Upload
vukhuong
View
250
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK
PERSAMAAN BURGERS-FISHER
SKRIPSI
oleh :
RIKKI SONETA NAINGGOLAN
155090400111008
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2019
SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK
PERSAMAAN BURGERS-FISHER
SKRIPSI
oleh :
RIKKI SONETA NAINGGOLAN
155090400111008
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS BRAWIJAYA
MALANG
2019
iii
LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI
SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK
PERSAMAAN BURGERS-FISHER
oleh:
Rikki Soneta Nainggolan
155090400111008
Setelah dipertahankan di depan Majelis Penguji
pada tanggal 19 Maret 2019
dan dinyatakan memenuhi syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Matematika
Pembimbing
Prof. Dr. Agus Suryanto., M.Sc.
NIP. 196908071994121001
Mengetahui,
Ketua Jurusan Matematika
Fakultas MIPA Universitas Brawijaya
Ratno Bagus Edy Wibowo, S,Si., M.Si., Ph.D
NIP. 197509082000031003
v
LEMBAR PERNYATAAN
Saya yang bertanda tangan di bawah ini:
Nama : Rikki Soneta Nainggolan
NIM : 155090400111008
Jurusan : Matematika
Penulis Skripsi berjudul : Skema Beda Hingga Tak
Standar untuk Persamaan
Burgers-Fisher
dengan ini menyatakan bahwa:
1. Isi skripsi yang saya buat adalah benar-benar hasil
pemikiran saya dan tidak menjiplak tulisan orang lain,
selain nama-nama yang tercantum pada daftar pustaka
sebagai acuan.
2. Apabila di kemudian hari skripsi saya terbukti hasil
jiplakan, maka saya bersedia menanggung segala resiko
yang akan saya terima.
Demikian pernyataan ini dibuat dengan segala kesadaran.
Malang, 19 Maret 2019
yang menyatakan,
Rikki Soneta Nainggolan
NIM. 155090400111008
vii
SKEMA BEDA HINGGA TAK STANDAR UNTUK
PERSAMAAN BURGERS-FISHER
ABSTRAK
Persamaan Burgers-Fisher adalah salah satu persamaan
diferensial nonlinear yang solusi eksaknya sulit ditentukan secara analitik. Pada skripsi ini dikonstruksi suatu skema
numerik menggunakan skema beda hingga tak standar untuk
mendapatkan solusi persamaan tersebut. Dengan menggunakan deret Taylor, dapat ditunjukkan bahwa kesalahan pemotongan
lokal skema beda hingga tak standar adalah . Dengan
melakukan simulasi numerik, dapat ditunjukkan bahwa skema
beda hingga tak standar stabil dan akurat ketika pemilihan ukuran langkah memenuhi syarat tertentu.
Kata Kunci: persamaan Burgers-Fisher, skema beda hingga tak standar, fungsi denominator, kestabilan
ix
NONSTANDARD FINITE DIFFERENCE SCHEME FOR
BURGERS-FISHER EQUATION
ABSTRACT
Burgers-Fisher equation is one of the nonlinear differential equations
whose exact solution is difficult to be determined analytically. In this final project, we construct a numerical scheme using a nonstandard
finite difference scheme to get solution of the equation. By using
Taylor series, it can be shown that the local truncation error of
nonstandard finite difference scheme is . By doing
numerical simulation, it can be shown that the nonstandard finite
difference scheme is stable and accurate when the step size satisfies
certain condition.
Keywords: Burgers-Fisher equation, nonstandard finite difference
scheme, denominator functions, stability
xi
KATA PENGANTAR
Puji syukur ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah
memberikan kemampuan dan kasih karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi berjudul “Skema Beda Hingga Tak
Standar untuk Persamaan Burgers-Fisher” meskipun masih banyak
kekurangannya. Penulis menyadari bahwa selama proses penyusunan skripsi
ada banyak pihak yang telah membantu baik secara akademik
maupun nonakademik. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih atas segala bantuan dan dukungannya
kepada
1. Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc selaku dosen pembimbing skripsi dan dosen pembimbing akademik yang dengan sabar
memberikan bimbingan, kritik, saran, dan ilmu selama proses
penyusunan skripsi ini. 2. Zuraidah Fitriah, S.Si., M.Si dan Drs. Marsudi, M.Si selaku
dosen penguji atas segala saran yang diberikan untuk perbaikan
skripsi ini. 3. Ratno Bagus Edy Wibowo, S.Si., M.Si., Ph.D selaku Ketua
Jurusan Matematika, Dr. Isnani Darti, S.Si., M.Si selaku ketua
Program Studi Matematika, Bapak dan Ibu dosen Jurusan
Matematika atas segala bantuan yang telah diberikan. 4. Ayah, Ibu, adik-adik dan seluruh keluarga terkasih yang terus
memberikan perhatian melalui materi, saran, dan doa sehingga
memeberikan semangat untuk menyelesaikan skripsi ini. 5. Keluarga besar FLaTS atas segala perhatian dan doa sehingga
penulis bisa menyelesaikan perkuliahan saat ini.
6. Gereja di Malang, kakak-kakak pengasuh, dan Brotherhouse yang menjadi keluarga selama penulis berada di Malang.
7. Keluarga besar Matematika 2015 atas segala kebersamaan
dalam menjalani proses perkuliahan.
8. Seluruh pihak terkait yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.
xii
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini masih
terdapat banyak kekurangan. Oleh karena itu, penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang membangun supaya penulis bisa
lebih baik lagi di kemudian hari. Kritik dan saran dapat dikirimkan
melalui email penulis [email protected]. Akhir kata, kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang
membutuhkan.
Malang, 19 Maret 2019
Penulis
xiii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN SAMPUL .................................................................. i
LEMBAR PENGESAHAN SKRIPSI ........................................ iii LEMBAR PERNYATAAN ......................................................... v
ABSTRAK ................................................................................. vii
ABSTRACT ................................................................................ ix
KATA PENGANTAR ................................................................. xi DAFTAR ISI ............................................................................. xiii
DAFTAR GAMBAR .................................................................. xv
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................ xvii BAB I PENDAHULUAN ............................................................. 1
1.1 Latar Belakang ............................................................1
1.2 Rumusan Masalah ........................................................2
1.3 Tujuan .........................................................................2
BAB II DASAR TEORI ............................................................... 3 2.1 Persamaan Diferensial .................................................3
2.2 Persamaan Burgers-Fisher ............................................4
2.3 Deret Taylor ................................................................5
2.4 Skema Beda Hingga .....................................................5
2.4.1 Diskretisasi domain .................................................6
2.4.2 Pendekatan turunan ..................................................7
2.4.3 Skema Beda Hingga Tak Standar (NSFD) ............... 9
2.4.4 Skema Beda Hingga Eksak ................................... 10
2.5 Kesalahan Pemotongan Lokal .................................... 12
BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN .................................... 15
3.1 Penurunan Skema Numerik ........................................ 15
3.2 Kesalahan Pemotongan Lokal .................................... 25
xiv
2.3 Simulasi Numerik ...................................................... 27
BAB IV PENUTUP .................................................................... 37
3.1 Kesimpulan ............................................................... 37
3.2 Saran .......................................................................... 37
DAFTAR PUSTAKA ................................................................. 39
LAMPIRAN ............................................................................... 41
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 2.1 Diskretisasi fungsi pada domain .............. 6
Gambar 2.2 Diskretisasi fungsi pada domain
............................................................ 7
Gambar 3.1 Simulasi skema beda hingga tak standar persamaan
Burgers dengan dan :
(a) Solusi Eksak dan Numerik; (b) Error .................. 28
Gambar 3.2 Simulasi ketika ........................................... 29
Gambar 3.3 Simulasi skema beda hingga tak standar
( : (a) Solusi Eksak dan
Numerik; (b) Error ................................................... 31
Gambar 3.4 Simulasi ketika ........................................... 32
Gambar 3.5 Simulasi skema beda hingga tak standar
( : (a) Solusi Eksak dan Numerik; (b) Error .................................................. 33
Gambar 3.6 Simulasi ketika .......................................... 34
Gambar 3.7 Simulasi skema beda hingga tak standar
( : (a) Solusi Eksak dan Numerik; (b) Error ................................................... 35
xvii
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1 Kesalahan Pemotongan Lokal ................................... 39
Lampiran 2 Program Simulasi Numerik Persamaan
Burgers-Fishers .......................................................... 42
Lampiran 3 Program Simulasi Numerik Persamaan Burgers ........ 44
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Dalam beberapa dekade terakhir, persamaan diferensial
nonlinear memainkan peranan penting dalam ilmu fisika. Persamaan ini sering dipakai untuk memodelkan persamaan yang berkaitan
dengan gelombang. Tidak hanya dalam ilmu fisika, persamaan ini
juga menjadi penting di bidang sains lainnya, seperti biologi, kimia, dan ekonomi.
Salah satu persamaan diferensial nonlinear yang sering
digunakan dalam kaitannya dengan ilmu fisika adalah persamaan Burgers-Fisher yang diterapkan pada dinamika fluida. Di sisi lain,
persamaan Burgers-Fisher juga digunakan dalam matematika
keuangan, dinamika gas, dan arus lalu lintas. Persamaan Burgers-
Fisher dapat dituliskan sebagai berikut
Pada umumnya penentuan solusi persamaan diferensial
nonlinear tidak mudah dilakukan sehingga diperlukan solusi pendekatan secara numerik (Wazwaz, 2009). Beberapa penelitian
oleh para ahli memperkenalkan beberapa metode yang digunakan
untuk mencari solusi persamaan Burgers-Fisher secara numerik.
Beberapa metode yang diperkenalkan adalah metode beda hingga tak standar (Mickens, 2000), metode kolokasi spektral (Javidi, 2006), dan
dekomposisi domain spektral (Golbabai, 2009).
Di antara beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan diferensial, skema beda hingga tak standar (NSFD/Nonstandard Fnite
Difference Method) telah terbukti sebagai salah satu pendekatan yang
paling efisien dalam beberapa tahun terakhir (Zhang dkk, 2013). Mickens dan Gumel (2002) telah memberikan konstruksi dan analisis
skema beda hingga tak standar untuk persamaan Burgers-Fisher.
Selanjutnya, penggunaan skema beda hingga tak standar terus
berkembang dan telah digunakan dalam beberapa penelitian, seperti, Roeger dan Mickens (2007) untuk persamaan diferensial orde satu,
2
serta Erdogan dan Ozis (2011) untuk masalah nilai batas nonlinear
orde dua. Pada tahun 2013 Zhang dkk meneliti skema beda hingga tak
standar dan beda hingga eksak untuk persamaan Burgers-Fisher. Pada
skripsi ini, penelitian tersebut akan diulas kembali dan akan
ditunjukkan penurunan skemanya terhadap persamaan Burgers-Fisher. Selanjutnya, akan ditentukan kesalahan pemotongan lokal
skema beda hingga tak standar untuk mengetahui orde kesalahannya,
dan pada bagian simulasi numerik akan diketahui efisiensi dan keakuratan skema beda hingga tak standar terhadap persamaan
Burgers-Fisher.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan uraian dari latar belakang, rumusan masalah
yang akan dibahas pada skripsi ini adalah sebagai berikut
1. Bagaimana penurunan skema beda hingga eksak dan beda hingga tak standar persamaan Burgers-Fisher ?
2. Bagaimana menentukan kesalahan pemotongan lokal skema beda
hingga tak standar persamaan Burgers-Fisher ? 3. Bagaimana hasil simulasi numerik skema beda hingga tak standar
persamaan Burgers-Fisher ?
1.3 Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan dari skripsi ini
adalah sebagai berikut
1. Mengkonstruksi skema beda hingga eksak dan beda hingga tak
standar persamaan Burgers-Fisher
2. Menghitung kesalahan pemotongan lokal skema beda hingga tak standar persamaan Burgers-Fisher
3. Melakukan simulasi numerik skema beda hingga tak standar
persamaan Burgers-Fisher dan memberikan interpretasi hasil
39
DAFTAR PUSTAKA
Chandraker, V., Awasthi, A., dan Jayaraj, S. 2016. Numerical
Treatment of Burger-Fisher equation. Procedia Technology.
vol.25. hal 1217-1225.
Debnath, L. 2012. Nonlinear Partial Differential Equations for
Scientist and Engineer, edisi ke-3. New York: Birkhäuser.
Erdogan, U., dan Ozis, T. 2011. A smart nonstandard finite difference
scheme for second order nonlinear boundary value problems.
Journal of Computational Physics. vol.230. hal 6464–6474.
Lam, C. 1994. Applied numerical method for partial differential
equations. Singapura: Prentice Hall.
Mickens, R. E., Oyedeji, K., dan Rucker, S. 2005. Exact finite
difference scheme for second-order, linear ODEs having constant coefficients. Journal of Sound and Vibration.
vol.287. hal 1052–1056.
Mickens, R. E., dan Gumel, A. B. 2002. Construction and analysis of a nonstandard finite difference scheme for the Burgers-
Fisher equation. Journal of Sound and Vibration. vol. 257. hal
791-797.
Mickens, R. E. 2000. Applications of Nonstandard Finite Difference
Schemes. Singapura: World Scientific.
Munir, R. 2003. Metode Numerik. Bandung: INFORMATIKA
Bandung.
Roeger, L. I. W., dan Mickens, R. E. 2007. Exact finite-difference
schemes for first order differential equations having three
distinct fixed-points. Journal of Difference Equations and Applications. vol.13. hal 1179–1185.
Storey, B. D. 2003. Numerical Methods for Differential Equations. Massachusetts: Franklin. W. Olin College of Engineering.
40
Suryanto, A. 2017. Metode Numerik untuk Persamaan Diferensial
Biasa dan Aplikasinya dengan Matlab. Malang: Universitas Negeri Malang.
Wazwaz, A. M. 2009. Partial Differential Equations and Solitary
Waves Theory. New York: Springer.
Zhang, L., Wang, L., dan Ding, X. 2014. Exact finite difference
scheme and nonstandard finite difference scheme for Burgers and Burgers-Fisher Equations. Journal of Applied
Mathematics. Vol. 2014.