BAB 3

BAB 3Metode Simpleks

A. Pengertian Metodesimpleksmerupakansalahsatuteknikpenyelesaian dalam program linear yang digunakan sebagai teknik pengambilan keputusan dalam permasalahan yang berhubungan dengan pengalokasian sumberdaya secara optimal. Metode simpleks digunakan umtuk mencari nilai optimal dari program linear yang melibatkan banyak constraint (pembatas) dan banyak variabel. Penemuanmetodeinimerupakanlompatanbesardalamrisetoperasidandigunakan sebagai prosedur penyelesaian dari setiap program komputer.A.PendahuluanMetodepenyelesaianprogramlinierdenganmetodesimplekspertamakalidikemukakanoleh George Dantzig pada tahun 1947. Metode ini menjadi terkenal ketika diketemukan alat hitung elektronik dan menjadi popular ketika munculnya computer. Proses perhitungan metode ini dengan melakukan iterasi berulang-ulang sampai tercapai hasil optimal dan proses perhitungan ini menjadi mudahdengankomputer.Selanjutnyaberbagaialatdanmetodedikembangkanuntukmenyelesaikan masalah program linear bahkan sampai pada masalah riset operasi hingga tahun 1950an seperti pemrogaman dinamik, teori antrian, dan persediaan.ProgramLiniermerupakanmetodematematikdalammengalokasikansumberdayayang langka untuk mencapai tujuan tunggal seperti memaksimumkan atau meminimumkan biaya. Program linier banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, industri, militer, social, dan lain-lain.Karakteristikpersoalandalamprogramlinieradalahsebagaiberikut : Adatujuanyangingindicapai Tersediabeberapaalternatifuntukmencapaitujuan Sumberdayadalamkeadaanterbatas Dapatdirumuskandalambentukmatematika(persaman/ketidaksamaan)

Contohpernyataanketidaksamaan:Untukmenghasilkansejumlahmejadankursisecaraoptimal, total biaya yang dikeluarkan tidak boleh lebih dari dana yang tersedia.Adaduametodepenyelesaianmasalahyangdigunakan dalam program linearmprogramlinier,yaitumetode grafis(untuk2variabel)danmetodesimpleks(untuk2variabelataulebih).Beberapaketentuan yang perlu diperhatikan dalam penyelesaian metode simpleks :1. Nilaikananfungsitujuanharusnol(0)2. Nilaikananfungsikendalaharuspositif.Apabilanegatif, nilai tersebut harus dikali dengan .3. Fungsikendaladengantandaharusdiubahkebentuk=denganmenambahkanvariabel slack/surplus. Variabel slack/surplus disebut juga variabel dasar. Penambahanslackvariabel menyatakan kapasitas yang tidak digunakan untuk menyatakan kapasitas yang tidak digunakan atau tersisa pada sumber daya tersebut. Hal ini karena ada kemungkinan kapasitas yang tersedia tidak semua digunakan dalam proses produksi.4. Fungsikendaladengantandadiubahkebentukdengancaramengkalikandengan-1, lalu diubah ke bentuk persamaan (=) dengan ditambah variabel slack. Kemudian karena nilai kanannya negatif, dikalikan lagi dengan (-1) dan ditambah artificial variabel (M)Artificial variabel ini secara fisik tidak mempunyai arti, dan hanya digunakan untuk kepentingan perhitungan saja.5. Fungsikendaladengantanda=harusditambahartificialvariabel(M)

Metodesimplexmerupakanproseduraljabaryangbersifatiteratif,yangbergerakselangkah demi selangkah, dimulai dari satu titik ekstrem pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju titik ekstrem optimum.

B.FORMULASIMODELPROGRAMLINIERMasalahkeputusanyangseringdihadapianalisadalahmengalokasikansecaraoptimum keterbatasan/kelangkaan sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruang atau teknologi. Tugas analisis adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya itu. Hasil yang diinginkan mungkin ditunjukan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran profit, penjualan dan kesejahteraan, atau minimasi pada biaya, waktu dan jarak. Masalah optimasi ini dapat diselesaikan dengan program linear.Langkah-langkah dalam penyusunan model program linier adalah sebagai berikut : DefinisikanVariabelKeputusan(DecisionVariable) Variabelyangnilainyaakandicari RumuskanFungsiTujuan:1. MaksimisasiatauMinimisasi2. Tentukankoefisiendarivariabelkeputusan RumuskanFungsiKendalaSumberdaya:1. Tentukankebutuhansumberdayauntukmasing- masing peubah keputusan. 2. Tentukanjumlahketersediaansumberdayasbgpembatas. Tetapkankendalanon-negatif Setiapkeputusan(kuantitatif)yangdiambiltidakbolehmempunyainilainegatif.

ContohPersoalan:(PerusahaanMeubel)Suatuperusahaanmenghasilkanduaproduk,mejadankursiyangdiprosesmelaluiduabagian fungsi : perkitan dan pemolesan. Pada bagian perakitan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian pemolesan hanya 48 jam kerja. Untuk menghasilkan 1 meja diperlukan 4 jam perkitan dan 2 jam kerja pemolesan, sedangkan untuk menghasilkan 1 kursi diperlukan 2 jam kerja perakitan dan 4 jam kerja pemolesan. Laba untuk setiap meja dan kursi yang dihasilkan masing-masing Rp. 80.000 dan Rp. 60.000,-Berapa jumlah meja dan kursi yang optimal dihasilkan ?Penyelesaian:Definisivariabelkeputusan:Keputusanyangakandiambiladalahberapakahjumlahmejadankursiygakandihasilkan.Jikameja disimbolkan dengan M dan kursi dengan K, maka definisi variabel keputusan :M=jumlahmejayangakandihasilkan(dalamsatuanunit)K=jumlahkursiyangakandihasilkan(dalamsatuanunit)Perumusanpersoalandalambentuktabel:PROSESWaktuyangdibutuhkanperunitTotalJam Tersedia

MejaKursi

Perakitan4260

Pemolesan2448

Laba/unit8000060000

Perumusanfungsitujuan:Labauntuksetiapmejadankursiygdihasilkanmasing- masing Rp. 80.000 dan Rp. 60.000. tujuan perusahaan adalah untuk memaksimumkan laba dari sejumlah meja dan kursi yang dihasilkan . dengan demikian, fungsi tujuan dapat ditulis FungsiMaks.:Laba=8M+6K(dalamsatuanRp.10.000)Perumusanfungsikendala:Dengankendala: 4M+2K60 2M+4K48Kendalanon-negatif:Mejadankursiyangdihasilkantidakmemilikinilainegatif.M0K0C.KetentuanPenggunaanTabelSimpleks Fungsifungsibatasanmenggunakannotasi FungsiBatasanharusdiubahdarikebentuk=denganmenambahkanslackvariable (variabel surplus) yang dimulai dari Xn+1,Xn+2.Xn+m Prosespengulangandihentikanapabilakoefisienkoefisien dari fungsi tujuan sudah tidak ada yang negartif. Bentuktabelsimpleksadalahsebagaiberikut:

Dimana:m=BanyaknyafungsiBatasan(kendala)n=BanyaknyavariableOuput=Batasansumber1=Batasansumber2bm=batasansumbermD.MetodeSIimpleksMaksimisasiUntukimplementasimetodesimpleksmaksimisasi,kasusyangdiambiladalahcontohpada perusahaan meubel pada bagian 2. Tahapan-tahapannya dijelaskan pada bagian berikut.1.Menentukanfungsitujuandanfungsi-fungsikendalaMisalkan=Mejadan=KursiFungsiTujuan:Z=8+6Fungsi-fungsiKendala:1. 4+2602. 2+4 48 2. MengubahfungsitujuandanfungsikendalakebentukstandarBentukStandarSimpleks:

Dengandanadalahvariabelslack.3.Membuattabelsimpleksawal MenentukanKolomKuncidanBarisKuncisebagaidasariterasi. KolomkunciditentukanolehnilaiZyangpalingkecil(Negatif) BarisKunciditentukanberdasarkannilaiindeksterkecil.Caramenentukanindeks= Menentukannilaielemencellyaitunilaiperpotonganantarakolomkuncidenganbariskunci.Langkah-langkah di atas disajikan pada tabel simpleks berikut ini.

4.MelakukanIterasiDenganmenentukanbariskuncibarudanbaris- baris lainnya termasuk Z.Membuatbariskuncibaru

MembuatbarisZbaru

MembuatbarisvariabelbaruBarisBaru=BarisLama (Nilai Kolom Kunci Barisyang Sesuain* Baris Kunci Baru)BarisBaru=

Bariskuncibaru(),barisZbaru,barisbaru, nilai-nilainua sidajikan pada tabel simpleks berikut. Tabel simpleks ini adalah tabel simpleks hasil iterasi pertama.6. LakukanIterasiKembalisampaitidakadanilaibarisZyang negatif.MembuatbariskuncibaruBaris Kunci baru () =

Membuat baris Z baru

Membuatbarisvariabel baru

Bariskuncibaru(),barisZbaru,baris()baru,nilai-nilainya disajikan pada tabel simpleks berikut. Tabel simpleks ini adalah tabel simpleks iterasi kedua.

6.HasilKarenanilai- nilai pada baris Z sudah tidak ada yang negatif, berarti iterasi selesai, dan solusi yang diperoleh adalah dan nilai fungsi tujuan Z (laba) = 132 (dalam puluhan ribu rupiah). Artinya, untuk memperoleh keuntungan yang maksimum sebesar Rp. 1.320.000,- maka perusahaan sebaiknya memproduksi meja sebanyak 12 unit dan kursi sebanyak 6 unit. Dari tabel tersebut juga diketahui nilai dan tidak ada (artinya seluruh waktu kerja (perakitan dan pemolesan) sudah habisdigunakan,tidakadawaktuyangtersisa.

F. KESIMPULANRingkasanProsedurMetodeSimpleks Formulasikanpersoalankedalammodellinear TambahkanvariabelSlackpadamasing- masing constraint (pembatas ) untuk memperoleh bentuk standar. Model ini digunakan untuk identifikasi solusi feasible awal dari pembatas bertanda lebih kecil atau sama dengan. Buattabelsimpleksawal(initialsimplextable) PilihKolomKunci,yangmemilikinilaiZterkecil. PilihBarisKunciyangmemilikinilaiindeksterkecil.Nilaiindeksadalahperbandingan antara nilai kanan dengan kolom kunci. Menentukannilaielemencellyaitunilaiperpotonganantarakolomkuncidenganbaris kunci. Lakukaniterasi,denganmembuatbariskuncibaru,barisZbaru,danbarisvariabel-variabel slack baru.BariskuncibaruditentukandenganMembagibarisku nci lama dengan elemen cell. BarisZBarudanbaris-baris lainnya ditentukan dengan cara = baris lama (nilai kolom kunci yang sesuai*baris kunci baru) Letakkannilai-nilai baris yang baru diperoleh tadi ke dalam tabel. JikapadabarisZmasihterdapatnilainegatif,makaulangiprosedur4kembali

82