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PROGRAMACION Y METODOS NUMERICOS
TEMARIO
20 DE FEBRERO DE 2015 MAESTRIA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN
INGENIERIA MECANICA OPCION DISEO
ESIME ZACATENCO
Alumno: Hctor Daniel Njera Cabrales
Profesor: Dr. Guillermo Urriolagoitia Sosa
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INTRODUCCIN A LOS MACROS EN EXCEL. ESTRUCTURA, APLICACIONES,
ERRORES COMUNES Y GRAFICAS EN EXCEL
Con el afn de hacer ms rpido nuestro trabajo, evitar errores
manuales y aprovechar al mximo el uso del programa Excel. MACRO es
la respuesta a lo antes mencionado. Una macro es un conjunto de
comandos que se almacena en Excel de manera que est disponible
cuando se necesite. Las macros se escriben en un lenguaje de
computadora especial que es conocido como Visual Basic for
Applications (VBA).
La grabadora de macros almacena cada accin que se realiza en
Excel Este lenguaje permite acceder a prcticamente todas las
funcionalidades de Excel y con ello tambin ampliar la funcionalidad
del programa. Se puede crear una Macro fundamentalmente de dos
maneras o bien se utiliza el lenguaje de programacin VBA, Visual
Basic para Aplicaciones, o bien se puede simplemente grabar sin
tener conocimientos de programacin simplemente realizando una
secuencia de acciones. Excel provee de una herramienta especial que
permite crear una macro fcilmente.
Al dar clic en el botn aparece lo siguiente:
En el cuadro de texto Nombre de la macro debers colocar el
nombre que desees. Opcional puedes asignar un mtodo abreviado de
teclado el cual permitir ejecutar la macro con la combinacin de
teclas especificadas. La lista de opciones Guardar macro en permite
seleccionar la ubicacin donde se almacenar la macro.
Este libro: Guarda la macro en el libro actual.
Libro nuevo: La macro se guarda en un libro nuevo y que pueden
ser ejecutadas en cualquier libro creado durante la sesin actual de
Excel.
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Libro de macros personal. Esta opcin permite utilizar la macro
en cualquier momento sin importar el libro de Excel que se est
utilizando.
Al dar clip en aceptar, iniciara la grabacin de la macro, acto
seguido capturar todas la acciones deseadas, dar clip en detener
grabacin. Para completar la macro.
Por mencionar, existen macros para insertar nombre, empresa y
departamento, para insertar imagen, para redondear decimales, para
cambiar la impresora asignada por defecto. Los errores pueden ser
errores de tipo o estructuras, El editor de macros tiene un
autocontrol que permite corregir estos errores ms comunes.
Error en la macro El mensaje Error en la macro aparece cuando
hay un error en la macro que se est ejecutando. El mtodo
especificado no se puede usar en el objeto especificado por alguno
de los siguientes motivos:
Un argumento contiene un valor que no es vlido. Una causa
habitual de este problema es intentar tener acceso a un objeto que
no existe; por ejemplo, a Libro (5) cuando solo hay 3 libros
abiertos.
El mtodo no se puede usar en el contexto aplicado.
Especficamente, algunos mtodos del objeto Rango requieren que el
rango contenga datos. Si el rango no contiene ningn dato, se
producir un error en el mtodo.
Error externo, por ejemplo, un error de lectura o escritura de
un archivo.
Un mtodo o una propiedad no se pueden usar debido a la
configuracin de seguridad. Por ejemplo, las propiedades y los
mtodos del objeto VBE para manipular el cdigo de Visual Basic para
Aplicaciones (VBA) almacenado en un documento de Microsoft Office
son inaccesibles de manera predeterminada.
Existen graficas lineales, numricas, de barra, histogramas,
circulares, y Excel dispone de un asistente que gua como realizar
una. Para obtener una grafica, seleccionar el men insertar y elegir
la opcin grfico como se muestra:
Aparecer: TIPO DE GRFICO.
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En este paso nos pide elegir el tipo de grfico
Al dar clip en siguiente aparecer: Datos de origen. Este paso es
el ms importante de todos ya que en l definiremos qu datos queremos
que aparezcan en el grfico. Dispone de dos fichas: Rango de datos y
Serie.
Seleccionar la opcin Filas o Columnas dependiendo de cmo estn
introducidos en la hoja de clculo cada serie de datos. Dar clip en
el botn siguiente y llenar los datos solicitados. As obtenemos
nuestra grafica.
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Editor de visual Basic: VBE por sus siglas en ingls, es un
programa independiente a Excel pero fuertemente relacionado a l
porque es el programa que nos permite escribir cdigo VBA que estar
asociado a las macros.
En la parte izquierda se muestra el Explorador de proyectos el
cual muestra el proyecto VBA creado para el libro actual y adems
muestra las hojas pertenecientes a ese libro de Excel.
El Explorador de proyectos tambin nos ayuda a crear o abrir
mdulos de cdigo que se sern de gran utilidad para reutilizar todas
las funciones de cdigo VBA que vayamos escribiendo. El rea ms
grande en blanco es donde escribiremos el cdigo VBA. Es en esa
ventana en donde escribimos y editamos las instrucciones VBA que
dan forma a nuestras macros. Tipos de macros Existen varias macros
previamente creadas para Excel para Windows.
Macros automticos Clip en men-Herramientas-opcin- Complementos.
Con esta opcin se especifican las macros que estn disponibles y
listas para usarse al iniciarse Excel para Windows. Estn
disponibles en el men, Herramientas, opcin Asistente.
Macros de Excel Las macros se pueden agrupar en dos categoras
principalmente:
Macros de funciones.
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Consiste en una serie de comandos y funciones que se almacenan
en un mdulo de Visual Basic y que puede ejecutarse siempre que sea
necesario ejecutar la tarea. Una macro se graba igual que se graba
msica en un casete.
Macros de comandos. La creacin de estas macro funciones consiste
en poner una serie de ARGUMENTOS, en las cuales podemos ir poniendo
los datos que lleva una funcin normal de Excel para Windows y al
final le indicamos que operaciones hacer con estos ARGUMENTOS y de
esta manera se optimiza el uso de varias frmulas para llegar a un
resultado.
Tipos de Macros desde Visual Basic
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2.- FUNDAMENTOS DE PROGRAMACION VISUAL BASIC (VBA) EN EXCEL
Visual Basic es un lenguaje de programacin dirigido por eventos,
desarrollado por Alan Cooper para
Microsoft. Este lenguaje de programacin es un dialecto de BASIC,
con importantes agregados. Su
primera versin fue presentada en 1991, con la intencin de
simplificar la programacin utilizando
un ambiente de desarrollo que facilit en cierta medida la
programacin misma. Visual Basic
contiene un entorno de desarrollo integrado o IDE que integra
editor de textos para edicin del
cdigo fuente, un depurador, un compilador (y enlazador) y un
editor de interfaces grficas o GUI.
Existe un nico entorno de desarrollo para Visual Basic,
desarrollado por Microsoft: Microsoft Visual
Basic x.0, correspondientes a versiones desde la 1.0 hasta la
6.0, (con respectivas diferencias entre
versiones del lenguaje).
ELEMENTOS DE PROGRAMACION EN VBA (FLUJO SECUENCIAL, FLUJO
CONDICIONAL, FLUJO
REPETITIVO)
Un programa computacional escrito mediante cualquier lenguaje de
programacin puede verse a
grandes rasgos como un flujo de datos, algunos jugando el papel
de datos de entrada, otros son
datos que cumplen alguna funcin temporal dentro del programa y
otros son datos de salida. A lo
largo del programa es muy frecuente que sea necesaria la entrada
en accin de otros programas o
procesos. A mayor complejidad del problema que resuelve el
programa, mayor es la necesidad de
programar por aparte algunos segmentos de instrucciones que se
especializan en una tarea o
conjunto de tareas. Hay tres tipos de estructuras bsicas que son
muy utilizadas en la programacin
de un algoritmo, a saber, la estructura secuencial, la
estructura condicional y la repetitiva. A
continuacin se explica, con ejemplos programados como macros de
Excel, estas estructuras.
Tambin se incluyen los programas en seudocdigo y diagramas de
flujo para explicar de un modo
ms grfico la lgica del programa. El uso de estos ltimos es cada
vez menor, pues el seudocdigo
por lo general es suficientemente claro y se escribe en lenguaje
muy cercano al lenguaje natural.
Flujo secuencial
El flujo secuencial consiste en seguir una secuencia de pasos
que siguen un orden predeterminado.
Por ejemplo, un programa que a partir de un nmero N de das,
calcula la cantidad de segundos que
hay en esta cantidad de das. Este programa se puede ver como una
secuencia de varios pasos
Inicio: Ingresa el nmero N de das
Paso 1: H = 24*N, para determinar la cantidad de horas
Paso 2: M = 60*H, para determinar la cantidad de minutos.
Paso 3: S = 60*M, para determinar la cantidad de segundos.
Paso 4: Retorne S.
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Fin
La macro correspondiente a esta secuencia de clculos
puede escribirse como sigue:
Function CalculeSegundos (Dias)
CantHoras = 24 * Dias
CantMinutos = 60 * CantHoras
CalculeSegundos = 60 * CantMinutos
End Function
Flujo condicional (If - Else)
Flujo condicional
Un flujo condicional se presenta en un programa o procedimiento
que debe escoger una accin o
proceso a ejecutar, dependiendo de condiciones que puedan
cumplirse. El caso ms sencillo ocurre
cuando el programa verifica si una condicin se cumple y en caso
de ser verdadera ejecuta un
proceso, en tanto que si es falsa ejecuta otro proceso. En VBA
tenemos la instruccin
If...Then...Else
Ejecuta condicionalmente un grupo de instrucciones, dependiendo
del valor de una expresin.
Sintaxis
If-condition Then
instrucciones
Else- instrucciones-else
Puede utilizar la siguiente sintaxis en formato de bloque:
If condition Then
instrucciones
Else If condition Then
instrucciones-else-if ...
Else instrucciones-else
End If
Ejemplo
En este ejemplo veremos como usar la instruccin:
If...Then...Else
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Obtener un programa que calcule aproximaciones de 2, sabiendo
que la sucesin {}
converge a 2,definida en forma recurrente mediante la
relacin:
{1 =
1
2( +
2
)
0 = 1}
El programa deber estimar el error absoluto de las
aproximaciones y ser capaz de escribir un
mensaje de xito o de fracaso, dependiendo de si el error
absoluto es o no menor que una tolerancia
dada. Para los resultados que aparecen en la grfica anterior
pueden programarse las siguiente
macros para ser evaluadas en cada columna:
Function AproxDeRaiz(x)
AproxDeRaiz = (1 / 2) * (x + 2 / x)
End Function
Function CalculoElError(Aproximacion, ValorExacto)
CalculoElError = Abs(Aproximacion - ValorExacto)
End Function
Function verificaTol(Error, Tol)
If (Error < Tol) Then
verificaTol = "EXITO"
Else
verificaTol = "FRACASO"
End If
End Function
El diagrama siguiente ilustra la forma en que esta ltima funcin
de verificacin acta con base en
el valor de sus dos parmetros de entrada:
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Flujo repetitivo (For-Next, While-Wend, Do While-Loop)
El flujo repetitivo se presenta en un algoritmo cuando se
requiere la ejecucin de un proceso o parte
de un proceso sucesivamente, hasta que ocurra una condicin que
permita terminar. Este tipo de
flujos repetitivos se presentan en tres formas que obedecen a
maneras diferentes de razonarlos
pero que en el fondo hacen lo mismo:
Utilizar un contador que empiece en un nmero y termine en otro,
ejecutando el proceso cada vez
que el contador tome un valor distinto. Mientras una condicin
sea verdadera, ejecutar un proceso
y regresar a la condicin.
Ejecutar un proceso, hasta que una condicin deje de cumplirse.
En VBA tenemos las siguientes
instrucciones para realizar procesos iterativos:
1- For ... Next
Repite un grupo de instrucciones un numero especificado de
veces.
Sintaxis (las instrucciones entre [ ] son instrucciones
adicionales)
For
contador = inicio To fin [Step incremento]
instrucciones
[Exit For]
instrucciones
Next contador
2- While...Wend
Ejecuta una serie de instrucciones mientras una condicion dada
sea True.
Sintaxis
While condici on
intrucciones
Wend
3- Una instruccin muy parecida a While pero ms eficiente es
Do
Sintaxis
Do while condition
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instrucciones
[Exit Do]
Loop
Ejemplo
Para ilustrar estas formas de realizar un flujo repetitivo,
vamos a aproximar la suma de una serie
alternada comn error estimado menor que una cantidad total
dada.
Consideremos la serie alternada
De acuerdo con la teora de las series alternadas, la serie
(1)1
2=1 es convergente si la suma
es S, al aproximarla con la suma parcial , el error de la
aproximacion es menor que 1
(+1)2, es decir:
| | 1
(+1)2
Ejemplo
Dada una tolerancia TOL, calcular cada una de las sumas
parciales hasta que el error de
aproximacin sea menor que TOL.
SOLUCION
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Implementamos dos macros, una para el clculo de las sumas
parciales y otra para hacer la
verificacin del error estimado. En este caso, vamos a suponer
que TOL est en la celda B33
RANGOS
Un rango en Excel corresponde a una seleccin de celdas. Una
seleccin de las celdas de una fila o
una columnas se maneja en Excel como una matriz de orden 1 n o
de orden n 1 (un vector). La
seleccin de un bloque de celdas se maneja como una matriz n m.
Si una celda est en blanco, se
lee un cero.
Ejemplo
Promedio simple. Consideremos una tabla con 5 notas, todas con
igual peso.
Para calcular el promedio simple, en cada fila, vamos a hacer
una macro que recibe un rango, cuenta
las notas, suma y divide entre el nmero de notas.
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En primera celda de la columna Promedio, llamamos a la macro
con: PROMEDIO (C52:G52) pues
en este caso el rango es C52:G52
Ejemplo 2
El Promedio eliminando las dos notas ms bajas. En este caso, a
un conjunto de notas les calculamos
el promedio simple pero eliminando las dos notas ms bajas. El
programa Promedio Q suma las
notas de una fila (rango), localiza la posicin (en el vector R)
de las dos notas ms bajas y luego le
resta a la suma estas dos notas para luego dividir entre n 2. En
este caso, el rango R es una matriz
1 n, o sea, se puede ver como un vector de n componentes.
Function PromedioQ (R As Range) As Double
Dim n, i, Imin1, Imin2 As Integer
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SUBRUTINAS (EDICION Y EJECUCION)
Las subrutinas o procedimientos es otro de los tipos bsicos de
programas en Visual Basic. Una
descripcin de la sintaxis de una subrutina que no es
completa.
Sintaxis:
Sub Nombre-de-Subrutina (lista-argumentos )
Instrucciones
End Sub
o tambin [Private | Public] [Static] Sub Nombre-de-Subrutina
(lista-argumentos )
instrucciones
End Sub
*las partes entre corchetes son opcionales*
Public. Es opcional. Indica que la subrutina puede ser llamada
por todas las dems subrutinas sin
importar donde se encuentre.
Private. Es opcional. Indica que la subrutina puede ser llamada
solamente por otras subrutinas que
se encuentren en el mismo modulo.
Static. Es opcional. Indica que las variables locales de la
subrutina se mantienen constantes de una
llamada a otra. El mbito de accin de esta declaracin no incluye
a variables declaradas fuera de la
subrutina.
-Nombre-De-Subrutina. Es requerido. Indica el nombre de la
subrutina.
-lista-argumentos. Es opcional e indica las variables que
conforman los argumentos con que una
sub-rutina es llamada. Para separar una variable de otra se
escribe una coma.
-Instrucciones. Es opcional y conforma el conjunto de
instrucciones que son ejecutadas a lo largo
de la subrutina.
Ejemplo
Elevar al cuadrado los valores de una seleccin (ejecutar desde
la ventana de ejecucin de
macros).Podemos implementar una subrutina en una hoja, que
recorra una seleccin hecha con el
mouse y que vaya elevando al cuadrado el valor de cada
celda.
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Nota: La macro se aplica a los datos que estn actualmente
seleccionados
Para editar la subrutina, vamos al editor VB (Alt-F11) y hacemos
doble-clic sobre (Hoja1)
Escribimos el cdigo, compilamos (en men Depuracin), guardamos y
nos devolvemos a la hoja.
Para ejecutar la macro seleccionamos la tabla con el mouse y
levantamos la ventana de ejecucin
de macros (Alt-F8)y damos clic en Ejecutar
Ejecucin de una subrutina mediante un botn
Otra posibilidad bastante practica para ejecutar un programa o
subrutina como los presentados en
la seccin precedente es mediante un botn de comando.
Ejemplo Elevar al cuadrado los valores de una seleccin.
1. Primero digitamos la tabla de valores. Luego insertamos un
botn. Para esto seleccionamos un
botn deL cuadro de controles (si la barra no est disponible,
puede habilitarla con Ver - Barra de
herramientas- Cuadro de Controles).
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2. Luego hacemos clic en el lugar de la hoja donde queremos el
botn. Una vez que tenemos el
botn, podemos agregar algunas propiedades como etiqueta, color
de fondo, etc., en el men de
contexto. Este men se abre con clic derecho + propiedades. Luego
cerramos el men.
3. Para editar el cdigo que debera ejecutar el botn, le damos un
par de clics al botn (que todava
est en modo diseo). En este caso, si es la primera vez, nos
aparece el cdigo
Private Sub CommandButton1_Click () End Sub
Aqu tenemos dos opciones
a. Implementar la subrutina por separado y luego llamarla desde
la subrutina del botn
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4. Una vez que escogemos alguna de las dos opciones anteriores,
compilamos (en men Depurar),
guardamos y nos devolvemos a la hoja.
5. Para habilitar el botn debemos deshabilitar el cono de
diseo
6. Ahora solo resta seleccionar la tabla y hacer clic sobre el
botn. Observe que al dar un clic sobre
el botn, el programa opera sobre lo que tengamos seleccionado
previa-mente
MATRICES DINAMICAS
Cuando hacemos una seleccin con el mouse, es conveniente entrar
los valores seleccionados en
una matriz dinmica, es decir, una matriz que se ajuste a la
cantidad de datos seleccionada y que,
eventualmente, se pueda recortar o hacer ms grande.
Una matriz dinmica mtr1 de entradas enteras se declara as:
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Ejemplo
Centro de gravedad de un conjunto de puntos en 2
Considerando un conjunto = {(, )/ = 1,2, , , R} . Supongamos a
cada punto
(, ) se le asigna un peso tal que =1 = 1. El centro de gravedad
de se define as
=
=1
(, )
Por ejemplo, si tenemos dos puntos A, B 2 con igual peso (este
deber a ser 1/2 para cada punto),
entonces el centro de gravedad es el punto medio del segmento
que une A con B
= +
2
La subrutina que calcula el centro de gravedad de un conjunto de
puntos 2 acta sobre un
rango de tres columnas en el que se han escrito las coordenadas
(x, y) de dichos puntos, as como
sus pesos. Podemos correr el programa una vez que se ha
seleccionado el rango completo en el que
se ubican los puntos y sus pesos, haciendo clic sobre un botn
Centro Gravedad. El grafico es un
trabajo adicional. Como el programa necesita que el usuario haya
seleccionado al menos dos filas y
exactamente tres columnas, incluimos un fragmento de cdigo
adicional para controlar la seleccin.
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Observemos que si no se cumple el requisito, se enva un mensaje
y la subrutina se deja de ejecutar.
Puede causar curiosidad que antes del Else no haya cdigo. A
veces se usa esta construccin por
comodidad. Si no hay cdigo el programa continua.
Veamos el cdigo completo en la subrutina del botn.
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Ejemplo
1. Usando la notacin del ltimo ejemplo, se define la inercia
total de como
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2- O sea, en (x) se elimina el factor ( ) en el numerador y el
factor () en el
denominador.
Implemente una hoja, como se ve en la figura, en la que el
usuario hace una seleccin de la tabla y
al hacer clic en el botn, se calcula 2(2.56)
Parte del cdigo seria:
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3-
O sea, para cada valor de i se elimina el factor (x x i) en el
numerador y el factor (x i x i) en el
denominador.
Este polinomio cumple P (x i) = y i i = 1, 2,...n.
Por ejemplo, para el caso de tres puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y
1 ) y (x 2 , y 2 ), el Polinomio de Lagrange
es:
(a) Implemente una subrutina que, a partir de una seleccin de
puntos (x i , y i ) (en dos columnas)
en una hoja de Excel, evala el polinomio interpolante en una
valor dado de antemano en una celda,
sea, calcula P (a) para un valor a dado.
(b) Aplique la implementacin anterior a una tabla como la que se
presenta en la figura:
Parte del cdigo seria
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3.-INTERPOLACION
Concepto: Interpolar significa encontrar un valor intermedio
entre dos o mas puntos base
conocidos, los cuales se pueden aproximar mediante
polinomios.
Tipos de interpolacin
interpolacin con espacios equidistantes
interpolacin con espacios no equidistantes
INTERPOLACIN CON ESPACIOS EQUIDISTANTES
O INTERPOLACION DE NEWTON
DIFERENCIAS PROGRESIVAS: Son llamadas diferencias hacia delante
y se definen como:
O primeras diferencias: Y i = Y i+1 - Y i i=0,1,2,3...n (1)
O segundas diferencias: 2 Yi = Y i+1 - Y i i=0,1,2,3...n (2)
O terceras diferencias: 3 Y i = 2 Y i+1 - 2 Y i i=0,1,2,3...n
(3)
O k- cimas diferencias: k Y i = k k-1 Y i+1 - k-1 Y i
i=0,1,2,3...n (4)
k=0,1,2,3...n
Dnde: es el operador de diferencias progresivas
Para i=0 Y 0 = Y 1 Y 0 -------> Y 1 = Y 0 + Y 0 (5)
Para i=1 Y 1 = Y 2 Y 1 -------> Y 2 = Y 1 + Y 1 (6)
Para i=0 2 Y 0 = Y 1 Y 0 ----> Y 1 = 2 Y 0 + Y 0 (7)
Sustituyendo las ecuaciones (7) y (5) en (6)
Y 2 = Y 1 + Y 1
Y 2 = (Y 0 + Y 0) + ( 2 Y 0 + Y 0)
Y 2 = Y 0 + 2Y 0 + 2 Y 0 (8)
De las ecuaciones (5) y (8)
Y 1 = Y 0 + Y 0 sacando factor comn Y 0 tenemos: Y 1 = (1 + ) 1
Y 0
Y 2 = Y 0 + 2Y 0 + 2Y 0 sacando factor comn Y 0 tenemos: Y 2 =
(1 + ) 2 Y 0
Entonces para Y 3 Y 3 = (1 + ) 3 Y 0 (9)
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Generalizando, tendremos: Y k = (1 + ) k Y 0 (10)
El Segundo miembro de la ecuacin (10) corresponde al Binomio de
Newton Elevado al exponente
k, el cual puede desarrollarse del siguiente modo:
= + (1
) + (2
) 2 + + (
) (11)
Para: K= 1,2,3, ...n
= + (1
) + (2
) 2 + (
) + (
+ 1
) 0 (12)
Para: K= 1,2,3, ...n
Si se toma un valor j
cualquiera menor que k y si las j-ensimas diferencias son
constantes, entonces todas las
diferencias de orden superior a j sern cero, por lo que la
ecuacin (11) queda :
(
) =!
( )! !=
( 1)( 2) ( + 1)!
!
Donde: (
) es un polinomio k en grado j de la forma:
y k = a 0 + a 1 k + a 22 k 2 + ..... .+ a j k j (14)
Si consideramos la funcin tabular con espaciamiento h
constante.
Donde :
X 1 -X 0=h
X 2 -X 0 =2h
................
X K -X 0 = Kh
X n -X 0 = nh
Sustituyendo (15) en (14)
= + 1 + 22 +
x Y
X 0 Yo
X 1 =X 0 +h
Y1
X 2 =X 0 +2h
Y2
X k =X 0 +kh
Yk
X n =X 0 +nh Yn
Donde queda la expresin
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Se llama polinomio de newton con espaciamiento constante.
Ejercicio
En base a la funcin tabular que se muestra, preparar la tabla de
diferencias:
Solucin:
Las primeras diferencias son:
1 Y 0 = Y 1 -Y 0 = 1-(-5) = 6
1 Y 1 = Y 2 -Y 1 = 9 - 1 = 8
1 Y 2 = Y 3 -Y 2 = 25- 9 =16
1 Y 3 = Y 4 -Y 3 = 55-25 =30
1 Y 4 = Y 5 -Y 4 = 105-55 =50
Las segundas diferencias son:
2 Y 0 = Y 1 - Y 02 = 8 - 6 = 2
Y 1 = Y 2 - Y 1 = 16 - 8 = 8
2 Y 2 = Y 3 - Y 2 = 30 - 16 =14
2 Y 3 = Y 4 - Y 3 = 50 -30 =20
Las terceras diferencias son:
3 Y 0 = 2 Y 1 - 2 Y 0 = 8 - 2 = 6
3 Y 1 = 2 Y 2 - 2 Y 1 = 14 - 8 = 6
3 Y 2 = 2 Y 3 - 2 Y 2 = 20 - 14 = 6
Entonces queda la tabla de resultados
Por ser 3 Y constante, corresponde a un polinomio de tercer
grado y es un Polinomio exacto En la ec. (12)
= + (1
) 1 + (
2
) 2 + (
)
+ (
+ 1) 0
Si hacemos J=1, entonces tendremos el polinomio de primer grado
que se
x Y
0 -5
1 1
2 9
3 25
4 55
5 105
x y
0 -5
1 1 6
2 9 8 2
3 25 16 8 6
4 55 30 14 6
5 105 50 20 6
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aproxima a f(x)
= Yo+(
1)
Siendo
= 0
Tendremos
= 0 + ( 0
)
Que corresponde a un polinomio de primer grado.
De la tabla del ejercicio 01, hallar la funcin explicita,
teniendo como condiciones iniciales: X 0 =1,
Y 0 =1
Solucin:
= 0
Como por dato tenemos X 0 =1, siendo los valores de X
constantes, entonces h=1 1 Y 0 =8, 2 Y
0 =8, 3 Y 0 =6
=1
1 quedando k= x-1
Reemplazando en la ecuacin general:
= + (1
) 1 + (
2
) 2 + (
) + (
+ 1
) 0
= + ( 1
1)
1 + ( 1
2)
2 + ( 1
3)
3
Reemplazando en la ecuacin anterior. 1 Y 0 =8, 2 Y 0 =8, 3 Y 0
=6
= + ( 1
1) 8 + (
12
) 8 + ( 1
3) 6
Conociendo la frmula de permutaciones.
( 1
1) =
1
1
( 1
2) =
( 1)( 2)
2
( 1
3) =
( 1)( 2)( 3)
6
-
27
= 1 + ( 1)
1 8 +
( 1)( 2)
2 8 +
( 1)( 2)( 3)
6 6
Y = 1+(x-1)*8 + (x-1)(x-2)*4 + (x-1)(x-2)(x-3)*1
Simplificada queda:
Y = X 3 2X 2 + 7 X 5 SOLUCION PEDIDA
INTERPOLACION CON ESPACIOS NO EQUIDISTANTES
O INTERPOLACION DE LAGRANGE
Si se presenta una funcin tabulada de la forma:
Entonces el polinomio:
= 01 + 11 + 22 + + 1. +
O bien:
Y = a 0 (x- x 1) (x-x 2) (x-x 3)... (X-x n )
+ a 1 (x- x 0 )(x-x 2 )(x-x 3 ) ... (x-x n )
+ a 0 (x- x 0 )(x-x 1 )(x-x 3 ) ... (x-x n )
....+ a n (x- x 0) (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n-1 )
Los coeficientes a 0, a 1 , a 2 ,........ a n, se determinan de
tal modo que el polinomio pase por
todos y cada uno de los puntos conocidos de la funcin, entonces
si se evala la funcin anterior
para x= x 0 se tiene: Y 0 = a 0 (x- x 1 )(x-x 2 )(x-x 3 ) ...
(x-x n ) donde :
ao=
(01)(02)(03)(0)
a1=1
(10)(12)(13)(1)
..
an=
(0)(1)(02)(1)
X Y
Xo Yo
X 1 =X 0 +h 0 Y1
X 2 =X 1 +h 1
..
Y2
Xk=X0+kh YK
Yk
Xn=Xn- Yn
1+hn-1
Yn
-
28
Sustituyendo en la ecuacin de LaGrange
-
29
4.- DIFERENCIACIN NUMRICA
Se aproximara la funcin tabulada f(x) y se diferenciar la
aproximacin pn(x).
Si la aproximacin es polinomial y con el criterio de ajuste
exacto, la diferenciacin numrica
consiste simplemente en diferenciar la frmula del polinomio
interpolante que se utiliz. Se en
general.
() = () + (); ()
=
()
O en general ()
()
La derivada de una funcin f(x) en x=x0 es por definicin
matemtica:
(0) = lim0
(0 + ) (0)
Aunque esta frmula da una manera de generar una aproximacin de
(0) dndo valores
pequeos a y calcular (0+)(0)
, se tendr el problema de que (0 + ) y (0) tendrn
valores muy cercanos, lo que har que en la operacin de resta
existan perdidas de cifras
significativas. Para el caso de una funcin lineal () = + , la
aproximacin dada resulta exacta
para cualquier valor de h distinto de cero.
Una de las clases ms tiles que mapea al conjunto de los nmeros
reales sobre s mismos es la de
los polinomios algebraicos; el conjunto de funciones de la forma
() = + 1
1 + +
1 + 0. Aproximan de manera uniforme las funciones continuas.
DIFERENCIAS FINITAS
El Mtodo consiste en una aproximacin de las derivadas parciales
por expresiones algebraicas con
los valores de la variable dependiente en un limitado nmero de
puntos seleccionados.
Como resultado de la aproximacin, la ecuacin diferencial parcial
que describe el problema es
reemplazada por un nmero finito de ecuaciones algebraicas, en
trminos de los valores de la
variable dependiente en puntos seleccionados. El valor de los
puntos seleccionados se convierte en
las incgnitas. El sistema de ecuaciones algebraicas debe ser
resuelto y puede llevar un nmero
largo de operaciones aritmticas.
2
2+
2
2= 0; {
1 =
2 =
= 0
En general, la aproximacin de la primera derivada con respecto a
x de una funcin F(x,y), es dada
por:
(+,)(,)
, esta se dice que es la aproximacin de diferencia finita hacia
adelante
de la derivada parcial.
-
30
La diferencia finita hacia atrs es obtenida de la forma
siguiente:
(,)(,)
Existen
pequeas diferencias entre las dos aproximaciones. La diferencia
finita central es a menudo ms
exacta:
(+1
2,)(
1
2,)
.
La segunda derivada es la derivada de la primera derivada; y si
utilizamos una aproximacin de
diferencia finita central, obtendremos: 2
2
(+,)2(,)+(,)
()2=
+1,2,+1,
()2 .
Si por razones de simplicidad se asumen intervalos iguales en
las direcciones de x e y:
2
2+
2
2
,1 + ,+1 4, + 1, + +1,()2
; , =1
4(,1 + ,+1 + 1, + +1,
DIFERENCIAS FINITAS USANDO EXPANSIN EN SERIE DE TAYLOR
En los polinomios de Taylor, la informacin utilizada se
concentra en el nico punto x0 , mientras se
aleja de x0 da como resultado aproximaciones inexactas.
La principal aplicacin de los polinomios de Taylor en el anlisis
numrico no es la aproximacin,
sino la deduccin de los mtodos numricos y la estimacin del
error. En matemticas, la serie de
Taylor de una funcin f(x) infinitamente derivable (real o
compleja) definida en un intervalo abierto
(a-r, a+r) se define con la siguiente suma:
()~() + ()( ) +()
2!( )2 +
()~ ()()
!( )
=0
; = |()
2|
Ejemplos
= 1 + +2
2!+
3
3!+ =
! ; || <
=0
sin = 3
3!+
5
5! = (1)
2+1
(2 + 1)!; || <
=0
cos = 1 2
2!+
4
4! = (1)
=0
2
(2)! ; (|| < )
1
1 = 1 + + 2 + 3 + = ; (|| < )
=0
ln(1 + ) = 2
2+
3
3 = (1)1
; (1 < 1)
=1
-
31
DIFERENCIAS FINITAS USANDO POLINOMIOS DE LAGRANGE
Mtodo de aproximacin polinomial en el que no se requiere
resolver un sistema de ecuaciones
lineales y los clculos se realizan directamente.
Al definir un polinomio de primer grado que pasa por dos puntos
distintos (x0,y0) y (x1,y1), es lo
mismo que aproximar una funcin f, en donde f(x0)= y0 y f(x1)=
y1, por medio de un polinomio que
interpole los valores de f en los puntos dados y que coincida
con ellos.
Definiendo las funciones:
0() = 10 1
& 1() = 01 0
El polinomio de interpolacin de LaGrange lineal que pasa por
(x0,y0) y (x1,y1) es :
() = 0()(0) + 1()(1) = 10 1
(0) + 01 0
(1)
Se observa que:
0(0) = 1, 0(1) = 0, 1(0) = 0 1(1) = 1
Esto implica
(0) = 1 (0) + 0 (1) = (0) = 0
(1) = 0 (0) + 1 (1) = (1) = 1
Generalizando, considerando la construccin de un polinomio de
grado mximo n que pase por los
n+1 puntos.
(0, (0)), (1, (1)), , (, ())
En este caso para cada k= 0,1,,n se construye una funcin Ln,k(x)
, donde:
,() = 0 ,() = 1 ,
Para satisfacer ,() = 0 para cada
( 0)( 1) ( 1)( + +1) ( )
Para satisfacer ,() = 1, el denominador de ,() debe ser este
trmino pero evaluado en
x= xk; es decir
, =( 0) ( 1)( + +1) ( )
( 0) ( 1)( + +1) ( )
-
32
Para obtener polinomios de tercer, cuarto o n-simo de
interpolacin de LaGrange; este ltimo
queda como se indica a continuacin.
() = (); = 0,1, ,
() = 0()(0) + 1()(1) + + ()()
Donde:
0() =( 1)( 2) ( )
(0 1)(0 2) (0 )
1() =( 0)( 2) ( )
(1 0)(1 2) (1 )
() =( 0)( 1) ( 1)
( 0)( 1) ( 1)
Que en forma ms compacta y til, quedara:
() = (),(); = 0,1, ,
=0
Donde
,() =( 0)( 1) ( 1)( +1) ( )
( 0)( 1) ( 1)( +1) ( )
,() = ( )
( )
=0;
Ejemplo
Determina el polinomio de interpolacin lineal de LaGrange que
pasa por los puntos (2,4) y (3,5)
0() = 5
2 5=
1
3( 5), 1() =
2
5 2=
1
3( 2)
Por tanto () = 1
3( 5) 4 +
1
3( 2) 1 =
4
3 +
20
3+
1
3
2
3= + 6
-
33
La grfica de = () es
5.-INTEGRACIN NUMRICA
Una Vez que se ha determinado un polinomio pn(x) de manera que
aproxime satisfactoriamente un
funcin dada f(x) sobre un intervalo de inters, puede esperarse
que al diferenciar pn(x) o integrarla
en forma definida, tambin aproxime satisfactoriamente la
derivada o integral definida
correspondiente a f(x).
En el proceso de integracin, el valor de ()
0, est dado por el rea bajo la curva de f(x),
mientras que la aproximacin ()
0, est dado por el rea bajo la curva de pn(x) y los errores
que se comenten en diferentes segmentos del intervalo tienden a
cancelarse entre s o a reducirse.
Por esto, el error total al integrar pn(x) entre x0 y xn puede
ser muy pequeo, aun cuando pn(x) no
sea una buena aproximacin de f(x).
En resumen: si la aproximacin polinomial pn(x) es buena, la
integral ()
0, puede dar una
aproximacin excelente de ()
0.
MTODO DEL TRAPECIO
En el caso n=1, el intervalo de integracin [a,b] queda tal cual
y x0 =a, x1=b; la aproximacin
polinomial de f(x) es una lnea recta (un polinomio de primer
grado p1(x)) y la aproximacin a la
integral es el rea de trapezoide bajo esta lnea recta. Este
mtodo de integracin se llama regla
trapezoidal.
-
34
Es necesario seleccionar una de las formas de representacin del
polinomio p1(x), y como f(x) est
dada para valores equidistantes de x con distancia h, la eleccin
lgica es una de las formulas en
diferencias finitas (hacia adelante, hacia atrs o centrales). Si
se eligen las diferencias finitas hacia
delate, entonces se tendr:
() = 1(), 1() = 1(0 + ) = (0) + (0)
Se reemplaza p1(x) en la integral y se tiene:
() [(0) + (0)]1
0
Para realizar la integracin del lado derecho de la ecuacin
anterior es necesario tener a toda la
integral en trminos de la nueva variable s que, como se sabe,
est dada por:
= 0 + , as, la diferencial de x queda en trminos de la
diferencia de s = ,ya que x0 y h
son constantes.
Para que los lmites de integracin x0 y x1 queden a su vez en
trminos de s, se sustituyen por x en
= 0 + y se despeja s, lo que da, respectivamente,
0 = 0 + ; = 0
1 = 0 + ; = 1
Y resulta [(0)1
0+ (0)] =
1
0[(0) + (0)]
Al integrar: [(0) + (0)]1
0= [(0) +
2
2(0)]|
10
= [(0) + (0)
2
Como (0) = (0 + ) (0), se llega finalmente a
()
2[(0) + (1)]
El algoritmo del mtodo trapezoidal.
-
35
MTODO DE SIMPSON
Si n=2; el intervalo de integracin [a,b] se divide en dos
subintervalos, se tendrn tres abscisas dadas
por:
0 = 1 = 02 =
+ 1( )
2= +
2
2=
1
2( )
Se aproxima f(x) con una parbola [un polinomio de segundo grado
p2(x)], y la aproximacin a la
integral ser el rea bajo el segmento de la parbola comprendida
entre f(x0) y f(x2). Esto es :
() = 2()2
0
Para realizar la integracin 2()2
0, se usa la frmula de Newton para diferencias finitas hacia
adelante para expresar 2().
2() = 2(0 + ) = (0) + (0) +( 1)
2!2(0)
Al sustituir 2() y expresar toda la integral en trminos de la
nueva variable s, queda:
()
= 2()2
0
= 2(0 + )2
0
2(0 + )2
0
= [(0) + (0) +( 1)
2!2(0)]
2
0
= [(0) +2
2(0) +
3
3!2(0)
2
42(0)] |
20
= [2(0) + 2(0) +1
32(0)]
De la definicin de la primera y segunda diferencia hacia
adelante se tiene:
(0) = (0 + ) (0) = (1) (0)
-
36
Y
2(0) = (0 + 2) 2(0 + ) + (0) = (2) 2(1) + (0)
Que sustituida en la ltima ecuacin dan lugar a:
()()
3[(0) + 4(1) + (2)]
El algoritmo de Simpson.
CUADRATURA DE GAUSS
Gauss investigo y encontr que es factible disminuir el error en
la integracin cambiando la
localizacin de los puntos sobre la curva de integracin f(x).
Desarroll el mtodo conocido como
cuadratura de Gauss.
Se tiene la curva de la funcin f(x) que se desea integrar entre
los lmites a y b. La parte (a) de la
figura muestra cmo se integrara usando un trapezoide: uniendo el
punto A de coordenadas (a,f(a))
con el punto B(b,f(b)) mediante un segmento de recta p1(x). Esto
forma un trapezoide de altura h =
(b-a), cuya rea es:
=
2 [() + ()],
Y que podra escribirse como
= 1() + 2()
Cualquiera de las formulas de integracin desarrolladas en las
secciones anteriores puede ponerse
en la forma () = ()=1
Se traza una lnea recta por estos dos puntos, se extiende hasta
los extremos del intervalo y se forma
el trapezoide sombreado. Parte del trapezoide queda por encima
de la curva y parte por abajo. Si
se escogen adecuadamente los puntos C y D, cabe igualar las dos
zonas de modo que el rea del
trapezoide sea igual al rea bajo la curva; el clculo del rea del
trapezoide resultante da la
integracin exacta. El mtodo de Gauss consiste esencialmente en
seleccionar los puntos C y D
adecuados. La tcnica se deduce a continuacin.
-
37
Considere primero, que se integra la funcin de la figura entre
los limites -1 y +1 (si los lmites son
distintos, se hace un cambio de variable para pasarlos a -1 y
+1). Los puntos C y D se escogen sobe
la curva y se forma el trapezoide con vrtices E, F, G, H.
Sean las coordenadas del punto C (z1, f (z1)) y las del punto D
(z2, f (z2)). Motivado por la formula
trapezoidal, Gauss desarrolla la frmula:
= 1(1) + 2(2)
Ya que esto simplificara relativamente el clculo del rea.
Considere encontrar los valores de z1, z2,
w1 y w2. Hay cuatro parmetros por determinar, as tambin cuatro
condiciones. Se eligen de
manera que el mtodo d resultados exactos cuando la funcin por
integrar sea alguna de las cuatro
siguientes o combinaciones lineales de ellas.
() = 1, () = , () = 2 () = 3
Los valores exactos de integrar estas cuatro funciones entre -1
y +1 son:
1 = 11
1
= |1
1= 1 1(1) = 2
2 = =1
1
2
2 |
11
=12
2
(1)2
2= 0
3 = 2
1
1
=3
3|
11
=13
3
(1)3
3= 2
4 = 3 =
4
4|
11
=4
4
(1)4
4= 0
1
1
Suponiendo que una ecuacin anterior A funciona exactamente, se
tendr el siguiente sistema de
ecuaciones.
1 = 1(1) + 2(1) = 2
-
38
2 = 11 + 22 = 0
3 = 112 + 22
2 =2
3
4 = 113 + 22
3 = 0
De la primera ecuacin se tiene que 1 + 2 = 2; notese que tambin
que si 1 = 2 y 1 =
2, se satisfacen la segunda y la cuarta ecuaciones. Entonces se
elige 1 = 2 = 1 y 1 = 2 y
al sustituir en la tercera ecuacin se obtiene:
12 + (1)
2 =2
3= 1
2 =1
3
De donde 1 = 1
3= 0.57735 {
1 = 0.57735 2 = 0.57735
Con lo que se tiene la frmula:
() = 1(1) + 2(2) = (0.57735 ) + (+0.57735 )1
1
Que salvo porque se tiene que calcular el valor de la funcin en
un valor irracional de z, es tan simple
como la regla trapezoidal; adems, trabaja perfectamente para
funciones cbicas, mientras que la
regla trapezoidal lo hace slo para lneas rectas.
Para integrar en un intervalo distinto de [-1,1], se requiere un
cambio de variable a fin de pasar del
intervalo de integracin general [a,b] a [-1,1] y as aplicar en
la funcin anterior; por ejemplo, si se
desea obtener
5
0
Se puede cambias a =2
5 1, de modo que si x=0, z=-1 y si x=5, z=-1.
El resto de la integral se pone en trminos de la nueva variable
z y se encuentra que:
= 5(+1)
2 = (5
2( + 1)) =
5
2
Entonces la integral queda: 5
0=
5
2 5(+1)/2
1
1, de modo que las condiciones de
aplicacin del mtodo de Gauss quedan satisfechas.
5
2
5(+1)2
1
1
5
2[1(0.57735 ) + 2(+0.57735 )]
-
39
=5
2[(1)
5(0.57735+1)
2 + (1)5(0.57735+1)
2 ] = 0.91752, 0.917525
0
El valor exacto de esta integral es 0.99326.
En general, si se desea calcular ()
aplicando la ecuacin anterior, se cambia el intervalo de
integracin con la con la siguiente formula: =2()
(slo es aplicable cuando los lmites de
integracin a y b son finitos) ya que si x=a, z= -1; y si x=b,
z=1
El integrado j(x)dx en trminos de la nueva variable queda:
() = (
2 +
+
2) = (
2+
+
2) =
2
Por lo que la integral queda finalmente como:
()
=
2 (
2 +
+
2)
1
1
=
2[ (
2(0.57735) +
+
2) + (
2(0.57735) +
+
2)]
En general el algoritmo tiene la forma.
() = 1(1) + 2(2) + 3(3) + + ()1
1
Los coeficientes y las abscisas dadas en la siguiente tabla
sirven en el intervalo de inters y aplicar
el mtodo de gauss a cada uno de ellos.
INTEGRALES IMPROPIAS
Las integrales impropias se producen cuando el concepto de
integracin se extiende a un intervalo
de integracin donde la funcin no est acotada, o a un intervalo
con uno o ms extremos infinitos.
En ambos casos, es preciso modificar las reglas normales de la
aproximacin de la integral.
Se considera la situacin en que el integrado no est acotado en
el extremo izquierdo del intervalo
de la integracin, como se observa en la figura.
-
40
En clculo se demuestra que la integral impropia con singularidad
en el extremo izquierdo,
( )
Converge si y slo si 0 < p < 1, u en este caso
definimos,
( )
=( )
1
Si f es una funcin que puede escribirse en la forma () =()
() ; {
0 < < 1 [, ]
,
entonces la integral impropia.
()
Tambin existe. Aproximaremos esta integral por medio de la regla
compuesta de Simpson. Si
5[, ] podemos construir el polinomio de Taylor 4(), para g
alrededor de a,
4() = () + ()( ) +
()
2!( )2 +
()
3!( )3 +
(4)()
4!( )4
() = () 4()
( ) +
4()
( )
4()
( )
= ()
!( ) =
()()
! ( + 1 )( )+1
4
=0
4
=0
Es la parte dominante de la aproximacin, especialmente cuando el
polinomio de Taylor 4()
concuerda estrechamente con g(x) en todo el intervalo [a,b].
Para aproximar la integral de f tenemos que agregar este valor a
la aproximacin de:
() 4()
( ) ; () = {
() 4()
( ),
0, = .
< ,
-
41
Como 0 < < 1 y como 4()
()concuerda con 4()
() para cada k=0, 1, 2, 3, 4, tenemos
4[, ] . Ello significa que podemos aplicar la regla compuesta de
Simpson para aproximar la
integral de G en [a,b].
6.-RAICES DE ECUACIONES
La raz de una ecuacin es aquel valor de la variable
independiente que hace que el resultado de la
ecuacin sea cero o por lo menos se acerque a cero con una cierto
grado de aproximacin deseado
(error mximo permitido).
MTODOS DE LA BISECCION
El mtodo de biseccin se basa en el siguiente teorema de Clculo:
Teorema del Valor Intermedio
Sea continua en un intervalo y supongamos que . Entonces
para
cada tal que , existe un tal que .
La misma conclusin se obtiene para el caso que . Bsicamente el
Teorema del Valor
Intermedio nos dice que toda funcin continua en un intervalo
cerrado, una vez que alcanz ciertos
valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar
todos los valores intermedios.
En particular, si y tienen signos opuestos, entonces un valor
intermedio es
precisamente , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio
nos asegura que debe
existir tal que , es decir, debe haber por lo menos una raz de
en el
intervalo.
El mtodo de biseccin sigue los siguientes pasos:
Sea contnua,
i) Encontrar valores iniciales , tales que y tienen signos
opuestos, es
decir,
ii) La primera aproximacin a la raz se toma igual al punto medio
entre y :
iii) Evaluar . Forzosamente debemos caer en uno de los
siguientes casos:
-
42
En este caso, tenemos que y tienen signos opuestos, y por lo
tanto la raz se
encuentra en el intervalo .
En este caso, tenemos que y tienen el mismo signo, y de aqu
que y tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raz se encuentra
en el
intervalo .
En este caso se tiene que y por lo tanto ya localizamos la
raz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta
que:
es decir,
Ejemplo
Aproximar la raz de hasta que .
Solucin:
En efecto, tenemos que
mientras que:
Cabe mencionar que la funcin s es continua en el intervalo . As
pues, tenemos
todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el mtodo de
biseccin. Comenzamos:
-
43
i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera
aproximacin a la raz):
ii) Evaluamos
iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra
la raz, hacemos la siguiente tabla:
Por lo tanto, vemos que la raz se encuentra en el intervalo . En
este punto, vemos que
todava no podemos calcular ningn error aproximado, puesto que
solamente tenemos la primera
aproximacin. As, repetimos el proceso con el nuevo intervalo
.
Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximacin a
la raz):
Aqu podemos calcular el primer error aproximado, puesto que
contamos ya con la aproximacin
actual y la aproximacin previa:
Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el
proceso.
Evaluamos , y hacemos la tabla:
As, vemos que la raz se encuentra en el intervalo .
Calculamos el punto medio,
-
44
Y calculamos el nuevo error aproximado:
El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo. Resumimos
los resultados que se obtienen en la
siguiente tabla:
Aprox. a la raz
Error aprox.
1.25
1.375 9.09%
1.3125 4.76%
1.28125 2.43%
1.296875 1.20%
1.3046875 0.59%
As, obtenemos como aproximacin a la
raz
METODO SECANTE
Este mtodo se basa en la frmula de Newton-Raphson, pero evita el
clculo de la derivada usando
la siguiente aproximacin:
Sustituyendo en la frmula de Newton-Raphson, obtenemos:
-
45
Que es la frmula del mtodo de la secante. Ntese que para poder
calcular el valor de ,
necesitamos conocer los dos valores anteriores y .
Obsrvese tambin, el gran parecido con la frmula del mtodo de la
regla falsa. La diferencia entre
una y otra es que mientras el mtodo de la regla falsa trabaja
sobre intervalos cerrados, el mtodo
de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo, encuentra
la aproximacin casi con la misma
rapidez que el mtodo de Newton-Raphson. Claro, corre el mismo
riesgo de ste ltimo de no
converger a la raz, mientras que el mtodo de la regla falsa va a
la segura.
Ejemplo
Usar el mtodo de la secante para aproximar la raz de ,
comenzando con
, y hasta que .
Solucin:
Tenemos que y , que sustituimos en la frmula de la secante
para calcular la aproximacin :
Con un error aproximado de:
Como todava no se logra el objetivo, continuamos con el proceso.
Resumimos los resultados en la
siguiente tabla:
Aprox. a la raz Error aprox.
0
1 100%
0.612699837 63.2%
0.653442133 6.23%
0.652917265 0.08%
De lo cual concluimos que la aproximacin a la raz es:
-
46
7.-MATRICES Y SISTEMASDE ECUCIONES LINEALES
ANLISIS MATRICIAL, VECTORES, INDEPENDENCIA Y UNIDAD DE
VECTORES
SOLUCIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: ELIMINACIN DE
GAUSS
la eliminacin de Gauss-Jordn, llamada as debido a Carl Friedrich
Gauss y Wilhelm Jordn, es
un algoritmo del lgebra lineal para determinar las soluciones de
un sistema de ecuaciones lineales,
encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se
resuelve por el mtodo de Gauss cuando
se obtienen sus soluciones mediante la reduccin del sistema dado
a otro equivalente en el que
cada ecuacin tiene una incgnita menos que la anterior. El mtodo
de Gauss transforma la matriz
de coeficientes en una matriz triangular superior. El mtodo de
Gauss-Jordn contina el proceso
de transformacin hasta obtener una matriz diagonal,
consiste:
1. Ir a la columna no cero extrema izquierda
2. Si el primer rengln tiene un cero en esta columna,
intercambiarlo con otro que no lo tenga
3. Luego, obtener ceros debajo de este elemento delantero,
sumando mltiplos adecuados
del rengln superior a los renglones debajo de l
4. Cubrir el rengln superior y repetir el proceso anterior con
la submatriz restante. Repetir
con el resto de los renglones (en este punto la matriz se
encuentra en la forma de escaln)
5. Comenzando con el ltimo rengln no cero, avanzar hacia arriba:
para cada rengln obtener
un 1 delantero e introducir ceros arriba de ste sumando mltiplos
correspondientes a los
renglones correspondientes
Una variante interesante de la eliminacin de Gauss es la que
llamamos eliminacin de Gauss-
Jordn, (debido al mencionado Gauss y a Wilhelm Jordn), esta
consiste en ir obteniendo los 1
delanteros durante los pasos uno al cuatro (llamados paso
directo) as para cuando estos finalicen
ya se obtendr la matriz en forma escalonada reducida. Supongamos
que es necesario encontrar los
nmeros "x", "y", "z", que satisfacen simultneamente estas
ecuaciones:
Ejemplo:
Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es
reducir el sistema a otro equivalente,
que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas
elementales) son estas:
Multiplicar una ecuacin por un escalar no nulo.
http://es.wikipedia.org/wiki/Carl_Friedrich_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Algoritmohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_algebraicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Submatrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Wilhelm_Jordanhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_lineal_de_ecuaciones
-
47
Intercambiar de posicin dos ecuaciones
Sumar a una ecuacin un mltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales
que se usan tambin en otros
procedimientos como la factorizacin LU o la diagonalizacin por
congruencia de una matriz
simtrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuacin sumando
3/2 veces la primera ecuacin
a la segunda y despus sumamos la primera ecuacin a la tercera.
El resultado es:
Ahora eliminamos y de la primera ecuacin sumando -2 veces la
segunda ecuacin a la primera, y
sumamos -4 veces la segunda ecuacin a la tercera para eliminar
y.
Finalmente eliminamos z de la primera ecuacin sumando -2 veces
la tercera ecuacin a la primera,
y sumando 1/2 veces la tercera ecuacin a la segunda para
eliminar z.
Despejando, podemos ver las soluciones:
Para clarificar los pasos, se trabaja con la matriz aumentada.
Podemos ver los 3 pasos en su
notacin matricial:
Primero:
http://es.wikipedia.org/wiki/Matrices_elementaleshttp://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n_LUhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_aumentada
-
48
Despus,
Por ltimo.
Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraramos con
una fila como esta:
Que representa la ecuacin: , es decir, que no tiene solucin.
ELIMINACIN DE GAUSS CON PIVOTEO
Una tcnica que se desarroll para combatir los errores de
truncamiento por ceros en la diagonal o
los errores de redondeo por nmeros cercanos a cero es la tcnica
de pivoteo parcial, esta tcnica
consiste en ubicar en la fila pivote el termino de mayor
magnitud de tal forma que al realizar la
divisin por dicho termino no se incurre en la violacin de
divisin por nmeros cercanos a cero ni
la divisin por cero. Se define entonces como:En cada etapa k se
busca el mayor de los elementos
de la columna k, que ocupan posiciones mayores o iguales que k,
ocupe la posicin akk, donde
k
-
49
Luego
= 30/58900=0.000509...
= 5.31/6.10=0.870 4
La fila que se escoge para pivote es la segunda y se efecta la
operacin E2 E1 para obtener el sistema
el multiplicador es:
La operacin E2 - 5.64E1 reduce el sistema a:
Si se resuelve con sustitucin hacia atrs la solucin es x1=10,
x2=1
Si el sistema anterior se resuelve con eliminacin gaussiana y
aritmtica de corte a tres dgitos (sin usar Pivoteo), la solucin
aproximada que se obtiene es x1 30 y x2 0.99 que no es una buena
aproximacin. Ya que la solucin exacta del sistema es x1= 10, x2=
1.
FACTORIZACIN DIRECTA
Dado un sistema de ecuaciones de la forma Ax=b, los mtodos de
factorizacin directa de matrices
pretenden descomponer la matriz A en el producto de dos matrices
triangulares L y U, triangular
superior y triangular inferior respectivamente y las cuales
cumplen lo siguiente:
A=LU
javascript:javascript(4)
-
50
Al realizar esta transformacin el sistema de ecuaciones:
Ax=b
Ahora el producto Ux lo podemos sustituir en la expresin Lux=b
por una variable z, donde Ux=z y
el sistema resultante es:
Lz=b
Una vez se tiene definido el ultimo sistema, se procede a
resolver el sistema de una manera ms
sencilla y reduciendo el error. Los mtodos de esta seccin son:
Factorizacin LU Doolittle y
Factorizacin LU Crout.El objetivo del mtodo de Factorizacin LU
Doolittle es encontrar
una solucin a un sistema de ecuaciones lineales, basado en la
factorizacin LU de la matriz de
coeficientes relacionada al sistema. Para este mtodo de
factorizacin directa de matrices, se utiliza
como fundamento que los valores de la diagonal de la matriz L,
son todos uno (1).
El procedimiento a seguir para la aplicacin del mtodo es el
siguiente:
Se debe construir una matriz de coeficientes y el vector con los
trminos independientes, correspondientes al sistema, y se toman
como valores iniciales para poder calcular la factorizacin.
Tomando la matriz de coeficientes, y bajo el fundamento
principal del mtodo, se procese al clculo de las matrices L y U,
correspondientes a la factorizacin de A.
Una vez realizada la factorizacin, se toma la matriz de la
factorizacin U y el vector x y se procede a calcular el vector
z.
Ahora con el vector z, el vector de trminos independientes y la
matriz L de la factorizacin, se procede a resolver el sistema
Lz=b.
El objetivo del mtodo de Factorizacin LU Crout es encontrar una
solucin a un sistema de ecuaciones lineales, basado en la
factorizacin LU de la matriz de coeficientes relacionada al
sistema. Para este mtodo de factorizacin directa de matrices, se
utiliza como fundamento que los valores de la diagonal de la matriz
U, son todos uno (1). El procedimiento a seguir para la aplicacin
del mtodo es el siguiente:
Se debe construir una matriz de coeficientes y el vector con los
trminos independientes, correspondientes al sistema, y se toman
como valores iniciales para poder calcular la factorizacin.
Tomando la matriz de coeficientes, y bajo el fundamento
principal del mtodo, se procese al clculo de las matrices L y U,
correspondientes a la factorizacin de A.
Una vez realizada la factorizacin, se toma la matriz de la
factorizacin U y el vector x y se procede a calcular el vector
z.
Ahora con el vector z, el vector de trminos independientes y la
matriz L de la factorizacin, se procede a resolver el sistema
Lz=b
-
51
FACTORIZACIN CON PIVOTEO,
Se desea resolver un sistema lineal: Ax = b
si se tiene la factorizacin LU tal que PA = LU, se procede de la
Siguiente manera:
Formar el vector b = Pb (Ax = b PAx = Pb).
Resolver Lz = b usando sustitucin progresiva (cambio de Variable
z = Ux, L es triangular inferior).
Resolver Ux = z usando sustitucin regresiva (devolver el Cambio
de variable z = Ux, U es triangular superior
Ejemplo: Resolver el sistema
Debido a que tenemos la factorizacin PA=LU de la matriz de
coeficientes, procedemos de la
siguiente manera: Creamos el vector
Resolver:
Usando sustitucin progresiva:
-
52
Resolver:
Usando sustitucin regresiva:
La solucin es x=(1234)t
FACTORIZACIN DE MATRICES SIMTRICAS
Una matriz es simtrica si es una matriz cuadrada, la cual tiene
la caracterstica de ser igual a su traspuesta.
Una matriz de elementos:
es simtrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y para todo i, j
con i, j =1,2,3,4,...,n. Ntese que la simetra es respecto a la
diagonal principal.
Ejemplo para n = 3:
A es tambin la matriz traspuesta de s misma: . Esta ltima
igualdad es una definicin alternativa de matriz simtrica. Las
matrices simtricas son un caso particular de las matrices
hermticas.
Propiedades
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadradahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_traspuestahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_cuadradahttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagonal_principalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_traspuestahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_herm%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_herm%C3%ADtica
-
53
Uno de los teoremas bsicos que concierne este tipo de matrices
es el teorema espectral de dimensin finita, que dice que toda
matriz simtrica cuyos elementos sean reales es diagonalizable. En
particular, es semejante a una matriz ortogonal. Autovalores
Como las matrices simtricas son un caso particular de las
matrices hermticas, todos
sus autovalores son reales. Con base en las propiedades de los
autovalores de una matriz simtrica,
se pueden clasificar en los siguientes tipos:
definida positiva: Una matriz simtrica es definida positiva si y
solo si todos sus autovalores son
estrictamente positivos.
definida negativa: Una matriz simtrica es definida negativa si y
solo si todos
sus autovalores son estrictamente negativos.
semidefinida positiva: Una matriz simtrica es semidefinida
positiva si y solo si todos
sus autovalores son mayores o iguales a cero.
semidefinida negativa: Una matriz simtrica es semidefinida
negativa si y solo si todos
sus autovalores son menores o iguales a cero.
indefinida: Una matriz simtrica es indefinida si y solo si tiene
dos autovalores con distinto
signo
Descomposicin en matriz simtrica y antisimtrica Sea A una matriz
cuadrada, esta se puede descomponer en suma de parte simtrica y
antisimtrica de la siguiente forma:
Donde la parte simtrica es
Ejemplo:
1. Si 1 2 1 5
A = 1 0 -2 4
3 1 -2 3
Entonces: a22 = 0, a32 = 1, a34 = 3.
2. Si A = ( aij ) 33, en donde aij = (-1) i + j
Entonces
http://es.wikipedia.org/wiki/Teoremahttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_espectralhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_diagonalizablehttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_semejantehttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_herm%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Autovalorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Autovalorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_positiva-definidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Autovalorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_positiva-definidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Autovalorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_positiva-definidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Autovalorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_positiva-definidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Autovalorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_positiva-definidahttp://es.wikipedia.org/wiki/Autovalor
-
54
1 -1 1
A = -1 1 -1
1 -1 1
3. La matriz 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
es la matriz idntica de orden 4.
4. La matriz
1 1 3 4
1 2 0 1
3 0 -1 4
4 1 4 1
es una matriz simtrica de orden 4.
5. Si 1 2 -1
A = 2 1 3
Entonces
1 2 1 2 -1
A T = 2 1 , y (A T) T = = A
-1 3 2 1 3
6. Si 1 3 5 1 3 5
A = 3 2 4 , entonces: A T = 3 2 4 .
5 4 -1 5 4 -1
-
55
A es simtrica, puesto que A = A T.
7. Si 1 3 -4
A = 3 2 5 2
-4 5 -2 7
2 7 4
Como A = A T , entonces A es una matriz simtrica.
8. Halle valores de a,b y c, tales que
1 a+2 2 1 -1 2
-1 b 5 = -1 1 5
1 1 c 2 - 1 1 1 0
Solucin: De la igualdad anterior se concluye que
a + 2 = -1
b = 1
MTODO DE CHOLESKY
Se trata de un mtodo de descomposicin LU en el caso que la
matriz A sea simtrica y definida
positiva. Basta con tomar U=LT y por lo tanto:
-
56
Propiedades
Sirve para saber si una matriz simtrica es definida
positiva.
Es estable.
Ejemplo
Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales usando el
mtodo de Cholesky
A =
97922555
2255515
55156
y C=
100
150
100
Solucin:
En el mtodo de Cholesky el primer paso es encontrar la matriz L
usando las frmulas
ii
i
j
kjijki
kil
lla
l
1
1 y
1
1
2k
j
kjkkkk lal
La primera ecuacin se usa para elementos fuera de la diagonal y
la segunda para elementos en la
diagonal principal.
Entonces.
61111 al = 2.4495 4495.2
15
11
21
21 l
al = 6.1237
4495.2
55
11
31
21 l
al = 22.454 Ya sabemos que l12 = 0
22
212222 1237.655 lal = 4.1833
1833.4
)454.22)(1237.6(55
22
312132
32
l
llal = 20.916
De igual forma l13 = l23 = 0 y
)916.20454.22(979)( 222322
313333 llal = 6.1106
La matriz L es igual a
-
57
1106.6916.20454.22
01833.41237.6
004495.2
L
En el mtodo de Cholesky U = LT
1106.600
916.201833.40
454.221237.64495.2
U
El siguiente paso es encontrar el vector D de la misma manera
que en el mtodo de descomposicin
de LU
ii
i
j
jiji
il
dlc
d
1
1
4495.2
100
11
11
l
cd =40.8246
1833.4
)8246.40)(1237.6(150
22
12122
l
dlcd =-23.9045
1106.6
)9045.23)(916.20()8246.40)(454.22((100)(
33
2321313
3
l
dldlcd =-51.826
Finalmente se calcula el vector de incgnitas comenzando por la
ltima x.
ii
n
ij
jiji
iu
xud
x
1
33
3
3u
dx =-8.481
22
3232
2u
xudx
= [-23.9045-(20.916)(-8.481)]/4.1833 = 36.690
11
3132121
1
)(
u
xuxudx
= [40.8246 ((6.1237)(36.69)+(22.454)(-8.481))]/2.4495 =
2.685
El resultado se puede comprobar multiplicando A por X y el
resultado debe ser igual a C.
MTODOS ITERATIVOS: JACOBI Y GAUSS-SEIDEL
Consisten en descomponer la matriz de coeficientes A en la forma
A=D-L-U ,donde D= diag(A),L es
triangular inferior con ij=-aij, para i>j, y U es triangular
superior; con uij=-aij, para i
-
58
METODO DE JACOBI
De Ax=b se tiene que(D-L-U)x=b y por tanto ,Dx=(L+U)x+b.
Luego
siendo
Por tanto, el valor de cada incgnita en cada paso del mtodo m
es:
Ejemplo:
Resolver el siguiente sistema:
(1)
Despejando de la primera ecuacin, de la segunda y de la tercera,
se tiene:
(2)
Osea,
(3)
-
59
Considere como aproximacin inicial al vector: esto es
Este primer valor de solucin puede tener cualquier valor, y
entre mas cercano a sea al valor
supuesto con respecto al valor final, la convergencia ser mas
rpida.
En general no se conocen los signos de los resultados y por esta
razn se escoge el vector inicial
supuesto igual a cero. Sustituyendo en el Sistema(3),haciendo
k=0,se obtiene:
Siguiendo en igual forma las iteraciones, resulta:
Siguiendo de igual forma las iteraciones, resulta:
Y la solucin del sistema es:
-
60
El mtodo de Jacobi presentado se usa muy poco en la prctica.
Esto se debe q que el mtodo iterativo que se establecer a
continuacin siempre converge cuando el de Jacobi no lo hace, y en
general converge ms rpidamente que el mtodo de Jacobi.
METODO DE GAUSS-SEIDEL
De Ax= b se tiene que (D-L-U)x= B y, por tanto, (D-L)x=Ux+b.
Luego
Teniendo en cuenta la anterior igualdad, se deduce el siguiente
mtodo iterativo
Que se trata de un sistema triangular inferior en cada paso, que
se resuelve pos sustitucin
progresiva. Por tanto, el valor de cada incgnita en cada paso
del mtodo m es:
Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales
usando el mtodo iterativo de Gauss Seidel
4x1 + 10x2 + 8x3 = 142 2x1 + 6x2 + 7x3 = 89.5 9x1 + 2x2 + 3x3=
56.5
Paso 1. Ordenar los renglones para que pueda ser resuelto.
9x1 + 2x2 + 3x3= 56.5 4x1 + 10x2 + 8x3 = 142 2x1 + 6x2 + 7x3 =
89.5
Paso 2. Determinar si puede ser resuelta por este mtodo,
determinando si es predominantemente dominante en su diagonal. Paso
3. Despejar las variables.
X1 = -2x2/9 3x3/9 + 56.5/9 = -0.2222x2 0.3333x3 + 6.2778 X2 =
-4x1/10 8x3/10 +142/10 = - 0.4 0.8x3 + 14.2
X3 = - 2x1/7 6x2/7 + 89.5/7 = - 0.2857x1 0.8571x2 + 12.7857 Paso
4. Se les asigna un valor inicial de 0 x0 = [0, 0, 0, 0] Paso 5 Se
substituye esta solucin temporal en las ecuaciones para obtener las
nuevas xs., pero solo cuando no se cuente con la anterior Iteracin
1
X1 = - 0.2222(0) 0.3333(0) + 6.2778 = 6.2778 X2 = - 0.4(6.2778)
0.8(0) + 14.2 = 11.6888
-
61
X3 = - 0.2857(6.2778) 0.8571(11.6888) + 12.7857 = 0.9736 Se
sustituye en alguna ecuacin y se observa si el resultado ya es
adecuado:
4(6.2778) + 10(11.6888) + 8(0.9736) = 25.1112 + 116.888 + 7.7888
= 149.788 142
error = abs(142 149.788) = 7.788 Pero si 1% = 1.42 entonces
error = 7.78 = 5.48% Aun el error es muy grande. Se repite el paso
5, pero tomado los valores obtenidos en la ecuacin anterior
Iteracin 2
X1 = - 0.2222(11.6888) 0.3333(0.9736) + 6.2778 = 3.356 X2 = -
0.4(3.356) 0.8(0.9736) + 14.2 = 12.0787
X3 = - 0.2857(3.356) 0.8571(12.0787) + 12.7857 = 1.4742 Se evala
en una ecuacin en este caso en la ecuacin 1
4(3.356) + 120.787 + 8(1.4742)= 146.0046 142 Si 1% = 1.42 error
= abs(142 146.0046) = 4.0046 entonces error = 2.82% Iteracin 3.
X1 = - 0.2222(12.0787) 0.3333(1.4742) + 6.2778 = 5.0407 X2 = -
0.4(5.0407) 0.8(1.4742) + 14.2 = 11.0043
X3 = - 0.2857(5.0407) 0.8571(11.0043) + 12.7857 = 1.9137 Se
sustituye 4(5.0407) + 110.043 + 8(1.9137)= 145.51, diferencia
3.51609 error = 2.47% Iteracin 4.
X1 = - 0.2222(11.0043) 0.3333(1.9137) + 6.2778 = 3.1948 X2 = -
0.4(3.1948) 0.8(1.913) + 14.2 = 11.3916
X3 = - 0.2857(3.1948) 0.8571(11.3916) + 12.7857 = 2.1092 Se
sustituye
4(3.1948) + 113.916 + 8(2.1092)= 143.5688, diferencia 1.5688
error = 1.10% Iteracin 5.
X1 = - 0.2222(11.3916) 0.3333(2.1092) + 6.2778 = 3.0435 X2 = -
0.4(3.0435) 0.8(2.1092) + 14.2 = 11.2952
X3 = - 0.2857(3.0435) 0.8571(11.2952) + 12.7857 = 2.2350 Se
sustituye 4(3.0435) + 112.952 + 8(2.235)= 143.006, diferencia 1.006
error = 0.7%
VALORES Y VECTORES PROPIOS
En lgebra lineal, los vectores propios, autovectores o
eigenvectores de un operador lineal son los
vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador,
dan lugar a un mltiplo escalar
de s mismos, con lo que no cambian su direccin. Este escalar
recibe el nombre valor
propio, autovalor, valor caracterstico o eigenvalor. A menudo,
una transformacin queda
completamente determinada por sus vectores propios y valores
propios. Un espacio
propio, autoespacio, eigenespacioo subespacio fundamental
asociado al valor propio es
el conjunto de vectores propios con un valor propio comn.
http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto
-
62
La palabra alemana eigen, que se traduce en espaol como propio,
se us por primera vez en este
contexto por David Hilbert en 1904 (aunque Helmholtz la us
previamente con un significado
parecido). Eigen se ha traducido tambin como inherente,
caracterstico o el prefijo auto-, donde se
aprecia el nfasis en la importancia de los valores propios para
definir la naturaleza nica de una
determinada transformacin lineal. Las denominaciones vector y
valor caractersticos tambin se
utilizan habitualmente.
Las transformaciones lineales del espacio como la rotacin, la
reflexin, el ensanchamiento, o
cualquier combinacin de las anteriores; en esta lista podran
incluirse otras transformaciones
pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los
vectores. Los vectores pueden
visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en
una direccin
y sentido determinados.
Los vectores propios de las transformaciones lineales son
vectores que, o no se ven afectados por
la transformacin o se ven multiplicados por un escalar, y por
tanto no varan su direccin.1
El valor propio de un vector propio es el factor de escala por
el que ha sido multiplicado.
Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores
propios del mismo valor propio,
adems del vector nulo, que no es un vector propio.
La multiplicidad geomtrica de un valor propio es la dimensin del
espacio propio asociado.
El espectro de una transformacin en espacios vectoriales finitos
es el conjunto de todos sus valores
propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotacin en tres dimensiones
es un vector situado en el eje de
rotacin sobre el cual se realiza la rotacin. El valor propio
correspondiente es 1 y el espacio
propio es el eje de giro. Como es un espacio de una dimensin, su
multiplicidad geomtrica es uno.
Es el nico valor propio del espectro (de esta rotacin) que es un
nmero real.
Formalmente, se definen los vectores propios y valores propios
de la siguiente manera:
Si A: V V es un operador lineal en un cierto espacio vectorial
V, v es un vector diferente de cero
en V y c es un escalar tales que
entonces decimos que v es un vector propio del operador A, y su
valor propio asociado es c. Observe
que si v es un vector propio con el valor propio c entonces
cualquier mltiplo diferente de cero
de v es tambin un vector propio con el valor propio c. De hecho,
todos los vectores propios con el
valor propio asociado c junto con 0, forman un subespacio de V,
el espacio propio para el valor
propio c. Observe adems que un espacio propio Z es un subespacio
invariante de A, es decir
dado w un vector en Z, el vector Aw tambin pertenece a Z.
http://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_alem%C3%A1nhttp://es.wikipedia.org/wiki/David_Hilberthttp://es.wikipedia.org/wiki/Hermann_von_Helmholtzhttp://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen_especularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_(espacio_eucl%C3%ADdeo)http://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sentido_de_circulaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Escalar_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio#cite_note-1http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Dimensi%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espectro_de_un_operadorhttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_de_rotaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Subespacio_invariante
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VALORES Y VECTORES PROPIOS DE MATRICES
Clculo de valores propios y vectores propios de matrices
Si se quiere calcular los valores propios de una matriz dada y
sta es pequea, se puede calcular
simblicamente usando el polinomio caracterstico. Sin embargo, a
menudo resulta imposible para
matrices extensas, caso en el que se debe usar un mtodo
numrico.
Clculo simblico
Clculo de los valores propios
Una herramienta importante para encontrar valores propios de
matrices cuadradas es el polinomio
caracterstico: decir que es un valor propio de A es equivalente
a decir que el sistema de
ecuaciones lineales A v = v A v - v = 0 (factorizando por v
queda) (A - I) v = 0 (donde I es
la matriz identidad) tiene una solucin no nula v (un vector
propio), y de esta forma es equivalente
al determinante:
La funcin p() = det(A - I) es un polinomio de pues los
determinantes se definen como sumas de
productos. ste es el polinomio caracterstico de A: los valores
propios de una matriz son los ceros
de su polinomio caracterstico.
Todos los valores propios de una matriz A pueden calcularse
resolviendo la ecuacin
Si A es una matriz nn, entonces tiene grado n y A tiene como
mximo n valores propios.
El teorema fundamental del lgebra dice que esta ecuacin tiene
exactamente n races (ceros),
teniendo en cuenta su multiplicidad. Todos los polinomios reales
de grado impar tienen un nmero
real como raz, as que para n impar toda matriz real tiene al
menos valor propio real. En el caso de
las matrices reales, para n par e impar, los valores propios no
reales son pares conjugados.
Clculo de los vectores propios
Una vez que se conocen los valores propios , los vectores
propios se pueden hallar resolviendo el
sistema de ecuaciones homogneo:
Una forma ms sencilla de obtener vectores propios sin resolver
un sistema de ecuaciones lineales
se basa en el teorema de Cayley-Hamilton que establece que cada
matriz cuadrada satisface su
propio polinomio caracterstico. As, si son los valores propios
de A se cumple que
http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caracter%C3%ADsticohttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_num%C3%A9ricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caracter%C3%ADsticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caracter%C3%ADsticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_linealeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_linealeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_identidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Determinante_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Polinomiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Polinomio_caracter%C3%ADsticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_%C3%A1lgebrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_de_una_funci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cayley-Hamilton
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por lo que los vectores columna de son vectores propios de .
Ejemplo de matriz sin valores propios reales
Un ejemplo de matriz sin valores propios reales es la rotacin de
90 grados en el sentido de las
manecillas del reloj:
cuyo polinomio caracterstico es y sus valores propios son el par
de conjugados
complejos i, -i. Los vectores propios asociados tampoco son
reales.
Ejemplo
Considrese la matriz
que representa un operador lineal R R. Si se desea computar
todos los valores propios de A, se
podra empezar determinando el polinomio caracterstico:
y porque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) se ve que los valores
propios de A son 2, 1 y -1. El teorema de
Cayley-Hamilton establece que cada matriz cuadrada satisface su
propio polinomio caracterstico.
Es decir:
Efectivamente, para el caso del valor propio 2, se puede
comprobar que
de donde (1, 1, -1) es un vector propio asociado a 2.
http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cayley-Hamiltonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Cayley-Hamilton
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Clculo numrico
En la prctica, los valores propios de las matrices extensas no
se calculan usando el polinomio
caracterstico. Calcular el polinomio resulta muy costoso, y
extraer las races exactas de un
polinomio de grado alto puede ser difcil de calcular y expresar:
el teorema de Abel-Ruffini implica
que las races de los polinomios de grado alto (5 o superior) no
pueden expresarse usndose
simplemente races ensimas. Existen algoritmos eficientes para
aproximar races de polinomios,
pero pequeos errores en la estimacin de los valores propios
pueden dar lugar a errores grandes
en los vectores propios. En consecuencia, los algoritmos
generales para encontrar vectores propios
y valores propios son iterativos. La manera ms fcil es el mtodo
de las potencias: se escoge un
vector aleatorio y se calcula una secuencia de vectores
unitarios:
, , ,...
Esta sucesin casi siempre converger a un vector propio
correspondiente al mayor valor propio.
Este algoritmo es sencillo, pero no demasiado til aisladamente.
Sin embargo, hay mtodos ms
populares, como la descomposicin QR, que se basan en l.
Propiedades
Multiplicidad algebraica
La multiplicidad algebraica de un valor propio de A es el orden
de como cero del polinomio
caracterstico de A; en otras palabras, si es una de las races
del polinomio, es el nmero de
factores (t ) en el polinomio caracterstico tras la
factorizacin. Una matriz nn tiene n valores
propios, contados de acuerdo con su multiplicidad algebraica, ya
que su polinomio caracterstico
tiene grado n.
Un valor propio de multiplicidad algebraica 1 recibe el nombre
de "valor propio simple".
Por ejemplo, se pueden encontrar exposiciones como la siguiente
en artculos de teora de matrices:
"los valores propios de una matriz A son 4,4,3,3,3,2,2,1,"
lo que significa que la multiplicidad algebraica de 4 es dos, la
de 3 es tres, la de 2 es dos y la de 1 es
uno. Se emplea este estilo porque la multiplicidad algebraica es
la clave de muchas demostraciones
matemticas en teora de matrices.
Anteriormente se ha definido la multiplicidad geomtrica de un
valor propio como la dimensin del
espacio propio asociado, o el ncleo (espacio propio de los
vectores propios del valor propio nulo)
http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Abel-Ruffinihttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_iterativohttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9todo_de_las_potenciashttp://es.wikipedia.org/wiki/Azarhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Sucesi%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Descomposici%C3%B3n_QRhttp://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ordenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ra%C3%ADz_(matem%C3%A1ticas)http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_matriceshttp://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Demostraci%C3%B3n_matem%C3%A1tica
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de I - A. La multiplicidad algebraica tambin puede entenderse
como una dimensin: es la
dimensin del espacio propio generalizado (1.ersentido) asociado,
que es el ncleo de la matriz (I
- A)k para k suficientemente grande. Es decir, es el espacio de
los vectores propios
generalizados (1.er sentido), donde un vector propio
generalizado es cualquier vector que toma
valor 0 s I - A se aplica suficientes veces en sucesin.
Cualquier vector propio es un vector propio
generalizado, as que cualquier espacio propio est contenido en
el espacio propio generalizado
asociado. Esto proporciona una demostracin simple de que la
multiplicidad geomtrica es siempre
menor o igual a la algebraica. El primer sentido no debe de
confundirse con el problema de valores
propios generalizados tal.
Otras propiedades de los valores propios
El espectro es invariante bajo transformaciones semejantes: las
matrices A y P-1APtienen los mismos
valores propios para cualquier matriz A y cualquier matriz
invertible P. El espectro es tambin
invariante a la trasposicin de las matrices: A y A T tienen los
mismos valores propios.
Dado que una transformacin lineal en espacios de dimensiones
finitas es biyectiva si y slo si
es inyectiva, una matriz es invertible si y slo si cero no es un
valor propio de la matriz.
Otras consecuencias de la descomposicin de Jordn son:
una matriz es matriz diagonalizable si y slo si las
multiplicidades geomtrica y algebraica coinciden
para todos sus valores propios. En particular una matriz nn que
tiene n valores propios diferentes
es siempre diagonalizable;
Dado que la traza, o la suma de elementos de la diagonal
principal de una matriz se preservan en la
equivalencia unitaria, la forma normal de Jordn constata que es
igual a la suma de sus valores
propios.
De forma similar, dado que los valores propios de una matriz
triangular son las entradas de
la diagonal principal su determinante es igual al producto de
los valores propios (contados de
acuerdo con su multiplicidad algebraica).
Algunos ejemplos de la localizacin del espectro de ciertas
subclases de matrices normales son:
Todos los valores propios de una matriz hermtica (A = A*) son
reales. Adems, todos los valores
propios de una matriz definida positiva son positivos;
Todos los valores propios de una matriz antihermtica (A = A*)
son imaginarios puros;
Todos los valores propios de una matriz unitaria (A-1 = A*)
tienen valor absoluto uno;
Si A es una matriz mn con m n, y B es una matriz nm, entonces BA
tiene los mismos valores
propios de AB ms n m valores propios nulos.
http://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio#Problema_de_valor_propio_generalizadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_propio_y_valor_propio#Problema_de_valor_propio_generalizadohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_invertiblehttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_traspuestahttp://es.wikipedia.org/wiki/Biyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Inyectivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Traza_de_una_matrizhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_triangularhttp://es.wikipedia.org/wiki/Diagonal_principalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_herm%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_definida_positivahttp://es.wikipedia.org/wiki/Operador_herm%C3%ADticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_unitaria
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A cada matriz se le puede asociar una norma vectorial, que
depende de la norma de su dominio, el
operador norma de una matriz cuadrada es una cota superior del
mdulo de sus valores propios, y
por tanto de su radio espectral. Esta norma est directamente
relacionada con el mtodo de las
potencias para calcular el valor propio de mayor mdulo. Para
matrices normales, el operador
norma (la norma eucldea) es el mayor mdulo entre de sus valores
propios.
Vector propio conjugado
Un vector propio conjugado es un vector que tras la
transformacin pasa a ser un mltiple escalar
de su conjugado, donde el escalar recibe el nombre de valor
propio conjugado de la transformacin
lineal. Los vectores propios y valores propios conjugados
representan esencialmente la misma
informacin y significado que los vectores propios y valores
propios, pero aparecen cuando se utiliza
un sistema de coordena
