1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH 1. MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH.

En el captulo anterior se resolvieron problemas que dependiendo del nmero de trmino s que tena la funcin cannica, el nmero de compuertas lgicas utilizadas es igual al nm ro de trminos obtenidos MAS UNO, por lo tanto, los circuitos obtenidos son de dos niveles con un tiempo mnimo de retardo, pero que de ninguna manera es el ms senci llo ni el ms econmico. El objetivo de este captulo es dar a conocer la mayora de los mtodos utilizados para minimizar funciones cannicas y as poder construir un circui to con menor nmero de compuertas. Los mtodos utilizados para la minimizacin de func iones Booleanas son: El algebraico, para lo cual se utilizan los postulados y te oremas del lgebra de Boole y el mtodo grfico de Karnaugh. 2.1 Minimizacin por mapas de Karnaugh. Los mapas de Karnaugh es uno de los mtodos ms prcticos. Se puede decir que es el ms poderoso, cuando el nmero de variables de entrada es menor o igual a seis; ms all, ya no es tan prctico. En general, el mapa de Karnaugh se considera como la forma grfica de una tabla de verdad, o como una extensin del diagrama de Venn. Antes de explicar como se utiliza el mapa de Karnaugh en la minimizacin de funciones, vere mos como se obtiene el mapa. Esto nace de la representacin geomtrica de los nmeros binarios. Un nmero binario de n bits, puede representarse por lo que se denomina un punto en un espacio N. Para entender lo que se quiere decir con esto, considre se el conjunto de los nmeros binarios de un bit, es decir, 0 y 1. Este conjunto p uede representarse por dos puntos en un espacio 1; esto es, por dos puntos unido s por una lnea. Tal representacin se denomina un cubo 1. De la Figura 2.1 se obser va que el cubo 1 se obtuvo proyectando al cubo 0 y que el cubo 2 se obtendr proye ctando al cubo 1. De la Figura 2.2.(a), se observa que al reflejarse el cubo 1 s e obtiene un cuadriltero cuyos vrtices representan un nmero binario. Estos nmeros se obtienen al agregar un 0 a la izquierda de los vrtices del cubo que se refleja y un 1 a la izquierda de los vrtices del cubo reflejado. Del cubo 2 se observa que se obtienen cuatro vrtices, los cuales corresponden a la combinacin de dos variab les (22=4), pero si se sigue la trayectoria indicada en la Figura 2.2.(b), se po dr observar que al pasar de un vrtice al otro, existe un solo cambio, lo que da lu gar a un cdigo especial, debido a que no sigue la formacin del cdigo binario. Ms ade lante le daremos un nombre a este cdigo. A 0 0 1 1 B 0 1 1 0 Ahora, si a cada vrtice del cubo 2 se le asigna un casillero, se tendr la siguient e Figura 2.3. 1-28 R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R.

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH De la Figura 2.3.(b), si proyectamos el cubo 2, obtendremos el cubo 3, el cual s e muestra en la Figura 2.4. De la Figura 2.4.(4b), si seguimos la trayectoria ma rcada por las flechas, obtendremos la tabla de la Figura 2.4.(c), en donde de un carcter a otro existe un solo cambio; otra caracterstica de la tabla, es el refle jo que existe entre los caracteres 1-2 y 5-6 de la columna C y el reflejo entre los caracteres 2-3-4 -5 en la columna B. El reflejo que existe siempre es con re specto al eje central de simetra. Ahora que tenemos el cubo 3, podemos obtener la representacin en la forma de la Figura 2.3.(a), (b) y (c), lo cual se logra haci endo un corte al cubo 3, como se muestra en la Figura 2.5. El levanta miento del cubo 3, a partir de la Figura 2.5, se muestra en la Figura 2.6. Ahora, si asign amos una rea a cada punto, como se muestra en la Figura 2.7, se obtendr la represe ntacin que se denomina mapa del cubo N, que en este caso fue desarrollado para un cubo 3. Como se tienen ocho casilleros, stos corresponden a la combinacin de tres variable s, las cuales pueden ser A, B y C, siendo A la ms significativa y C la menos sign ificativa, por lo que la tabla funcional para la primera tabla corresponde al cdi go binario y la otra corresponde al cdigo especial, que en realidad de conoce com o cdigo de GRAY o cdigo reflejado. Como veremos, ambos cdigos estn implcitos en el ma pa de Karnaugh. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-29

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH CDIGO DEC A 0 1 2 3 4 5 6 7 0 0 0 0 1 1 1 1 BINARIO B 0 0 1 1 0 0 1 1 GRAY (o reflejado) C 0 1 0 1 0 1 0 1 G1 0 0 0 0 1 1 1 1 G2 0 0 1 1 1 1 0 0 G3 0 1 1 0 0 1 1 0 Si observamos el mapa de la Figura 2.8.(d), cada casillero tiene asignado un nmer o, el cual corresponde a un nmero del cdigo binario. De la misma figura pero del i nciso (e), si seguimos la trayectoria marcada por las flechas, cada nmero represe nta a un carcter del cdigo Gray. En la tabla anterior, se muestran las tablas de c ada uno de los cdigos mencionados. 2.2 Procedimiento para minimizar una funcin por mapas K En forma definitiva, el mapa que se utilizar para la minimizacin de funciones bool eanas con tres variables, ser el que se muestra en la Figura 2.9.(d). A continuac in explicaremos la forma como se utilizar este mapa. Los pasos a seguir sern los mi smos para cualquier mapa, no importa cual sea el nmero de variables. 1. 2. 3. De la definicin del problema y de la tabla funcional se obtiene la funcin cannica. Los minitrminos o maxitrminos de la funcin cannica se trasladan al mapa K. Se coloca un 1 si es minitrmino y 0 si es maxitrmino. Se realizan los enlaces abarcando el may or nmero de trminos bajo los siguientes criterios: a). El nmero de trminos que se en lazan (agrupan) deben seguir la regla de formacin binaria, es decir, de 1 en 1, d e 2 en 2, de 4 en 4, de 8 en 8, etc. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-30

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH Al agrupar los trminos, se debe cuidar la simetra con los ejes centrales y secunda rios (ver figura adjunta). 4. El hecho de que se haya tomado un trmino para un en lace no quiere decir que ste mismo no pueda utilizarse para otros enlaces. La fun cin reducida tendr tantos trminos como enlaces se hayan realizado. Para obtener el trmino reducido se realizan dos movimientos sobre el mapa, uno vertical, que barr e a las variables ms significativas y uno horizontal, que barre a las variables m enos significativas. Se aplican los siguientes postulados y teoremas: b). 5. 6. 7. EJEMPLO 1. Disear un circuito que detecte los nmeros pares para una combinacin de 3 variables de entrada. SOLUCIN a) b) Diagrama de bloques. El diagrama a bloques se presenta en la figura adjunta. Tab la funcional. Para propsitos del problema, se considera al 0 como un nmero par. DE C 0 1 2 3 4 5 6 7 A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 Z 0 0 1 0 1 0 1 0 c) Funcin cannica. De la tabla funcional, se tiene: d) Reduccin por mapas K. La figura adjunta muestra los minitrminos de la funcin de con mutacin y los enlaces correspondientes. Obtencin de la funcin reduR. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. e) 1-31

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH cida. Del mapa, se observa que existen dos enlaces; por tanto, la funcin reducida tendr dos trminos, de acuerdo con el paso 5 del procedimiento de reduccin. Para ca da enlace, se realiza el barrido para cada una de las variables. Por orden, es c onveniente iniciar con la variable de mayor peso binario, en este caso A. Como s e muestra en la figura adjunta, al realizar el barrido, una parte del enlace (1) , el elemento 6, se encuentra dentro del barrido y otra, el elemento 2, fuera de l. Esto indica que se tiene A A = 0 , por lo que esa variable no participa, se elimina del trmino reducido. Para mayor claridad, tomemos la suma de los minitrminos 2 y 6: Como puede verse, la variable A se elimina del trmino reducido. La figura adjunta presenta el barrido de B. En este caso, el enlace (1) est contenido dentro del b arrido, lo cual corresponde a B B = B , lo que significa que esta variable forma parte del trmino reducido. Finalmente, el barrido de la variable C, de menor pes o binario, es horizontal y se muestra en la siguiente figura. Claramente se obse rva que el enlace (1) est fuera del barrido, es decir se encuentra en , indicando que dicha variable forma parte del trmino reducido. El trmino reducido, correspon diente al enlace (1) es: Siguiendo el mismo procedimiento y apoyndonos en las tre s figuras previas, se encuentra que para el enlace (2) el trmino reducido es . La funcin reducida en este primer ejemplo es: R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-32

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH f) El logigrama queda: EJEMPLO 2. Colector automtico de peaje. Se han introducido colectores automticos de peaje en diversas casetas de autopistas para acelerar el flujo del trfico. Se nos pide con struir un circuito lgico que sea parte del colector automtico. Este circuito es pa ra contar la cantidad de monedas que han sido colocadas en el colector. Si se de positan 15 pesos (nicamente monedas de cinco y diez pesos), entonces se enciende una luz de pasa (color verde) y se enva una seal al colector para recolectar las m onedas; de otra manera, la luz de alto (color rojo) permanecer encendida. SOLUCIN Examinando el planteamiento del problema, se observa que hay dos seales de entrad a y una seal de salida. C = Nmero de monedas de cinco pesos depositadas. D = Nmero de monedas de diez pesos depositadas. Z = Comando para la seal luminosa y el cont rol de recoleccin. Estas variables tomarn los siguientes valores enteros y lgicos. 0#C#3 0#D#1 Z=0 Z=1 Nmero de monedas de cinco pesos. Nmero de monedas de diez peso s. No contiene los 15 pesos (luz roja). Si contiene los 15 pesos (luz verde). Ahora, se puede decodificar la informacin como sigue: C = [c1,c2] ;[0,0] cero pes os [0,1] cinco pesos [1,0] diez pesos [1,1] quince pesos ;[0] cero pesos D = [d1 ] [1] diez pesos R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-33

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH a) Tabla funcional: DEC 0 1 2 3 4 5 6 7 c1 0 0 0 0 1 1 1 1 c2 0 0 1 1 0 0 1 1 d1 0 1 0 1 0 1 0 1 Z 0 0 0 1 0 1 1 1 Una moneda de 5 y una de 10 Dos monedas de 5 y una de 10 Tres monedas de 5 Tres monedas de 5 y una de 10

De la tabla funcional, se observa que Z = 1 si el nmero de monedas de 5 y 10 peso s suman 15 o ms pesos, en caso contrario ser igual a cero. Cuando ocurren las comb inaciones 5 y 7, quiere decir que el conductor ha depositado monedas de ms, lo qu e le dar la seal de siga, pero no le devolvern ningn cambio. b) Funcin cannica: Consi erando la tabla funcional, se puede expresar a Z como una funcin de minitrminos, e n la forma: c) Reduciendo por mapas K: d) Siguiendo el mismo procedimiento del ejemplo anterior para cada uno de los enlac es del mapa K, se obtiene la siguiente funcin reducida:

e) De la funcin reducida, obsrvese que sta se complement 2 veces y despus se aplic un de los complementos, de tal manera que cada uno de los trminos puede generarse p or medio de una compuerta No Y. Por tanto, el logigrama se presenta en la figura adjunta. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-34

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH EJEMPLO 3. Un contador digital contiene un registro de 3 bits. El contador cuent a desde 0 = [0 0 0] hasta 7 = [1 1 1], se restablece y empieza la cuenta nuevame nte. Este contador se usa, como se muestra en el diagrama a bloquea adjunto, par a generar tres seales de control C1, C2 y C3. Estas seales toman un valor de 1, de acuerdo con las siguientes condiciones: C1 = 1 para una cuenta de 0, 1, 3, 5 y7 C2 = 1 para una cuenta de 0, 3, 5 y 6 C3 = 1 para una cuenta de 0, 3, 4 y 7 Dis ee un circuito lgico que genere C1, C2 y C3. SOLUCIN a) Tabla Funcional: Para este caso en particular, no es necesario realizar la tabla funcional, ya que las cond iciones del problema definen claramente para qu valores de entrada las funciones de salida tienen un valor de 1; es decir, los minitrminos asociados a cada funcin de salida. Sin embargo, por procedimiento, siempre es conveniente realizar la ta bla funcional: X3 0 0 0 0 1 1 1 1 X2 0 0 1 1 0 0 1 1 X1 0 1 0 1 0 1 0 1 mi 0 1 2 3 4 5 6 7 C1 1 1 0 1 0 1 0 1 C2 1 0 0 1 0 1 1 0 C3 1 0 0 1 1 0 0 1 b) Funciones lgicas de conmutacin de las variables de salida: C 1 (X 3 , X 2 , X 1 ) = C 2 (X 3 , X 2 , X 1 C 3 (X 3 , X 2 , X 1 c) d) )= )= m (0,1,3,5,7) m (0,3,5,6) m (0,3,4,7) La figura adjunta muestra los mapas de Karnaugh para C1, C2 y C3. De los mapas K , se obtienen las funciones reducidas siguientes: C1 = X 1 + X 3 X 2 (1) (2) C 2 = X 3 X 2 X1 + X 3 X 2 X1 + X 3 X 2 X1 + X 3 X 2 X1 (1) (2) (3) (4) R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-35

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH C 3 = X 2 X1 + X 2 X1 = X 2 X1 (1) (2) De la expresin C2, se observa que no existen enlaces en el mapa. Por lo tanto, no se obtiene una funcin reducida, pero empleando el mtodo algebraico, vemos que exi ste minimizacin por exclusividad. El siguiente desarrollo muestra el procedimient o para la reduccin de C2 a expresiones de exclusividad: C 2 = X 3 (X 2 X 1 + X 2 X 1 ) + X 3 (X 2 X 1 + X 2 X 1 ) = X 3 (X 2 X 1 ) + X 3 (X 2 X 1 ) = = X 3 (X 2 X 1 ) = X 3 X 2 X 1 e) El logigrama correspondiente a las funciones reducidas C1, C2 y C3, se muestr a en la siguiente figura: 2.3 Mapas de Karnaugh para 4 variables. Hasta ahora se ha utilizado el mapa de Karnaugh para minimizar funciones de tres variables. A continuacin se usar el mapa de Karnaugh para 4 variables. El mapa K para 4 variables se obtiene proyectando el mapa de tres variables. Cuando el nmer o de variables es par proyectamos hacia abajo y cuando es impar proyectamos haci a la derecha. La Figura 2.10.(a) muestra la proyeccin del cubo 3, para generar el cubo 4.Obsrvese que al cubo que se proyecta se le agrega un 0 a la izquierda y a l proyectado un 1 a su izquierda. Dentro de cada celda se indica el valor binari o asociado a ella, el cual se obtiene sustituyendo los valores binarios correspo ndientes a cada variable. Sustituyendo los valores binarios por su decimal equiv alente, se obtiene el mapa de Karnaugh de 4 variables, el cual se usar posteriorm ente para minimizar funciones de conmutacin de 4 variables. Este mapa se muestra en la Figura 2.10.(b). Para obtener el cdigo de Gray para 4 variables, se traza l a greca de Gray en el mapa de la Figura 2.10.(c). Obsrvese que se inicia en la ce lda 0, hacia abajo hasta la celda 2, a la derecha a la celda 6, arriba hasta la celda 4, a la derecha a la celda 12, hacia abajo hasta la celda 14, a la derecha a la celda 10 y hacia arriba hasta la celda 8. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-36

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH Siguiendo la greca de Gray, se obtiene el cdigo de Gray, como se muestra en la si guiente tabla, donde tambin se presenta la relacin entre los cdigos binario y Gray. BINARIO miD 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 GRAY D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 miG 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 G3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 G2 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 G1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 G0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 Tabla del cdigo binario y de Gray. EJEMPLO 4. Utilizando el mapa de Karnaugh, determine las realizaciones mnimas de suma de pro ductos de las siguientes funciones: a) F(A,B, C,D) = b) c) F(A,B, C,D) = F(A,B, C,D) = m (0,4,6,10,11,13) m (3,4,6,7,11,12,14,15) m (1,3,6,8,9,11,15) + x (2,13) SOLUCIN A continuacin se presentan los mapas K para cada inciso, as como las funcio nes mnimas, siguiendo el procedimiento establecido anteriormente. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-37

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH F(a) = ABD + ABD + ABC + ABCD (1) (1) (1) (2) (2) (3) (3) (4) F(b) = ABC + ABC + CD F(c) = ABC + BD + CD + AD (2) (3) (4) PROBLEMA 5. Se desea disear un circuito lgico de dos salidas y cuatro entradas que efecte sumas en mdulo 4. La tabla de suma, para la suma en mdulo 4, se muestra en la siguiente tabla. Por ejemplo, (3+3)MOD 4 = 2. En consecuencia, se anota un 2 en la hilera 3, columna 3 de la tabla, y as sucesivamente. Los nmeros de entrada se deben codi ficar en binario, en donde un nmero de entrada est dado por X2X1 y el otro por Y2Y 1. La salida tambin se codifica como un nmero binario Z2Z1. Es decir, Z2Z1 = 00 si la suma es cero; 01 si la suma es 1; 10 si la suma es 2 y 11 si la suma es 3. X Y 0 1 2 3 0 0 1 2 3 1 1 2 3 0 2 2 3 0 1 3 3 0 1 2 a). Determine una expresin Booleana mnima para Z1. b). Determine una expresin Boole ana mnima para Z2. c). Dibuje el logigrama para Z1 y Z2. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-38

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH SOLUCIN En este caso nos ahorramos la tabla funcional, puesto que podemos sustitu ir los valores directamente de acuerdo a la tabla de la suma de mdulo 4. SUMA 0 1 2 3 Z2 0 0 1 1 Z1 0 1 0 1 Para poder trasladar los valores de la tabla anterior a un mapa K de 4 variables , se deben invertir las columnas para X = 2 y X = 3, as como las filas Y =2 y Y = 3, como se muestra en la siguiente tabla: X Y 0 1 2 3 0 0 1 3 2 1 1 2 0 3 2 3 0 2 1 3 2 3 1 0 Ahora s hay coincidencia entre la tabla anterior y el mapa K. La figura adjunta, muestra los valores de Z, en el mapa K, en funcin de X e Y. Del mapa anterior se observa que estn implcitas Z2 y Z1. Por lo tanto, para poder determinar las funcio nes de Z2 y Z1, lo trataremos en forma individual. Realizando los mapas para Z2 y Z1, se tiene: De los mapas anteriores, se obtienen las siguientes funciones mnimas, las cuales se reducen a relaciones de EXCLUSIVIDAD. Asimismo, se presenta el logigrama para Z2 y Z1. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-39

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH Z 2 = X 1Y2 Y1 Y 2 ) + Y2 ) Z 1 = X 2 = X = 1 X 1 Y2 + X 2 X 1Y2 + X 2 Y2 Y 1 + X 2 Y 2 Y (1) (2) (3) (4) (5) (6) = X 1 (X 2 Y2 + X 2 1Y1 (X 2 Y 2 + X 2 Y2 ) = = X 1 (X 2 Y2 ) = (X 1 + Y 1 )(X 2 Y2 ) + X 1Y1 (X 2 Y2 Y 1 + X 1Y1 = X 1 Y1 (1) (2) 1 Y + ) + 2 Y = X ) 1 X 2 X 1 Y 2 Y1 + X 2 X + Y 1 (X 2 Y2 + X 2 (X 2 Y2 ) + X 1Y1 (X 2 1 Y1 (X 2 Y2 )

2.4 Mapas de Karnaugh de 5 variables. Recordemos que para construir el mapa de 5 variables, debe proyectarse el mapa d e 4 variables. El abatimiento es hacia la derecha ya que el nmero de variables es impar. La figura adjunta muestra la proyeccin del mapa de 4 variables. Obsrvese q ue al mapa que se proyecta se le antepone un 0 y al proyectado un 1. Tambin, se h a asociado a cada celda el nmero binario correspondiente, el cual se obtuvo asign ando el valor binario a cada variable en dicha celda. Sustituyendo el nmero binar io de cada celda por su equivalente decimal, se obtiene el mapa de Karnaugh para 5 variables que se emplear para minimizar funciones de conmutacin de 5 variables independientes. La figura siguiente presenta este mapa. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1-40

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH Para generar el cdigo de Gray para 5 variables, se traza la greca de Gray sobre e l mapa K para 5 variables y se escribe el cdigo binario asociado a cada celda. La siguiente figura muestra la greca de Gray sobre el mapa K de 5 variables. A continuacin se presentan algunos ejemplos que muestran la aplicacin del mapa par a la minimizacin de funciones de conmutacin de 5 variables binarias. EJEMPLO 6. Mi nimice las siguientes funciones, empleando el mtodo de Karnaugh: F1 = F2 = m (0,1,3,8,9,11,16,17,19,24,25,29 m (0 31 4,6,9,10,15 20,22,23,25,26,31) SOLUCIN Las siguientes figuras muestran los mapas K para F1 y F2: Las funciones reducidas son: F1 (A,B, C,D,E) = CD + BCD + ABCD + ABDE + ABDE (1) (2) (3) (4) (5) F2 (A,B, C,D ,E) = BC + BE + CDE + CDE + ABD + BCDE (1) (2) (3) (4) (5) (6) R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 41

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH EJEMPLO 7. Hay 5 personas que actan como jueces en una competencia dada. El voto de cada uno de ellos se indica con un 1 (pasa) o 0 (fracasa) en una lnea de seal. Las 5 lneas de seal son las entradas a un circuito lgico combinacional. Las reglas de la compe tencia permiten slo la discrepancia de un voto. Si la votacin es 2 3 o 3 2, la com petencia debe continuar. El circuito lgico debe tener dos salidas, XY. Si el voto es 4 1 o 5 0 para pasar, XY = 11. Si el voto es 4 1 o 5 0 para fracasar, XY = 0 0; si el voto es 3 2 o 2 3 para continuar, XY = 10. Disee un circuito mnimo de sum a de productos. SOLUCIN La siguiente tabla rene las condiciones del enunciado: OPCIN 1 5 0 3 4 1 2 0 5 2 REGLA Para pasar Para fracasar Para continuar 0 1 4 3 X 1 0 1 Y 1 0 0 En base a la tabla anterior se construye la siguiente tabla funcional: Dec 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 D 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 E 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 X 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 Y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Dec 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

B 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 D 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 E 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 X 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Y 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 De la tabla funcional, se obtienen las siguientes funciones de conmutacin cannicas : X(A,B, C,D,E) = Y(A,B, C,D,E) = m 3,5 7,9 15,17 31) m (15,23,27,19 31) Reduciendo por mapas de Karnaugh: Para mayor claridad, se presenta a X(A, B, C, D, E) en dos mapas: R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 42

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH De los mapas anteriores, se obtienen las siguientes funciones reducidas: X = DE + BC + AB + AC + AE + AD + CE + CD + BE + BD (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Y = ABCE + ABCD + ACDE + BCDE + ABDE (1) (2) (3) (4) (5) El logigrama se presenta en la siguiente figura: R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 43

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 44

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH 2.5 Mapas de Karnaugh para 6 variables Siguiendo el mismo criterio para la obtencin de los mapas anteriores, proyectamos el mapa inmediatamente anterior, para obtener el mapa K para 6 variables, mostr ado en la siguiente figura: EJEMPLO 8. Minimizar las siguientes funciones por el mtodo de Karnaugh: m (7,14,28,56) + a) b) Z= Z= x (0 6,8 13,16 27,29,32 55,57 59,61) M (15,30,31,60,62,63) x (0 6,8 13,16 27 29,32 55,57 59,61) SOLUCIN Obsrvese que las funciones, en ambos incisos, son las mismas, una expresad a como minitrminos y la otra como maxitrminos. Los mapas K para a) y b) son: R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 45

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH De los mapas anteriores, se obtienen las siguientes funciones mnimas: Z(A,B, C,D,E,F) = C + D + AE + BF (1) (2) (3) (4) Z(A,B, C,D,E,F) = (C + F)(B + E)(A + B + D) (1) (2) (3) 2.6 Ejercicios 1. Minimice las siguientes funciones booleanas, utilizando el mtodo de Karnaugh: a) f(a,b, c, d) = b) c) d) F(A,B, C,D,E) = e) (0,1,2,8,9,11,15 19,24,25,29 F(A,B, C,D,E,F) = (0,2,4,5,7,8,16,18,24,32,36 M m f(w, x, y, z) = f(a,b, c, d) = m (0,4,6,10,11,13) M (3,4,5,7,11,12,14,15) m (3,5,7,11,15) 2. Un nmero primo es aqu el que slo es divisible entre si mismo y la unidad. Disee un circuito R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 46

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH lgico mnimo que detecte todos los nmero primos entre 0 y 31. La salida F(A, B, C, D ), donde A es la variable de mayor peso binario, ser igual a 1 si y slo si los 5 b its de entrada representan un nmero primo. Realice el logigrama utilizando invers ores y compuertas NO Y. 3. En uno de los laboratorios de una compaa farmacutica se elaboran 14 distintas soluciones a partir de las componentes W, X, Y y Z. Estas sustancias pesan 800, 400, 200 y 100 mg, respectivamente. Las soluciones se depo sitan en frascos que se transportan por medio de una banda hasta la bscula. Si el peso depositado en la bscula es uno de los siguientes: 200, 500, 700, 800, 1100, 1400 o 1500 mg, entonces un dispositivo electromecnico F, despus de agregar al co mpuesto la sustancia Q, sellar el frasco sobre la bscula y lo apartar de la banda; de otro modo, el frasco permanecer abierto y la banda lo transportar hacia otro et apa del proceso. Adems, por las condiciones previas del proceso, no es posible qu e lleguen a la bscula ni francos vacos, ni frascos que contengan las siguientes su stancias: WY, YZ, WX o WZ; todas las otras combinaciones s pueden llegar a la bscu la. En la torre de control de un patio de ferrocarril, un controlador debe selec cionar la ruta de los furgones de carga que entran a una seccin del patio, mismos que provienen del punto A, como puede verse en la figura adjunta. Dependiendo d e las posiciones de los conmutadores, un furgn puede llegar a uno cualesquiera de los 4 destinos. Otros furgones pueden llegar desde los puntos B o C. Disee un ci rcuito, con inversores y compuertas No O, que reciba como entradas las seales S1 a S5, indicadores de las posiciones de los conmutadores correspondientes, y que encienda una lmpara D0 a D3, indicando el destino al que llegar el furgn provenient e de A. Para los casos en que los furgones puedan entrar de B o C (S2 o S3 en la posicin 0), todas las lmparas de salida deben encenderse, indicando que un furgn p roveniente de A, no puede llegar con seguridad a su destino. NOTA: S1 es el bit de mayor peso binario. 4. 5. Un circuito lgico tiene 5 entradas A, B, C, D y E (donde A es la de mayor peso bi nario). Cuatro de sus entradas representan un cdigo decimal en BCD (Decimal Codif icado en Binario, por sus siglas en ingls). La primera entrada, A, es de control. Cuando el control est en 0 lgico, la salida Z es igual a 0 si el nmero decimal es impar y 1 si es par. Cuando el control est en 1 lgico, la salida Z es igual a 1 cu ando la entrada es mltiplo de 3, en caso contrario es 0. NOTA: Considere al 0 como un nmero par. 6. Un tcnico de un laboratorio qumico tiene 4 productos A, B, C y D. Cada producto de be encontrarse en uno cualesquiera de dos recipientes de almacenamiento. Peridica mente, se requiere cambiar uno o ms productos de un recipiente a otro. La natural eza de los recipientes es tal, que es peligroso guardar A y B juntos a menos que D est presente en el mismo recipiente. Tambin, es peligroso almacenar B y C junto s a menos que D est presente. Este proceso no permite que alguno de los recipient es est vaco. Obtener el circuito mnimo de la expresin de una variable Z que deber ten er el valor de 0 para cada situacin peligrosa de almacenamiento, utilizando inver sores y compuertas No O. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 47

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH NOTA: A es la variable de mayor peso binario. 7. Un posicionador de eje, proporciona na seal de 4 bits que indica la posicin de un eje en pasos de 30. Utilizando el cdigo de Gray, el cual se muestra en la siguient e tabla, disee un circuito (realizacin mnima de suma de productos) que produzca una salida que indique en dnde se encuentra el eje. Posicin del EJE 0#P#30 30#P#60 60#P#90 0#P#120 120#P#150 150#P#180 Salida del DECODIFICADOR 0011 0010 0110 0111 0101 0100 Posicin del EJE 180#P#210 210#P#240 240#P#270 270#P#300 300#P#330 330#P#260 Salida del DECODIFICADOR 1100 1101 1111 1110 1010 1011 Obtenga el logigrama utilizando inversores y compuertas No Y. 8. Obtener el diag rama lgico mnimo, con inversores y compuertas No O, de un circuito de 5 entradas: Dos de datos A y B y tres de control C2, C1 y C0. El diagrama a bloques se prese nta en la siguiente figura. La funcin de salida depende de los ocho posibles esta dos de las seales de control, de acuerdo a la siguiente tabla: R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 48

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH Control C1 C2 C0 0 1 2 3 4 5 6 7 F 1 A+B AB A B A B AB A+B 1 Considere a C2 y A como las variables de mayor peso binario, respectivamente 9. El sistema nervioso humano, incluyendo al cerebro, est hecho de clulas especializa das llamadas neuronas. Cada neurona tiene sinapsis (puntos de interconexin, como se muestra en la figura adjunta) de excitacin y sinapsis de inhibicin. Una neurona produce una salida 1 si el nmero de sinapsis de excitacin con pulsos 1 excede el nmero de sinapsis de inhibicin con pulsos 1 por al menos el valor del umbral de la neurona. Determine la funcin booleana f(a, b, c, d, e) de emisin de pulsos a travs del canal de salida (axn) en el modelo de la figura anterior bajo las siguientes condiciones: (C1) Valor del umbral = 1 [es decir, se produce una salida 1 si el nmero de sinapsis de excitacin con pulsos 1, excede por al menos uno el nmero de nm ero de sinapsis de inhibicin con pulsos 1], y (C2) Siempre que haya al menos un p ulso 1 en alguna sinapsis del puerto de excitacin, habr al menos un pulso 1 en alg una sinapsis del puerto de inhibicin [es decir, no es posible en este modelo res tringido que existan pulsos 1 en el puerto de excitacin si no existe al menos un pulso 1 en el puerto de inhibicin]. Minimizar f(a, b, c, d, e) haciendo uso de l as condiciones irrelevantes (C2). Realizar el logigrama utilizando inversores y compuertas No Y. 10. Textura es la organizacin de una superficie como un conjunto de elementos repetidos. En un proceso automtico para clasificar texturas artific iales, un sensor de 4 puntos de la siguiente figura (izquierda), enva seales a un circuito combinatorio cuya terea es discriminar (emitiendo pulsos 1) los element os de la figura de la derecha. En todos los casos que inspecciona el sensor se a ctivan al menos dos puntos de la rejilla (es decir, no se presentan casos en los cuales se activa un punto ni casos en los que no se activa ningn elemento). R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 49

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH 11. En una fbrica un dispositivo de 5 fotoceldas (figura adjunta), registra los carac teres formados abriendo pequeas ranuras en una tarjeta de control. Si en la tarje ta registrada hay uno de los smbolos: (Para el smbolo I son vlidas las dos posiciones), entonces el dispositivo acciona un taladro. En el proceso no hay tarjetas con alguno de los caracteres adjuntos (todos los caracteres restantes s son vlidos). Cul es la funcin booleana a la salida del dispositivo que acciona el taladro? Minimizar la funcin y realizar el logigra ma utilizando slo inversores y compuertas No Y. 12. Se desea disear e instrumentar un circuito combinatorio de dos entradas con dos bits cada una, sobre las cuale s se codifican dos de los cuatro tipos de sangre existentes y a su salida se obt enga una seal que informe sobre la posibilidad o imposibilidad de la transfusin de uno de ellos sobre el otro, dadas las siguientes reglas de compatibilidad entre ellos: Los tipos de sangre son 4: A, B, AB y O. El tipo O puede donar a cualqui er otro tipo, pero slo puede recibir de l mismo. El tipo AB puede recibir de cualq uier otro tipo pero slo puede donar a AB. La clase A puede donar a A o a AB y rec ibir de A u O nicamente. Por ltimo, el tipo B puede donar al mismo B o al tipo AB y recibir de B u O. La seal de salida deber se 1 cuando la transfusin propuesta en las entradas sea permitida. Realizar el logigrama utilizando inversores y compue rtas No O. 13. En un sistema de deteccin luminosa que tiene el arreglo mostrado e n la siguiente figura, se genera una seal de salida con valor 1 nicamente cuando d os fotoceldas adyacentes estn activadas, siempre y cuando la fotocelda del centro est tambin activada R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 50

1. INTRODUCCIN A LOS CIRCUITOS LGICOS 1.2 MTODO DE REDUCCIN DE MAPAS DE KARNAUGH Considerando a A como la variable ms significativa, obtener el logigrama mnimo, co nsiderando las condiciones irrelevantes y utilizando slo inversores y compuertas No Y. NOTA: No es posible en este sistema, que exista una seal de salida 0 o 1 si no ha y al menos tres fotoceldas activadas. 14. Un robot de juguete llamado U 2 est diseado para ser capaz de seguir una trayect oria (previamente programada por medio de controles que el robot tiene en la esp alda) avanzando cuadro por cuadro en un rea de 5x6 cuadros. El robot U 2 puede re alizar una de las cuatro acciones siguientes: (D) Girar (sobre su eje vertical) 90 a la derecha y luego avanzar al centro del primer cuadro si su diminuto cerebr o percibe la seal binaria 10. (I) Girar 90 a la izquierda y luego avanzar al sigui ente cuadro si su diminuto cerebro percibe la seal binaria 10. (F) Avanzar al fre nte un cuadro si su cerebro recibe la seal 00. (A) Hacer alto si su cerebro recib e la seal 11. Programar el robot para que recorra el laberinto de la Figura (a). Determinar la s funciones booleanas del par de estmulos binarios que recibe el minicerebro del robot durante este recorrido y minimizarla mediante mapas de Karnaugh (En este p roblema hay condiciones irrelevantes parte de la solucin consiste en encontrarla s) La Figura (b) asocia un valor decimal a cada cuadro del laberinto. Los contro les en la espalda del U 2 estn localizados en dos reas: En el rea I se indicar el cu adro inicial mediante los controles de dos posiciones a, b,, c, d y e [como se m uestra en la Figura (c)]; si el control a se presiona del lado derecho, el peso de la variable a se contabilizar para determinar el nmero asignado al cuadro inici al (lo mismo ocurrir con el resto de las variables). En el rea II se programa la t rayectoria por medio de 30 controles de tres posiciones cada uno. R. ESPINOSA R. y P. FUENTES R. 1 51