mehanika-otpornost (1)

Otpornost materijala

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja

Osnovni pojmovi


Kruto telo Rastojanje ma koje 2 tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet proučavanja mehanike

Čvrsto telo Rastojanje ma koje 2 tačke se menja pod dejstvom sila, realna tela koja mogu da se deformišu menjaju svoj oblik i veličinu PREDMET IZUČAVANJA OTPORNOSTI MATERIJALA

10/24/2009

2

Predmet izučavanjaotpornosti materijala - vrste čvrstih tela

Štap

Ploča

Ljuska

Masiv

a

b

d

d

d

<< a

<< b

d


Štap

Telo čija je dužina znatno veća od njegovih dimenzija poprečnog preseka

Prema obliku

Prav ili

Kriv

Prema poprečnom preseku

Pun (masivan)

Tankozidni sa otvorenim ili zatvorenim profilom

popre ni presekč

osa štapa

težište preseka


10/24/2009

3

Zadatak otpornosti materijala

Proračun čvrstoćeOdreĎivanje dimenzija elemenata, zavisno od odabranog

materijala,

koji isključuju mogućnost loma

Proračun krutosti (deformabilnosti)Dimenzije koje obezbeĎuju deformacije u odreĎenim granicama

OdreĎivanje deformacija tog elementa pod opterećenjem

Proračun stabilnosti Da element pod opterećenjem zadrži prvobitni oblik u eksploataciji

i ne izgubi stabilnu ravnotežu


Osnovne pretpostavkeotpornosti materijala

Neprekidnost materijala

Homogenost materijala

Izotropnost materijala (u svim pravcima)

Elastičnost materijala


10/24/2009

4

Podela sila koje deluju

Spoljašnje

Unutrašnje


Osnovne pretpostavkeotpornosti materijala

Pretpostavka o linearnoj zavisnosti napona i deformacija (Hukov zakon)

Princip početnih dimenzija (deformacije su male)

Princip nezavisnosti dejstva sile (superpozicije)

Princip Sen-Venana


10/24/2009

5

Spoljašnje sile se dele:

Aktivne

Reaktivne

Po mestu delovanja

zapreminske

površinske

linijske

koncentrisane

Po karakteru dejstva

statičke

dinamičke

udarne


Spoljašnje i unutrašnje sile

Telo je u ravnoteži kada na njega deluju dve sile jednakih veličina, kolinearne i suprotnih smerova

Prema zakonu akcije i reakcije:

Usled dejstva tereta, spoljašnjih sila, pojaviće se sile koje se odupiru dejstvu spoljašnjih sila - unutrašnje sile

G G

L

z

zFU

FU

G

+

I I I I

Szi = G - F = 0u

I I


10/24/2009

6

Naprezanja, naponi i deformacije

Kada čvrsto telo napadaju spoljašnje sile kažemo da je NAPREGNUTO ili u stanju naprezanja

Pod uticajem spoljnih sila telo donekle menja svoj oblik i zapreminu

DEFORMIŠE SE


Osnovne vrste naprezanja:

Aksijalno naprezanje

Smicanje

Uvijanje

Savijanje

Izvijanje


10/24/2009

7


Zatezanje

Pritisak

Aksijalno naprezanje izazivaju sile kolinearne sa osom štapa ili više sila čija je rezultanta u pravcu ose štapa


F

F

- F

+ Fz

- F

+ F

Smicanje


- F

+ F

Ako deluju samo transferzalne (poprečne) sile, naprezanje je čisto smicanje

10/24/2009

8

Uvijanje - torzija


Ako u preseku deluje samo moment torzije naprezanje je čisto uvijanje - torzija

- F

+ F

m t

m A

A

B

Savijanje


m B

ABm

A

Ako u preseku deluje samo moment savijanja naprezanje je čisto savijanje

10/24/2009

9

Izvijanje


- F

+ F Ako je štap napregnut

aksijalnim silama a poprečni presek štapa mali u odnosu na dužinu štapa (vitki štapovi) nastaće slučaj izvijanja vlakana, jer vlakna prelaze u krive linije

Savijanje proste grede silama


A B

F1F2

Savijanje i smicanjePostojanje momenta savijanja

izaziva savijanje

Postojanje transverzalne sile - izaziva smicanje

10/24/2009

10

Savijanje konzole silom


A

B

F

Savijanje i smicanjePostojanje momenta savijanja

izaziva savijanje


Uvijanje konzole silom na kraku


AB

F

Savijanje, uvijanje i smicanje

Postojanje momenta uvijanja izaziva uvijanje

Postojanje momenta savijanja izaziva savijanje


10/24/2009

11

Unutrašnje sile. Metoda preseka


Preseći telo zamišljenom ravni na mestu gde treba odrediti unutrašnje sile

Odbaciti jedan deo

Dejstvo odbačenog dela zameniti silama

Postaviti statičke jednačine ravnoteže

Odrediti unutrašnje sile, komponente glavnog vektora i glavnog momenta



Preseći telo zamišljenom ravni na mestu gde treba odrediti unutrašnje sile

F1Fn

F3 Fm

Fo

F2

III

10/24/2009

12



Odbaciti jedan deo

Dejstvo odbačenog dela zameniti silama

F1

F3

F2

I



Postaviti statičke jednačine ravnoteže

Odrediti unutrašnje sile, komponente glavnog vektora i glavnog momenta

F1

F3

F2

I

S x = 0S y = 0

S x = 0SM x = 0

SM y = 0SM z = 0

F

FF

FR

MR

10/24/2009

13



Fn

Fm

FoFyFx

FzM z

M xM y

x

z

y

II

F1

F3

F2

FyFx

Fz M z

M x

M y

x

z

C

y

I

Naponi, sile u preseku


Odnos unutrašnje sile i površine na koju ona deluje, mera intenziteta sile, je srednji napon psr

Ukupan napon p je vektor kolinearan je sa vektorom sile F

DF

DF DF dF

F1

F3

F2

I n

t

M

DA

DA DA dADA 0p = sr p = lim =

a

10/24/2009

14

Napon


Odnos unutrašnje sile DF koja deluje na površinu DA preseka opterećenog tela, ako veličina ove površine teži ka nekoj graničnoj vrednosti - ako ovu površinu smanjujemo do beskonačno malih dimenzija, sužavajući njenu konturu oko tačke M.

Granična vrednost ovog odnosa, koju definiše intenzitet unutrašnjih sila koje deluju na datu površinu u posmatranoj tački M, zove se NAPON.

Naponi, normalni i tangencijalni


Normalni napon s(sigma) - izduženje ili skraćenje

Tangencijalni napon

t (tau)

F1

F3

F2

I n

t

M

DA

p

s

t a

s tp = +2 2

10/24/2009

1


Geometrijske karakteristike

poprečnog preseka

Geometrijske karakteristike

poprečnog preseka

Površina poprečnog preseka

Statički moment poprečnog preseka

Momenti inercije poprečnog preseka


10/24/2009

2


x

y

C

A

CkCn-1

Cn

C3

C1

C2 C5

A1

A3

An

A2

1

2

n

3

nnn yxCyxCyxCyxC ;...;;; 331221111

nAAAA ...,,, 321



n

n

i

i AAAAAA

...321

1

2LDimenzija Jedinica 2m

A

dAA


10/24/2009

3

Statički moment površine za osu

dAx

x

y

yr

A A

x ydAS

A

y xdAS



Statički moment

Za složenu površinu koja se sastoji od više prostih površina, statički moment za neku osu jednak je zbiru statičkih momenata pojedinih prostih površina u odnosu na istu osu

n

i

iinn

nA

x yAyAyAyAydAydAydAydAydAS1

2211

321

......

n

i

iinn

nA

y xAxAxAxAxdAxdAxdAxdAxdAS1

2211

321

......


10/24/2009

4

Koordinate težišta

dAx

x

y

y

r

xC

yC

C

A

Po Varinjonovoj teoremi:

(moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenata)

A

S

dA

xdA

xy

A

AC

A

S

dA

ydA

y x

A

AC


Primer :6

22

R2

x

y


10/24/2009

5

Brojni primer:

0;85.028,6

67.0;226

1;312

13

2

11

CA

CA

CA

C3

C1

C2

x

y

1

0.6

7

2

3

2

6

R2

4


Brojni primer:

2

31 28,2428.66122

cmAAAA

3

333

3

222

3

111

0028.6

02.4)67.0(6

12112

cmyAS

cmyAS

cmyAS

x

x

x

3

333

3

222

3

111

34.5)85.0(28.6

1226

36312

cmxAS

cmxAS

cmxAS

y

y

y

3

321 98.7002.412 cmSSSS xxxx

3

321 66.4234.51236 cmSSSS yyyy


10/24/2009

6

Brojni primer:

cmA

Sx

y

C 75.128.24

66.42

cmA

Sy x

C 32.028.24

98.7

C3

C1

C

C2x

y

x

h


Karakteristike statičkih

momenata poprečnog preseka

Za osu simetrije statički moment površine jednak je nuli jer ova osa prolazi kroz težište.

Ako površina ima dve ose simetrije ili više takvih osa, težište se nalazi u presečnoj tački tih osa

Kososimetrične površine imaju težište u tački kose ose simetrije

Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli


10/24/2009

7

Momenti inercije ravnih povšina

Aksijalni moment inercije

Centrifugalni moment inercije

Polarni moment inercije

dAxIdAyIA

y

A

x

22

dAxyIA

xy

dArIA

o

2



dAx

x

y

y

r

A

O

A

x dAyI 2

A

y dAxI 2

Aksijalni moment inercije površine predstavlja zbir proizvoda

svih elementarnih površina i kvadrata njihovih rastojanja od

odgovarajuće ose u ravni te površine



10/24/2009

8


dAx

x

y

y

rA

O

A

yx dAyxI

Centrifugalni moment površine predstavlja zbir proizvoda

svih elementarnih površina i oba njihova rastojanja od osa

u ravni te površine




dAx

x

y

y

r

A

O

A

O dArI 2

Polarni moment inercije u odnosu na pol O u ravni te

površine predstavlja proizvod svih elementarnih površina i

kvadrata njihovih rastojanja od tog pola

yx

AAA

O IIdAydAxdAyxI 2222

222 yxr



10/24/2009

9

Karakteristike momenata inercije

Aksijalni i polarni moment inercije su uvek

pozitivni

Centrifugalni moment inercije može biti veći,

manji ili jednak nuli

Svaka površina ima bar jedan par osa za koje je

centrifugalni moment inercije jednak nuli


Znak polarnog momenta inercije

x

y

I >0xy

x

y

I <0xy

x

y

I <0xy

I >0xy

I >0xy

I <0xy


10/24/2009

10

Momenti inercije za paralelno pomeren

koordinatni sistem (Štajnerova teorema)

Moment inercije za ose

težišne xOhdAx

x

y

y

A

O

x

x

hh

a

b

O1

C

x=a+ x

y=b+ h

A

dAI 2hx

A

dAI 2xh

A

dAI xhxh

Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli




U izrazima za

momente inercije

za X i Y osu

vrednosti

koordinata x i y

zamenjujemo

vrednostima,

prema slici

dAx

x

y

y

A

O

x

x

hh

a

b

O1

C

x=a+ x

y=b+ h

hx byax


10/24/2009

11


koordinatni sistem (Štajnerova teorema)hby

AA

x dAbdAyI22 h

AAA

x dAbdAbdAI 22 2 hh

AbSbII x

22 xx

AbII x

2 x

Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelne težišne ose z




xax

AA

y dAadAxI22 x

AAA

y AaSaIdAadAadAI 222 22 hhxx

AaII y

2 h

Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelne težišne ose z


10/24/2009

12



hx byax

AA

yx dAbaxydAI hx

abASbaSII xy hxxh

AAAA

yx dAabdAbdAadAI xhxh

Ako osa prolazi kroz težište statički moment površine za tu osu jednak je nuli, a b je udaljenost x ose od paralelne težišne ose z, dok je a udaljenost yose od paralelne težišne ose h,

abAII xy xh




Kada se koordinatni početak sistema xO1h poklapa sa težištem tada su ose x i h težišne ose

Statički moment za težišne ose jednak je nuli, a koordinate

dAx

x

y

y

A

O

x

x

hh

a

b

O1

C

x=a+ x

y=b+ h

0 hx SS

axby cc ;


10/24/2009

13



Momenti

sopstveni momenti inercijeProizvod površine preseka i udaljenosti od ose – osa naziva se

položajni moment inercije

dAx

x

y

y

A

O

x

x

hh

a

b

O1

C

x=a+ x

y=b+ h

xhhx IiII ,

abAAaAb ,, 22




Momenti inercije za težišne ose xOh nazivaju se sopstveni momenti inercije

Momenti inercije za vantežišne ose jednakisu zbiru sopstvenih momenata inercije i položajnih momenata inercije

dA

x

x

y

y

A

O

x

h

a

b

O1

C

x=a

y=

b

kada su žišneose

x h, te


10/24/2009

14


koordinatni sistem (Štajnerova teorema)byax

AbII x

2 x

AaII y

2 h

abAII xy xh

Za težišne ose x, h za paralelno pomeren koordinatni sistem izrazi za momente dobijaju oblik

Moment inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem

jednak je zbiru sopstvenog momenta inercije(uvek za

težišne ose) i položajnog momenta inercije




Moment inercije za vantežišne paralelne ose

jednak je zbiru sopstvenih momenata inercije

(težišnih) i položajnih momenata inercije

AyxII

AxII

AyII

CCxy

Cy

Cx

xh

h

x

2

2

Napomena: rastojanja xc i yc

uzimati sa svojim znakom


10/24/2009

15



Moment inercije za paralelne težišne ose jednak je

razlici momenata inercije za vantežišne paralelne

ose i položajnih momenata inercije

AyxII

AxII

AyII

CCxy

Cy

Cx

xh

h

x

2

2

Napomena: rastojanja xc i yc

uzimati sa svojim znakom


Momenti inercije za zaokrenuti

koordinatni sistem (za težišne ose)

Poznati su momenti

inercije za težišne

ose xCy Ix, Iy, Ixy

Za neki zaokrenuti

za ugao j

koordinatni sistem

uCv treba odrediti

momente inercije Iu,

Iv, Iuv

dA

x

x

v

v

u

u

y

y

A

CP

Q

MN

j

j


10/24/2009

16



dAx

v

u

u

y

y

CP

Q

MN

j

j v

x

jj cossin xyCMPQCMMNu

jj sincos xyMPSQNQSQu




A AAAA

u xydAdAxdAydAxydAvI jjjjjj cossin2sincossincos 222222

jjjj cossin2sincos 22

xyyxu IIII

A AAAA

v xydAdAxdAydAxydAuI jjjjjj cossin2cossincossin 222222

jjjj cossin2cossin 22

xyyxv IIII

xydAdAxdAyuvdAIAAA

uv jjjj 2222 sincoscossin

jjjj 22 sincoscossin xyyxuv IIII

Koristeći transformaciju koordinata dobijaju se:


10/24/2009

17

Momenti inercije za za okrenuti

koordinatni sistem (za težišne ose)Kako je:

,2cos12

1cos2 jj ,2cos1

2

1sin2 jj

jjj 2sincossin2 jjj 2cossincos 22

Izrazi za izračunavanje težišnih momenata inercije za zaokrenute ose sada su

jj 2sin2cos2

1

2

1xyyxyxu IIIIII

jj 2sin2cos2

1

2

1xyyxyxv IIIIII

jj 2cos2sin2

1xyyxuv IIII

Ako su poznati momenti inercije za jedan par težišnih osa bez integraljenja

mogu se izračunati momenti inercije za zaokrenute težišne ose


Glavni momenti

inercije i glavne ose inercijeKako se drugi izraz za moment može dobiti iz prvog zamenom j sa j+90

o

analiziraju se drugi i treći izraz

Navedeni izrazi su neprekidne funkcije ugla j pa se mogu odrediti ekstremne vrednosti:

jj 2sin2cos2

1

2

1xyyxyxu IIIIII

jj 2cos2sin2

1xyyxuv IIII

02cos22sin jjj

xyyxu III

d

dI

argument j koji zadovoljava ovu jednačinu obeležimo sa a

2cos:02cos22sin xyyx III

yx

xy

II

Itg

22


10/24/2009

18

Glavni momenti

inercije i glavne ose inercije

22tg

2

1

2

tg

1

Ugao određuje položaj glavnih težišnih osa

222421

12cos

xyyx

yx

III

II

tg

2224

2

21

22sin

xyyx

xy

III

I

tg

tg

22

1max 42

1

2

1xyyxyx IIIIIII

22

2min 42

1

2

1xyyxyx IIIIIII

012

IIuv j

yx

xy

II

Itg

22


Glavni momenti

inercije i glavne ose inercije Za težišne ose za koje aksijalni momenti inercije

imaju ekstremne vrednosti, centrifugalni moment

inercije je jednak nuli.

I obrnuto ako je za dve upravne težišne ose

centrifugalni moment inercije jednak nuli, onda

aksijalni momenti za te ose imaju ekstreme


10/24/2009

19

Elipsa inercije

x

x

i2

i2

i 1i 1

y

u

y

j

(1)

(2)

C

N(x,y)

Za površinu A poznate su glavne težišne ose

(1) i (2) i glavni težišni momenti inercije I1 i I2 .

Za proizvoljnu težišnu osu u pod uglom j dobija se

Deljenjem leve i desne strane sa

površinom A dobija se

jj 2

2

2

1 sincos IIIu

A

Ii uu

A

Ii

A

Ii 2

21

1 ,

jj 2

2

2

1 sincos iiiu

Poluprečnici inercije za glavne ose

Poluprečnik inercije za osu u


Momenti inercije pravougaonika

bdydAbh

dyybdAyI

h

A

x ,3

3

0

22

hdxdAhb

dxxhdAxI

b

A

y ,3

3

0

22

22,, h

Cb

C yxbhA

bdydAbh

ydyb

ydAxydAI

hb

b

A

xy ,42

22

0

2

0

2

Za težišne ose x i h

1243

3232 bh

bhhbh

AyII Cx x

1243

3232 hb

bhbhb

AxII Cy h

0224

32

bhhbbh

AyxII CCxyxh

x

x

y

dy

dx

y

x

yC

xC

b

h C

h


10/24/2009

20

Momenti inercije i elipsa inercije

pravougaonika

x

y

b

h

C

T

D

i xiy

iD0,

12,

12

33

xyyx Ihb

Ibh

I

Za težišne ose obeležene sa x i y

momenti inercije iznose:

Poluprečnici inercije su

bbb

bh

hb

A

Iii

y

y 29,06

3

12

122

3

2

hhh

bh

bh

A

Iii x

x 29,06

3

12

122

3

1

Za proizvoljnu osu tangenta paralelna sa

odabranom osom, i rastojanje od C do tačke dodira

tangente T je iD.2

DD iAI


Podaci iz tablica za krug

R

y

xC

D

2

2

4r

DA

4444

7854,00491,0464

rDrD

II yx

24

rDii yx

0xyI


10/24/2009

21

Podaci iz tablica za polovinu kruga

R

e1

e2

y

x

x1

C

28

22 rDA

444 0069.01098.09

8

8DrrI x

DereDr

e 2878.0;2122.03

4121

4444

025.0392.01288

DrDr

I y

4444

1 025.0392.01288

DrDr

I x


Postupak pri određivanju momenata

inercije složene površine

1. Izabrati koordinatni sistem Oxy i odrediti položaj

težišta

2. Odrediti momente inercije za težišne ose svake

površine, pa primenom Štajnerove teoreme

odrediti momente inercije za težišne ose složene

površine

3. Odrediti ugao glavnih centralnih osa inercije

4. Odrediti glavne centralne momente inercije

5. Odrediti poluprečnike elipse inercije i nacrtati

elipsu inercije


10/24/2009

22

Primer izračunavanja momenata za

složenu površinu

x

y

1

1

14

6.5

6.5

3.5

3.5

C1

C2

C3

5.6;5.3;818

,5.6;5.3;818

,0;0;12112

33

22

11

CA

CA

CA

Odabrati ose x i y i odrediti težište

3

3

3

3

3

2

3

2

3

1

3

1

52,28

52,28

,0,0

cmScmS

cmScmS

cmScmS

yx

yx

yx

08812

28280

321

321

AAA

SSSx xxx

C

08812

52520

321

321

AAA

SSSy

yyy

C



složenu površinu

x

y

1

1

14

6.5

6.5

3.5

3.5

C1

C2

C3

3

2

332

2

221 AyIAyIII CxCxxx

Odrediti momente inercije za ose x i y

3

2

332

2

221 AxIAxIII CyCyyy

333322221 AyxIAyxIII CCxyCCxyxyxy


10/24/2009

23


složenu površinu


433

1 14412

121

12cm

bhI x

433

1 112

121

12cm

hbI y

y = y1

12 C1

x = x1

4

11 0cmI yx



složenu površinu


433

32 66.012

18

12cm

bhII xx

433

32 66.4212

18

12cm

hbII yy

y 2

x 2

1

C2

84

3322 0 cmII yxyx


10/24/2009

24


složenu površinu

4

22

822

85.666.085.666.0144

cmI

I

x

x


4

22

282

85.366.4285.366.421

cmI

I

x

y

4364

85.65.3085.65.300

cmI

I

xy

xy

x

y

1

1

14

6.5

6.5

3.5

3.5

C1

C2

C3

C



složenu površinu

72.26433.533481.12

3481.128233.821

364222

arctg

II

Itg

yx

xy

Odrediti ugao glavnih osa

22

1max 42

1

2

1xyyxyx IIIIIII

22

2min 42

1

2

1xyyxyx IIIIIII

012

IIuv j

x

y

C

(2)

(1)

26.72o

22

1max 36442828222

1282822

2

1 II

4

1max 1006cmII 22

1max 36442828222

1282822

2

1 II

4

2min 99cmII

012

IIuv j


10/24/2009

25


složenu površinu

Poluprečnici inercije

cmA

Ii 66.5

28

100611

cmA

Ii 88.1

28

9922 x

y

C

(2)

(1)

26.72o




1. Podeliti složenu površinu na određen broj manjih površina za koje je lako odrediti:Težište površine

Statičke momente inercije površina za težišne ose

Sopstvene momente inercije površine za težišne ose

Aksijalne momente inercije površine za težišne ose

Centrifugalne momente inercije površine za težišne ose

Polarne momente inercije površine za težišne ose


10/24/2009

26




težišta

3. Odrediti momente inercija za težišne ose svake

površine pa primenom Štajnerove teoreme


površine




elipsu inercije


Napomene pri određivanju momenata


Treba koristiti simetriju – težište složene površine je uvek na osi simetrije

Osa simetrije je ujedno i jedna glavna osa inercije, a druga glavna osa prolazi kroz težište i upravna je na prvu

Ako površina ima više osa simetrije težište je u njihovom preseku a one su ujedno i glavne ose inercije

Za glavne ose uvek je centrifugalni moment inercije jednak nuli


10/24/2009

27

Primer :6

22

R2

x

y


Brojni primer:

0;85.028,6

67.0;226

1;312

13

2

11

CA

CA

CA

C3

C1

C2

x

y

1

0.6

7

2

3

2

6

R2

4


10/24/2009

28

Brojni primer:

cmA

Sx

y

C 75.128.24

66.42

cmA

Sy x

C 32.028.24

98.7

C3

C1

C

C2x

y

x

h


Brojni primer:

C1

C

x1

y1

x

h

67.0;24.112 1

2

1 CcmA

433

1 412

26

12cm

bhI x

433

1 3612

26

12cm

hbI y

011 yxI


10/24/2009

29

Brojni primer:

1;.24.06 1

2

2 CcmA

433

2 33.136

26

36cm

bhI x

433

2 1236

26

36cm

hbI y

y2

CC2

x

h

x2

42222

22 272

26

72cm

hbI yx


Brojni primer:

0;61.228.6 1

2

1 CcmA

444

3 28.68

2

8cm

rI x

424

24

3 76.164972

2649

72cm

rI y

033 yxI

y3

C3

C x

h

x3


10/24/2009

30

Brojni primer:

3

2

332

2

221

2

11 AIAIAII xxx hhhx

3

2

332

2

221

2

11 AIAIAII yyy hxxh

42328.6633.138.54 cmI x

43.11175.178.4234.01245.1836 cmI h

233332222211111 AIAIAII yxyxyx hxhxhxxh

453.10061.228.601624.021267.024.10 cmI xh


Rezime


Statički moment površine poprečnog preseka

Težište površine




Štajnerova teorema - sopstveni + položajni

Momenti inercije za zaokrenuti koordinatni sistem

Glavni momenti inercije i glavne ose inercije

Elipsa inercije i glavne težišne ose


10/24/2009

31




težišta

2. Odrediti momente inercija za težišne ose svake

površine, pa primenom Štajnerove teoreme


površine




elipsu inercije


11/1/2009

4


Zatezanje

Pritisak


F

F

- F

+ Fz

- F

+ F


Aksijalno naprezanje (zatezanje ili pritisak) je takvo naprezanje pri kome se u poprečnim presecima opterećenog dela, najčešće štapa, javljaju samo aksijalne unutrašnje sile (unutrašnje sile su u pravcu uzdužne ose štapa)


11/1/2009

5


Aksijalno naprezanje izazivaju sile kolinearne sa osom štapa ili više sila čija je rezultanta u pravcu ose štapa


F

F

- F

+ Fz

- F

+ F

Kod aksijalnog naprezanjapostoje samo normalni naponi


Normalni napon s (sigma) - izduženje ili skraćenje

Nema tangencijalnih napona t (tau)

F1

F3

F2

I nM

A s

11/1/2009

6

Unutrašnje sile i naponi

0

0

az

Az

FFF

FFF


Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila

Dijagram promene aksijalne sile

Zanemaren je uticaj težine štapa,posmatra se homogeni štap konstantnog poprečnog preseka

FA

FA

Fa

F

F

B

B

A

A

I

I

+


0

0

az

Az

FFF

FFF


Za proizvoljni zamišljeni normalni presek važe uslovi ravnoteže:

FA

Fa

s

F

F

F

B

B

B

AI

I

I

I

I

I

11/1/2009

7



A

F

AdAdAF

a

AA

a

s

sss

Normalni napon konstantan u svakoj tački poprečnog preseka

Poprečni presek nepromenljiv čitavom dužinom štapa

Normalan napon dobija se kao odnos sile po površini

Jedinica MPa

Stare jedinice: kp/mm2

i kg/cm2

FA

Fa

s

F

F

F

B

B

B

AI

I

I

I

I

I

Deformacije kod aksijalnog naprezanja

F

F

F

F

l

l l

l1

Čelični štap dužine l deformisaće se pod dejstvom sile zatezanja F

Dužina će se povećati za l

Ukoliko su veće aksijalne sile utoliko su veća i izduženja


11/1/2009

8


Čelični štap dužine l deformisaće se pod dejstvom sile pritiskanja F

Dužina će se smanjiti za l

Ukoliko su veće pritisne aksijalne sile utoliko su veća i skraćenja

F

F

F

F

l

l

l



Deformacija (u oba slučaja) je u promeni dužine štapa

Deformacija je zavisna od veličine aksijalnih sila te raste ukoliko su sile veće

Uz odgovarajuću opremu moguće je snimiti zavisnost izmeĎu spoljašnjeg opterećenja (aksijalnih sila) i odgovarajućih deformacija


11/1/2009

9

Dijagram sile i deformacije čelične šipke

l

mm

F

kN


Dijagrami napona i dilatacije

Dijagram sile i izduženja zavisi od dimenzija šipke

Za svaku ispitivanu šipku dobio bi se sličan dijagram

Da bi se otklonile neusaglašenosti i dobileporedive vrednosti izvršena je

standardizacija metodologije ispitivanja

i epruvete koje se koriste


11/1/2009

10

Dijagrami napona i dilatacije

Za debele materijale propisane su prave cilindrične epruvete

Za limove propisane su pljosnate epruvete

Propisane su i dužine epruveta i to:

DUGAČKE

KRATKE

00 10 dl

00 5 dl


Standardna epruveta za ispitivanje zatezanjem


11/1/2009

11

Ispitivanje zatezanjem na hidrauličnoj kidalici


Savremene mašine za ispitivanje zatezanjem


11/1/2009

12

Dijagrami sila - izduženje za različite materijale


Dijagram sila – izduženje dijagram napon - dilatacija

Umesto izduženja naneti odnos izduženja i prvobitne dužine

e – Dilatacija, neimenovan broj

0

0

l

le


11/1/2009

13

Dijagram sila – izduženje dijagram napon - dilatacija

Umesto sile naneti odnos sile i površine poprečnog preseka

s – Napon MPa 0A

Fs

Prema važećim standardima napon se označava sa R


Dijagram napon - dilatacija

e

sM Pa

Dijagram napon - dilatacija za meki čelik


11/1/2009

14

Karakteristične tačke na dijagramu napon - dilatacija

e

s M Pa

P

ETG

TD

M

K

a

sP

sM

sE

P - granica proporcionalnostiE - granica elastičnostiTg -gornja granica tečenjaTd - donja granica tečenja

M - maksimalna čvrstoćaK - tačka prekida

tg =Ea


Hukov zakon

Od koordinatnog početka do tačke P postoji proporcionalnost izmeĎu napona i dilatacije

E – koeficijent proporcionalnosti MODUL ELASTIČNOSTIili Jungov modul dimenzija MPa

es E


11/1/2009

15

Hukov zakon

Hukov zakon u obliku s=Ee

Zamenom u izrazu za dilataciju kao e=l/lo

Napon kao odnos s=F/A

Dobija se izraz za Hukov zakon u obliku

AE

lFl

ee 11 llllll

Dužina šipke posle prekida


Poasonov koeficijent m

e – uzdužna dilatacija

eP – poprečna dilatacija

koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne Poasonov koeficijent je neimenovan broj

l

l1

b

h

epb

eph

eme p


11/1/2009

16

Poasonov koeficijent

Izračunavanjem zapremina pre i posle deformacije dobija se zapreminska dilatacija kao

mee 21V

V

VV

V

V

hblhblV

hblV

V

1

2

111 11

e

mee


Poasonov koeficijent i modul elastičnosti

0,3

0,34

0,33

0,37

0,25

1/6

m [-]

2.1 . 105

0.7 . 105

1.1 . 105

1.0 . 105

1.0 . 105

0.3. 105

E [ M Pa ]

Čelik

Materijal

Aluminijum

Bakar

Mesing

Sivi liv

Beton


11/1/2009

17

Dimenzionisanje aksijalno napregnutog štapa, dozvoljeni napon, stepen sigurnosti

Obrasci u otpornosti materijala izvedeni su na osnovu Hukovog (Robert Hooke) zakona, to jest zakona proporcionalnosti

Pri dimenzionisanju delova treba to poštovati, pa dozvoljeni napon merodavan za proračun mora biti manji od napona na granici proporcionalnosti što se postiže uvoĎenjem stepena sigurnosti


Dozvoljeni napon mora biti manji od napona na granici proporcionalnosti

e

s M Pa

P

ETG

TD

M

K

a

sP

sM

sE

P - granica proporcionalnostiE - granica elastičnostiTg -gornja granica tečenjaTd - donja granica tečenja

M - maksimalna čvrstoćaK - tačka prekida

tg =Ea


11/1/2009

18

Dimenzionisanje aksijalno napregnutog štapa, dozvoljeni napon, stepen sigurnosti

Stepen sigurnosti je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, ili granice tečenja materijala od kog je proračunavani štap i dozvoljenog napona


doz

TT

doz

MM

s

s

s

s

Dozvoljeni napon

Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti


sss M

ddoz

11/1/2009

19

Stepen sigurnosti

Zavisno od toga na koju karakteristiku se odnosi, razlikuju se:

Stepen sigurnosti u odnosu na zateznu čvrstoću

Stepen sigurnosti u odnosu na granicu tečenja


doz

TT

doz

MM

s

s

s

s

Na izbor veličine stepena sigurnosti utiču

Tačnost odreĎivanja spoljašnjih sila

Način dejstva spoljašnjih sila

Namena projektovane konstrukcije

Zakonska regulativa za odreĎene projekte

Osobine primenjenih materijala


11/1/2009

20

Stepen sigurnosti prema vrsti opterećenja

1. Mirno opterećenje

2. Jednosmerno promenljivo

3. Naizmenično promenljivo


Stepeni sigurnosti

U okviru ovog kursa biće korišćeni stepeni sigurnosti u odnosu na zateznu čvrstoću

Biće rešavani primeri sa mirnim opterećenjima


11/1/2009

21

Stepen sigurnosti

Vrednosti stepena sigurnosti u odnosu na zateznučvrstoću koji se sreću u literaturi:

Za čelik termički neobraĎen

za mirno opterećenje 2.5-3

za naizmenično promenljivo 5-6

Za liveno gvožĎe

za mirno opterećenje 3-6

za naizmenično promenljivo 5-12


Primer primene stepena sigurnosti

Iz tablica karakteristika materijala za odreĎen materijal očitava se zatezna čvrstoća

Primer za Č.0545

sM = 500-600 MPa seH=280-300 MPa


MPaMdoz 176

3

500

ss

11/1/2009

22

Napon aksijalno napregnutog štapa

Napon aksijalno napregnutog dela mora biti manji ili jednak dozvoljenom naponu

Normalni napon ili napon kod zatezanja predstavlja količnik aksijalne sile i površine poprečnog preseka


dozA

Fss

MPa

Kod aksijalnog naprezanja postoje tri osnovna zadatka

Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona

Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka

Poznati su poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalne sile


A

Fs

doz

FA

s

AF doz s

11/1/2009

23

Definisanje veličine napona aksijalno napregnutog štapa

Odrediti vrednosti opterećenja odnosno aksijalnu silu koja deluje na štap

Izračunati površinu poprečnog preseka štapa

Izračunati napon koji nastaje delovanjem aksijalne sile

Uporediti vrednost sa odreĎenim dozvoljenim naponom


dozA

Fss MPa

Dimenzionisanjeaksijalno napregnutog štapa

Odrediti vrednost aksijalne sile koja deluje na štap

Odrediti dozvoljeni napon za odabrani materijal

Sračunati potrebnu površinu preseka


doz

FA

s m2

11/1/2009

24

Za dimenzionisani štap odrediti vrednost aksijalne sile

Odrediti površinu preseka

Odrediti dozvoljeni napon za poznati materijal i definisani stepen sigurnosti

Sračunati maksimalnu aksijalnu silu


AF doz s N

Preporuke pri dimenzionisanju

1. Veličina aksijalnog opterećenja - statika

2. Površina poprečnog preseka

3. Normalni napon za poprečni presek -

stepen sigurnosti

4. Za odabrani materijal dozvoljeni napon

5. Veličina poprečnog preseka

6. Veličina opterećenja za poznatu površinu i materijal


11/1/2009

25

Uticaj temperature na deformacije i napone

Pod uticajem toplote sva tela se šire

Širenje zavisi od materijala i temperaturne razlike

Promena dužine štapa proporcionalna je dužini štapa, vrsti materijala i promeni temperature



tl

l

lll

tll

ae

a

1

l l

l1


11/1/2009

26


Koeficijent linearnog širenja 1Coa

12 . 10-6

23 . 10-6

17. 10-6

19. 10-6

9. 10-6

a [ C ]o -1

Čelik

Materijal

Aluminijum

Bakar

Mesing

Sivi liv


Unutrašnje sile i naponi usled zagrevanja

0

0

az

BAz

FFF

FFF


Ravnoteža spoljašnjih i unutrašnjih sila

Dijagram promene aksijalne sileza statički neodreĎen nosač

Usled promene toplote nastaje izduženje štapa

Pošto izmeĎu oslonaca ne dolazi do izduženja, raste napon u samom štapu

11/1/2009

27

Unutrašnje sile i naponi usled zagrevanja


12 ttt Ako je nastala deformacija u zoni elastičnosti materijala, za postojeću temperaturnu razliku nastala bi dilatacija

Prema Hukovom zakonu napon je definisan kao proizvod modula elastičnosti i dilatacije

Može se odrediti i unutrašnja sila

tl

l

ae

tE as

oa

o

a AFA

F ss

es E

tll a

Napon u kosom preseku aksijalno napregnutog štapa

A

Fs

A

Fp

F F

Ako analiziramo aksijalno napregnut štap i neki presek pod uglom


11/1/2009

28


U svakoj tački poprečnog preseka aksijalno napregnutog štapa javlja se normalni napon s, a tangentnog napona t nema

(napon je vektorska veličina ima pravac, smer i intenzitet)

U kosom preseku aksijalno napregnutog štapa javlja se totalni napon p

A

Fs

A

Fp



A

Fs

A

Fp

F F



11/1/2009

29


A

Fs

A

Fp




Ako analiziramo uočeni normalni presek i kosi presek pod uglom

A

Fs

A

Fp

s

ss

s

cos

cos

cos

0

A

A

A

Ap

AA

AApFz

s p


11/1/2009

30


Komponente napona u pravcu normale i tangente na posmatrani kosi presek

sst

sss

2sin2

1cossinsin

2cos12

1coscos 2

p

p

p

p

s

t

s

p

nA A

t



Najveći normalni naponi su za =0o smax=s ,

a najmanji, odnosno jednaki nuli za =90o smin=0

Najveći tangencijalni i najmanji naponi su za

=45o tmax,min=+- 1/2 s

22

2sin2

12cos1

2

1

ts

stss

p

i pp

Analizom dobijenih izraza u funkciji ugla


imajući na umu

11/1/2009

31

Grafički prikaz – Morov krug napona

22

2sin2

1

2cos12

1

ts

st

ss

p

p

p



F

F

F

F

90o

45o

Kod krtih materijala (kaljenih čelika, sivog liva ili kamena) prekid je poprečan

Kod plastičnih, mekih, materijala (meki čelik, bakar, aluminijum) pucaju pod uglom od 45o


11/4/2009

1

Naprezanje u dva pravca

Naponi i deformacije

Glavni naponi

Naprezanje sudova male debljine


Naprezanje u dva pravca (ravansko)

Zatezanje u dva pravca

Pritisak u dva pravca

Zatezanje i pritisak (smicanje)


11/4/2009

2



Tanka ploča, debljine d, napregnuta je silama jednako podeljenim po površinama osnova u pravcu:

Ox ose

Oy ose


Veličine sila na jedinicu površine

označimo sa sx, odnosno sy

u pravcu Ox imamo silu X

u pravcu Oy silu Y

Sile X ne izazivaju napone u ravni u-u

Sile y ne izazivaju napone u ravni p-p


11/4/2009

3

Hukov zakon

Od koordinatnog početka do tačke P (granice proporcionalnosti) postoji proporcionalnost izmeĎu napona i dilatacije

E – koeficijent proporcionalnosti MODUL ELASTIČNOSTI ili Jungov modul

Dimenzija napona MPa

s E


Poasonov koeficijent m

– uzdužna dilatacija

P – poprečna dilatacija

koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne Poasonov koeficijent je neimenovan broj

l

l1

b

h

pb

ph

m p


11/4/2009

4

Dilatacija u pravcu Ox

Na osnovu pokazanih zavisnosti, dobija se:

Pozitivna dilatacija u pravcu Ox

Negativna poprečna dilatacija u pravcu Ox ose kao posledica istezanja u pravcu Oy ose

Ukupna dilatacija u pravcu Ox ose

E

ysm

E

xs

EEE

yxyxx

msssm

s


Dilatacija u pravcu Oy


Pozitivna dilatacija u pravcu Oy

Negativna poprečna dilatacija u pravcu Oy ose kao posledica istezanja u pravcu Ox ose

Ukupna dilatacija u pravcu Oy oseE

xsm

E

ys

EEE

xyxy

y

msssm

s


11/4/2009

5

Dilatacija u pravcu osa Ox i Oy

EEE

xyxy

y

msssm

s

EEE

yxyxx

msssm

s


Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje u dva pravca


Ako iz tanke ploče, debljine d, napregnute silama jednako podeljenim po površinama osnova u pravcu osa Ox i Oy, izdvojimo prizmu male debljine d i ispitamo ravnotežu

11/4/2009

6

Komponentni naponi u kosom preseku

Ax=c d cosj

Ay=c d sinj



0sincoscos jdjsjds ccbcX nxi

0cossinsin jdjsjds ccbcY nyi


11/4/2009

7


jsjjs cossincos xn

jsjjs sincossin yn

0sincoscos jdjsjds ccbcX nxi

0cossinsin jdjsjds ccbcY nyi



jjsjjs coscossincos xn

jjsjjs sinsincossin yn

Saberemo jednačine i dobijamo normalni napon

1cossin 22 jj

jsjss 22 sincos yxn


11/4/2009

8


jjsjjs sincossincos xn

jjsjjs cossincossin yn

Oduzmemo drugu jednačinu od prve i dobijamo tangencijalni napon

jjj 2sin2

1cossin

jss 2sin2

1yxn



jsjss 22 sincos yxn

jss 2sin2

1yxn


11/4/2009

9

Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje u dva pravca - Morov krug

jss 2sin2

1yxn

jsjsjsssjss 222 sincoscoscos yxyxyyn BD





Ox ose

Oy ose

11/4/2009

10

Dilatacija u pravcu Oxkod pritiska u dva pravca


Negativna dilatacija u pravcu Ox

Pozitivna poprečna dilatacija u pravcu Ox ose kao posledica pritiska u pravcu Oy ose

Ukupna dilatacija u pravcu Ox oseE

ysm

E

xs

EEE

yxyxx

msssm

s


Dilatacija u pravcu Oy kod pritiska u dva pravca


Negativna dilatacija, skraćenje, u pravcu Oy

Pozitivna poprečna dilatacija u pravcu Oy ose kao posledica sabijanja u pravcu Ox ose

Ukupna dilatacija u pravcu Oy ose

E

xsm

E

ys

EEE

xyxy

y

msssm

s


11/4/2009

11

Dilatacija u pravcu osa Ox i Oykod pritiska u dva pravca

EEE

xyxy

y

msssm

s

EEE

yxyxx

msssm

s

Po apsolutnoj vrednosti ove dilatacije su jednake zbiru dilatacija kod zatezanja u dva pravca samo suprotnog znaka


Zatezanje i pritisak



Ox ose

Oy ose

11/4/2009

12

Dilatacija u pravcu Ox


Pozitivna dilatacija u pravcu Ox

Pozitivna poprečna dilatacija u pravcu Ox ose kao posledica pritiska u pravcu Oy ose

Ukupna dilatacija u pravcu Ox ose

E

ysm

E

xs

EEE

yxyxx

msssm

s


Dilatacija u pravcu Oy


Negativna dilatacija u pravcu Oy

Negativna poprečna dilatacija u pravcu Oy ose kao posledica istezanja u pravcu Ox ose

Ukupna dilatacija u pravcu Oy ose

E

xsm

E

ys

EEE

xyxy

y

msssm

s


11/4/2009

13

Dilatacija u pravcu osa Ox i Oy

EEE

xyxy

y

msssm

s

EEE

yxyxx

msssm

s


Komponentni naponi u kosom preseku –zatezanje i pritisak - Morov krug

jss 2sin2

1yxn jsjss 22 sincos yxn


11/4/2009

14

Zatezanje i pritisak

Važan slučaj je kada su pritisni i zatežući napon jednaki po apsolutnoj vrednosti


sss yx

Dilatacija u pravcu osa Ox i Oykada su pritisni i zatežući naponi jednaki

E

x

sm

1

Po apsolutnoj vrednosti jednake su i dilatacije, samo suprotnog znaka kod po apsolutnoj vrednosti jednakih zatežućih i pritisnih napona

E

y

sm

1

sss yx


11/4/2009

15

Komponentni naponi u kosom preseku – jednakih napona na zatezanje i pritisak - Morov krug

jsjss 2sin2sin2

1n

jsjsjss 2cossincos 22 n


Jednaki naponi na zatezanje i pritisak – za slučaj j=45o

s n

0ns

090cos190sin oo

js 2sinn

jss 2cosn

Čisto smicanje


11/9/2011

1

primer I zadatka za grafički

Momenti inercije složene ravne površi

Složena površ čiji moment inercije se traži

11/9/2011

2

Podeliti na poznate površi

Odrediti težište složene površi

A

S

dA

xdA

xy

A

AC

A

S

dA

ydA

y x

A

AC

11/9/2011

3

Iz tablica očitati vrednosti momenata za težišne ose svake površi

Momenti inercije za paralelno pomeren koordinatni sistem (Štajnerova teorema)

Moment inercije za vantežišne paralelne ose jednak je zbiru sopstvenih momenata inercije (težišnih) i položajnih momenata inercije

AyxII

AxII

AyII

CCxy

Cy

Cx

2

2

Napomena: rastojanja xc i yc uzimati sa svojim znakom

11/9/2011

4

Za težišne ose odrediti momente inercije No1


11/9/2011

5


Za težišne ose odrediti momente inercije

11/9/2011

6

Glavni momenti inercije i glavne ose inercije

Kako se drugi izraz za moment može dobiti iz prvog zamenom j sa j+90o analiziraju se drugi i treći izraz

Navedeni izrazi su neprekidne funkcije ugla j pa se mogu odrediti

ekstremne vrednosti:

jj 2sin2cos2

1

2

1xyyxyxu IIIIII

jj 2cos2sin2

1xyyxuv IIII

02cos22sin jjj

xyyxu III

d

dI

argument j koji zadovoljava ovu jednačinu obeležimo sa a

aaa 2cos:02cos22sin xyyx III

yx

xy

II

Itg

22a

Glavne centralne ose inercije

yx

xy

II

Itg

22a

U primeru tg2a<0

11/9/2011

7

Poluprečnici inercije

Elipsa inercije

11/9/2011

8

Elipsa inercije za dati primer

Smicanje

Unutrašnje sile i naponi, deformacije, modul klizanja, dimenzionisanje


11/9/2011

9

Osnovne vrste naprezanja:


Smicanje

Uvijanje

Savijanje

Izvijanje


Smicanje


- F

+ F

Ako deluju samo transverzalne (poprečne) sile, naprezanje je čisto smicanje

11/9/2011

12

Analiza naprezanja u dva pravca, ravansko naprezanje



Zatezanje i pritisak - odakle se dobija odnos modula elastičnosti i modula klizanja


Smicanje

Za razliku od dilatacija kod zatezanja, kod čistog smicanja nema promene zapremine već se deformacija ogleda u promeni oblika

Deformacija se naziva klizanje i registruje kroz ugao klizanja ili kraće klizanje g

Klizanje se može dovesti u vezu sa tangencijalnim naponom

Klizanje je vrlo mali ugao


11/9/2011

13

Modul klizanja

Klizanje je srazmerno tangencijalnom naponu

Kao i kod aksijalnog naprezanja važi Hukov zakon

Koeficijent srazmere

naziva se modul klizanja G

g G


Veza modula elastičnosti i modula klizanja

G – modul klizanja MPa

E – modul elastičnosti MPa

m - Poasonov koeficijent

m212

EG

MPa


11/9/2011

14


0,3

0,34

0,33

0,37

0,25

1/6

m [-]

2.1 . 105

0.7 . 105

1.1 . 105

1.0 . 105

1.0 . 105

0.3. 105

E [ M Pa ]

Čelik

Materijal

Aluminijum

Bakar

Mesing

Sivi liv

Beton


Moduli klizanja i elastičnosti za čelik

G=8 104 MPa– modul klizanja MPa

E=2,1 105 MPa - modul elastičnosti

m=0,3 Poasonov koeficijent

Pa

m

NEEG

2

81046,2212 m

u starim jedinicama E=2,1 106 kp/cm2 G=8 105 kp/cm2


11/9/2011

15

Zatezna čvrstoća i smicajna čvrstoća

Kao i kod zatezanja mogu se snimiti dijagrami zavisnosti tangencijalnog napona i klizanja pri čistom smicanju

Granica razvlačenja je mnogo niža, oko 80% od granice tečenja kod zatezanja

Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti zatezne čvrstoće za odreĎeni materijal od vrednosti smicajne čvrstoće koristi se njihov odnos


Dozvoljeni napon kod zatezanja

Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće materijala, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti


M

ddoz

11/9/2011

16

Dozvoljeni napon kod uvijanja (torzije)

Dozvoljeni napon je količnik jačine na torziju, smicajne torzione čvrstoće materijala, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti


M

ddoz

Dozvoljeni smičući napon

Najčešće se koristi vrednost dozvoljenog napona na zatezanje umanjena na 80%

deds 80,075,0


11/9/2011

17

Smičući napon

Napon dela izloženog smicanju mora biti manji ili jednak dozvoljenom naponu

Tangencijalni napon smicanja predstavlja količnik smičuće sile i površine poprečnog preseka


dozA

F MPa

Primeri čisto smičućeg napona

Zakivci i zakovane konstrukcije

Izrada rezervoara

Izrada ramnih i nosećih konstrukcija zakivanjem (sada sve češće ustupaju mesto varenim konstrukcijama)

doznA

F

1

Zakivak

lim

lim

A =d

41

2 p

d

FF

FF


11/9/2011

18


Proračun tačkasto zavarenog spoja (jezgro zavarenog spoja čini sočivo stopljenog materijala izloženo čistom smicanju)

lim

lim

lim

lim

z ivoavareno soč

z ivoavareno soč

d

F

F

F

F

A =d

41

2p

doznA

F

1



Primena zavrtnjeva za osiguranje od preopterećenja neke konstrukcije

Za prekid pri montaži da bi se sprečila demontaža (montaža brave pod volanom)

MA

F


11/9/2011

19

Kod smičućeg naprezanja postoje tri osnovna zadatka

1. Poznato je opterećenje i poprečni presek smičuće površine i treba odrediti veličinu napona

2. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka (broj elemenata)

3. Poznati su poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalne sile smicanja


Definisanje veličine napona dela izloženog čistom smicanju

Odrediti vrednosti opterećenja odnosno smičuću silu koja deluje na deo

Izračunati površinu poprečnog preseka dela

Sračunati napon koji nastaje delovanjem poprečne sile

Uporediti vrednost sa odreĎenim dozvoljenim naponom


dozA

F MPa

11/9/2011

20

Dimenzionisanje dela napregnutog na smicanje

Odrediti vrednost poprečne - smičuće sile koja deluje na deo

Odrediti dozvoljeni napon za odabrani materijal

Sračunati potrebnu površinu preseka


doz

FA

m2

Odrediti smičuću silu koju može da prenese deo

Odrediti površinu preseka

Odrediti dozvoljeni napon za poznati materijal i definisani stepen sigurnosti

Sračunati maksimalnu smičuću (poprečnu) silu


AF doz N

11/9/2011

21

Preporuke pri dimenzionisanju

1. Veličina smičućeg opterećenja - statika

2. Površina poprečnog preseka

3. Tangencijalni napon za poprečni presek

4. Stepen sigurnosti

5. Za odabrani materijal dozvoljeni tangencijalni napon

6. Veličina poprečnog preseka

7. Veličina opterećenja za poznatu površinu i materijal


Rezime

Spoljašnjoj smičućoj sili suprostavlja se unutrašnja sila - proizvod napona i površine

Smičući napon max ravnomerno je rasporeĎen po

površini

G – modul klizanja

Hukov zakon: Napon je proporcionalan proizvodu modula klizanja i ugla klizanja

Maksimalni smičući napon je količnik sile smicanja F i površine poprečnog preseka


11/22/2009

1

Uvijanje - torzija

Obrtni moment i moment uvijanja

Uvijanje grede kružnog poprečnog preseka

Odnos modula elastičnosti i modula klizanja

Dimenzionisanje delova izloženih čistom uvijanju

Uvijanje - torzija


Ako u preseku deluje samo moment torzije naprezanje je čisto uvijanje -torzija

- F

+ F

m t

m A

A

B

11/22/2009

2

Definicija uvijanja

Uvijanje je naprezanje pri kome se u svakom poprečnom preseku štapa javlja samo moment koji obrće oko ose štapa – moment uvijanja ili moment torzije Mt



Kod štapa koji je izložen uvijanju ili torziji deluje samo moment uvijanja dok ostale unutrašnje sile - aksijalna sila, transverzalna i moment savijanja ne postoje.

Uzročnici naprezanja su spoljašnji obrtni momenti koji deluju na štap u ravnima upravnim na njegovu osu


11/22/2009

3


Štap izložen dejstvu dva sprega

Da bi štap bio u ravnoteži momenti ovih spregova treba da budu međusobno jednaki po intenzitetu, a suprotnih smerova

F1

F1

F2

F2

d 1

d 2F d = F d = 1 1 2 2 M



Da bi se odredio unutrašnji moment uvijanja iskorišćena je metoda preseka

Štap se preseca zamišljenom ravni R

R

M

M z


11/22/2009

4


Svaki od delova treba da bude u ravnoteži

To je moguće ako je unutrašnji moment u uočenom preseku jednak obrtnom momentu suprotnog smera

Momenti se razlikuju samo po smeru saglasno zakonu akcije i reakcije

M

M

Mt

Mt

Mt

Mt

= M

= M



Moment uvijanja Mt, unutrašnji moment, smatra se pozitivnim ako obrće u smeru kazaljke na časovniku posmatran iz vrha normale na ravan momenta

Dijagram momenta uvijanja analiziranog štapa

M

M

M

M

Mt

+

z


11/22/2009

5


Primer transmisije gde se pogoni vratilo sa 5 kNm, a na dva izlaza prosleđuje 3 odnosno 2 kNm

Raspodela torzionog momenta merodavna za određivanje dimenzija vratila i napona u presecima ima izgled kao na slici

A B

izlaz izlazulaz

M =2kNm2 M =5kNm1 M =3kNm3

3 kNm3 kNm

-2kNm -2kNm

+

Mt

MtI

MtIIM 2 M 1

M 3

polje I polje II



Moment uvijanja Mt=MA

deluje u ravni B

Nastaje deformacija – pa vlakno se ab na spoljašnjem omotaču UVIJA na ab’, a vlakno

cd na cd’ za ugao g

Istovremeno se u ravni B zakrene Cd na Cb’ za

ugao q

a

b'd'

c

b

d

C

g1

q

F

-F

Mt

M Al

AB


11/22/2009

6


a

b'd'

c

b

d

C

g1

q

F

-F

Mt

M Al

AB

Iz trouglova Dabb’ i DCbb’ jednaki lukovi bb’

Lg1=Rq odnosno na nekom prečniku Lg=rq

Ugao naginjanja srazmeran je udaljenju od ose

001 ggg rzaR

r



R

r

1g

g

Tangencijalni, smicajni napon po poprečnom preseku se menja po zakonu prave linije

Za vlakno koje se poklapa sa geometrijskom osom tangencijalni napon je jednak nuli

Najveći je za r=R, max=1

C

= 1

rR

1

1


11/22/2009

7


12

EG

Između tangencijalnog napona i deformacije –klizanja postoji odnos

=Gg - Hukov zakon

Klizanje je srazmerno tangencijalnom naponu

G - modul klizanja

E – modul elastičnosti

Hukov zakon s=Ee

Modul klizanja

b'd'

b

d C

q

R

r

bb' = R = lq g1

dd' = r = lq g

g g= 1

rR



o

AA

t IR

dArR

rdAM 121

Tangencijalni napon deluje na dA, elementarnu površinu na nekom prečniku r

Ovo se svodi na

elementarnu silu dA

Zbir momenata elementarnih sila za tačku O daje moment torzije Mt

Io – polarni moment inercije

C

= 1

rR

1

1r

dA


11/22/2009

8

Najveći tangencijalni smicajni napon

1= max maksimalni tangencijalni

napon, MPa

I0 – polarni moment inercije, m4

W0 – polarni otporni moment

00

1maxW

M

I

RM tt

R

IW 0

0

MPa

m3


Ugao uvijanja u rad

1= max maksimalni tangencijalni napon,

MPa


G – modul klizanja, MPa

L - dužina, m

GR

l

GI

lM t max

0

q rad


11/22/2009

9

Ugao uvijanja u stepenima

1= max maksimalni tangencijalni napon,

MPa



L - dužina, m

GR

l

GI

lM t max

0

180180

q

o


Poasonov koeficijent

e – uzdužna dilatacija

eP – poprečna dilatacija

koeficijent zavisnosti poprečne dilatacije od uzdužne

Poasonov koeficijent je neimenovan broj

l

l1

b

h

epb

eph

ee -p


11/22/2009

10


0,3

0,34

0,33

0,37

0,25

1/6

[-]

2.1 . 105

0.7 . 105

1.1 . 105

1.0 . 105

1.0 . 105

0.3. 105

E [ M Pa ]

Čelik

Materijal

Aluminijum

Bakar

Mesing

Sivi liv

Beton


Veza modula elastičnosti i modula klizanja


E – modul elastičnosti, MPa

- Poasonov koeficijent

212

EG MPa


11/22/2009

11

Moduli klizanja i elastičnosti za čelik

G=8 104 MPa– modul klizanja

E=2,1 105 MPa - modul elastičnosti

=0,3 Poasonov koeficijent

Pa

m

NEEG

2

81046,2212

u starim jedinicama E=2,1 106 kp/cm2 G=8 105 kp/cm2


Zatezna čvrstoća i uvojna (torziona) čvrstoća

Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti zatezne čvrstoće za određeni materijal od vrednosti uvojne čvrstoće koristi se njihov odnos

MM s 6,05,0 -


11/22/2009

12

Dozvoljeni napon kod zatezanja

Dozvoljeni napon je količnik jačine na kidanje, zatezne čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti


sss M

ddoz

Dozvoljeni napon kod uvijanja (torzije)

Dozvoljeni napon je količnik jačine na torziju, smicajne (torzione) čvrstoće, od kog je proračunavani deo i stepena sigurnosti


M

ddoz

11/22/2009

13

Dozvoljeni torzioni (smicajni) napon

Pošto se u tablicama češće nalaze vrednosti dozvoljenog napona na zatezanje koristi se odnos

dd s 6,05,0 -


Dimenzionisanje vratila i štapova pri uvijanju

Dimenzionisanje dela prema maksimalnom torzionom naponu - uslov čvrstoće

Dimenzionisanje prema dozvoljenom uglu uvijanja po jedinici dužine - uslov deformabilnosti

ODABRATI NEPOVOLJNIJI KRITERIJUM– ODNOSNO VEĆE DIMENZIJE


11/22/2009

14

Dimenzionisanje prema najvećem torzionom naponu

Najveći napon pri uvijanju

Dobija se poprečni presek

Za kružni poprečni presek

dozt

W

M

0

1max

doz

tO

MW

316

doz

tMD


Dimenzionisanje prema dozvoljenoj deformabilnosti – dozvoljeni ugao uvijanja

Najveći ugao pri uvijanju

Dobija se poprečni presek

Za kružni poprečni presek

dozt

GI

Mqq

0

'

doz

tO

G

MI

q

332

doz

t

G

MD

q

m

raddozq


11/22/2009

15

Dimenzionisanje

Nakon određivanja prethodne dve vrednosti dimenzija poprečnog preseka iz:

Uslova čvrstoće

Uslova deformabilnosti

bira se računom dobijena veća vrednost


Kod torzionog naprezanja postoje tri osnovna zadatka

1. Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije

2. Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka

3. Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta


11/22/2009

16

1. Određivanje veličine napona i ugla deformacije

MPaW

M t

0

Poznato je opterećenje i poprečni presek štapa i treba odrediti veličinu napona i ugla deformacije

radGI

M t

0

q


2. Određivanje veličine poprečnog preseka

4

'm

G

MI

doz

tO

q

m

raddozq

Poznato je opterećenje, oblik poprečnog preseka i materijal, a potrebno je odrediti dimenzije tog preseka

3mM

Wdoz

tO


11/22/2009

17

3. Određivanje veličine torzionog momenta koji deo sme da prenese

'

'

doz

tdozOt

G

MGIM

qq

m

raddozq

Poznat je poprečni presek i dozvoljeni napon, a potrebno je odrediti vrednost maksimalnog torzionog momenta

NmWM dozt 0

Kao merodavna uzima se manja vrednost


Veza između obrtnog momenta i snage

Kada je poznata snaga koju prenosi analizirani deo (vratilo, štap) poznat je i obrtni moment

WMP

s

1

JodnosnoNmP

M


11/22/2009

18

Veza između obrtnog momenta i snage

Kada je poznata snaga koju prenosi analizirani deo (vratilo, štap) poznat je i obrtni moment

Wn

MP30

min

on

Nmn

PM

30

1min -n


Rezime

Moment uvijanja jednak je spoljašnjem obrtnom momentu suprotnog smera Mt=M

Kod uvijanja najviše se deformišu (uvijaju) spoljašnja vlakna, vlakna u osi se ne deformišu

Smicajni napon max najveći je na spoljašnjim vlaknima

G – modul klizanja

Hukov zakon: napon je proporcionalan proizvodu modula klizanja i ugla uvijanja

Maksimalni smičući napon je količnik momenta Mt torzije i W0 polarnog otpornog momenta

Maksimalni ugao uvijanja je količnik momenta torzije Mt i proizvoda modula klizanja i polarnog momenta inercije GI0


11/29/2009

1

Ravni nosači

Klasifikacija nosača

Klasifikacija opterećenja

Sile i momenti u poprečnom preseku

Pojam statičkog nosača

Nosači su tela, u okviru konstrukcije ili

mašine koja primaju opterećenja i prenose ih

na oslonce

Svako kruto telo vezano za nepokretnu ravan

i opterećeno silama, zove se nosač

11/29/2009

2

Noseće konstrukcije

Kućišta mašina

Karoserije automobila

Noseće konstrukcije

graĎevinskih mašina

Vagoni i cisterne

Dizalična postrojenja

Pretovarni mostovi

Mostovi

Nadvožnjaci i

podvožnjaci

Krovne konstrukcije

Dalekovodi

Nosači nadzemnih

toplovoda

Karoserija automobila - nosači složenog oblika kod automobia

11/29/2009

3


Sistem zadnjeg oslanjanja - nosači složenog oblika kod automobila

11/29/2009

4


Podela nosača

Prema položaju opterećenja

Prema obliku

Prema obliku poprečnog preseka

11/29/2009

5

Podela nosača prema položaju

opterećenja

Ravanske - imaju ravan simetrije i napadne

linije svih sila nalaze se u toj ravni

Prostorne – napadne linije sila koje deluju na

nosač ne nalaze se u istoj ravni

Podela nosača prema obliku

Pune – imaju “pun” poprečni presek. Puni nosači su najčešće prizmatičnog ili cilindričnog oblika

Rešetkaste – sastavljene od lakih nosača –štapova meĎusobno zglobno povezanih tako da čine jednu krutu konstrukciju

11/29/2009

6

Podela nosača prema obliku nosača

Prosti

Složeni

Pojam linijskog nosača

Ukoliko je dimenzija poprečnog preseka nosača daleko

manja od njegove treće dimenzije, onda je takav nosač

linijski nosač. Najčešći primeri u mašinstvu su vratila,

poluge, osovine

Prosti nosači

Prosta greda

Greda sa prepustima

Konzola

Okvirni nosač – ram

Rešetkasti nosač

11/29/2009

7

Primer okvirnog nosača - rama

Primer rešetkastog nosača

11/29/2009

8

Prosta greda

To je nosač koji je na svojim krajevima vezan

nepokretnim i pokretnim osloncem

Rastojanje izmeĎu oslonaca zove se raspon grede

B

y

A z

F

a

L

a

Prosta greda sa prepustima

To je nosač koji je na svojim krajevima vezan

nepokretnim i pokretnim osloncem

Rastojanje izmeĎu oslonaca zove se raspon grede,

a van oslonca prepust, sa jedne ili sa dve strane

B

y

A z

F2F1

ae1 e2

L

a

M

11/29/2009

9

Konzola

To je nosač koji je na svom kraju uklješten

y

Az

F1

a

L

a

M

Složeni nosači – dva ili više prostih

nosača povezanih zglobovima

Gerberova greda

Gerberova greda sa

prepustima

Konzola sa Gerberovim

zglobom

Okvirni nosač sa

Gerberovim zglobovima

– ram sa Gerberovim

zglobovima

B

B

B

B

A

A

F2

F2

F3

F3

F1

F1

a

a

M

M

G

G

B

F2 F3F1 aM

GA

z

11/29/2009

10

Vrste opterećenja

Koncentrisano opterećenje – dejstvo sile se

prenosi na veoma mali deo dužine nosača,

kaže se da opterećenje deluje u jednoj tački

Kontinualno - teret je rasporeĎen po izvesnoj

dužini nosača

Koncentrisano opterećenje

Koncentrisana sila

Moment

Spreg sila

B

y

A x

F F

-F1

L

a

M 1

11/29/2009

11

Kontinualno opterećenje

Ravnomerno rasporeĎeno na odreĎenoj dužini

Promenljivo opterećenje na odreĎenoj dužini

B

B

y

y

A

A

z

z

Kontinualno opterećenje

Specifično opterećenje

q kN/m

Ravnomerno rasporeĎeno na

odreĎenoj dužini q=const.

Promenljivo opterećenje na

odreĎenoj dužini q=q(z)

B

B

B

y

y

y

A

A

A

z

z

x

z

z

z

q

q=q(z)

q=q(z)

11/29/2009

12

Vrste delovanja opterećenja

Direktno – neposredno

Indirektno - posredno

B

B

A

A

F2

F2

F3

F3

F1

F1

Jednačine ravnoteže za proste

nosačeB

B

A

A

-F1L

L

y

y

z

z

F

F

F

a

a

M

M

1

Ax

a

L

F M

a

0

0

0

i

i

i

M

Y

Z

11/29/2009

13

Veze i reakcije veza

Cilindrični zglob u ravni

Cilindrični zglob je veza dva tela sa

osovinom u ravni

Reakcija veze je ravanska sila

kFjFF zy


Pokretni cilindrični zglob u ravni

Pokretni cilindrični zglob je veza dva tela sa osovinom u ravni i mogućnošću kretanja po ležištu

Reakcija veze je normalna sila kFF z

11/29/2009

14


Uklještenje u ravni

Veza uklještenja je kada

se zavari profil za

noseću konstrukciju ili

uzida greda u zid

Reakcije veze su

1. Sila u ravni

2. Moment u ravni

kFjFiF zy

0iMM x

Osnovne statičke veličine u

poprečnom preseku

Transverzalna (poprečna) sila

Aksijalna (uzdužna) sila

Napadni moment

Promene osnovnih statičkih veličina duž nosača prikazuju se

odgovarajućim dijagramima

11/29/2009

15

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Levo od preseka Desno od preseka

Konvencija o znacima opterećenja grede

Transverzalna sila se

definiše kao algebarski

zbir svih spoljašnjih sila

upravnih na osu grede

koje deluju sa leve

strane od preseka p-p

FAFB

F1 F2F4

F3

FAK

FT

Mf

+FAK

FT

Mf

+

p

p

L

i

L

T YF

Transverzalna sila se



upravnih na osu grede

koje deluju sa desne


D

i

D

T YF

11/29/2009

16


Aksijalna sila se



koje deluju u pravcu

ose grede sa leve


FAFB

F1 F2F4

F3

FAK

FT

Mf

+FAK

FT

Mf

+

p

p

L

i

L

AK ZF

Aksijalna sila se



koje deluju u pravcu

ose grede sa desne


D

i

D

AK ZF


Moment savijanja sa

leve strane se definiše

kao algebarski zbir svih

momenata spoljašnjih sila

i momenata koji deluju na

gredu sa leve strane od

preseka p-p

FAFB

F1 F2F4

F3

FAK

FT

Mf

+FAK

FT

Mf

+

p

p

L

i

L

f MM D

i

D

f MM

Moment savijanja sa

desne strane se definiše

kao algebarski zbir svih

momenata spoljašnjih sila

i momenata koji deluju na

gredu sa desne strane od

preseka p-p

11/29/2009

17

Savijanje

Čisto savijanje (spregovima)

Osnovne jednačine savijanja

Savijanje silama

Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Savijanje

Savijanje se najčešće analizira kod nosača

već izučavanih u okviru mehanike I ili statike

Noseće konstrukcije mašina i postrojenja se

se po principima statike prevode u prostorne i

ravanske proste nosače

Opterećenja se prevode u odgovarajuće:

koncentrisane sile, kontinualna opterećenja,

momente i spregove

11/29/2009

18

Čisto savijanje

Ravan savijanja

Neutralna ravan

Neutralna osa

Neutralna (elastična) linija

Čisto savijanje

mBABmA

z

Ako deluje samo moment savijanja, naprezanje je

čisto savijanje

Na gredu deluju dva sprega jednakih intenziteta a

suprotnih smerova u vertikalnoj ravni

11/29/2009

19

Čisto savijanje proste grede spregovima

Spregovi istog intenziteta, a suprotnih

smerova deluju u vertikalnoj ravni koja prolazi

kroz uzdužnu osu nosača Az

Ova vertikalna ravan je RAVAN SAVIJANJA

Horizontalna osa u ravni koja sadrži uzdužnu

osu, a upravna je na nju (obeležena sa x)

naziva se NEUTRALNA OSA


11/29/2009

20


l

AB

- M + M

z

z

-M -M

-M

FTR

BABAi FYFYY 0

00 AAi ZZZ

0 BA FlMMM

00 AB YF

MM f

0TRF

Čisto savijanje

Ovakvo opterećenje grede moguće je ostvariti

kod grede sa dva jednaka prepusta na čijim

krajevima deluju jednake sile F

l cc

A

B

F F

11/29/2009

21

Čisto savijanje grede

BABAi FYFFYFY 0

00 AAi ZZZ

0 BA FllcFcFM

FYFF AB

l cc

A

B

F F

YA

FB

Čisto savijanje

Statički dijagrami za ovu gredu sa prepustima

l cc

A

B

F F

z

z

-M -M

-M

FTR

YA

FB

-F

-F

cFzFzcFM f

0 FFFTR

I polje II polje III polje Za II polje

11/29/2009

22

Čisto savijanje

Deformacija usled savijanja momentima

Pod dejstvom prikazanih spregova greda se

deformiše tako što vlakna menjaju svoju dužinu

Dužina jednih vlakana se povećava, a dužina

drugih se smanjuje

Vlakna koja se niti izdužuju niti skraćuju zovu se

neutralna vlakna

11/29/2009

23

Deformacija usled savijanja momentima u ravni

savijanja

Uočava se i utoliko veće izduženje vlakana ukoliko

je vlakno udaljenije od neutralne ose sa spoljašnje

strane (a-a veće od b-b)

Sa druge strane, sa unutrašnje strane skraćenje

vlakana je veće što su vlakna udaljenija od

neutralne linije (c-c veće od d-d)

Najviše se izdužuju spoljašnja vlakna


Uočena vlakna čija je dilatacija jednaka nuli (niti se

izdužuju niti skraćuju)

Neutralna vlakna se pojavljuju po čitavom

poprečnom preseku

Obrazuju neutralnu površinu

Presečna linija ravni savijanja i neutralnih linija

savijanja naziva se neutralnom linijom ili

ELASTIČNOM LINIJOM

11/29/2009

24

Čisto savijanje nastaje

Kada je ravan dejstva spregova (ravan savijanja)

istovremeno i ravan simetrije grede

Kada ravan savijanja prolazi kroz geometrijsku osu

Az grede


Veza izmeĎu aksijalne deformacije i napona

I jednačina savijanja - promena normalnog

napona

II jednačina savijanja – krivina elastične

linije

11/29/2009

25

Prizmatična greda opterećena na čisto

savijanje

Nastaju deformacije izduženja ili skraćenja

vlakana

Poprečni preseci unutar grede su zaokrenuti

jedan u odnosu na drugi

Dilatacija posmatranih vlakna na nekom

udaljenju y od neutralne linije može se

dovesti u vezu sa modulom elastičnosti

(Hukov zakon) i poluprečnikom krivine

elastične linije

Prva jednačina savijanja

Normalni napon u nekoj tački poprečnog

preseka s M – moment sprega

Ix – aksijalni moment inercije površine za tu

osu

y – udaljenost posmatranog vlakna od ose

yI

M

x

s

11/29/2009

26

Druga jednačina savijanja

K- krivina elastične linije

M – moment sprega


osu


B=E.Ix – krutost savijanja grede

Rk – poluprečnik krivine

B

Μ

IE

Μ

RK

xk

1

12/6/2009

1

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Levo od preseka Desno od preseka

Savijanje

Čisto savijanje (spregovima)


Savijanje silama

Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

12/6/2009

2

Savijanje

Savijanje se najčešće analizira kod nosača

već izučavanih u okviru mehanike I ili statike

Noseće konstrukcije mašina i postrojenja se

se po principima statike prevode u prostorne i

ravanske proste nosače

Opterećenja se prevode u odgovarajuće:

koncentrisane sile, kontinualna opterećenja,

momente i spregove

Čisto savijanje

Ravan savijanja

Neutralna ravan

Neutralna osa

Neutralna (elastična) linija

12/6/2009

3

Čisto savijanje

mBABmA

z

Ako deluje samo moment savijanja, naprezanje je

čisto savijanje

Na gredu deluju dva sprega jednakih intenziteta, a

suprotnih smerova u vertikalnoj ravni


Spregovi istog intenziteta, a suprotnih

smerova deluju u vertikalnoj ravni koja prolazi

kroz uzdužnu osu nosača Az

Ova vertikalna ravan je RAVAN SAVIJANJA

Horizontalna osa u ravni koja sadrži uzdužnu

osu, a upravna je na nju (obeležena sa x)

naziva se NEUTRALNA OSA

12/6/2009

4



l

AB

- M + M

z

z

-M -M

-M

FTR

BABAi FYFYY 0

00 AAi ZZZ

0 BA FlMMM

00 AB YF

MM f

0TRF

12/6/2009

5

Čisto savijanje

Ovakvo opterećenje grede moguće je ostvariti

kod grede sa dva jednaka prepusta na čijim

krajevima deluju jednake sile F

l cc

A

B

F F

Čisto savijanje grede

BABAi FYFFYFY 0

00 AAi ZZZ

0 BA FllcFcFM

FYFF AB

l cc

A

B

F F

YA

FB

12/6/2009

6

Čisto savijanje

Statički dijagrami za ovu gredu sa prepustima

l cc

A

B

F F

z

z

-M -M

-M

FTR

YA

FB

-F

-F

cFzFzcFM f

0 FFFTR

I polje II polje III polje Za II polje

Čisto savijanje

12/6/2009

7


Pod dejstvom prikazanih spregova greda se

deformiše tako što vlakna menjaju svoju dužinu

Dužina jednih vlakana se povećava, a dužina

drugih se smanjuje

Vlakna koja se niti izdužuju niti skraćuju zovu se

neutralna vlakna

Deformacija usled savijanja momentima u ravni

savijanja

Uočava se utoliko veće izduženje vlakana ukoliko

je vlakno udaljenije od neutralne ose sa spoljašnje

strane (a-a veće od b-b)

Sa druge strane, sa unutrašnje strane skraćenje

vlakana je veće što su vlakna udaljenija od

neutralne linije (c-c veće od d-d)

Najviše se izdužuju spoljašnja vlakna

12/6/2009

8


Uočena vlakna čija je dilatacija jednaka nuli (niti se

izdužuju niti skraćuju)

Neutralna vlakna se pojavljuju po čitavom

poprečnom preseku

Obrazuju neutralnu površinu

Presečna linija ravni savijanja i neutralnih linija

savijanja naziva se neutralnom linijom ili

ELASTIČNOM LINIJOM

Čisto savijanje nastaje

Kada je ravan dejstva spregova (ravan savijanja)

istovremeno i ravan simetrije grede

Kada ravan savijanja prolazi kroz geometrijsku osu

Az grede

12/6/2009

9


Veza izmeĎu aksijalne deformacije i napona

I jednačina savijanja - promena normalnog

napona

II jednačina savijanja – krivina elastične

linije

Prizmatična greda opterećena na čisto

savijanje

Nastaju deformacije - izduženja ili skraćenja

vlakana

Poprečni preseci unutar grede su zaokrenuti

jedan u odnosu na drugi

Dilatacija posmatranih vlakana na nekom

udaljenju y od neutralne linije može se

dovesti u vezu sa modulom elastičnosti

(Hukov zakon) i poluprečnikom krivine

elastične linije

12/6/2009

10





osu


yI

M

x

z s



M – moment sprega


osu




B

Μ

IE

Μ

RK

xk

1

12/6/2009

11


pokazuje da:


preseka proporcionalan je napadnom

momentu M savijanja i udaljenju y od

neutralne ose

Normalni napon je obrnuto proporcionalan

momentu inercije poprečnog preseka za

neutralnu osu Ix koja se poklapa sa

težišnom osom

yI

M

x

z s


pokazuje da:

Kod čistog savijanja napadni moment je u

svakom preseku isti, pa normalan napon ne

zavisi od koordinate z

To znači da ne zavisi i od udaljenosti poprečnog

preseka od oslonca

Normalni napon ne zavisi od koordinate x, što

znači da je isti u svim tačkama ravni paralelnoj

koordinatnoj ravni Axz kroz osu grede Az

yI

M

x

z s

12/6/2009

12


pokazuje da:

Normalni napon zavisi samo od udaljenosti

vlakana od neutralne ose Cx

U tačkama neutralne ose Cx, on je jednak 0

Zbog toga se ti naponi nazivaju i ivični naponi

yI

M

x

z s

Druga glavna jednačina savijanja pokazuje

da:

Usled savijanja osa Az se krivi i postaje

elastična linija grede

Druga glavna jednačina služi za odreĎivanje

krivine te elastične linije

Za gredu konstantnog poprečnog preseka i

konstantan napadni moment:

K =const.

B

Μ

IE

Μ

RK

xk

1

12/6/2009

13

Druga glavna jednačina savijanja

pokazuje da:

Krivina elastične linije je konstantna

Ovu osobinu ima samo kružni luk koji prolazi

kroz oslonce A i B.

Kod čistog savijanja elastična linija je kružni

luk koji prolazi kroz oslonce A i B.

B

Μ

IE

Μ

RK

xk

1

Savijanje vertikalnim teretima

koncentrisanim silama;

kontinualnim opterećenjima

u vertikalnoj ravni

12/6/2009

14

Primer grede sa dve koncentrisane sile

021 FFFFY BAi

0642 21 BA FaaFaFM

kNFkNF BA 4030


Maksimalni moment

savijanja

Maksimalna

transverzalna sila

Mfmax = 80 kNm

Ftmax = 40 kN

12/6/2009

15

Promena transverzalne sile i momenta

savijanja duž podužne ose nosača:

U svakom poprečnom preseku imamo

odgovarajuću transverzalnu silu

U svakom poprečnom preseku imamo

odgovarajući moment savijanja.

Transverzalna sila izaziva smicanje

Moment savijanja izaziva savijanjenosača oko poprečne težišne ose

Jednačine savijanja važe i kod savijanja

silama i moraju biti ispunjeni uslovi:

Da neutralna linija prolazi kroz težište svih

poprečnih preseka

Da je neutralna osa težišna osa poprečnog

preseka

Da je neutralna osa, osa simetrije poprečnog

preseka tj. glavna centralna ose inercije

preseka.

12/6/2009

16

Glavne jednačine savijanja

yI

M

x

z s

x

f

k IE

Μ

RK

1

Treća glavna jednačina

bI

SF

x

xT

xS - Moment inercije površine A’ za neutralnu osu Cx

- Tangencijalni napon grede opterećene na savijanje

b - širina poprečnog preseka za neutralnu osu

12/6/2009

17

Raspored normalnog napona po

poprečnom presekuy

I

M

x

z s

Raspored normalnog napona po

poprečnom preseku

Odnos Ix/ymax zavisi od oblika poprečnog preseka

i naziva se

OTPORNI MOMENT POPREČNOG PRESEKA

maxy

IW x

x L3

12/6/2009

18

Otporni moment različitih ravnih preseka

pravougaonik


kvadrat

12/6/2009

19


Krug i kružni prsten

Raspodela tangencijalnog napona po

poprečnom preseku

x

xT

I

SF

xS - Moment inercije površine A’ za neutralnu osu Cx

- Tangencijalni napon grede opterećene na savijanje

- promenljiva širina poprečnog preseka za

neutralnu osu

FT – Transverzalna sila

12/6/2009

20

Maksimalni normalni napon nosača

izloženog opterećenju na savijanje

Maksimalni normalni napon

Maksimalni moment savijanja

Otporni moment poprečnog preseka

xW

Mmaxmax s


poprečnom preseku pravougaonika

A

FT maxmax

3

2

2

max 41h

y

12/6/2009

21


poprečnom preseku kruga

A

FT maxmax

3

4

2

max 1R

y


poprečnom preseku limenog nosača

0

maxmax

A

FT

12/6/2009

22

Dimenzionisanje nosača opterećenih

na savijanje

Postoje dva različita zadatka:

1. Poznato je opterećenje koje deluje na

nosač, a treba odrediti vrednosti najvećeg

normalnog i tangencijalnog napona koji se

javljaju

2. Poznato je opterećenje, raspon, način

oslanjanja i oblik nosača koji se mora

upotrebiti, a traže se dimenzije poprečnog

preseka

OdreĎivanje veličina normalnog i

tangencijalnog napona ako je poznato

opterećenje

Najveći normalni napon javlja se u opasnom

preseku, u najudaljenijem vlaknu

Najveći tangencijalni napon javlja se u

preseku u kome je najveća tangencijalna sila

Opasni presek – najveći moment savijanja i

najveća transverzalna sila definišu se iz

statičkih dijagrama nosača

x

xT

I

SF

xW

Mmaxmax s

12/6/2009

23

OdreĎivanje dimenzija poprečnog

preseka nosača

Prema definisanom opterećenju izračunati

otporni moment preseka

Po odreĎivanju dimenzija proveriti da li je

tangencijalni napon manji od dozvoljenog

fdoz

xW

Mss max

max

fdoz

x

MW

smax

Maksimalni napon manji od dozvoljenog

fdozss max

fdoz max

Provera tangencijalnih napona

Kod čeličnih konstrukcija tangencijalni naponi

su vrlo mali pa se ova provera često i ne vrši

Proveru obavezno vršiti kod drvenih

konstrukcija

12/6/2009

24

Rezime: Dimenzionisanje nosača

Odrediti otpore oslonaca

Nacrtati statičke dijagrame i iz njih odrediti

najveći napadni moment i najveću

transverzalnu silu

Prema izabranom materijalu definisati

dozvoljene napone na savijanje

Odrediti otporni moment poprečnog preseka

Proveriti da li su najveći normalni i

tangencijalni napon manji od dozvoljenih

12/11/2010

1

Savijanje – elastične linije

Analitička metoda odreĎivanja elastične linije

Izračunavanje ugiba i nagiba uz pomoć tablica





osu


yI

M

x

z s

12/11/2010

2



M – moment sprega


osu




B

Μ

IE

Μ

RK

xk

1

Diferencijalna jednačina elastične linije

Pomoću druge glavne jednačine definisana je krivina

elastične linije savijenog nosača

Iz matematike je poznato da se pod krivinom

podrazumeva odnos

Gde je:

R poluprečnik krivine

ds elementarni luk

da elementarna promena ugla

B

Μ

IE

Μ

Rd

sdK

x

1

a

12/11/2010

3

Nagib tangente krive prema Ox osi iz

matematike

Nagib tangente krive f(x) je prvi izvod funkcije koja

predstavlja krivu

Kako je element luka krive

Odatle je krivina

ydx

dytg

a

aa

2cos

1,

222 1 ydxdydxds

2

2

1

cos1

y

y

ds

dxy

ds

d

RK

aa


Usled savijanja težište nekog preseka se spušta (u

peavcu y ose) za dužinu koju nazivamo

ugib elastične linije (strela) tangenta sa osom Az gradi ugao koji se naziva

nagib grede

12/11/2010

4


proste grede

Gde su:

Mf moment savijanja u preseku z

B = E.Ix savojna krutost grede

B

M

IE

My

L

f

x

L

f

L

fMyB

Analitičko odreĎivanje elastične linije

Odrediti otpore oslonaca za rešavani nosač

Napisati izraze za promenu momenta

savijanja u funkciji od podužne koordinate z

Proizvod savojne krutosti i drugog izvoda

jednak je negativnom momentu savijanja i to

predstavlja diferencijalnu jednačinu elastične

linije L

fMyB

12/11/2010

5

Analitičko odreĎivanje elastične linije

Integraljenjem dobija se jednačina promene

nagiba u zavisnosti od koordinate z

Ponovnim integraljenjem dobija se jednačina

promene ugiba u zavisnosti od koordinate z

Integracione konstante odreĎuju se iz uslova

da su ugibi oslonaca jednaki nuli i kod

nosača u nekom preseku na kraju polja

promene opterećenja oba kraja moraju imati

isti ugib i nagib

Primer jednačine elastične linije proste

grede

L

bFFA

Otpori oslonaca

L

aFFB

zL

bFzFM A 1

azFzL

bFazFzFM A 2

az 0

Lza

I polje

II polje

12/11/2010

6


grede

Uvedena je Klebšova crta ili masna crta

Ona obeležava kraj prvog polja i početak

drugog polja

azFzL

aFazFzFM A

Oba izraza za moment mogu se objediniti


grede:

Izvršiti integraciju

u I polju pre crte po z

u II polju posle crte po (z-a)

azFzL

aFazFzFMyB A

Diferencijalna jednačina L

fMyB

12/11/2010

7


grede

Integracione konstante se uvek stavljaju

ispred crte

OdreĎuju se iz graničnih uslova

22

2

1

2 azFC

z

L

aFyB

66

3

21

3 azFCzC

z

L

aFBy

0,

0,0

yLz

yz


grede

0

60

6

3

1

3

az

FLCL

L

aFByLy

Uslov za z=0 pripada prvom polju pa se primenjuje na deo

ispred crte

0006

00 221

3

CCCL

aFByy

Uslov za z=L pripada drugo polju pa se primenjuje ceo

izraz – briše se crta

066

3

1 L

bFL

bFC

12/11/2010

8


grede

JEDNAČINA NAGIBA

2222

3316 L

az

L

z

L

b

L

b

B

FLy


grede

Iz jednačine ugiba zamenom z=a dobije se

ugib ispod sile

223

3

L

b

L

b

B

FLy az

12/11/2010

9


grede

L

b

L

b

L

a

B

FLyz 1

6

2

0a

u osloncima zamenom z = 0 dobijamo nagib u

osloncu A

L

b

L

b

L

a

B

FLy Lz 1

6

2

u osloncima zamenom z = L dobijamo nagib u

osloncu B

Elastične linije statički odreĎenih

nosača

U tablicama iz Otpornosti materijala postoje

obraĎeni karakteristični nosači i definisane

jednačine elastične linije, ugiba i nagiba.

Za odreĎivanje karakteristične vrednosti

potrebnog ugiba ili nagiba za konkretan

nosač sa definisanim opterećenjima treba

koristiti princip superpozicije (sabiranja

dejstava)

12/11/2010

10

Elastične linije statički odreĎenih

nosača

Za posmatrani nosač uočiti koja opterećenja

deluju

Uzeti kolika su udaljenja opterećenja od

oslonaca

Za svako opterećenje na nosaču povaditi

podatke iz tablica

Napraviti konačan zbir na željenoj poziciji

Primer rešavanja istog zadatka

Primenom metode direktne integracije

Korišćenjem gotovih izraza u tablicama

12/11/2010

11

Postavka zadatka

Za datu gredu sa dve

sile odrediti ugib

ispod sile 2 i ugao

nagiba ispod sile 1

Primenom direktne

integracije

Korišćenjem tablica

Za dati nosač

OdreĎivanje otpora oslonaca i osnovnih

statičkih dijagrama

Pošto nije poznat poprečni presek izvršiti

dimenzionisanje kako bi se odredila savojna

krutost B

Poznato je da je greda od čelika sdoz =120 MPa

i E=2 .105 MPa, i da je greda kružnog

poprečnog preseka

12/11/2010

12


Maksimalni moment

savijanja

Maksimalna

transverzalna sila

Mfmax = 80 kNm

Ftmax = 40 kN


preseka

U datom slučaju

Mfmax = 80 kNm

Standardno najbliže veće je d=0.2m

3

6

3

103

2

10120

1080

doz

f

xdoz

x

f MW

W

M

sss

md 189.03

102323

3

12/11/2010

13


preseka grede

Za dobijeno d=0.2m moment inercije za x osu

Savojna krutost je

24

11 1570796364

102 Nmd

IEB x

64

2.0

64

44

dI x

2963,15707 kNmB

OdreĎivanje jednačine elastične linije

Za odreĎene otpore oslonaca napisati izraz

za moment savijanja po poljima

zzFM A 301

22030212 zzazFzFM A

azFazFzFM A 42 213

12/11/2010

14

Rešavanje zadatka direktnom

integracijom

Napisati izraze za momente savijanja po

poljima

Izvršiti integraciju po promenljivim

Odrediti integracione konstante iz graničnih

uslova

Odrediti tražene vrednosti nagiba i ugiba


Izraz za moment predstavlja diferencijalnu

jednačinu elastične linije

Izraz za moment možemo napisati

predvajanjem momenata po poljima

Klebšovom ili masnom crtom

L

fMyB

azFazFzFM A 42 213

12/11/2010

15


Diferencijalna jednačina elastične linije dobija

oblik

Za konkretan slučaj zamenimo vrednosti

L

fMyB

azFazFzFyB A 42 21

45022030 zzzyB


Izvršiti integaljenje po promenljivoj z za prvo

polje, po (z-2) za drugo i (z-4) za treće polje

45022030 zzzyB

2

450

2

220

230

22

1

2

zzC

zyB

6

450

6

220

630

33

21

3

zzCzC

zBy

12/11/2010

16


Integracione konstante odreĎuju se iz

graničnih uslova

Pošto je to u prvom polju, uzima se izraz do

prve Klebšove crte

00 yz

0006

0300 221

3

CCCzBy


Integracione konstante odreĎuju se iz

graničnih uslova

Pošto je to u trećem polju, uzima se ceo izraz

06 yLz

06

4650

6

2620

6

6306

33

21

3

CzCzBy

36

48001 C

12/11/2010

17


Konačan oblik za dati primer je

45022030 zzzyB

2

450

2

220

36

4800

230

222

zzzyB

6

450

6

220

36

4800

630

333

zzz

zBy

Prema dobijenim izrazima izračunava se:

Ugib ispod sile 2 za koje je z=4, pripada kraju

drugog polja, pa se uzima izraz do druge

masne crte

6

450

6

220

36

4800

630

333

zzz

zBy

3

33

2406

24204

36

4800

6

430 kNmBy

12/11/2010

18


Nabib ispod sile 1 za koje je z=2, pripada

kraju prvog polja, pa se uzima izraz do prve

masne crte

2

450

2

220

36

4800

230

222

zzzyB

36

2640

36

4800

2

230

2

yB


Ugib ispod sile 2

Nabib ispod sile 1

oradB

y 267.000468.01570736

2640

36

2640

mmmkNm

B

kNmy 27.1501527.0

15707

240240 33

12/11/2010

19

Rešavanje zadatka korišćenjem tablica

Odrediti položaje i uticaj opterećenja

Očitati izraze za rešavani zadatak

Izvršiti zamenu vrednosti u primeru za mesto

dejstva sile 2

Prosta greda

tab1

12/11/2010

20

Prosta greda

Prosta greda

12/11/2010

21

OdreĎivanje ugiba na mestu sile 2

Primer je u tablicama na 43. strani

Izračunavamo ugib koji sila 1 pravi na mestu

sile 2

Izračunavamo ugib koji sila 2 pravi na mestu 2

Kao zbir odreĎujemo ukupni ugib

3223

16 l

az

l

z

l

b

l

z

l

b

B

Fly



sile 2, gde je a=2, b=4 mesto dejstva sile 1

od 20 kN i traženo z=4,

3223

16 l

az

l

z

l

b

l

z

l

b

B

Fly

81

7

6

620

6

24

6

4

6

41

6

4

6

4

6

620 23223

1

BByF

12/11/2010

22




od 50 kN i traženo z=4, pošto je to sada na

kraju polja 1 koristi se izraz do crte

3223

16 l

az

l

z

l

b

l

z

l

b

B

Fly

81

8

6

620

6

4

6

21

6

4

6

2

6

650 2223

2

BByF


Ukupan ugib je zbir koji prave obe sile za z=4

BBByyy FF

240

81

8

6

650

81

7

6

620 33

21

3240kNmBy

12/11/2010

23

OdreĎivanje nagiba na mestu sile 1

ugao u rad

Primer je u tablicama na 43. strani

Izračunavamo nagib koji sila 1 pravi na mestu

sile 1


1

Kao zbir odreĎujemo ukupan nagib

2222

3316 l

az

l

z

l

b

l

b

B

Fly




od 20 kN i traženo z=2, i pripada prvom polju

2222

1 3316 l

az

l

z

l

b

l

b

B

FlyF

27

4

6

620

6

23

6

41

6

4

6

620 2222

1

BByF

12/11/2010

24




od 50 kN i traženo z=2, i pripada prvom polju

2222

2 3316 l

az

l

z

l

b

l

b

B

FlyF

27

5

6

6

6

23

6

21

6

2

6

650 2222

2

B

F

ByF


Ukupan nagib je zbir koji prave obe sile na

z=4

BBByyy FF

27

1980

27

5

6

650

27

4

6

620 22

21

22 3333.7327

1980kNmkNmyB

12/11/2010

25


Ugib ispod sile 2

Nagib ispod sile 1

oradB

y 267.000468.01570727

1980

27

1980

mmmkNm

B

kNmy 27.1501527.0

15707

240240 33

Rezime:

Za odreĎivanje ugiba i nagiba nekog

statički odreĎenog nosača:

Prvo odrediti otpore oslonaca i nacrtati

statičke dijagrame

Dimenzionisati nosač ako to nije već učinjeno

Definisati savojnu krutost

12/11/2010

26

Rezime: Metoda direktne integracije

Napisati izraze za momente savijanja po

poljima

Izvršiti integraciju po promenljivim

Odrediti integracione konstante iz graničnih

uslova

Odrediti tražene vrednosti nagiba i ugiba

Rezime: Rešavanje korišćenjem tablica

Odrediti položaje i uticaj opterećenja

Očitati izraze za rešavani zadatak za sva

definisana opterećenja

Izvršiti zamenu vrednosti

Sabrati dobijene ugibe, odnosno nagibe

12/26/2009

1

Izvijanje

Kritična sila

Kritični napon

Dimenzionisanje

Kritična sila izvijanja

Greda opterećena aksijalnim pritisnim silama

Nastupa aksijalno naprezanje

Nastaje i aksijalna deformacija - skraćenje

Ležišta ne dozvoljavaju pomeranje grede

Postoji samo normalni napon

A

F

12/26/2009

2


Zbog velike dužine i neidealnosti grede dolazi

i do ugiba jer sila nije idealno centrična

Velika dužina i odstupanje od pravca pri

izradi

Materijal nije homogen

Sila ne deluje idealno u centru površine

A

F


Ovo je kod velike dužine samo teorijski

moguće

Greda se krivi i u pojedinim presecima,

momenti savijanja izazivaju ugibe

Normalni naponi nisu podjednako

raspoređeni po preseku

FyM f

12/26/2009

3


Ovakav slučaj aksijalnog naprezanja naziva

se IZVIJANJE

Javlja se kod dugačkih štapova

Kod debelih ređe, kada aksijalna sila pređe

kritičnu vrednost

FyM f


Kritična sila izvijanja dobija se iz izraza za

ugib i zavisi samo od krutosti grede B=EIx

Prema Ojlerovom obrascu kritična sila je

2

min2

l

IEF k

12/26/2009

4


Kritična sila izvijanja dobijena za slučaj

zglobno vezanog štapa na oba kraja

2

min2

l

IEF k

llr


Kritična sila izvijanja dobijena za konzolno

uklješten štap

2

min2

4 l

IEF k

llr 2

12/26/2009

5


Kritična sila izvijanja dobijena za dvostrano

uklješten štap

2

min2

4

4

l

IEF k

llr 2

1


Kritična sila izvijanja dobijena za konzolno

uklješten štap na jednom i zglobno uklješten

na drugom kraju

2

min2

4

2

l

IEF k

llr 71.0

12/26/2009

6


U Ojlerove formule uvodi se slobodna –

redukovana dužina

Predstavlja polovinu dužine talasa sinusne

linije savijanja

Tehnički predstavlja dužinu nosača koja

stvarno učestvuje u izvijanju i jednaka je

dužini elastične linije između prevojnih tačaka

Kritični napon izvijanja

Količnik između kritične sile izvijanja i

površine poprečnog preseka naziva se kritični

napon

2

min

2

r

Kk

lA

IE

A

F

12/26/2009

7


Napon je obrnuto srazmeran kvadratu

redukovane dužine

Kao što je poznato

Zamenom dobija se

2

minmin iAI

2

2

2

min22

Rr

k

E

l

iE


Jedinica za napon izvijanja je MPa

2

2

2

min22

Rr

k

E

l

iE

12/26/2009

9

Određivanje kritične sile

Poznata je:

Dužina grede

Poprečni presek

Način oslanjanja grede

Materijal od koga je greda napravljena

2

min

2

r

kl

IEF

Određivanje kritične sile

Ovo je ekstremna vrednost koju

konstrukcija može da izdrži a da ne

nastupi izvijanje

Izvijanje je opasno, pa se ne sme dozvoliti

u konstrukciji

Uvodi se stepen sigurnosti; maksimalna

sila koja se dozvoljava je 3 do 10 puta

manja od maksimalne: n=3-10n

kFF

kF

i

Kritični napon izvijanja - vitkost

Odnos redukovane dužine štapa i najmanjeg poluprečnika inercije

l r r

min

naziva se VITKOST ŠTAPA

12/26/2009

10

Za definisanu kritičnu silu

Za poznatu silu i stepen sigurnosti dobija

se najmanji moment inercije

Odnosno poprečni presek nosačaE

lF

E

lFI rrk

2

2

2

2

min

n

2

22

min

minr

E

F

i

IA

n

Dimenzionisanje štapova

napregnutih na izvijanje

Postoje tri metode dimenzionisanja:

Prema Ojlerovim obrascima

Prema Tetmajerovim obrascima

Prema omega postupku

12/26/2009

12

Dimenzionisanje štapova po

Tetmajerovim obrascima

Radi prevazilaženja problema

dimenzionisanja štapova male vitkosti

(kratki i debeli štapovi) razvijen je

Tetmajerov postupak

U izrazu su konstante za materijale

dobijene nakon niza eksperimenata

BAk

Dimenzionisanje štapova po

Tetmajerovim obrascima

Postupak se izvodi prvo po Ojlerovim

obrascima

Kada se ustanovi kolika je vitkost:

Za vitkost veću od kritične primeniti

Ojlerove obrasce

Za vitkost manju od kritične primeniti

Tetmajerov postupak i odrediti kritični

napon, a onda i površinu pop.preseka

k

FA

n

12/26/2009

13

Dimenzionisanje štapova po omega

postupku

Po ovom postupku dozvoljeni napon kod

izvijanja uzima se w puta manji od

dozvoljenog napona na pritisak

Vrednost koeficijenta proporcionalnosti w

zavisi od vitkosti i vrste materijala i daje se

tabelarno

dcdk

FFA

w

Rezime:

Konstrukcije sa aksijalno napregnutim

štapovima na pritisak nose rizik pojave savijanja

Ovakav slučaj naprezanja naziva se izvijanje

Ovako napregnute štapove treba proračunati na

izvijanje

Izvijanje je veoma opasno i ne sme se dozvoliti

Prema tipu konstrukcije definisati slobodnu –

redukovanu dužinu štapa

12/26/2009

14

Rezime:

Pri proračunu treba ustanoviti vitkost

posmatranog štapa

Ako je vitkost veća od kritične, onda je napon

manji od napona na granici proporcionalnosti na

pritisak i primenjuju se Ojlerovi obrasci

Ako je vitkost manja od kritične, primenjuje se

Tetmajerov postupak

Documents

mehanika-otpornost (1)