Método de Jacobi

En análisis numérico el método de Jacobi es un método iterativo, usado para resolver sistemas de ecuaciones lineales del tipo . El algoritmo toma su nombre del matemático alemán Carl Gustav Jakob Jacobi. El método de Jacobi consiste en usar fórmulas como iteración de punto fijo.

La sucesión se construye descomponiendo la matriz del sistema en la forma siguiente:

Donde

, es una matriz diagonal., es una matriz triangular inferior., es una matriz triangular superior.

Partiendo de , podemos reescribir dicha ecuación como:

Luego,

Si aii ≠ 0 para cada i. Por la regla iterativa, la definición del Método de Jacobi puede ser expresado de la forma:

Donde es el contador de iteración, Finalmente tenemos:

Cabe destacar que al calcular xi(k+1) se necesitan todos los elementos en

x(k), excepto el que tenga el mismo i. Por eso, al contrario que en el método Gauss-Seidel, no se puede sobrescribir xi

(k) con xi(k+1), ya que su

valor será necesario para el resto de los cálculos. Esta es la diferencia más significativa entre los métodos de Jacobi y Gauss-Seidel. La cantidad mínima de almacenamiento es de dos vectores de dimensión n, y será necesario realizar un copiado explícito.

Una ecuación lineal es aquella en la que sus incógnitas están solas (con su coeficiente) y tienen exponente 1. La que no cumpla estas condiciones es una ecuación no lineal.

Método de Gauss-Seidel

Es necesario despejar cada variable manualmente y codificarla como una función. El resto del algoritmo es básicamente igual que en sistemas de ecuaciones lineales. Este método no es muy apropiado si la función es relativamente compleja.

         

Método de Newton-Rapson

Partiendo del desarrollo en serie de Taylor, este método reduce el sistema de ecuaciones no lineales a uno con ecuaciones lineales en las que aparecen derivadas de las funciones originales como nuevos coeficientes y las funciones originales (con signo negativo) como términos independientes. Será necesario codificar las funciones (ecuaciones) originales y sus derivadas (que se calcularán a mano) en funciones individuales.

El algoritmo resuelve el nuevo sistema de ecuaciones iterativamente, de forma que en cada iteración se aproxima más a la solución.

           

La solución del algoritmo queda en el vector xvect.

El procedimiento RellenarMat (mat, xvect) será:

        

Se produce aquí un pequeño cambio de variable. Las incógnitas del nuevo sistema de ecuaciones lineales ya no son las iniciales (supongamos x). De forma que:

                           

O sea, hi es la diferencia entre la variable xi de la iteración anterior y la actual.

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA

MATERIA: METODO NUMERICO

TEMA: METODOS NO LINIALES

MASTRO: LUIS BERNARDO VELASCO GONSALEZ

ALUMNO: DIEGO CESAR CLEMENETE LEYVA

SEMESTRE: VARIOS

TURNO MIXTO

OMETEPEC GRO. 31/05/12

INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE LA COSTA CHICA

MATERIA: METODO NUMERICO

TEMA: METODOS NO LINIALES

MASTRO: LUIS BERNARDO VELASCO GONSALEZ

ALUMNA: DANIELA FUENTEZ CRUZ

SEMESTRE: 4°

TURNO: VESPERTINO

OMETEPEC GRO. 31/05/12