Metody numeryczne – II stopień - Strona Głównakrzyte/students/numeryka2stopien.pdf · K.Tesch;Metodynumeryczne–IIstopień 1 Metody numeryczne – II stopień Krzysztof Tesch

K. Tesch; Metody numeryczne – II stopień 1

Metody numeryczne – II stopień

Krzysztof Tesch

Zakład Mechaniki PłynówPolitechnika Gdańska

Spis zagadnień

Spis zagadnień

Opis płynu naróżnych poziomachskal

Metoda różnicskończonych

Metoda elementówskończonych

Metoda objętościskończonych

Metoda Monte Carlo

Hydrodynamikawygładzonychcząstek

Podstawymodelowaniaturbulencji

Literatura


Opis płynu na różnych poziomach skal

Metoda różnic skończonych

Metoda elementów skończonych

Metoda objętości skończonych

Metoda Monte Carlo

Hydrodynamika wygładzonych cząstek

Podstawy modelowania turbulencji

Literatura

Opis płynu na różnych

poziomach skal

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Skale

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Opis ruchu płynu związany jest z jego budową,obserwowanymi skalami i uproszczeniami w jejpostrzeganiu. Wyróżnia się:

Opis mikroskopowy (MD) Opis mezoskopowy (kinetyczna teoria gazów,DPD)

Opis makroskopowy (klasyczna mechanikapłynów)

Opis mikroskopowy

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Opis mikroskopowy płynu zwiazany jest bezposrednioz molekularna budowa materii. Rozważany jest ruchwszystkich molekuł przy wykorzystaniu drugiej zasadydynamiki Newtona

md2ridt2= Gi +

N∑

j=1 6=i

fij. (1)

Siły działające na molekułę: siły zewnetrzne Gi i siływzajemnego oddziaływania fij = −∇V częstowyrażane przez potencjał Lennarda-Jonesa

Opis mikroskopowy

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


V = 4ǫ

(

σ

‖r‖

)12

−(

σ

‖r‖

)6

. (2)

Potencjał składa się z części repulsywnej związanej z‖rij‖−12 i atraktywnej ‖rij‖−6. ‖r‖ oznacza odległośćmiędzy molekułami, ǫ – opisuje siłę wzajemnegooddziaływania a σ ich zasięg.Wielkości makroskopowe można otrzymać przezuśredniania wielkości mikroskopowych. Trudnośćmetody kryje się w dużej liczbie molekuł,proporcjonalnej 1023.

Dynamika molekularna – pseudokod

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


t← 0;Calculate initial molecule position r;while not the end of calculations dofij ← −∇V ;a← m−1fij;r← r+ v∆t+ 2−1a∆t2;t← t+∆t;

Dynamika molekularna – przykłady

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Opis mezoskopowy – DPD

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura



Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


DPD (Dissipative Particle Dynamics). Zamiast ruchupojedynczych molekuł rozważany jest ruch całychgrup molekuł. Wzajemne oddziaływanie pojedynczychmolekuł zastąpione jest siłami dyssypatywnymi fDij ilosowymi fRij . Ruch cząstek opisany jest równniem

md2ridt2= Gi +

N∑

j=1 6=i

(

fCij + fDij + f

Rij

)

. (3)

Zaletą tej metody jest mniejszy koszt symulacji wporównaniu do MD.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


md2ridt2= Gi +

N∑

j=1 6=i

(

fCij + fDij + f

Rij

)

(4)

siły dyssypatywne

fDij = −γωD (rij · vij) rij (5)

siły losowe

fRij = σωRrijθij√∆t

(6)

siły zachowawcze

fCij = αωRrij (7)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


ωD jest funkcją wagową zależną od wzajemnejodległości między dwiema cząstkami i oraz j.Funkcja wagowa ωR jest analogiczna do funkcjiwagowej ωD, jednakże obie funkcje powiązane sązależnością ωD = ω

2R. Podobnie jest ze

współczynnikami σ2 = 2γkBT .Jedna z najprostszych funkcji wagowych może miećpostać

ωR =

1− rijrc; rij ¬ rc,

0; rij > rc,(8)

gdzie rij jest wzajemną odległością między cząstkamii i j, a rc jest charakterystycznym promieniem.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Opis mezoskopowy – kin. teoria gazów

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Podstawowym pojęciem jest funkcja gęstościprawdopodobieństwa f (N) w przestrzeni fazowej.Przestrzeń fazowa składa się z 3N składowychprzestrzennych q1, . . . ,qN i 3N pędów p1, . . . ,pN .Funkcja f (N) pozwala na obliczenieprawdopodobieństwa (liczby molekuł) znalezieniamolekuły w różniczkowej przestrzeni fazowej.

f (N) (q1, . . . ,qN ,p1, . . . ,pN ) dqN dpN . (9)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Ewolucja czasowa funkcji gęstościprawdopodobieństwa f (N) podlega równaniuLiouville’a

df (N)

dt=∂f (N)

∂t+N∑

i=1

(

∂f (N)

∂pi· dpidt+∂f (N)

∂qi· dqidt

)

= 0.

Oznacza to, że funkcja gęstości prawdopodobieństwajest stał wzdłuż trajektorii w przestrzeni fazowej.Zredukowana funkcja gęstości prawdopodobieńtwa

Fs (q1, . . . ,qs,p1, . . . ,ps) =∫

R3(N−s)

∫

R3(N−s)

f (N) (q1, . . . ,qN ,p1, . . . ,pN ) dqN−s dpN−s.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Można otrzymać układ ewolucji czasowych dla Fs,gdzie 1 ¬ s ¬ N . Układ ten nazywany jest hierarchiąBBGKY. Hierarchia może być obcięta z dokładnościąpierwszego rzędu, co daje równanie Boltzmanna

∂f

∂t+ v · ∇f = Ω(f) (10)

dla funkcji gęstości prawdopodobieństwa

f(r,v, t) = mNF1(q1,p1, t). (11)

Opis makroskopowy – równania zachowania

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Równanie zachowania masy

dρ

dt+ ρ∇ ·U = 0. (12)

Równanie zachowania pędu

ρdU

dt= ρf +∇ · σ. (13)

Dekompozycja tensora naprężenia σ = −ptδ + τ .Inna forma równania zachowania pędu

ρdU

dt= ρf −∇pt +∇ · τ . (14)

Opis makroskopowy – równania energii

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Energia Równanie

Kinetyczna ρdekdt= ρf ·U+∇ · (σ ·U)−∇ · q

Całkowita ρdecdt= ∂pt∂t+∇ · (τ ·U)−∇ · q

Mechaniczna ρdemdt= ∇ · (σ ·U)− σ :D

Wewnętrzna ρdedt= σ :D −∇ · q

Entalpia ρdhdt= τ :D −∇ · q+ dpt

dt

Opis makroskopowy – ogólne równanie

transportu

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


∂(ρf)

∂t+∇ · (ρUf) = Sf −∇ · k (15)

Lewa strona reprezentuje szybkość zmian (częśćniestacjonarna i konwekcyjna)

ρdfdt≡ ∂(ρf)

∂t+∇ · (ρUf). Prawa strona reprezentuje

źródła (dodatnie i ujemne) i strumienie.

równanie zachowania masyf := 1, Sf := 0, k := 0równanie zachowania pęduf ← U, Sf ← ρf , k← −σrównanie zachowania energiif := ek, Sf := ρf ·U, k := q− σ ·U

Opis makroskopowy – zasady termodynamiki

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Druga zasada termodynamiki

ρds

dt −∇ · q

T. (16)

Bilans entropii

ρds

dt=φ

T−∇ · q

T. (17)

Pierwsza zasada termodynamiki

ρde

dt= τ :D − pt∇ ·U−∇ · q. (18)

Opis makroskopowy – równania

konstytutywne

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Mechaniczne (reologiczne) równaniakonstytutywne

Równania stanu Strumienie

Opis makroskopowy – mechaniczne równania

konstytutywne

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Płyny newtonowskie τ = 2µD Płyny nienewtonowskie

Uogólnione płyny newtonowskie τ = 2µ(γ)D Płyny typu różniczkowego τ = f(A1,A2, . . .)

Ai+1 =dAidt+Ai·

∂U

∂r+∇U·Ai, i = 1, 2, . . .

Płyny typu całkowego

τ =t∫

−∞f(t− τ) (δ −Ct(τ)) dτ

Płynu typu szybkościowego τ = f(

τ ,D, D)

τ + λ1τ = 2µ(

D+ λ2D)

Uogólnione płyny newtonowskie

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


τ1n = τ

1n

0+ (kγ)

1m

µ1n =(

τ0|γ|

)1n

+ k1m |γ| 1m− 1n

Szulman

τ = τ0 + kγn + µ∞γ

µ = τ0|γ| + k|γ|n−1 + µ∞

Generalised Herschel

τ1n = τ

1n

0+ (kγ)

1n

µ1n =(

τ0|γ|

)1n

+ k1n

Generalised Casson

m := n

τ = τ0 + kγn

µ = τ0|γ| + k|γ|n−1

Herschel-Bulkley

n := 1,

m := 1n

µ∞ := 0

τ = τ0 + k√γ + µ∞γ

µ = τ0|γ| +k√|γ|+ µ∞

Luo-Kuang

n := 12

√τ =√τ0 +√kγ

√µ =√

τ0|γ| +

√k

Casson

n := 2

τ = τ0 + kγµ = τ0|γ| + k

Bingham

n := 1

τ = kγn

µ = k|γ|n−1

Ostwald-de Waele

n := 1 τ0 := 0

τ = kγµ = k

Newton

τ0 := 0 n := 1

τ0 := 0

k := 0,

µ∞ := k,

τ0 := 0

Opis makroskopowy – równania stanu

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Fundamentalne równanie stanu e = f(s, ρ−1)

de

dt= Tds

dt+pt

ρ2dρ

dt(19)

Termiczne równanie stanu pt = f(T, ρ−1)

pt = ρRT (20)

Kaloryczne równanie stanu e = f(T, ρ−1)

de = cv dT +

(

T∂pt

∂T− pt

)

dρ−1 (21)

Opis makroskopowy – strumienie

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Ogólna postać w = −T · ∇ϕ poprzez założeniew = f(∇ϕ). Dokładniej w zależy tylko od ϕ i ∇ϕ. Prawo Fouriera

q = −λ · ∇T (22)

Prawo Ficka

ji = −ρDij · ∇gi (23)

Prawo Darcy’ego

U = −µ−1K · ∇p (24)

Dla przypadku izotropowego T = α δ iw = −α δ · ∇ϕ = −α∇ϕ.

Opis makroskopowy – zastosowania 1

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Ogólna postać równania Navier-Stokes dla płynównewtonowskich i uogólnionych newtonowskich

ρdU

dt= ρf −∇p+∇ ·

(

2µDD)

(25)

przepływy płynu nieściśliwego przepływy pełzające przepływy nielepkie przybliżenie Boussinesqa przybliżenie Oseena filtracja przepływy jednowymiarowe wymiana ciepła


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


– Przepływy płynu nieściśliwego (ρ = const)

ρdU

dt= ρf −∇p+∇ · (2µD) (26)

µ = const

ρdU

dt= ρf −∇p+ µ∇2U (27)

– przepływy pełzające

ρ∂U

∂t= ρf −∇p+∇ · (2µD) (28)

dwuwymiarowe przepływy pełzacjące

∇4ψ = 0 (29)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


– przepływy nielepkie (µ = 0)

ρdU

dt= ρf −∇p (30)

potencjalne (∇×U = 0)

∇2ϕ = ∇2ψ = 0 (31)

– przybliżenie Boussinesqa– przybliżenie Oseena U · ∇U ≈ U∞ · ∇U

ρ∂U

∂t+ ρU∞ · ∇U = ρf −∇p+∇ ·

(

2µDD)

(32)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


– filtracja

ρdU

dt= ρf −∇p+ µ∇2U− R1U (33)

– przepływy jednowymiarowe

∇2U = a (34)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


– wymiana ciepła. Równanie Fouriera-Kirchhoffa dlapłynu

cv

(

∂(ρT )

∂t+∇ · (ρTU)

)

= φµ +∇ · (λ∇T ) . (35)

Dla ciała stałego U = 0

c∂(ρT )

∂t= ∇ · (λ∇T ) + SE, (36)

gdzie wewnętrzne źródła energii oznaczone są jako SE.

Opis makroskopowy – równania

bezwymiarowe

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura



∇+ ·U+ = 0 (37)Równanie zachowania pędu

ρ+(

Sh∂U+

∂t++U+ · ∇+U+

)

=

=ρ+f+

Fr− Eu∇+p+ + µ+

Re∇2+U+ (38)

Równanie Fouriera-Kirchhoffa

ρ+c+v

(

Sh∂T+

∂t++U+ · ∇+T+

)

=

=Ec

Reφ+µ +

λ+

PrRe∇2+T+ (39)

Opis makroskopowy – liczby podobieństwa

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Sh := LUt0= tcht0= LfU=

U

t0U2

L

Fr := U2

f0L=

ρ0U2

L

ρ0f0

Re := LUρ0µ0= LUν0=

ρ0U2

Lµ0U

L2

Eu := p0ρ0U2=

p0L

ρ0U2

L

Ec := U2

cv0T0Pr := cv0µ0

λ0= ν0

λ0cv0ρ0

Sc := µ0ρ0D0= ν0D0

Da := K0L2

De := λ0t0

Wi := λ0γ0

Opis makroskopowy – warunki zgodności

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Ogólne równanie transportu

∂(ρf)

∂t+∇ · (ρUf) = Sf −∇ · k. (40)

Z twierdzenia Reynoldsa o transporcie wynikająwarunki zgodności n · [ρUf + k] = 0.– równanie zachowania masy: f := 1, Sf := 0, k := 0mamy n · [ρU] = 0 lub n · [U] ≡ [Un] = 0.– równanie zachowania pędu: f ← U, Sf ← ρf ,k← −σ mamy n · [ρUU− σ] = 0 lubn · [σ] = [σn] = 0.– równanie zachowania energii: f := ek, Sf := ρf ·U,k := q− σ ·U mamy n · [ρUek − σ ·U+ q] = 0 lubn · [q] or [λ∂T

∂n] = 0.

Opis makroskopowy – warunki brzegowe 1

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Warunki zgodności nie są wystarczające.Dodatkowymi warunkami są:

adhezja l ·U = Ul = 0 równowaga termiczna na powierzchni [T ] = 0

Warunki brzegowe związane z wymianą ciepła

Dirichlet: T = f1(x, y, z, t) Neumann: qn := n · q lub qn = f2(x, y, z, t) mieszany: αT − λ∂T

∂n= f3(P, t)

Opis makroskopowy – warunki brzegowe 2

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Powierzchnie inne niż ściany

wlot: n− 1 warunków, gdzie n oznacza liczbęrównań

wylot: Najogólniej, σn = n · σ plus rozkład T .Zwykle rozkład p ze względu na σn ≈ −pn plus∂T∂n= 0

symetria: ∂ϕ∂n= 0 dla wszystkich skalarów ϕ

periodyczność (translacyjna lub rotacyjna):ϕ(P1) = ϕ(P2), gdzie P1 i P2 są punktami naodpowiadających sobie powierzchniach

Klasyfikacja

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Równania Naviera-Stokesa są nieliniowymi równaniamiróżniczkowymi drugiego rzędu. Nie są klasyfikowalne,ale zawierają cechy równań prawie liniowych, nibyliniowych i liniowych równań różniczkowychcząstkowych. Czasami można je sprowadzić dorównań:

hiperbolicznych, parabolicznych, eliptycznych.

RRC drugiego rzędu semiliniowe

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Dla zmiennych niezależnych x, y:

A(x, y)∂2U

∂x2+B(x, y)

∂2U

∂x∂y+ C(x, y)

∂2U

∂y2+

F

(

x, y, U,∂U

∂x,∂U

∂y

)

= 0 (41)

Dla wszystkich (x, y) na obszarez Ω powyższerównanie jest:

hiperboliczne, jeżeli B2 − 4AC > 0, paraboliczne, jeżeli B2 − 4AC = 0, eliptyczne, jeżeli B2 − 4AC < 0.

Ważne równania eliptyczne

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


równanie Laplace’a

∂2U

∂x2+∂2U

∂y2= 0. (42)

równanie Poissona

∂2U

∂x2+∂2U

∂y2= f(x, y). (43)

równanie Helmholtza

∂2U

∂x2+∂2U

∂y2+ k2U = 0. (44)

Ważne równania paraboliczne

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


równanie przewodnictwa

∂U

∂t− α∂

2U

∂x2= 0, (45)

∂U

∂t− α∂

2U

∂x2= f(x, t). (46)

Ważne równania hiperboliczne

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


równanie falowe

∂2U

∂t2− a2∂

2U

∂x2= 0. (47)

równanie telegrafistów

∂2U

∂x2− a∂

2U

∂t2− b∂U

∂t− c U = 0. (48)

Ważne równania mieszane

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


równanie Eulera-Tricomiego

∂2U

∂x2− x∂

2U

∂y2= 0. (49)

Dla x > 0 mamy równanie hiperboliczne,paraboliczne dla x = 0 i eliptyczne dla x < 0.

Uogólnione równanie Eulera-Tricomiego

∂2U

∂x2− f(x)∂

2U

∂y2= 0. (50)

Ważne równania mieszane

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Potecjalny przepływ gazu

(1−Ma2∞)∂2ϕ′

∂x2+∂2ϕ′

∂y2= 0. (51)

Jest hiperboliczne dla Ma2∞ > 1, paraboliczne dlaMa2∞ = 1 i eliptyczne dla Ma2∞ < 1.Potencjał prędkości dla przepływów dominującychw kierunku osi x dany jest równaniem

ϕ(x, y) = U∞x+ ϕ′(x, y). (52)

Składowe prędkości

Ux(x, y) =∂ϕ

∂x= U∞ + U

′x(x, y), (53a)

Uy(x, y) =∂ϕ

∂y= U ′y(x, y). (53b)

Metoda różnic skończonych

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Metoda

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Wprowadzona przez Eulera w XVIII wieku Bezpośrednie zastąpienie pochodnych RR przezich dyskretne odpowiedniki w węzłach siatki

Pochodne w węzłach aproksymowane są przezwartości poszukiwanej funkcji w sąsiednichwęzłach

Otrzymuje się układ równań algebraicznych (liczbarównań i niewiadomych równa jest liczbie węzłówsiatki)

Dyskretne odpowiedniki pochodnych tworzone sąza pomocą różnic skończonych (głównie ze wzoruTaylora)

Wzór Taylora

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Zakładając, że f jest ciągła na [x0;x], słuszny jestwzór Taylora w postaci

f(x0 +∆x) =m−1∑

n=0

dnf(x0)

n!+dmf(c)

m!. (54)

Funkcji f jest ciągła do rzędu m− 1 na [x0;x] i dorzędu m na ]x0;x[. Punkt c ∈]x0;x[, czylic = x0 + θ∆x dla θ ∈]0; 1[.Oznaczenie x := x0 +∆x, gdzie ∆x. Przyrost ∆x(różnica zmiennych niezależnych) może być dodatnijak i ujemny. Ponadto d0f = f .

Wzór Taylora

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


n-ta różniczka funkcji f w punkcie x0 dana jestzależnością dnf(x0) = f

(n)(x0)∆xn, mamy

f(x0 +∆x) = f(x0) + f′(x0)∆x+

12f ′′(x0)∆x

2

+ 16f ′′′(x0)∆x

3 + . . .+ 1m!f (m)(c)∆xm. (55)

Wprowadzając wielkość rzędu m w postaci O(∆xm),zapisujemy

f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0)∆x+ 12f′′(x0)∆x

2

+ . . .+ 1(m−1)!

f (m−1)(x0)∆xm−1 +O(∆xm). (56)

Wzór Taylora

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Przyrost (różnica) funkcji ∆f := f(x0 +∆x)− f(x0)pozwala na zapisanie

∆f = df(x0) +12d2f(x0) + . . .

+ 1(m−1)!

df (m−1)(x0) +O(∆xm) (57)

x

f

x0

f(x0)

x0+∆x

f(x0+∆x)

df ∆f

Różnicowe odpowiedniki pochodnych

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Biorąc pod uwagę wzór Taylora

f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0)∆x+ 12f′′(x0)∆x

2

+ . . .+ 1(m−1)!

f (m−1)(x0)∆xm−1 +O(∆xm) (58)

z dokładnością do pierwszych pochodnych

f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0)∆x+O(∆x2), (59)

wyznaczmy pierwszą pochodną

f ′(x0) =f(x0 +∆x)− f(x0)

∆x+O(∆x). (60)

Bez O(∆x) jest przybliżeniem progresywnym.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Zastępując ∆x przez −∆x

f(x0 −∆x)− f(x0) = −f ′(x0)∆x+O(∆x2), (61)

wyznaczmy pierwszą pochodną

f ′(x0) =f(x0)− f(x0 −∆x)

∆x+O(∆x). (62)

Bez O(∆x) jest przybliżeniem regresywnym.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Przybliżenia wyższego rzędu można otrzymać poprzezuwzględnienie większej liczby wyrazów we wzorzeTaylora

f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0)∆x+ 12f ′′(x0)∆x

2 +O(∆x3). (63)

Zastępując ∆x przez −∆x i odejmując od siebiewyniki, otrzymamy

f ′(x0) =f(x0 +∆x)− f(x0 −∆x)

2∆x+O(∆x2). (64)

Bez O(∆x2) jest przybliżeniem centralnym.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Pochodne wyższego rzędu przybliża się, uwzględniającwiększą liczby wyrazów we wzorze Taylora

f(x0 +∆x)− f(x0) = f ′(x0)∆x+ 12f′′(x0)∆x

2+16f ′′′(x0)∆x

3 +O(∆x4). (65)

Zamieniając ∆x na −∆x i dodając wyniki do siebie,mamy następujące przybliżenie symetryczne drugiejpochodnej z dokładnością drugiego rzędu

f ′′(x0) =f(x0 +∆x)− 2f(x0) + f(x0 −∆x)

∆x2+O(∆x2).(66)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Pochodna Aproksymacja Typ Rząd

f ′(x0)f(x0+∆x)−f(x0)

∆xprog. 1

f ′(x0)f(x0)−f(x0−∆x)

∆xreg. 1

f ′(x0)f(x0+∆x)−f(x0−∆x)

2∆xcentr. 2

f ′′(x0)f(x0+∆x)−2f(x0)+f(x0−∆x)

∆x2sym. 2


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Zapis skrócony

f(x0 +mh) ≡ fi+m. (67)

Pochodna Aproksymacja Typ Rząd

f ′ifi+1−fih

prog. 1

f ′ifi−fi−1h

reg. 1

f ′ifi+1−fi−12h

centr. 2

f ′′ifi+1−2fi+fi−1

h2sym. 2

Równanie Poissona

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Równanie Poissona ∇2U = a z warunkiem brzegowymDirichleta ∀

x∈∂ΩU(x) = g(x). Jednowymiarowa wersja

d2U

dx2= a. (68)

Zastępując drugą pochodną przez różnicowyodpowiednik (symetryczny, drugiego rzędu), mamy

Ui+1 − 2Ui + Ui−1h2

= a. (69)

Dalej można wyznczyć Ui jako funkcję zależną odsąsiednich wartości

Ui =Ui+1 + Ui−1 − ah2

2. (70)

Równanie Poissona – metody rozwiązywania

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Metody bezpośrednie (układy równań liniowych) Metody pośrednie (relaksacyjne)

iteracja Jacobiego

Un+1i =Uni+1 + U

ni−1 − ah22

(71)

iteracja Gaussa-Seidela

Un+1i =Uni+1 + U

n+1i−1 − ah22

(72)

sukcesywna nadrelaksacja w ∈]1, 2[

Un+1i = (1− w)Uni + wUni+1 + U

n+1i−1 − ah22

(73)

Pseudokod

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Data: Read input variables and BCsw ← 1; n← 1;repeat

R← 0;for i← 2 to imax − 1 do

Un+1i ← Uni+1+U

n+1i−1 −ah

2

2;

R← max(

|Un+1i − Uni |, R)

;

Un+1i ← (1− w)Uni + wUn+1i ;n← n+ 1;

until n ¬ nmax and R > Rmin;

Przykład

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Równanie różniczkowe

y′′(x) = −20x (74)

z warunkami brzegowymi y(0) = y(1) = 0 marozwiązanie analityczne

y(x) = 103(x− x3). (75)

Interpretacja: np. jednowymiarowe równanieprzewodnictwa z warunkiem Dirichleta na brzegach(temperaturą).

Rozwiązanie metodą nadrelaksacji

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

x

y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

x

y

Rozwiązanie metodą bezpośrednią

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


−2 1

1 −2 1

1 −2 1

.

.

.

1 −2 1

1 −2 1

1 −2

·

U2

U3

U4.

.

.

Un−3

Un−2

Un−1

=

ah2 − U1ah2

ah2

.

.

.

ah2

ah2

ah2 − Un

Równanie Poissona

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Równanie Poissona ∇2U = a z warunkiem brzegowymDirichleta na lewym brzegu U(0) = 0 i Neumanna naprawym brzegu dU

dx(1) = b. Różnicowy odpowiednik

(symetryczny, drugiego rzędu)

Ui+1 − 2Ui + Ui−1h2

= a (76)

lub

Ui =Ui+1 + Ui−1 − ah2

2. (77)

Na prawym brzegu nie znamy U(1), ale znamydUdx(1) = b.

Równanie Poissona

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Centralny odpowiednik pierwszej pochodnej naprawym brzegu

dUndx=Un+1 − Un−12h

= b (78)

Pozwala na wyliczenie wartości Un+1 poza obszarem

Un+1 = 2hb+ Un−1. (79)

Wstawiając Un+1 do

Un =Un+1 + Un−1 − ah2

2, (80)

otrzymamy na prawym brzegu

Un =2hb+ 2Un−1 − ah2

2. (81)

Pseudokod

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Data: Read input variables and BCsw ← 1; n← 1;repeat


Un+1i ← Uni+1+U

n+1i−1 −ah

2

2;

R← max(

|Un+1i − Uni |, R)

;

Un+1i ← (1− w)Uni + wUn+1i ;

Un+1imax ←2bh+2Un+1

imax−1−ah2

2;

n← n+ 1;


Przykład

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura



y′′(x) = −20x (82)

z warunkami brzegowymi y(0) = 0 i y’(1) = 0 marozwiązanie analityczne

y(x) = 10

(

x− x3

3

)

. (83)

Interpretacja: np. jednowymiarowe równanieprzewodnictwa z warunkiem Dirichleta na lewymbrzegu (temperaturą) i Neumanna na prawym(strumień ciepła).

Rozwiązanie metodą nadrelaksacji

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

x

y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

2

4

6

8

x

y

Przewodnictwo ciepła

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Jednowymiarowe, niestacjonarne równanieprzewodnictwa (bez wewnętrznych źródeł ciepła)

∂T

∂t− α∂

2T

∂x2= 0. (84)

Stacjonarne równanie przewodnictwa

∂2T

∂x2= 0. (85)

Różne typy równań i dodatkowo mamy warunekpoczątkowy T (x, 0) = T0(x). Dyfuzyjność termicznaoznaczona jest jako α.

Dyskretna wersja równania przewodnictwa

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Przykładowa deskretyzacja - FTCS (Forward TimeCentred Space)

T n+1i − T ni∆t

− αTni+1 − 2T ni + T ni−1

h2= 0 (86)

lub wyznaczając jawnie T n+1i w następnym krojuczasowym n+ 1 za pomocą obecnego n

T n+1i = T ni +α∆t

h2

(

T ni+1 − 2T ni + T ni−1)

. (87)

Pseudokod

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Data: Read input variables and BCsT 0i = T0i;for n← 1 to nmax dofor i← 2 to imax − 1 do

T n+1i = T ni +α∆th2

(

T ni+1 − 2T ni + T ni−1)

;

Przykład

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura



T ′′(x) = 0 (88)

z warunkami brzegowymi y(0) = 1 i y(1) = 2 marozwiązanie analityczne

T (x) = 1 + x. (89)

Opisuje stacjonarną wymianę ciepła, z warunkamiDirichleta, do której dążyć będzie procesniestacjonarny opisany równaniem

∂T

∂t− α∂

2T

∂x2= 0 (90)

z początkowym rozkładem temperatur T0 np.T (x, 0) = 0.

Rozwiązanie stacjonarne i niestacjonarne

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

x

T

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

x

T


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Metoda residuów ważonych

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Metoda ta stanowi podstawę MES. Np. dla równaniaróżniczkowego zwyczajnego

y′′(x) + 20x = 0 (91)

z warunkami brzegowymi y(0) = y(1) = 0 rozwiązanieogólne ma postać

y(x) := −103x3 + C1x+ C2, (92)

a rozwiązanie szczególne

y(x) := −103(x3 − x). (93)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Metodą poszukuje się rozwiązanie przybliżonego y wogólnej postaci

y(x) :=N∑

i=1

CiNi(x), (94)

gdzie Ni są funkcjami próbnymi, które powinny byćciągłe i spełniać warunki brzegowe. Nieznane stałe Cimają być wyznaczone.Wstawiając rozwiązanie przybliżone y do równaniaróżniczkowego otrzymamy residuum R

R(x) := y′′(x) + 20x 6= 0. (95)

Nieznane wartości Ci (i = 1, . . . N) wyznaczamy zwarunku

∫ 1

0Wi(x)R(x) dx = 0. (96)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


∫ 1

0Wi(x)R(x) dx = 0 i = 1, . . . , N (97)

Funkcje wagowe Wi mogą mieć postaci

Metoda kolokacji Wi(x) := δ(x− xi) Metoda podobszarów

Wi(x) := H(x− xi−1)−H(x− xi) Metoda Galerkina Wi(x) := Ni(x)

∫ 1

0Ni(x)R(x) dx = 0 i = 1, . . . , N (98)

Metoda najmniejszych kwadratów Wi(x) :=∂R∂Ci

∫ 1

0

∂R

∂CiR(x) dx = 0 i = 1, . . . , N (99)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Wielomianowe funkcje testowe mogą mieć postać

N(x) := xr(x− 1)s. (100)

Jest ciągła i spełnia warunki brzegowe. Najprostszyprzypadek dla jednej funkcji (r = s = 1)

N1(x) := x(x− 1). (101)

Rozwiązanie przybliżone y(x) :=∑Ni=1CiNi(x), gdzie

N := 1, ma postać

y(x) = C1N1(x) = C1(x2 − x). (102)

Residuum wyliczane jest jako

R(x) = 2C1 + 20x 6= 0. (103)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Nieznaną stałą C1 wylicza się np. metodą Galerkina

∫ 1

0x(x− 1)(2C1 + 20x) dx = 0. (104)

Daje to −13(5 + C1) = 0 i pozwala wyznaczyć

C1 = −5. Rozwiązanie przybliżone ma zatem postać

y(x) = −5x(x− 1) (105)

i może być porównane z rozwiązaniem dokładnym

y(x) := −103(x3 − x). (106)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Lepszą zgodność można uzyskać po uwzględnieniuwiększej liczby funkcji testowych

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

x

y

y

y


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Można przyjąć dwie funkcje testowe

N1(x) := x(x− 1), N2(x) := x2(x− 1). (107)

Obie są ciągłe i spełniają warunki brzegowe.Rozwiązanie przybliżone y(x) :=

∑Ni=1CiNi(x), gdzie

N := 2, przybiera postać

y(x) = C1N1(x)+C2N2(x) = C1(x2−x)+C2(x3−x2).

(108)Residuum ma postać

R(x) = 2C1 + 2C2(3x− 1) + 20x 6= 0. (109)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Stałe C1, C2 wyznacza się przez całkowanie

∫ 1

0x(x− 1)(2C1 + 2C2(3x− 1) + 20x) dx = 0,

∫ 1

0x2(x− 1)(2C1 + 2C2(3x− 1) + 20x) dx = 0.

Daje to 10 + 2C1+C2 = 0 i 1 +16C1 +

215C2 = 0 oraz

pozwala na wyznaczenie C1 = C2 = −103 . Rozwiązanieprzybliżone ma postać

y(x) = −103x(x− 1)(x+ 1) = −10

3(x3 − x) (110)

i jest również rozwiązaniem dokładnym.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Metoda residuów ważonych stanowi podstawęmetody elementów skończonych

Metoda korzysta z warunku całkowegominimalizującego residuum

Funkcje testowe są ‘globalne’. Zwykle jest trudnodobrać takie funkcje dla bardziej skomplikowanychobszarów, które jednocześnie będą spełniaćwarunki brzegowe. Im większy rozmiar, tym gorzej.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Przedział [x1;xN+1] dzielony jest na Npopdprzedziałów (elementów). Z własności całekwynika, że

∫ xN+1

x1y(x) dx =

N∑

j=1

∫ xj+1

xjy(x) dx. (111)

Rozwiązanie przybliżone wyrażone jest jako

ye = yjN1(x) + yj+1N2(x) =N · ye, (112)

gdzie znane, lokalne funkcje testowe (kształtu) N inieznane wartości węzłowe ye zapisywane są w postaciwektorowej

N := (N1, N2), (113a)

ye := (yj, yj+1). (113b)

Funkcje kształtu

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

L1 L2

Lokalne funkcje kształtu:

L1 = N1 :=xj+1 − xxj+1 − xj

xj ¬ x ¬ xj+1, (114a)

L2 = N2 :=x− xj

xj+1 − xjxj ¬ x ¬ xj+1. (114b)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Dla każdego elementu mamy warunek Galerkina

∫ xj+1

xjN R dx = 0 j = 1, . . . , N. (115)

Rozważając równanie różniczkowe zwyczajney′′ + 20x = 0 i rozwiązanie przybliżone ye, możliwejest wyliczenie residuum

∫ xj+1

xjN

(

d2yedx2+ 20x

)

dx = 0. (116)

Druga pochodna musi być zamieniona ze względu naliniowość funkcji kształtu.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Całkowanie przez części pozwala na obniżenie rzędupochodnej

Ndyedx

∣

∣

∣

∣

∣

xj+1

xj

−∫ xj+1

xj

dN

dx

dyedxdx+

∫ xj+1

xjN20x dx = 0.

(117)Macierzowa postać warunku Galerkina dla każdegoelementu ma postać

∫ xj+1

xj

dN

dx

dN

dxdx·ye =

∫ xj+1

xjN20x dx+N

dyedx

∣

∣

∣

∣

∣

xj+1

xj

j = 1, . . . , N. (118)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Tzw. macierz ‘sztywności’ dla każdego elementu edefiniuje się jako

Ke :=∫ xj+1

xj

dN

dx

dN

dxdx. (119)

Macierz ta jest symetryczna. Tzw. wektor‘przemieszczenia’ ma postać

F e :=∫ xj+1

xjN20x dx+ N

dyedx

∣

∣

∣

∣

∣

xj+1

xj

. (120)

Warunek Galerkina ma teraz postać

Ke · ye = F e. (121)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Macierze ‘sztywności’ można dalej uprościć

Ke :=∫ xj+1

xj

(

dN1dxdN1dx

dN1dxdN2dx

dN1dxdN2dx

dN2dxdN2dx

)

dx =1

xj+1 − xj

(

1 −1−1 1

)

.

Tak samo z wektorem ‘przemieszczenia’

F e :=∫ xj+1

xj

(

N120xN220x

)

dx+

N1dyedx

∣

∣

∣

xj+1

xj

N2dyedx

∣

∣

∣

xj+1

xj

.

Po zaniedbaniu gradientów (wyjaśnione dalej)

F e = −10

3(xj − xj+1)

(

2xj + xj+1xj + 2xj+1

)

.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Dla przedziału [0; 1] podzielonego na 3 jednakoweelementy

K1 =K2 =K3 =

(

3 −3−3 3

)

.

Globalna macierz ‘sztywności’

K =

K111 K121 0 0K121 K221 +K

112 K122 0

0 K122 K222 +K113 K123

0 0 K123 K223

daje

K =

3 −3 0 0−3 6 −3 00 −3 6 −30 0 −3 3

.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Wektor ‘przemieszczenia’ dla przedziału [0; 1]podzielonego na trzy jednakowe elementy

F 1 =

1027− dy(0)

dx2027+dy( 1

3)

dx

,F 2 =

4027− dy(

13)

dx5027+dy( 2

3)

dx

,F 3 =

7027− dy(

23)

dx8027+ dy(1)

dx

.

Globalny wektor ‘przemieszczenia’

F =

F 11F 21 + F

12

F 22 + F13

F 23

=

1027− dy(0)

dx602712027

8027+ dy(1)

dx

.

Układ równań

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Globalny układ równań liniowych ma postać

3 −3 0 0−3 6 −3 00 −3 6 −30 0 −3 3

·

y1y2y3y4

=

1027− dy(0)

dx602712027

8027+ dy(1)

dx

.

Nie można go jeszcze rozwiązywać, bo należy ustalićwarunki brzegowe. y1 = y4 = 0. Są dwie typowemetody.

Warunki brzegowe

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Pozostawiając wyłącznie równania związane zniewiadomymi y2, y3 dla y1 = y4 = 0, mamy

· · · ·· 6 −3 ·· −3 6 ·· · · ·

·

·y2y3·

=

·602712027

·

lub prościej

(

6 −3−3 6

)

·(

y2y3

)

=

(

602712027

)

Układ można teraz rozwiązać ze względu na y2, y3.

Warunki brzegowe

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Druga metoda nie zmienia układu macierzy.Modyfikuje wybrane elementy, mnożąc je przez ‘dużą’liczbę. Te wybrane elementy znajdują się na diagonalimacierzy ‘sztywności’ i odpowiadającym im pozycjomw wektorze ‘sztywności’, o ile nie są zerowe.

3 · 107 −3 0 0−3 6 −3 00 −3 6 −30 0 −3 3 · 107

·

y1y2y3y4

=

0602712027

0

.

Pseudokod

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Data: Read N elements, nodes and BCsCreate global matrix K and vectors F , y;for e← 1 to N doKe ←

∫

edNdxdNdxdx;

F e ←∫

eN20x dx;Add Ke to K;Add F e to F ;

Apply BCs;Solve linear system K · y = F ;

Rozwiązanie

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

x

y

6 elementów, 7 węzłów

Interpolacja liniowa i kwadratowa

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Rozważając równanie linii prostej ye = a+ bx dladwóch punktów (xj, yj) i (xj+1, yj+1), otrzymujemynastępujący układ równań

(

yjyj+1

)

=

(

1 xj1 xj+1

)

·(

a

b

)

. (122)

Można go rozwiązać ze względu na a i b(

a

b

)

=

(

1 xj1 xj+1

)−1

·(

yjyj+1

)

. (123)

Mając na uwadze, że ye =N · ye, gdzieN = (N1, N2) i ye = (yj, yj+1) i uwzględniającrozwiązanie na a i b, mamy

ye = a+bx =xj+1 − xxj+1 − xj

yj+x− xj

xj+1 − xjyj+1 = N1yj+N2yj+1.


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Definiując liniowe funkcje kształtu L1 i L2

L1 := N1 =xj+1 − xxj+1 − xj

, (124a)

L2 := N2 =x− xj

xj+1 − xj, (124b)

można podobnie sformułować układ równań dlainterpolacji kwadratowej ye = a+ bx+ cx

2 dlapunktów (xj, yj), (xj+ 1

2, yj+ 1

2) i (xj+1, yj+1)

yjyj+ 1

2

yj+1

=

1 xj x2j1 xj+ 1

2x2j+ 12

1 xj+1 x2j+1

·

a

b

c

. (125)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

L1 L2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.5

1

N1 N2 N3

Kwadratowefunkcjekształtu sąwyrażane przezliniowe funkcjekształtu

N1 := L1 (2L1 − 1) ,N2 := 4L1L2,

N3 := L2 (2L2 − 1)

Interpolacja kwadratowa

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Macierz ‘sztywności’ dla każdego elementu e jestobliczana jako

Ke :=∫ xj+1

xj

dN

dx

dN

dxdx =

1

3(xj+1 − xj)

7 −8 1−8 16 −81 −8 7

.

Wektor ‘przemieszczenia’ ma postać

F e :=∫ xj+1

xjN20x dx =

10

3(xj+1−xj)

xj2(xj + xj+1)

xj+1

.

Warunek Galerkina dla każdego elementu jestidentyczny jak poprzednio

Ke · ye = F e. (127)

Pseudokod

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Data: Read N linear elements, n nodes and BCsInsert midpoints xj+ 1

2← xj+xj+1

2;

n← 2n− 1 ;Create global matrix K and vectors F , y;for e← 1 to N doKe ←

∫

edNdxdNdxdx;

F e ←∫

eN20x dx;Add Ke to K;Add F e to F ;

Apply BCs;Solve linear system K · y = F ;


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

x

y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

x

y

6 elementów, 7 węzłów. 3 elementy, 7 węzłów.

Metoda objętości skończonych

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Metoda

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Brane są pod uwagę postaci całkowe równań, a nieróżniczkowe. MOS jest bardziej elastyczna w sensiedyskretyzacji przestrzennej niż MRS.Postać różniczkowa ogólnego równania transporu

∂(ρf)

∂t+∇ · (ρfU) = ∇ · (Γ∇f) + Sf . (128)

Aby otrzymać postać całkową, należy skorzystać ztwierdzenia Gaussa. Dla przypadku płaskiego ma onopostać

∫∫

Ωi∇ ·w dΩ =

∮

∂Ω+i

w · dL, (129)

gdzie dΩ ≡ dx dy i dL ≡ n dL ≡ ı dy − dx.

Postać całkowa

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Całkowanie po ‘objętości skończonej’ Ωi iwykorzystanie twierdzenia Gaussa, daje

d

dt

∫∫

Ωiρf dΩ+

∮

∂Ω+i

ρfU · dL =∮

∂Ω+i

Γ∇f · dL+∫∫

ΩiSf dΩ.

Dalej, w celu uproszczenia, zakładamy nieściśliwośćρ = const.Pierwsza i ostatnia całka sugerują następującądefinicję średniej fi wartości f na Ωi

fi :=1

|Ωi|∫∫

Ωif dΩ. (130)

Wartość średnia fi jest zwykle zdefiniowana w środkuobjętości skończonej Ωi.

Dyskretyzacja przestrzeni

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Następnym krokiem jest dyskretyzacja przestrzennacałki krzywoliniowej na brzegu ∂Ωi objętości Ωi.Całka ta reprezentuje całkowity strumień z objętościΩi i jest zastępowana sumą

∮

∂Ω+i

w · dL ≈∑

k

wk ·∆Lk. (131)

Brzeg ∂Ωi składa się z linii numerowanych za pomocąk. Są co najmniej 3 linie. Za wektor w podstawiamyfU lub Γ∇f . Zwykle w nie jest stałe wzdłuż linii imusi być aproksymowane za pomocą stałej wartościwk w środku każdej linii.

Dyskretyzacja czasu

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Jedną z najprostszych możliwości jest aproksymacjaprogresywna pierwszego rzędu

dfidt≈ fn+1i − fni

∆t. (132)

Krok czasowy oznaczany jest jako ∆t.Ostatecznie mamy następującą wersję dyskretnąrównania transportu

ρfn+1i − fni∆t

|Ωi|+ ρ∑

k

(fU)k ·∆Lk =∑

k

(Γ∇f)k ·∆Lk + Sfi|Ωi|. (133)

|Ωi| oznacza powierzchnię objętości kontrolnej Ωi.

Przypadek jednowymiarowy

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


xi−1 xi xi+1

xi−12

xi+12

∆xi

∆xi−1 ∆xi+1

x0x1 x2 x3 = xN

xN+1

∆x1 ∆xN

∆x12

∆xN2

Jednowymiarowa dyfuzja

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Jednowymiarowa i stacjonarna dyfuzja f opisana jestuproszczonym ogólnym równaniem transportu(równaniem konwekcji-dyfuzji)

∂(ρf)

∂t+∇ · (ρUf) = ∇ · (Γ∇f) + Sf . (134)

Jeżeli współczynnik dyfuzji Γ jest stały, to powyższerównanie upraszcza się do

∇ · (Γ∇f) + Sf = 0 (135)

lub dokładniej do

d

dx

(

Γdf

dx

)

+ Sf = 0. (136)

Jednowymiarowa dyfuzja

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Postać całkowa jednowymiarowego równania dyfuzji

∫ xi+12

xi− 12

d

dx

(

Γdf

dx

)

dx+∫ x

i+12

xi− 12

Sf dx = 0. (137)

Nie ma potrzeby wykorzystywanie twierdzenia Gaussa,gdyż pierwszą całkę można całkować bezpośrednio

(

Γdf

dx

)

i+ 12

−(

Γdf

dx

)

i− 12

+ Sfi∆xi = 0, (138)

gdzie ∆xi := xi+ 12− xi− 1

2.

Jednowymiarowa dyfuzja - warunek Dirichleta

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Wartość średnia Sf w środku objętości skończonejmoże być aproksymowana metodą trapezów zapomocą znanych wartości Sf na brzegu objętości

Sfi =Sfi− 1

2+ Sfi+ 1

2

2. (139)

Rozważmy równanie różniczkowe zwyczajne

y′′(x) + 20x = 0 (140)

z warunkami brzegowymi Dirichleta y(0) = y(1) = 0.Rozwiązanie szczególne ma postać

y(x) := −103(x3 − x). (141)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Czyli wsp. dyfuzji Γ := 1 i wyraz źródłowy Sf := 20x.Wersja dyskretna jednowymiarowego równania dyfuzjima postać

dfi+ 12

dx−dfi− 1

2

dx+ Sfi∆xi = 0. (142)

Pochodne (strumienie) na brzegach aproksymowanesą za pomocą schematu drugiego rzędu (centralnego)

dfi+ 12

dx≈ fi+1 − fixi+1 − xi

, (143a)

dfi− 12

dx≈ fi − fi−1xi − xi−1

. (143b)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Równanie dyskretne ma następującą postać

fi+1 − fixi+1 − xi

− fi − fi−1xi − xi−1

+ Sfi∆xi = 0. (144)

Można z niego wyznaczyć fi w funkcji wartościsąsiednich

fi =∆xi+1fi−1 +∆xi−1fi+1 + Sfi∆xi−1∆xi+1∆xi

∆xi−1 +∆xi+1,

gdzie ∆xi−1 := xi − xi−1 and ∆xi+1 := xi+1 − xi.Dla ∆xi−1 = ∆xi+1 = ∆xi = h (siatka jednorodna)otrzymujemy

fi =fi−1 + fi+1 + Sfih

2

2. (145)

Pseudokod

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Data: Read volumes data and BCsCreate nodes and ghost nodes;n← 1;repeat


fn+1i ← ∆xi+1fni−1+∆xi−1f

ni+1+Sfi∆xi−1∆xi+1∆xi

∆xi−1+∆xi+1;

R← max(

|fn+1i − fni |, R)

;

Update ghost nodes;n← n+ 1;


Wyniki

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0.2 0.5 0.72 0.920

0.5

1

1.5

x

y

0.13 0.38 0.63 0.880

0.5

1

1.5

x

y

Jednowymiarowa dyfuzja - warunek

Neumanna

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Rozważmy to samo równanie różniczkowe zwyczajne

y′′(x) + 20x = 0 (146)

z warunkiem Dirichleta y(0) = 0 i Neumannay′(1) = 0. Rozwiązanie szczególne ma postać

y(x) := −10x(

x2

3− 1

)

. (147)

Wyniki

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0.2 0.5 0.72 0.920

2

4

6

x

y

0.13 0.38 0.63 0.880

2

4

6

x

y

Metoda Monte Carlo

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Całkowanie metodą Monte Carlo

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xy

f(x) := xx

Całkowanie metodą Monte Carlo

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Najprostsze całkowanie metodą Monte Carlowykorzystuje zliczanie punktów generowanych napodstawie ciągłego rozkładu jednostajnego (U ,U)

∫ 1

0f(x) dx ≈ 1

n

n∑

i=1

F (U ,U), (148)

gdzie

F (x, y) :=

1; if f(x) y

0; poza tym. (149)

Jednowymiarowe błądzenie losowe

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


0 20 40 60 80 1000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Równanie Poissona

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Równanie Poissona z warunkiem brzegowym Dirichleta

∇2U(x) = −f(x); ∀x ∈ Ω, (150a)

U(x) = g(x); ∀x ∈ ∂Ω. (150b)

Rozwiązanie tego równania można przedstawić jakowartość oczekiwaną błądzenia losowego

U(x) = E[

g(Wτ ) +12

∫ τ

0f(Wt) dt

]

, (151)

gdzie t jest czasem końcowym błądzenia losowego

τ = inf t :Wt ∈ ∂Ω . (152)

Równanie Poissona

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Jeżeli warunek Dirichleta g(x) = 0, to

U(x) = 12E[∫ τ

0f(Wt) dt

]

. (153)

Można również estymować

∫ τ

0f(Wt) dt ≈

m∑

i=1

fi(Wτ )∆t =m∑

i=1

fi(Wτ )h

V (h). (154)

Rozważmy równania y′′(x) = −20x z warunkiemDirichleta y(0) = y(1) = 0 (tj. U := y, f(x) := 20x,g(x) := 0).

Pseudokod

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Data: Read input variablesfor i← 1 to imax doif not boundary(xi) then

S ← 0;for k ← 1 to n do

I ← 0;α← i;while not boundary(xα) do

α← α+ 2⌊U(0, 1) + 12⌋ − 1;

I ← I + 20f(xα);

S ← S + I;

yi ← h2

2Sn;

Wyniki – równanie Poissona

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


n = 10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

x

y


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


n = 100

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

x

y


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


n = 1000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

x

y

Hydrodynamika wygładzonych

cząstek

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Cechy

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Hydrodynamika wygładzonych cząstek (SPH):

metoda wykorzystuje podejście Lagrange’a doopisu ruchu płynu,

cząstkom, które poruszają się z płynem, przypisanesą takie parametry jak masa czy prędkość,

wielkości opisujące stan płynu, w którym znajdujesię cząstka, obliczane są za pomocą średnichwielkości liczonych z sąsiednich cząstek(wygładzanie jako średnia z sąsiadów),

metodę SPH klasyfikuje się jako metodębezsiatkową,

wykorzystuje się całkową reprezentację funkcji.

Całkowa reprezentacja funkcji

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Podstawą metody SPH jest całkowa reprezentacjafunkcji f , gdzie δ jest deltą Diraca

f(x) =∫

Ω

f(x′) δ(x− x′) dV ′. (155)

−3 −2 −1 0 1 2 30

2

4

6

r

h−1w(r)

w(r) := σe−r

2

h = 0.3

h = 0.2

h = 0.1

Jądro aproksymacji

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Zamiast delty Diraca Diraca

f(x) =∫

Ω

f(x′) δ(x− x′) dV ′ (156)

stosuje się tzw. jądro aproksymacji W , którenazywane jest również jądrem wygładzania

f(x) ≈∫

Ω

f(x′)W (x− x′, h) dV ′, (157)

gdzie h nazywane jest długością wygładzania.

Jądro aproksymacji – własności

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Warunek normalizacji

∫

Ω

W (x− x′, h) dV ′ = 1, (158)

Dążenie do delty Diraca

limh→0

W (x− x′, h) = δ(x− x′), (159)

Warunek symetryczności

W (x− x′, h) =W (x′ − x, h), (160)

Jądro aproksymacji – własności

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Warunek kompaktowości

∀‖x−x′‖>khW (x− x′, h) = 0, (161)

Warunek dodatniości

W (x− x′, h) 0, (162)

Warunek zanikania wpływu jądra aproksymacji Wwraz ze wzrostem h,

Warunek gładkości (ciągłość i różniczkowalnośćW ).

Jądro aproksymacji

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Istnieje wiele postaci W . Dla uproszczenia zapisuprzyjmuje się jego następujące podstawienia

W (x− x′, h) =W(

‖x− x′‖h

)

=W (r) =w(r)

hD,

(163)gdzie przez r oznacza się względną odległość(odniesioną do długości wygładzania h). Z tegowzględu jądro W dekomponuje się na jądro wodniesione do hD. W ten sposób w ma te samewłasności co W , ale jest bezwymiarowe i prostsze wzapisie.

Jądro aproksymacji Gaussa

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Jądro aproksymacji Gaussa, które dane jest wzorem

w(r) := σe−r2

, r ∈ [0;∞[. (164)

Wartość współczynnika normalizacji σ, w zależnościod wymiaru przestrzeni D, wynosi

σ = π−D/2. (165)

Jądro Gaussa spełnia warunek unormowania,symetryczności i dodatniości i warunek zanikaniawpływu jądra aproksymacji wraz ze wzrostem h.Jądro Gaussa jest również gładkie (ciągłe wraz zpochodnymi). Warunek kompaktowości nie jestspełniony. Dąży do delty Diraca wraz z h→ 0.

Jądro aproksymacji Gaussa

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura

K. Tesch; Metody numeryczne – II stopień 132①

②

③

Aproksymacja funkcji

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Aproksymacja funkcji bierze się z całkowejreprezentacji funkcji

f(x) ≈∫

Ω

f(x′)W (x− x′, h) dV ′ (166)

przy dyskretyzacji całki za pomocą skończonej sumy

f(x) ≈∑

j

f(xj)W (x− xj, h)∆|Vj|. (167)

Elementarna objętość ∆|Vj| = mjρj , więc

f(x) ≈∑

j

mj

ρjf(xj)W (x− xj, h). (168)


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Funkcje f(xj) związana jest z cząstkami j wewnątrzjądra aproksymacji W . Aproksymacja

f(x) ≈∑

j

mj

ρjf(xj)W (x− xj, h) (169)

jest więc aproksymacją dyskretną ciągłej funkcji f wdowolnym punkcie x, który należy do obszaru Ω. Jeżeliwartość funkcji f wyliczana ma być w punkcie xi, to

f(xi) ≈∑

j

mj

ρjf(xj)W (xi − xj , h) =

∑

j

mj

ρjf(xj)Wij,

(170)gdzie zapis Wij oznacza W (xi − xj, h).


Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


①

②

③

Aproksymacja gradientu

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Gradient funkcji f względem współrzędnych xotrzymuje się z całkowej reprezentacji funkcji

∇f(x) ≈∫

Ω

f(x′)∇W (x− x′, h) dV ′. (171)

Dyskretyzując całkę, mamy gradient w punkcie xi

∇f(xi) ≈∑

j

mj

ρjf(xj)∇iWij . (172)

Różniczkowanie przestrzenne przeprowadzane jest naznanej postaci jądra aproksymacji W .

Aproksymacja dywergencji

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Aproksymacja dywergencji wielkości wektorowej fprzebiega w podobny sposób do aproksymacjigradientu. Ponieważ operator dywergencji wyliczanyjest względem współrzędnych x

∇ · f(x) ≈∫

Ω

f(x′) · ∇W (x− x′, h) dV ′. (173)

Najprostszą aproksymację dywergencji otrzymuje się,dyskretyzując powyższą całkę

∇ · f(xi) ≈∑

j

mj

ρjf(xj) · ∇iWij. (174)

Aproksymacja laplasjanu

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Aproksymacja laplasjanu skalara może byćprzedstawiono analogicznym wzorem, jak w przypadkugradientu

∇2f(x) ≈∫

Ω

f(x′)∇2W (x− x′, h) dV ′. (175)

Najprostszą aproksymację laplasjanu otrzymuje się,dyskretyzując powyższą całkę

∇2f(xi) ≈∑

j

mj

ρjf(xj)∇2iWij. (176)

Aproksymacja równania zachowania masy

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura



dρ

dt= −ρ∇ · u (177)

aproksymuje się wykorzystując aproksymacjędywergencji prędkości

dρidt= −ρi

∑

j

mj

ρjuj · ∇iWij. (178)

W większości przypadków wykorzystuje sięaproksymację funkcji, przyjmując f := ρ. Zatem

ρi =∑

j

mjWij . (179)

Aproksymacja równania pędu

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Równanie zachowania pędu w najogólniejszej postaci,z uwzględnieniem sił masowych od grawitacji g,zapisuje się jako

du

dt= g +

1

ρ∇ · σ. (180)

Aproksymację tego równania w metodzie SPH możnaprzedstawić, wykorzystując aproksymację dywergencji

duidt= gi +

1

ρi

∑

j

mj

ρjσj · ∇iWij. (181)

Równanie ruchu (Naviera-Stokesa)

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Przy aproksymacja równanie Naviera-Stokesa wmetodzie SPH wyodrębnienia się poszczególne rodzajesił: siły od gradientu ciśnienia fpi i siły związane zlepkością fµi. Równanie ruchu ma wtedy następującąpostać

duidt= gi − fpi + fµi (182)

Przyjmując następujący zapis na poszczególne rodzajesił wraz z przyspieszeniem ziemskim g w postacifi := gi − fpi + fµi, można równanie ruchu przedstawićw postaci, która występuje w innych metodachlagranżowskich

duidt= fi. (183)

Równanie stanu

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Wyznaczenia ciśnienia w metodzie SPH polega nawykorzystaniu sztucznego równania stanu, w którymciśnienie powiązane jest w sposób jawny z gęstością.Jedna z możliwych postaci takiego równania możemieć postać

p = p0 +B

((

ρ

ρ0

)γ

− 1)

. (184)

W takim przypadku mówi się o płynie słabo ściśliwym.Wykładnik γ przyjmowany jest zwykle jako γ ≈ 7, aprzez ρ0 oznaczono tu gęstość odniesienia płynu.Często ze względu na prostotę przyjmuje się p0 = 0.

Podstawy modelowania

turbulencji

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Literatura

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


Literatura

Spis zagadnień





Metoda Monte Carlo



Literatura


[1] Ferziger J.H., Perić M., Computational Methods for Fluid Dynamics,Springer-Verlag, Berlin, 2002

[2] Pope S. B., Turbulent Flows, Cambridge University Press, Cambridge,2000

[3] Tesch K., Mechanika Płynów, Wyd. PG, 2008

[4] Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., The Finite Element Method,Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000

Documents

Metody numeryczne – II stopień - Strona Głównakrzyte/students/numeryka2stopien.pdf · K.Tesch;Metodynumeryczne–IIstopień 1 Metody numeryczne – II stopień Krzysztof Tesch