Métodos Iterativos - Gauss-Jacobi - Part I - @professorenan

Sistemas Lineares-

- -Métodos Iterativos

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Métodos Iterativos

• Motivação I

o Ocorrência em larga escala de sistemas lineares em

cálculos de Engenharia e modelagem científica

• Exemplos:

o Simulações de processos químicos

o Simulações de dispositivos e circuitos

o Modelagem de processos geocientíficos e

geoambientais

o Análise estrutural

o Biologia estrutural

o Modelagem de processos físicos


Métodos Iterativos

• Motivação II

o Tendência à existência de matrizes de coeficientes à

grandes e esparsas

• Grandes Comum para n > 100.000

• Esparsas Maioria dos coeficientes nulos

o Resolução de sistemas esparsos por métodos diretos

• Processos de triangularização e fatoração Onerosos,

por não preservarem a esparsidade original, que pode

ser útil por facilitar a resolução do sistema.


Métodos Iterativos

• Motivação III

o Métodos mais apropriados para a resolução de sistemas de natureza esparsa Métodos

iterativos

• Gauss-Jacobi

• Gauss-Seidel


Métodos Iterativos

• Vantagem Menos suscetíveis ao acúmulo de erros de arredondamento do que o método de

Eliminação de Gauss.

• Lembretes importantes:

o Como todo processo iterativo, estes métodos

sempre apresentarão um resultado aproximado,

que será tão próximo do resultado real conforme

o número de iterações realizadas.

o Além disto, também é preciso ter cuidado com a

convergência destes métodos.


Métodos Iterativos

• Em certos casos, métodos diretos não são eficientes, por exemplo, quando a matriz dos coeficientes é uma matriz esparsa (muitos elementos iguais a zero).

• Métodos iterativos são mais econômicos no que tange a memória dos computadores

• Podem ser usados para reduzir os erros de arredondamento na solução obtida por métodos exatos.

• Em alguns casos podem ser aplicados para resolver conjuntos de equações não lineares


Métodos Iterativos

• Um método é iterativo quando fornece uma sequência de aproximações da solução

• Cada uma das aproximações é obtida das anteriores pela repetição do mesmo processo

• Precisam sempre saber se a sequência obtida está convergindo ou não para a solução desejada.


Métodos Iterativos

• Para determinar a solução de um sistema linear por métodos iterativos, precisamos transformar o sistema dado em um outro sistema onde possa ser definido um processo iterativo

• A solução obtida para o sistema transformado deve ser também solução do sistema original (sistemas lineares devem ser equivalentes)


Métodos Iterativos


nnnn x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

210

4

2

4

1

4

0

4

3

2

3

1

3

0

3

2

2

2

1

2

0

2

1

2

1

1

1

0

1

• Métodos Iterativos: Consistem em encontrar uma seqüência de estimativas xi

k (dada uma estimativa inicial xi0)que após

um número suficientemente grande de iterações convirja para a solução do sistema de equações.


Métodos Iterativos

• Outra vantagem destes métodos não são tão suscetíveis ao acúmulo de erros de arredondamento como o método de Eliminação de Gauss.

• É importante lembrar que:

o Como todo processo iterativo, estes métodos sempre apresentarão um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real conforme o número de iterações realizadas.

o Além disso, também é preciso ter cuidado com a convergência desses métodos.


Métodos Iterativos

Métodos Iterativos

• Transforma o sistema linear Ax=b em x = Cx +g

o A: matriz dos coeficientes, n x m

o x: vetor das variáveis, n x 1;

o b: vetor dos termos constantes, n x 1.

• Métodos utilizados:

o Gauss-Jacobi

o Gauss-Seidel


Métodos Iterativos

Método de Gauss-Jacobi

• Conhecido x(0) (aproximação inicial) obtém-se

consecutivamente os vetores:

De um modo geral, a aproximação x(k+1) é calculadapela fórmula

x(k+1) = C x(k)+g, k=0, 1, ...

etc. o),aproximaçã (segunda ,

o)aproximaçã (primeira ,

)()(

)()(

gCxx

gCxx

12

01


Métodos Iterativos

Da primeira equação do sistema

a11 x1 + a12 x2 + ... +a1n x2 = b1

obtém-se

x1 = (1/a11) (b1 - a12 x2 - ... -a1n x2)

analogamente

x2 = (1/a22 (b2 - a21 x1 - ... -a2n xn). .

. .

xn = (1/ann) (bn - an1 x1 - ... - an,n-1 xn-1 )


Métodos Iterativos


Métodos Iterativos

Método de Jacobi para se chegar às fórmulas de iterações,na forma matricial:


Métodos Iterativos


Métodos Iterativos


Métodos Iterativos


Métodos Iterativos


Exemplos


2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi,

tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,04.





4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo

como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.

6x + y + 2z = 10

x – 3y + 0,5z = 2,8

0,75x + 3y – 10z = -6,9


10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = 6




Exercícios


1) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Gauss-

Jacobi, tendo como para Xo=0, Yo=0 e Zo=0 e ε=0,05.


4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Jacobi, tendo






Métodos Iterativos

Método de Gauss-Seidel para se chegar às fórmulas deiterações, na forma matricial:


Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel


• Segundo esse critério, um determinado sistema

irá convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:

ii

n

ijj

ij aa 1

, para i=1, 2, 3, ..., n.


Exemplo: O sistema abaixo satisfaz o critério das linhas e essa verificação pode ser feita de

maneira quase imediata, observando-se que:

Métodos Iterativos – Critério das Linhas para Seidel

0.1048.02.14.0

0.12.02.01.0

8.73.06.036.0

4.02.02.02

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

4.28.02.14.04

5.02.02.01.01

5.13.06.06.03

4.12.02.012

43424144

34323133

24232122

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

ii

n

ijj

ij aa 1

para i=1, 2, 3, 4.

Métodos Iterativos


Métodos Iterativos


Métodos Iterativos


Métodos Iterativos


Métodos Iterativos


Exemplos


2) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel,






4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo


6x + y + 2z = 10

x – 3y + 0,5z = 2,8

0,75x + 3y – 10z = -6,9


10 x1 + 2x2 + 3x3 = 7

x1 + 5x2 + x3 = -8

2x1 + 3x2 + 10x3 = 6




Exercícios





4) Resolva o sistema linear a seguir, pelo método de Seidel, tendo






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