Temario y Contenido Metodos Numericos Bioingenieria

pag. 1-53 MTODOS NUMRICOS BIOINGENIERA

M. C. Carlos Morales Carbajal

MTODOS NUMRICOS PROPOSITO: Los Mtodos Numricos son tcnicas mediante las cuales es posible resolver problemas de forma numrica, tal manera que se utilicen operaciones aritmticas, estas inician con sus elementos bsicos, solucin numrica de ecuaciones de una variable, solucin de sistemas de ecuaciones lineales, Aproximacin polinomial y funcional, integracin numrica y solucin numrica de ecuaciones diferenciales. OBJETIVO: Desarrollar la capacidad en el alumno para aplicar los algoritmos numricos mediante herramientas de cmputo en la solucin de sistemas matemticos. PRE-REQUISITOS:

lgebra lineal Lenguaje de programacin Calculo Diferencial e Integral Ecuaciones Diferenciales



CONTENIDO Unidad I: CONCEPTOS BSICOS Competencia de la unidad: Definir y distinguir los tipos de errores numricos, la exactitud y precisin mediante la solucin de problemas elementales, para que comprenda la importancia del manejo de los elementos bsicos de los mtodos numricos, demostrando inters por aprender, disciplina y respeto por las opiniones de sus compaeros.

1.1 Uso de los mtodos numricos.

1.2 Errores numricos y propagacin.

1.3 Representacin de nmeros en la computadora.

1.4 Exactitud y precisin.

1.5 Modelos matemticos y programacin estructurada en MATLAB



Unidad II: SOLUCION NUMRICA DE ECUACIONES DE UNA VARIABLE Competencia de la unidad: Analizar y calcular las races de ecuaciones de una variable mediante la aplicacin de los mtodos, utilizando los recursos tecnolgicos, e identificando con creatividad y orden lgico tanto los algoritmos como los elementos de una situacin problemtica, para plantear y resolver ecuaciones algebraicas y trascendentes que representan procesos o fenmenos fsicos, econmicos, qumicos o de ingeniera.

2.1 Mtodo de bisecciones sucesivas.

2.2 Mtodo de interpolacin lineal. (Regla falsa).

2.3 Mtodo de Newton Raphson. Primer orden.

2.4 Mtodo de Newton Raphson. Segundo orden.

2.5 Mtodo de la Secante

2.6 Otros mtodos abiertos y cerrados

2.7 Aplicacin de los Mtodos en el programa de MATLAB



Unidad III: SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Competencia de la unidad: Resolver sistemas de ecuaciones lineales, aplicando los diferentes mtodos numricos, utilizando los recursos tecnolgicos e identificando los elementos, criterios y ventajas de cada uno de los mismos, para solucionar problemas que representen procesos o fenmenos fsicos, qumicos, econmicos, de ingeniera o ciencia en general, con creatividad y responsabilidad

3.1 Introduccin a las Matrices y Mtodo de matriz inversa.

3.2 Mtodo de Gauss Jordan.

3.3 Mtodo de aproximaciones sucesivas (Gauss seidel y Jacobi)

3.4 Aplicacin de los mtodos en el programa de MATLAB



Unidad IV: APROXIMACIN POLINOMIAL Y FUNCIONAL Competencia de la unidad: Analizar y aplicar los mtodos de aproximacin polinomial y funcional, utilizando las herramientas tecnolgicas y seleccionando los mtodos adecuados, para plantear y resolver situaciones problemticas de ingeniera, de manera responsable y objetiva.

4.1 Mtodo de Interpolacin

4.2 Mtodos de Diferencias Divididas finitas de Newton.

4.3 Mtodo de interpolacin de Lagrange de Primer Orden y rdenes

superiores.

4.4. Mtodo de mnimos cuadrados y correlacin lineal.




UNIDAD V: INTEGRACIN NUMRICA Competencia de la unidad: Analizar y aplicar los mtodos de integracin y diferenciacin numrica para el clculo de reas bajo la curva, utilizando las herramientas tecnolgicas y seleccionando los mtodos adecuados, para plantear y resolver problemticas de corte fsico, qumico o de ingeniera en general en los que se requiera la determinacin de integral definida, en forma creativa y responsable.

5.1 Mtodo de la Regla del Trapecio

5.2 Mtodo Simpson 1/3 y 3/8.

5.3 Mtodo de diferenciacin numrica.




UNIDAD VI: ECUACIONES DIFERENCIALES Competencia de la unidad: Analizar y aplicar los mtodos de Runge-Kutta en la solucin de ecuaciones diferenciales ordinarias, utilizando las herramientas tecnolgicas y seleccionando el caso adecuado, para plantear y resolver problemticas de corte fsico, qumico o de ingeniera en general, en forma creativa y responsable.

6.1 Mtodo de Euler y Euler mejorado.

6.2 Mtodo de Runge-Kutta




BIBLIOGRAFIA.BIBLIOGRAFIA.BIBLIOGRAFIA.BIBLIOGRAFIA.

1. Richard L. Burden, J. Douglas Faires,

Anlisis numrico, Ed. Thomson Learning

2. Steven C. Chapra, Raymond P. Canale, Mtodos numricos para ingenieros

3. Jaan Kiusalaas,

NUMERICAL METHODS IN ENGINEERING WITH MATLAB, Cambridge University Press.

4. Curtis F. Gerald,

Anlisis numrico, Ed. Alfaomega



EVALUACION DEL CURSO: Tres evaluaciones parciales, examen ordinario y un examen

extraordinario. Haber cumplido con el 80% de asistencia para derecho a examen

ordinario. Haber cumplido con el 40% de asistencia para derecho a examen

extraordinario. No Celulares ni radios durante la clase.

CRITERIOS DE CALIFICACIN: Participacin => 5% Trabajos finales => 10% Exmenes parciales => 40% Exposiciones => 15% Trabajos de Investigacin => 10% Ejercicios en clase => 10% Tareas oportunas => 10% Total =>100%



FORMATO DE LA TAREA PRIMERA HOJA: Universidad Autnoma de Baja California Carrera: Bioingeniera Clase: MTODOS NUMRICOS

Maestro: Carlos Morales Carbajal Tarea #1

Nombre de la tarea Nombre del alumno y grupo. Fecha de entrega

SEGUNDA HOJA: 1. Problema 2. Solucin (Desarrollo del problema) 3. Respuesta



Unidad I: CONCEPTOS BSICOS

1.1 Uso de los mtodos numricos.

Cuestionario:

1. Qu son los mtodos numricos?

2. Mtodos anteriores a la aparicin de la computadora

3. Los mtodos numricos y la prctica de la ingeniera.

4. Hay lmites para la capacidad de los mtodos numricos?

5. Por qu estudiar mtodos numricos?



1.2 Errores numricos y propagacin.

Los errores numricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemticas En un algoritmo existen dos tipos de errores: Error de truncamiento. Este tipo de error es debido a la necesidad de terminar el clculo en un algoritmo despus de un nmero finito de pasos. Error de redondeo. Este tipo de error se da por la necesidad de presentar los resultados numrico en forma finita, generalmente con un nmero finito de cifras decimales.



ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO

La diferencia entre una aproximacin y el valor verdadero de un nmero se llama error absoluto.

Error absoluto = |Valor verdadero Valor calculado|

a = |Vv - Vc| Nota: el valor calculado es igual al valor aproximado. Significa que el valor verdadero se encuentra en el intervalo (x - , x + ), donde x es el valor real.



El error relativo (r) se define como el cociente del error absoluto y el valor verdadero.

r = a = |Vv - Vc| Vv Vv Generalmente este nmero representa una porcin de un total. Si lo manejamos como un porcentaje entonces se multiplicara por el 100%.

r = |Vv - Vc| x 100% Vv Donde % r se llama porcentaje de error relativo. Ejercicio: Supngase que se mide un puente y uno de sus remaches, obtenindose 9,999 cm y 9 cm respectivamente. Si los valores verdaderos son de 10,000 cm y de 10 cm respectivamente, calcule los errores absolutos y relativos para ambos.



CIFRAS SIGNIFICATIVAS

El concepto de cifras o dgitos significativos se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numrico.

El numrico de cifras es el nmero de dgitos, ms un digito estimado que puede ser usado como de confianza.

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes: 1. Los mtodos numricos son algoritmos que permiten encontrar una

aproximacin de la solucin de un problema. Por lo tanto, se debe de desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos y una manera de hacerlo es en trminos de cifras significativas.

2. Aunque ciertas cantidades, tales como , e, 7, etc, representan nmeros

especficos, no se puede expresar exactamente con un nmero finito de dgitos. Y tales nmeros jams se podrn representar exactamente.



Es conveniente enfocar los errores hacia el nmero de cifras significativas se ha mostrado que si el siguiente criterio cumple puede tenerse la seguridad de que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas.

Criterio de paro para mtodos iterativos: ( )%105.0 2 np x Utilizamos el concepto de Error aproximado para poder comparar el criterio de paro,

Por ciento de Error aproximado o calculado: %100% x

V

VV

actual

previoactual

c

=

Y en el mtodo iterativo debe de cumplir: pc <



Problema: Algoritmo de la raz cuadrada

Tenemos un nmero A y una aproximacin x0 para A. Se debe cumplir que

x0 = A aproximacin x02 = A aproximacin

Si x02 = A, entonces x0 = A/x0 aproximadamente.

Existen dos casos:

00

x

Ax <

00

x

Ax >

+ -

+ -



Problema: Algoritmo de la raz cuadrada

Tenemos un nmero A y una aproximacin x0 para A. Se debe cumplir que

x0 = A aproximacin x02 = A aproximacin

Si x02 = A, entonces x0 = A/x0 aproximadamente.

Existen dos casos:

00

x

Ax < 2

00 x

Ax +

00

x

Ax > 2

00

xx

A +

+ -

+ -

0x 0xA

0xA 0x

Aproximacin: punto medio

X

X



Entonces el Algoritmo para la Raz Cuadrada es: 21i

i

i

xAx

x

+=+

Ejercicio:

a) Calcular la 9 tomando x0 = 1

b) Calcular la 16 tomando x0 = 0.5



1.3Representacin de nmeros en la computadora

SISTEMAS NUMRICOS

Un sistema numrico es simplemente una convencin para representar cantidades. Debido a que se tienen 10 dedos en las manos y 10 dedos en los pies, el sistema de numeracin que nos es muy familiar es el decimal o de base 10. Una base es el nmero que se usa como referencia para construir un sistema. El sistema de base 10 utiliza 10 dgitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) para representar nmeros. Tales dgitos son satisfactorios por s mismos para contar de 0 a 9. Por ejemplo,

(8 104) + (6 103) + (4 102) + (0 101) + (9 100) = 86 409 Esto significa que se tiene el nmero 86 409 se tienen 8 grupos de 10 000, seis grupos de 1 000, cuatro grupos de 100 y cero grupos de 10, y nueve unidades,



Notacin Posicional Es la representacin de un nmero en un sistema numrico. Los nmeros en la computadora se representan con un sistema binario o de base 2. Del mismo modo que con el sistema decimal, las cantidades pueden representarse usando la notacin posicional.

Decimal (base 10)

Binario (base 2)



Ahora que se ha revisado cmo los nmeros de base 10 se representan en forma binaria, es fcil concebir cmo los enteros se representan en la computadora.

a) Representacin de un nmero entero:

El mtodo ms sencillo se denomina mtodo de magnitud con signo y emplea el primer bit de una palabra para indicar el signo: con un 0 para positivo y un 1 para el negativo. Los bits sobrantes se usan para guardar el nmero.

La representacin de un entero decimal 173 en una computadora de 16 bits usando el mtodo de magnitud con signo. Se prefiere usar una tcnica llamada complemento de 2 que incorpora en forma directa el signo dentro de la magnitud del nmero, en lugar de emplear un bit adicional para representar ms o menos



b) Representacin de un nmero punto flotante

Las cantidades fraccionarias generalmente se representan en la computadora usando la forma de punto flotante. Con este mtodo, el nmero se expresa como una parte fraccionaria, llamada mantisa o significando, y una parte entera, denominada exponente o caracterstica, esto es,

mbe Donde m = la mantisa, b = la base del sistema numrico que se va a utilizar y e = el exponente. Por ejemplo, el nmero 156.78 se representa como 0.15678 103 en un sistema de base 10 de punto flotante.

La forma en que un nmero de punto flotante se guarda en una palabra.



Ejemplo:

Determine un conjunto hipottico de nmeros con punto flotante para una mquina que guarda informacin usando palabras de 7 bits.

De la figura, el 0 inicial seala que la cantidad es positiva. El 1 en el segundo lugar indica que el exponente tiene signo negativo. Los 1, en el tercero y cuarto lugar dan un valor mximo al exponente de

1 21 + 1 20 = 3

Por lo tanto, el exponente ser 3. Por ltimo, la mantisa est especificada por el 100 en los ltimos tres lugares, lo cual nos da

1 21 + 0 22 + 0 23 = 0.5



Nos da la siguiente tabla de conversin para este sistema, donde el valor ms pequeo es +0.5 23 igual a 0.0625 0111101 = (1 21 + 0 22 + 1 23) 23 = (0.078125)10 0111110 = (1 21 + 1 22 + 0 23) 23 = (0.093750)10 0111111 = (1 21 + 1 22 + 1 23) 23 = (0.109375)10

Brecha de 0.015625

0110100 = (1 21 + 0 22 + 0 23) 22 = (0.125000)10 Brecha de 0.03125

0110101 = (1 21 + 0 22 + 1 23) 22 = (0.156250)10 0110110 = (1 21 + 1 22 + 0 23) 22 = (0.187500)10 0110111 = (1 21 + 1 22 + 1 23) 22 = (0.218750)10

. :

0011111 = (1 21 + 1 22 + 1 23) 23 = (7)10



El rango de cantidades que pueden representarse es limitado.

Existe slo un nmero finito de cantidades que puede representarse dentro de un rango.



1.4 Exactitud y precisin.

Exactitud: se refiere a qu tan cercano est el valor calculado o

medido del valor verdadero.

Precisin: se refiere a qu tan cercanos se encuentran, unos de otros, diversos valores calculados o medidos.

Inexactitud: conocida tambin como sesgo, se define como una desviacin sistemtica del valor verdadero.

Imprecisin: tambin llamada incertidumbre, se refiere a la magnitud en la dispersin de los disparos.



Ilustracin de los conceptos. En la grfica de abajo se ilustra cuatro la analoga del tiro al

blanco y a lado derecho de la grfica se encuentran los conceptos. Relaciona correctamente los conceptos con la grfica.

Inexacto e Impreciso

Inexacto e preciso

Exacto e Impreciso

Exacto y preciso



Respuesta:

Inexacto e Impreciso

Exacto e Impreciso

Inexacto e preciso

Exacto y preciso



1.5 Modelos matemticos y programacin estructurada en MATLAB

Un modelo matemtico se define como una descripcin desde el punto de vista de las matemticas de un hecho o fenmeno del mundo real, desde el tamao de la poblacin, hasta fenmenos fsicos como la velocidad, aceleracin o densidad.

El objetivo del modelo matemtico es entender ampliamente el

fenmeno y tal vez predecir su comportamiento en el futuro.



El proceso para elaborar un modelo matemtico es el siguiente:

1. Encontrar un problema del mundo real. 2. Formular un modelo matemtico acerca del problema,

identificando variables y estableciendo hiptesis lo suficientemente simples para tratarse de manera matemtica.

3. Aplicar los conocimientos matemticos que se posee para

llegar a conclusiones matemticas. 4. Comparar los datos obtenidos como predicciones con datos

reales. Si los datos son diferentes, se reinicia el proceso.



Funciones que representan relaciones observadas en el mundo real:

Modelos Lineales Se dice que una funcin es lineal por tener la forma:

y = mx + b donde m representa la pendiente de la recta b es la ordenada al origen (constante)

y

x

y = mx y

x

y = mx + b

b

0



Modelos No Lineales Funcin Polinomio: P(x) = anXn + an-1Xn-1 + + a1X + a0 n = el nmero de orden a0, a1, , an = coeficiente del polinomio Funcin Potencia: f(x) = xa donde a es constante. Funcin Racional: una funcin es llamada racional cuando es una razn o divisin de dos polinomios.

( ) ( )( )xQxP

xf = donde Q(x) 0



Otras funciones no lineales

Funcin trigonomtrica: f(x) = Asen(wt + ) Funcin exponencial: f(x) = ex Funcin logartmica: f(x) = logax



PROGRAMACIN ESTRUCTURADA Definicin:

La programacin estructurada es un conjunto de reglas que desarrollan en el programador los hbitos para lograr un buen estilo.

Para representar una descripcin de algn programa estructurado se utilizan los diagramas de flujos y los pseudocdigos. Un diagrama de flujo es una representacin visual o grfica de un algoritmo. Un diagrama de flujo emplea una serie de cajas o bloques y flechas, cada una de las cuales representan un determinado paso u operacin del algoritmo.



Los smbolos usados en los diagramas de flujos son: Smbolo Nombre Funcin

Terminal Representa el inicio o final.

Lneas de flujo Es el flujo de la lgica.

Proceso Son los clculos o manipulacin de

datos e informacin.

Entrada /

Salida Es la entrada o salida de datos e

informacin.

Decisin Es una comparacin, una pregunta o

una decisin que determina los caminos

alternativos a seguir.

Unin Es la confluencia de lneas de flujo.



El pseudocdigo utiliza expresiones semejantes a las del cdigo,

en lugar de los smbolos grficos del diagrama de flujo. En la representacin mediante pseudocdigo, las instrucciones se

especifican de forma similar a como se programan en un lenguaje de programacin.

Es importante resaltar que no existe ningn convenio acerca de cmo representar las instrucciones. En este sentido, la forma en que cada persona las detalla depende mucho del lenguaje de programacin que acostumbra a utilizar.



MATLAB Es un lenguaje de cmputo de alto nivel para la ciencia computacional y visualizacin de datos que est construido sobre un ambiente de programacin interactiva.

Algunas Ventajas: Tiene la facilidad y rapidez de probar y verificar errores de programacin y

esto permite al usuario de concentrarse en los principios detrs del programa y menos en programar.

Los programas desarrollados por el usuario son mucho ms cortos que si se realizan en otros programas de lenguaje (FORTRAN o C)

En MATLAB versin superior se puede ejecutar en modo stand alone applications.

Tiene una amplia variedad de libreras y funciones numricas. Tiene un soporte grafico extensivo de tal manera los resultados de las

simulaciones son graficados con funciones sencillas. Todos los objetos numricos son declarados como arreglos de doble

precisin.



Tipos de datos (clases)



OPERADORES

Operadores aritmticos Operadores comparativos Operadores lgicos + Addition < Menor que A & B and(A, B) - Subtraction > Mayor que A | B or(A, B) .* Multiplication = Mayor que o igual a & A & B = 01001 .\ Left division == Igual a | A | B = 11101 + Unary plus ~= No igual a ~ ~A = 10010 - Unary minus xor xor(A,B) = 10100 : Colon operator .^ Power .' Transpose ' Complex conjugate

transpose * Matrix multiplication / Matrix right division \ Matrix left division ^ Matrix power



La idea clave detrs de la programacin estructurada es que cualquier algoritmo numrico requiere tan slo de tres estructuras de control fundamentales: c) Secuencia: el cdigo se realiza instruccin por instruccin.

Instruccin 1 Instruccin 2 Instruccin 3

Instruccin 1

Instruccin 2

Instruccin 3



d) Seleccin: la seleccin nos ofrece un medio de dividir el flujo del

programa en ramas considerando el resultado de una condicin lgica.

Estructura para una alternativa (IF)

if CONDICIN BLOQUE end

BLOQUE CONDICIN

?

Verdadero

Falso



Estructura para dos alternativas (IF/ELSE)

if CONDICIN BLOQUE VERDADERO else BLOQUE FALSO end

BLOQUE VERDADERO

CONDICIN ?

BLOQUE FALSO

Falso

Verdadero



Estructura para dos alternativas (IF/ELSEIF)

if CONDICIN A BLOQUE 1 elseif CONDICION B BLOQUE 2

.

.

. Else BLOQUE end

CONDICIN B

BLOQUE 1

CONDICIN A

BLOQUE 2

F

V V

F

BLOQUE



EJEMPLO:

function sgn = signum(a) if a > 0

sgn = 1; elseif a < 0

sgn = -1; else

sgn = 0; end >> signum (-1.5) ans =

-1



Estructura para dos alternativas (SWITCH)

CONDICIN B

BLOQUE 1

CONDICIN A

BLOQUE 2

F

V V

F

BLOQUE

switch expression case A

BLOQUE 1

case B BLOQUE 2

... otherwise

BLOQUE

end



EJEMPLO:

function y = trig(func,x) switch func

case sin y = sin(x);

case cos y = cos(x);

case tan y = tan(x);

otherwise error(No such function defined)

end >> trig(tan,pi/3) ans =

1.7321



Repeticin: nos proporciona una manera de llevar a cabo instrucciones repetidamente. Las estructuras resultantes, llamadas LOOPS o ciclos, se presentan en dos formas distintas que se diferencian por la manera en que terminan.

Loop de interrupcin (WHILE)

while CONDITION BLOQUE end Condicin ?

BLOQUE

Falso

Verdadero



EJEMPLO: >> p = 1000; years = 0; >> while p < 10000

years = years + 1; p = p*(1 + 0.06);

end >> years years =

40



Loop controlado (FOR)

for i = inicio : fin BLOQUE end

i = i+1

i = inicio i > fin

?

BLOQUE

Falso

Verdadero



EJEMPLO: >> for n = 0:5 % n loops over the sequence 0 1 2 3 4 5

y(n+1) = cos(n*pi/10); end

>> y y =

1.0000 0.9511 0.8090 0.5878 0.3090 0.0000 EJEMPLO: >> n = 0:5; >> y = cos(n*pi/10) y =

1.0000 0.9511 0.8090 0.5878 0.3090 0.0000



Ejercicio:

x = x -5

V F x < 10

x < 5

x < 50

F

V x = 5 Print x

V F



TAREA NMERO:

1. Realizar un diagrama de flujo para la resolucin de la ecuacin de segundo grado ax + bx + c = 0

2. Explique las siguientes funciones del programa MATLAB y de un

ejemplo de uso en cada uno. a. Break b. Continue c. Return d. Error

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