Métodos Iterativos

Métodos Iterativos

Motivação

Em certos casos, métodos diretos não são eficientes, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes é uma matriz esparsa (muitos elementos iguais a zero)

Métodos iterativos são mais econômicos no que tange a memória dos computadores

Podem ser usados para reduzir os erros de arredondamento na solução obtida por métodos exatos

Em alguns casos podem ser aplicados para resolver conjuntos de equações não lineares

Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximações da solução

Cada uma das aproximações é obtida das anteriores pela repetição do mesmo processo

Precisam sempre saber se a sequência obtida está convergindo ou não para a solução desejada.

Convergência

Dados uma sequência de vetores x(k) E

Uma norma sobre E, onde E é um espaço vetorial

Dizemos que a sequência {x(k)} converge para x E se ||x(k) – x|| 0, quando k .

Para determinar a solução de um sistema linear por métodos iterativos, precisamos transformar o sistema dado em um outro sistema onde possa ser definido um processo iterativo

A solução obtida para o sistema transformado deve ser também solução do sistema original (sistemas lineares devem ser equivalentes)

Assim um sistema do tipo Ax=b é transformado em xk =Fx(k-1)+d

Escolhemos uma aproximação inicial x0

Assim, x1 =Fx0 +d x2 = Fx1+d E assim sucessivamente

Método de Jacobi

Iterativamente, reescreve-se o sistema

)(11,

)(22

)(11

)1(

)(2

)(323

)(1212

22

)1(2

)(1

)(313

)(2121

11

)1(1

......1

.........................................................

......1

......1

knnn

kn

knn

nn

kn

knn

kkk

knn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

Método de Jacobi

Desta forma

0.......//

.................................

/.......0/

/....../0

21

2222221

1111112

nnnnnn

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

F

nnn ab

ab

ab

d

/

.......

/

/

222

111

Quando Parar?

Se a sequência xk estiver suficientemente próximo de x(k-1) paramos o processo Dada um precisão ε, quando ||x(k) – x|| < εEntão xk é a solução do sistema linear

Computacionalmente, um número máximo de iterações também é critério de parada

Exemplo:

Seja com ε = 0.05. Portanto,

6.0

6.1

7.0)0(x

61032

851

7210

321

321

321

xxx

xxx

xxx

010/35/1

5/105/1

10/110/20

F

6.0

6.1

7.0

10/6

5/8

10/7

d

Substituindo

Segue

94.0

86.1

96.0)1(x

94.06.0)6.1(3.0)7.0(2.06.03.02.0

86.16.1)6.0(2.0)7.0(2.06.12.02.0

96.07.0)6.0(1.0)6.1(2.07.01.02.0

)0(2

)0(1

)1(3

)0(3

)0(1

)1(2

)0(3

)0(2

)1(1

xxx

xxx

xxx

05.034.0

05.026.0

05.026.0

)0(3

)1(3

)1(3

)0(2

)1(2

)1(2

)0(1

)1(1

)1(1

xxd

xxd

xxd

Continuando com

Segue é a solução, pois

critério de parada

966.0

98.1

978.0)2(x

12.012

1

)2(ii

nixxMAXd

998.0

999.1

999.0)3(x

032.0)2()3(

1

)3(ii

nixxMAXd

Método de Gauss-Seidel

Conhecido x(0) (aproximação inicial) obtém-se x1, x2, ...xk.

Ao se calcular usa-se todos os valores

que já foram calculados e

os valores restantes.

1kjx

11

11

kj

k xx ,...,

kn

kj xx ,...,1

Sistemas de Equações Lineares

Descrição do Método

Seja o seguinte sistema de equações:

nnnn1n1nn3n2n1n

3n13n1n13n333232131

2n12n1n12n323222121

1n11n1n11n313212111

b .xa .xa ... .xa .xa .xa




1321

Métodos Iterativos – Gauss-Seidel

Isolando xi a partir da linha i, tem-se:

1n1nn2n21n1nnn

n

n3n1n13n232231333

3

n2n1n12n323121222

2

1111313212111

1

.xa....xa.xaba

1x

.xa.xa.xa.xaba

1x

.xa.xa.xa.xaba

1x

....1

nnnn xaxaxaxaba

x


O processo iterativo é obtido a partir das equações, fazendo:

111,

122

111

1

311,31

2321

131333

13

211,23231

121222

12

111,1313212111

11

......1

.......1

.......1

.......1

knnn

kn

knn

nn

kn

knn

knn

kkk

knn

knn

kkk

knn

knn

kkk

xaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x


Critério de Parada

Diferença relativa entre duas iterações consecutivas. Define-se por diferença relativa a expressão:

Fim do processo iterativo - valor de MRk+1 pequeno o bastante para

a precisão desejada.

se 1

0

0

0

0

0

1

1

11

1

11

ki

ki

ki

ki

kik

i

ki

ki

x

x

xxse

xsex

xx

M

Máxni

kR

.


Exemplo: Resolva:

.10.5

0633

643

55

2

kRMcom

zyx

zyx

zyx

Solução:


kx kxM

ky kyM

kz kzM

kRM

-1 - 0 - 1 - -

0,8 2,25 0,65 1 -0,725 2,379 2,379

1,015 0,212 0,92 0,293 -0,967 0,250 0,293

1,009 0,006 0,985 0,066 -0,997 0,030 0,066

1,002 0,007 0,998 0,0013 -1 0,003 0,0013

x = 1,002 y = 0,998 z = -1 Verificação (substituição no sistema):

5.(1,002) + (0,998) + (-1) = 5,008 5 ok3.(1,002) + 4.(0,998) + (-1) = 5,998 6 ok3.(1,002) + 3.(0,998) + 6.(-1) = 0 ok


Método de Gauss-Seidel - Critérios de Convergência

Processo iterativo a convergência para a solução exata não é garantida para qualquer sistema.

Existem certas condições que devem ser satisfeitas por um sistema de equações lineares para se garantir a convergência do método.

As condições podem ser determinadas por dois critérios: Critério de Sassenfeld Critério das Linhas.

Método de Gauss-Seidel - Critério de Sassenfeld

Sejam as quantidades i dadas por:

para i = 2, 3, ..., n.

n

jjaa 2

111

1

1

n

ijij

i

jjij

iii aa

a 1

1

1

)(1 e

n - ordem do sistema linear que se deseja resolveraij - são os coeficientes das equações que compõem o sistema.

Este critério garante que o método de Gauss-Seidel convergirá

para um dado sistema linear se a quantidade M, definida por:

ini

M max1

for menor que 1 (M<1).

Exemplo: Seja A, a matriz dos coeficientes e b o vetor dos termos constantes dados por:

444434241

334333231

224232221

114131211

baaaa

baaaa

baaaa

baaaa

34324214144

4

3423213133

3

242312122

2

14131211

1

1

1

1

||||1

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa


Exemplo: Mostre que a solução do sistema linear dado pelas equações:

0104802140

01202010

873060360

4020202

4321

4321

4321

4321

....

....

....

...

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

convergirá pelo método de Gauss-Seidel.


Solução: critério de Sassenfeld calcular os valores das quantidades i.

2736.0358.08.044.02.17.04.04

1

358.02.044.02.07.01.01

1

44.03.06.07.06.03

1

7.02.02.012

1

4

3

2

1

7.0max41

ii

M M é menor que 1 a solução desse sistema irá convergir usando o método de Gauss-Seidel.

10.0- 4.0 0.8 1.2 0.4

1.0 0.2 1.0 0.2- 0.1-

7.8- 0.3- 0.6- 3.0 0.6

0.4 0.2 0.2- 1.0 2.0

A B


Método de Gauss-Seidel - Critério das Linhas

Segundo esse critério, um determinado sistema irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:

ii

n

ijj

ij aa 1

, para i=1, 2, 3, ..., n.

Exemplo: O sistema do exemplo anterior satisfaz o critério das linhas e essa verificação pode ser feita de maneira quase imediata, observando-se que:

4.28.02.14.04

5.02.02.01.01

5.13.06.06.03

4.12.02.012

43424144

34323133

24232122

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

0104802140

01202010

873060360

4020202

4321

4321

4321

4321

....

....

....

...

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

ii

n

ijj

ij aa 1

para i=1, 2, 3, 4.

Método de Gauss-Seidel - Critério das Linhas

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Métodos Iterativos