Embed Size (px)
Citation preview
Metod mreze za PDJ hiperbolicnog tipa
Mesoviti problem talasne jednacine:
∂2u
∂t2= a2
∂2u
∂x2, 0 ≤ x ≤ l, t ≥ 0
(T) u(0, t) = p(t), u(l, t) = q(t), t > 0 granicni uslovi
u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) 0 < x < l pocetni uslovi
Talasna jednacina se smenom p =∂u
∂t, q = a
∂u
∂xsvodi na sistem PDJ prvog reda
(1)∂p
∂t= a
∂q
∂x,
∂q
∂t= a
∂p
∂x
odnosno uvodenjem oznaka
U =
[pq
], A =
[0 11 0
]sistem PDJ (1) moze se zapisati u obliku
∂U
∂t= aA
∂U
∂x.
Zato je talasna jednacina u neposrednoj vezi sa tkz. advekcionom jednacinom
(2)∂u
∂t= −a∂u
∂x, x ∈ R, t > 0.
Zato cemo prvo razmotriti numericko resavanje PDJ (2) sa pocetnim uslovom u(x, 0) = g(x).
Advekciona jednacina
(3)
{∂u
∂t= −a∂u
∂x, a > 0
u(x, 0) = g(x)Pocetni problem advekcione jednacine
Iako je opste resenje PDJ (2) lako odrediti:
u(x, t) = F (x− at),
za proizvoljnu funkciju F ∈ C1(R), numericko resavanje ove PDJ je od interesa zbog nje-gove povezanosti sa numerickim resavanjem talasne jednacine, jer se upravo izucavanjem nu-merickog resavanja PDJ (2) moze doci do niza korisnih zakljucaka za numericko resavanjetalasne jednacine.
Resenje AJ ima konstantnu vrednost duz prave x− at = C = cont . i ta vrednost odredenaje pocetnim uslovom g(C) (Slika 1). Zato se prave x− at nazivaju karakteristikama advekcionejednacine.
1
Slika 1: Karakteristike AJ
Resenje AJ u tacki (x, t) odredeno je pocetnim uslovom za x = x − at (videti Sliku 2),odnosno vrednoscu g(x − at). Ovo svojstvo resenja AJ se ispostavlja da je vrlo vazno zanumericko resavanje i iz tog razloga uvodi se pojam matematicke (analiticke) oblasti zavisnostiresenja PDJ. Matematicka oblasti zavisnosti resenja PDJ u tacki (x, t) sadrzi sve tackex−ose (sve pocetne vrednosti) koje uticu na vrednost resenja u toj tacki. Za AJ oblast zavisnostiu(x, t) je SAMO tacka (x− a t, 0) tj. Du(x, t) = {x− a t}.
Slika 2: Matematicka oblast zavisnosti advekcione jednacine
Za numericko resavanje KP (3) interval za x ne sme ostati neogranicen, vec moramo odreditisegment [xL, xR] kome pripada prostorna promenljiva x. To naravno odmah namece pitanjekako odrediti granicne uslove o cemu ce vise biti reci kasnije. Dakle, numericki mi resavamoproblem
(4)
∂u
∂t= −a∂u
∂x, xL ≤ x ≤ xR, 0 ≤ t ≤ T
u(x, 0) = g(x), xL ≤ x ≤ xRu(xL, t) = hL(t) i (ili) u(xR, t) = hR(t), 0 ≤ t ≤ T
Saglasnost pocetnih i granicnih uslova:
g(xL) = u(xL, 0) = hL(0), g(xR) = u(xR, 0) = hR(0)
Korak 1. - konstrukcija mreze: cvorovi mreze (xi, tj)
prostorna diskretizacija: xi = xL + ih, i = 0, 1, 2, . . . , N
vremenska diskretizacija: tj = jk, j = 0, 1, 2, . . . ,M
koraci mreze h =xR − xL
N, k =
T
M• - poznate vrednosti u(xi, tj) = uij iz pocetnih i/ili granicnih uslova;
◦ - priblizne vrednosti ui,j ≈ u(xi, tj) koje treba odrediti.
2
Upwind i Downwind metod za AJ
Korak 2. - aproksimacija jednacine:
Upwind sema: Ako za aproksimaciju vremenskog parcijalnog izvoda ut koristimo operatorprednje razlike
ut(xi, tj) =u(xi, tj+1)− u(xi, tj)
k+O(k),
a za aproksimaciju prostornog parcijalnog izvoda ux koristimo operator zadnje razlike
ux(xi, tj) =u(xi, tj)− u(xi−1, tj)
h+O(h),
zamenom u AJ i odbacivanjem τij = O(k)+O(h), dobija se konzistentna eksplicitna diferencnaaproksimacija AJ reda tacnosti O(h, k) = ”forward-time backward-space”
diferencna ”upwind” sema = FTBS diferencna sema
(5) uj+1i = (1− λ)uji + λuji−1, za
{i = 1, 2, . . . , Nj = 0, 1, 2, . . . ,M − 1
gde je λ = ak
h(Slika 3-gore). Da bi primenili (5) potrebne su nam pocetne vrednosti u0i =
gi = g(xi) i vrednosti uj0, odnosno vrednosti resenja za x = xL za svako t > 0 - granicni uslovu(xL, t).
Slika 3: Diferencne seme advekcione jednacine
Downwind sema: Ako za aproksimaciju i vremenskog i prostornog parcijalnog izvodakoristimo operator prednje razlike
ut(xi, tj) =u(xi, tj+1)− u(xi, tj)
k+O(k), ux(xi, tj) =
u(xi+1, tj)− u(xi, tj)
h+O(h),
dobija se konzistentna eksplicitna diferencna aproksimacija AJ reda reda tacnosti O(h, k) =”forward-time forward-space”
3
diferencna ”downwind” sema - FTFS diferencna sema
(6) uj+1i = (1 + λ)uji − λu
ji+1, za
{i = 0, 1, 2, . . . , Nj = 0, 1, 2, . . . ,M − 1
gde je λ = ak
h(Slika 3-dole). Diskretizaciona greska je τij = O(h) + O(k) istog reda kao za
metod (5). Da bi primenili (6) potrebne su nam pocetne vrednosti u0i = gi = g(xi) i vrednostiujN+1, odnosno vrednosti resenja za x = xR za svako t > 0 - granicni uslov u(xR, t).
Slika 4: Numericko resenje AJ sa pocetnim uslovom (7) za t = 7
Primer 1. Resimo KP (3) sa pocetnim uslovom
(7) u(x, 0) = g(x) =
{1, 0 ≤ x ≤ 10, x < 0, x > 1
Tacno resenje je
u(x, t) =
{1, at ≤ x ≤ 1 + at0, x < at, x > 1 + at
Primenicemo ”upwind” i ”downwind” semu na D = [−10, 10] × [0, 7] sa a = 1. Broj pros-tornih koraka je N = 202, dok se broj vremenskih koraka M menja. ”Upwind” sema zahteva
4
poznavanje granicnog uslova za xL = −10. Kako mora biti u(xL, 0) = g(xL) = 0, uzimamouj0 = 0. ”Downwind” sema zahteva poznavanje granicnog uslova za xR = 10 i kako mora bitiu(xR, 0) = g(xR) = 0, uzimamo ujN+1 = 0. Rezultati su prikazani na Slici 4.
”Downwind” sema na Slici 4-(1) pokazuje ociglednu numericku nestabilnost. Pored toga,netrivijalni deo resenja (netrivijalni ”talas”) se krece u pogresnom smeru. S druge strane,”upwind” sema na Slici 4-(2) pokazuje numericku nestabilnost za M = 50, ali se kod nje baremnetrivijalni ”talas” krece u dobrom smeru. Sa povecanjem broja koraka M = 72 ”upwind”sema na Slici 4-(3) daje sasvim zadovoljavajuce rezultate. Iako bi bilo razumno ocekivati dasa povecanjem broja koraka M sema daje jos bolje rezultate to nije slucaj. Za M = 100 naSlici 4-(4) amplituda pribliznog resenja ”upwind” seme je manja od amplitude tacnog resenja,ispupcenje je previse siroko i krece se brze nego sto bi trebalo (videti Napomenu 3.). �
Numericka oblast zavisnosti resenja i CFL uslov
Da bi objasnili pojavu numericke nestabilnosti, pre svega podsetimo se da tacno resenjeima konstantnu vrednost duz karakteristike x − at = C, tako da vrednost u(x, t) zavisi samood pocetne vrednosti g(C) u tacki C = x − at. S druge strane, u trenutku t = tj pribliznavrednost uji ≈ u(xi, tj) dobijena primenom (5) zavisi od vrednosti uj−1i , uj−1i−1 . Ove dve vrednosti
se dobijaju koriscenjem vrednosti uj−2i , uj−2i−1 , uj−3i−1 , itd. Ako se vratimo do pocetnog vremenskog
trenutka t = t0 = 0 dolazimo do zakljucka da na pribliznu vrednost uji u cvoru (xi, tj) uticupocetne vrednosti
u0i−j = g(xi−j), . . . , u0i = g(xi)
u cvorovima na x−osi u intervalu [xi − jh, xi]. Numericka oblast zavisnosti resenja uji ≈u(xi, tj) moze se definisati kao skup svih cvorova na x−osi koji uticu na pribliznu vrednost ujiili kao skup svih cvorova mreze koji uticu na izracunavanje priblizne vrednosti uji . Numerickaoblast zavisnosti resenja ”upwind” seme (5) u cvoru (xi, tj) (Slika 5-(1)) je trougao
T(xi,tj) = {(x, t) : xi − jh ≤ x ≤ xi, 0 ≤ t ≤ tj},
odnosno Duji = {xi − jh, . . . , xi − h, xi}.
Slika 5: Numericka oblast zavisnosti resenja ”upwind” i ”downwind” seme u tacki (xi, tj)
Analogno, trougao
T(xi,tj) = {(x, t) : xi ≤ x ≤ xi + jh, 0 ≤ t ≤ tj},
5
odnosno Duji = {xi, xi+h, . . . , xi+ jh} predstavlja numericku oblast zavisnosti resenja ”down-wind” seme (6) u tacki (xi, tj) (Slika 5-(2)).
S druge strane, tacna vrednost u(xi, tj) zavisi samo od vrednosti g(ξ) za ξ = xi − atj =xi − ajk (na Slici 2 prikazana je matematicka oblast zavisnosti tacnog resenja AJ). Dakle, akoξ 6∈ [xi, xi + jh], promena pocetne vrednosti g(ξ) u okolini tacke x = ξ uticace na promenutacnog resenja u(xi, tj), ali nece uopste uticati na promene numerickog resenja ”down-wind”seme (Slika 6). Zato diferencna sema (6) ne moze obezbedite dobru aproksimaciju tacnogresenja u cvoru mreze (xi, tj).
Slika 6: CFL uslov
Da bi izbegli ovaj problem, diferencna sema mora da zadovolji CFL uslov postavljen 1952.godine od trojice matematicara Courant-Friedrichs-Lewy koji su postavili temelje numerickogresavanja PDJ hiperbolicnog tipa.
Slika 7: Matematicka i numericka oblast zavisnosti
CFL Uslov
Numericka oblast zavisnosti resenja mora sadrzatimatematicku oblast zavisnosti tacnog resenja problema.
6
Za ”upwind”semu (5) CFL uslov je ispunjen ako je
xi − jh ≤ ξ = xi − ajk ≤ xi ⇒ 0 ≤ ak ≤ h ⇒ 0 ≤ λ = ak
h≤ 1
CFL uslov ”upwind”seme za a > 0 → 0 ≤ λ = ak
h≤ 1.
U Primeru 1. na Slici 4 kada je M = 50 bice λ = 1.421 > 1, pa CFL uslov nije zadovoljen,sto je u skladu sa losim rezultatima koji su dobijeni. U preostala dva slucaja kada je M = 72→ λ = 0.986806 i M = 100 → λ = 0.7105, CFL uslov je zadovoljen.
Za ”downwind”semu (6), ako je a > 0, CFL uslov nije nikada ispunjen, jer ne postojiξ = xi − ajk tako da je
xi ≤ ξ = xi − ajk ≤ xi + jh ⇔ 0 ≤ −ak ≤ h .
Medutim, ovaj metod se moze uspesno primeniti na resavanje AJ sa a < 0, odnosno za negativnetalasne brzine.
CFL uslov ”downwind”seme za a < 0 → −1 ≤ λ = ak
h≤ 0.
Na osnovu Slike 5-(2) numericke oblasti zavisnosti resenja ”downwind” seme vidimo da nekapocetna vrednost u0,j utice samo na priblizne vrednosti u cvorovima koji se nalaze levo od nje,sto objasnjava kretanje ”talasa” na Slici 4-(1) u pogresnom smeru (ulevo).
Broj λ = ak
hnaziva se CFL broj. U primeni, CFL uslov se koristi za odredjivanje vre-
menskog koraka k, nakon sto se odredi prostorni korak h da bi se dobila odgovarajuca tacnost,tj.
k = λCFLh
|a|gde je λCFL < 1. Takodje, primetimo da CFL uslov namece zavisnost prostornog i vremenskogkoraka. Uslov ak/h ≤ 1 znaci da smanjenje prostornog koraka mreze h zahteva smanjenjevremenskog koraka.
CFL uslov se vrlo lako proverava i jedan je od osnovnih ”alata” za ispitivanje da li ce NMdobro ”raditi”, ali ispitivanje samo CFL uslova svakako nije dovoljno jer ima svojih oranicenja:
• CFL uslov ne garantuje stabilnost diferencne seme (ipak on daje vrlo brz odgovor da liuopste postoji nada da sema bude stabilna)
• CFL uslov se jedino primenjuje na PDJ hiperbolicnog tipa (npr. za jednacinu provodenjatoplote matematicka oblast zavisnosti u svakoj tacki je cela x−osa, tako da CFL uslov nebi zadovoljila ni jedna eksplicitna diferencna sema)
• CFL uslov ne daje informaciju o tacnosti numerickog resenja
CFL Teorema
CFL uslov je potreban za konvergenciju diferencne seme PDJhiperbolicnog tipa, linearne ili nelinearne.
7
Von Neumann metod ispitivanja stabilnosti
. Furijeova transformacije funkcije u : R→ R:
u(ξ) =1√2π
∫ ∞−∞
u(x)e−i ξ x dx
. Inverzna Furijeova transformacije funkcije u : R→ R:
u(ξ) =1√2π
∫ ∞−∞
u(x)ei ξ x dξ
Na mrezi {. . . , x−1, x0, x1, . . .} = hZ, xj = jh sa korakom h , posmatrajmo mreznu funkcijuw = {. . . , w−1, w0, w1, . . .} koja je aproksimacija funkcije u tj. wj ≈ u(xj)
. Furijeova transformacija mrezne funkcije w = {. . . , w−1, w0, w1, . . .} ∈ `2h :
(8) w(ξ) = h
∞∑m=−∞
e−i ξ jhwm, ξ ∈ [−π/h, π/h]
. Inverzna Furijeova transformacija mrezne funkcije w = (. . . , w−1, w0, w1, . . .) ∈ `2h:
wm =1√2π
∫ π/h
−π/hei ξ mhw(ξ) dξ.
Napomena 1. Funkcija w(ξ) definisana sa (8) je definisana za svako ξ ∈ R. Medjutim, kakoje za svaki prirodan broj m
e−i (ξ+2πmh
)xj = e−i ξ xje−i2πmh
jh = e−i ξ jh (cos(2πjm)− i sin(2πjm)) = e−i ξ xj
funkcija w(ξ) je 2π/h−periodicna funkcija na R, pa je dovoljno posmatrati je na [−π/h, π/h].Za funkciju w definisemo `2h−normu
||w|| =
(∫ π/h
−π/h|w(ξ)|2dξ
)1/2
Parsevalova Teorema.
||w||2 =
∫ π/h
−π/h|w(ξ)|2 dξ = h
∞∑m=−∞
|wm|2 = ||w||2h
Neka je resenje diferencne seme Lk,hv = 0 za fiksirano vreme n, {vnm}∞m=−∞ mrezna funkcijadefinisana na Z. Von Neumann metod ispitivanja stabilnosti diferencne seme (ili se jos nazivaFurijeov metod ispitivanja stabilnosti) zasniva se na primeni Furijeove inverzne transformacijemrezne funkcije vn(m) = vnm
(9) vn(m) =1√2π
∫ π/h
−π/hvn(ξ)ei ξ mh dξ
8
Posmatrajmo eksplicitnu DS
(10) vn+1m =
B∑l=−b
αl(k, h)vnm+l
Primenom (9) u (10) dobija se
1√2π
∫ π/h
−π/hvn+1(ξ)︸ ︷︷ ︸
(�)
ei ξ mh dξ =1√2π
B∑l=−b
αl(k, h)
∫ π/h
−π/hvn(ξ)ei ξ (m+l)h dξ
=1√2π
∫ π/h
−π/h
(vn(ξ)
B∑l=−b
αl(k, h)ei ξ lh
)︸ ︷︷ ︸
(�)
ei ξ mh dξ
Zbog jedinstvenosti Furijeove ransformacije (�) = (�), tj. vazice
vn+1(ξ) = vn(ξ)B∑
l=−b
αl(k, h)ei l ξh
odnosno vn+1(ξ) = vn(ξ)G(ξ, k, h)
⇒ vn(ξ) = vn−1(ξ)G(ξ, k, h) = vn−2(ξ)G2(ξ, k, h) = · · · = v0(ξ)Gn(ξ, k, h)
pri cemu cemo
G(ξ, k, h) =B∑
l=−b
αl(k, h)ei l hξ
nazivati faktor rasta diferencne seme. Ako oznacimo κ = hξ dobijamo da je faktor rastadiferencne seme (10) oblika
(11) G(κ, k, h) =B∑
l=−b
αl(k, h)ei l κ
Ako pretpostavimo da koeficijenti DS (10) ne zavisi od koraka mreze k, h tj. da je linearnajednokoracna DS (10) sa konstantnim koeficijentima i da je |G(ξ)| ≤ 1, primenom TeoremeParsevala imamo
h
∞∑m=−∞
|vnm|2 =
∫ π/h
−π/h|vn(ξ)|2 dξ =
∫ π/h
−π/h|v0(ξ)|2|G(ξ)|2n dξ ≤
∫ π/h
−π/h|v0(ξ)|2 dξ = h
∞∑m=−∞
|v0m|2 ,
odakle zakljucujemo da je DS (10) stabilna.Moze se pokazati generalno trvdjenje.
Teorema 1 Linearna jednokoracna DS (10) sa konstantnim koeficijentima je stabilna u oblastiΛ u odnosu na normu na `2h ako i samo ako postoji konstanta K tako da je
|G(κ)| ≤ 1 +K k
za svako κ i za svako (h, k) ∈ Λ.
9
Dakle, rast O(k) u faktoru rasta je dozvoljen u uslovu stabilnosti, jer je konstanta CT udefiniciji stabilnosti moze zavisiti od T , tako da za nk ≤ T , je (1 + kK)n ≤ ekKn ≤ eKT .
Napomena 2. Na osnovu opisanog postupka odredjivanja faktora rasta, odnosno oblika fak-tora rasta (11) za DS (9), vidimo da je za odredjivanje faktora rasta dovoljno u diferencnu semuzameniti diskretno resenje oblika
(12) ujm = G(ξ)jeiξ xm = G(ξ)jeiξ mh
Stabilnost Upwind i Downwind metode
Kako je (6) oblika
uj+1i =
1∑l=0
αjuji+l, α0 = 1 + λ, α1 = −λ
iz (11) dobijamo faktor rasta ”downwind” DS
G(κ) = (1 + λ)− λeiκ = 1 + λ− λ cosκ+ iλ sinκ
⇓
|G(κ)|2 = 1 + 2λ(λ+ 1)(1− cosκ) = 1 + 4λ(λ+ 1) sin2 κ
2
Da bi metod bio stabilan, G(κ)j mora ostati ograniceno kada j raste bez obzira na vrednost κ.
Uslov stabilnosti → |G(κ)| ≤ 1 za svako κ.
Dakle, za ”downwind” metod uslov stabilnosti je λ(λ+ 1) ≤ 0, tj. −1 ≤ λ ≤ 0
uslov stabilnosti ”downwind” metoda:
−1 ≤ λ ≤ 0 .
Za a > 0 (pozitivna talasna brzina) uslov stabilnosti ”downwind” metoda nije zadovoljen ni zajednu vrednost koraka k i h. Medutim, ovaj metod se moze uspesno primeniti na resavanje AJsa a < 0, odnosno za negativne talasne brzine.
Kako je (5) oblika
uj+1i =
0∑l=−1
αjuji+l, α−1 = λ, α0 = 1− λ
iz (11) dobijamo faktor rasta ”upwind” DS
G(κ) = λe−iκ + 1− λ = 1− λ+ λ cosκ− iλ sinκ
⇓
|G(κ)|2 = 1 + 2λ(λ− 1)(1− cosκ) = 1 + 4λ(λ− 1) sin2 κ
2
Dakle, za ”upwind” metod uslov stabilnosti je λ(λ− 1) ≤ 0, tj. 0 ≤ λ ≤ 1
uslov stabilnosti ”upwind” metoda:
0 ≤ λ ≤ 1 ,
sto je u saglasnosti sa CFL uslovom za pozitivne talasne brzine.
10
Metod centralne razlike za AJ
Ako za aproksimaciju vremenskog parcijalnog izvoda ut koristimo operator prednje razlike, aza aproksimaciju prostornog parcijalnog izvoda ux koristimo operator centralne razlike
ux(xi, tj) =u(xi+1, tj)− u(xi−1, tj)
2h+O(h2),
zamenom u AJ dobija se konzistentna eksplicitna diferencna aproksimacija AJ reda tacnostiO(h2, k) = ”central difference method” CD method - ”forward time centered space method”FTCS method
Metod centralne razlike - FTCS metod
(13) uj+1i = uji −
λ
2
(uji+1 − u
ji−1), za
{i = 1, 2, . . . , N − 1j = 0, 1, 2, . . . ,M − 1
Slika 8: Metod centralne razlike i Lax-Friedrich metod za AJ
Slika 9: Numericka oblast zavisnosti CD diferencne seme (13) i Lax-Wendroff diferencne seme(21)
CFL uslov za metod centralne razlike: CFL uslov je ispunjen ako je
xi − jh ≤ ξ = xi − ajk ≤ xi + jh ⇒ −h ≤ ak ≤ h ⇒ −1 ≤ λ = ak
h≤ 1 ⇒ |λ| ≤ 1 .
11
Stabilnost CD metode: Iz (11) dobijamo da je faktor rasta CD metode
G(κ) = 1− λ
2(eiκ − e−iκ) = 1− λi sinκ
⇓
|G(κ)|2 = 1 + λ2 sin2 κ ≥ 1 za svako κ
Dakle, |G(κ)| > 1 za svako κ, izuzev ako je κ = 0 ili κ = π, pa je CD metod (bezuslovno)nestabilan, ali zadovoljava CFL uslov.
CFL uslov i stabilnost
Ako je diferencna sema konzistenta aproksimacija dobro postavljenog problemalinearne PDJ, onda je CFL uslov potreban za stabilnost te diferencne seme
Lax-Friedrich method za AJ
Resenje problema nestabilnosti CD metode predlozili su Lax i Friedrich konstrukcijom novediferencne seme u kojoj je uji u CD metodi zamenjeno prostornom srednjom vrednosti tj.
uji ∼uji+1 + uji−1
2
Lax-Friedrich metod -LXF diferencna sema:
(14) uj+1i =
1− λ2
uji+1 +1 + λ
2uji−1, za
{i = 1, 2, . . . , N − 1j = 0, 1, 2, . . . ,M − 1
Konzistentnost Lax-Friedrich metode: Kako je φt = −aφx, bice
φtt = −aφxt = −aφtx = a2φxx
(dakle, svako resenje φ ∈ C2(D) advekcione jednacine je i resenje talasne jednacine) i φttt =−a3φxxx. Razvojem u Tejlorov red dobija se
φ(xi, tj + k) = φ(xi, tj) + k φt(xi, tj) +k2
2φtt(xi, tj) +
k3
6φttt(xi, tj) +O(k4)
= φ(xi, tj)− ak φx(xi, tj) +a2k2
2φxx(xi, tj)−
a3k3
6φxxx(xi, tj) +O(k4)(15)
i
φ(xi ± h, tj) = φ(xi, tj)± hφx(xi, tj) +h2
2φxx(xi, tj)±
h3
6φxxx(xi, tj) +O(h4)
⇓
(16) φ(xi + h, tj) + φ(xi − h, tj) = 2φ(xi, tj) + h2φxx(xi, tj) +O(h4)
12
(17) φ(xi + h, tj)− φ(xi − h, tj) = 2hφx(xi, tj) +h3
3φxxx(xi, tj) +O(h5)
Zamenom u (14), odnosno u
Lk,hu =uj+1i
k−uji+1 + uji−1
2k+
a
2h(uji+1 + uji−1) = 0
dobija se
Lk,hφ =φ(xi, tj + k)
k− φ(xi+1, tj) + φ(xi−1, tj)
2k+
a
2h(φ(xi+1, tj) + φ(xi−1, tj))
=
(a2k
2− h2
2k
)φxx(xi, tj) +O(k2) +O(h3/k) +O(h2)
= O(k) +O(h2k−1) +O(h2)
Dakle, diferencna sema Lax-Friedrich je konzistentna ako je h2k−1 → 0 i reda je tacnostiO(k) +O(h2k−1) +O(h2).
CFL uslov Lax-Friedrich metode: Numericka oblast zavisnosti resenja je ista kao kodCD metode, tako da je CFL uslov Lax-Friedrich metode λ ∈ [−1, 1].
Stabilnost Lax-Friedrich metode: Za faktor rasta Lax-Friedrich diferencne seme je
G(κ) = cosκ− λi sinκ ⇒ |G(κ)|2 = 1− (1− λ2) sin2 κ
Dakle, |G(κ)| ≤ 1 za svako κ, ako je 1− λ2 ≥ 0 tj. ako je zadovoljen CFL uslov.
Leapfrog method za AJ
Ako za aproksimaciju i vremenskog i prostornog parcijalnog izvoda ut, ux koristimo operatorcentralne razlike dobija se konzistentna eksplicitna diferencna aproksimacija AJ reda tacnostiO(h2, k2) = metod ”trule kobile” - metod ”zablji skok”
Leapfrog metod - LFG diferencna sema:
(18) uj+1i = uj−1i − λ
(uji+1 − u
ji−1), za
{i = 1, 2, . . . , N − 1j = 0, 1, 2, . . . ,M − 1
Konzistentnost Leapfrog metode: Kako je
φ(xi, tj − k) = φ(xi, tj)− k φt(xi, tj) +k2
2φtt(xi, tj)−
k3
6φttt(xi, tj) +O(k4)
= φ(xi, tj) + ak φx(xi, tj) +a2k2
2φxx(xi, tj) +
a3k3
6φxxx(xi, tj) +O(k4)(19)
zamenom (15), (17) i (19) u
Lk,hu =uj+1i − uj−1i
k+ a
uji+1 − uji−1
h= 0
13
Slika 10: Leapfrog metod
dobija se
Lk,hφ =φ(xi, tj + k)− φ(xi, tj − k)
k+ a
φ(xi+1, tj)− φ(xi−1, tj)
h
=
(ah2
3− a3k2
3
)φxxx(xi, tj) +O(k2) +O(h4) = O(k2) +O(h2)
Dakle, diferencna sema Leapfrog metode je konzistentna i reda je tacnosti O(k2) +O(h2).Stabilnost Leapfrog metode: Primenom (9) u (18) dobijamo
(20) vj+1(ξ) = vj−1(ξ)− λvj(ξ)(ei ξ h − e−i ξ h
)= vj−1(ξ)− λvj(ξ)2i sin(ξ h)
sto predstavlja diferencnu jednacinu drugog reda po vj(ξ) i da bi odredili njeno resenje posma-tramo karakteristicni polinom
g2 + (2iλ sinκ)g − 1 = 0, κ = ξh
ciji su koreni
g± = −iλ sinκ±√
1− λ2 sin2 κ
Opste resenje diferencne jednacine (20) je
vj(κ) = A(κ)gj+ +B(κ)gj−
Za izabrane pocetne uslove moze biti ili A(κ) = 0 ili B(κ) = 0, tako da je potreban uslov zastabilnost diferencne seme da i g+ i g− moraju zadovljavati uslov |g±| ≤ 1. Uslov je takodje idovoljan, jer ako je |g±| ≤ 1, onda je |A(κ)gj+ +B(κ)gj−| ≤ 2M , gde je M = max{A(κ), B(κ)}.
(1) Ako je |λ| > 1, postoji κ tako da je |g+| > 1 ili |g−| > 1, pa je DS nestabilna;
(2) Ako je |λ| < 1, onda je 1− λ2 sin2 κ ≥ 0, pa je g+ 6= g− i
|g±|2 = λ2 sin2 κ+ 1− λ2 sin2 κ = 1
odnosno uslov stabilnost DS je ispunjen za svako κ.
(3) ako je |λ| = 1, bice takodje |g±| = 1, ali postoji κ = ±π/2 tako da je λ2 sin2 κ = 1. Tadaje g+ = g− = −i i opste resenje diferencne jednacine (20) je
vj(± π
2h
)= A
(± π
2h
)(−i)j +B
(± π
2h
)j(−i)j
14
pa je zbog prisustva drugog sabirka i lineanog rasta po j diferencna sema nestabilna za |λ| = 1.Dakle, potreban i dovoljan uslov za stabilnost Leapfrog metode je |λ| < 1.
Lax-Wendroff method za AJ
Iz razvoja u Tejlorov red (15) imamo da je
φ(xi, tj + k) = φ(xi, tj)− ak φx(xi, tj) +a2k2
2φxx(xi, tj) +O(k3)
= φ(xi, tj)− akφ(xi + h, tj)− φ(xi − h, tj)
2h
+a2k2
2
φ(xi + h, tj)− 2φ(xi, tj) + φ(xi − h, tj)h2
+O(kh2) +O(k2h2) +O(k3)
i dobijamo eksplicitnu diferencnu semu
Lax-Wendroff metod - LXW diferencna sema
(21) uj+1i = uji −
λ
2
(uji+1 − u
ji−1)
+λ2
2
(uji+1 − 2uji + uji−1
), za
{i = 1, 2, . . . , N − 1j = 0, 1, 2, . . . ,M − 1
Konzistentnost Lax-Wendroff metode: Iz (21), odnosno
Lk,hu =uj+1i − ujik
+ auji+1 − u
ji−1
2h− a2k
2h2(uji+1 − 2uji + uji−1) = 0
zamenom (15), (16) i (17), dobija se
Lk,hφ =φ(xi, tj + k)− φ(xi, tj)
k+ a
φ(xi+1, tj)− φ(xi−1, tj)
2h
− a2k
2h2(φ(xi+1, tj)− 2φ(xi, tj) + φ(xi−1, tj))
=ah2
6φxxx(xi, tj) +O(k2) +O(kh2) = O(k2) +O(h2)
Dakle, diferencna sema Lax-Wendroff je konzistentna i reda je tacnosti O(k2) +O(h2).
CFL uslov za Lax-Wendroff metode: Numericka oblast zavisnosti resenja Lax-Wendroffmetode prikazana je na Slici (9). Trougao
T(xi,tj) = {(x, t) : xi − tj + t ≤ x ≤ xi + tj − t, 0 ≤ t ≤ tj},
odnosnoDuji = {xi−jh, . . . , xi−h, xi, xi+h, . . . , xi+jh} predstavlja numericku oblast zavisnostiresenja Lax-Wendroff metode (21) u tacki (xi, tj). Za razliku od ”upwind”i ”downwind” semegde je neka pocetna vrednost u0i uticala samo na vrednosti u cvorovima nalevo odnosno nadesno,kod Lax-Wendroff metode pocetna vrednost u0i utice na vrednosti u cvorovima u oba smera.Za semu (21) CFL uslov je ispunjen ako je
xi − jh ≤ ξ = xi − ajk ≤ xi + jh ⇒ −h ≤ ak ≤ h ⇒ −1 ≤ λ = ak
h≤ 1
15
CFL uslov Lax-Wendroff seme → |λ| ≤ 1.
Stabilnost Lax-Wendroff metode: Faktor rasta Lax-Wendroff diferencne seme je
G(κ) = 1− λ2 + λ2 cos (κh)− iλ sin(κh)
|G(κ)|2 =(1 + λ2(cos(κh)− 1)
)2+ λ2 sin2(κh) =
(1− 2λ2 sin2 κh
2
)2+ λ2 sin2(κh)
Koristeci da je sin2(κh) = 4 sin2 (κh/2)− 4 sin4 (κh/2) dobija se
|G(κ)| = 1− 4λ2(1− λ2) sin4
(κh
2
)≤ 1 za svako κ ⇒ λ ≤ 1
Dakle, |G(κ)| ≤ 1 za svako κ, ako je 1 − λ2 ≥ 0 tj. ako je zadovoljen CFL uslov. Dakle,Lax-Wendroff metod je uslovno stabilan.
Slika 11: Eksplicitne diferencne seme za resavanje advekcione jednacine za a > 0 i λ = ak/h
Primer 2. Podimo od oblika diferencne seme
(22) uj+1i = Auji+1 +B uji + C uji−1
i odredimo koeficijente A,B,C tako da dobijemo metod sto veceg reda tacnosti. Iz (22) za-menom tacnog resenja φ(xi, tj) dobija se
(23) φ(xi, tj + k) = Aφ(xi + h, tj) +B φ(xi, tj) + C φ(xi − h, tj) + τij
16
Koristeci (15), (16), (17) u (23) dobija se lokalna greska odsecanja τij/k
τijk
=1
k(φ(xi, tj + k)− Aφ(xi + h, tj)−B φ(xi, tj)− C φ(xi − h, tj))
=1
k(1− A−B − C)φ(xi, tj)−
h
k(A− C + λ)φx(xi, tj)(24)
− h2
2k(A+ C − λ2)φxx(xi, tj)−
h2
6k(A− C + λ3)φxxx(xi, tj) +O(k4h−1) +O(h3)
Ako A,B,C odredimo iz sistema jednacina
A+B + C = 1
A− C = −λA+ C = λ2
A =λ(λ− 1)
2, B = 1− λ2, C =
λ(λ+ 1)
2
dobijamo Lax-Wendroff diferencnu semu. �
Slika 12: Primena Lax-Wendroff diferencne seme na KP (3) sa pocetnim uslovom (7) za t = 7
Da bi primenili (21) potrebne su nam pocetne vrednosti u0i = gi = g(xi). Za razliku odprimene ”upwind” ili ”downwind” seme gde nam je bio potreban granicni uslov za x = xL, t > 0
17
ili x = xR, t > 0, za primenu (21) potrebne su nam oba granicna uslova u(xL, t) i u(xR, t).Granicni uslov u(xL, t) odredujemo kao i ranije iz saglasnosti granicnog i pocetnog uslova.Medutim postavlja se pitanje kako odrediti granicni uslov za x = xR. Jedan od najlaksih nacinaje da se primeni ”upwind” metod za izracunavanje priblizne vrednosti u0N+1. Prvo pitanje kojese postavlja je da li je to dobro, uzevsi u obzir da je ”upwind” metod reda tacnosti O(h),dok je Lax-Wendroff metod reda tacnosti O(h2), pogotovu uzevsi u obzir numericku oblastzavisnosti metoda (21) da vrednost u0N+1 utice na priblizne vrednost uji na celom segment[xL, xR]. Na srecu, kod primene Lax-Wendroff metod priblizne vrednosti u cvorovim ulevo vrlobrzo opadaju, tako da koristeci aproksimaciju reda O(h) za x = xR prakticno ne utice na redtacnosti Lax-Wendroff metode.
Primer 3. Primenimo Lax-Wendroff metod na KP (3) sa pocetnim uslovom (7). Na Slici12 prikazane su priblizna resenja dobijena primenom Lax-Wendroff metode za −10 ≤ x ≤ 10,0 ≤ t ≤ 7 za a = 1. Za granicne uslove uzeto je uj0 = ujN+1 = 0. Broj prostornih korakaje N = 100, dok se broj vremenskih koraka menja M ∈ {70, 72, 74, 100}, tako da je λ ∈{1.01, 0.981944, 0.955405, 0.707}.
Rezultati su prikazani na Slici 12. Ocekivano, za M = 70 metod pokazuje nestabilnost. Uporedenju sa ”upwind” metodom na Slici 4 oba metoda za M = 72 daju dobre rezultate, aliza M = 100 Lax-Wendroff metod daje bolje rezultate od ”upwind” metodom sto je naravnoposledica veceg reda tacnosti ovog metoda. �
Napomena 3. Ostaje jos da objasnimo zasto ”upwind” metod u Primeru 1. (Slika 4) sapovecanjem broja koraka sa M = 72 na M = 100 daje gore rezultate. Prostorni korak h jefiksiran, dok je za M = 72 → λ = 0.986806 i M = 100 → λ = 0.7105. Odgovor lezi u u ocenilokalne diskretizacione greske (24) za koeficijente A = 0, B = 1− λ,C = λ metoda (5)
τij = −1
2ah(1− λ)uxx(xi, tj) +O(h2) +O(k)
Dakle, lokalna diskretizaciona greska DS (24) je odredena vrednoscu
h(1− λ) = h(
1− k
h
)= h− k = h− T/M.
Prema tome, greska se povecava sa smanjenjem vremenskog koraka k odnosno sa povecanjembroja vremenskih koraka M , odnosno sa smanjenjem λ = k/h.
Implicitne diferencne seme AJ
Ako za aproksimaciju vremenskog parcijalnog izvoda ut koristimo operator zadnje razlike, aza aproksimaciju prostornog parcijalnog izvoda ux koristimo operator centralne razlike, ali navremenskom nivou j + 1:
ut(xi, tj+1) =u(xi, tj+1)− u(xi, tj)
k+O(k), ux(xi, tj+1) =
u(xi+1, tj+1)− u(xi−1, tj+1)
2h+O(h2),
zamenom u AJ dobija se konzistentna implicitna diferencna sema AJ reda tacnosti O(h2, k) =”backward time centered space method” BTCS method
18
Implicitni metod - BTCS metod
(25) uj+1i +
λ
2
(uj+1i+1 − u
j+1i−1)
= uji , za
{i = 1, 2, . . . , Nj = 1, 2, . . . ,M − 1
Faktor rasta BTCS metode je G(κ) =1
1 + λ i sinκ, tako da je |G(κ)|2 < 1 za svako κ, pa je
metod bezuslovno stabilan.
Implicitnu diferencnu semu AJ reda tacnostiO(h2, k2) mozemo dobiti usrednjavanjem FTCSmethode (13) i BTCS methode (27)
Implicitni θ−metod
(26) uj+1i = uji −
λ
2θ(uj+1i+1 − u
j+1i−1)− λ
2(1− θ)
(uji+1 − u
ji−1), za
{i = 1, 2, . . . , N − 1j = 1, 2, . . . ,M − 1
Specijalno, za θ = 12
dobija se
Implicitni metod - Crank-Nicholson metod = CNS metod
(27) uj+1i = uji −
λ
4θ(uj+1i+1 − u
j+1i−1)− λ
4(1− θ)
(uji+1 − u
ji−1), za
{i = 1, 2, . . . , N − 1j = 1, 2, . . . ,M − 1
Faktor rasta implicitne θ−metode je
G(ξ) =1− (1− θ)λ(1− cos(ξh))
1 + θλ(1− cos(ξh))
tako da je G(ξ) ≤ 1 za svako ξ, dok je G(ξ) > −1 ako je λ(1 − 2θ) ≤ 1.Prema tome, za 1
2≤ θ ≤ 1 implicitna θ−diferencna sema je bezuslovno stabilna, sto je i
ocekivano ako uzmemo u obzir cinjenicu da je prilikom usrednjavanja ”tezina” prebacena naimplicitni BTCS metod. Za 0 ≤ θ < 1
2implicitna θ−diferencna sema je uslovno stabilna, pod
uslovom λ(1− 2θ) ≤ 1.
Primer 4. Kosijev problem (A): Na KP advekcione jednacine
(28)∂u
∂t= a
∂u
∂x, a > 0
sa pocetnim uslovom
(29) g1(x) =
{0, x < 01, x ≥ 0
.
za 0 ≤ t ≤ T , primenimo eksplicitne metode:
• uj+1i = uji +
λ
2
(uji+1 − u
ji−1)− Forward-Euler DS = FEU
• (5) − ”upwind” DS = UPW
19
• (14) − Lax-Friedrichs DS = LXF
• (21) − Lax-Wendroff DS = LXW
• (18) − LeapFrog DS = LFG
i implicitne metode:
• uj+1i +
λ
2
(uj+1i+1 − u
j+1i−1)
= uji , − Backward-Euler DS = BEU
• (27) − Crank-Nicholson metod = CNS
za vrednosti parametra a = 0.5 i korake h = 0.04, k = 0.02 ⇒ λ = 0.25. Tacno resenje je
u(x, t) = g1(x+ at) = g1
(x+
t
2
)=
{0, x < −t/21, x ≥ −t/2
t = 0 → u(x, t) =
{0, x < 01, x ≥ 0
t = 1 → u(x, t) =
{0, x < −1/21, x ≥ −1/2
t = 2 → u(x, t) =
{0, x < −11, x ≥ −1
”ForwardEuler” diferencna sema analogno metodu centralne razlike (13) se pokazuje da jebezuslovno nestabilna, sto se vidi i na Slici 13 - nestailnost je prisutna i za male vrednostiλ = 0.25 .
UPW i LXF (Slika 13) daju dobre rezultate, ali im treba malo vise vremena da ”naprave”skok sa vrednosti 0 na vrednost 1 - ”malo su spori”.
LFG, BEU, CNS (Slika 13 i 14) produkuje oscilacije izmedju x0 − at i x0 + at, za pocetnuvrednost x0. Prekidnost pocetne funkcije g1 dovodi do pojave oscilacija kod LFG i implicitnihmetoda.
LXW (Slika 13) na pocetku premasuje skok sa vrednosti 0 na 1, ali ubrzo se ”koriguje” idaje dobre rezultate na preostalom prostornom intervalu.
Dakle, svaki metod ima svoje ”prednosti”, ali i ”nedostatke”.
20
Slika 13: Rezultati primene eksplicitnih metoda za parametar a = 0.5 i korake h = 0.04,k = 0.02 za KP (A)
21
Slika 14: Rezultati primene implicitnih metoda za parametar a = 0.5 i korake h = 0.04, k = 0.02za KP (A)
Kosijev problem (B): Primenimo sada iste metode na KP advekcione jednacine (28) sapocetnim uslovom
(30) g2(x) =
0, x < 01
h, x = 0
0, x > 0
.
Funkcija g2 moze se shvatiti kao diskretna aproksimacija Dirakove delta funkcije :
δ(x) =
{+∞, x = 00, x 6= 0
→∫ +∞
−∞δ(x) dx = 1 .
(granicna vrednost svih normalnih raspodela sa maksimumom u x = 0 : δa(x) = 1a√πe−
x2
a2 ,
kada a → 0.) Dirakove delta funkcije u fizici predstavlja idealizovani centar mase. U teorijiverovatnoce Dirakova delta distribucija se koristi za diskretnu raspodelu. Ovu diskretnu aproksi-maciju mozemo shvatiti kao veoma mali ”trougaoni talasic”. Najtezi deo za ma koju DS je dasacuva vrh ”trougaonog talasica” pri njegovom kretanju kroz vreme. U nasem primeru vrh”trougaonog talasica” je 1/h = 25. Za T = 2 (Slika 15 i 16) vecina eksplicitnih DS daje vrhsamo negde oko 5. Interesantno je napomenuti da FEU, iako bezuslovno nestabilan, JEDINI jeeksplicitni metod koji cuva vrh ”trougaonog talasica” na 25, dok oba implicitna metoda BEUi CNS dobro daju vrh ”trougaonog talasica” na 25.
Tacno resenje je
u(x, t) = g2(x+ at) = g2
(x+
t
2
)=
{0, x < −t/2, x > −t/21/h, x = −t/2
t = 0 → u(x, t) =
{0, x < 0, x > 01/h, x = 0
22
t = 1 → u(x, t) =
{0, x < −1/2, x > −1/21/h, x = −1/2
t = 2 → u(x, t) =
{0, x < −1, x > −11/h, x = −1
Slika 15: Rezultati primene eksplicitnih metoda za parametar a = 0.5 i korake h = 0.04,k = 0.02 za KP (B)
23
Slika 16: Rezultati primene implicitnih metoda za parametar a = 0.5 i korake h = 0.04, k = 0.02za KP (B)
Kosijev problem (C): Primenimo sada iste metode na KP advekcione jednacine (28) sapocetnim uslovom
(31) g3(x) = sin 2x .
Tacno resenje je
u(x, t) = g3(x+ at) = g3
(x+
t
2
)= sin(2x+ t)
Za razliku od prethodna dva pocetna uslova kod ovog KP g3 je neprekidna ali oscilatornafunkcija. Kod vecine DS primecuje su oscilacije kod levog granicnog uslova, sto je posledicanametanja granicnog uslova u numerickom resavanju pocetnog problema - tako da ukolikozanemarimo granicni uslov, mozemo zanemariti i oscilacije koje numericki metod proizvodi upribliznom resenju. S druge strane, glatkost pocetne funkcije g3 omogucava metodama konacnerazlike znatno jednostavniju primenu - vecina DS daje vrlo malu gresku. LXF jedini daje talasemanjih amplituda, dakle sa malo vecom greskom.
24
Slika 17: Rezultati primene eksplicitnih metoda za parametar a = 0.5 i korake h = 0.04,k = 0.02 za KP (C)
25
Slika 18: Rezultati primene implicitnih metoda za parametar a = 0.5 i korake h = 0.04, k = 0.02za KP (C)
Primenimo na kraju na na KP (A) advekcione jednacine (28) iste metode UPW, LXF,LXW, LFG, BEU, CNS za vrednosti parametra redom iz tabele (a) &1, (b) &2, (c) &3, (d)&4, (e) &5, (f) &6, pri cemu su na Slici 19 prikazane samo greske metode za t = 2.
PR a h k λ
&1 0.5 0.04 0.02 0.25&2 0.5 0.02 0.02 0.5&3 0.5 0.0138 0.02 0.72464&4 0.5 0.0137 0.02 0.72993&5 0.5 0.0101 0.02 0.9901&6 0.5 0.009 0.02 1.1111
26
Slika 19: Greske metoda za razlicite vrednosti λ primenjene na KP (A)
27
Talasna jednacina
Mesoviti problem talasne jednacine:
∂2u
∂t2= a2
∂2u
∂x2, 0 ≤ x ≤ l, 0 ≤ t ≤ T
(T) u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t), t > 0 granicni uslovi
u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) 0 < x < l pocetni uslovi
Korak 2. - aproksimacija jednacine: Ako za aproksimaciju oba parcijalna izvoda utt iuxx koristimo formule za centralno diferenciranje
utt(xi, tj) =u(xi, tj+1)− 2u(xi, tj) + u(xi, tj−1)
k2+O(k2),
uxx(xi, tj) =u(xi+1, tj)− 2u(xi, tj) + u(xi−1, tj)
h2+O(h2),
zamenom u TJ i odbacivanjem τij = O(k2) + O(h2), dobija se eksplicitna diferencna aproksi-macija (Slika 20)
eksplicitna diferencna sema talasne jednacine
(32) uj+1i = λ2uji+1 + 2(1− λ2)uji + λ2 uji−1 − u
j−1i , za
{i = 1, 2, . . . , Nj = 1, 2, . . . ,M − 1
Slika 20: Eksplicitne diferencne seme za resavanje talasne jednacine
• - poznate vrednosti u(xi, tj) = uji iz pocetnih i granicnih uslova:
u(0, t) = α(t) =⇒ u0,j = α(tj) = αj, j = 0, 1, 2, . . . ,M
u(l, t) = β(t) =⇒ uN+1,j = β(tj) = βj, j = 0, 1, 2, . . . ,M
u(x, 0) = g(x) =⇒ ui,0 = g(xi) = gi, i = 0, 1, 2, . . . , N + 1
28
Diferencnu jednacinu (32) mozemo zapisati u matricnom obliku:
(33) uj+1 = A uj − uj−1 + bj za j = 1, 2, . . . ,M − 1
gde je
(34) A =
2(1− λ2) λ2 0 0 0 . . . 0 0λ2 2(1− λ2) λ2 0 0 . . . 0 00 λ2 2(1− λ2) λ2 0 . . . 0 0
. . . . . . . . .
0 0 0 0 0 . . . 2(1− λ2) λ2
0 0 0 0 0 . . . λ2 2(1− λ2)
(35) uj =
uj1uj2...
ujN
, bj =
λ2αj
0...0
λ2βj
.
Ocigledno da bi startovali metod potrebne su nam vrednosti na dva vremenska nivoa,odnosno dve startne vrednosti u0 i u1 za odredivanje vrednosti uj, j = 2, 3, · · · ,M iz (33).Iz prvog pocetnog uslova poznate su nam samo vrednosti u0i na nivou j = 0, odnosno pocetnavrednost u0 = g, gde je
g =
g1g2...gN
.
Da bi odredili drugu pocetnu vrednost u1 koristi se aproksimacija drugog pocetnog sulova.
I nacin. Koristeci formulu za diferenciranje unapred, drugi pocetni uslov se moze aproksimi-rati pomocu
ut(xi, 0) = h(xi) = hi =u1i − u0i
k+O(k)
⇓
u1i = gi + k hi, i = 0, 1, 2, . . . , N .
Medutim formula za aproksimaciju drugog pocetnog uslova je samo reda O(k), dok je difer-encna sema reda tacnosti O(k2). Zato se za startovanje eksplicitnog metoda talasne jednacine,u primeni se najcesce uvodi fiktivni vremenski nivo za j = −1 i koristi aproksimacija drugogpocetnog uslova formulom za centralno diferenciranje, koja je reda tacnosti O(k2) (Slika 21).
II nacin. Koristeci formulu za za centralno diferenciranje, drugi pocetni uslov se mozeaproksimirati pomocu
ut(xi, 0) = h(xi) = hi =u1i − u−1i
2k+O(k2)
29
Slika 21: Eksplicitne diferencne seme za resavanje talasne jednacine
⇓
u−1i = u1i − 2khi
Za j = 0 iz (32) imamo
u1i = λ2u1i+1 + 2(1− λ2)u0i + λ2 u1i+1 − u−1i
⇓
u1i = λ2gi+1 + 2(1− λ2)gi + λ2 gi−1 − (u1i − 2khi)
⇓
u1i =λ2
2(gi+1 + gi−1) + (1− λ2)gi + khi, i = 1, 2, . . . , N
Dakle, dobijamo vrednosti na vremenskom intervalu za j = 1, sto nam zajedno sa vrednostimana vremenskom intervalu j = 0 omogucava startovanje eksplicitne metode. Dakle, trazenapocetna vrednost u1 za startovanje (33) je
u1 =1
2A u0 + k g +
1
2b0
CFL uslov eksplicitne diferencne seme za resavanje talasne jednacine
Znamo da je resenje pocetnog problema TJ dato Dalamberovom formulom
(36) u(x, t) =1
2
(g(x− at) + g(x+ at)
)+
1
2a
∫ x+at
x−ath(s)ds
Dakle, na vrednost u(x0, t0) uticu samo pocetne vrednosti izmedu preseka karakteristika x+at =x0 + at0 i x− at = x0 − at0 sa x−osom, tako da je matematicka oblast zavisnosti resenja TJ utacki (x0, t0) segement [x0−at0, x0+at0]. Matematicka oblast zavisnosti resenja TJ i numerickaoblast zavisnosti resenja eksplicitne diferencne seme (32) prikazane su na Slici 22. Numerickaoblast zavisnosti resenja eksplicitne diferencne seme (32) je
Duji = {xi − jh, xi − (j − 1)h, . . . , xi − h, xi, xi + h, . . . , xi + (j − 1)h, xi + jh}.
30
Slika 22: Matematicka oblast zavisnosti resenja TJ i numericka oblast zavisnosti resenja ek-splicitne diferencne seme (32)
Za eksplicitnu diferencnu semu (32) CFL uslov je ispunjen ako je
xi − jh ≤ xi − ajk < xi + ajk ≤ xi + jh ⇒ −jh ≤ ajk ≤ jh ⇒ −1 ≤ λ = ak
h≤ 1
CFL uslov eksplicitne diferencne seme (32) → −1 ≤ λ = ak
h≤ 1.
Stabilnost eksplicitne diferencne seme za resavanje talasne jednacine
Zamenom (12) u (32) dobija se
G(ξ)j+1ei ξ xi = λ2G(ξ)jei ξ xi+1 + 2(1− λ2)G(ξ)jei ξ xi + λ2G(ξ)jei ξ xi−1 −G(ξ)j−1ei ξ xi
= λ2G(ξ)jei ξ (xi+h) + 2(1− λ2)G(ξ)jei ξ xi + λ2G(ξ)jei ξ (xi−h) −G(ξ)j−1ei ξ xi
= G(ξ)jei ξ xi(λ2ei ξh + 2(1− λ2) + λ2e−i ξh
)−G(ξ)j−1ei ξ xi
(37) G(ξ)j+1 − 2(λ2 cos ξh+ 1− λ2
)G(ξ)j −G(ξ)j−1 = 0
⇓
G(ξ)2 − 2(λ2 cos ξh+ 1− λ2
)G(ξ)− 1 = 0
G(ξ)2 − 2(
1− 2λ2 sin2 ξh
2
)G(ξ) + 1 = 0
⇓
G(ξ)± = γ ±√γ2 − 1, γ = 1− 2λ2 sin2 ξh
2
Opste resenje diferencne jednacine (37) je
G(ξ) = aG(ξ)j+ + bG(ξ)j−
Za stabilnost metode neophodno je da |G(ξ)+| ≤ 1 i |G(ξ)−| ≤ 1 za svako ξ. Primetimo daje γ ≤ 1.
31
(i) Za γ < −1 je G(ξ)− = γ −√γ2 − 1 < −1.
(ii) Za −1 < γ < 1 je G(ξ)± = γ ± i√
1− γ2, pa je |G(ξ)±| = 1(ii) Za γ = ±1 je G(ξ)− = G(ξ)+ = 1, pa je opste resenje diferencne jednacine (37)
G(ξ) = c1 + c2j neograniceno bez obzira na vrednost ξ.Dakle, eksplicitna diferencna sema (32) je stabilna za |γ| < 1.∣∣∣1− 2λ2 sin2 ξh
2
∣∣∣ < 1 ⇒ −2 ≤ −2λ2 sin2 ξh
2< 0 ⇒ λ2 sin2 ξh
2≤ 1 .
Kako je 0 ≤ sin2 ξh2≤ 1 za svako κ = ξ h, eksplicitna diferencna sema (32) je stabilna ako vazi
CDF uslov 0 ≤ λ ≤ 1.
Ako za aproksimaciju parcijalnog izvoda uxx koristimo formule za centralno diferenciranjeu cvorovima (xi, tj+1), (xi, tj) i (xi, tj−1):
uxx(xi, tj+1) =u(xi+1, tj+1)− 2u(xi, tj+1) + u(xi−1, tj+1)
h2+O(h2),(38)
uxx(xi, tj) =u(xi+1, tj)− 2u(xi, tj) + u(xi−1, tj)
h2+O(h2),(39)
uxx(xi, tj−1) =u(xi+1, tj−1)− 2u(xi, tj−1) + u(xi−1, tj−1)
h2+O(h2),(40)
a za aproksimaciju parcijalnog izvoda utt koristimo formulu za centralno diferenciranje u cvoru(xi, tj):
(41) utt(xi, tj) =u(xi, tj+1)− 2u(xi, tj) + u(xi, tj−1)
k2+O(k2),
zamenom (39) i (41) u TJ 2utt(xi, tj) = 2a2uxx(xi, tj) i odbacivanjem τij = O(k2) + O(h2),dobija se
(42)2
k2
(uj+1i − 2uji + uj−1i
)=
2a2
h2
(uji+1 − 2uji + uji−1
).
Koristeci ideju da se uxx u cvoru (xi, tj) aproksimira vremenskom srednjom vrednosti tj.
uxx(xi, tj) ∼uxx(xi, tj+1) + uxx(xi, tj−1)
2
zamenom (38), (40) i (41) u TJ
2utt(xi, tj) ∼ a2(uxx(xi, tj+1) + uxx(xi, tj−1)
)i odbacivanjem τij = O(k2) +O(h2), dobija se
(43)2
k2
(uj+1i − 2uji + uj−1i
)=a2
h2
(uj+1i+1 − 2uj+1
i + uj+1i−1
)+a2
h2
(uj−1i+1 − 2uj−1i + uj−1i−1
).
Sabiranjem (42) i (43) dobija se implicitna diferencna aproksimacija
4(uj+1i −2uji+u
j−1i
)=a2k2
h2
[(uj+1i+1−2uj+1
i +uj+1i−1
)+2(uji+1−2uji+u
ji−1
)+(uj−1i+1−2uj−1i +uj−1i−1
)].
32
implicitna diferencna sema talasne jednacine
(44) − uj+1i+1 + 2
(1 +
2
λ2
)uj+1i − uj+1
i−1
= 2
(uji+1 − 2
(1− 2
λ2
)uji + uji−1
)+
(uj−1i+1 − 2
(1 +
2
λ2
)uj−1i + uj−1i−1
),
za
{i = 1, 2, . . . , Nj = 1, 2, . . . ,M − 1
Diferencnu jednacinu (44) mozemo zapisati u matricnom obliku:
(45)
(B +
4
λ2I
)uj+1 = 2
(4
λ2I−B
)uj −
(4
λ2I + B
)uj−1 − 4b za j = 1, 2, . . . ,M − 1
gde je
B =
2 −1 0 0 0 . . . 0 0−1 2 −1 0 0 . . . 0 00 −1 2 −1 0 . . . 0 0
. . . . . . . . .
0 0 0 0 0 . . . 2 −10 0 0 0 0 . . . −1 2
uj =
uj1uj2...
ujN
, b =
−10...0−1
.
Primer 5. Primenimo eksplicitnu diferencnu semu (32) = EXP i implicitnu diferencnu semu(44) = IMP na KP talasne jednacine
∂2u
∂t2= a2
∂2u
∂x2, xL ≤ x ≤ xR, 0 ≤ t ≤ T
u(x, 0) = gi(x), ut(x, 0) = h(x) ≡ 0 xR < x < xL pocetni uslovi
uz granicne uslove
u(xL, t) = αL(t) i (ili) u(xR, t) = αR(t), 0 < t < T
sa pocetnim uslovima kao u Primeru 4. tj. gde su funkcije gi(x), i = 1, 2, 3 date sa (29), (30),(31).
Zbog saglasnosti pocetnih i granicnih uslova mora biti
gi(xL) = u(xL, 0) = αL(0), gi(xR) = u(xR, 0) = αR(0)
0 = h(xL) = ut(xL, 0) = α′L(0), 0 = h(xR) = ut(xR, 0) = α′R(0)
33
Slika 23: EXP (32) i IMP (44) za KP TJ za funkciju g1(x) datu sa (29)
Vrednost parametra je a = 0.5, a koraci h = 0.02 i k = 0.02 → λ = 0.5.
Na Slici 26 prikazane su priblizna resenja dobijena primenom EXP i IMP za −2 ≤ x ≤ 2,0 ≤ t ≤ T za T ∈ {0, 1, 2}. Za granicne uslove uzeto je uj0 = 0, ujN+1 = 1.
Za pocetni uslov (29) tacno resenje koristeci (36) je
u(x, t) =1
2
(g1
(x− t
2
)+ g1
(x+
t
2
))t = 0 → u(x, t) =
{0, x < 01, x ≥ 0
t = 1 → u(x, t) =
0, x < −1/21/2, −1/2 ≤ x < 1/21, x ≥ 1/2
t = 2 → u(x, t) =
0, x < −11/2, −1 ≤ x < 11, x ≥ 1
Obe DS EXP i IMP daju dobre gotovo identicne rezultate za f-ju g1(x) dosta dobro prateciskok vrednosti resenja i sa 0 na 1/2 i sa 1/2 na 1, ali se primecuju male oscilacije u pribliznimresenjima ka sredini prostornog segmenta.
Ako EXP primenimo za vrednost parametra a = 0.5, i korake h = 0.02 i k = 0.04 → λ = 1,uocava se nestabilnost DS (Slika 24), dok za iste korake IMP daje dobre rezultate.
34
Slika 24: Nestabilnost eksplicitne diferencne seme (32) za KP TJ za funkciju g1(x) datu sa (29)
Za pocetni uslov (30) tacno resenje koristeci (36) je
u(x, t) =1
2
(g2
(x− t
2
)+ g2
(x+
t
2
))t = 0 → u(x, t) =
{0, x < 0, x > 01/h, x = 0
t = 1 → u(x, t) =
0, x < −1/2, −1/2 < x < 1/2, x > 1/21/h, x = −1/21/h, x = 1/2
t = 2 → u(x, t) =
0, x < −1, −1 < x < 1, x > 11/h, x = −11/h, x = 1
Na Slici 25 prikazane su priblizna resenja dobijena primenom EXP i IMP za −2 ≤ x ≤ 2,0 ≤ t ≤ T za T ∈ {0, 1, 2}. Za granicne uslove uzeto je uj0 = ujN+1 = 0.
I u ovom slucaju za f-ju g2(x), obe DS EXP i IMP daju dobre gotovo identicne rezultate,pri cemu dobro cuvaju vrh ”trougaonog talasica”, koji je u nasem primeru 1/h = 50, samo zat = 0, ali ne i za t = 1 i t = 2. Takodje se primecuju male oscilacije u pribliznim resenjima kasredini prostornog segmenta kod obe DS.
Za pocetni uslov (31) tacno resenje koristeci (36) je
u(x, t) =1
2
(g3
(x− t
2
)+ g3
(x+
t
2
))=
1
2
(sin(2x− t) + sin(2x+ t)
)= sin 2x cos t
EXP i IMP ocekivano daju dobre rezultate i za neprekidnu f-ju g3(x), pri cemu su amplitudetalasa takodje dosta dobre, jer su one jednake cos t ∈ {1, 0.54, 0.42} za t ∈ {0, 1, 2}. U ovomslucaju nema oscilacija u pribliznim resenjima, ali se primecuju da sa povecanjem T talasi upribliznom resenju su nepravilnijeg oblika. Takodje treba primetiti da za razliku od prethodnadva KP, u ovom slucaju greska je manja na sredini prostornog segmenta, dok se kod prethodnedva KP greska povecavala od krajeva segmenta [−2, 2] ka sredini.
35
Slika 25: EXP (32) i IMP (44) za KP TJ za funkciju g2(x) datu sa (30)
Slika 26: Eksplicitnu diferencna sema (32) za KP TJ za funkciju g3(x) date sa (31)
36
