike)

5) II. zakon termodinamike


Osnovni zakoni dinamike nestlačivog strujanja fluida za materijalni volumen

Mehanika (sustav materijalnih točaka)

Materijalni sustav se sastoji od n točaka

Unutrašnje sile i njihovi momenti se poništavaju

prema III. Newtonovom zakonu (snage ne!)

kF�

= rezultirajuća vanjska sila na k-tu točku

kF ′�

= rezultirajuća unutrašnja sila na k-tu točku

,k km v�

= masa i brzina k-te točke

Mehanika fluida (materijalni volumen)

Površinske sile dodira među česticama fluida

unutar VM su unutarnje sile, a sile dodira s

okolinom (po SM) su vanjske.

Zakon očuvanja mase materijalnog sustava

1

Brzina promjene mase materijalnog sustava

d0

d

n

kk

mt��

=

=∑

Zakon očuvanja mase za VM

M

MBrzina promjene mase

Dd 0

D V

V

Vt

ρ =∫��

Zakon količine gibanja za materijalni sustav

�Suma vanjskih sila

1 1

Brzina promjene količine gibanja sustava

d

d

n n

k k kk k

m v Ft

��

��= =

=∑ ∑

Zakon količine gibanja za VM M

M M M

M M M

Suma vanjskih sila na

Brzina promjene Ukupna masena Ukupna površinskakoličine gibanja sila na sila na

Dd d d

D

V

i i i

V V S

V V V

v V f V St

ρ ρ σ= +∫ ∫ ∫��

��

Zakon momenta količine gibanja za materijalni

sustav Suma momenata vanskih sila

1 1

Brzina promjene momenta količine gibanja sustava

d

d

n n

k k k k kk k

r m v r Ft

��

��

��= =

× = ×∑ ∑

Zakon momenta količine gibanja za VM

M M M

M M M

Suma momenata vanskih sila

Brzina promjene momenta Moment masenih Moment vanjskih količine gibanja sila na površinskih sila na

Dd d d

Dkji j i kji j i kji j i

V V S

V V V

x v V x f V x St

ε ρ ε ρ ε σ= +∫ ∫ ∫��

Mna V��

Zakon mehaničke energije za materijalni sustav Snaga vanjskih sila

2 '

1 1 1

Brzina promjene Snaga unutrašnjihkinetičke energije sustava sila unutar sustava

d 1

d 2

n n n

k k k k k kk k k

m v F v F vt

��

� ��

�� = = =

= ⋅ + ⋅∑ ∑ ∑

Zakon mehaničke energije za VM M

M M M

M

M M

Snaga vanjskih sila na

2

F

Snagaunu

Brzina promjene Snaga vanjskih Snaga vanjskihkinetičke energije masenih površinskih

sila na sila na

Dd d d

D 2

V

i i i i

V V S

VV V

vV f v V v S P

tρ ρ σ= + −∫ ∫ ∫

��

��

M

trašnjihpovršinskihsila unutarV

U nestlačivom strujanju se snaga unutarnjih sila

odnosi na viskozne sile koje uvijek pretvaraju

mehaničku energiju u unutarnju, pa je snaga PF

uzeta s negativnim predznakom (smanjenje

mehaničke energije), pri čemu je PF>0.

Okolina Sustav

F�

F ′�

F ′−�

SM

O

x3

x2 x1

VM

jn di Sσ

if

dS

dif Vρ

dm=ρdV

iv


Formulacija osnovnih zakona za kontrolni volumen

Za praktično rješavanje problema strujanja fluida osnovni zakoni će se uglavnom koristiti

za kontrolni volumen, kako je to pokazano na primjeru jednadžbe kontinuiteta. Zakoni se

od formulacije za materijalni volumen transformiraju u oblike za mirujući kontrolni

volumen primjenom Reynoldsova transportna teorema, koji je dan u poglavlju kinematike,

a koji glasi:

KV

M KV

KV

dD

d ddD

dd

V

i i

V S

V

Vt

V v n St

Vt

Φ

Φ Φ

Φ

∂ ∂

= +

∫∫ ∫

∫

na lijeve strane osnovnih zakona formuliranih za materijalni volumen. Veličina Φ u

gornjoj formuli poprima vrijednost: ρ u zakonu očuvanja mase, 2 / 2vρ u zakonu

mehaničke energije, ivρ u zakonu očuvanja količine gibanja te kji j ix vε ρ u zakonu

očuvanja momenta količine gibanja. Fizikalno gledajući volumenski integral na desnoj

strani gornje formule označuje brzinu promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar

kontrolnog volumena, a površinski protok fizikalnog svojstva kroz kontrolnu površinu, kao

posljedicu strujanja fluida.

Sljedeća tablica daje pregled svih zakona za mirujući kontrolni volumen.

Zakon Formulacija za kontrolni volumen

očuvanja

mase KV KV

Brzina promjene mase protok mase krozu kontronom volumenu kontrolnu površinu

dd d

di i

V S

V v n St

ρ ρ= −∫ ∫��

mehaničke

energije ( )KV KV KV

2 2

Brzina promjene kinetičke Protok kinetičke energije Snaga masenih silaenergije kontronog volumena kroz kontrolnu površinu na kontroni volumen

d 1 1d d d

d 2 2j j i i

V S V

v V v v n S f v Vt

ρ ρ ρ+ =∫ ∫ ∫��

KV

F

Snaga unutarnjih površinskih

Snaga vanjskih sila unutar KVpovršinskih sila na KV

di i

S

v S Pσ+ −∫��

količine

gibanja KV KV KV KV

Brzina promjene Protok količine ukupna masena ukupna površinskakoličine gibanja KV gibanja kroz KP sila na KV sila na KV

dd d d d

di i j j i i

V S V S

v V v v n S f V St

ρ ρ ρ σ+ = +∫ ∫ ∫ ∫��

momenta

količine

gibanja KV KV KV

Brzina promjene momenta Protok momenta količine ukupni moment masenihkoličine gibanja KV gibanja kroz KP sila na KV

dd d d

dkji j i kji j i r r kji j i kji j i

V S V S

x v V x v v n S x f V xt

ε ρ ε ρ ε ρ ε σ+ = +∫ ∫ ∫��

KV

ukupni moment površinskihsila na KV

dS∫��

U nastavku ćemo posebno obraditi redom, zakon mehaničke energije, pa zakone očuvanja

količine gibanja i momenta količine gibanja. Ponovit će se definicije zakona za materijalni

volumen, formulirat će ih se za kontrolni volumen, te primijeniti prvo na slučaj

jednodimenzijskog strujanja u cijevima, a zatim dati praktične primjene tih zakona u

strojarstvu.


Zakon mehaničke (kinetičke) energije

Definicija zakona kinetičke energije za materijalni volumen dana je u gornjoj tablici, a

može se iskazati sljedećim riječima:

Brzina promjene kinetičke energije materijalnog volumena jednaka je zbroju snaga vanjskih sila (masenih i površinskih) koje djeluju na materijalni volumen, te snazi unutarnjih sila koje djeluju u materijalnom volumenu1.

Matematički zapis zakona kinetičke energije za materijalni volumen:

U strujanju fluida u polju masene

sile if uočen je materijalni

volumen MV koji je od okolnog

fluida odijeljen materijalnom

površinom MS . Na svaku česticu

fluida, kojoj je kinetička energija 21 2 dv Vρ , djeluje elementarna

masena sila dif Vρ , a snaga te sile

je di if v Vρ . Na svaki djelić

površine MS elementarna

površinska sila di Sσ , a njena

snaga je di iv Sσ , pri čemu je

vektor naprezanja iσ definiran

zbrojem tlačnih i viskoznih sila f

i i ipnσ σ= − + .

Površinske sile koje djeluju po materijalnoj površini su za materijalni volumen vanjske sile

(sile dodira između čestica materijalnog volumena i okoline), a unutar materijalnog

volumena (među česticama materijalnog volumena) djeluju unutarnje površinske sile. U

nestlačivom strujanju je snaga sila tlaka jednaka nuli (jer nema promjene obujma čestica

fluida), te snagu unutarnjih sila definiraju samo viskozne sile. Viskozne sile uvijek

pretvaraju mehaničku energiju u unutrašnju, te će uvijek voditi smanjivanju mehaničke

energije. Ako se snaga unutarnjih sila označi s FP i definira kao pozitivna veličina, tada će

se u jednadžbi kinetičke energije ona pojavljivati s negativnim predznakom, jer smanjuje

kinetičku energiju materijalnog volumena. Matematički zapis zakona je:

M M M

M M M

M

2

F

snagaunutrašnjih

Brzina promjene snaga masenih snaga vanjskih sila unutarkinetičke energije sila na površinskih

sila na

Dd d d

D 2i i i i

V V S

V V VV

vV f v V v S P

t��

ρ ρ σ= + −∫ ∫ ∫

1 U zakonima količine gibanja i momenta količine gibanja se unutarnje sile i njihovi momenti međusobno

poništavaju po trećem Newtonovom zakonu (princip akcije i reakcije). Budući je snaga skalarni umnožak

vektora sile i vektora brzine, snage sile akcije i reakcije na dvije čestice neće biti jednake, budući da se

čestice mogu gibati različitim brzinama.

SM

Slika uz definiciju zakona količine gibanja

O

x3

x2

x1

VM

jn

di Sσ

if

dS

dif Vρ

dm=ρdV

iv


Formulacija zakona mehaničke energije za kontrolni volumen Kao što je prije rečeno, za potrebe rješavanje praktičnih problema, osnovni zakoni će se

preformulirati za kontrolni volumen. U svakom trenutku se promatra onaj materijalni

volumen koji ispunjava odabrani kontrolni volumen (volumen stalan u vremenu). U tom se

slučaju volumenski i površinski integrali po materijalnom volumenu i materijalnoj površini

mogu smatrati integralima po kontrolnom volumenu i kontrolnoj površini, a brzina

promjene sadržaja kinetičke energije unutar materijalnog volumena se iskazuje integralima

po kontrolnom volumenu i kontrolnoj površini, prema Reynoldsovu transportnom teoremu

(RTT). Primjenom RTT na lijevu stranu gornje jednadžbe dobije se formulacija zakona

mehaničke energije za kontrolni volumen koja glasi:

( )KV KV KV

2 2

Brzina promjene kinetičke Protok kinetičke energije Snaga masenih silaenergije kontronog volumena kroz kontrolnu površinu na kontroni volumen

d 1 1d d d

d 2 2j j i i

V S V

v V v v n S f v Vt

ρ ρ ρ+ =∫ ∫ ∫��

KV

F

Snaga unutarnjih površinskih

Snaga vanjskih sila unutar KVpovršinskih sila na KV

di i

S

v S Pσ+ −∫��

Primjena zakona kinetičke energije na jednodimenzijsko strujanje u cjevovodu

U strogom smislu riječi strujanje je jednodimenzijsko u elementarnoj strujnoj cijevi. S

obzirom da elementarna strujna cijev ima infinitezimalnu površinu, može se pretpostaviti

da su sve veličine po poprečnom presjeku elementarne strujne cijevi konstantne, a u

stacionarnom strujanju se mijenjaju samo uzduž cijevi (dakle u smjeru jedne dimenzije).

Strujanje u realnim cijevima će biti približno jednodimenzijsko, ako je promjena površine

poprečnog presjeka cijevi blaga (nema naglih proširenja ili suženja) i kada je radijus

zakrivljenosti cijevi velik u odnosu na njen promjer. U realnoj cijevi veličine po presjeku

nisu konstantne pa se barata s njihovim srednjim vrijednostima po presjeku.

Pretpostavke:

1. Fluid je nestlačiv

2. Masena sila je sila

gravitacije 3i if gδ= −

3. Vektori brzine

okomiti na presjeke, a

uvodi se faktor

korekcije kinetičke

energije u obliku

3

3

r

1d

s A

v Sv A

α = ∫

Integracijom jednadžbe kinetičke energije, po kontrolnom volumenu prema slici i uz

navedene pretpostavke, dobije se

( )

( ) ( ) ( )

KV KV KV KV

22 2 2 1 2 1

2 2 1 1

1

2 2

F

1d 2

d 1 1d d d d

d 2 2j j i i i i

V S V S

Qg z z Q p pv Q v vQ st

v V v v n S f v V v S Pt

ρρ α αρ

ρ ρ ρ σ

− − − −∂ −∂

+ = + −

∫

∫ ∫ ∫ ∫��

gdje su 1v i 2v prosječne brzine na presjecima 1A (ulazni) i 2A (izlazni), a Q protok kroz

cijev. Zakon kinetičke energije za jednodimenzijsko strujanje označuje modificiranu

Bernoullijevu jednadžbu, koja glasi

Sw A1

A2

dsj=dsej

A

dV=dAds

vj=-vnj

vj=vnj

x3


22 2

F

12 1

brzina promjene snaga na izlazu iz cijevi snaga na ulazu u cijevkinetičke energije

d2 2

KV

v v vp gz Q p gz Q P Q s

tαρ ρ αρ ρ ρ

∂+ + = + + − −

∂ ∫

��

Ako u cjevovodu između presjeka postoji stroj (pumpa koja predaje snagu PP fluidu ili

turbina koja oduzima snagu TP od fluida), onda se modificirana jednadžba može poopćiti u

sljedeći oblik 22 2

F P T

12 1

brzina promjene snaga na izlazu iz cijevi snaga na ulazu u cijevkinetičke energije

d2 2

KV

v v vp gz Q p gz Q P Q s P P

tαρ ρ αρ ρ ρ

∂+ + = + + − − + −

∂ ∫

��

Pumpa je pogonjena motorom, pri čemu motor predaje pumpi snagu MP , pa je faktor

korisnosti pumpe PP

M

P

Pη = . Turbina obično pogoni generator, pri čemu generatoru predaje

snagu GP , pa je faktor korisnosti turbine definiran odnosom GT

T

P

Pη = .

U gore prikazanom obliku modificirane Bernoullijeve jednadžbe, svaki član ima dimenziju

snage, a koriste se i sljedeći oblici te jednadžbe

Oblik Dimenzija 22 2

F P T

12 1

d2 2

v v P P Pvp gz p gz s

Q t Q Qαρ ρ αρ ρ ρ ∂

+ + = + + − − + − ∂ ∫

snaga

volumenki protok

22 2

F P T

12 1

d2 2

v v P P Pp p vgz gz s

Q t Q Qα α

ρ ρ ρ ρ ρ

∂+ + = + + − − + −

∂ ∫

snaga

maseni protok

22 2

F P T

12 1

1d

2 2

v v P P Pp p vz z s

g g g g gQ g t gQ gQα α

ρ ρ ρ ρ ρ

∂+ + = + + − − + −

∂ ∫

snaga

težinski protok

U zadnjem obliku modificirane Bernoullijeve jednadžbe obično se uvode oznake

PP

Ph

gQρ= =visina dobave pumpe,

TT

Ph

gQρ= =pad visine energije u turbini

FF

Ph

gQρ= =visina gubitaka mehaničke energije (energije pretvorene u unutarnju energiju)

Za slučaj račvanja cjevovoda oblici modificirane Bernoullijeve jednadžbe iz gornje tablice

postavljaju se duž strujnice.

Primjer:

Slika prikazuje račvastu cijev s dva ulazna presjeka (1 i 2) te

dva izlazna presjeka (3 i 4). Između točaka 5 i 6 se nalazi

pumpa koja predaje fluidu snagu PP. Prema jednadžbi

kontinuiteta ukupni protok kroz pumpu je

1 2 3 4Q Q Q Q Q= + = + . Ako nema gubitaka energije u račvi,

u točkama 5 i 6 visina energije (energija po jedinici

težinskog protoka) ostaje konstantna neovisno o protoku.


Integralni oblik zakona kinetičke energije za stacionarno strujanje fluida kaže da je snaga na izlazu iz KV

(presjeci 3 i 4) jednaka snazi na ulazu (presjeci 1 i 2) uvećanoj za snagu pumpe i umanjenoj za snagu

viskoznih sila, tj.

2 2 2 23 4 1 2

3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 P F2 2 2 2

v v v vp gz Q p gz Q p gz Q p gz Q P Pα ρ ρ α ρ ρ α ρ ρ α ρ ρ

+ + + + + = + + + + + + − Modificirana Bernoullijeva jednadžba postavljena između točaka 1 do5 je:

2 25 5 1 1

5 5 1 1 F152 2

v p v pz z h

g g g gα α

ρ ρ

+ + = + + − , gdje je F15

F151

Ph

gQρ=

Modificirana Bernoullijeva jednadžba između točaka 5 i 6 glasi

2 26 6 5 5

6 6 5 5 P F562 2

v p v pz z h h

g g g gα α

ρ ρ

+ + = + + + − , gdje su F56

F56

Ph

gQρ= i P

P

Ph

gQρ= ,

a između točaka 6 i 3

2 23 3 61

3 3 6 6 F632 2

v p pvz z h

g g g gα α

ρ ρ

+ + = + + − , gdje je F63

F633

Ph

gQρ=

Iz kombinacije prethodnih jednadžbi dobije se modificirana Bernoullijeva jednadžba između presjeka 1 i 3

2 23 3 1 1

3 3 1 1 P F15 F56 F632 2

v p v pz z h h h h

g g g gα α

ρ ρ

+ + = + + + − − −

Dakle modificirana Bernoullijeva jednadžba vrijedi duž strujnice. Analogno se dobije izraz za modificiranu

Bernoullijevu jednadžbu između presjeka 1 i 4 ili između presjeka 2 i 3 ili između presjeka 2 i 4. Važno je

zapamtiti da se snaga viskoznih sila dobije množenjem visine gubitaka Fh s pripadajućim težinskim

protokom, kao i snaga pumpe (u ovom primjeru ( )P 1 2 PP g Q Q hρ= + ).

Promjena tlaka okomito na strujnice

(integral jednadžbe gibanja fluida po putu okomitom na strujnice)

Izraz za promjenu tlaka okomito

na strujnice je:

( )2 2

2 1 2 1

1

dv

p p g z z nR

ρ ρ= − − +∫

udaljenost n se mjeri od središta

zakrivljenosti strujnice.

1. U strujanju fluida s ravnim strujnicama ( R=∞ ) promjena tlaka okomito na strujnice ista je kao u fluidu u mirovanju.

2. U strujanju fluida u horizontalnoj ravnini sa zakrivljenim strujnicama tlak raste od

središta zakrivljenosti strujnica.

3. Strujnica ne može biti slomljena krivulja, jer bi u točki loma bilo R=0, pa bi dp/dn

bilo beskonačno, što nije fizikalno.

Slika uz definiciju promjene tlaka okomito na strujnice

R=radijus

zakrivljenosti O

x3

x2

x1

g

iv

1

2

n


Ilustracija sadržaja modificirane Bernoullijeve jednadžbe

Za grafički prikaz sadržaja Bernoullijeve jednadžbe pogodno je koristiti oblik u kojem su

svi članovi izraženi kao snaga po jedinici težinskog protoka (ili energija po jedinici težine

fluida), koji za slučaj stacionarnog strujanja i 1α = , glasi

2 2

geometrijska(geodetska)

visina visina visinakineticke tlaka definira GLenergije

piezometricka visinadefinira HGL

Visina ukupne energije =EL 2

2 2

v p v pz z

g g g gρ ρ

+ + = + +

��

��

F P T

1

F P T visina visina padgubitaka dobave visine

pumpe energijeu turbini

h h h

P P P

gQ gQ gQρ ρ ρ− + −

jer je svaki član izražen visinom stupca fluida. U svakom presjeku cijevi energija fluida je

definirana zbrojem visina kinetičke energije i potencijalnih energija tlaka i položaja. Jasno

je da je za strujanje važna razlika potencijalnih energija (što odgovara radu sile težine) od

ulaza do izlaza, što znači da se visina z može mjeriti od proizvoljne horizontalne ravnine

(nazovimo ju referentnom ravninom). Slično vrijedi i za rad sile tlaka koji je jednak razlici

visina tlaka na ulazu i izlazu iz cijevi, pa se može računati ili s apsolutnim tlakom ili s

manometarskim tlakom (razlika će ostati ista). Geometrijska ili geodetska linija (GL)

prolazi simetralom cijevi, Hidraulička gradijentna linija (HGL) definira zbroj geometrijske

visine i visine tlaka, a ukupna energija se prikazuje Energijskom linijom (EL), koja

označuje zbroj sva tri oblika energije. Prema Bernoullijevoj jednadžbi energija će, gledano

u smjeru strujanja, opadati zbog gubitaka trenja (u cijevi konstantnog poprečnog presjeka ti

su gubici linearno razmjerni duljini cijevi) i prolaskom kroz turbinu (jer turbina oduzima

energiju fluidu), a rasti će prolaskom kroz pumpu (jer pumpa dodaje energiju fluidu). Jasno

je da u neviskoznom strujanju, bez pumpe i turbine u cjevovodu, energija fluida ostaje

konstantna, što znači da je Energijska linija, horizontalni pravac. Donja slika prikazuje

primjer tih linija za jedan cjevovod s pumpom (P) i turbinom (T).

Pri kvalitativnom grafičkom prikazivanju sadržaja Bernoullijeve jednadžbe najbolje se

držati sljedećeg redoslijeda:

1) Nacrtati cjevovod, a simetrala cjevovoda čini Geometrijsku liniju (GL). Nakon toga

se izabere referentna ravnina (z=0) od koje se mjeri visina. Ta se ravnina obično

bira da bude niža od najniže točke cjevovoda (tako da z bude pozitivno u svakoj

točki cjevovoda). Eventualno se referentnu ravninu može odabrati tako da prolazi

najnižom točkom cjevovoda.

2) Barem u jednoj točki izračunati ukupnu visinu energije (npr. u točki 1 i/ili točki 6).

Valja imati na umu da se ukupnu visinu energije može definirati s apsolutnim

tlakom ili pretlakom. Ako se ona definira s apsolutnim tlakom, onda član ( )/p gρ

ne može biti negativan (tj. HGL ne može presijecati GL), što nije slučaj kad se radi

s pretlakom.

3) Nakon toga se prvo crta EL. Kod kvalitativnog crtanja EL, počinje se od poznate

točke na EL (u kojoj možemo definirati ukupnu visinu energije). Ako se ide u

smjeru strujanja EL se snižava za visinu gubitaka i pad visine energije u turbini, a


povećava za visinu dobave pumpe, pri prolasku kroz pumpu. Ako se ide u

suprotnom smjeru od smjera strujanja fluida, tada EL raste za visinu gubitaka i pad

visine energije kroz turbinu, te pada za visinu dobave pumpe, kroz pumpu. Ako

imamo više točaka s poznatom visinom energije, tada se crtanje kombinira malo od

jedne, malo od druge točke, tako da EL prođe kroz sve točke sa zadanom visinom

energije.

4) Nakon što je definirana EL, crta se HGL tako da se u svakoj točki cijevi od EL

oduzme visina kinetičke energije. Pri tome se vodi računa da će u cijevi manjeg

promjera visina kinetičke energije biti veća (jer je po jednadžbi kontinuiteta, brzina

u takvoj cijevi veća). Slično vrijedi i za gubitke trenja, pri zadanom protoku, oni će

biti veći u cijevi manjeg promjera (ponovo zbog veće brzine, što će poslije biti

pokazano).

5) Kad se imaju definirane sve linije, u svakom se presjeku (npr. u presjeku A, prema

slici) može očitati geometrijska visina, visina tlaka i visina brzine, čime se stječe

predodžba o promjeni tih veličina duž cjevovoda.

Napomena: U kvalitativnom prikazu za promjere cijevi 3 4 1 2 5 6

d d d− − −< < , pa je 2 2 2

5 6 1 2 3 4v v v− − −< < ,

a nagibi za pravce koji prikazuju gubitke su F5 6 F1 2 F3 4

α α α− − −< < .

U kratkim cijevima se gubici trenja mogu zanemariti, pa u stacionarnom strujanju bez

stroja, ukupna energija ostaje konstantna duž strujnice.

F1 2α −

Referentna ravnina z=0

P

T

1

2 3

4

5

6

z1

z6

zA

Ph

F3 4h −

Th

EL

HGL

1p

gρ

2

1 2

2

v

g−

6p

gρ

2

5 6

2

v

g−

F5 6h −

2

3 4

2

v

g−

Ap

gρ

A

F3 4α −

F5 6α −

Simetrala cijevi = GL


Primjeri ilustracije sadržaja Bernoullijeve jednadžbe u stacionarnom neviskoznom strujanju:

z1

z2

p2

ρg

p1

ρg

2gv

2

2gv

2

z=0

G.L.

H.G.L.

E.L.

2

1

p2

ρg

p3

ρgp1

ρg

H.G.L.

z z z

2g 2g 2gv3

2

z=0

1 2 3

- Promjer cijevi je konstantan, pa je prema

jednadžbi kontinuiteta konstantna i brzina.

- Dolazi do preraspodjele visine tlaka i

geodetske visine, a promjena tlaka je ista

kao u fluidu u mirovanju.

- Smjer strujanja neodređen (slika je ista za

oba smjera strujanja).

- Položaj z=0 se odabire proizvoljno.

- Energetska linija se može definirati ili s

apsolutnim tlakom ili s pretlakom (ako je

definirana s apsolutnim tlakom, tada visina

tlaka ne može biti negativna, tj. HGL ne

može biti ispod GL, kao ni EL).

- Visina z je konstantna, pa dolazi do

preraspodjele između visine brzine i visine

tlaka.

- Iz jednadžbe kontinuiteta Q=vA=konst., slijedi

da će u presjeku manje površine A biti veća

brzina, a iz Bernoullijeve jednadžbe je jasno da

će pri većoj brzini biti niži tlak.

- Minimalna vrijednost tlaka je dakle u najužem

presjeku, a ne može biti manja od tlaka para

(tlaka kod kojeg fluid pri zadanoj temperaturi

počinje isparavati).

- Minimalnim tlakom je definirana i maksimalna

brzina strujanja, odnosno maksimalni protok Q.

pa

pa

A

pa pa

A

B

- Geodetska visina izlaznog kraja cijevi je previsoka, pa

nema strujanja fluida.

- Bernoullijeva jednadžba se svodi na osnovnu

jednadžbu hidrostatike (princip spojenih posuda).

- Skraćivanjem priključne cijevi,

dolazi do strujanja fluida, a visina

mlaza jednaka je visini fluida u

velikom spremniku. (za slučaj

viskoznog strujanja, ta bi visina bila

nešto manja zbog pretvorbe

mehaničke energije u unutarnju).

Mlaz: a

konst.p p= =

Dolazi do preraspodjele kinetičke energije

i potencijalne energije. Bernoullijeva

jednadžba je istog oblika kao i zakon

mehaničke energije za materijalnu točku u

mehanici 2 2 konstmv / mgz .+ = , jer

nakon dijeljenja s mg, slijedi B.J.:

2

konst2

vz .

g+ =

1z

maxz

2z

2

1

2

v

g

2

2

2

v

g

2

min

2

v

g

EL

GL=

sredina

mlaza


Pojave i principi rada nekih uređaja koji se mogu objasniti

Bernoullijevom jednadžbom

Kavitacija

p2

ρgp1

ρg

2g2g

1 2

v1 v2 G.L.

E.L.

p1

p2

A1

A2

Q

Q Q1>

Povećanjem protoka uz istu ukupnu

energiju strujanja dolazi do

smanjenja tlaka u najužem presjeku

(na slici je prikazan pomak HGL

kada se protok poveća od Q na Q1)

Kada se tlak u najužem presjeku

snizi na vrijednost tlaka isparavanja

pojavljuju se mjehurići pare

(kavitacija), čime se smanjuje

poprečni presjek te dolazi do

zagušivanja strujanja. Protok pri

kojem se pojavljuje kavitacija je

maksimalno mogući protok za

zadanu visinu energije.

Mjehurići pare bivaju nošeni u područje višeg tlaka, gdje implodiraju (ponovo se pretvaraju

u kapljevitu fazu). Pojava kavitacije je popraćena vibracijama i bukom, a pri imploziji

mjehurića pare u blizini stijenke dolazi i do njena oštećenja. U nestacionarnom strujanju se

kavitacija može pojaviti uslijed naglog ubrzavanja fluida.

Ejektor

Strujanje primarnog fluida protokom Q1 u

suženom presjeku izaziva smanjenje tlaka, koje

ima za posljedicu usisavanje sekundarnog fluida,

protokom Q2, tako da je na izlazu iz ejektora

protok Q1+Q2.

Ovaj se princip koristi npr. u uređajima za

bojanje, u kojima se u struju zraka uvlači boja.

Istjecanje iz velikog spremnika

Slika prikazuje zamišljenu strujnicu unutar

spremnika. Ako se pretpostavi veliki spremnik,

brzina fluida na slobodnoj površini unutar

spremnika će biti vrlo mala. Brzina se povećava

približavanjem ulazu u cijev. Za potrebe crtanja

hidrauličke gradijentne linije će se pretpostaviti da

je u svakoj točki spremnika brzina jednaka nuli, pa

će visina ukupne energija u spremniku biti jednaka

piezometričkoj visini (koja je za slučaj mirovanja

jednaka u svim točkama spremnika).


Prema tome Bernoullijevu jednadžbu može se postavljati od bilo koje točke u spremniku, a

obično se bira točka na slobodnoj površini. Bernoullijeva jednadžba postavljena od točke 0

na slobodnoj površini do točke 1 na izlazu iz cijevi glasi

2

a a

2

p v pH

g g gρ ρ+ = + ili 2v gH=

iz koje je jasno da se potencijalna energija fluida u spremniku pretvorila u kinetičku

energiju mlaza na izlazu iz cjevovoda, što prikazuje i slika. (Iz mehanike je poznato da bi

kuglica u slobodnom padu puštena iz stanja mirovanja na putu H postigla brzinu

2v gH= ).

Gubitak utjecanja u veliki spremnik

pa

pa

g

h2

3

Q

H=h -h1 2

h1

4

1

2

v

U prethodnom primjeru je mlaz

fluida istjecao u atmosferu, pa je

u njemu vladao atmosferski tlak,

a ovdje mlaz istječe u mirujući

fluid u velikom spremniku, a

eksperimenti pokazuju da će u

mlazu vladati tlak definiran

jednadžbom hidrostatike

4 a 2p p ghρ= +

Bernoullijeva jednadžba postavljena duž strujnice između točaka 1 i 4 (gdje je z4=0) glasi

4

2

a a1 2

/

2

p g

p v ph h

g g gρ

ρ ρ+ = + +

��

ili uz 1 2h h H− = : 2

2

vH

g=

Ponovo je jasno da će brzina biti funkcija razlike visina u spremnicima. Ako se za desni

spremnik usvoji model mirujućeg fluida onda će energija desnog spremnika biti jednaka

piezometričkoj visini i bit će manja od energije lijevog spremnika. Dakle u cijevi će prema

Bernoullijevoj jednadžbi visina ukupne energije biti jednaka energiji lijevog spremnika, a

ulaskom u desni spremnik energetska linija skokovito opada za visinu H, odnosno za

visinu brzine, te se govori o gubitku utjecanja (ili istjecanja) u veliki spremnik.

Bernoullijeva jednadžba se formalno postavlja od slobodne površine lijevog spremnika do

slobodne površine desnog spremnika, s tim da se pri ulasku u spremnik obračuna gubitak

visine ukupne energije koji je jednak visini brzine. Tako bi Bernoullijeva jednadžba

između točaka 1 i 2, prema prethodno slici, (uz z2=0), glasila:

2

a a

energija gubitakenergija u točki 1u točki 2

2

p p vH

g g g��ρ ρ+ = +


3 4

2gv2

=H E.L.

H.G.L.

pa

ρg

pa

ρg

Lijeva slika prikazuje energetsku

liniju (EL) za strujanje između dva

velika spremnika. Oduzimanjem

visine brzine od EL dobije se HGL.

Prema prije rečenom pretpostavlja

se da su brzine u spremnicima

jednake nuli, te se HGL skokovito

mijenja pri ulazu u cijev, u kojoj je

brzina za slučaj konstantnog

promjera cijevi konstantna.

Sifon

0

1

pa

pa

r

H

hd=konst

2

Strujanje kroz sifon će se ostvariti ako je cijev u

početnom trenutku bila ispunjena fluidom ili je

potrebno stvoriti podtlak na izlaznom kraju

cijevi (točka 2) tako da se fluid podigne preko

točke 1. Iz Bernoullijeve jednadžbe od 0 do 2 je 2

2

vH

g= ili 2v gH=

Spuštanjem izlaznog kraja povećava se brzina

istjecanja. Iz Bernoullijeve jednadžbe od 1 i 2

( )1 ap p g H hρ= − +

Spuštanjem izlaznog kraja ili podizanjem točke

1 smanjuje se tlak p1, koji mora biti veći od

tlaka para pv da ne bi nastupila kavitacija, čijom

bi se pojavom strujanje prekinulo.

Maksimalna visina usisavanja pumpe

pah

1

0

pumpa

Da bi se uključivanjem pumpe uspostavilo strujanje, usisna

cijev mora biti ispunjena fluidom.

Da bi se izbjegla pojava kavitacije tlak u točki 1 mora biti

viši od tlaka para. Iz Bernoullijeve jednadžbe od 0 do 1 je 2

1 1

2

ap p vh

g g gρ ρ= + +

Uz pretpostavku da su visine 2

1 1

2

p v

g gρ+ zanemarive,

teorijski maksimalna visina usisavanja je jednaka visini

atmosferskog tlaka, a stvarno je to i manje.


Korekcije brzine i protoka pri istjecanju kroz otvore

pa

1A0

A

Strujnica ne može biti slomljena crta, jer bi u točki loma radijus

zakrivljenosti strujnice bio jednak nuli, te bi derivacija tlaka

okomito na strujnicu bila beskonačna, što ne bi bilo fizikalno.

Zbog toga pri istjecanju fluida kroz otvor površine A0 s oštrim

rubom dolazi do suženja mlaza. Slika prikazuje presjek 1 u

kojemu su strujnice paralelne, a tlak konstantan. U tom presjeku

se mjeri površina A poprečnog presjeka mlaza.

Faktor kontrakcije mlaza je c 0/C A A= .

Realni fluidi su viskozni te će se dio mehaničke energije na putu od točke 0 do točke 1

uslijed djelovanja viskoznih sila pretvoriti u unutarnju energiju, što znači da će mehanička

energija (odnosno brzina) za slučaj realnog fluida biti manja. To se uzima u obzir

iskustvenim faktorom korekcije brzine Cv (koji se određuje eksperimentalno) prema

formuli id 2v vv C v C gH= = . Jasno je da je faktor brzine uvijek manji od jedan.

Protok Q fluida kroz otvor će biti jednak umnošku stvarne brzine i stvarne površine mlaza:

d id

c id 0 d idv

C Q

Q vA C C v A C Q= = = , gdje je d cvC C C= faktor korekcije protoka (često se

označuje i s QC )

Primjeri faktora brzine i faktora kontrakcije za neke tipične slučajeve:

Tanka stijenka-oštri rub: Cc=0.62 Cv=0.98

Lijepo zaobljeni rub: Cc=1 Cv=0.98

Ispust: Cc=1 Cv=0.82

Ispust: Cc=1 Cv=0.74

Formula za izračunavanje vremena pražnjenja posude pa

pa

g

Cd

H0

A0

1

v

0A z( )

v0=-dzdt

zH1

t t= 0

t=t1

Pretpostavke:

1. Posuda je otvorena prema

atmosferi.

2. Visina z se mjeri od presjeka mlaza

u kojem su strujnice paralelne (vena

contracta).

3. Površina poprečnog presjeka

posude A(z), je puno veća od

površine A0 otvora na dnu

(kvazistacionarno strujanje

id 2v gz= ).

Vrijeme ∆t potrebno da se razina fluida spusti s visine 0z H= na 1z H=

( )1

0

1 0

d 0

1∆ d

2

H

H

A zt t t z

C A g z− = =− ∫


Mjerenje brzine

pa pa

pa

v1

21

z

A B

h

g

ρ

∆h

Slučaj otvorenog strujanja s ravnim strujnicama

Cjevčica A (piezometrička cijev) mjeri visinu tlaka u

točki 1. Promjena tlaka okomito na ravne strujnice ista je

kao u fluidu u mirovanju, pa će razina fluida u cjevčici

biti u slobodnoj površini.

Cjevčica B (Pitotova cijev) mjeri visinu tlaka u točki 2, u

kojoj je brzina jednaka nuli (zaustavna točka). Prema

Bernoullijevoj jednadžbi visina zaustavnog tlaka 2p / gρ

je veća od visine tlaka 1p / gρ u točki 1 za visinu brzine 2

1∆ 2h v / g= .

Članovi Bernoullijeve jednadžbe se mogu tumačiti i na sljedeći način

� �

2

dinamički tlak hidrostatski tlakstatički tlak

zaustavni tlak

totalni tlak

1kost.

2p v gzρ ρ+ + =

��

��

��

Bernoullijeva jednadžba kaže da totalni tlak ostaje konstantan duž strujnice.

∆h

v1

21

Mjerenje brzine strujanja fluida u cijevima

Lijeva cjevčica mjeri statički tlak u točki 1, a

Pitotova cijev zaustavni tlak u točki 2. Razlika ta dva

tlaka je visina brzine, pa vrijedi 1 2 ∆v g h= . Očito

je da se brzina računa iz mjerene razlike tlakova,

koja se obično mjeri diferencijalnim manometrom.

ρ

∆h1

v1

2

R

x

1

ρρ0<

Slučaj kada je diferencijalni manometar

ispunjen fluidom manje gustoće od fluida

koji struji u cijevi

01 2 ∆ 1v g h

ρ

ρ

= −

ρ

∆h

v1

ρρ0>

1 2

R

x

Slučaj kada je diferencijalni manometar ispunjen fluidom veće

gustoće od fluida koji struji u cijevi

01 2 ∆ 1v g h

ρ

ρ

= −


Prandtl-Pitotova cijev

Sastoji se od dvije koaksijalne cijevi, pri čemu je unutarnja cjevčica svojim otvorom

suprotstavljena strujanju i mjeri zaustavni tlak (točka 2 na slici). Vanjska cijev ima po

obodu rupice s otvorima preko kojih čestice fluida prolaze tangencijalno kojima se mjeri

statički tlak (točka 3 na slici). Donja slika kvalitativno prikazuje promjenu tlaka duž

strujnice 1-2-3. U točki zastoja je brzina jednaka nuli, a tlak je maksimalan. Od točke

zastoja fluid se ponovo ubrzava, a tlak opada. U području između točaka 2 i 3 brzina na

nekim mjestima premašuje brzinu 1v , te tlak opada ispod tlaka 1p , ali se na određenoj

udaljenosti od točke 2 tlak ponovo vraća na vrijednost tlaka 1p . Ako se zanemari učinak

viskoznih sila u neograničenom strujanju fluida tlak 3p će biti jednak tlaku 1p , pa će se iz

mjerene visine ∆h moći izračunati brzina 1v , pri čemu vrijedi izraz 01 2 ∆ 1v g h

ρ

ρ

= −

.

ρ

∆h

v1

ρρ0>

p p3 1=

3

21

tlak

p1

Mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi

2

21

1

Slika shematski prikazuje tri različita

mjerna uređaja za mjerenje protoka u

strujanju kroz cijevi, redom mjerna blenda,

mjerna sapnica i Venturijeva cijev. U svim

uređajima je princip mjerenja isti: u

suženom presjeku tlak je zbog povećanja

brzine niži. Razlika tlaka u presjecima 1 i 2

raste s porastom protoka, te se iz mjerene

razlike tlaka može zaključiti o protoku kroz

cijev. Primjenom Bernoullijeve jednadžbe

se dolazi do protoka idealnog fluida, a

uvođenjem faktora korekcije brzine i

kontrakcije mlaza se dolazi do protoka

realnog fluida.


Venturijeva cijev

h0

h

xz=0

Q

D1

D2

1

2

ρ0

ρ, µ

Slika shematski prikazuje Venturijevu cijev

postavljenu u kosom cjevovodu, u kojoj se

diferencijalnim manometrom mjeri razlika

tlaka u dva presjeka. Iz jednadžbe

kontinuiteta, Bernoullijeve jednadžbe i

jednadžbe manometra slijedi izraz za protok

idealnog fluida

002

2id 4

2

1

2 1

41

ghD

QD

D

ρ

ρπ

− =

−

Protok realnog fluida viskoznosti µ je

c idvQ C C Q= .

Venturijeva cijev se izvodi tako da je faktor kontrakcije mlaza c 1C = , a faktor korekcije

brzine vC je funkcija Reynoldsova broja 1 1v DRe

ρ

µ= . Primjer zavisnosti faktora vC o

Reynoldsovu broju Re je dan na sljedećoj slici.


Primjena zakona količine gibanja i momenta količine gibanja za kontrolni volumen

U strujanju fluida u polju masene

sile if uočen je materijalni

volumen MV koji je od okolnog

fluida odijeljen materijalnom

površinom MS . Na svaku česticu

fluida djeluje elementarna masena

sila dif Vρ , a na svaki djelić

površine MS elementarna

površinska sila di Sσ . Količina

gibanja čestice fluida je div Vρ , a

moment količine gibanja u odnosu

na ishodište koordinatnog sustava

dkji j ix v Vε ρ .

Zakon očuvanja količine gibanja za materijalni volumen glasi:

Brzina promjene količine gibanja materijalnog volumena jednaka je sumi vanjskih sila (masenih i površinskih) koje djeluju na materijalni volumen. Matematički zapis toga zakona je

M M M

Dd d d

Di i i

V V S

v V f V St

ρ ρ σ= +∫ ∫ ∫ ili

M M M

Dd d d

D V V S

v V f V St

ρ ρ σ= +∫ ∫ ∫�

� �

Zakon očuvanja momenta količine gibanja za materijalni volumen glasi:

Brzina promjene momenta količine gibanja materijalnog volumena jednaka je sumi momenata vanjskih sila (masenih i površinskih) koje djeluju na materijalni volumen. Matematički zapis toga zakona je

M M M

Dd d d

Dkji j i kji j i kji j i

V V S

x v V x f V x St

ε ρ ε ρ ε σ= +∫ ∫ ∫ ili

M M M

Dd d d

D V V S

r v V r f V r St

ρ ρ σ× = × + ×∫ ∫ ∫�

� � � � �

Primjenom Reynoldsova transportnog teorema na lijeve stranu jednadžbe količine gibanja i

jednadžbe momenta količine gibanja za materijalni volumen, slijede jednadžba količine

gibanja za kontrolni volumen (KV) s mirujućim granicama:

- jednadžba količine gibanja

KV KV KV KV

brzina promjene protok količine gibanja ukupna masena ukupna površinskakoličine gibanja KV-a kroz kontrolnu površinu sila na KV sila na KV

dd d d d

di i j j i i

V S V S

v V v v n S f V St

ρ ρ ρ σ+ = +∫ ∫ ∫ ∫��

- jednadžba momenta količine gibanja

KV KV KV

Brzina promjene momenta Protok momenta količine ukupni moment masenihkoličine gibanja KV-a gibanja kroz KP sila na KV

dd d d

dkji j i ijk j i p p kji j i kji j i

V S V

x v V x v v n S x f V xt

ε ρ ε ρ ε ρ ε σ+ = +∫ ∫ ∫��

KV

ukupni moment površinskihsila na KV

dS

S∫��

SM

O

x3

x2

x1

VM

jn

di Sσ

if

dS

dif Vρ

dm=ρdV

iv

xj


Kontrolna površina SKV se općenito može prikazati zbrojem ulaznog dijela uS (kroz koji

fluid utječe u kontrolni volumen), izlaznog dijela iS (kroz koji fluid napušta kontrolni

volumen) i površine plašta (stijenke nekog uređaja, stroja ili konstrukcije) wS kroz koji

nema strujanja fluida 0j jv n = ).

u i w

KVS S S S= + +

Uz pretpostavku nestlačivog strujanja, uzimajući da je masena sila jednaka sili težine

( )3i if gδ= − jednadžba količine gibanja se može napisati i u obliku

( )u i w

KV KV

w

3

brzina promjene =težina fluida u KV =sila stijenke količine gibanja KV na fluid

dd d d d

d

i i

i i i j j i i

V V S S S

G -F

v V g V v v n S St

ρ ρ δ ρ σ σ+

= − − − +∫ ∫ ∫ ∫��

Posljednji integral u gornjoj jednadžbi daje ukupnu površinsku silu između stijenke i fluida

i to silu kojom okolina (stijenka) djeluje na fluid. Ta je sila po trećem Newtonovom zakonu

jednaka negativnoj vrijednosti sile w

iF kojom fluid djeluje na stijenku. Vektor površinske

sile se može prikazati zbrojem sile tlaka i viskoznih sila

f

i i ipnσ σ= − +

pri čemu se viskozne sile na ulaznoj i izlaznoj površini obično zanemaruju (tangencijalne

viskozne sile se obično međusobno poništavaju, a normalne komponente viskoznih sila su

male u odnosu na tlačne sile), tako da zakon količine gibanja za kontrolni volumen prelazi

u oblik

( )u i

KV

f w

brzina promjene količine gibanja KV

dd d

di i i j j i i i

V S S

v V G v v n pn S Ft

ρ ρ σ+

= − + − −∫ ∫��

Analogno se dobije za zakon momenta količine gibanja:

( )

( )

u iKV n

w w

w

moment sile moment siletežine brzina promjene momenta fluida na plašt=

količine gibanja KV

dd d

d

k i kji j i

G fkji j i kji j i kji j i r r i i k i

V vS S

M G x F

x v V x G x v v n pn S M Ft

ε

ε ρ ε ε ρ σ+

= − + − −

∫ ∫��

��

gdje su Gjx i w

jx krakovi što ih sile iG i w

iF čine s ishodištem koordinatnog sustava.

U uvjetima stacionarnog strujanja (kada se slika strujanja ne mijenja s vremenom) brzina

promjene količine gibanja kontrolnog volumena (lijeva strana jednadžbe) je jednaka nuli,

te će zakon količine gibanja izražen za kontrolni volumen služiti za određivanje sile kojom

fluid djeluje na stijenku

u i

n

w f di i i j j i i

S S v

F G v v n pn Sρ σ+

= − + −

∫ ili

u i n

w f dvS S

F G v v n pn Sρ σ+

= − ⋅ + −

∫

��

a zakon momenta količine gibanja u odnosu na ishodište koordinatnog sustava

u in

w w f dGkji j i kji j i kji j i r r i i

vS S

x F x G x v v n pn Sε ε ε ρ σ+

= − + −

∫

ili


( )

u in

w w f dG

S S v

r F r G r v v n pn Sρ σ+

× = × − × ⋅ + −

∫��

� � � � � � � �

Očito je da će za određivanje sile kojom fluid djeluje na stijenku biti potrebno poznavanje

profila brzine i tlaka na ulaznom i izlaznom dijelu kontrolne površine, te viskoznih

naprezanja po ulaznim i izlaznim dijelovima kontrolne površine. Viskozna naprezanja su

redovito puno manja od tlaka, te se ona uobičajeno zanemaruju, kao što je to učinjeno i u

jednadžbi mehaničke energije. Sljedeća tablica daje rekapitulaciju osnovnih zakona za

slučaj stacionarnog nestlačivog strujanja fluida, za slučaj da je sila gravitacije jedina

masena sila te uz zanemarenje sila viskoznosti na ulaznim i izlaznim dijelovima kontrolne

površine.

Zakon Matematički zapis za mirujući kontrolni volumen

očuvanja mase

(jedn. kont. JK) ( )

u i

d 0

S S

v n S+

⋅ =∫� �

ili ( ) ( )u i

d d konst

S S

Q v n S v n S .= − ⋅ = ⋅ =∫ ∫� � � �

mehaničke energ.

(JME)

u i nKV

2

F

1d d

2 vV S S

P g v V v p v n Sρ ρ+

= ⋅ − + ⋅ ∫ ∫� � � �

količine gibanja

(JKG) ( )

u in

w d

S S v

F G v v n pn Sρ+

= − ⋅ +

∫��

� � � �

momenta količine

gibanja (JMKG) ( )

u in

w w dG

S S v

r F r G r v v n pn Sρ+

× = × − × ⋅ +

∫��

� � � � � � �

Iz tablice je očito da jednadžba kontinuiteta uspostavlja vezu među brzinama na ulaznim i

izlaznim dijelovima kontrolne površine, da jednadžba mehaničke energije definira snagu

gubitaka unutar kontrolnog volumena, odnosno ako je ta snaga zanemariva uspostavlja

vezu među tlakovima na ulaznom i izlaznom presjeku. Za slučaj strujanja u cjevovodima,

postoji model za snagu gubitaka, a u tom slučaju jednadžba mehaničke energije

(modificirana Bernoullijeva jednadžba) služi za određivanje tlaka ili brzine po ulaznim ili

izlaznim presjecima (ovisno što je zadano). Jednadžba količine gibanja daje silu kojom

fluid djeluje na plašt kontrolnog volumena, a jednadžba momenta količine gibanja moment

te sile (odnosno njen položaj). Koje ćemo od navedenih zakona primijeniti zavisi od toga

što nas zanima. Na primjer ako nas ne zanima sila na plašt kontrolnog volumena, onda

nećemo koristiti jednadžbe količine gibanja i momenta količine gibanja, ili ako nas zanima

samo sila, a ne njeno hvatište, tada ćemo koristiti zakon količine gibanja, ali ne i zakon

momenta količine gibanja.

U prethodnom poglavlju smo za slučaj jednodimenzijskog strujanja iz zakona mehaničke

energije izveli modificiranu Bernoullijevu jednadžbu, a poslije ćemo u toj jednadžbi

definirati model snage gubitaka i iskoristiti ju za hidraulički proračun cjevovoda. U

hidrauličkom proračunu cjevovoda će nas zanimati promjena tlaka i brzine strujanja (ili

protoka) u cjevovodnom sustavu pa će se taj proračun temeljiti samo na primjeni jednadžbe

kontinuiteta i modificirane Bernoullijeve jednadžbe. Ponekad će nas zanimati i sila fluida

na mlaznice, račve ili koljena u cjevovodu, što se određuje iz jednadžbe količine gibanja i

jednadžbe momenta količine gibanja, pa se u nastavku ti zakoni primjenjuju na

jednodimenzijsko strujanje.


Primjena jednadžbe količine gibanja i momenta količine gibanja za određivanje sile fluida

na plašt cijevi

Slika prikazuje jedan

kontrolni volumen koji

obuhvaća unutrašnjost rač-

vaste cijevi, a na kontrolnoj

površini se mogu uočiti dva

ulazna presjeka (presjeci 1 i

2) i dva izlazna presjeka (3 i

4). U tim su presjecima

strujnice međusobno para-

lelne, a vektori brzine su

okomiti na presjek, pri čemu

vrijedi

Za ulazni presjek Za Izlazni presjek

i iv vn= −

n j jv v n v= = −

( )

u un

2d di j j i i

A Av v

v v n pn S n v p Sρ ρ

=−

− + = − + ∫ ∫

( )

un

u

2

d

d

kji j i r r i

v vA

kji j i

A

x v v n pn S

x v p n S

ε ρ

ε ρ

=−

− + =

− +

∫

∫

i iv vn=

n j jv v n v= =

( )

i in

2d di j j i i

A Av v

v v n pn S n v p Sρ ρ

=

− + = − + ∫ ∫

( )

in

i

2

d

d

kji j i r r i

v vA

kji j i

A

x v v n pn S

x v p n S

ε ρ

ε ρ

=

− + =

− +

∫

∫

Pri strujanju viskoznog fluida brzina po poprečnom presjeku cijevi nije konstantna, ali se

integral kvadrata brzine po presjeku može prikazati pomoću kvadrata srednje brzine i

faktora ispravka količine gibanja u obliku 2 2

srdA

v S v Aβ=∫ gdje je faktor ispravka količine

gibanja definiran izrazom 2

2

sr

1d

A

v Sv A

β = ∫ . Vrijednosti faktora β su:

Strujanje idealnog fluida – jednoliki profil brzine po presjeku: 1β =

Laminarno strujanje u okruglim cijevima polumjera R – postoji

analitičko rješenje za profil brzine 2

max 21

rv v

R

= − :

1,33β =

Turbulentno strujanje u okruglim cijevima – profil brzine zavisi od

Reynoldsova broja vD

Reρ

µ= , a koeficijent β se kreće u rasponu

1,01β = (pri višim vrijednostima Re>106) do 1,03β = (pri nižim

vrijednostima Re)

1,01 1,03β = −

p4,vi(4)

x1

x3

x2 O

p1,vi(1)

p2,vi(2)

p3,vi(3)

1

2

3

4

fi =gi

ni vi

Au

ni vi

Ai


U praksi je strujanje najčešće turbulentno pa se uzima da je 1β = (bez da se bitno naruši

točnost rezultata)

U strujanju fluida kroz cijevi strujnice su paralelne, pa će promjena tlaka po presjeku biti

ista kao u fluidu u mirovanju, tj. bit će linearna. Ako se promatra strujnica koja prolazi

težištem poprečnog presjeka cijevi, tada je integral tlaka po površini poprečnog presjeka

jednak umnošku tlaka na strujnici i površini poprečnog presjeka dA

p S pA=∫ .

Konačan izraz za izračunavanje sile kojom fluid djeluje na plašt cijevi jest

( )( )

( ) ( )w 2

= imulsna funkcijak

i

k ki i i i i

k k

I

F G n v p A G Iβρ = + − + = + ∑ ∑��

ili ( )w k

k

F G I= +∑��

gdje je k broj ulaznih i izlaznih dijelova kontrolne površine.

Ako su površine poprečnih presjeka male u odnosu na veličinu radijus vektora, tada se u

integralu koji se pojavljuje u jednadžbi momenta količine gibanja promjene radijus vektora

po površini poprečnog presjeka mogu zanemariti i zamijeniti ga u konstantnim radijus

vektorom do težišta presjeka, pa umnožak kji j ix nε može izlučiti ispred integrala, te vrijedi

( ) ( )

( )2

2 2d d

i i

kji j i kji j i kji j i

A A

I n v p A

x v p n S x n v p S x I

βρ

ε ρ ε ρ ε

=− +

− + = − + =

∫ ∫

��

odnosno zakon momenta količine gibanja prelazi u oblik

( )( )

( )

( ) ( )

( )

w w 2

= imulsna funkcijak

i

k kG ( k ) G ( k )kji j i kji j i kji j i kji j i kji j i

k k

I

x F x G x n v p A x G x Iε ε ε βρ ε ε = + − + = + ∑ ∑��

ili ( )( )

( )

( ) ( )

( )

w w 2

= imulsna funkcijak

k kG ( k ) G ( k )

k k

I

r F r G r n v p A r G r Iβρ × = × + × − + = × + × ∑ ∑�

� ��

��

Impulsna funkcija je vektor, koji je po veličini jednak ( )2I v p Aβρ= + , okomit je na

površinu A i gleda suprotno od vanjske normale (uvijek gleda u kontrolni volumen bez

obzira radi li se o ulaznom ili izlaznom dijelu kontrolne površine), kao na sljedećoj slici.

Ako se impulsne funkcije

shvate kao sile, tada se

problem određivanja sile

kojom fluid djeluje na plašt

cijevi svodi na problem statike

tj. određivanje suma sila.

Zakonom količine gibanja

definirana je veličina i smjer

sile fluida na plašt, a hvatište

te sile je definirano zakonom

momenta količine gibanja,

koja se svodi na sumiranje

momenata sile težine i

impulsnih funkcija.

x1

x3

x2 O

Ii(1)

fi =gi

Ii(2)

)

Ii(3)

Ii(4)

Gi


Postupak izračuna sile:

• Primjenom jednadžbe kontinuiteta i Bernoullijeve jednadžbe odrede se brzine i

tlakovi na ulaznim i izlaznim dijelovima kontrolne površine.

• Iz izračunatih brzina i tlakova računaju se vrijednosti impulsnih funkcija na

ulaznim i izlaznim dijelovima kontrolne površine.

• Vektorskim zbrajanjem (u analitičkom postupku sumiranjem komponenti sila u

smjerovima osi) impulsnih funkcija i sile težine se dobije sila kojom fluid djeluje

na plašt cijevi.

• Moment te sile jednak je sumi momenta sile težine i momenata impulsnih funkcija.

Kad se zna moment sile zna se i položaj pravca u kojem sila djeluje.

Treba naglasiti da gornja formula vrijedi za bilo kakav oblik kontrolnog volumena, jedino

je važno da na ulaznim i izlaznim presjecima strujnice budu međusobno paralelne i da su

vektori brzine okomiti na pripadajuće presjeke.

Impulsne funkcije računate s apsolutnim tlakom definiraju silu fluida na stijenku (dakle

silu na plašt samo s unutrašnje strane). Ako s vanjske strane plašta djeluje atmosferski tlak,

onda bi rezultantna sila na plašt bila jednaka zbroju unutarnje sile i vanjske sile

atmosferskog tlaka. Do rezultantne sile se dolazi tako da se u impulsnu funkciju umjesto

apsolutnog tlaka uvrštava manometarski tlak, dakle vrijedi

( )2

Mi i iF G n v p Aβρ= + − +∑

gdje je iF rezultantna sila (izvana i iznutra) na plašt cijevi.


Primjena jednadžbe količine gibanja za određivanje sile mlaza fluida na lopatice

Slika prikazuje mlaz fluida površine poprečnog

presjeka 1A , koji brzinom 1v i protokom 1 1 1Q v A= ,

nailazi na ravnu lopaticu (ploču jedinične širine)

koja na sebi ima razdjelnik strujanja (nosić) kojim

se mlaz dijeli na dvije grane označene indeksima 2

i 3. Ako je površina mlaza mala u odnosu na

površinu lopatice mlaz će tangencijalno napuštati

lopaticu. Mlaz struji u atmosferi, a s druge strane

lopatice vlada atmosferski tlak. Na slici je ucrtan

odabrani kontrolni volumen (crta-točka linija) na

čijoj se kontrolnoj površini može uočiti ulazni

presjek mlaza, dva izlazna presjeka, rub mlaza i površina lopatice. Ako se pretpostave

jednoliki profili brzine po presjecima i linearnu promjenu tlaka, tada će se impulsne

funkcije računati po istim formulama kao i pri određivanju sile fluida na plašt cijevi. Ako

se traži rezultantna sila na lopaticu (uzimajući u obzir i silu atmosferskog tlaka s vanjske

strane, impulsne funkcije se računaju s manometarskim tlakom, koji je u svim presjecima

jednak nuli, te za veličinu impulsne funkcije vrijedi

2I v A Qvρ ρ= =

Na ulaznim i na izlaznim dijelovima

kontrolne površine impulsne funkcije

gledaju u kontrolni volumen, a okomite su

na površine. Po rubu mlaza također treba

izračunati impulsnu funkciju, jer ta površina

nije dio površine lopatice na kojoj se želi

odrediti silu. Međutim budući da kroz tu

površinu nema strujanja, a na njoj je pretlak

jednak nuli, zaključuje se da je i impulsna

funkcija jednaka nuli, te preostaju samo

impulsne funkcije kao prema slici. Tražena

sila jednaka je vektorskom zbroju impulsnih

funkcija i sile težine.

Položaj pravca na kojem leži fila F�

, dobije se primjenom jednadžbe momenta količine

gibanja, a koja kaže da je moment sile F�

u odnosu na bilo koju točku jednak zbroju

momenta od sile težine i sumi momenata od impulsnih funkcija 1I�

, 2I�

i 3I�

u odnosu na tu

odabranu točku.

Ako bi strujanje bilo neviskozno (nema smičnih naprezanja), a ploča bila ravna (nema

razdjelnika strujanja) sila fluida bi bila okomita na ploču (jer postoje samo sile tlaka), a

protoci 2Q i 3Q bi bili upravo takvi da nema tangencijalne komponente sile na ploču.


Primjer 1: Određivanje sile fluida na branu u ravninskom strujanju. Donja skica prikazuje sliku strujanja u

jednom otvorenom toku, koji skreće uslijed brane. Jasno je da za skretanje strujanja treba sila, što znači da

brana mora djelovati na fluid, tako da on skrene (prema slici je to u lijevo), a to znači da fluid djeluje na

branu po principu akcije i reakcije silom Fx u desno. Pretpostavit ćemo strujanje neviskoznog fluida, što znači

da od površinskih sila postoje samo sile tlaka, a to znači da će sila fluida na ravnu stijenku uvijek biti okomita

na stijenku. Znači, sila F na vertikalnu branu 2-3 (koja nas ovdje zanima) će biti horizontalna (u smjeru osi x),

a sila na podlogu 4-5 će biti vertikalna (u smjeru osi z). To znači da ćemo za određivanje sile Fx iskoristiti

samo x-komponentu jednadžbe količine gibanja. Jednadžba količine gibanja glasi

( )

u in

M d

vS S

F G v v n p n Sρ

+

= − ⋅ +

∫��

� � � �

,

a njena x-komponenta je

( )

u in

M dx x x

vS S

F v v n p n Sρ

+

= − ⋅ +

∫� �

U jednadžbi količine gibanja je korišten manometarski tlak, što znači da je F�

(odnosno Fx) rezultantna sila u

kojoj je obračunata i sila atmosferskog tlaka izvana.

Ako za kontrolni volumen izaberemo osjenčeni volumen označen točkama 1-2-3-6-5-4-1, tada je površina 1-4

ulazna, a površina 3-6 izlazna površina. Kroz površine 1-2 i 5-6 nema protoka fluida ( 0v n⋅ =� �

), a na njima

vlada atmosferski tlak (pretlak je nula), pa je vrijednost integrala ( )

M

00

dx x

S

v v n p n Sρ

==

⋅ + ∫

� �

koji definira

impulsnu funkciju jednak nuli. Površinu Sw na koju djeluje sila F

�

čine površine 4-5 (na koju djeluje

z-komponenta sile F�

) i površina 2-3 na koju djeluje x-komponenta sile F�

). Prema tome, od izraza za silu Fx

ostaje

( )

( )

1 4 3 6

2M M

01 0 0

d d2

x x x x x

ghV V vS S

HF v v n p n S v v n p n S V HB g HB

ρ

ρ ρ ρ ρ− −− = =−

= − ⋅ + − ⋅ + = +

∫ ∫

� � � �

(a)

Na površini 3-6 vektor vanjske normale gleda u smjeru –z, što znači da joj je komponenta u smjeru osi x,

0xn = , a isto vrijedi i za x-komponentu brzine (budući je brzina na toj površini vertikalna). Ostaje dakle

samo integral po površini 1-4. Na toj površini brzina je horizontalna, pa je xv V= , kao i vektor vanjske

normale, koji gleda u negativnom smjeru osi x, pa je 1xn = − , budući da vektor brzine i vektor normale

gledaju u suprotnim smjerovima, njihov skalarni produkt je v n V⋅ = −� �

. Uz pretpostavku da je profil brzine

jednolik po presjeku 1-4, protok količine gibanja je 2V HBρ (gdje je uzeto u obzir da je strujanje ravninsko i

promatra ga se za jediničnu širinu (B=1 m) okomito na ravninu slike). Kao što je prije rečeno promjena tlaka

okomito na ravne paralelne strujnice je ista kao u fluidu u mirovanju, što znači da je raspodjela tlaka od točke

1 do točke 4 hidrostatska, a u presjeku 3-6, koji je horizontalan, je tlak konstantan i jednak atmosferskom

1

4

2

3 6

5 h=3,9 m

H=3,2 m

ρ=1000 kg/m3

pa

pa

g

V

v

p4=pa+ρgH

tlak

B=1 m

z

n�

L=0,45 m

x


tlaku pa. Prema tome manometarski tlak po presjeku 1-4 se mijenja linearno po zakonu Mp ghρ= , gdje je h

dubina koja se mjeri od slobodne površine. Kao što se zna iz hidrostatike integral linearno promjenjivog tlaka

po površini jednak je umnošku tlaka u težištu (ovdje / 2gHρ ) i površine (ovdje HB).

Da bismo izračunali silu Fx prema izrazu (a) trebamo odrediti brzinu V, a za to imamo na raspolaganju

jednadžbu kontinuiteta i Bernoullijevu jednadžbu. Jednadžba kontinuiteta kaže da je protok Q na ulazu u

kontrolni volumen jednak protoku na izlazu, tj.

Q VHB vLB= = ili H

v VL

= (b)

S obzirom da smo zanemarili viskozne sile, vrijedi Bernoullijeva jednadžba koja kaže da energija duž

strujnice ostaje konstantna. U prikazanom strujanju, možemo uočiti dvije strujnice: 1-2-3 i 4-5-6. Primijetimo

da je točka 2, točka zastoja. U točki zastoja je dinamički tlak 2 / 2Vρ , pretvoren u potencijalnu energiju

položaja (jer je tlak konstantan), pa će se slobodna površina fluida pred branom povisiti, kako je naznačeno

na skici. Bernoullieva jednadžba duž strujnice 1-2-3 (između točaka 1 do 3, pri čemu je z=0 u točki 3) glasi:

2 2

2 2

V vh

g g+ = , (c)

a Bernoullijeva jednadžba duž strujnice 4-5-6 (između točaka 4 i 6) glasi:

�

g

2 2M4

2 g 2

H

H

pV vh H

g g

ρ

ρ+ + − =

Uzimajući u obzir da je pretlak u točki 4 M4 gp Hρ= , očito je da obje Bernoullijeve jednadžbe daju isti

rezultat. Uvrštavanjem jednadžbe (b) u (c) daje

2

21,24 m/s

1

ghV

H

L

= =

−

što uvršteno u izraz (a) daje 2

55 15 kN/m2

xH

F / B V g H ,ρ ρ

= + =

.

Primjer 2: Određivanje sile otpora tijela iz hidrodinamičke slike strujanja

Donja skica prikazuje ravninsku situaciju optjecanja mirujućeg profila (okomito na ravninu slike duljina

profila je dovoljno velika da se može pretpostaviti da slika strujanja ostaje ista u smjeru osi z, pa uzimamo

jediničnu širinu B=1 m) jednolikim profilom brzine konst.v∞ = (dovoljno daleko od tijela brzina je

neporemećena, a indeks ∞ asocira na udaljenost dovoljno daleko od tijela).

Poremećaj u polju brzine se najviše osjeća neposredno uz površinu profila (područje graničnog sloja unutar

kojeg se brzina strujanja mijenja od nule, na samoj površini, do brzine neporemećenog strujanja) i unutar

vanjsko neviskozno strujanje

vrtložni trag

ρ=konst.

vx=v∞

vx=v∞

x

y

H

2D

2D

v∞

0,5v∞

v∞

Au

Ai

AB

AB

Sw

( )= 1+2 2

xv y

v yD

∞

deficit u

profilu brzine

D

z = konst.


vrtložnog traga, čija je granica na skici označena crtkanom linijom. Izvan graničnog sloja i vrtložnog traga

utjecaj viskoznosti se može zanemariti, pa se može pretpostaviti da je komponenta brzine vx jednaka brzini v∞

u čitavom području izvan vrtložnog traga. Na izlaznom presjeku se utjecaj tijela očituje kroz deficit u profilu

brzine, koji je ovdje idealiziran trokutastim oblikom. Za odabrani kontrolni volumen koji je na gornjoj skici

osjenčan, kontrolna površine se sastoji od ulazne površine Au, izlazne površine Ai

, dvije bočne površine AB i

površine profila Sw. Iz jednadžbe kontinuiteta je jasno da su bočne površine izlazne površine, jer kroz njih

mora protjecati fluid razmjerno deficitu u profilu brzine, koji se može za trokutasti oblik deficita brzine

jednostavno izračunati kao površina trokuta osnovice 4DB visine 0,5v∞ , što iznosi v DB∞ , odnosno vrijedi

B2

d

A

v n S v DB� �

∞⋅ =∫ (a)

Ukupna sila fluida na površinu Sw definirana je zakonom količine gibanja, koji za slučaj stacionarnog

strujanja i zanemarivanja viskoznih sila po ulaznoj i izlaznim površinama glasi:

( )

u in

M d

vS S

F G v v n p n Sρ

+

= − ⋅ +

∫��

� � � �

U promatranom slučaju strujanje je u horizontalnoj ravnini (z=konst.), pa sila težine djeluje okomito na

ravninu slike (ima komponentu samo u smjeru osi z), a uz pretpostavku simetričnosti tijela, bit će i slika

strujanja simetrična, pa će komponenta sile F�

u smjeru osi y biti jednaka nuli. Dovoljno daleko od tijela,

gdje brzina poprima vrijednosti neporemećene brzine, i tlak poprima vrijednosti neporemećenog tlaka p∞ , pa

ćemo pretpostaviti da na ulaznoj i izlaznim površinama vlada neporemećeni tlak p∞ , odnosno da je pretlak

Mp p p∞= − jednak nuli. Na temelju rečenoga x-komponenta jednadžbe količine gibanja prelazi u oblik

( )

( )

( )u i B2

d d d

x

x x x x

v vv vA A A

F v v n S v v n S v v n S� � � � � �

ρ ρ ρ

∞ ∞∞−

= − ⋅ − ⋅ − ⋅∫ ∫ ∫

pri čemu su integrali po bočnim stranicama prikazani, zbog simetrije, za obje površine jednim integralom. Na

ulaznoj površini je xv v∞= i v n v∞⋅ =−� �

, na bočnim stranicama je također xv v∞= , a integral v n⋅� �

po

bočnim stranicama je definiran jednadžbom kontinuiteta (a), dok je na izlaznoj površini potrebno integrirati

promjenjivi profil brzine po koordinati y , u području 2 2D y D− < < . Pri tome će se zbog simetrije

integrirati po polovini izlazne granice, pa će se integral množiti faktorom dva. Na temelju rečenoga gornja

jednadžba se može pisati u obliku

u

B

prema (a)=integral po 2 22

2 2

0 2 2

2 1+ d d d2 2

v DBAD H /

x

D A

v yF v HB yB v yB v v n S

D

��

� �

ρ ρ ρ ρ

∞

∞∞ ∞ ∞

= − + − ⋅ ∫ ∫ ∫

Integriranjem izraza u uglatoj zagradi, slijedi

23

2 22 22 22

0 0

0

1+72

1+ d 1+ d 22 2 4 2 4 3 6

D

D Dy

v v vy y DyB B y B D v DB

D Dρ ρ ρ ρ∞ ∞ ∞

∞

= = =

∫ ∫

2

2 2

2

d 22

H /

D

Hv yB v B Dρ ρ∞ ∞

= −

∫

Pa izraz za traženu silu postaje

2 2 2 2 2 27 7 22 2 4 1

6 2 3 3x

HF v HB v DB v B D v DB v DB v DBρ ρ ρ ρ ρ ρ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

= − + − − = − + − =

Uočimo da sila xF ne zavisi od veličine izabranog volumena, već samo od profila deficita brzine u izlaznom

presjeku. xF je sila otpora, a najčešće se izražava u obliku bezdimenzijskog koeficijenta, koji se dobije

dijeljenjem sile s umnoškom dinamičkog tlaka 2 / 2vρ ∞ i površine profila suprotstavljene strujanju DB , pa je

koeficijent otpora promatranog profila

2

2 2

2

43 1 331 1 3

2 2

x

xF

v DBFC ,

v DB v DB

ρ

ρ ρ

∞

∞ ∞

= = = =


Primjena osnovnih zakona za kontrolni volumen koji se translatira konstantnom

brzinom

Često će u analizi inženjerskih problema trebati koristiti kontrolni volumen koji se giba,

odnosno kojemu se granice pomiču. Pri tome bitno razlikujemo dva slučaja: prvi u kojem

se kontrolni volumen giba nekom brzinom, pri čemu kontrolni volumen zadržava svoj

oblik i veličinu, pa je za promatrača koji se giba zajedno s kontrolnim volumenom taj

volumen nepomičan i nepromjenjivog oblika i veličine, i drugi slučaj u kojem se granice

kontrolnog volumena gibaju potpuno proizvoljno, tako da se mijenjaju oblik i veličina

kontrolnog volumena (npr. volumen u cilindru motora s unutarnjim izgaranjem omeđen

stijenkama cilindra i čelom gibajućeg stapa). U prvom slučaju kontrolni volumen se može

gibati konstantnom brzinom (po veličini i smjeru), pa promatrač koji se giba neće osjećati

nikakve inercijske sile, što znači da je takav koordinatni sustav inercijski kao i apsolutno

mirujući koordinatni sustav (definirali smo ga kao koordinatni sustav čvrsto vezan za

Zemlju, iako znamo da se i Zemlja giba). Naprotiv, ako bi se koordinatni sustav gibao

promjenjivom brzinom, promatrač koji se giba zajedno s takvim koordinatnim sustavom bi

osjetio inercijske sile (umnožak negativnog ubrzanja koordinatnog sustava i mase

promatrača) pa bi takav koordinatni sustav bio neinercijski. U jednadžbama koje opisuju

osnovne zakone u neinercijskom koordinatnom sustavu, masenim silama (npr. sili

gravitacije) se dodaju inercijske sile uslijed gibanja koordinatnog sustava.

Ovdje će nas zanimati poseban slučaj kontrolnog volumena (odnosno koordinatnog sustava

koji je vezan za kontrolni volumen) koji se giba pravocrtno konstantnom brzinom. Tako bi

na primjer avion koji leti konstantnom brzinom V prema donjoj lijevoj slici, izazivao

gibanje čestica zraka koje bi za promatrača iz apsolutnog koordinatnog sustava oxyz (koji

mirno stoji na zemlji) bilo nestacionarno, jer bi avion mijenjajući svoj položaj izazivao

gibanje čestica mirujućeg zraka na različitim pozicijama.

Nasuprot tome ako se oko aviona formira kontrolni volumen, koji se giba zajedno s

avionom brzinom V u lijevo, za promatrača koji stoji u ishodištu O pomičnog koordinatnog

sustava OXYZ, koji se giba zajedno s kontrolnim volumenom, avion će mirovati, a činit će

mu se da na njega nastrujava zrak relativnom brzinom V suprotnom od brzine gibanja

aviona. Jednako tako u prethodnom primjeru u kojemu je profil mirovao, a na njega

nastrujavao fluid jednolikim profilom brzine v∞ , problem se mogao formulirati tako da je

fluid mirovao, a kroz njega se gibao profil konstantnom brzinom v∞ . S obzirom da je

gledano iz gibajućeg koordinatnog sustava takvo strujanje stacionarno, obično se koristi

V

x y

z

Z

X Y

V

o

O

koordinatni sustav

vezan za avion koordinatni sustav

vezan za Zemlju


kontrolni volumen vezan za tijelo koje se giba konstantnom brzinom. Jednako tako pri

modelskim ispitivanjima npr. aviona u zračnom tunelu, umjesto da se avion giba, on

miruje, a na njega se puše zrak.

S obzirom da je koordinatni sustav koji se giba pravocrtno konstantnom brzinom

inercijski, svi zakoni dinamike fluida za kontrolni volumen u takvom koordinatnom

sustavu će biti isti kao i za apsolutno mirujući koordinatni sustav s jedinom razlikom da

se umjesto apsolutne brzine (koju mjeri promatrač iz apsolutnog koordinatnog sustava)

koristi relativna brzina (koju mjeri promatrač iz koordinatnog sustava koji se giba

zajedno s kontrolnim volumenom).

Vezu između apsolutne i relativne brzine se može izvesti temeljem donje slike.

Neka je položaj neke čestice fluida u relativnom koordinatnom sustavu opisan vektorom

položaja ρ�

(kojemu su komponente koordinate X, Y i Z relativnog koordinatnog sustava).

Položaj iste te čestice fluida je u apsolutnom koordinatnom sustavu opisan vektorom

položaja r�

(kojemu su komponente koordinate x, y i z apsolutnog (mirujućeg koordinatnog

sustava). Iz slike je jasno da vrijedi

r R ρ= +�

� �

gdje je ( )R t�

vektor koji opisuje položaj (gibanje) ishodišta relativnog koordinatnog sustava

u vremenu t. Deriviranjem gornjeg izraza po vremenu dobije se

D d D

D d Dv u w

r R

t t t

ρ= +

� � �

��

ili v u w= +� � �

Gdje materijalna derivacija označuje vremensku promjenu položaja čestice fluida, odnosno

njenu brzinu. Tako je materijalna derivacija položaja gledano iz mirujućeg koordinatnog

sustava apsolutna brzina v�

koju mjeri promatrač iz mirujućeg koordinatnog sustava, a

materijalna derivacija vektora ρ�

označuje relativnu brzinu w�

čestice fluida, koju bi mjerio

promatrač koji se giba zajedno s relativnim koordinatnim sustavom. Brzina u�

označuje

brzinu gibanja relativnog koordinatnog sustava u odnosu na mirujući koordinatni sustav i

nazivamo ju prijenosnom brzinom. Za slučaj gibajućeg aviona, prijenosna brzina je

jednaka brzini aviona V�

, a ako zrak gledano iz apsolutnog koordinatnog sustava miruje

( v�

=0), onda je relativna brzina zraka koju mjeri instrument na avionu, prema gornjoj

formuli w v u V= − =−�

� � �

, kao što je i dano na slici.

x y

z

Z

Y

o

O

Relativni (gibajući)

koordinatni sustav

X

Apsolutni (mirujući)

koordinatni sustav

r�

R�

ρ�

u�

w�

v�

Brzine čine trokut

brzina v u w= +� � �


Primjer: Pogon kolica s pomoću mlaza

Slika (a): Nepomični spremnik, koji se promatra iz nepomičnog koordinatnog sustava. Pretpostavlja se da je

spremnik velik, tako da mu se razina fluida ne smanjuje značajno zbog istjecanja fluida kroz mlaznicu, i

pretpostavlja se da je pretlak Mp velik tako da se visinska razlika H može zanemariti. Bernoullijeva

jednadžba od slobodne površine do izlaza iz mlaznice glasi:

2

M

2

p v

g gρ= , odakle je M2 p

vρ

= (a)

Uslijed istjecanja fluida, na spremnik djeluje sila F koja je jednaka impulsnoj funkciji

2M2F I v A p Aρ= = = , (b)

gdje je A površina poprečnog presjeka mlaznice. S obzirom da se spremnik ne pomiče ova sila ne vrši

nikakav rad.

Protok fluida kroz mlaznicu je Q vA= , a prema jednadžbi kontinuiteta je brzina smanjena volumena fluida u

spremniku

d

d

VQ vA

t=− =− (c)

Slika (b): Kolica se gibaju brzinom u = konst., a strujanje se promatra iz relativnog koordinatnog sustava

vezanog na kolica. Svi zakoni su isti kao i u apsolutnom koordinatnom sustavu, samo se umjesto apsolutne

brzine koristi relativna brzina. Relativna brzina na slobodnoj površini približno je jednaka nuli, a iz mlaznice

fluid istječe relativnom brzinom w u odnosu na kolica. Bernoullijeva jednadžba vrijedi za relativnu brzinu i

glasi

2

M

2

p w

g gρ= , odakle je M2 p

wρ

= (d)

Dakle, relativna brzina je jednaka apsolutnoj brzini za slučaj mirovanja kolica. Sila na kolica jednaka je

impulsnoj funkciji računatoj s relativnom brzinom (jer je kontrolni volumen koji obuhvaća unutarnji dio

kolica definiran u relativnom koordinatnom sustavu), pa vrijedi:

2M2F I w A p Aρ= = = , (e)

Protok fluida kroz mlaznicu je definiran relativnom brzinom, relQ wA= , pa jednadžba kontinuiteta glasi

rel

d

d

VQ wA

t=− =− (f)

S obzirom da se kolica pomiču, sila fluida na kolica vrši rad, a snaga te sile je

2relP Fu w Au Q wuρ ρ= = = (g)

Slika (c): Pomična kolica kao na slici (b), koja se gibaju brzinom u = konst., ali se promatraju iz apsolutnog

koordinatnog sustava. S obzirom da se kolica pomiču, promatrač iz apsolutnog koordinatnog sustava će

vidjeti da se čestice fluida na slobodnoj površini gibaju brzinom kolica, a apsolutna brzina u izlaznom mlazu

je po definiciji v u w= +� � �

, tj. u ovom slučaju v w u= − . U Bernoullijevoj jednadžbi od slobodne površine

do izlaza iz mlaznice, gledano iz apsolutnog sustava treba uzeti u obzir da fluid vrši rad (predaje snagu za

gibanje spremnika), pa će snaga na izlazu biti manja za predanu snagu (visina pada energije je rel/( )P gQρ

gdje je relQ protok kojim fluid napušta spremnik, tj. koji sudjeluje u predaji snage spremniku), pa je

( )22 2 2 2

M

rel

2

2 2 2 2

w up u P v w uw u

g g gQ g g gρ ρ

− − ++ − = = =

Ako se ( )M /p gρ zamijeni s ( )2 / 2w g prema jednadžbi (d) slijedi da je relP Q wuρ= , kao i u jednadžba (g).

(a)

pM pM pM

pa

0v≈ 0w≈

M2 pv

ρ=

ρ ρ ρ

M2 pw

ρ=

pa

u u

( )

v w u

v u w

= −

= +� � �

pa

v u=

(b) (c)

I I

0H ≈

Documents

MEHANIKA FLUIDA I – Što valja zapamtiti - FSB Online · PDF file• Osim tla čnih sila u sustavu djeluju i sile trenja (u fluidu su to viskozne sile). Budu ći ... MEHANIKA FLUIDA