MFII sazetak predavanja 01 - FSB Online · gdje je prvi član desne strane sferni dio, a drugi devijatorski dio tenzora. Očito da je Tkk skalar, pa je sferni dio izotropni tenzor,

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti 1

MATEMATIČKE OSNOVE

Vrijedi pogledati prvi i polovinu drugog sažetka iz Mehanike fluida I. Svaki tenzor drugog reda se može prikazati zbrojem simetričnog i antisimetričnog tenzora.

( ) ( )1 12 2

ij ji ij ji

ij ij ji ij ji ij ij

S S A A

T T T T T S A

= =−

= + + − = +

ili ( ) ( )1 12 2

= =−

= + + − = +

T T

T T

S S A A

T T T T T S A

Simetrični dio je polovina zbroja tenzora T i transponiranog tenzora TT, dok je antisimetrični dio jednak polovini njihove razlike. Primjer:

6 0 4 6 4 3 0 4 18 1 7 4 1 1 4 0 62 5 3 3 1 3 1 6 0

ij ij ijT S A

−= +

− − −

Dualni vektor tenzora drugog reda Svakom se tenzoru drugog reda zadanom komponentama Tjk može pridružiti dualni vektor di, definiran izrazom: εi ijk jkd T= Ako se tenzor prikaže zbrojem simetričnog i antisimetričnog dijela, uzimajući u obzir da je umnožak permutacijskog simbola sa simetričnim dijelom jednak nuli (jer je dvostruki skalarni produkt simetričnog i antisimetričnog tenzora jednak nuli) zaključuje se da se gornja definicija može pisati i u obliku: εi ijk jkd A= gdje je Aij antisimetrični dio tenzora Tij. Ako se gornji izraz pomnoži s εilm, te umnožak εijkεilm zamijeni umnoškom Kroneckerovih simbola dobije se:

1 ε2lm ilm iA d=

Dakle, svaki se tenzor može prikazati s pomoću simetričnog i antisimetričnog dijela ili s pomoću simetričnog dijela i dualnog vektora u obliku:

1 ε2ij ij ij ij kij kT S A S d= + = +

Sferni i devijatorski dio tenzora drugog reda Svaki se tenzor drugog reda može prikazati kao zbroj sfernog i devijatorskog dijela tenzora u obliku:

1 δ3ij kk ij ijT T Σ= +


gdje je prvi član desne strane sferni dio, a drugi devijatorski dio tenzora. Očito da je Tkk skalar, pa je sferni dio izotropni tenzor, kojemu se pri rotaciji koordinatnog sustava komponente ne mijenjaju. Devijatorski dio tenzora se računa kao razlika samog tenzora i njegova sfernog dijela. Kontrakcijom indeksa u gornjem izrazu slijedi da je Σjj=0 (suma članova na glavnoj dijagonali devijatorskog dijela tenzora je nula). Primjer:

8 5 1 4 0 0 4 5 15 4 2 0 4 0 5 0 21 2 0 0 0 4 1 2 4

− −= +

− − −

Laplaceov (delta) operator Laplaceov ili delta operator definiran je kao divergencija gradijenta i označava se sa Δ. Primjenom Laplaceova operatora na skalarno polje dobije se:

2

Δ div(grad ) ( )i ix xΦΦ Φ Φ ∂

= = ∇⋅ ∇ =∂ ∂

Delta operator se dakle može zapisati u obliku:

2 2 2 2

2 2 21 2 3

Δi ix x x x x∂ • ∂ • ∂ • ∂ •

• = = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

gdje umjesto oznake “• ” može stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje. Prostorna krivulja i krivuljni integral Slika 1. prikazuje krivulju C omeđenu točkama A i B. Jedan od načina analitičkog zadavanja krivulje je parametarski, u kojem se položaj svake točke na krivulji opisuje vektorom položaja koji je funkcija parametra t, u obliku: ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3r t x t e x t e x t e= + + Povećavajući vrijednost parametra t u granicama tA (vrijednost parametra u točki A) do tB

dobivaju se sve točke krivulje C, omeđene točkama A i B. Ako su točke A i B iste, krivulja je zatvorena. Usmjereni element ds krivulje C orijentiran je u smjeru porasta parametra t i odgovara razlici vektora položaja kao što je definirano na slici 1. Komponente elementarnog vektora ds u indeksnoj notaciji su: 1 1 2 2 3 3d d d d dj js x e x e x e x e= = + + Krivuljni integral vektorskog polja v po orijentiranoj krivulji C, obrubljenoj točkama A i B, definiran je izrazom:

B B

A A

d dj jv s v x⋅ =∫ ∫

rtrttrs d)()d(d =−+=

)(tr

)d( ttr +

O

x1

x2

x3

A B

Slika 1. Usmjereni element krivulje


Tako se npr. u mehanici rad polja sile na putu duž krivulje C, opisuje krivuljnim integralom, koji se još naziva hod u polju sile duž krivulje C. Krivuljni integral po jednostavno zatvorenoj krivulji C (krivulja koja nema samopresjecišta) nosi naziv ophod ili cirkulacija, a označuje se u obliku:

d dj jC Cv s v x⋅ =∫ ∫

Ako je v polje brzine gornji izraz označuje cirkulaciju brzine po zatvorenoj krivulji C. Bezcirkulacijsko vektorsko polje Vektorsko polje v je bezcirkulacijsko (bezophodno) ako je cirkulacija po bilo kojoj jednostavno zatvorenoj krivulji C u području polja v , jednaka nuli, tj. vrijedi: d 0j jC

v x =∫

Konzervativno vektorsko polje Vektorsko polje v je konzervativno ako krivuljni integral između točaka A i B ne zavisi od krivulje koja spaja te točke. Lako se može pokazati da je vektorsko polje bezcirkulacijsko ako i samo ako je konzervativno. Potencijalno vektorsko polje Svako vektorsko polje koje se može prikazati s pomoću gradijenta skalarnog polja Φ u obliku:

grad ili jj

v vxΦΦ ∂

= =∂

naziva se potencijalnim poljem, kojemu je polje Φ skalarni potencijal. Svako potencijalno polje je konzervativno i bezophodno, jer je krivuljni integral duž krivulje obrubljene točkama A i B jednak:

( ) ( )B B B

jA A A

d d d Bj j jv x x AxΦ Φ Φ Φ∂

= = = −∂∫ ∫ ∫

Iz gornjeg izraza je jasno da se za slučaj potencijalnog polja podintegralna funkcija svodi na potpuni diferencijal, te je vrijednost krivuljnog integrala jednaka razlici potencijala u točkama B i A i ne zavisi od spojnice točaka A i B, što je po definiciji svojstvo konzervativnih polja. Ako je krivulja zatvorena, što znači da se točke A i B poklapaju, jasno je da će i cirkulacija potencijalnog polja biti jednaka nuli, što je osobina bezcirkulacijskog polja. Dakle potencijalno polje je konzervativno, odnosno bezcirkulacijsko. Bezvrtložno vektorsko polje Bezvrtložno vektorsko polje je ono kojemu je rotor polja jednak nuli, tj.

rot 0 ili ε 0kijk

j

vvx∂

= =∂

Lako se pokaže da je rotor potencijalnog polja nul vektor, jer je:

( ) ( )( )simetrično

rot rot grad ε 0ijki ij k

vx x

ΦΦ⎛ ⎞∂ ∂

= = =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

pa se zaključuje da su pojmovi potencijalnosti i bezvrtložnosti polja v ekvivalentni. Solenoidalno vektorsko polje


Za vektorsko polje kojemu je divergencija identički jednaka nuli ( divv =0), kaže se da je bezizvorno ili solenoidalno. Svako polje brzine u nestlačivom strujanju je bezizvorno, jer zadovoljava jednadžbu kontinuiteta oblika divv =0. Svako bezizvorno polje se može prikazati s pomoću rotora nekog drugog vektorskog polja, koje se naziva vektorskim potencijalom. Ako je polje ψ vektorski potencijal polja v , tada vrijedi:

rot ili ε ki ijk

j

v vxψψ ∂

= =∂

Jasno je da je divergencija polja v jednaka nuli, jer je div(rotψ )=0, što je u indeksnom zapisu očito:

2

simetrično

div ε ε 0i k kijk ijk

i i j j i

vvx x x x x

ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= = = =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

jer je permutacijski simbol antisimetričan u odnosu na indekse i i j, dok je tenzor 2

k

j ix xψ∂

∂ ∂

simetričan u odnosu na te iste indekse, zbog pravila o zamjeni redoslijeda deriviranja, a prema poznatom pravilu produkt simetričnog i antisimetričnog tenzora jednak je nuli. Budući da je rotor potencijalnog vektorskog polja jednak nuli, za zadano vektorsko polje v vektorski je potencijal ψ neodređen do na gradΦ (jer je rot(ψ +gradΦ )=rotψ ). Stoga će se svako vektorsko polje moći prikazati zbrojem svoga potencijalnog i solenoidalnog dijela u obliku

grad rot ili ki ijk

i j

v vx xΦ ψΦ ψ ε∂ ∂

= + = +∂ ∂


DODATAK IZ KINEMATIKE FLUIDA

Nastavak na sažetak 6 iz Mehanike fluida I

Prvi Helmholtzov teorem Gibanje krutog tijela (kod kojeg je relativni međusobni položaj čestica stalan) moguće je prikazati zbrojem translatornog i sfernog (ili rotacijskog) gibanja. Za razliku od krupog tijela, fluid je tvar koja se pod djelovanjem ma kako malog smičnog naprezanja neprekidno deformira, pa je za očekivati da će u strujanju fluida relativni međusobni položaj čestica fluida biti promjenjiv. Prirast brzine u dvije vrlo bliske točke prostora opisuje se pomoću gradijenta brzine u obliku

d dii j

j

vv xx∂

=∂

Gradijent brzine je tenzor drugog reda koji se može prikazati zbrojem simetričnog ijD i antisimetričnog ijV dijela, odnosno preko simetičnog dijela i dualnog vektora kΩ u obliku

1 ε2

iji ji ji kji k

j

v D V Dx

Ω∂= + = +

∂

Tenzor brzine deformacije Simetrični dio ijD tenzora gradijenta brzine naziva se tenzorom brzine deformacije, a definiran je izrazom

( )T1 1 ili u simoličkom zapisu grad grad2 2

jiji

j i

vvD v vx x

⎛ ⎞∂∂= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

D

Tablični prikaz komponenti tenzora brzine deformacije, koji ima šest različitih komponenti je

31 2 1 1

1 1 2 1 3

31 2 2 2

2 1 2 2 3

3 3 31 2

3 1 3 2 3

1 12 2

1 12 2

1 12 2

ji

vv v v vx x x x x

vv v v vDx x x x x

v v vv vx x x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ∂+ +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ∂= + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂∂ ∂+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ako se u određenom trenutku t uoči elementarni volumen fluida oblika paralelopipeda kojemu su duljine bridova 1dx , 2dx i 3dx , tada će u vremenskom trenutku dt t+ taj paralelopiped promijeniti položaj (uslijed translacije i rotacije), ali i oblik uslijed deformacije. Deformacija tog paralelopipeda se očituje kroz promjene duljina njegovih bridova i kroz promjenu kuta među njegovim bridovima. Članovi na glavnoj dijagonali tenzora brzine deformacije označuju brzine relativne promjene duljine bridova, tj. vrijedi:

( )1111

1 1

D d1d D

xvDx x t∂

= =∂

, gdje je DDt

operator materijalne derivacije. Vrijedi i


( )2222

2 2

D d1d D

xvDx x t∂

= =∂

i ( )3333

3 3

D d1d D

xvDx x t∂

= =∂

Brzina relativne promjene obujma 1 2 3d d d dV x x x= elementa fluida je definirana izrazom

( ) ( )1 2 3

11 22 331 2 3

D d D d d d1 1 divd D d d d D

j

j

vV x x xD D D v

V t x x x t x∂

= = + + = =∂

U nestlačivom strujanju fluida je gustoća fluida konstantna, pa nema promjene volumena

čestica fluida što znači da mora biti div 0j

j

vv

x∂

= =∂

.

Članovi izvan glavne dijagonale govore o brzini kutne deformacije, tj. o brzini smanjenja kuta među bridovima početnog elementarnog paralelopipeda. Tako bi npr. vrijedilo

12 2 112 21

1 2

D 2 2D

v vD Dt x xθ ∂ ∂

= = = +∂ ∂

,

gdje je 12θ kut između bridova 1dx i 2dx iz početne konfiguracije. Analogno vrijedi i za ostale komponente. Tenzor vrtložnosti Antisimetrični dio tenzora gradijenta brzine se naziva tenzorom vrtložnosti, a definiran je izrazom:

( )T1 1 ili u simoličkom zapisu grad grad2 2

jiji

j i

vvV v vx x

⎛ ⎞∂∂= − = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

V

Tablični prikaz komponenti tenzora vrtložnosti, koji ima tri po apsolutnoj vrijednosti različite komponente je

32 1 1

1 2 1 3

31 2 2

2 1 2 3

3 31 2

3 1 3 2

1 102 2

1 102 2

1 1 02 2

ji

vv v vx x x x

vv v vVx x x x

v vv vx x x x

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂− −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂= − −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂∂ ∂− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Vektor vrtložnosti Vektor vrtložnosti je u matematičkom smislu dualni vektor tenzora gradijenta brzine, odnosno tenzora vrtložnosti, a definiran je izrazom:

ε ε ili rotik kji kji ji

j

v V vx

Ω Ω∂= = =

∂

U fizikalnom smislu vektor vrtložnosti odgovara dvostrukoj vrijednosti vektora kutne brzine ω ( 2Ω ω= ) kojom rotira čestica fluida. Kod krutog tijela vektor kutne brzine je jedan te isti za sve čestice tijela, dok pri strujanju fluida on može biti različit za svaku česticu fluida. Strujanje fluida kod kojega je vektor vrtložnosti identički jednak nuli ( rot 0v = ) je po definiciji bezvrtložno, odnosno potencijalno strujanje. Komponente tenzora vrtložnosti mogu se prikazati preko komponenti vektora vrtložnosti ili komponenata vektor kutne brzine rotacije, u obliku

1 ε ε2ji kji k kji kV Ω ω= =


Ako se u polaznom izrazu za prirast brzine B Ad i i iv v v= − u dvije bliske točke A i B (udaljene za d jx ) gradijent brzine prikaže s pomoću tenzora brzine deformacije i vektora kutne brzine, dobije se izraz za brzinu u točki B izraženu s pomoću brzine u točki A B A ikj

translacija deformacija sferno gibanje

d ε di i ji j k jv v D x xω= + +

Gornji izraz označuje sadržaj prvog Helmholtzovog teorema koji kaže da se gibanje dviju bliskih točaka kontinuuma može prikazati zbrojem translacijskog i sfernog gibanja (kao kod krutog tijela) te deformacijskog gibanja. Jasno je da ako se fluid giba bez deformacija, da je to gibanje poput krutog tijela. Primjer takva gibanja je rotacija fluida zajedno s posudom oko vertikalne osi (slučaj relativnog mirovanja obrađen u MF I). Druga posebna klasa strujanja je ona kod koje nema rotacije čestica fluida, što znači da su vektori kutne brzine, odnosno vektor vrtložnosti, odnosno rotv jednaki nuli. Kao što je prije rečeno (vidjeti sažetak prvih predavanja) vektorsko polje kojemu je rotor jednak nuli se naziva bezvrtložnim ili potencijalnim poljem, a koje je onda i bezcirkulacijsko i konzervativno. Takvo se polje može prikazati gradijentom skalarnog potencijala

gradv ϕ= . Stoga će se i strujanje u kojem nema rotacija čestica fluida zvati potencijalnim strujanjem.

OSNOVE NESTLAČIVOG POTENCIJALNOG STRUJANJA Primijećeno je da model potencijalnog strujanja fluida vrijedi u uvjetima kod kojih se viskozne sile mogu zanemariti. Bezvrtložno strujanje se pojavljuje npr. pri opstrujavanju tijela i to u području podalje od stijenke (gdje je utjecaj viskoznih sila zanemariv). Strujanje fluida koje nastaje pri samom početku gibanja tijela u mirujućoj tekućini, također se može opisati potencijalnim poljem brzine. U tehničkoj praksi se model potencijalnog strujanja primjenjuje u slučajevima u kojima su viskozne sile minorne u odnosu na inercijske i gravitacijske sile. Tipične primjene modela potencijalnog strujanja su u aerodinamici i teoriji turbostrojeva za određivanje sile uzgona pri optjecanju aeroprofila, te u brodogradnji npr. za određivanje otpora valova gibajućeg broda i u analizi ponašanja plivajućih struktura na valovima. Nestlačivo strujanje opisano je jednadžbom kontinuiteta

0j

j

vx∂

=∂

i jednadžbom količine gibanja (II. Newtonovim zakonom) u kojoj su zanemarene viskozne sile (vidjeti npr. sažetak 3. predavanja iz MFI)

i ii j i

j i

v v pa v ft x x

ρ ρ ρ ρ∂ ∂ ∂= + = −

∂ ∂ ∂.

Ako masena sila odgovara sili gravitacije, tada se ona može prikazati preko potencijala,

koji za slučaj da je os 3x usmjerena vertikalno uvis, glasi 33i i

i

gxf gx

ρρ ρ δ ∂= − = −

∂.

Sustav gornje dvije jednadžbe (često se nazivaju i Eulerove jednadžbe) označuje sustav parcijalnih diferencijalnih jednadžbi prvog reda, a opisuje neviskozno strujanje fluida (koje može biti i vrtložno). Jednadžba kontinuiteta je linearna jednadžba, a jednadžba količine


gibanja je nelinearna zbog člana ij

j

vvx

ρ ∂∂

. Zbog nelinearnosti jednadžbe količine gibanja

ovaj se sustav može riješiti samo numeričkim putem. Uz pretpostavku potencijalnog strujanja, u kojem vrijedi

jj

vxϕ∂

=∂

jednadžba kontinuiteta prelazi u Laplaceovu jednadžbu

2 2 2

2 2 21 2 3

0 ili = 0j

j j j

vx x x x x x

ϕ ϕ ϕ ϕϕ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = Δ + + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Nelinearni član u jednadžbi količine gibanja prelazi u 2

2 2i

jj j j i j i j i j j i

v vvx x x x x x x x x x x

ϕ ϕ ϕ ϕ ρ ϕ ϕ ρρ ρ ρ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠pa jednadžba količine gibanja prelazi u oblik

2

3 02i

v gx px t

ϕ ρρ ρ⎡ ⎤∂ ∂

+ + + =⎢ ⎥∂⎣ ⎦

Zbroj u uglatoj zagradi očito nije funkcija prostornih koordinata, pa vrijedi izraz (koji je poznat pod nazivom Euler-Bernoullijeva jednadžba)

( )2

32v gx p f t

tϕ ρρ ρ∂

+ + + =∂

gdje je ( )f t neka funkcija vremena. Za slučaj stacionarnog potencijalnog strujanja polazni sustav jednadžbi je

2 2 2 2

2 2 21 2 3

0j jx x x x xϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂ ∂

= + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2

3 .2v gx p C konstρ ρ+ + = =

Osnovna prednost ovog sustava jednadžbi koji opisuje neviskozno bezvrtložno strujanje je u činjenici, da je nelinearna jednadžba količine gibanje prešla u algebarsku jednadžbu, te se gornji sustav jednadžbi rješava tako da se prvo riješi jednadžba kontinuiteta, čime je određeno polje brzine, a zatim se iz druge jednadžbe (koja je oblika Bernoullijeve jednadžbe) odredi polje tlaka. Treba naglasiti da je u gornjoj jednadžbi konstanta C jedna te ista za cijelo područje strujanja (ne za strujnicu kao kod Bernoullijeve jednadžbe) pa se jednadžba može postavljati između bilo koje dvije točke u području strujanja, ne vodeći računa o strujnicama. Laplaceova jednadžba je linearna parcijalna diferencijalna jednadžba, koja se za slučaj stacionarnoga strujanja rješava uz zadane rubne uvjete. Tipični rubni uvjet na stjenci optjecanog tijela je uvjet nepromočivosti stjenke, tj. normalna komponenta brzine na stjenci mora biti jednaka brzini stjenke. Za primjer prema slici, gdje fluid nastrujava na mirujuće tijelo, vrijedi na površini tijela

0n j j jj

v v n nx nϕ ϕ∂ ∂

= = = =∂ ∂

Dovoljno daleko od tijela, utjecaj tijela se ne osjeća, pa je potencijal jednak potencijalu neporemećenog strujanja ϕ ϕ∞= .

n


ru b

jn

S

VΔ SΔ

M

V

p od ruč je

Osnovna svojstva rješenja Laplaceove jednadžbe

(1) Princip superpozicije. S obzirom da je Laplaceova jednadžba linearna, vrijedi

princip superpozicije (ili zbroj dvaju rješenja Laplaceove jednadžbe također je rješenje Laplaceove jednadžbe).

Ako potencijali )1(ϕ i )2(ϕ zadovoljavaju Laplaceovu jednadžbu onda je jasno da je zbroj

(1) (2)ϕ ϕ ϕ= + također rješenje Laplaceove jednadžbe jer vrijedi

( )2 (1) (2)

j jx xϕ ϕ∂ +

=∂ ∂

2

0j jx xϕ∂

=∂ ∂

- isto vrijedi i za brzine:

(1)

(1)i

i

vxϕ∂

=∂

; (2)

(2)i

i

vxϕ∂

=∂

; (1) (2)i i i

i

v v vxϕ∂

= = +∂

Dakle brzine uzrokovane dvama potencijalima se zbrajaju. Oprez! To ne vrijedi za tlakove (1) (2)p p p≠ + jer je tlak definiran nelinearnom jednadžbom.

(2) Potencijal ne može imati niti maksimum niti minimum unutar područja, nego samo po rubu.

Slika prikazuje područje V opasano rubom S unutar kojeg je definiran potencijal brzine koji zadovoljava

Laplaceovu jednadžbu 2

0j jx xϕ∂

=∂ ∂

.

Integriranjem Laplaceove jednadžbe po volumenu V uz primjenu Gaussove formule slijedi

2

0jj j js s

dV n dS dSx x x nϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂

= = =∂ ∂ ∂ ∂∫ ∫ ∫

Pretpostavimo da je u točki M lokalni maksimum, tada bi n∂

∂ϕ bio pozitivan za sve točke

površine ΔS koja okružuje točku M, pa bi dSns

∫Δ ∂∂ϕ >0 što je u suprotnosti s Laplaceovom

jednadžbom. Slično vrijedi i za pretpostavku minimuma u točki M. (3) Brzina strujanja također ne može imati ekstrem unutar područja strujanja

Deriviranjem Laplaceove jednadžbe 2

0j jx xϕ∂

=∂ ∂

po kx slijedi 2

0k

j j

vx x∂

=∂ ∂

, pa je jasno da

sve što vrijedi za ϕ vrijedi i za komponente brzine kv .


(4) Polje brzine u potencijalnom strujanju je bezcirkulacijsko (cirkulacija brzine po zatvorenoj krivulji jednaka je nuli) jer je:

0==∂∂

==Γ ∫∫∫C

jC jC

jj ddxx

dxv ϕϕ

Strujna funkcija (funkcija toka) u ravninskom strujanju

U ravninskom strujanju se slika strujanja ponavlja u međusobno paralelnim ravninama npr.

paralelnim s 1 20x x , pa vrijedi 3 0v ≡ i 3

0x∂

=∂

.

Slika prikazuje strujnice u ravninskom potencijalnom strujanju. Vektor brzine iv je po definiciji kolinearan s lukom strujnice d ix i okomit na krivulje konst.ϕ = (jer je

gradv ϕ= ). Uvodimo strujnu funkciju (funkciju toka) ψ sa svojstvom da konst.ψ =

označuje strujnicu. Iz jednadžbe strujnice 1 2

1 2

dx dxv v

= slijedi

2 1

1 2 2 1

0 konst.

0

x x

d

v dx v dxψ ψ

ψ ψ

∂ ∂∂ ∂

= → =

− =

Ako je 12

vxψ∂

=∂

i 21

vxψ∂

= −∂

, onda će jednadžba strujnice prijeći u oblik 0dψ = , što

znači da će na strujnici biti konst.ψ = S obzirom da je jj

vxϕ∂

=∂

, slijedi veza između

potencijala brzine ϕ i funkcije toka ψ

11 2

22 1

vx x

vx x

ϕ ψ

ϕ ψ

∂ ∂= =

∂ ∂∂ ∂

= = −∂ ∂

ili u polarnim koordinatama

rrv

rrvr

∂∂

−=∂∂

=

∂∂

=∂∂

=

ψϑϕ

ϑψϕ

ϑ1

1

Gornje relacije su poznate pod nazivom Cauchy-Riemanovi uvjeti.

1x

2x

0

konst.ϕ =

strujnica:

konst.ψ =

iv


Veza između funkcije toka i protoka fluida između dvije strujnice

Slika prikazuje dvije strujnice u ravninskom strujanju (prostorno gledajući to su dvije strujne površine). Prema jednadžbi kontinuiteta u nestlačivom strujanju protok između dvije strujne površine je konstantan. Ako se protok izrazi po jedinici duljine okomito na ravninu slike, onda je protok kroz krivulju AB definiran izrazom

B

A

di iQ v n s= ∫

Ako elementarni luk ds čini s osi 1x kut α tada su komponente jediničnog vektora normale ( )1 2, (sin , cos )n n α α= − , pa se komponente vektora din s mogu izraziti u obliku

2 1d (d , d )in s x x= − , što uvršteno u izraz za protok daje

( ) ( )

2 1

B B B

1 2 2 1 2 1A A A

d d d d B Ai i

x x

Q v n s v x v x K Kψ ψ

ψ ψ ψ∂ ∂

−∂ ∂

= = − = = − = −∫ ∫ ∫

Kao što se i očekivalo, protok Q ne zavisi od izbora položaja točaka A i B na strujnicama, jer je jednak razlici vrijednosti funkcije toka na tim strujnicama.

1x

2x

0

strujnica: k

in

strujnica: k

A

B

iv

ds

Q


DINAMIKA FLUIDA

Vrijedi pogledati i sažetak 2 iz Mehanike fluida I (sile u fluidu) Masene sile su posljedica položaja mase u

polju if masene sile. Masena sila na česticu fluida: d

d iFd di i iF f m f Vρ= =

Potencijalne masene sile

S

O

x3

x2

x1

31σ

33σ

21σ

23σ 32σ

22σ13σ

12σ11σ

x3

x2

x1

dif m

V

di Sσ

jnif

su one koje se mogu prikazati gradijentom skalarne

funkcije U: ii

Ufx

∂=−∂

.

Površinske sile su sile dodira između čestica fluida ili između čestica fluida i stijenke. Definirane su vektorom naprezanja

. Sila na elementarnu površinu d : .

iσ d iF Sd = di iF Sσ

Stanje naprezanja u točki prostora jednoznačno je definirano tenzorom naprezanja. Tablični zapis komponenti tenzora naprezanja

(smjer)

11 12 13

21 22 23

31 32 33

i

jij

σ σ σσ σ σ σ

σ σ σ

→

↓=

gdje se indeks j odnosi na površinu. Veza između vektora i tenzora naprezanja: ( )i j j jn nσ σ= i

Osnovni zakoni dinamike fluida Dinamika plinova se temelji na osnovnim zakonima klasične fizike u koje spadaju

1. Zakon očuvanja mase, 2. Zakon očuvanja količine gibanja, 3. Zakon očuvanja momenta količine gibanja, 4. Zakon očuvanja energije, 5. Drugi zakon termodinamike.

Zakoni količine gibanja i momenta količine gibanja su konceptualno definirani u klasičnoj mehanici, a posljednja dva u termodinamici. Ovi su zakoni definirani za sustav materijalnih točaka odnosno za zatvoreni termodinamički sustav, a u dinamici fluida će biti primijenjeni na materijalni volumen VM(t), koji će u općem slučaju s vremenom mijenjati svoj položaj, oblik i veličinu, ali će se uvijek sastojati od jednih te istih čestica fluida. Strujanja fluida se mogu podijeliti na nestlačiva (u kojima je gustoća fluida konstantna, uglavnom su to strujanja kapljevina) i stlačiva strujanja (strujanja plinova pri većim brzinama u usporedbi s brzinom zvuka). Pri nestlačivom strujanju volumeni čestica fluida


ostaju konstantni, što znači da se čestice fluida ne mogu komprimirati (pri čemu bi se povećala unutarnja energija fluida na račun rada kompresije) niti ekspandirati (pri čemu bi se dobio mehanički rad na račun unutarnje energije), što znači da će se mehanička energija pretvarati u unutarnju samo putem viskoznih sila, što je jednosmjeran proces. U kolegiju Mehanika fluida I, smo se bavili samo nestlačivim gibanjem, te smo u modificiranoj Bernoullijevoj jednadžbi pretvorbu mehaničke energije u unutarnju nazivali gubicima mehaničke energije, jer se jednom pretvorena mehanička energija više ne može povratiti iz unutarnje energije nestlačivog fluida. Unutar ovog kolegija ćemo definirati općenitiji model stlačivog strujanja u kojem postoji dvosmjerni proces pretvorbe iz mehaničke energije u unutarnju i obrnuto, te u energijsku jednadžbu moramo uključiti i unutarnju energiju, koja je definirana u prvom zakonu termodinamike, te ćemo prije nego definiramo osnovne zakone dinamike fluida načiniti kratak pregled osnovnih termodinamičkih relacija, te naglasiti specifičnosti njihove primjene u opisu strujanja fluida. U Mehanici fluida I smo se bavili integralnim pristupom, a ovdje ćemo dati naglasak na diferencijalni pristup, koji je osnova za računalnu dinamiku fluida, danas sve rašireniji pristup rješavanju problema strujanja fluida i popratnih pojava. Koncept iz termodinamike Termodinamički sustav i materijalni volumenTermodinamički sustav je volumen ispunjen materijom koji je granicom odijeljen od okoline. Granica može biti svaka geometrijski zatvorena površina (stvarna ili zamišljena) s definiranim svojstvima u svakoj njenoj točki. Granica može biti nepomična ili pomična, toplinski provodljiva ili neprovodljiva (adijabatska), a također propusna za masu (kada se govori o otvorenom sustavu) ili nepropusna za masu (kada se govori o zatvorenom sustavu). Materijalni volumen u mehanici fluida je primjer zatvorenog termodinamičkog sustava, te će se daljnja razmatranja ograničiti na takve termodinamičke sustave. Ravnotežno stanje termodinamičkog sustava i veličine stanja Svaki zatvoreni termodinamički sustav, prepušten sam sebi (bez izmjene topline i rada s okolinom), težit će uslijed spontanih procesa u sustavu (procesa koji se odvijaju sami od sebe), svom ravnotežnom stanju. Ravnotežno stanje sustava se ne može više mijenjati samo od sebe. Sve makroskopski mjerljive veličine, koje svojim vrijednostima opisuju stanje termodinamičkog sustava, nazivaju se veličinama stanja. Takve su veličine npr. tlak p, volumen V, temperatura T, unutarnja energija U, entropija S itd. Veličine stanja kojima vrijednosti ovise o količini materije unutar termodinamičkog sustava se nazivaju ekstenzivnim (npr. V, U, S) a veličine kojima vrijednost ne ovisi o količini materije se nazivaju intezivnim veličinama (p i T). Ekstenzivne veličine izražene po jedinici mase se nazivaju specifičnim veličinama stanja. Npr. specifični volumen je

definiran izrazom ddVvm

1ρ

= = , što je po definiciji jednako recipročnoj vrijednosti gustoće

fluida. Spontani procesi koji dovode termodinamički sustav u ravnotežno stanje, a koji se odvijaju sami od sebe, posljedica su postojanja gradijenata fizikalnih veličina (npr. prijelaz topline s područja više na područje niže temperature je posljedica postojanja gradijenta temperature, miješanje plinova je posljedica postojanja gradijenta koncentracije). Spontani procesi su kao što je poznato iz iskustva jednosmjerni procesi (nikad se neće dogoditi da toplina sama


od sebe prijeđe s hladnijeg na toplije područje, a jednom izmiješani plinovi se neće nikad sami od sebe razdvojiti). Iz rečenog je jasno da u ravnotežnom stanju, u kojem su iščezli svi spontani procesi, nema više gradijenata intenzivnih i specifičnih veličina stanja. Jednadžbe stanja – savršeni plin Svako ravnotežno stanje termodinamičkog sustava, opisano je skupom veličina stanja, pri čemu među veličinama stanja postoje veze, dane jednadžbama stanja, tako da je ravnotežno stanje jednoznačno definirano ograničenim brojem veličina stanja. Svaka homogena tvar karakterizirana je svojim jednadžbama stanja do kojih se dolazi mjerenjem, a u nekim posebnim slučajevima s pomoću statističke mehanike, odnosno kinetičke teorije plinova. Tako je npr. za model idealnog plina (koji će se u mehanici fluida zvati savršenim, jer je termin idealni rezerviran za neviskozne fluide), ravnotežno stanje određeno s dvije veličine stanja, npr. T i . Tlak je definiran toplinskom (termičkom) jednadžbom stanja v ili RTpv = p RTρ= gdje je R plinska konstanta. Unutarnja energija savršenog plina funkcija je samo temperature, što je iskazano kaloričkom jednadžbom stanja d d ili konst.v vu c T u c T= = +gdje je specifični toplinski kapacitet pri konstantnom volumenu. Za specifični toplinski kapacitet pri konstantnom tlaku vrijedi

vc

p vc c R= + . Za savršeni plin su

konstante. Uz oznaku vrijedi:

, i p vc c R

/pc cκ = v 1pc Rκκ

=−

i 11vc R

κ=

−.

Termodinamički proces Ravnotežno stanje termodinamičkog sustava se može promijeniti samo djelovanjem iz okoline, npr. dovođenjem topline ili rada termodinamičkom sustavu, što se naziva termodinamičkim procesom. Za termodinamički proces se kaže da je ravnotežan ako termodinamički sustav tijekom procesa prolazi samo kroz ravnotežna stanja. To bi značilo da se stanje termodinamičkog sustava mijenja samo pod djelovanjem izvana, a prestankom tog procesa prestaje se mijenjati i stanje termodinamičkog sustava. Drugim riječima, ravnotežni proces ne izaziva spontane procese, što znači da se tijekom ravnotežnog procesa u termodinamičkom sustavu ne pojavljuju gradijenti veličina stanja. Iz rečenog je jasno da će svaki neravnotežni proces zbog izazvanih spontanih procesa biti jednosmjeran ili ireverzibilan. Nužan uvjet da bi se proces mogao odvijati u oba smjera je da je ravnotežan. Prvi zakon termodinamike (zakon očuvanja energije) Zakon očuvanja energije kaže da će promjena ukupne energije termodinamičkog sustava između dva stanja (npr. početnog stanja 1 i krajnjeg stanja 2) biti jednaka izmijenjenoj toplini i izmijenjenom radu s okolinom između ta dva stanja. Pod ukupnom energijom sustava podrazumijeva se suma svih oblika energije koji se tijekom procesa mijenjaju. Ako se promatra mirujući plin onda je dovoljno promatrati unutarnju energiju U , a u mehanici fluida gdje dolazi do promjene brzine strujanje plina bit će nužno uvesti i kinetičku energiju fluida. Ako je izmijenjena toplina između dva stanja, izmijenjeni rad, tada vrijedi

E 12Q 12W

( ) ( )2 2 1 1 12 12E U E U Q W+ − + = + (Napomena: Rad i toplina su definirane kao pozitivne veličine ako se dovode termodinamičkom sustavu).


Primjeri primjene prvog zakona termodinamike

Primjer 1. Jouleov pokus Termodinamički sustav se sastoji od toplinski izolirane posude, mirujuće viskozne kapljevine i sustava utega, kolotura i lopatica. Uteg svojim spuštanjem za visinu h vrši rad

kojim se putem užeta i kolotura pokreću lopatice i fluid, čime im se povećava kinetička energija. Ako se zanemari utjecaj trenja u sustavu kolotura i užeta, sav izvršeni rad će se predati lopaticama i fluidu. Uslijed viskoznosti fluida on će se nakon određenog vremena spontano zaustaviti i tako ponovo doći u ravnotežno stanje. Ako je posuda bila

toplinski izolirana, zaključuje se da se sav rad utega pretvorio u unutarnju energiju fluida, lopatica i posude, što se očituje kroz porast njihove temperature. Treba primijetiti da je termodinamički sustav između početnog i krajnjeg ravnotežnog stanja prolazio kroz neravnotežna stanja u kojima se fluid gibao, uslijed čega su postojali gradijenti veličina stanja. Zakon očuvanja energije primijenjen između početnog i krajnjeg ravnotežnog stanja mirovanja glasi:

hGW ⋅=12

1212 WUU =− ili 1212 wuu =− Primjer 2. Stlačivanje plina u toplinski

izoliranom cilindru

Gh

Termodinamički sustav sadrži plin, koji se nalazi u toplinski izoliranom cilindru s pomičnim stapom. Pretpostavlja se da plin u početnom trenutku miruje, te da ga se polako stlačuje putem stapa, kojeg se pomiče bez trenja, silom F koja je u svakom trenutku u ravnoteži sa silom tlaka unutar cilindra, dakle, F=pA (pretpostavlja se da je vanjski tlak

jednak nuli). Budući je suma sila na stap jednaka nuli, on se po prvom Newtonovom zakonu može gibati jedino konstantnom brzinom. Neka se stap giba beskonačno malom brzinom, tako da se kinetička energija čestica plina u cilindru može zanemariti. Budući da nema izmjene topline, sav rad koji se ulaže putem sile F pA=

s

2 1

F A

pA

A

2 2 2

1 11

s V

12ds V

d dS

s

V

W F s p A s p−

= = = − dV∫ ∫ ∫

troši se na promjenu unutarnje energije plina, tj. vrijedi: 2 2

1 1

2 1 2 1d ili dV v

V v

U U p V u u p v− = − − = −∫ ∫

Primjer 3. Grijanje plina pri konstantnom volumenu Termodinamički sustav sastoji se od zadane količine plina, početne temperature T0, smještene u krutu posudu zadanog volumena, kroz čiju se stijenku plinu dovodi toplina od ogrjevnog spremnika temperature T1. Budući da je posuda stalnog volumena, pri grijanju plina ne dolazi do pomicanja stijenki posude prema okolini što znači da plin ne vrši


ogrjevni spremnik, T1

T0

V=konst. nikakav rad, pa sva dovedena toplina Q12 prelazi u unutarnju energiju termodinamičkog sustava, tj. vrijedi 1212 QUU =− ili 1212 quu =− Specifični toplinski kapacitet je toplina koju treba dovesti jedinici mase tvari da bi joj se temperatura povisila za 1 K. Specifični toplinski kapacitet cv pri konstantnom

volumenu se definira kao vkonst.

d dd dv v

q ucT T=

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Primjer 4. Grijanje plina pri konstantnom tlaku

Termodinamički sustav sadrži plin konstantne početne temperature, koji je zatvoren u cilindru s pomoću pomičnog stapa (koji idealno brtvi, a pomiče se bez trenja), čija je površina A, a težina zajedno s utegom G, tako da je konstantni tlak u plinu p=G/A (pretpostavlja se da je vanjski tlak jednak nuli). Dovođenjem topline termodinamičkom sustavu mijenja se volumen plina te dolazi do pomicanja stapa s utegom prema gore, što znači da termodinamički sustav vrši mehanički rad, koji je jednak umnošku težine G i visine h pomaka stapa. Ako se težina G izrazi s pomoću tlaka plina G=pA, tada izraz za izvršeni rad termodinamičkog sustava glasi:

2

p=G/A=konst.

h

A 1

G

ogrjevni spremnik, T1 ( )12 2 1W pAh p V V= − = − − gdje su V1 i V2 volumeni plina u početnom i krajnjem

ravnotežnom stanju. Prema tome ako je Q12 toplina dovedena između početnog i krajnjeg stanja, prvi zakon termodinamike poprima oblik ( ) ( )2 1 12 2 1 2 1 12 2 1 ili U U Q p V V u u q p v v− = − − − = − − Treba ponovo naglasiti, da će termodinamički sustav pri prijelazu iz stanja 1 u stanje 2 prolaziti kroz niz ravnotežnih stanja samo ako se dovođenje topline odvija vrlo sporo. U tom se slučaju prvi zakon termodinamike može postaviti za dva vrlo bliska stanja između kojih je dovedena diferencijalno mala količina topline dq, izvršen je infinitezimalno mali rad dw=-pdv, pa je i promjena unutarnje energije du infinitezimalno mala. Time se dolazi do diferencijalnog oblika prvog zakona termodinamike, koji glasi vpqu ddd −=Treba još jednom naglasiti da gornji oblici prvog zakona termodinamike vrijede samo za ravnotežne promjene stanja. Kod brzog dovođenja topline, u plinu bi se pojavio gradijent temperature, gibanje plina i gradijent tlaka, te za stap više ne bi vrijedila mehanička ravnoteža (G=pA), jer bi se on mogao gibati ubrzano, te postići konačnu brzinu. U tom slučaju ne bi vrijedio izraz za izvršeni rad pa zbog toga ni dani izraz za prvi zakon termodinamike. Entalpija Iz diferencijalne formulacije prvog zakona termodinamike vpqu ddd −= , jasno je da za v=konst. sva dovedene toplina prelazi u unutarnju energiju, pa slijedi jednostavni izraz za specifični toplinski kapacitet cv. Za procese pri konstantnom tlaku zgodno je uvesti entalpiju h u obliku . Držeći p=konst. (dp=0) jasno je da se sva dovedena pvqh ddd +=


toplina pretvara u entalpiju, pa se dobije jednostavna definicija specifičnog toplinskog

kapaciteta pri konstantnom tlakupcpT

hTqc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

dd

dd

pp .

Veza između entalpije i unutarnje energije se dobije ako se desnoj strani izraza kojim je definirana entalpija doda i oduzme član pdv, te slijedi izraz

, a nakon integracije slijedi

( )pvpvvp

uvpqh

ddd

dddd ++−=

ili pvuh += pVUH += U gornjim relacijama entalpija je izražena samo veličinama stanja pa je ona također veličina stanja. Povratni, nepovratni procesi i entropija Ako se sustav određenim procesom dovede iz jednog u drugo ravnotežno stanje i ako bi se sustav mogao vratiti u početno ravnotežno stanje bez da u okolini ostane trajnih i zamjetljivih promjena, proces je povratan ili reverzibilan. Svi prirodni ili spontani procesi posljedica su postojanja gradijenata fizikalnih veličina u termodinamičkom sustavu i nepovratni su ili ireverzibilni. Prema tome, nužan uvjet da bi proces bio reverzibilan je da je ravnotežan. Primjer reverzibilnog procesa je polagana kompresija plina bez trenja u toplinski izoliranom cilindru, kao što je opisano u primjeru 2. Iz tog je primjera vidljivo da u adijabatskom procesu bez trenja i pri polaganoj kompresiji (koja se odvija pri mehaničkoj ravnoteži) unutarnja energija predstavlja potencijal za silu tlaka (odnosno tlak) jer se uloženi mehanički rad kompresije može putem polagane ekspanzije u potpunosti povratiti. Iz prvog zakona termodinamike za taj slučaj očito je da vrijedi:

bez izmjene topline, bez trenja i u ravnotežnom procesu

ddupv

= −

gdje se gornja derivacija odnosi na slučaj ravnotežnog procesa bez trenja i bez izmjene topline. Da ne bismo morali opisno davati uz koje uvjete vrijedi gornja jednadžba, uvodi se nova veličina stanja, entropija s, koja pod danim uvjetima ostaje konstantna. U općem slučaju unutarnja energija je funkcija dviju veličina stanja, te se gornja jednadžba piše

sv

up ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=

Uvođenjem entropije u gornjem izrazu nije još definirana njena veličina. Jedino je očito da će do promjene entropije s doći kada dođe do izmjene topline, trenja ili neravnoteže. Ako se dogovori da za slučaj dovođenja topline pri stalnom volumenu kao u primjeru 3 (gdje rastu unutarnja energija i temperatura plina) entropija s raste, tada se veličina promjene entropije s definira iz relacije

vs

uT ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=

S obzirom da je apsolutna temperatura T pozitivna veličina, svako povećanje unutarnje energije (dovođenje topline) pri konstantnom volumenu ima za posljedicu povećanje entropije, a odvođenje topline smanjenje entropije. Ako se unutarnja energija prikaže kao funkcija entropije i volumena, tada vrijedi


d dv s

T p

u uu ss v

−

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠dv , odnosno

ili vpsTu ddd −= VpSTU ddd −= usporedbom gornjeg izraza (Gibbsova relacija) s izrazom za prvi zakon termodinamike

slijedi vpqu ddd −= ili sTq dd = STQ dd = Treba naglasiti da je gornji izraz izveden pod pretpostavkom neprekidne toplinske i mehaničke ravnoteže termodinamičkog sustava što znači da je valjan samo za ravnotežne procese. Drugi zakon termodinamike (a) Ako se stanje termodinamičkog sustava mijenja od stanja 1 do stanja 2 ravnotežnim

procesom, promjena entropije definirana je integralom

∫=−2

112

dTqss ili ∫=−

2

112

dTQSS

(b) Svaki spontani proces (koji je po definiciji neravnotežan) u izoliranom zatvorenom termodinamičkom sustavu vodi povećanju entropije S. Sustav dolazi u ravnotežno stanje kada entropija S postigne svoj maksimum. Prema tome, kod neravnotežnih procesa dolazi do povećanja entropije termodinamičkog sustava i kad nema izmjene topline, te se prethodni izraz može poopćiti tako da vrijedi za bilo koji proces, tj. za promjenu entropije termodinamičkog sustava vrijedi

∫≥−2

112

dTqss ili ∫≥−

2

112

dTQSS

gdje se znak jednakosti odnosi na ravnotežne procese, a znak veće na neravnotežne, a samim tim na ireverzibilne procese. Temeljem prethodnog izraza može se definirati i produkcija entropije

0dqd2

1

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫ T

sσ ili 0dd2

1

≥∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫ T

QS

gdje se ponovo znak jednakosti odnosi na ravnotežne procese. U izoliranom termodinamičkom sustavu produkcija entropije jednaka je promjeni entropije. Ako u izoliranom termodinamičkom sustavu nema promjene entropije proces je reverzibilan, a ako postoji porast entropije proces je ireverzibilan. Treba naglasiti da u termodinamičkom sustavu koji izmjenjuje toplinu s okolinom entropija može rasti (ako mu se toplina dovodi ) ili padati (kada mu se toplina odvodi). S druge strane produkcija entropije, koja je mjera nepovratnosti termodinamičkog procesa, mora biti jednaka nuli (za ravnotežne procese) ili pozitivna veličina (za ireverzibilne procese). Termodinamički koncept i strujanje fluida Postavlja se pitanje kako gore izloženi koncept iz termodinamike koji je definiran i primjenjiv na ravnotežna stanja termodinamičkog sustava, primijeniti u strujanju fluida u kojem se tipično pojavljuju gradijenti brzine, tlaka i temperature, koje je dakle neravnotežno. Odgovor leži u principu lokalne ravnoteže u kojem se svaka čestica fluida (iz koncepta kontinuuma) smatra termodinamičkim sustavom. Budući da čestica fluida mase dm zauzima infinitezimalni volumen dV (pri čemu je dm=ρdV), sve ekstenzivne


veličine stanja unutar čestice fluida će također biti infinitezimalne: dU=ρudV, dS=ρsdV, a intenzivne i specifične veličine stanja će unutar čestice fluida biti konstantne, što prema izloženom konceptu odgovara ravnotežnim uvjetima, pa sve prije spomenute relacije vrijede i za svaku česticu fluida. Prema hipotezi kontinuuma, svaka čestica fluida zauzima samo jednu točku prostora, pa se u svakoj točki prostora definiraju veličine stanja one čestice fluida koja se u promatranom trenutku upravo nalazi u promatranoj točki prostora. Na taj će način intenzivne i specifične veličine stanja čestica fluida biti opisane poljima fizikalnih veličina koja su funkcija prostornih i vremenske koordinate. S obzirom da svaka čestica fluida ostaje cijelo vrijeme u ravnotežnom stanju, znači da toplinska jednadžba stanja vrijedi u svakoj točki prostora u svakom vremenskom trenutku. Također vrijedi i Gibbsova relacija , gdje se diferencijali specifične unutarnje energije, specifične entropije i volumena odnose na česticu fluida, koja je elementarni termodinamički sustav. Dijeljenjem gornjeg izraza s diferencijalom vremena dt dobiju se vremenske promjene specifične unutarnje energije, specifične entropije i specifičnog volumena čestice fluida, koje se izražavaju materijalnom derivacijom, te Gibbsova relacija glasi:

vpsTu ddd −=

2

D D D D DD D

u s v s pT p Tt Dt t Dt Dt

ρρ

= − = +

Slično bi se i dijeljenjem diferencijalnog oblika prvog zakona termodinamike danog izrazom (u kojem se uzima u obzir i kinetička energija fluida, a promjena potencijalne energije uzima kroz mehanički rad) s diferencijalom vremena dobilo

( )

tw

tq

tue

dd

dd

DD

+=+

što bi se moglo iskazati riječima da je brzina promjene kinetičke i unutarnje energije čestice fluida jednaka brzini dovođenja topline (dq/dt) i mehaničkog rada (dw/dt) (odnosno snazi vanjskih sila na česticu fluida). Čestica fluida je u materijalnom volumenu okružena česticama koje su različitih temperatura od promatrane čestice, te dolazi do prijelaza topline od ili prema promatranoj čestici. S druge strane čestice se dodiruju, što ima za posljedicu pojavu površinskih sila, putem kojih promatrana čestice prima ili vrši rad. U mehanici fluida će se zakon očuvanja energije primjenjivati i na materijalni volumen, koji se sastoji od velikog broja čestica fluida. Zakon očuvanja energije za materijalni volumen dobije se zbrajanjem jednadžbi očuvanja energije svih čestice fluida koje čine taj materijalni volumen. Budući da su kinetička i unutarnja energija ekstenzivne veličine brzina promjene tih energija materijalnog volumena bit će jednaka zbroju brzina promjena tih energija svih čestica fluida unutar materijalnog volumena. Zbroj brzina izmjene topline svih čestica fluida unutar materijalnog volumena, bit će jednak brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom, jer će se izmjena topline među česticama unutar materijalnog volumena međusobno poništiti. Isto vrijedi i za snagu površinskih sila. Ako dvije čestice u unutrašnjosti materijalnog volumena izmjenjuju energiju putem snage površinskih sila, onda je zbroj tih snaga jednak nuli, a u materijalnom volumenu ostaje samo snaga površinskih sila koja se izmjenjuje s okolinom na granici materijalnog volumena. Snaga masenih sila koje djeluju na materijalni volumen, jednaka je zbroju snaga koje djeluju na čestice fluida. Dakle, iskazano riječima, zakon održanja energije za materijalni volumen glasi: Brzina promjena kinetičke i unutarnje energije materijalnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen i brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom.


OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE FLUIDA

Zakon očuvanja mase (jednadžba kontinuiteta) Zakon očuvanja mase, za materijalni volumen, glasi: Brzina promjene mase materijalnog volumena jednaka je nuli. Matematički zapis ovog zakona je

0dDD

)(M

=∫tV

Vt

ρ

Diferencijal dV vremenski promjenjivog materijalnog volumena M ( )V t , koji odgovara volumenu čestice fluida, je također vremenski promjenjiv, pri čemu vrijedi (vidjeti npr. sažetak drugih predavanja)

( )D d1d D

j

j

vVV t x

∂=∂

pa je

( )M M M( ) ( ) ( )

d

D dD D Dd d d 0D D D D

j jjj

j

jV t V t V tv vV t xx

vVV V V

t t t t xρ ρ

ρ ρρ ρ ρ

∂ ∂∂ +∂ ∂∂

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∂⎜ ⎟= + = + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

U graničnom prijelazu kada se materijalni volumen smanji na česticu fluida (materijalnu

točku), gornji izraz prelazi u oblik MD d 0D

j

j

vV

t xρ ρ

⎛ ⎞∂+ =⎜ ⎟⎜ ⎟∂⎝ ⎠

, iz čega je jasno da vrijedi

D 0D

j jj

j j j

v vv

t x t x xρ ρ ρρ ρ

∂ ∂∂ ∂+ = + + =

∂ ∂ ∂ ∂.

Gornji izraz se može zapisati i u obliku ( )

0=∂

∂+

∂∂

j

j

xv

tρρ

koji se naziva konzervativnim oblikom zakona očuvanja mase (jednadžbe kontinuiteta). Za nestlačivo strujanje (stacionarno ili nestacionarno) jednadžba kontinuiteta glasi:

0=∂

∂

j

j

xv

a izražava činjenicu da nema promjene volumena čestice fluida.

Dva pomoćna pravila u izvodu osnovnih zakona dinamike fluida Bilo koje fizikalno svojstvo fluida (masa, količina gibanja, energija, …) moguće je izraziti volumenskom gustoćom Φ ili masenom gustoćom ϕ (fizikalna veličina izražena po jedinici mase je specifična vrijednost fizikalne veličine). Tako je npr. volumenska gustoća mase m jednaka =d / dm VΦ ρ= , specifična masa =d / d 1m mϕ = . Za kinetičku energiju

2 / 2mv je volumenska gustoća 2= / 2vΦ ρ , a specifična kinetička energija je 2= / 2vϕ . Veza između volumenske gustoće i specifične fizikalne veličine je ϕρΦ =


U svim zakonima dinamike fluida pojavljuje se pojam brzine promjene sadržaja fizikalnog svojstva unutar materijalnog volumena. Brzina promjene izražava se materijalnom derivacijom, a sadržaj fizikalne veličine integralom po materijalnom volumenu. Taj se sadržaj može izraziti ili s pomoću volumenske gustoće Φ ili s pomoću masene gustoće ϕ fizikalnog svojstva, u obliku

M M( ) ( )

d dV t V t

Φ V Vρϕ=∫ ∫ , pa za brzinu promjene sadržaja vrijedi

M M M( ) ( ) ( )d

D D D D Dd d d d dD D D D DV t V t m m V tm

Φ V V m m Vt t t t t

ϕ ϕϕ ρ ϕ ρ= = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

U gornjim je izrazima iskorištena činjenica da je masa m materijalnog volumena konstantna (kao i masa dm čestice fluida), pa se u tom slučaju pri uvođenju operatora materijalne derivacije, operator primjenjuje samo na podintegralnu funkciju. Dakle valja zapamtiti pravilo (nazovimo ga pravilom A)

M M( ) ( )

D Dd dD DV t V t

V Vt t

ϕρϕ ρ=∫ ∫ pravilo A

Podintegralna funkcija u gornjem izrazu nakon razvoja operatora materijalne derivacije je

DD j

j

vt t xϕ ϕ ϕρ ρ

⎛ ⎞∂ ∂= +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Ako se desnoj strani gornjeg izraza doda jednadžba kontinuiteta pomnožena s ϕ slijedi

( )

0 prema jednadžbi kontinuiteta

DD

jj

j j

vv

t t x t xρϕ ϕ ϕ ρρ ρ ρ ϕ

=

⎛ ⎞⎜ ⎟∂∂ ∂ ∂⎜ ⎟= + + +

∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

dobije se:

( ) ( )D

Dj

jj j

vv

t t x t xρ ϕρϕϕ ϕ ϕρ ρ ρ

∂∂∂ ∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂ pravilo B

Valja zapamtiti ovo jednostavno pravilo koje će poslužiti za definiranje konzervativnih oblika osnovnih zakona (treći oblik u pravilu B).

Zakon očuvanja količine gibanja (jednadžba gibanja fluida) Zakon količine gibanja za materijalni volumen glasi: Brzina promjene količine gibanja materijalnog volumena jednaka je sumi vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen. Matematički zapis, riječima iskazanog zakona količine gibanja je (pogledati i sažetak 8. predavanja iz MFI):

M M M M M( ) ( ) ( ) ( ) ( )

D d d dD

j ji

i i i i j jiV t V t S t V t S tn

v V f V dS f V n dSt

σ

ρ ρ σ ρ σ= + = +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

Primjenom pravila A na lijevu stranu gornjeg izraza i prikazom površinskih sila preko volumenskog integrala, slijedi:

M M M( ) ( ) ( )

D d d dD

jiii

jV t V t V t

v V f V Vt x

σρ ρ

∂= +

∂∫ ∫ ∫

Iz gornjeg izraza slijedi nekonzervativni diferencijalni zapis zakona količine gibanja koji glasi:


DD

jiii

j

v ft x

σρ ρ

∂= +

∂

Množenjem gornjeg izraza s volumenom čestice fluida, dobije se poznati oblik drugog Newtonovog zakona za gibanje čestice fluida, u kojem je lijeva strana jednadžbe jednaka umnošku mase čestice fluida i njena ubrzanja (materijalna derivacija brzine), a desna strana je jednaka zbroju sila koje djeluju na česticu fluida, ovdje su to masena i površinska sila. Primjenom pravila B na lijevu stranu gore dane jednadžbe količine gibanja

DD

jiii

j

v ft x

σρ ρ

∂= +

∂ slijedi konzervativni diferencijalni zapis zakona količine gibanja,

koji glasi:

( ) ( )j i jii

ij j

v vvf

t x xρ σρ

ρ∂ ∂∂

+ = +∂ ∂ ∂

, a prema pravilu B jasno je da vrijedi i

jii ij i

j j

v vv ft x x

σρ ρ ρ

∂∂ ∂+ = +

∂ ∂ ∂,

što je nekonzervativni oblik jednadžbe količine gibanja. Volumenska gustoća ukupne površinske sile na česticu fluida je matematički definirana

divergencijom tenzora naprezanja ji

jxσ∂∂

, što naravno označuje vektor. Komponente toga

vektora dobiju se razvojem izraza za 1i = , 2 i 3, npr. komponenta površinske sile u smjeru osi 1x (za 1i = ) je

1 11 21 31

1 2 3

j

jx x x xσ σ σ σ∂ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ ∂

Fizikalna interpretacija gornja tri člana slijedi iz analize površinskih sila na česticu fluida oblika elementarnog paralelopipeda sa stranicama 1dx , 2dx i 3dx , kao što prikazuje slika.

Na prikazanu česticu fluida ucrtane su samo sile u smjeru osi 1x , a na svim površinama su pretpostavljene pozitivne komponente tenzora naprezanja. Težišta površina u kojima djeluju površinske sile su označena brojevima 1 do 3 i 1' do 3'. Površine 1 do 3 imaju normale u negativnim smjerovima osi, pa na njima pozitivna naprezanja gledaju u negativnom smjeru osi 1x (vidjeti dogovor o predznacima naprezanja u sažetku 2. predavanja iz MF I).

Normale površina 1' do 3' su u pozitivnim smjerovima osi, pa pozitivna naprezanja na tim površinama gledaju u pozitivnom smjeru osi 1x . Komponente naprezanja su u općem slučaju funkcije prostornih koordinata. Ako na površini 1 (u težištu 1) vlada naprezanje

11σ , onda će u bliskoj točki 1', koja je od točke 1 pomaknuta u smjeru osi 1x , doći do

prirasta naprezanja 111

1

dxxσ∂∂

tako da je u težištu 1' naprezanje 1111 1

1

dxxσ

σ∂

+∂

. Slično vrijedi

x1

x2

x3

11σ

2121 2

2

dxxσ

σ∂

+∂

31σ 0

1 2

3

21σ

1111 1

1

dxxσ

σ∂

+∂

3131 3

3

dxxσ

σ∂

+∂

2' 1'

3'


i za priraste naprezanja 21σ i 31σ . Elementarna sila u smjeru osi 1x na površini 1 je

11 2 3d dx xσ− , a na površini 1' 1111 1 2 3

1

d d dx x xxσ

σ⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠

. Doprinos površinskoj sili u smjeru osi

1x na površini 2 je 21 1 3d dx xσ− , a na površini 2' 2121 2 1 3

2

d d dx x xxσ

σ⎛ ⎞∂ ⎟⎜ ⎟+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂⎝ ⎠

. Analogno vrijedi i

za površine 3 i 3'. Ukupna površinska sila na česticu fluida jednaka je zbroju sila na šest površina i iznosi

111 21 311 2 3

1 2 3

d d d dj

j

x x x Vx x x x

σσ σ σ⎛ ⎞ ∂∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟+ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠, pa je jasno da je 1j

jxσ∂∂

volumenska

gustoća površinske sile na česticu fluida u smjeru osi 1x .

Zakon očuvanja momenta količine gibanja Zakon momenta količine gibanja za materijalni volumen glasi: Brzina promjene momenta količine gibanja materijalnog volumena, u odnosu na odabrani pol, jednaka je sumi momenata vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen, u odnosu na taj isti odabrani pol. Ako se pretpostavi da u fluidu nema momenata (spregova sila) raspodijeljenih po površini materijalnog volumena ili unutar samog volumena, tada se zakon očuvanja momenta količine gibanja svodi na činjenicu simetričnosti tenzora naprezanja jk kjσ σ= (vidjeti sažetak 12. predavanja iz MFI). Ako se unaprijed pretpostavi simetričnost tenzora naprezanja, to znači da je jednadžba momenta količine gibanja već zadovoljena (može se tvrditi da je već iskorištena pri definiranju tenzora naprezanja), pa se tu jednadžbu više ne treba uključivati u skup osnovnih jednadžbi dinamike fluida.

Zakon očuvanja energije Zakon očuvanja energije za materijalni volumen glasi: Brzina promjene zbroja kinetičke i unutarnje energije materijalnog volumena jednaka je snazi vanjskih masenih i površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen, te brzini izmjene topline materijalnog volumena s okolinom.

Ako se sa u označi specifična unutarnja energija čestice fluida, tada je zbroj kinetičke i unutarnje energije unutar čestice fluida mase d dm Vρ= jednak

2 2

d d d2 2v vV Vu u Vρ ρ ρ

⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Energija materijalnog volumena jednaka je zbroju (integralu) energija svih čestica unutar materijalnog volumena, a brzina promjene te energije označuje se materijalnom derivacijom toga integrala, tj. vrijedi

x1

di Sσ

SM

O

x3

x2

VM

jn

if

dS

dif Vρ

dm=ρdV

jq

iv


Brzina promjene energije MV = M M M

2

( ) ( ) ( )

D D Dd d dD 2 D DV t V t V t

e

v eu V e V Vt t t

ρ ρ ρ⎛ ⎞

+ = =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫ ,

Gdje je za zbroj specifične kinetičke i unutarnje energije uvedena oznaka e , i primijenjeno pravilo A, za materijalnu derivaciju integrala po vremenski promjenjivom materijalnom volumenu. Snaga masenih sila na česticu fluida izražava se skalarnim produktom masene sile na česticu fluida fi ρ dV i njene brzine vi, a ukupna snaga masenih sila u materijalnom volumenu jednaka je zbroju, odnosno integralu tih elementarnih snaga unutar materijalnog volumena, tj. vrijedi Snaga masenih sila u materijalnom volumenu = Vvf

tVii d

)(M

∫ ρ

Vanjske površinske sile djeluju po materijalnoj površini SM(t), a definirane su vektorom naprezanja iσ , koji je jednak skalarnom umnošku jediničnog vektora normale jn na materijalnu površinu i tenzora naprezanja jiσ u točki materijalne površine i j jinσ σ= . Na svaki elementarni dio dS materijalne površine djeluje elementarna površinska sila di Sσ , a snaga te elementarne sile se dobije njenim skalarnim množenjem s vektorom brzine iv pomicanja materijalne površine (koja je jednaka brzini strujanja fluida). Ukupna snaga površinskih sila koje djeluju na materijalni volumen dobije se zbrajanjem, odnosno integriranjem tih elementarnih snaga po čitavoj materijalnoj površini, tj. vrijedi:

Snaga površinskih sila na MV = ( )

M M M( ) ( ) ( )

dji ii i j ji i

jS t S t V t

vv dS n v dS V

xσ

σ σ∂

= =∂∫ ∫ ∫ ,

gdje je iskorištena Gaussove formula da se ukupna snaga površinskih sila na materijalni

volumen, prikaže volumenskim integralom. Tako bi član ( )ji i

j

vxσ∂

∂ imao fizikalno značenje

volumenske gustoće snage površinskih sila na česticu fluida. Treći uzrok promjeni energije materijalnog volumena je izmjena topline kroz materijalnu površinu. Ako se sa iq označi vektor površinske gustoće toplinskog toka (jedinica u SI sustavu mjera je 2W/m ), onda je toplinski tok (izmijenjena toplina u jedinici vremena) kroz elementarni dio materijalne površine razmjeran normalnoj komponenti tog vektora (vektor iq skalarno pomnožen s jediničnim vektorom in vanjske normale na materijalnu površinu) i elementarnoj površini dS . Ukupna snaga toplinskog toka jednaka je integralu tih elementarnih tokova kroz cijelu materijalnu površinu:

Toplinski toka kroz materijalnu površinu = M M( ) ( )

dii i

iS t V t

qq n dS Vx∂

− = −∂∫ ∫

Toplinski tok se uzima s negativnim predznakom jer pozitivna normalna komponenta vektora površinske gustoće toplinskog toka i iq n označuje odvođenje topline iz materijalnog volumena što znači smanjenje ukupne energije materijalnog volumena. Jasno je da se površinski integral može primjenom Gaussove formule prevesti na volumenski

integral, u kojem divergencija vektora površinske gustoće toplinskog toka i

i

qx∂∂

označuje

volumensku gustoću brzine izmjene topline čestice fluida s okolinom. Matematički zapis riječima iskazanog zakona očuvanja energije je dakle


( )

M M M M( ) ( ) ( ) ( )

D d d d dD

ji i ii i

j iV t V t V t V t

ve qV f v V V Vt x x

σρ ρ

∂ ∂= + −

∂ ∂∫ ∫ ∫ ∫

Sažimanjem materijalnog volumena na česticu fluida i dijeljenjem gornjeg izraza s volumenom čestice fluida dobije se diferencijalni oblik zakon očuvanja energije

( )D

Dji i i

i ij i

ve qf vt x x

σρ ρ

∂ ∂= + −

∂ ∂

Primjenom pravila B na lijevu stranu gornjeg izraza dobije se

( )ji i i

j i ij j i

ve e qv f vt x x x

σρ ρ ρ

∂∂ ∂ ∂+ = + −

∂ ∂ ∂ ∂ i

( ) ( ) ( )j ji i i

i ij j i

v e ve qf vt x x x

ρ σρρ

∂ ∂∂ ∂+ = + −

∂ ∂ ∂ ∂

gdje je ovaj posljednji oblik konzervativni zapis zakona očuvanja energije. U gornjoj jednadžbi drugi član desne strane označuje volumensku gustoću snage površinskih sila, a može se deriviranjem produkta razložiti na dva dijela:

( )

naprezanje tenzorna površini brzinerezultirajuća čestice deformacijepovršinska

silasnaga

ubrzava česticufluida mijenjakinetičku energiju

ji ji

ji i ji jiii ji i ji ji

j j j j

D V

v vv v Dx x x xσ σ σ

σ σ

+

⇒

∂ ∂ ∂∂= + = +

∂ ∂ ∂ ∂

površinskih silakoja se troši na deformaciju česticefluida mijenjaunutarnju energiju

⇒

Iz diferencijalnog oblika jednadžbe količine gibanja je poznato da divergencija tenzorskog polja naprezanja /ji jxσ∂ ∂ označuje rezultantnu površinsku silu na česticu fluida izraženo po jedinici volumena, te će umnožak tog člana s brzinom čestice fluida označavati volumensku gustoću snage površinske sile kojom se mijenja kinetičku energiju čestice fluida, sukladno zakonu kinetičke energije u mehanici. U drugom članu gornje jednadžbe se pojavljuje tenzor gradijenta brzine /i jv x∂ ∂ , koji se, kao što je poznato iz kinematike, može prikazati zbrojem tenzora brzine deformacije i tenzora vrtložnosti. Tenzor vrtložnosti je antisimetričan tenzor, te je njegov dvostruki skalarni produkt sa simetričnim tenzorom naprezanja jednak nuli, tako da je drugi član produkt tenzora naprezanja (površinske sile) i tenzora brzine deformacije, iz čega se zaključuje da on označuje dio snage površinskih sila kojom se deformira čestica fluida, a snaga te deformacije se pretvara u unutarnju energiju, kao što je poznato iz termodinamike.

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike spada u skup osnovnih zakona, a ukazuje na jednosmjernost odvijanja realnih termodinamičkih procesa. Ovaj je zakon izražen činjenicom da entropija izoliranog sustava mora rasti ili u najboljem slučaju ostati ista, odnosno da produkcija entropije u otvorenom termodinamičkom sustavu mora biti pozitivna ili jednaka nuli. Glavna primjena ovog zakona u dinamici fluida je za ocjenu valjanosti (fizikalnosti) dobivenih rješenja strujanja fluida. Ukoliko postoji više rješenja nekog problema strujanja,


uzima se ono koje je u skladu s drugim zakonom termodinamike. Brzina promjene entropije čestice fluida definirana je Gibbsovom jednadžbom danom u prethodnom predavanju, a koja glasi

t

pDt

sTtu

DD1D

DD ρ

ρρρ +=

Primjenom jednadžbe kontinuiteta 1 DD

j

j

vt xρ

ρ∂

= −∂

na zadnji član desne strane gornjeg

izraza, slijedi:

j

j

xv

ptu

DtsT

∂

∂+=

DDD ρρ

S obzirom da se entropija ne pojavljuje u ostalim osnovnim zakonima dinamike fluida, gornja se jednadžba može rješavati nezavisno od ostalih jednadžbi, pa se ona naziva i “pasivnom” jednadžbom, što znači da se drugi zakon termodinamike primjenjuje neovisno od prethodnih zakona. U tom smislu ga se neće uzimati u skup osnovnih jednadžbi, nego će ga se primjenjivati po potrebi (ukoliko postoji potreba za ispitivanjem fizikalnosti rješenja).

Skup jednadžbi osnovnih zakona dinamike fluida U skup osnovnih zakona dinamike fluida spadaju opisani zakoni: očuvanja mase, količine gibanja, momenta količine gibanja, očuvanja energije i drugi zakon termodinamike. Dani matematički zapisi navedenih zakona vrijede uz pretpostavku hipoteze kontinuuma, homogenog, jednofaznog i kemijski inertnog fluida u kojem nema površinskih i masenih momenata. Kao što je rečeno, za taj se slučaj zakon momenta količine gibanja svodi na činjenicu simetričnosti tenzora naprezanja, te, ako se ta simetričnost unaprijed pretpostavi, jednadžbu momenta količine gibanja se ispušta iz skupa osnovnih diferencijalnih jednadžbi, jer ne nosi nikakvu novu informaciju u odnosu na jednadžbu količine gibanja. Drugi zakon termodinamike, je kao što je rečeno pasivna jednadžba, te se ni ona ne mora uključiti u osnovni skup jednadžbi, te od skupa osnovnih zakona koji opisuju strujanje fluida ostaju: -zakon očuvanja mase (jednadžba kontinuiteta)

( )j

j

vt x

ρρ ∂∂= −

∂ ∂

-zakon količine gibanja (jednadžba količine gibanja)

( ) ( )j i jiii

j j

v vvf

t x xρ σρ

ρ∂ ∂∂

= − + +∂ ∂ ∂

-zakon očuvanja energije (energijska jednadžba)

( ) ( ) ( )j ji i ii i

j j i

v e ve qf vt x x x

ρ σρρ

∂ ∂∂ ∂= − + + −

∂ ∂ ∂ ∂

Jednadžba količine gibanja je vektorska jednadžba (koja se može razložiti na tri skalarne jednadžbe), a jednadžba kontinuiteta i energijska jednadžba su skalarne jednadžbe, tako da sustav jednadžbi označuju sustav pet skalarnih jednadžbi. U tim jednadžbama poznata je gustoća masenih sila if , a nepoznata polja su: polje gustoće ρ , tri komponente vektorskog


polja brzine iv , šest komponenti simetričnog tenzora naprezanja jiσ , energije e i tri komponente vektora površinske gustoće snage toplinskog toka iq , što čini 14 nepoznatih polja. Očit je nesklad u broju jednadžbi i broju nepoznatih polja, te navedeni sustav ne može jednoznačno opisati strujanje fluida. Univerzalni zakoni fizike koji vrijede za sve fluide bez obzira na njihovu vrstu i stanje nisu u stanju jednoznačno opisati strujanje fluida, te je u cilju usklađivanja broja jednadžbi i broja nepoznatih polja nužno uvesti dopunske pretpostavke o reološkim i termodinamičkim svojstvima fluida. Te dopunske relacije nemaju univerzalni karakter, te će tako zatvoreni sustav jednadžbi biti valjan samo za određenu kategoriju fluida.


KONSTITUTIVNE (DOPUNSKE) JEDNADŽBE Odnosi za savršeni plin Za toplinsko i kalorički savršeni plin vrijedi toplinska jednadžba stanja:

RTp=

ρ

i kalorička jednadžba stanja: vu c T= pri čemu su specifični toplinski kapaciteti pri konstantnom tlaku i konstantnom volumenu konstantni, pa je i njihov odnos konstantan ( pc =konst., vc =konst., /p vc cκ = =konst.). Fourierov zakon toplinske vodljivosti Fourierov zakon toplinske vodljivosti uspostavlja linearnu vezu između vektora površinske gustoće toplinskog toka i gradijenta temperature, koja uz pretpostavku izotropnosti fluida, poprima oblik:

i

i xTq

∂∂

−= λ

U gornjem izrazu je λ toplinska provodnost fluida ([ ] ( )SIW/ m Kλ = ⋅ ), pozitivna je

veličina i funkcija je lokalnog termodinamičkog stanja. Predznak minus na desnoj stani izraza označuje da će toplina spontano prelaziti uvijek s mjesta više temperature prema mjestu s nižom temperaturom, dakle u smjeru suprotnom gradijentu temperature, što znači da su vektori toplinskog toka i gradijenta temperature suprotno usmjereni kolinearni vektori. Newtonov zakon viskoznosti Newtonov zakon viskoznosti uspostavlja linearnu vezu između simetričnog tenzora naprezanja i tenzora brzine deformacije (simetričnog dijela gradijenta brzine). Polazeći od činjenice da u mirujućem plinu vlada termodinamički tlak p, a da su tangencijalna naprezanja jednaka nuli, tenzor naprezanja se može prikazati u obliku:

ji ji jip Σσ δ= − +

gdje je δji jedinični tenzor, a Σji simetrični tenzor viskoznih naprezanja, koji se uz pretpostavku izotropnosti fluida, modelira izrazom:

2 2δ 2 δ3 3

j i kji V ji ji V kk ji

i j k

v v v D Dx x x

Σ μ μ μ μ μ μ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

U gornjem izrazu je μ dinamička viskoznost, Vμ volumenska viskoznost, a Dji tenzor brzine deformacije. Kontrakcijom indeksa u gornjem izrazu i njegovim dijeljenjem s tri, slijedi:


V

1 D(d )d D

13

kjj

k

VV t

vpx

σ μ ∂= − +

∂

Lijeva strana gornjeg izraza je srednje mehaničko naprezanje, čija se negativna vrijednost naziva i mehaničkim tlakom, a koji se razlikuje od termodinamičkog tlaka za član koji je razmjeran volumenskoj viskoznosti i relativnoj brzini promjene volumena čestice fluida. Utjecaj volumenske viskoznosti je značajan u strujanjima sa značajnim gradijentima gustoće fluida, kao što su eksplozije i udarni valovi. Volumenska viskoznost jednoatomnih plinova jednaka je nuli, a u strujanjima gdje je brzina promjene volumena čestica fluida (odnosno gustoće fluida) mala koeficijent volumenske viskoznosti se može zanemariti. U tom slučaju izraz za tenzor viskoznih naprezanja prelazi u:

jikkjijik

k

j

i

i

jji DD

xv

xv

xv

δ322δ

32 μμμμΣ −=

∂∂

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂

∂=

U nestlačivom strujanju je divergencija polja brzine identički jednaka nuli te su viskozna naprezanja opisana sljedećim izrazom:

2j iji ji

i j

v v Dx x

Σ μ μ⎛ ⎞∂ ∂

= + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Viskoznosti μ i Vμ su pozitivne veličine, a funkcije su lokalnog termodinamičkog stanja fluida.

OSNOVNE JEDNADŽBE DINAMIKE NEWTONSKOG SAVRŠENOG PLINA

Treba naglasiti da osnovni zakoni klasične fizike vrijede za sve fluide, a pojedini matematički modeli strujanja fluida razlikuju se jedino po dopunskim ili konstitutivnim relacijama, koje opisuju specifično ponašanje pojedinih fluida. Uvrštavanjem konstitutivnih relacija u jednadžbe osnovnih zakona dobiva se matematički model u kojem je broj nepoznatih polja usklađen s brojem jednadžbi, a koji vrijedi samo za fluide koji se ponašaju sukladno uvedenim konstitutivnim relacijama. Tako su osnovne jednadžbe dinamike newtonskog savršenog plina:

- jednadžba kontinuiteta

( )j

j

vt x

ρρ ∂∂= −

∂ ∂

- jednadžba količine gibanja ( ) ( )j i jii

ij i j

v v Σv pft x x x

ρρρ

∂ ∂∂ ∂= − + − +

∂ ∂ ∂ ∂, gdje je

2 2δ 2 δ3 3

j i kji V ji ji V kk ji

i j k

v v v D Dx x x

Σ μ μ μ μ μ μ⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠


- energijska jednadžba ( ) ( )2 2

2 2ji ii

j i ij i j i i

Σ vpvv v Tu v u f vt x x x x x

ρ ρ ρ λ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

+ = − + + − + +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

- toplinska jednadžba stanja RTp ρ=

- kalorička jednadžba stanja Tcu V=

Navedeni sustav jednadžbi je sustav sedam jednadžbi u kojima se pojavljuje sedam nepoznatih polja ( , , , i jv p u Tρ ). Uz zadane početne i rubne uvjete, ovaj sustav jednoznačno opisuje problem strujanja newtonskog savršenog plina. Naravno, zbog nelinearnosti (npr. konvekcijski član u jednadžbi količine gibanja - prvi član desne strane) uglavnom se neće moći naći analitičko rješenje postavljenog sustava, nego će za njegovo rješavanje trebati primijeniti numeričke metode. Pojavom računala, došlo je do razvoja računalne dinamike fluida (Computational Fluid Dynamics- CFD), grane unutar mehanike fluida, koja obuhvaća metode numeričkog rješavanja gornjeg sustava jednadžbi.

MATEMATIČKI MODEL NESTLAČIVOG STRUJANJA Posebnu klasu strujanja čine nestlačiva strujanja, u kojima gustoća fluida tijekom strujanja ostaje konstantna. To se uglavnom odnosi na strujanje kapljevina, iako u strujanjima s velikim gradijentima tlaka (npr. podvodna eksplozija) može doći do razlike u gustoći kapljevina (jer su i kapljevine stlačive) tako da bi strujanje trebali promatrati kao stlačivo. S druge strane i strujanje plinova (koji su izričito stlačivi) pri malim brzinama strujanja u odnosu na brzinu zvuka, možemo smatrati nestlačivim. Tako npr. strujanje zraka u ventilacijskom kanalu brzinom do desetak metara u sekundi, uzrokuje vrlo mali pad tlaka (svega nekoliko paskala) po jedinici duljine kanala. Ako se uzme da je tlak zraka reda veličine atmosferskog tlaka (dakle reda veličine 100000 Pa), a strujanje približno izotermičko, onda je iz jednadžbe stanja jasno da zbog pada tlaka neće doći do značajne promjene gustoće zraka, pa se takvo strujanje također opisuje modelom nestlačivog strujanja. U nestlačivom strujanju se dakle toplinska jednadžba stanja RTp ρ= zamjenjuje s konst.ρ = , čime se gubi zavisnost gustoće od temperature (odnosno unutarnje energije) fluida. Ako se može zanemariti promjena viskoznosti fluida o temperaturi, tada jednadžba kontinuiteta i jednadžba količine gibanja postaju posve nezavisne od temperature. U tom se slučaju rješavanjem tih dviju jednadžbi dolazi do polja tlaka i brzine, a nakon toga se rješava energijska jednadžba (koja, osim kalorijske jednadžbe stanja ostaje jedina jednadžba u kojoj se pojavljuje temperatura) čime se dolazi do polja temperature (odnosno specifične unutarnje energije). Ako nas polje temperature ne zanima energijsku jednadžbu ne moramo niti rješavati. Jednadžbe koje opisuju nestlačivo strujanje uz μ =konst. su:

- jednadžba kontinuiteta

0j

j

vx∂

=∂

ili 1 2 3

1 2 3

0v v vx x x∂ ∂ ∂

+ + =∂ ∂ ∂


- jednadžba količine gibanja ( ) ( ) 2

j ii ii

j i j j

v vv p vft x x x x

ρρρ μ

∂∂ ∂ ∂= − + − +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Energijsku jednadžbu za slučaj nestlačivog strujanja ćemo kasnije definirati. Početni i rubni uvjeti Dani sustav jednadžbi opisuje nestlačivo strujanje bilo kojeg newtonskog fluida, u bilo kakvom geometrijskom području. Kad bi znali analitički integrirati ove jednadžbe, dobili bismo njihovo opće analitičko rješenje u kojem bi se pojavile određene funkcije integracije, koje bi činile opće rješenje neodređenim, sve dok se ne zada područje u kojem se neko strujanje analizira, uvjeti koji vladaju u tom području u početnom trenutku integracije (početni uvjeti), kao i uvjeti koji vladaju na rubu tog područja tijekom vremena integracije (rubni uvjeti). Ako nas zanima samo stacionarno rješenje (rješenje koje se dobije kad iščeznu sve vremenske promjene), početne uvjete nije potrebno zadavati. Tipični rubni uvjeti za brzinu

1) Rubni uvjet na nepropusnoj stijenci. Viskozni fluid se lijepi na stijenku, tako da je brzina fluida na stijenci jednaka brzini stijenke (nema relativne brzine između fluida i stijenke, kao što je to bio slučaj u potencijalnom strujanju). Jasno je da je na mirujućoj stijenci brzina fluida jednaka nuli. 2) Rubni uvjet na granici dvaju fluida. Ako se dva fluida (različitih gustoća i viskoznosti) koja se ne miješaju, gibaju laminarno svaki u svom sloju, pri čemu se slojevi dodiruju, tada se dodirna površina ponaša kao nepropusna stijenka, na kojoj nema relativne brzine između dva sloja. Po principu akcije i reakcije slojevi djeluju jedan na drugoga istom silom po veličini suprotnom po predznaku, što znači da su površinske sile na dodirnoj granici neprekidne. 3) Rubni uvjet na slobodnoj površini. Slobodna površina je u principu razdjelna površina dvaju fluida, od kojih jedan ima puno manju gustoću i viskoznost od drugoga (primjer strujanje vode u kanalu – gustoća i viskoznost zraka su za tri reda veličine manji od gustoće i viskoznosti vode). U tom se slučaju viskozne sile u fluidu s malom viskoznošću (u spomenutom primjeru u zraku) mogu zanemariti, pa rubni uvjet na slobodnoj površini prelazi u uvjet nultog smičnog naprezanja. U takvoj se situaciji promatra strujanje samo u fluidu veće gustoće ( u spomenutom primjeru u vodi).

ALTERNATIVNI OBLICI ENERGIJSKE JEDNADŽBE Potencijalna energija Kao što je poznato iz mehanike, rad (snagu) potencijalne masene sile se može prikazati promjenom (brzinom promjene) potencijalne energije. Ako se sa eP označi masena gustoća potencijala specifične masene sile (npr. potencijalna energija za silu težine (gravitacije) je

P 3E mgz mgx= = , a specifični potencijal je P P 3/e E m gz gx= = = ), pri čemu taj potencijal nije vremenski promjenjiv, tada se specifična masena sila može prikazati gradijentom tog potencijala:


Pi

i

efx

∂= −

∂ na primjer za silu gravitacije: ( ) ( )3

3 0,0,i ii

gxf g g

xδ

∂= − = − = −

∂

Uzimajući u obzir gornju definiciju, član koji označuje snagu masenih sila u energijskoj jednadžbi, može se pisati u obliku:

( ) ( )PP P

prema JK

ii i i i

i i i

t

vef v v v e ex x x

ρ

ρρ ρ ρ

∂=−

∂

∂∂ ∂= − = − +

∂ ∂ ∂

Ako se u zadnjem članu gornje jednadžbe primijeni jednadžba kontinuiteta kao što je naznačeno, te uzme u obzir da Pe nije funkcija vremena, slijedi:

( ) ( )P P PD

Di

i ii

e v e ef vt x tρ ρ

ρ ρ⎡ ⎤∂ ∂

= − + = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

U gornjem izrazu je iskorišteno pravilo B (vidjeti prethodna predavanja) za prijelaz s konzervativnog na nekonzervativni zapis. Riječima iskazan, gornji izraz glasi: Snaga vanjske potencijalne masene sile koja djeluje na česticu fluida jednaka je negativnoj brzini promjene potencijalne energije čestice fluida. Dakle pozitivna snaga masene sile tj. gibanje čestice fluid u smjeru masene sile (npr. gibanje čestice prema dolje u polju gravitacije) označuje smanjenje potencijalne energije, i obrnuto kada je skalarni umnožak i if v

negativan, to označuje povećanje potencijalne energije čestice fluida. Uvrštavanjem gornjeg izraza za snagu masenih sila u energijsku jednadžbu, ona prelazi u oblik:

( ) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂∂

+∂

∂+

∂∂

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

∂∂

iij

iji

i

ij

j xT

xxvΣ

xpv

euvvx

euvt

λρρ P

2

P

2

22

u kojem se pojavljuje zbroj kinetičke, unutarnje i potencijalne energije. Jednadžba kinetičke i unutarnje energije U prethodnom obliku energijske jednadžbe smo vidjeli da pri strujanju fluida u polju potencijalne sile pod ukupnom energijom možemo promatrati zbroj triju oblika energije, što je zgodno u integralnom pristupu rješavanja problema. U diferencijalnom pristupu ćemo uvijek težiti najjednostavnijem obliku energijske jednadžbe. Kao što smo vidjeli iz modela nestlačivog strujanja, polje brzine i tlaka su određeni jednadžbom kontinuiteta i jednadžbom količine gibanja, a kada je poznato polje brzine uvijek možemo odrediti kinetičku energiju fluida. Stoga se samo od sebe nameće kao ideja da se iz energijske jednadžbe eliminira kinetičku energiju fluida. To se može učiniti na način da se od energijske jednadžbe oduzme jednadžba kinetičke energije. Kao što je poznato iz mehanike jednadžba kinetičke energije se dobije skalarnim množenjem jednadžbe količine gibanja s brzinom. Primijenjeno na nekonzervativni oblik jednadžbe količine gibanja u diferencijalnom obliku dobije se

2DD 2

DD

jiii i i i i

i j

vt

Σv pv f v v vt x x

ρ ρ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∂∂= − +

∂ ∂


Podsjetimo se fizikalnog značenja članova s površinskim silama. Član / ip x∂ ∂ označuje rezultantnu silu tlaka na česticu fluida, a njen skalarni umnožak s vektorom brzine označuje snagu tlačnih sila kojom se mijenja kinetička energija fluida. Ako je polje tlaka konstantno, onda je i rezultantna sila tlaka na česticu fluida jednaka nuli (sjetimo se statike fluida u MFI – sila konstantnog tlaka na zatvorenu površinu jednaka je nuli) pa je doprinos toga člana kinetičkoj energiji fluida jednak nuli. Zadnji član gornje jednadžbe je skalarni umnožak rezultantne viskozne sile na česticu fluida s brzinom čestice, tj. označuje doprinos viskoznih sila promjeni kinetičke energije čestice fluida. Ako se u nekonzervativnom zapisu energijske jednadžbe deriviraju članovi koji označuju površinske sile dobije se

2

2DD

i iji

i j i

jii i i i

ii j

v v Tu pΣv pf v v v

x xx xtΣ

x xρ λρ

⎛ ⎞+ = − − + + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎝

∂∂ ⎠

∂

pri čemu su plavom bojom označeni članovi koji se pojavljuju u jednadžbi kinetičke energije. Oduzimanjem jednadžbe kinetičke energije od jednadžbe ukupne energije (energijske jednadžbe) dobije se jednadžba unutarnje energije (članovi označeni crvenom bojom u gornjoj jednadžbi), koja glasi

i iji

i j i i

Du v v Tp ΣDt x x x x

ρ λ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠,

koja u konzervativnom obliku (dobije se primjenom pravila B iz prethodnih predavanja) glasi:

( ) ( )

( ) vD d 0d D

j i iji

j i j i i

VpV t

v uu v v Tp Σt x x x x x

Φ

ρρλ

≥

∂∂ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂= − − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Iz termodinamike je poznato da je izraz za mehanički rad u ravnotežnom procesu jednak

dp V− , te bi snaga bila d / dp V t− , a volumenska gustoća te snage dd

p VV t

− . U mehanici

fluida se sukladno principu lokalne ravnoteže za termodinamički sustav uzima čestica fluida ( dV V→ ), a vremensku promjenu koja se odnosi na česticu fluida (materijalnu derivaciju) se označuje s D / Dt , pa je jasno da član /i ip v x− ∂ ∂ u jednadžbi unutarnje energije označuje volumensku gustoću snage sile tlaka koja doprinosi promjeni unutarnje energije. Pri ekspanziji se volumen čestice fluida povećava ( d 0V > ), a njena se unutarnja energija smanjuje, što znači da čestica vrši rad prema svojoj okolini. Pri kompresiji je d 0V < (volumen čestice fluida se smanjuje) pa se unutarnja energija čestice fluida povećava, što znači da se čestici dovodi rad iz njene okoline. Iz rečenog je jasno da se putem tlačnih sila mehanička energija može pretvarati u unutarnju i obrnuto. Član vΦ u jednadžbi unutarnje energije označuje volumensku gustoću snage viskoznih sila koja doprinosi promjeni unutarnje energije. Ako se gradijent brzine /i jv x∂ ∂ prikaže zbrojem simetričnog tenzora brzine deformacije jiD i antisimetričnog tenzora vrtložnosti

jiV , uzimajući u obzir da je dvostruki skalarni produkt simetričnog i antisimetričnog tenzora jednak nuli, može se pisati:

v ( )iji ji ji ji ji ji

j

vΣ Σ D V Σ Dx

Φ ∂= = + =

∂


Ako se u gornji izraz za viskozna naprezanja uvrsti Newtonov zakon viskoznosti, gornji izraz za volumensku gustoću snage viskoznih sila, nakon razvoja po nijemim indeksima, prelazi u oblik:

( ) ( ) ( )2 2 2v 11 22 22 33 33 11

23ji jiΣ D D D D D D DΦ μ ⎡ ⎤= = − + − + − +⎣ ⎦

( ) ( )2332211

223

213

2124 DDDDDD V ++++++ μμ

S obzirom da su koeficijenti viskoznosti pozitivne veličine, iz gornjeg je izraza jasno da je snaga viskoznih sila uvijek pozitivna veličina, što fizikalno znači da će se unutarnja energija čestice fluida zbog djelovanja viskoznih sila uvijek povećavati. Ako se gleda ukupna energija izoliranog sustava, onda je jasno da to povećanje može ići jedino na račun mehaničke energije. Viskozna pretvorba mehaničke u unutarnju energiju traje sve dok postoji gradijent brzine. U nestlačivom strujanju je divergencija brzine jednaka nuli, odnosno nema promjene volumena čestice fluida, te nema promjene unutarnje energije čestice fluida putem sile tlaka, pa jednadžba unutarnje energije prelazi u oblik

( ) ( )v

j

j i i

v uu Tt x x x

ρρΦ λ

∂∂ ⎛ ⎞∂ ∂= − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

, gdje je

v 2ji ji ji jiΣ D D DΦ μ= = Za slučaj nestlačivog strujanja jedini mehanizam izmjene unutarnje i mehaničke energije je putem viskoznih sila, a ta je izmjena kako je rečeno uvijek jednosmjerna, tj. uslijed viskoznih sila mehanička se energija pretvara u unutarnju, a nikad obrnuto. Takav proces je dakle nepovratan, te će prema drugom zakonu termodinamike izazivati porast entropije. S obzirom da se u nestlačivom strujanju unutarnja energija ne može pretvoriti u mehaničku, ona nema značenja sa stajališta strujanja. Stoga se u analizi nestlačivog strujanja razmatra samo mehanička energija, a brzina pretvorbe mehaničke energije u unutarnju se naziva gubicima mehaničke energije (vidjeti hidraulički proračun cjevovoda u MFI). Primjenom kaloričke jednadžbe stanja jednadžba unutarnje energije se može prevesti u temperaturnu jednadžbu, koja je za savršeni plin oblika:

v

V jiDD

i i

i j i i

T v v Tc p Σt x x x x

Φ

ρ λ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= − + + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

Za nestlačivo strujanje temperaturna jednadžbe prelazi u oblik

( ) ( )

V vDD

j VV

j i i

v c Tc TT Tct t x x x

ρρρ Φ λ

∂∂ ⎛ ⎞∂ ∂= + = + ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

U krutim tijelima, gdje nema deformacije čestica zbog 0iv ≡ , temperaturna jednadžba se svodi na poznatu jednadžbu provođenja topline, koja glasi:

1 1 2 2 3 3i i

T T T T Tct x x x x x x x x

ρ λ λ λ λ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Naravno, u izvodu prethodne jednadžbe nije uzeta u obzir mogućnost postojanja toplinskih izvora raspodijeljenih po volumenu fluida. Za slučaj konstantne toplinske provodnosti, jednadžba se može pisati u obliku

2

i ia

T Tt c x x

λρ

∂ ∂=

∂ ∂ ∂

gdje je a temperaturna provodnost. Za slučaj stacionarnog provođenja topline dobije se polje temperature koje je opisano Laplaceovom jednadžbom.

2

0i i

Tx x∂

=∂ ∂

Dakle stacionarno provođenje topline i potencijalno strujanje su analogne pojave, pri čemu temperatura odgovara potencijalu brzine, a vektor toplinskog toka podijeljen s toplinskom provodnošću odgovara vektoru brzine. Drugi zakon termodinamike i produkcija entropije Promjena entropije čestice fluida, kao elementarnog termodinamičkog sustava, definirana je izrazom

D DD D

j

j

vs uT pt t x

ρ ρ∂

= +∂

Ako se u gornji izraz uvrsti jednadžba unutarnje energije on prelazi u oblik:

vD 1D

i

i i

q

s Tt T T x x

Φρ λ

−

⎛ ⎞⎜ ⎟∂ ∂⎜ ⎟= +

∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

Jednadžba ukazuje da do promjene entropije čestice fluida dolazi zbog djelovanja viskoznih sila (prvi član desne strane jednadžbe) na česticu fluida, te zbog izmjene topline (drugi član desne strane) čestice fluida s okolinom. Kao što je pokazano vΦ je uvijek pozitivan, što znači da će uvijek izazvati porast entropije, što se za jedan spontani proces i očekuje. Izmjena topline čestice fluida također mijenja njenu entropiju, pri hlađenju čestice, entropija joj opada, a pri grijanju raste. Za ocjenu ima li u promatranom sustavu uzroka nepovratnosti procesa poslužit će produkcija entropije (vidjeti koncept iz termodinamike u 3. predavanjima), a za brzinu produkcije entropije vrijedi

0DD

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=Tq

xts i

iρσ

Uvrštavanjem izraza za promjenu entropije čestice fluida u gornji izraz, slijedi:

2

v2

i

TT T xΦ λσ

⎛ ⎞∂= + ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

Iz gornjeg izraza je očito da će brzina produkcije entropije uvijek biti pozitivna veličina, a jednaka je nuli samo za neviskozno ( 0vμ μ= = ) i adijabatsko (λ=0) strujanje. Pod tim uvjetima strujanje će biti izentropsko i povratno.


TTEEOORRIIJJAA SSLLIIČČNNOOSSTTII Mehanika fluida je teorijsko-eksperimentalna znanost, unutar koje se dugi niz godina do praktičnih rezultata dolazilo eksperimentalnim putem. Mjerenja (eksperimenti) se općenito mogu vršiti u originalnoj pojavi (prototipu) ili u modelskoj pojavi (modelu). Dimenzijska analiza, polazeći od pretpostavljenog skupa utjecajnih veličina, daje podloge za organizaciju eksperimenta u smislu minimiziranja potrebnog broja mjerenja i olakšavanja prikaza dobivenih rezultata. Teorija sličnosti, polazeći od sustava jednadžbi koji opisuje promatranu pojavu, daje podlogu za modelska istraživanja (kriterije koje treba zadovoljiti da bi se rezultati s modelske pojave mogli preslikati na prototipnu pojavu) kako u mehanici fluida, tako i u svim ostalim granama fizike i tehnike. Razlog za modelska istraživanja može biti neki od sljedećih

1. Skupa izrada prototipa (npr. u brodogradnji i avioindustriji se izrađuju modeli broda i aviona koji se ispituju u bazenu, odnosno zračnom tunelu)

2. Visoke temperature u prototipnoj pojavi (pribjegava se modelu u kojem će temperature biti niže).

3. U prototipnoj pojavi je eksplozivni ili otrovni plin (u modelskoj pojavi se uzima neeksplozivni, neotrovni plin)

4. Prototipna pojava se odvija prebrzo sa stajališta mjernih instrumenata (pojava se modelira da traje dugo u vremenu)

5. itd. … Modelska istraživanja1 imaju smisla samo ako se iz rezultata dobivenih na modelu mogu točno predvidjeti rezultati na prototipu, tj. pojave moraju biti slične2.

Definicija sličnosti dvaju pojava: Za dvije fizikalne pojave kaže se da su slične ako su opisane istim fizikalnim zakonima i ako se veličine u jednoj fizikalnoj pojavi (npr. na prototipnoj) mogu odrediti iz veličina druge fizikalne pojave (npr. modelske) jednostavnim množenjem konstantom koja se naziva koeficijentom sličnosti. Ako ϕ označava neku od fizikalnih veličina prve pojave (npr. prototipne), a ϕ′ istovjetnu fizikalnu veličinu u drugoj pojavi (npr. modelskoj), tada prema definiciji sličnosti vrijedi:

Cϕϕ ϕ′= (1)

1 Teorija sličnosti također daje podlogu i za primjenu metode analogije. Za dvije pojave iz različitih grana fizike se kaže da su analogne ako su opisane istim oblikom jednadžbe. Tako je npr. potencijalno strujanje fluida opisano Laplaceovom jednadžbom 2 2/ 0ixϕ∂ ∂ = , a polje temperature u krutini s konstantnom toplinskom provodnošću λ , također Laplaceovom jednadžbom 2 2/ 0iT x∂ ∂ = . Očito postoji analogija između potencijala brzine i temperature, te brzine strujanja fluida /i iv xϕ= ∂ ∂ i vektora toplinskog toka / /i iq T xλ− = ∂ ∂ . Tako za svako rješenje Laplaceove jednadžbe za polje temperature postoji analogno rješenje potencijalnog strujanja fluida. 2 Pojavom računala dolazi do naglog razvoja računalne dinamika fluida (engl. Computational Fluid Dynamics – CFD), u kojoj se do rezultata dolazi numeričkim rješavanjem teorijskih jednadžbi koje opisuju strujanje fluida. Ovdje izložena teorija sličnosti valjana je (može se primijeniti) i za preslikavanje rezultata proračuna s jedne na drugu sličnu situaciju.


gdje je ϕC koeficijent sličnosti za veličinu ϕ .

a) Prototipna pojava b) Modelska pojava Ako su ϕ i ϕ′ vektorske veličine (npr. vektori v i v′ , prema slici) tada će ti vektori u promatrane dvije pojave biti međusobno paralelni, a mogu se razlikovati samo po veličini, tj vrijedi i v iv C v′= , gdje je konstanta vC koeficijent sličnosti za vektorsku veličinu v . Svakoj vremensko prostornoj točki M u prototipnoj pojavi odgovara analogna vremensko prostorna točka M′ u modelskoj pojavi. Prostorne koordinate se preslikavaju s pomoću koeficijenta sličnosti za duljinu (koji se obično označuje s LC ): i L ix C x′= , a vrijeme se preslikava s pomoću koeficijenta sličnosti za vrijeme tt C t′= . Ako su ϕ i ϕ′ polja fizikalnih veličina koja su funkcije prostornih i vremenske koordinate, tada relacija Cϕϕ ϕ′= vrijedi za bilo koje dvije točke M i M′ , u kojima su polja fizikalne veličine definirana.

Karakteristična vrijednost fizikalne veličine

Svakoj fizikalnoj veličini ϕ se može pridružiti njena karakteristična vrijednost Φ . Karakteristična vrijednost se obično definira iz rubnih uvjeta koji definiraju pojavu, moguće je tu vrijednost definirati kao vrijednost u odabranoj točki M . Ako se sa Φ označi karakterističnu vrijednost veličine ϕ , definiranu kao vrijednost polja ϕ u nekoj točki M, a sa Φ′ karakterističnu veličinu polja ϕ′ , tj. vrijednost polja ϕ′ u odgovarajućoj prostorno vremenskoj točki M′ , tada prema izrazu Cϕϕ ϕ′= vrijedi:

CϕΦ Φ′= (2)

Naravno, ako se radi o duljini, za karakterističnu vrijednost se obično odabire neka od karakterističnih dimenzija, npr. duljina L , prema gornjoj slici. Iz gornje jednadžbe slijedi da je koeficijent sličnosti definiran omjerom karakterističnih vrijednosti veličina dviju pojava:

CϕΦΦ

=′ (3)

Tako bi koeficijent sličnosti za duljinu (često se iskazuje i kao mjerilo modela) bio /LC L L′= . Naravno, ako su ϕ i ϕ′ vektorska polja, karakteristične vrijednosti Φ i Φ′ označuju apsolutne vrijednosti (intenzitete) vektorskih veličina.

O′ M(x1,x2,x3,t)

M′(x′1,x′2,x′3,t′)

L L′

vv ′

O

x1

x2

x3

x′1

x′2

x′3


Bezdimenzijska polja fizikalnih veličina

Uvrštavanjem izraza /Cϕ Φ Φ′= u izraz Cϕϕ ϕ′= on prelazi u oblik:

ϕ ϕ ϕΦ Φ

′= =

′ (4)

gdje je sa ϕ~ označena bezdimenzijska vrijednost polja ϕ i ϕ′ . Iz tog se izraza zaključuje da su u dvjema sličnim pojavama sva bezdimenzijska polja ista, odnosno da su sve bezdimenzijske veličine u modelskoj i prototipnoj pojavi iste. Poznavajući bezdimenzijsko polje ϕ~ lako se dolazi do polja ϕ i ϕ′ :

ϕΦϕ ~= i ϕΦϕ ~′=′ (5)

Naravno da bezdimenzijsko polje vrijedi ne samo za dvije pojave, nego za cijelu obitelj sličnih pojava koje zadovoljavaju iste kriterije sličnosti.

Teorem sličnosti Bezdimenzijsko rješenje nekog problema definirano je bezdimenzijskim jednadžbama i bezdimenzijskim početnim i rubnim uvjetima, iz čega se zaključuje: Dvije će pojave biti slične, ako su opisane istim bezdimenzijskim jednadžbama i istim bezdimenzijskim početnim i rubnim uvjetima.

Postupak određivanja kriterija sličnosti

Do kriterija sličnosti dvaju pojava dolazi se svođenjem sustava jednadžbi koji opisuje promatrane pojave i pripadajućih početnih i rubnih uvjeta u bezdimenzijski oblik. Jasno je da će sustavi jednadžbi koji opisuju prototipnu i modelsku pojavu imati isto bezdimenzijsko rješenje ako su koeficijenti bezdimenzijskih jednadžbi i bezdimenzijski početni i granični uvjeti isti za te dvije pojave. Iz uvjeta jednakosti koeficijenata u bezdimenzijskim jednadžbama prototipne i modelske pojave slijede kriteriji sličnosti. Postupak određivanja kriterija sličnosti je dakle sljedeći:

1. Definirati polazne jednadžbe koje opisuju pojavu, te pripadajuće početne i rubne uvjete. (Napomena: početni i rubni uvjeti također mogu biti opisani jednadžbom)

2. Za svaku promjenjivu veličinu ϕ , odnosno ϕ′ u pojavi, temeljem početnih i rubnih uvjeta, te konstanti u jednadžbama definirati karakteristične vrijednosti tih veličina Φ i Φ′ , pri čemu vrijedi

ϕ Φϕ= (a) ϕ Φ ϕ′ ′= (b) Cϕϕ ϕ′= (c) CϕΦΦ

=′ (d)

Ako neka od promjenjivih veličina nije definirana u početnim i rubnim uvjetima njena se karakteristična vrijednost definira kombinacijom veličina čije se karakteristične vrijednosti mogu definirati iz konstanti u jednadžbama, te početnih i rubnih uvjeta (prema pravilima dimenzijske analize). Primjer 1: ako su rubni uvjeti stacionarni, nema se na temelju čega odrediti karakteristično vrijeme, pa se za karakteristično vrijeme uzima odnos karakteristične duljine i karakteristične brzine (ili bilo koja kombinacija veličina koja daje dimenziju vremena). Primjer 2: Rubnim uvjetima u nestlačivom strujanju nije zadan tlak, pa se za karakteristični tlak uzima umnožak karakteristične gustoće i kvadrata karakteristične brzine (ili bilo koja kombinacija veličina koja daje dimenziju tlaka).


3. U jednadžbama prototipne i modelske pojave dimenzijske veličine zamijeniti bezdimenzijskim, prema izrazima (a) i (b), definiranim u prethodnoj točki. U svakoj jednadžbi učiniti jedan od koeficijenata jediničnim (dijeljenjem jednadžbe s koeficijentom uz član uz koji se želi dobiti jedinični koeficijent). Preostali koeficijenti u bezdimenzijskim jednadžbama, te u bezdimenzijskim jednadžbama početnih i rubnih uvjeta čine kriterije sličnosti dvaju pojava. Alternativno se do kriterija sličnosti može doći tako da se npr. u jednadžbama prototipne pojave sve veličine izraze s pomoću veličina modelske pojave, prema izrazu (c), te traže uvjeti kada će se jednadžbe prototipne pojave svesti na jednadžbe modelske pojave. Dakle, nakon uvrštavanja jednadžbi (c) u jednadžbe za prototipnu pojavu se ponovo u svakoj jednadžbi jedan od koeficijenata svede na jedinicu, a preostali koeficijenti koji čine umnoške potencija koeficijenata sličnosti, također moraju biti jednaki jedinici, čime su definirani kriteriji sličnosti.

4. Sve bezdimenzijske veličine su u prototipnoj i modelskoj pojavi jednake. Iz te se činjenice mogu izvesti veze među koeficijentima sličnosti. Primjer 1: Bezdimenzijska površina 2/A L

Vrijedi 2 2

A AL L

′=

′, ili 2 2

2

1A

L

ACA

L CL

′ = =

′

, odnosno 2A LC C=

Primjer 2: (bezdimenzijski) koeficijent sile

2 21 12 2

F F

v A v Aρ ρ

′=

′ ′ ′ ili 2 2

2

1F

v A

FCF

v A C C CAv

ρρρ

′ = =

′ ′′

, odnosno 2 2 2F v A v LC C C C C C Cρ ρ= =

Primjer 3: (bezdimenzijski) koeficijent momenta

2 21 12 2

M M

v AL v A Lρ ρ

′=

′ ′ ′ ′, odnosno 2 2 3

M v A L v LC C C C C C C Cρ ρ= =

Primjer 4: bezdimenzijski protok /Q vA

Q QvA v A

′=

′ ′ ili 1Q

v A

QCQ

v A C Cv A

′= =

′ ′

, odnosno 3

2

/L t

LQ v A v L

tC C

CC C C C C

C= = = .

Iz rečenoga je jasno da će broj nezavisnih koeficijenata sličnosti biti jednak broju osnovnih dimenzija u nekoj pojavi.


Primjer: Potrebno je odrediti kriterije sličnosti za slučaj gibanja tijela duljine L koje se trenutno počelo gibati konstantnom brzinom v∞ u mirujućem fluidu gustoće ρ∞ , konstantne viskoznosti μ∞ u kojem vlada tlak p∞ . Pretpostavlja se nestlačivo, adijabatsko strujanje fluida.

a) Prototipna pojava b) Modelska pojava

Slika 1. Oznake veličina u prototipnoj i modelskoj pojavi Slika prikazuje opisanu fizikalnu pojavu. Pri definiranju kriterija sličnosti za ovakvo strujanje u prvom koraku se raspisuju polazne jednadžbe, uključujući početne i rubne uvjete. Polazne jednadžbe za nestlačivo adijabatsko strujanje su jednadžba kontinuiteta i jednadžba količine gibanja, a energijska (temperaturna) jednadžba se u ovom slučaju može rješavati neovisno o ove dvije, pa se ovdje neće uzeti u obzir.

0j

j

vx∂

=∂

(P.1)

3i i i

j ij i j j

v v p vv gt x x x x

ρ ρ ρ δ μ∞ ∞ ∞ ∞

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − − + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(P.2)

U početnom trenutku su fluid i tijelo mirovali, a u samom početnom trenutku je brzina tijela postigla konstantnu brzinu. Rubni uvjet na površini tijela kaže da je brzina fluida na toj površini jednaka brzini tijela (uvjet lijepljenja fluida). Gornje jednadžbe označuju sustav četiri skalarne jednadžbe s četiri nepoznata polja (polje tlaka i tri skalarna polja za tri komponente brzine), čije je jednoznačno rješenje definirano početnim i rubnim uvjetima. U tim se jednadžbama pretpostavlja da je gravitacija jedina masena sila (vektor gravitacije je konstantan i djeluje u negativnom smjeru osi 3x ) i da je ista u obje pojave. U drugom koraku je potrebno za svaku promjenjivu veličinu u strujanju definirati karakterističnu vrijednost temeljem početnih i rubnih uvjeta. Promjenjive veličine u gornjim jednadžbama su: vrijeme t , prostorne koordinate ix , tlak p i brzina iv . Za karakterističnu vrijednost tlaka usvaja se tlak p∞ , za karakterističnu vrijednost brzine se usvaja brzina v∞ gibanja tijela, a za karakterističnu duljinu duljina L tijela. Za karakteristično vrijeme nemamo izbor u rubnim uvjetima, jer smo definirali da se brzina gibanja tijela trenutno promijenila od stanja mirovanja na stanje jednolikog gibanja, pa ćemo karakteristično vrijeme definirati preko duljine L i brzine

O′ M(x1,x2,x3,t)

M′(x′1,x′2,x′3,t′)

L L′

vv ′

g g

O

x1

x2

x3

x′1

x′2

x′3

∞v ∞′v

ρ∞ p∞ μ∞

ρ′∞ p′∞ μ′∞


v∞ u obliku /L vτ ∞= . Svaka promjenjiva veličina u gornjim jednadžbama koje opisuju i prototipnu i modelsku pojavu, može se prikazati preko bezdimenzijskih veličina u obliku

jj xLx ~= , jj xLx ~′=′ , odnosno j L jx C x′= , /LC L L′= (D.1) tt ~τ= , tt ~τ ′=′ , odnosno tCt t ′= , ττ ′= /tC (D.2) jj vvv ~

∞= , jj vvv ~∞′=′ , odnosno jvj vCv ′= , ∞∞ ′= vvCv / (D.3)

ppp ~∞= , ppp ~

∞′=′ , odnosno pCp p ′= , ∞∞ ′= ppC p / (D.4) Uvrštavanjem izraza (D.1) do (D.4) u jednadžbe (P.1) i (P.2) za prototipnu pojavu, uvažavajući da su karakteristične vrijednosti veličina konstante, slijedi sustav jednadžbi u bezdimenzijskom obliku koji glasi:

0j

jxLvv∞ ∂∂

= (B.1)

3

2

2i i i

j ij i j j

v v p vvt x x x

v v p vgL L xL

ρ ρ μρτ

δ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞∞= − + −

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ⎝

+∂ ⎠

(B.2)

Analogni bezdimenzijski sustav jednadžbi se dobiva i za modelsku pojavu, s jedinom razlikom da su koeficijenti jednadžbi koje opisuju modelsku pojavu sastavljeni od karakterističnih veličina modelske pojave. Ako se u svakoj jednadžbi modelske i prototipne pojave jedan od koeficijenata svede na jedinicu, tada će jednakost jednadžbi podrazumijevati jednakost koeficijenata uz odgovarajuće članove. Dijeljenjem jednadžbe (B.2) koeficijentom uz konvekcijski član (član koji označuje inercijske sile), sustav jednadžbi (B.1) i (B.2) prelazi u oblik

0j

j

vx∂

=∂

(C.1)

2

2 2

1//

3

1

i i ij i

j i j jSt Eu ReFr

L gv v p vvt x x

L pv v v v L x x

μτ ρ ρ

δ ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂− ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

= + − + (C.2)

Iz uvjeta jednakosti bezdimenzijskih koeficijenata u jednadžbi (C.2), koji opisuje prototipnu pojavu s odgovarajućih koeficijentima analognoj jednadžbi za modelsku pojavu slijede kriteriji sličnosti dvaju strujanja. Jasno je da su ti koeficijenti sastavljeni od sedam karakterističnih veličina, uvedenih u jednadžbama (D.1) do (D.4), a to su: L , τ , v∞ , p∞ te konstanti g , ρ∞ , i μ∞ u jednadžbi (C.2). U dimenzijama ovih sedam veličina se pojavljuju tri osnovne dimenzije: duljine, vremena i mase, te se prema pravilima dimenzijske analize može izabrati skup od tri dimenzijski nezavisne veličine, čijim se dimenzijama mogu opisati dimenzije svih sedam veličina, odnosno moguće je definirati četiri bezdimenzijska parametara, koji se ovdje nazivaju kriterijima sličnosti. Naravno da je izbor dimenzijski nezavisnog skupa potpuno proizvoljan, a da o izbranom skupu zavise oblici bezdimenzijskih parametara. Ako bi se npr. za skup dimenzijski nezavisnih veličina izabrao skup: ρ∞ , v∞ , L , tada bi se dobio sljedeći skup bezdimenzijskih parametara: /v Lτ∞ , 2/gL v∞ , 2/( )p vρ∞ ∞ ∞ ) i /( ) v Lμ ρ∞ ∞ ∞ . Izborom nekog drugog dimenzijski nezavisnog skupa došlo bi se do drugih bezdimenzijskih parametara. Isto tako, bezdimenzijski koeficijenti u jednadžbi (C.2) su dobiveni dijeljenjem jednadžbi (B.2)


koeficijentom uz konvekcijski član, a da su dijeljene nekim drugim koeficijentom dobili bi se neki drugi bezdimenzijski koeficijenti. U nastavku će se tim bezdimenzijskim parametrima pridružiti ime i objasniti značenje. Na lijevoj strani jednadžbe (C.2), uz nestacionarni član, pojavljuje se koeficijent koji se naziva Strouhalovim brojem, te za dvije slične pojave vrijedi:

L Lv vτ τ∞ ∞

′=

′ ′ ili St St′= , gdje je lokalna promjena

konvektivna promjenaLSt

v τ∞= = (K.1)

Koeficijent uz član koji označuje masene sile u jednadžbi količine gibanja (C.2), prikazuje se Froudeovim brojem, a za dvije slične pojave vrijedi:

2 2

gL gLv v∞ ∞

′=

′ ili 2 2

1 1Fr Fr

=′

gdje je inercijske silegravitacijska sila

vFrgL∞= = (K.2)

Koeficijent uz gradijent tlaka u jednadžbi količine gibanja (C.2), se u nestlačivom strujanju naziva Eulerovim brojem, a za dvije slične pojave vrijedi:

2 2

p pv vρ ρ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

′=

′ ′ ili Eu Eu′= gdje je 2

sile tlakainercijske sile

pEuvρ∞

∞ ∞

= = (K.3)

Koeficijent u članu koji označuje viskozne sile u jednadžbi količine gibanja (C.2), definiran je Reynoldsovim brojem /Re vLρ μ= , te vrijedi:

v L v Lμ μ

ρ ρ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

′=

′ ′ ′ ili 1 1

Re Re=

′ gdje je inercijske sile

viskozne silev LRe ρμ∞ ∞

∞

= = (K.4)

Općenito govoreći dva nestlačiva strujanja fluida će biti slična ako je zadovoljena jednakost Strouhalovih, Froudeovih, Eulerovih i Reynoldsovih brojeva prototipne i modelske pojave. Ako bi početni i rubni uvjeti bili zadani jednadžbama, iz njih bi se mogli pojaviti dodatni kriteriji sličnosti. U općem slučaju bezdimenzijsko polje tlaka i brzine u sustavu jednadžbi (C.1) i (C.2) zavisi od bezdimenzijskih prostornih i vremenske koordinate, te od koeficijenata koji se pojavljuju u jednadžbama, tj. vrijedi:

( , , , , , )ip p x t St Fr Eu Re= ( , , , , , )i i iv v x t St Fr Eu Re=

U zadanom primjeru nismo iskoristili definiciju za karakterističnu vrijednost vremena /L vτ ∞= . Ako se u definiciju (K.1) za Strouhalov broj uvrsti pretpostavljena relacija /L vτ ∞= , onda je jasno da će i u modelskoj i u prototipnoj pojavi vrijednost Strouhalova broja biti jednaka jedinici, što se može shvatiti da je jednakost Strouhalovih brojeva već zadovoljena, odnosno bezdimenzijska rješenja neće biti funkcija Strouhalova broja. Dakle nezavisni kriteriji sličnosti (oni o kojima rješenje problema ovisi) uvijek su definirani od veličina koje slijede iz konstanti koje se pojavljuju u jednadžbama (u ovom primjeru su to g , ρ∞ i μ∞ ) i konstanti iz početnih i rubnih uvjeta (ovdje su to L , p∞ i v∞ ), pa je jasno da se iz šest veličina, od kojih su tri dimenzionalno nezavisne, mogu definirati tri Π -parametra. Dakle u dvije pojave treba izabrati takve vrijednosti konstanti da bezdimenzijski koeficijenti (ovdje Fr , Eu i Re ) u dvije pojave budu jednaki, čime će se osigurati jednakost bezdimenzijskih rješenja. Za prototipnu pojavu, koju želimo ispitati na modelu, poznajemo vrijednosti svih šest utjecajnih veličina. U


modelskoj pojavi možemo izabrati slobodno tri od šest veličina, a preostale tri su definirane kriterijima sličnosti. Jedna od njih nam je već zadana jer se modelska pojava odvija u istom polju gravitacije ( g g′ = ), pa nam za slobodan izbor preostaju još dvije veličine. Ako je povod modelskim ispitivanjima smanjenje veličine objekta, onda biramo duljinu L′ , a biramo i fluid u modelskoj pojavi, čime su određene ρ∞′ i μ∞′ , te smo već zadali četiri veličine, a možemo zadati samo tri. Ako smo zadali četiri veličine, s preostalim dvjema možemo zadovoljiti samo dva od tri kriterija sličnosti, što znači da ne bismo imali potpunu sličnost dvaju pojava. U praksi je to čest slučaj, a u takvim situacijama potrebno je izvršiti dopunsku analizu utjecaja pojedinih parametara na rješenje, tako da se zadovolji jednakost onih koeficijenata koji značajnije utječu na rezultat. Poslije ćemo analizirati utjecaj svakog od kriterija sličnosti, a sada pogledajmo alternativni način izvođenja kriterija sličnosti. Prema definiciji sličnosti veličine u dvije pojave povezane su koeficijentom sličnosti Cϕ u obliku Cϕϕ ϕ′= , gdje je Cϕ jednako omjeru karakterističnih vrijednosti promatrane fizikalne veličine u dvije pojave /Cϕ Φ Φ ′= . Ako se u jednadžbama za prototipnu pojavu

0j

j

vx∂

=∂

(P.1)

3i i i

j ij i j j

v v p vv gt x x x x

ρ ρ ρ δ μ∞ ∞ ∞ ∞

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂= − − − + ⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

(P.2)

sve veličine izraze pomoću veličina modelske pojave, dobije se

0jv

L j

C vxC′∂=

′∂

2

23i pv v v

gt L L L

i ij i

j i j j

v v vpv gt

CC C C C C CC C

C x C x xC Cxρ ρ μ

ρρ ρ ρ δ μ∞ ∞ ∞ ∞

⎛ ⎞′ ′ ′′∂ ∂ ∂∂ ∂′ ′ ′ ′ ′ ′ ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝= − −

⎠− +

U gornjim jednadžbama su plavom bojom označeni članovi koji čine jednadžbe modelske pojave. Svođenjem jednog od koeficijenata u gornjim jednadžbama na jedinicu dobije se

0j

j

vx′∂=

′∂

2 23i i i

j ij i j

L g pL

v t v v v L j

v v vpv gt x x x x

C C C CCC C C C C C C C

μ

ρ ρ

ρ ρ ρ δ μ∞ ∞ ∞ ∞= − −⎛ ⎞′ ′ ′′∂ ∂ ∂∂ ∂′ ′ ′ ′ ′ ′− ⎜ ⎟⎜ ⎟′ ′ ′ ′ ′∂ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠

+∂

Jasno je da će se iz prototipnih jednadžbi dobiti modelske jednadžbe, ako su svi koeficijenti jednaki jedinici, tj. vrijedi sljedeće:

1L

v t

CC C

= ili 1

LL

vv

ττ

∞

∞

′ =

′ ′

ili L Lv vτ τ∞ ∞

′=

′ ′ ili St St′= , što je jednako izrazu (K.1)

2 1L g

v

C CC

= ili 2

2

1

L gL gvv∞

∞

′ ′=

′

ili 2 2

gL gLv v∞ ∞

′=

′ili 2 2

1 1Fr Fr

=′

što je jednako izrazu (K.2)


2 1p

v

CC Cρ

= ili 2

2

1

pp

vv

ρρ∞ ∞

∞ ∞

′=

′ ′

ili 2 2

p pv vρ ρ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

′=

′ ′ ili Eu Eu′= što je jednako izrazu (K.3)

1v L

CC C C

μ

ρ

= ili 1v Lv L

μμ

ρρ

∞

∞

∞ ∞

∞ ∞

′=

′ ′ ′

ili v L v Lμ μ

ρ ρ∞ ∞

∞ ∞ ∞ ∞

′=

′ ′ ′ ili 1 1

Re Re=

′, vidjeti izraz (K.4)

Dakle dobili smo iste kriterije sličnosti. Za one veličine koje se nalaze kao konstante u jednadžbama (u ovom primjeru su to g , ρ∞ i μ∞ ) ili su zadane početnim i rubnim uvjetima (ovdje su to L , p∞ i v∞ ) (dakle parametre koje zadajemo) možemo definirati nezavisne koeficijente sličnosti. Dakle, jasno je da će koeficijent sličnosti za vrijeme (za kojeg nemamo parametra kojim bi unaprijed definirali pripadajući koeficijent sličnosti) biti definiran kriterijem (K.1) iz kojega je /t L vC C C= , odnosno Strouhalov broj je iskorišten za definiciju koeficijenta sličnosti za vrijeme, pa on nije kriterij sličnosti dvaju strujanja. U ovoj pojavi je 1gC = , a nakon izbora mjerila modela (koeficijenta sličnosti LC za duljinu) i fluida u modelskoj pojavi (definirani Cρ i Cμ ) možemo još odrediti koeficijente sličnosti pC i vC tako da zadovoljimo dva od preostala tri kriterija sličnosti. Kao što je već rečeno u situaciji u kojoj ne možemo zadovoljiti sve kriterije sličnosti, jer smo prisiljeni zadati veći broj veličina nego imamo dimenzionalno nezavisnih veličina, potrebno je zadovoljiti najutjecajnije kriterije sličnosti.

Analiza važnosti bezdimenzijskih parametara Strouhalov broj Strouhalov broj se nalazi na mjestu koeficijenta uz član koji označuje lokalnu promjenu odnosno nestacionarnost strujanja, te se odmah zaključuje da će biti bitan samo u nestacionarnom strujanju. Nestacionarnost strujanja može biti posljedica vremenski promjenjivih rubnih uvjeta, kada je na temelju vremenske promjene rubnih uvjeta moguće definirati karakteristično vrijeme. Ako bi npr. tijelo, na koje nastrujava fluid konstantnim i jednolikim profilom brzine vibriralo određenom frekvencijom ω, tada bi strujanje bilo nestacionarno, a karakteristično vrijeme bi se moglo definirati periodom tih vibracija τ=1/ω, odnosno Strouhalov broj bi bio:

∞∞

∞ ==v

LvLSt ωτ

Nasuprot nestacionarnom strujanju s vremenski promjenjivim rubnim uvjetima, postoje i nestacionarna strujanja s vremenski konstantnim rubnim uvjetima. Na primjer ako je zatvoreni prostor pregrađen membranom, tako da se sa svake strane membrane nalazi plin pod različitim tlakom, nakon trenutnog puknuća membrane doći će do nestacionarnog strujanja plina, uz stacionarne rubne uvjete. Drugi tipični primjer nestacionarnog strujanja uz stacionarne rubne uvjete je nestlačivo optjecanje valjka jednolikim i konstantnim profilom brzine, gdje na stražnjem dijelu površine valjka, dolazi do odvajanja strujanja i periodičkog otkidanja vrtloga. U takvim se slučajevima karakteristično vrijeme ne može definirati na temelju vremenske promjene rubnih uvjeta, nego se ono definira s pomoću raspoloživih karakterističnih veličina, npr. karakteristične brzine i karakteristične duljine u obliku /L vτ ∞= . U tom je slučaju Strouhalov broj identički jednak jedinici u obje pojave, što drugim riječima znači da je kriterij Strouhalova broja automatski zadovoljen. Budući da je rješenje nestacionarno, moguće je


definirati neko karakteristično vrijeme koje karakterizira vremensku promjenu rješenja, ali to vrijeme ne predstavlja osnovu za postavljanje kriterija sličnosti, jer je ono svojstvo samog rješenja, a ne dolazi iz rubnih uvjeta. Tako bi se u problemu optjecanja valjka jednolikim i konstantnim profilom brzine, mogao definirati Strouhalov broj na temelju frekvencije otkidanja vrtloga, koji bi bio definiran analogno izrazu (K.1), ali taj Strouhalov broj, kao što je rečeno ne bi označavao nezavisni kriterij sličnosti (čijim bi podešavanjem uvjetovali rješenje) jer on sam dolazi iz rješenja. Dakle, Strouhalov broj će se pojavljivati kao nezavisni kriterij sličnosti samo u problemima s vremenski promjenjivim rubnim uvjetima. Froudeov broj Froudeov broj označuje odnos inercijske i gravitacijske sile. Ovaj će broj biti značajan u opisu problema kod kojih je bitan utjecaj gravitacije na polje brzine, odnosno kod kojih je bitna preraspodjela potencijalne i kinetičke energije. Tipični primjer pojave u kojoj je Froudeov broj nezaobilazan kriterij sličnosti su površinski valovi nastali gibanjem broda po površini vode, kod kojih upravo dolazi do preraspodjele između kinetičke i potencijalne energije čestica fluida (jer je tlak na slobodnoj površini konstantan). Pri istjecanju fluida iz velikog spremnika, također dolazi do pretvorbe potencijalne energije u kinetičku, te će sila gravitacije biti značajna za polje brzine. Nasuprot tome, ako se promatra strujanje kroz kosu cijev konstantnog poprečnog presjeka između dva presjeka sa zadanim tlakom, iz Bernoullijeve jednadžbe i jednadžbe kontinuiteta je jasno da gravitacijska potencijalna energija nema utjecaja na polje brzine (jer kinetička energija ne zavisi od potencijalne energije), a sila gravitacije utječe samo na polje tlaka. Slično se može zaključiti i za slučaj horizontalnog optjecanja tijela potopljenog duboko ispod slobodne površine (tako da se na slobodnoj površini ne pojavljuju valovi). Ako se od stvarnog polja tlaka oduzme promjene tlaka nastala uslijed gravitacije, slika strujanja se neće promijeniti, iz čega se zaključuje da masene sile nemaju utjecaja, odnosno Froudeov broj nije kriterij sličnosti. Iz sličnih se razloga pri strujanju plinova s nametnutim gradijentom tlaka u smjeru strujanja (slučaj prisilne konvekcije), utjecaj gravitacije redovito zanemaruje. Eulerov broj, kavitacijski broj, Machov broj U nestlačivom strujanju razina tlaka nema utjecaja na polje strujanja, jer tlak nema utjecaja na gustoću fluida, a njegov utjecaj na polje brzine se očituje kroz gradijent tlaka, koji se pojavljuje u jednadžbi količine gibanja. Jasno je da se polju tlaka može dodati konstanta a da se polje brzine ne promijeni. Ako su u nekom problemu zadane brzine po rubu područja, tlak se zadaje samo u jednoj točki, pa je jasno da u takvim uvjetima Eulerov broj nije nezavisni kriterij sličnosti, jer polju tlaka možemo dodati ili oduzeti konstantnu vrijednost bez da se slika strujanja promijeni (dakle Eulerov broj se može smatrati zadovoljenim). U takvim se slučajevima za karakterističnu vrijednost tlaka bira dvostruka vrijednost dinamičkog tlaka, pa je Eulerov broj jednak jedinici, što znači da ispada iz skupa nezavisnih parametara. Jednakost Eulerova broja će morati biti zadovoljena u dva strujanja u kojima je zadana neka razlika tlaka, čime je na neki način određen gradijent tlaka. Na primjer u pojavi strujanja kroz cijev, ako je tlak zadan na ulaznom i izlaznom presjeku cijevi, razlika tih tlakova postaje presudna za vrijednost brzine strujanja. U tom slučaju se Eulerov broj može definirati izrazom u kojem se tlak zamjenjuje razlikom tlaka

2

pEuv

Δρ∞ ∞

=

Slično vrijedi i kod pumpe, koja predaje energiju fluidu, pa se tlak od ulaza do izlaza iz pumpe poveća za pΔ .


Sljedeći primjer, gdje je zadana razlika tlaka su pojave nestlačivog strujanja s mogućnošću pojave kavitacije, kada je zadan tlak vp para, pa je vp p pΔ ∞= − . Dakle ako se u jednom strujanju pojavljuje kavitacija, treba osigurati uvjete za pojavu kavitacije i u njemu sličnom strujanju. Za te se potrebe Eulerov broj preuređuje u kavitacijski broj, koji je definiran izrazom

v2

p pv

σρ∞

∞ ∞

−=

U analizi stlačivih strujanja, kod kojih se gustoća fluida značajno mijenja, Eulerov broj se može prevesti u Machov broj, koji je u stlačivom strujanju važan kriterij sličnosti. Znamo da je sila tlaka na česticu fluida odgovorna za promjenu njena volumena, odnosno gustoće, pa se govori o sili tlaka kao o sili stlačivanja. U savršenom plinu je brzina zvuka definirana izrazom

2 /c pκ ρ= (κ je eksponent adijabatske ekspanzije), pa se Eulerov broj može zapisati u obliku

2

2 2 2

1 1 1p cEuv v Ma

κρ κ κ κ

∞ ∞

∞ ∞ ∞

= = = , gdje je inercijske silesile stlačivanja

vMac

= = .

Strujanje plinova pri niskim vrijednostima Machova broja (recimo 0.3Ma < ) tretiramo kao nestlačivo strujanje, jer je promjena gustoće u takvim strujanjima s inženjerskog stajališta zanemariva. Tako se npr. strujanje zraka oko automobila, koji se kreće brzinom recimo 150 km/h (41.7 m/s), pri brzini zvuka, koja pri normalnim uvjetima zraka iznosi 331 m/s, odvija pri Machovom broju / 0.125Ma v c= = , pa se redovito smatra nestlačivim. Kod modelskih ispitivanja istog problema treba paziti da u sličnoj pojavi Machov broj ne prijeđe, recimo vrijednost 0.3, jer bi tada u modelskoj pojavi strujanje bilo sa značajnim utjecajem sila stlačivanja, nego u originalnoj pojavi, pa bi sličnost strujanja bila narušena. Reynoldsov broj Jedan od najvažnijih bezdimenzijskih parametara, bilo za slučaj vanjskih zadaća (optjecanja) bilo unutarnjih zadaća (protjecanja fluida) je upravo Reynoldsov broj. Kao što je jasno iz jednadžbe količine gibanja on označuje omjer inercijskih i viskoznih sila i glavni je kriterij prelaska laminarnoga u turbulentno strujanje fluida. Laminarno strujanje fluida održava se pri malim vrijednostima Reynolsova broja, gdje je utjecaj viskoznosti veći. Velike vrijednosti Reynoldsova broja označuju mali utjecaj viskoznosti, te se pri visokim vrijednostima Reynolsova broja viskozne sile mogu i zanemariti u većem dijelu područja strujanja. Međutim, kad god u području strujanja postoji čvrsta stijenka utjecaj viskoznih sila se neće moći zanemariti u neposrednoj blizini stijenke. Zbog viskoznosti fluida brzina fluida na stijenci jednaka je nuli, a udaljavanjem od stijenke brzina čestica fluida se postupno povećava. Zbog toga će uz stijenku uvijek postojati područje u kojem se strujanje fluida odvija malim brzinama s malim inercijskim silama, te se u tom području (koje se naziva graničnim slojem) utjecaj viskoznih sila neće moći zanemariti. U tim će slučajevima Reynoldsov broj biti važan kriterij sličnosti. Postoje viskozna strujanja fluida u kojima Reynoldsov broj nije nezavisni kriterij sličnosti. Jedno takvo je npr. problem prirodne konvekcije (strujanje koje nastaje uslijed izmjene topline, tj. razlike u gustoći koja nastaje zbog razlike temperatura čestica fluida) u zatvorenom prostoru, gdje su brzine po svim granicama jednake nuli, te iz rubnih uvjeta nije moguće definirati karakterističnu brzinu, koja bi ušla u definiciju Reynoldsova broja. Naravno, u takvom bi se strujanju mogao definirati Reynoldsov broj na temelju npr. maksimalne brzine koja se pojavljuje u rješenju. U sličnim strujanjima bi vrijedila jednakost tako definiranog Reynoldsova broja u dvije pojave, a s obzirom da je Reynoldsob broj definiran na temelju brzine koja dolazi iz rješenja, on ne bi označavao nezavisni kriterij sličnosti.


KLASIFIKACIJA STRUJANJA FLUIDA

Treba naglasiti da se prije izvedene Navier-Stokesove jednadžbe odnose na strujanje newtonskog, jedno-komponentnog jednofaznog fluida (dakle bez kemijske reakcije) i bez utjecaja elektro-magnetskih sila.

Jasno je da se u praksi pojavljuju i višekomponentna strujanja, npr. pri miješanju dvaju (ili više) plinova. U takvim situacijama bi se kao nove varijable pojavile koncentracije svakog pojedinog plina, te novi članovi koji označuju masenu difuziju pojedinih komponenti. Treba naglasiti da je i zrak smjesa plinova, ali je koncentracija svake sastavnice zraka konstantna i jednaka u svim točkama fluida (dakle nema difuzije mase), pa se zrak tretira kao jedno-komponentni fluid.

Ako se u strujanju istovremeno pojavljuje više agregatnih stanja (kruto, kapljevito i plinovito), strujanje se naziva višefaznim. Pri pojavi kavitacije strujanje vode postaje dvofazno, jer se osim kapljevite faze pojavljuje i plinovita faza. U tom se slučaju pojavljuje razdjelna površina između dvaju faza u kojoj se pojavljuju dodatne sile površinske napetosti, a u takvom strujanju bi također trebalo definirati brzinu pretvorbe kapljevite u plinovitu fazu, i obrnuto. Tipičan primjer višefaznog strujanja je i strujanje u kotlovskim cijevima, u kojima voda isparava zbog dovođenja topline. Dakako da postoje i višekomponentna višefazna strujanja. Primjer za to je pneumatski transport krutih čestica (strujanje mješavine zraka i krutih čestica).

Ako se ograničimo samo na Navier-Stokesove jednadžbe, još uvijek možemo razlikovati nekoliko podjela strujanja.

Jedna od podjela koju smo već do sada spominjali je s obzirom na gustoću. Ako gustoća ostaje konstantna u strujanju, strujanje zovemo nestlačivim, inače je stlačivo. Treba naglasiti da je pojam stlačivosti bolje vezati uz strujanje, jer se i strujanje plinova (kao izrazito stlačivih fluida) pri niskim vrijednostima Machova broja može smatrati nestlačivim, a strujanje vode (kao izrazito nestlačivog fluida) se tretira stlačivim za slučaj pojave enormne razlike tlakova (npr. za slučaj podvodne eksplozije).

Strujanje u kojem nema izmjene topline među česticama fluida se naziva adijabatskim, a u protivnom je strujanje dijabatsko. Za dijabatsko strujanje u kojem temperatura ostaje konstantna u svim točkama fluida se kaže da je izotermičko.

S obzirom na viskoznost strujanje može biti neviskozno (viskoznost je jednaka nuli) ili viskozno. Jednadžbe gibanja neviskoznog strujanja se dobiju iz Navier-Stokesovih jednadžbi u kojima se viskoznost izjednači s nulom, a takve se jednadžbe nazivaju Eulerovim jednadžbama. Posebnu klasu neviskoznog strujanja čine potencijalna strujanja, u kojima se dodatno pretpostavlja da nema rotacije čestica fluida, što ima za posljedicu da se polje brzine može prikazati gradijentom skalarne funkcije (skalarnog potencijala brzine). Dakle neviskozno strujanje je općenito opisano Eulerovim jednadžbama koje su nelinearne (zbog nelinearnog inercijskog člana u jednadžbi količine gibanja). Uz pretpostavku potencijalnog nestlačivog strujanja linearna jednadžba kontinuiteta prelazi u linearnu Laplaceovu jednadžbu, a nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba količine gibanja prelazi u nelinearnu algebarsku jednadžbu (Euler-Bernoullijev integral), pa je potencijalno strujanje puno jednostavnije riješiti od općenitog neviskoznog strujanja opisanog nelinearnim Eulerovim jednadžbama. Viskozno strujanje u prirodi se pojavljuje kao laminarno ili turbulentno. Laminarno strujanje je uredno strujanje u kojem se čestice fluida gibaju u slojevima (po glatkim trajektorijama), za razliku od turbulentnog strujanja u kojem se


pojavljuju slučajne pulzacije brzine, tako da su čestice fluida u stanju burnog komešanja. U prirodi se laminarno strujanje održava pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja (pri značajnijem utjecaju viskoznih sila). U praksi su strujanja najčešće turbulentna, a zbog njihove stohastičke prirode, turbulentna strujanja fluida se ne mogu opisati analitički pa ih se nužno rješava numeričkim putem.

Naravno da se na temelju nabrojanih podjela mogu definirati različite klase strujanja fluida, npr. nestlačivo, izotermičko laminarno; ili stlačivo, adijabatsko potencijalno, i sl.

S obzirom na rubne uvjete strujanja se dijele na vanjska (problemi optjecanja tijela – jedan od rubova je stijenka) i unutarnja (problemi protjecanja, npr. kroz kanale i cijevi – dva ruba područja strujanja su stijenke).

OPTJECANJE TIJELA – TEORIJA GRANIČNOG SLOJA

Jedna od tipičnih zadaća mehanike fluida je određivanje sile koja djeluje na gibajuće tijelo uronjeno u fluid. Tipični primjeri su gibanje automobila, vlaka, zrakoplova, broda, rotora turbostroja itd. Za slučaj gibanja tijela konstantnom brzinom, problem se obično promatra u koordinatnom sustavu vezanom na tijelo, te bi se promatraču u tom koordinatnom sustavu činilo da tijelo miruje, a fluid nastrujava na njega brzinom koja je jednaka brzini gibanja tijela.

Primjer ravninskog strujanja.

ρ, v∞ L

S

D

Fi

Rezultantna sila fluida na tijelo jednaka je integralu površinskih sila po površini tijela.

d d di ji j i ji jS S S

F n S p n S n Sσ= ⋅ = − ⋅ + Σ∫ ∫ ∫

Gdje je diS

p n S− ⋅∫ doprinos sila tlaka, a dji jS

n SΣ∫ doprinos viskoznih sila.

Sila fluida na tijelo obično se za slučaj ravninskog strujanja rastavlja na dvije komponente. Komponenta D (ili DF ) u smjeru brzine v∞ (označuje silu otpora, prema engl. "Drag") i komponentu L ili ( LF ) okomito na brzinu v∞ (označuje silu uzgona, prema engl. "Lift").


Sile otpora i uzgona se najčešće prikazuju u bezdimenzijskim oblicima koeficijenta otpora i koeficijenta uzgona, koji su definirani izrazima

D2

D12

DCv Aρ ∞

=⋅ ⋅

i L2

L12

LCv Aρ ∞

=⋅ ⋅

gdje je 212

vρ ∞⋅ dinamički tlak, a DA i LA površine.

Površine DA i LA se mogu definirati različito, a kod sile otpora je to najčešće projekcija površine tijela suprotstavljena strujanju. U "Mehanici Fluida I" su dani koeficijenti otpora nekih elementarnih tijela, dobiveni mjerenjem. U općem slučaju koeficijent otpora zadanog tijela, u nestlačivom strujanju zavisi od Reynoldsova broja, a u stlačivom od Reynoldsova i Machova broja.

Doprinos sili otpora od tlačnih sila se naziva otpor oblika, a od viskoznih sila otpor trenja. Slijedeće dvije slike prikazuju dva ekstremna slučaja optjecanja tanke ploče.

100 % otpor trenja. 100 % otpor oblika.

v∞ v∞x2x2

pσ21 w= τ

σ12 w= τ

p

p

x1x1

U prvom su slučaju sile tlaka okomite na smjer strujanja, pa sili otpora doprinose samo viskozne sile, a u drugom slučaju je obrnut slučaj, smične sile su okomite na smjer strujanja, pa sili otpora doprinose samo tlačne sile. U realnim slučajevima uvijek imamo i jedan i drugi doprinos otporu.

Primjer ravninskog strujanja.

v∞p

α τ

Ako se kao primjer uzme ravninsko optjecanje profila, onda će otpor oblika rasti s debljinom profila i s porastom napadnog kuta α.


Polje brzine pri optjecanju tijela zavisi od inercijskih sila, sila tlaka i viskoznih sila (utjecaj masenih sila se obično zanemaruje). Odnos inercijskih i viskoznih sila je prikazan Reynoldsovim brojem, pri čemu niske vrijednosti Reynoldsova broja označuju zanemariv utjecaj inercijskih sila (odnosno značajan utjecaj viskoznih sila). U takvim slučajevima se inercijske sile (nelinearni konvekcijski član u jednadžbi količine gibanja) mogu zanemariti, čime se od Navier-Stokesovih jednadžbi dobiju Stokesove jednadžbe. Stokesove jednadžbe su linearne pa se može naći analitičko rješenje npr. optjecanja kugle, koje vrijedi za slučaj

1Re . Primjer strujanja kojeg opisuju Stokesove jednadžbe je i strujanje ulja u zračnosti ležaja (vidjeti primjer s vježbi, gdje su inercijske sile zanemarene na temelju procjene reda veličine pojedinih članova u jednadžbi količine gibanja). Drugi primjer primjene Stokesovih jednadžbi je ulijevanje npr. polimera u kalup. U takvim problemima viskoznost je obično velika, a brzine relativno male, pa je Reynoldsov broj mali. Međutim polimer najčešće nije newtonski fluid pa se koristi neka druga relacija za zavisnost tenzora viskoznih sila od tenzora brzine deformacije.

U praktičnim problemima optjecanja tijela (strujanje oko zrakoplova, automobila, vlaka ili broda) Reynoldsov broj poprima vrijednosti puno veće od jedinice, što znači da je utjecaj viskoznih sila mali. Ipak viskozne sile se neće moći zanemariti u čitavom području strujanja, nego je samo njihov utjecaj sveden na područje u neposrednoj blizini tijela, u kojem će se brzina fluida mijenjati od nule (na samoj površini tijela) do brzine optjecanja. To područje se naziva područje graničnog sloja. Dakle pri optjecanju tijela pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja, viskozne sile su bitne samo unutar tankog graničnog sloja, a izvan graničnog sloja utjecaj viskoznosti se može zanemariti.

Sljedeća slika shematski prikazuje primjer graničnog sloja uz ravnu ploču pri visokoj

vrijednosti Reynoldsova broja v LRe ρμ∞= ( L je duljina ploče). Debljina graničnog sloja

(osjenčanog područja unutar kojeg se brzina znatno mijenja, odnosno područja u kojem su viskozne sile bitne) je mala u odnosu na duljinu ploče.

Veliki Re

v∞ y

x

ρ μ, = konst.

podru jevanjskogstrujanja

č mali grad ijent brzine =zanemariv utjecaj viskoznosti

područ je graničnog sloja =veliki utjecaj viskoznosti zbogvelikog gradijenta brzine

Međutim, ako promatramo strujanje u okolišu samog vrha ploče (ili imamo posla s kratkom pločom, tako da je Reynoldsov broj mali (što odgovara velikom utjecaju viskoznosti), debljina područja unutar kojeg će viskozne sile biti značajne u odnosu na inercijske sile će biti velika u odnosu na duljinu ploče, kao što shematski prikazuje sljedeća slika. Ako se Reynoldsov broj općenito definira kao /Re v xρ μ∞= , gdje je x udaljenost od vrha (prednjeg brida) ploče, odmah je jasno da će veći utjecaj viskoznosti biti bliže vrhu, gdje je Reynoldsov broj manji.


Mali Re (promatramo vrh ploče)

v∞

ρ μ, = konst.utjecaj viskoznosti jeznačajan u okolini vrha

Slično se da zaključiti i iz primjera optjecanja kugle promjera D . Za optjecanje pri niskim

vrijednostima Reynoldsova broja v DRe ρμ∞= , recimo 1Re , postoji analitičko rješenje, po

kojemu se utjecaj viskoznosti u polju brzine osjeti daleko od tijela (prva slika), a za slučaj Mali Re

Veliki Re

v∞

v∞

utjeca j viskoznostise širi daleko od kugle

zona utjecaja viskoznosti

granični sloj

vrtložni trag

Neviskozno strujanje bilo bi i bezvrtložno(Laplace-o )va jednadžba


visokih vrijednosti Reynoldsova broja, utjecaj viskoznosti na polje brzine, sveden je u usko područje graničnog sloja uz samu površinu kugle. Što god je Reynoldsov broj veći to je područje relativno tanje.

Temeljem rečenoga sama od sebe se nameće Prandtlova ideja, da se za slučaj optjecanja tijela pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja, polje strujanja rastavi na dva područja: Područje neposredno uz površinu tijela (granični sloj) gdje je utjecaj viskoznosti bitan i vanjsko neviskozno strujanje opisano Eulerovim jednadžbama (odnosno uz dodatnu pretpostavku bezvrtložnog strujanja, nelinearne Eulerove jednadžbe prelaze u linearnu Laplaceovu jednadžbu i algebarsku Bernoullijevu jednadžbu - točnije Euler-Bernoullijev integral).

Strujanje unutar graničnog sloja je viskozno, što znači da je opisano Navier-Stokesovim jednadžbama. Međutim, činjenica da je granični sloj tanak u odnosu na duljinu tijela, ima za posljedicu da svi članovi u Navier-Stokesovim jednadžbama neće biti jednako veliki. Procjenom reda veličine pojedinih članova u tim jednadžbama i zanemarivanjem članova koji malo doprinose rješenju dolazi se do skupa pojednostavljenih jednadžbi koje opisuju strujanje fluida unutar graničnog sloja, a koje se nazivaju Prandtlovim jednadžbama.

Prandtlove jednadžbe za granični sloj

Pri izvodu Prandtlovih jednadžbi ograničit ćemo se na ravninsko strujanje oko blago zakrivljene stjenke (što pretpostavlja da je polumjer zakrivljenosti stijenke puno veći od debljine graničnog sloja). Nadalje uvode se sljedeće pretpostavke

- Strujanje je nestlačivo uz konstantnu viskoznost ( konst. , konst.ρ μ= = )

- Strujanje je stacionarno: 0t∂=

∂

- Zanemarujemo masene sile: 0if =

yy

x

R> > debljina graničnog sloja

granični sloj

Strujanje se promatra u 0xy koordinatnom sustavu, gdje se os x poklapa s konturom površine tijela (stijenke), a os y je u svakoj točki okomita na os x (stijenku). Komponentu brzine u smjeru osi x , označit ćemo s u , a komponentu u smjeru osi y s v .


Polazne jednadžbe su jednadžba kontinuiteta (JK) i jednadžbe količine gibanja (JKG), koje uz navedene pretpostavke glase

JK 0u vx y∂ ∂

+ =∂ ∂

JKG – x - komponenta 2 2

2 2

1u u p u uu vx y x x y

υρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

JKG – y - komponenta 2 2

2 2

1v v p v vu vx y y x y

υρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂+ = − + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠

U cilju procjene veličine pojedinih članova u jednadžbi, uvodimo karakteristične veličine za pojedine varijable u obliku u Uu=

v Vv=

x Lx=

y yδ=

S obzirom da je strujanje nestlačivo za tlak se uzima 2p U pρ= (pretpostavimo da je red veličine maksimalne promjene tlaka unutar graničnog sloja jednak dvostrukom dinamičkom tlaku).

Gdje su U i V maksimalne brzine u pojedinim smjerovima, tako da su vrijednosti bezdimenzijskih komponenti u i v brzine u rasponu nula do jedan (kažemo da su bezdimenzijske komponente brzine reda veličine jedan). S obzirom da su duljina L i debljina graničnog sloja δ maksimalne dimenzije u smjeru osi x i y , jasno je da su i bezdimenzijske koordinate x i y također reda veličine jedinice (jer se kreću u rasponu nula do jedan).

Uvrštavanjem gornjih relacija u jednadžbu kontinuiteta, ona prelazi u oblik

0U VxLu v

yδ⋅ + ⋅∂ ∂∂ ∂

=

Bezdimenzijski članovi u jednadžbi kontinuiteta su reda veličine jedinice (jer je maksimalna promjena komponenti reda veličine jedinice, a maksimalna promjena bezdimenzijske koordinate je također reda veličine jedinice). S obzirom da zbroj članova u gornjoj jednadžbi mora biti jednak nuli, zaključujemo da su koeficijenti uz članove istog reda veličine, tj. vrijedi

U VL δ= , odakle je V U

Lδ

= (a)

Jasno da je za slučaj strujanja pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja, kako je prije objašnjeno, debljina graničnog sloja puno manja od duljine L , pa je i maksimalna vrijednost v -komponente brzine puno manja od maksimalne vrijednosti u -komponente, što znači da je strujanje u graničnom sloju uglavnom paralelno sa stijenkom.

Prikazom x -komponente jednadžbe količine gibanja s pomoću bezdimenzijskih veličina dobije se


2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

2

U U UL L

UL

U UV U UL

u u p u uu vx Ly x x y

υ υδ

ρ υυδ ρ δ

⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⋅∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⋅

Ponovo su bezdimenzijski članovi reda veličine jedinice, a većina koeficijenata je reda

veličine 2U

L. S obzirom da je Lδ predzadnji član gornje jednadžbe je zanemariv u odnosu

na zadnji član, pa ostaje da je red veličine viskoznih sila 2

Uυδ

. Da bi viskozne sile bile

značajne unutar graničnog sloja, moraju biti istog reda veličine kao i inercijske sile, tj. vrijedi

22

2

1 tj. vrijedi U UL L UL Re

δ υυδ

⎛ ⎞= = =⎜ ⎟⎝ ⎠

, odnosno

L LUL Re

δ

υ

= = (b)

Dakle, ako je Reynoldsov broj reda veličine 610 onda je debljina graničnog sloja tri reda veličine manja od duljine L . Ako se x -komponenta jednadžbe količine gibanja podijeli s

2 /U L , dobije se

2 2

2 2

1u u p uu vx y xx e y

uR

∂ ∂ ∂ ∂+ ⋅ = − + +

∂ ∂ ∂ ∂∂⋅∂

u kojoj je predzadnji član očito zanemariv, za slučaj strujanja pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja.

Konačno prikazom y -komponente jednadžbe količine gibanja s pomoću bezdimenzijskih članova, uvažavajući relacije (a) i (b) dobije se

2 22 22

32

2 2

2

2 2

2 2 2

U UU UU ReL Re L Re L ReL L Re

v v p v vu vx y

UV V U V VL Ly x y

ρ υ υδ ρδ δ

⋅

⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ +∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

⋅∂ ∂

Dijeljenjem gornje jednadžbe koeficijentom uz derivaciju tlaka sijedi 2 2

2 2 2

1 1 1v v v vu vRe x y Re x R

pyy e

⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂⋅ ⋅ + = + ⋅ + ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ∂⎠

∂−

Očito su svi članovi ove jednadžbe za slučaj strujanja pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja zanemarivi, te od polaznog sustava ostaju sljedeće bezdimenzijske Prandtlove jednadžbe

JK 0u vx y∂ ∂

+ =∂ ∂

JKG – x - komponenta 2

2

u u p uu vx y x y∂ ∂ ∂ ∂

+ = − +∂ ∂ ∂ ∂

JKG – y - komponenta 0py∂

=∂


Rekapitulacija modela graničnog sloja

Sljedeća slika prikazuje dio područja strujanja pri optjecanju nekog dijela, koje smo podijelili na područje graničnog sloja ( 0 ( )y xδ< < ) i područje vanjskog neviskoznog strujanja ( ( )y xδ> ). Brzinu na granici između ta dva područja (na rubu graničnog sloja) smo označili s vδ . Pretpostavlja se da se profil brzine u graničnom sloju glatko nastavlja na profil brzine u

vanjskom neviskoznom strujanju, tako da vrijedi 0vyδ∂=

∂, tj. zaključujemo da će u

ravninskom stacionarnom strujanju brzina vδ biti funkcija samo koordinate x , tj. ( )v v xδ δ= .

y

x

granični sloj

y ∞

δ(x)

vδ

Strujanje fluida unutar graničnog sloja je opisano Prandtlovim jednadžbama, koje za slučaj stacionarnog, ravninskog strujanja, u dimenzijskom obliku glase

0u vx y∂ ∂

+ =∂ ∂

2

2

1u u p uu vx y x y

υρ

∂ ∂ ∂ ∂+ = − +

∂ ∂ ∂ ∂

0py∂

=∂

Iz treće jednadžbe se zaključuje da je tlak po presjeku graničnog sloja konstantan, odnosno da je u stacionarnom ravninskom strujanju tlak funkcija samo koordinate x , tj. ( )p p x= . Dakle ostaju nam prve dvije jednadžbe u kojima su tri nepoznata polja: u , v i p , pa je jasno da se Prandtlove jednadžbe ne mogu riješiti neovisno o vanjskom neviskoznom strujanju, koje je opisano Eulerovim jednadžbama (odnosno ako se može pretpostaviti bezvrtložno strujanje Laplaceovom jednadžbom). Za brzinu vδ na rubu graničnog sloja, uzimajući da vrijedi

( )v v xδ δ= , iz Eulerove jednadžbe za stacionarno ravninsko strujanje vrijedi

d 1 dd dv pvx xδ

δ ρ= −

Na taj način je usklađen broj jednadžbi i broj nepoznatih polja, a jednoznačno rješenje je definirano zadavanjem rubnih uvjeta. Prandtlove jednadžbe su paraboličkog tipa, pa je potrebno zadati sljedeće rubne uvjete

1) na ploči: za 0y = ; 0u v= = (viskozni fluid se lijepi na stijenku)

2) dovoljno daleko od tijela: za y →∞ ; ; u u v v∞ ∞= = (ne osjeća se utjecaj tijela)

3) ulazni presjek: na 0x = ; zadati profile komponenti brzine i u v .


Pri optjecanju tijela, se na prednjoj strani pojavljuje točka zastoja u kojoj se strujanje račva na dvije strane. Kao što je prije rečeno u okolišu točke zastoja je brzina mala, pa Reynoldsov broj poprima niske vrijednosti, što znači da u okolišu točke zastoja Prandtlove jednadžbe (koje su izvedene uz pretpostavku visokih vrijednosti Reynoldsova broja) ne vrijede. Stoga presjek 0x = od kojeg se počinju integrirati Prandtlove jednadžbe treba odabrati dovoljno daleko od točke zastoja, gdje je Reynoldsov broj dovoljno velik.

Valja primijetiti da su Prandtlove jednadžbe također nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe, za koje ne poznamo opće analitičko rješenje, te će ih se trebati rješavati numeričkim putem. Postavlja se pitanje što se dobilo zamjenom Navier-Stokesovih jednadžbi, jednadžbama graničnog sloja, ako se one opet moraju rješavati numerički. Jedna od dobrobiti pojednostavljivanja jednadžbi je da su one promijenile karakter. Navier-Stokesove jednadžbe su eliptičkog tipa, a Prandtlove jednadžbe su paraboličnog tipa. Eliptičnost jednadžbi fizikalno znači da će promjena stanja u nekoj promatranoj točki strujanja izazvati promjenu stanja u svim ostalim točkama strujanja, i obrnuto, promjena u bilo kojoj točki strujanja izazvat će promjenu i u promatranoj točki (ili kažemo da stanje u promatranoj točki utječe na stanje u čitavom području strujanja i istovremeno zavisi od stanja u svim točkama strujanja). U tom slučaju rubne uvjete je potrebno zadavati po svim rubovima područja strujanja. U slučaju paraboličnih jednadžbi, kakve su Prandtlove jednadžbe, stanje u promatranoj točki područja strujanja zavisi samo o stanju uzvodno od točke, a utječe na stanje u nizvodnim točkama. Zbog toga se kod Prandtlovih jednadžbi ne mora zadavati rubni uvjet na izlaznom presjeku x L= , jer što god mi zadali na tom rubu, to ne može imati nikakvog utjecaja na uzvodno polje strujanja. Numerički postupak za rješavanje paraboličkih jednadžbi ima marširajući karakter u kojem se polazi od ulaznog presjeka ( 0x = ) u kojem su zadani profili komponenti brzine, te se na temelju tih profila odrede profili u susjednom presjeku udaljenom za Δx . Nakon toga se prelazi na susjedni presjek udaljen od ovoga za Δx , i sve tako dok se ne dođe do kraja graničnog sloja. Kod eliptičkog problema bi nepoznanice u svim točkama unutra graničnog sloja bile povezane simultanim sustavom jednadžbi, čije rješavanje zahtijeva puno više računalnog vremena. Redoslijed rješavanja jednadžbi graničnog sloja je sljedeći:

1) Riješiti vanjsko neviskozno (potencijalno) strujanje i odrediti ddpx

. Rubni uvjet

nepromočivosti stijenke se primjenjuje na površini tijela.

2) S dobivenim ddpx

integrirati profile komponenti brzine u i v

3) Za slučaj jako zakrivljene geometrije treba ponoviti proračun pod 1) s korekcijom

rubnih uvjeta zbog postojanja graničnog sloja, čime se dobije korigirani ddpx

. Nakon

toga se ponovi integracija pod 2) Naravno da parabolični karakter jednadžbi graničnog sloja pretpostavlja da je strujanje fluida u graničnom sloju "priljubljeno uz stijenku", što nije uvijek slučaj, kao što će biti objašnjeno u nastavku. Naime, kod optjecanja jako zakrivljenih tijela dolazi do odvajanja strujanja, i tada je profil brzine u graničnom sloju takav da u određenom dijelu presjeka imamo strujanje prema nazad, što je protivno paraboličkom karakteru Prandtlovih jednadžbi, pa je jasno da u tom slučaju Prandtlove jednadžbe neće vrijediti, nego će za opis takva strujanja trebati primijeniti Navier-Stokesove jednadžbe.


Prandtlove jednadžbe izražene strujnom funkcijom

Prandtlove jednadžbe se mogu izraziti i s pomoću strujne funkcije ψ , za koju vrijedi

; u vy xψ ψ∂ ∂

= = −∂ ∂

Uvrštavanjem gornjih izraza u jednadžbu kontinuiteta, ona se svodi na identitet 0=0, te ostaje samo x -komponenta jednadžbe količine gibanja, koja prelazi u

2 2 3

2 3

1 dd

dd

px

vvy x y x y x y

δδ

ρ

ψ ψ ψ ψ ψυ

−

∂ ∂ ∂ ∂ ∂⋅ − ⋅ = +

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Ovo je parcijalna diferencijalna jednadžba 3. reda, čijim se rješavanjem uz odgovarajuće rubne uvjete dobije strujna funkcija ψ , iz koja se nađu u, v. Jednadžba je nelinearna i nema općeg analitičkog rješenja.

ODVAJANJE STRUJANJA

Eksperimenti pokazuju da se u graničnom sloju može pojaviti odvajanje strujanja, tj. strujnice prestaju slijediti konturu tijela. Kao što je već rečeno nakon točke odvajanja Prandtlove jednadžbe više ne vrijede. Slijedeće slike shematski prikazuju slike strujnica pri ravninskom optjecanju profila pod dva različita napadna kuta.

ρ, v∞

vmax.

ADB

v∞

A

D

C

B

Na gornjim slikama je s A označena točka zastoja, a s B točka u kojoj je brzina prema rješenju neviskoznog strujanja maksimalna. Od točke A do točke B brzina vδ na rubu graničnog sloja


se povećava, a prema Bernoullijevoj jednadžbi tlak se smanjuje. Nakon točke B brzina vδ se smanjuje a tlak raste. Na čestice fluida između točaka B i D djeluje sila tlaka koja je suprotna smjeru gibanja, što jasno dovodi do smanjenja brzine (kinetičke energije) čestica fluida, tako da se može pojaviti odvajanje strujanja, što se redovito događa pri većim napadnim kutovima, kao što prikazuje druga slika, na kojoj se odvajanje strujanja pojavljuje u točki C. Nakon pojave odvajanja, u području između točaka C i D nema povećanja tlaka, dakle tlak ostaje niži, što povećava silu otpora oblika. Sljedeće slike shematski pokazuju još neke primjere odvajanja strujanja.

Kratki cilindar

Dugi cilindar

v∞

v∞

točke ponovnognalijeganja strujanja

točka ponovnognalijeganja strujanja

vrtložni trag

vrtložni trag

zona rec irkulac ijskog strujanja

x

y

x

y

U točkama odvajanja i ponovnog nalijeganja strujanja je smično naprezanje jednako nuli.


Utjecaj gradijenta tlaka na izgled profila brzine i odvajanje strujanja u graničnom sloju

Promatrajmo strujanje unutar graničnog sloja pri horizontalnom optjecanju tijela sa zakrivljenom stijenkom. U blizini tjemena će biti presjek s maksimalnom brzinom u vanjskom

potencijalnom strujanju, u kojem će biti d 0dpx= . Uzvodno od toga presjeka je gradijent tlaka

negativan, a nizvodno pozitivan, kao što prikazuje donja slika.

y

x

vδ,max

p1 p1

p p1 2>p p1 2

<p2 p2

0dpdx

< 0dpdx

=0dp

dx>Točka odvajanja

to ka infleksiječ

U području negativnog gradijenta tlaka, rezultirajuća sila tlaka na česticu fluida djeluje u

smjeru njene brzine, pa se čestica ubrzava. Pri 0dpdx

> sile trenja i sila tlaka usporavaju

čestice fluida kojima se smanjuje kinetičke energije, te može doći do odvajanja strujanja, kako je shematski prikazano na gornjoj slici. Iz slike je jasno da u točki zastoja derivacija

komponente brzine u smjeru osi x mijenja predznak, pa je u toj točki 0uy∂

=∂

, odnosno u

točki odvajanja je smično naprezanje jednako nuli. Smično naprezanje je definirano izrazom

w00

0yy

u v uy x y

τ µ µ==

⎛ ⎞∂ ∂ ∂= + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

=

u kojem je derivacija 0

0y

vx =

∂=

∂, jer je v -komponenta brzine u svakoj točki površine jednaka

nuli.

Sada ćemo kvalitativno analizirati utjecaj gradijenta tlaka na izgled profila u -komponente brzine u graničnom sloju. Prema Prandtlovim jednadžbama za stacionarno strujanje u ravninskom graničnom sloju vrijedi /p y 0∂ ∂ = , što znači da je tlak funkcija samo koordinate x . Ako se x -komponenta količine gibanja iz sustava Prandtlovih jednadžbi za granični sloj, koja glasi

2

2

1u u dpu v ux y dx

υρ

∂ ∂ ∂+ = − ⋅ +

∂ ∂ ∂y

primijeni na samu stijenku, gdje , a prema rubnim uvjetima 0y → 0u = i , na samoj 0v =


stijenci ostaje ravnoteža sila tlaka i smičnih naprezanja

2

200

1

yy

u dpy dµ ==

∂= ⋅

∂ x

Ako se zna da je desna strana gornje jednadžbe funkcija samo od x , još jednim deriviranjem po dobije se y

3

30

0y

uy

=

∂=

∂

Iz čega se zaključuje da će profil druge derivacije brzine u na stijenci imati infleksiju. Ono što je važno zapamtiti je da predznak druge derivacije brzine na stijenci zavisi od predznaka gradijenta tlaka.

u

Na vanjskom rubu graničnog sloja ( y δ= ) vrijedi u vδ= , a iz pretpostavke da brzina na rubu

graničnog sloja nije funkcija slijedi i y2

20 ; 0y y

u uy yδ δ= =

∂ ∂= =

∂ ∂. Približavanjem vanjskom

rubu graničnog sloja, brzina u se približava brzini vδ , a prva derivacija uy∂∂

opada, što znači

da druga derivacija 2

2

uy∂∂

približavanjem vanjskom rubu graničnog sloja mora biti negativna.

Sljedeća slika kvalitativno prikazuje profile u komponente brzine u graničnom sloju za tri slučaja gradijenta tlaka.

1

to ka infleksiječ

1 1) Za slučaj negativnog gradijenta tlaka druga derivacija brzine je negativna unutar cijelog područja graničnog sloja, a prva derivacija je pozitivna u cijelom području (lako se zaključi iz činjenice da je na rubu prva derivacija jednaka nuli, a zbog negativne druge derivacije, ona je cijelo vrijeme opadala, što znači da je za y δ< morala biti pozitivna). Jasno je da je najveća vrijednost prve derivacije na stijenci.

2) Za slučaj 0dpdx

= druga derivacija brzine na stijenci je jednaka nuli, ali je unutar čitavog

područja graničnog sloja negativna, pa je profil brzine sličan onome iz prethodnog slučaja s jedinom razlikom da će prva derivacija brzine (tj. smično naprezanje) na stijenci biti manja.

3) Posebno je zanimljiv slučaj 0dpdx

> , jer će druga derivacija na stijenci biti pozitivna, a

znamo da ona na vanjskom rubu teži k nuli od negativnih vrijednosti, iz čega se zaključuje da će druga derivacija biti jednaka nuli negdje unutar područja graničnog sloja. U točki u kojoj je


druga derivacija brzine jednaka nuli prva derivacija brzine ima ekstrem, a profil brzine ima točku infleksije. Jasno je da se prva derivacija na stijenci smanjuje, a kada se pojavi

0

0y

uy =

∂=

∂ nastaje odvajanje strujanja. Također je jasno da se odvajanje strujanja može

pojaviti samo ako je druga derivacija brzine na stijenci pozitivna, odnosno za 0dpdx

> . Dakle

uvjet 0dpdx

> je nužan (ali ne i dovoljan) za pojavu odvajanja strujanja.

INTEGRALNI PRISTUP RJEŠAVANJU GRANIČNOG SLOJA

Prandtlove jednadžbe koje opisuju strujanje fluida u graničnom sloju su pojednostavljene Navier-Stokesove jednadžbe, ali su to još uvijek nelinearne parcijalne diferencijalne jednadžbe, koje je još uvijek potrebno rješavati numerički. Stoga se traži daljnje pojednostavljanje tih jednadžbi kojim će se moći jednostavnije doći do odgovora o vezi između brzine strujanja i smičnog naprezanja, odnosno sili na tijelo.

S obzirom da je debljina graničnog sloja pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja puno manja od duljine stjenke, nameće se ideja tretirati strujanje u graničnom sloju jednodimenzijskim, slično analizi strujanja u dugim cjevovodima, gdje se umjesto sa stvarnim profilom brzine računa sa srednjom brzinom. Integriranjem Prandtlovih jednadžbi po debljini graničnog sloja dovodi do von Kármanove impulsne jednadžbe, koja daje vezu smičnog naprezanje na stjenci s integralnim parametrima graničnog sloja.

No prije nego prijeđemo na izvod von Kármanove impulsne jednadžbe pogledajmo integralne relacije za granični sloj uz ravnu ploču, koje se dobiju integracijom jednadžbe kontinuiteta i komponente jednadžbe količine gibanja u smjeru strujanja.

Integralne relacije za granični sloj uz ravnu ploču Promatramo laminarno stacionarno ravninsko strujanje u graničnom sloju uz ravnu ploču zanemarive debljine, kao što prikazuje sljedeća slika.

y

y0u(y)

strujnica vanjski rub gr. sloja

grani ni slojč

p = konst.

xL


Uočimo kontrolni volumen ograničen jednim vertikalnim presjekom ispred ploče, vertikalnim presjekom na x L= , između strujnice 0y = i strujnice na udaljenosti dovoljno ispred ploče. Duljina je izabrana upravo tako da u izlaznom presjeku gornja strujnica ulazi u granični sloj debljine

0y y=L

δ . S obzirom da kroz strujnice nema protoka, jednadžba kontinuiteta kazuje da će protok kroz ulazni presjek biti jednak protoku kroz izlazni presjek, tj.

(a) 00

dv y u yδ

∞ = ⋅∫Ako se gornjoj jednadžbi doda član v δ∞− i podijeli ju se s v∞ , dobije se

00

(1 ) duy yv

δ

δ∞

− = − − ⋅∫

Integral u gornjem izrazu se naziva debljinom istisnuća i označuje s 1δ

10

(1 ) du yv

δ

δ∞

= − ⋅∫

Debljina istisnuća 1 y0δ δ= − pokazuje otklon strujnice (koja na presjeku x L= ulazi u granični sloj, na udaljenosti δ od ploče, a dovoljno daleko ispred ploče je bila na udaljenosti

od ravnine ploče) zbog postojanja graničnog sloja. 0y U opisanom strujanju je tlak konstantan, pa se sile tlaka međusobno poništavaju. Izvan graničnog sloja viskozne sile su zanemarive, a unutar graničnog sloja su viskozne sile uglavnom tangencijalne na površinu kontrolnog volumena. Tako bi sila između fluida i ploče bila jednaka integralu smičnih naprezanja po površini ploče, a na presjeku

xFx L= ,

komponenta viskoznih sila u smjeru osi x je zanemariva. S obzirom da kroz strujnice nema protoka, da su viskozne sile na strujnicama izvan graničnog sloja jednake nuli, prema integralnom obliku jednadžbe količine gibanja, sila je jednaka razlici impulsnih funkcija na ulaznom i izlaznom presjeku, tj. vrijedi

xF

1

2

20

0

dx

II

F v y uδ

ρ ρ∞= − ∫ 2 y (b)

Ako se u gornjem izrazu za umnožak iskoristi jednadžba kontinuiteta (a), dobije se 0v y∞

20

2 20

0 0d

d (1x

u y

u uF v v y u y vv v

δ

δ δ

δ

ρ ρ ρ∞ ∞ ∞∞ ∞

⋅

= − = −

∫

∫ ∫ )dy

gdje se posljednji integral u gornjem izrazu naziva impulsna debljina i označuje s 2δ

20

(1 )u u dyv v

δ

δ∞ ∞

= ⋅ − ⋅∫

Očito je za granični sloj uz ravnu ploču 2 2xF

vδ

ρ ∞

= , parametar koji direktno pokazuje veličinu

sile otpora.


Von Kármanova impulsna jednadžba za granični sloj Polazi se od pretpostavke stacionarnog, nestlačivog ravninskog strujanja oko blago zakrivljene stijenke, pri čemu je područje strujanja podijeljeno na područje graničnog sloja, unutar kojeg vrijede Prandtlove jednadžbe, područje vanjskog neviskoznog strujanja u kojem vrijede Eulerove jednadžbe. Dva se područja spajaju na vanjskom rubu graničnog sloja, gdje je brzina , za koju vrijedi ( )v v xδ δ=

d 1d dv pv dx xδ

δ ρ= −

y = 0 : = = 0u v

y

x

Unutar graničnog sloja vrijede Prandtlove jednadžbe, koje zapisane u konzervativnom obliku glase

JKG. x-komponenta 2 2

2

( ) ( )u uv dvv ux y dx

δδ υ

y∂ ∂

+ = +∂ ∂ ∂

∂ (1)

JK. 0u vx y∂ ∂

+ =∂ ∂

, koja nakon množenja s ( )v xδ prelazi u

( ) ( ) dd

uv vv vux y xδ δ δ∂ ∂+ =

∂ ∂ (2)

Oduzimanjem jednadžbe (1) od jednadžbe (2) slijedi

[ ] [ ]( )2

20

( ) ( ) ( ) xdv uu v u v v u v u y

x y dx y

δδ

δ δ δ υ=∞∂ ∂ ∂

− + − + − = −∂ ∂ ∂

d∫

Integriranjem gornje jednadžbe po debljini graničnog sloja (iako se integrali koji u podintegralnoj funkciji imaju član v uδ − mogu formalno integrirati i izvan graničnog sloja, jer je izvan graničnog sloja ), dobije se 0v uδ − =

[ ] [ ]0

0 0 0

( ) d ( ) ( )ddv uu v u y v v u v u yx dx y

δδ δδ δ

δ δ δ υ∂ ∂− + − + − = −

∂ ∂∫ ∫

Uvrštavanjem vrijednosti na donjoj i gornjoj granici integracije, uzimajući da vrijedi za

: , za 0y = 0u v= = y δ= : u vδ= i 0uy∂

=∂

, nakon sređivanja se dobije se

( ) ( )2 1

2

0 0 0

d(1 )d (1 )dd

w

y

x x

u u v u uv y v yx v v x v y

δ δδ

δ δδ δ δ

δ δ τ ρ

υ=

⎡ ⎤⎢ ⎥∂ ∂⎢ ⎥− + − =

∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫


U gornjoj su jednadžbi svi članovi funkcija samo koordinate x , a nakon deriviranja slijedi

2 22 1

d d d2d d d

wv vv v vx x xδ δ

δ δ δδ τδ δ

ρ+ + =

Nakon dijeljenja gornje jednadžbe s 2vδ slijedi konačan oblik von Kármanove impulsne jednadžbe za granični sloj

[ ]22 1 2

d 1 d 2d d

wvx v x v

δ

δ δ

δ τδ δρ

+ + = ili [ ]22 12 2

d 1 d 2d d

wv Hx v x v

δ

δ δ

δ τδρ

+ + =

gdje je 12 1 2/H δ δ= form parametar, a debljina istisnuća i impulsna debljina su definirane sljedećim izrazima.

10

(1 ) du yv

δ

δ

δ = − ⋅∫ i 20

(1 ) du u yv v

δ

δ δ

δ = ⋅ − ⋅∫

Von Kármanova impulsna jednadžba je obična diferencijalna jednadžba u kojoj su sve veličine funkcija samo x koordinate, a postupak njene primjene je sljedeći

1. Riješiti potencijalno strujanje i odrediti brzinu vδ i dvdx

δ

2. Pretpostaviti (što realnije) profil brzine unutar graničnog sloja oblika u yfvδ δ

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

;

gdje je f neka funkcija koja svakako zadovoljava rubne uvjete ( )0 0f = i . ( )1 1f =

3. Izračunati 1δ i 2δ iz pretpostavljenog profila, te izračunati 0

wy

uy

τ µ=

∂= ⋅

∂

4. Riješiti Von Karmanovu jednadžbu po parametru δ te natražno računati wτ i silu otpora.


TURBULENTNO STRUJANJE FLUIDA

Turbulentno strujanje fluida je najčešći oblik strujanja u prirodi, a pojavljuje se uvijek pri visokih vrijednostima Reynoldsova broja. Strujanje zraka oko automobila, aviona ili vlaka, strujanje vode oko brodskog trupa, strujanje u vodovodnim, plinovodnim i drugim cijevnim mrežama, neki su od tehničkih problema u kojima je strujanje redovito turbulentno. Neka strujanja fluida u prirodi, poput strujanja vode u rijekama (npr. nestacionarno strujanje oko stupa mosta) ili istjecanje dima iz dimnjaka (širenje perjanice nepravilna oblika) primjeri su turbulentnog strujanja fluida iz kojih se može steći predodžba o složenom karakteru takvog strujanja. Sama riječ turbulentan (koja ima značenja: nemiran, buran, u stanju jakog komešanja, žestoko uzburkan, pun poremećaja) jasno odražava karakter takva strujanja. Za dane stacionarne rubne uvjete, principijelno, uvijek postoji stacionarno rješenje Navier-Stokesovih jednadžbi (koje doduše zbog matematičkih poteškoća često ne možemo odrediti). Tako npr. stacionarno rješenje za strujanje fluida u okrugloj cijevi (dano na vježbama) postoji za bilo koju vrijednost Reynoldsova broja. Iskustvo nas uči, da se takvo rješenje može održati samo pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja (približno do 2300Re = ), a pri višim vrijednostima strujanje postaje nestabilno i prelazi u režim turbulentnoga strujanja, kako je to pokazao Reynolds svojim eksperimentom, u kojem je kroz sredinu prozirne cijevi puštao tanki mlaz obojene tekućine, kao što shematski prikazuje sljedeća slika.

OBOJENI FLUID

D

a) b) c) d)

Strujanje kroz cijev karakterizirano je Reynoldsovim brojem v DRe ρµ

⋅ ⋅= , kojeg je mogao

mijenjati uz pomoć ventila na kraju cijevi. Pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja, mlaz obojenog fluida, ostaje miran i ravan, što svjedoči o laminarnom strujanju, slika a). Pri određenom Reynoldsovom broju je mlaz počeo gubiti stabilnost, pojavljuje se periodičko iskrivljavanje obojenog mlaza, kao što shematski prikazuje slika b). Dodatnim malim povećanjem Reynoldsova broja, nestabilnost se naglo povećava, da bi vrlo brzo mlaz obojene tekućine praktički ispunio čitav presjek cijevi, što svjedoči o poprečnom gibanju čestica fluida. Reynoldsov broj kod kojega se pojavljuje prva nestabilnost strujanja se naziva kritičnim Reynoldsovim brojem. Vrijednost kritičnog Reynoldsova broja nije neka čvrsta vrijednost. Ona zavisi od oblika ulaza u cijev, hrapavosti stijenke cijevi, i nekih drugih faktora poput malog odstupanja od kružnog oblika poprečnog presjeka cijevi, čistoći fluida, vanjskim utjecajima, npr. vibracijama cijevi i sl. Stoga se mogu definirati i dvije vrijednosti kritičnog Reynoldsova broja: donja i gornja vrijednost. Donja vrijednost kritičnog Reynoldsova broja je ona ispod koje se ne pojavljuje nestabilnost strujanja (nije zabilježeno turbulentno strujanje), a


gornja vrijednost je ona iznad koje nije zabilježeno laminarno strujanje. Za okrugle cijevi s oštrim ulaznim bridom se za donju vrijednost kritičnog Reynoldsovog broja uzima vrijednost , a za gornju vrijednost približno (naime u laboratorijskim uvjetima se uspjelo u cijevi održati laminarno strujanje do tog Reynoldsova broja).

krd =2320Re krg =40000Re

Naravno da je kritična vrijednost Reynoldsovog broja različita za različita strujanja. Tako je npr. za strujanje u pravokutnom kanalu, kojemu je širina veća od visine, kritični Reynoldsov

broj na temelju srednje brzine i visine kanala bio kr 500srv hReD

ρ ⋅ ⋅= ≈ .

h

Dakle da rezimiramo: U prirodi se može ostvariti samo ono stacionarno strujanje fluida koje je stabilno u odnosu na male perturbacije. Matematičko ispitivanje stabilnosti rješenja Navier-Stokesovih jednadžbi bi se vršilo perturbiranjem (dodavanjem malog harmoničkog poremećaja) osnovnom stacionarnom rješenju. Ukoliko perturbacija (nametnuti mali poremećaj) slabi u vremenu, strujanje je stabilno i ostaje stacionarno. Takvo strujanje nazivamo laminarnim. Ukoliko perturbacije ne slabe, već se pojačavaju, strujanje postaje nestacionarno, bez obzira na stacionarne rubne uvjete i postupno dobiva kaotičan karakter. Takvo strujanje nazivamo turbulentnim. Primijetimo da turbulentno strujanje fluida ima unutrašnje stupnjeve slobode, jer je nestacionarno za stacionarne rubne uvjete pa analitičko opisivanje takvog strujanja nije moguće. Bez da ulazimo u matematičko ispitivanje stabilnosti rješenja, jednostavnim razmišljanjem se može pokazati da je neviskozno strujanje, prema slici a), u kojem se slojevi fluida gibaju relativnom brzinom jedan u odnosu na drugi apsolutno nestabilno.

Slika a) prikazuje strujnice u ravninskom neviskoznom strujanju. Prema jednadžbi kontinuiteta protok između dvije strujnice je konstantan, pa će za slučaj paralelnih strujnica i brzina biti konstantna, a prema Bernoullijevoj jednadžbi će tada i tlak biti konstantan. Na granici dvaju slojeva imamo skok brzine (beskonačni gradijent), što uzrokuje nestabilnost ovakvog strujanja. Pretpostavimo da se granica dvaju slojeva ma kako malo deformira (ne ulazeći u razlog toj deformaciji), kako prikazuje slika b). Na mjestima gdje se razmak među strujnicama povećao, brzina će (prema jednadžbi kontinuiteta) opasti, a tlak će se (prema Bernoulllijevoj jednadžbi) povećati. Dakle nastat će sile, koje će tu strujnicu još više deformirati, kao što prikazuje slika c), a vrlo brzo će strujanje poprimiti vrtložnu strukturu, kao što prikazuje slika d).

Naravno da u viskoznom strujanju ne može postojati beskonačni gradijent brzine, a može se očekivati da će sklonost nastanku nestabilnosti viskoznog strujanja rasti s povećanjem gradijenta brzine i s udaljavanjem od stijenke, na kojoj je brzina jednaka nuli.


Osnovne karakteristike turbulentnih strujanja fluida

Turbulentno strujanje je kaotično strujanje fluida u kojem sve promjenjive veličine pokazuju slučajne promjene po vremenskoj i prostornim koordinatama, pri čemu je moguće razlučiti njihove statistički osrednjene vrijednosti.

Turbulentno strujanje je izrazito nestacionarno strujanje, karakterizirano intenzivnim miješanjem fluida na razini većih ili manjih čestica. Intenzivno miješanje na nivou čestica daje turbulentnom strujanju difuzijski karakter s logičnom posljedicom povećanja disipacije energije.

1) Nestacionarnost:

Donja slika shematski prikazuje granični sloj uz ravnu ploču. Na samom početku razvija se laminarni granični sloj, koji pri određenoj vrijednosti (kritičnoj vrijednosti) Reynoldsova

broja 5 6krkr 3 10 do 3 10v xRe

ν∞ ⋅= ≈ ⋅ ⋅ postaje nestabilan. U presjeku krx x= periodički se i

relativno rijetko u prostoru pojavljuju nestabilnosti strujanja (pulsacije brzine i tlaka). Daljnjim udaljavanjem od tog presjeka u smjeru strujanja pulsacije postaju sve češće, i sve gušće u prostoru, tako da nakon nekog presjeka govorimo o potpuno razvijenom turbulentnom strujanju.

v∞

x

A B C

Dd(x)

Laminarno Tranzijentno Razvijeno turbulentno

Sljedeća slika shematski prikazuje rezultate mjerenja tlaka u točkama A i B, od kojih je točka A u laminarnom dijelu graničnog sloja, a točka B u prijelaznom (tranzijentnom) području. U točki B je tlak u nekim vremenskim periodima približno stalan (za vrijeme dok se u točki ne nalazi poremećaj), a u nekim periodima nestacionaran (za vrijeme dok nestabilnost prolazi točkom).

p p

t t"A" - laminarno strujanje

"B" - tranzijentno strujanje

Shematski prikaz rezultata mjerenja tlaka u točki C, koja se nalazi u području razvijene turbulencije i točki D koja se nalazi također u području razvijene turbulencije, ali pri rubu graničnog sloja, dan je na sljedećoj slici. U razvijenom turbulentnom strujanju tlak u točki C

krx


će stalno pokazivati slučajne pulsacije, dok će u točki D postojati vremenski periodi s bitno smanjenim pulsacijama tlaka, što svjedoči o nestalnosti ruba graničnog sloja (ako se o rubu graničnog sloja uopće može govoriti u smislu ruba u laminarnom strujanju). Naime rub graničnog sloja poput ostalih veličina također će pokazivati slučajne promjene i u svakom trenutku će izgledati drukčije. U tom smislu točka D će se u jednom trenutku nalaziti unutar graničnog sloja, a u nekom drugom izvan. Tada ugovorimo da se u točki D pojavljuje intermitirajuća turbulencija.

pp

tt"C" - razvijeno turbulentno strujanje

"D" - intermitentno strujanje

U primjeru turbulentnog strujanja u cijevima također se može govoriti o nestacionarnosti turbulentnog strujanja. Slike dolje lijevo kvalitativno prikazuju rezultate mjerenja jedne komponente brzine u točki prostora tijekom vremena. U laminarnom stacionarnom strujanju vrijednost ostaje stalna u vremenu, a u nestacionarnom brzina je glatka funkcija vremena. U turbulentnom strujanju pojavljuju se slučajne brzine oko statistički osrednjene vrijednosti (govorimo o vremenskim pulsacijama). Ako je statistički osrednjena vrijednost stalna u vremenu turbulentno strujanje nazivamo kvazistacionarnim (ne možemo ga zvati stacionarnim jer je ono izrazito nestacionarno).

v

v

t

t

stacionarno

turb. kvazistac ionarno

nestac ionarno

turb. nestac ionarno

Laminarno

Turbulentno

U TO KIČ U PRESJEKU

t = t1

t = t2

Gledano po presjeku cijevi trenutni profil brzine u turbulentnom strujanju ne bi bio gladak, i u svakom vremenskom trenutku bi drukčije izgledao. Statistički osrednjena vrijednost profila je međutim glatka funkcija, a slučajna odstupanja vrijednosti brzine od statistički osrednjene vrijednosti u promatranoj točki presjeka nazivamo pulsacijom, koja se ovdje prikazuje po presjeku. 2) Difuzijski karakter turbulentnog strujanja

Prijenos fizikalne veličine u strujanju fluida odvija se putem konvekcije (uslijed strujanja fluida - tj. čestica fluida kao nositelj fizikalnog svojstva svojim premještanjem prenosi i fizikalno svojstvo) i putem difuzije. Difuzija je posljedica kaotičnog gibanja atoma, odnosno


molekula, putem kojeg se fizikalno svojstvo širi po prostoru. Makroskopski gledano difuzija će se manifestirati za slučaj postojanja gradijenta fizikalnih veličina. Difuzijske procese nazivamo i spontanim procesima, jer se odvijaju sami od sebe, sve dok postoji gradijent fizikalne veličine. Primjer difuzijskog procesa je provođenje topline, iz područja s višom prema području s nižom temperaturom. Sljedeća slika daje primjer dvaju paralelnih strujanja istom brzinom u , različitih temperatura 1T i 2T . Ako je strujanje laminarno (dakle svaka čestica se giba u svom sloju) čestice će se gibati pravocrtno, a dvije čestice fluida iz dvije struje različite temperature koje su istovremeno izašle iza pregrade ostat će sve vrijeme susjede. Konvekcijom se toplina može prenijeti samo u smjeru gibanja, a ako nema toplinske provodnosti, neće biti izmjene (difuzije) topline među česticama i one će zadržati svaka svoju temperaturu, a profil temperature će ostati nepromijenjen (na slici je to slučaj označen s

0λ = , lam.). S obzirom da uvijek postoji toplinska provodnost doći će do prijelaza topline s toplije na hladniju česticu, i što god su čestice dulje u kontaktu to će više topline biti izmijenjeno. Kao posljedica toga profil temperature će težiti izjednačavanju, kao što prikazuje slika (slučaj označen s 0λ ≠ , lam.).

u

u

T1

T2

l = 0lam.

l = 0lam.

l = 0turb.

Da bismo ilustrirali turbulentnu difuziju ponovo ćemo promatrati toplinski nevodljiv fluid. U turbulentnom strujanju čestice fluida se gibaju kaotično u svim smjerovima (pri čemu je globalno strujanje u desno statistički osrednjenom brzinom, npr. brzinom u ). Prema tome u turbulentnom strujanju će čestice toplijeg fluida ulaziti među čestice hladnijeg fluida, i obrnuto, doći će do prodora hladnijih čestica među toplije čestice. Ovo miješanje imat će za posljedicu profil temperature sličan onome iz laminarnog strujanja s toplinskom provodnošću, pa govorimo o turbulentnoj difuziji. Iz rečenog je jasno da turbulentna difuzija ima porijeklo u konvektivnom prijenosu fizikalnog svojstva uslijed gibanja čestica u poprečnom smjeru u odnosu na smjer glavnog strujanja. U realnim strujanjima imamo i molekularnu difuziju (uslijed toplinske provodnosti) i turbulentnu difuziju (uslijed turbulentnog miješanja čestica fluida – možemo govoriti i o turbulentnoj provodnosti). U razvijenom turbulentnom strujanju (pri intenzivnom miješanju čestica fluida) turbulentna difuzija može biti puno jača od molekularne.

Ako je toplinska provodnost fluida koeficijent difuzije (u Fourierovom zakonu toplinske provodnosti) za difuziju topline, onda je viskoznost koeficijent difuzije za količinu gibanja. Naime u laminarnom strujanju, u kojem se čestice gibaju pravocrtno, količina gibanja se putem konvekcije prenosi samo u smjeru strujanja. Uslijed viskoznosti među slojevima fluida se pojavljuje smično (viskozno) naprezanje, putem kojeg se količina gibanja prenosi s bržeg na sporiji sloj (brži slojevi povlače za sobom sporije). Naravno, ako se radi o turbulentnom strujanju brže čestice će "uskakati" među sporije čestice i time im povećavati količinu gibanja, a "uskakanje" sporijih čestica među brže čestice će im smanjivati količinu gibanja. Taj proces prijenosa količine gibanja putem turbulentnog miješanja čestica fluida se naziva turbulentna difuzija. Molekularna viskoznost, definira viskozna naprezanja, odnosno molekularnu difuziju količine gibanja. Možemo govoriti da je za turbulentnu difuziju količine gibanja odgovorna turbulentna viskoznost, koja uzrokuje turbulentna naprezanja. Jasno je da je molekularna viskoznost fizikalno svojstvo fluida, a turbulentna viskoznost ne. Turbulentna viskoznost je posljedica režima strujanja, a u laminarnom strujanju je jednaka nuli.


Iz rečenog je jasno da će u uvjetima veće difuzije i profil brzine u strujanju kroz okruglu cijev biti ujednačeniji (jer difuzija ima tendenciju ujednačavanja profila). To se lijepo vidi iz sljedećeg dijagrama (dolje, lijevo), u kojem su nacrtana dva profila brzine svedena na istu srednju brzinu.

1u u/ sr u u/ sr

laminarno

turbulentno

Re=104

Re=106

Dijagram desno kvalitativno prikazuje utjecaj Reynoldsova broja. Može se zaključiti da s povećanjem Reynoldsova broja, prema očekivanju, raste utjecaj turbulentne difuzije.

3) Povećana disipacija energije

Iz dijagrama na slici gore lijevo, na kojem su prikazani profili brzine u laminarnom i turbulentnom strujanju, tako da su svedeni na jednaku srednju brzinu, očito je da će gradijent brzine na stijenci cijevi biti veći u turbulentnom nego u laminarnom strujanju, što znači da će biti i veće smično naprezanje. Veće smično naprezanje označuje veću disipaciju energije (bržu pretvorbu mehaničke u unutrašnju energiju – koju u strujanju u cijevima nazivamo i gubitkom mehaničke energije). O tome se lako osvjedočiti i iz Darcy-Weissbachovog izraza za pad tlaka (pad tlaka mjeri gubitak energije, a razmjeran je smičnom naprezanju na stijenci cijevi) za strujanje u cijevima, koji glasi

2sr

2L vpD

λ ρΔ = ⋅ ⋅ ⋅

U laminarnom strujanju je faktor trenja sr

64 64Re v D

υλ = = , pa će pad tlaka biti linearno razmjeran

srednjoj brzini strujanja. U turbulentnom strujanju, u režimu potpuno izražene turbulencije faktor trenja je konstantan (sjetimo se Moodyeva dijagrama), što znači da će pad tlaka biti razmjeran kvadratu srednje brzine.

Slična je situacija i pri optjecanju tijela, gdje definiramo koeficijent otpora

21

2

DD

FCv Sρ ∞

=

koji govori o sili otpora, odnosno o snazi potrebnoj za gibanje tijela kroz mirujući fluid (to je snaga potrebna za svladavanje sile otpora, koja se predaje fluidu, a u konačnici se pretvara u unutarnju energiju fluida, što nazivamo disipacijom energije). Pri optjecanju bilo kojeg tijela za slučaj niskih vrijednosti Reynoldsova broja (slučaj laminarnog strujanja) koeficijent otpora

je oblika konst.DC

Re= , gdje vrijednost konstante zavisi od oblika tijela. U tom je slučaju sila

otpora razmjerna brzini optjecanja tijela. Za slučaj razvijenog turbulentnog strujanja koeficijent otpora je približno konstantan, što znači da je sila otpora razmjerna kvadratu brzine optjecanja.

410Re= 610Re=


Statističko opisivanje turbulencije Kao što je rečeno, turbulentno strujanje je izrazito nestacionarno strujanje, koje se zbog svoje stohastičke prirode ne može opisati analitički. Turbulencija je to izraženija što je veći Reynoldsov broj. U razvijenom turbulentnom strujanju sve veličine pokazuju slučajne pulsacije u širokom spektru frekvencija (gledano vremenski) i u širokom spektru valnih duljina (gledano prostorno). Pri numeričkom rješavanju Navier-Stokesovih jednadžbi za slučaj razvijenog turbulentnog strujanja diskretizacija područja proračuna (geometrijska mreža) bi morala biti tako sitna da se obuhvate i najmanje amplitude pulsacija, a vremenski korak integracije bi morao biti tako mali da se obuhvate i najviše frekvencije turbulentnih pulsacija, što je vrlo zahtjevno sa stajališta kapaciteta i brzine računanja računala. Rezultat takva rješavanja bi bio skup numeričkih vrijednosti traženih polja fizikalnih veličina (u nestlačivom strujanju bi to bila polja brzine i tlaka) u velikom broju prostornih točaka za veliki broj vremenskih trenutaka. Ono što zanima inženjera su obično neke integralne veličine poput protoka, ukupne sile tlaka, ukupne viskozne sile na neku površinu i sl. Te integralne veličine također pokazuju slučajne promjene u vremenu, a inženjera će zanimati ne neka trenutna vrijednost, nego prosječna vrijednost i eventualno amplituda odstupanja od te prosječne vrijednosti. Dakle, ako bi inženjeru dali numeričko rješenje u velikom broju vremenskih koraka, on bi te rezultate uprosječio po vremenu, pa se nameće sama po sebi ideja da se prije rješavanja Navier-Stokesovih jednadžbi, sve veličine u tim jednadžbama uprosječe, te da se rješavaju jednadžbe za uprosječene veličine, koje inženjera i zanimaju. Time se značajno olakšava zadaća numeričkog rješavanja tih jednadžbi, jer koraci prostorne i vremenske diskretizacije više ne moraju biti onako mali. Danas se najčešće koristi vremensko uprosječenje (Reynoldsovo osrednjavanje). Ako je f neka veličina u turbulentnom strujanju, ona se može prikazati zbrojem vremenski osrednjene vrijednosti f i pulsirajućeg dijela f ′ ( 'f f f= + ). Vremenski osrednjena vrijednost f u razdoblju 0T je po definiciji

0

0

2

02

1( , ) ( , )

T

i iT

f x t f x t dT

τ τ−

= ⋅ − ⋅∫

gdje 0T mora biti odabrano tako da vrijedi f f= . Jasno je da kada se radi o kvazistacionarnom turbulentnom strujanju ( f nije funkcija vremena), razdoblje osrednjavanja može težiti u beskonačno. Dakle potez nad veličinom označuje vremensko osrednjavanje koje je definirano integralom, a za integriranje vrijedi da je integral zbroja jednak zbroju integrala. Dvostruki potez, npr f označuje osrednjavanje osrednjene veličine. Za dobro odabrano razdoblje osrednjavanja, dakle vrijedi

' 0f f f f f f f= − = − = − = Ili riječima: Vremenski osrednjena vrijednost pulsirajućeg dijela bilo koje fizikalne veličine jednaka je nuli. Osrednjena vrijednost prostorne derivacije (gradijenta) veličine f je

0 0

0 0

2 2

0 02 2

( , )1 1 ( , )

T T

ii

T Ti i i i

f x tdf fd f x t ddx T x x T x

τ τ τ τ− −

⎛ ⎞∂ − ∂ ∂⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫


Za osrednjenu vrijednost vremenske derivacije, vrijedi analogno 0 0

0 0

2 2

0 02 2

( , )1 1 ( , )

T T

ii

T T

f x tdf fd f x t ddt T t t T t

τ τ τ τ− −

⎛ ⎞∂ − ∂ ∂⎜ ⎟= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

Ili riječima: Osrednjena vrijednost derivacije jednaka je derivaciji osrednjene vrijednosti.

Ako su f i g dvije veličine u kvazistacionarnom turbulentnom strujanju, pri čemu je 'f f f= + i 'g g g= + , vrijede sljedeće relacije

' ' 0f g f g⋅ = ⋅ =

( )' 'f g f g g f g f g f g⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⋅

( ) ( )' ' ' 'f g f f g g f g f g⋅ = + ⋅ + = ⋅ + ⋅

Valja primijetiti da osrednjena vrijednost umnoška dvaju pulsirajućih dijelova fizikalnih veličina nije jednaka nuli1. U konzervativnom obliku jednadžbe količine gibanja pojavljuje se umnožak i jv v čija osrednjena vrijednost je

' 'i j i j i jv v v v v v= +

Član ' 'i jv v označuje dvostruku korelaciju brzina2 u točki, a fizikalno gledano će taj član opisivati turbulentnu difuziju količine gibanja, odnosno prijenos količine gibanja uslijed miješanja čestica fluida. Kontrakcijom indeksa u gornjem izrazu i njegovim dijeljenjem s dva dobije se

22 21 1 1 '

2 2 2i i i

a b c

v v v= +

Ako sliku strujanja u turbulentnom strujanju gledamo kao zbroj vremenski osrednjenog (glavnog strujanja) opisanog poljem brzine iv i pulsirajućeg strujanja opisanog poljem brzine

iv′ , tada je fizikalno tumačenje članova u gornjoj jednakosti sljedeće

a) Osrednjena vrijednost ukupne specifične kinetičke energije strujanja b) Specifična kinetička energija glavnog (osrednjenog) strujanja c) Osrednjena vrijednost kinetičke energije pulsirajućeg strujanja ili kinetička energija

turbulencije (označava se s / 2i ik v v′ ′= )

1 Na temelju toga umnoška se može govoriti o korelaciji dviju veličina, koja se izražava koeficijentom korelacije

f gRf f g g

′ ′⋅=

′ ′ ′ ′⋅ ⋅ ⋅

Apsolutna vrijednost gore definiranog koeficijenta je u granicama od nula do jedan. Vrijednost koeficijent korelacije jednaka nuli kazuje da su pulsacije veličina potpuno nezavisne, a vrijednost koeficijenta korelacije jednaka jedan da među njima postoji jednoznačna veza. 2 To je tenzorska veličina. Ako se njena vrijednost ne mijenja pri zakretanju koordinatnog sustava govorimo o izotropnoj turbulenciji, a ako se njena vrijednost ne mijenja pri translaciji koordinatnog sustava govori se o homogenoj turbulenciji.


Vremenski osrednjene jednadžbe za slučaj nestlačivog strujanja Promatrat ćemo nestlačivo turbulentno strujanje ( ρ =konst.), u kojem ćemo zanemariti utjecaj masenih sila ( 0if ≡ ). Takvo je strujanje opisano jednadžbom kontinuiteta i jednadžbom količine gibanja u kojima su nepoznanice komponente polja brzine iv i polje tlaka p . Ove ćemo veličine prikazati zbrojem osrednjene vrijednosti i pulsirajućeg dijela i i iv v v′= + i p p p′= + 1. Jednadžba kontinuiteta za nestlačivo strujanje je

0=∂∂

j

j

xv

ili ( )

0j j

j

v vx

′∂ +=

∂

Gledano u svjetlu prikaza strujanja zbrojem osrednjenog i pulsirajućeg strujanje, gornja jednadžba kontinuiteta vrijedi za ukupno strujanje, a čijim se osrednjavanjem dobije jednadžba kontinuiteta za osrednjeno strujanje

0=∂∂

j

j

xv

Ako se od jednadžbe kontinuiteta za ukupno strujanje oduzme jednadžba kontinuiteta za osrednjeno strujanje, dobit će se jednadžba kontinuiteta za pulsirajuće strujanje

0j

j

vx′∂=

∂

Očito da u slučaju linearne jednadžbe kontinuiteta vrijedi princip superpozicije (zbroj dvaju rješenja jednadžbe je također rješenje jednadžbe), pa su jednadžbe kontinuiteta za osrednjeno i pulsirajuće strujanje istovjetne jednadžbi za ukupno strujanje. S obzirom da nas zanima samo vremenski osrednjeno strujanje, jednadžbu kontinuiteta za pulsirajuće strujanje nećemo promatrati. 2. jednadžba količine gibanja za nestlačivo strujanje je

( ) ji ij i

j i j j i

vv p vv vt x x x x x

ρ ρ μ⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂

+ = − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

ili u prikazu s pomoću osrednjenih i pulsirajućih dijelova polja brzine i tlaka

( )( )[ ] ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂

′∂+

∂′∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

∂∂

+∂∂

∂∂

+∂

′−∂−=′+′+

∂∂

+∂

′+∂

i

j

j

il

i

j

j

il

iiiijj

j

ii

xv

xv

xv

xv

xxppvvvv

xtvv μμρρ )(

Vremenskim osrednjavanjem jednadžbe količine gibanja (uvažavajući prije definirana pravila) dobije se jednadžba količine gibanja za osrednjeno strujanje, koja glasi

( ) ji ij i i j

j i i j i

vv p vv v v vt x x x x x

ρ ρ μ ρ⎡ ⎤⎛ ⎞∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ′ ′+ = − + + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Skup vremenski osrednjenih jednadžbi kontinuiteta i količine gibanja se naziva Reynoldsovim jednadžbama. Jednadžba količine gibanja za pulsirajuće strujanje bi se dobila oduzimanjem jednadžbe količine gibanja za osrednjeno strujanje od jednadžbe količine gibanja za ukupno strujanje, no ta nam jednadžba ne treba jer nam je ideja gledati samo osrednjeno strujanje. Iz gornje jednadžbe je jasno da nećemo moći gledati samo osrednjeno strujanje, ne vodeći računa o pulsirajućem strujanju, jer se u jednadžbi količine gibanja (zbog nelinearnog konvektivnog člana, u kojem se pojavljuje umnožak j iv v ) pojavljuje predstavnik pulsirajućeg


strujanja, član i jv vρ ′ ′− . Taj član označuje turbulentnu difuziju količine gibanja, a budući da

molekularna difuzija odgovara viskoznim naprezanjima, to će se član i jv vρ ′ ′− nazivati turbulentnim ili Reynoldsovim naprezanjima. Tenzor Reynoldsovih naprezanja je simetričan tenzor u kojemu je šest nepoznanica

1 1 1 2 1 3

2 2 2 3

3 3

simetričnoi j

v v v v v v

v v v v v v

v v

ρ ρ ρ

ρ ρ ρ

ρ

′ ′ ′ ′ ′ ′− − −

′ ′ ′ ′ ′ ′− = − −

′ ′−

Jasno je da Reynoldsove jednadžbe sadrže više nepoznanica, nego što ima jednadžbi, pa takav sustav nema jednoznačno rješenje. Mogli bismo izvesti i jednadžbu za Reynoldsova naprezanja (dvojnu korelaciju brzina). U jednadžbi za dvojnu korelaciju pojavile bi se trojna korelacija i j kv v v′ ′ ′ i još neke nove nepoznate korelacije. Za sve ove korelacije, polazeći od N-S jednadžbi, također se mogu izvesti pripadne jednadžbe u kojima bi se zbog nelinearnosti N-S jednadžbi pojavljivale nove i nove nepoznate korelacije, tako da bi broj nepoznanica brže rastao od broja jednadžbi. Stohastičku prirodu turbulentnog strujanja prikazali smo vremenski osrednjenim poljima brzine i tlaka, te time izgubili dio informacija koje sadrže N-S jednadžbe. Da bi povratili izgubljene informacije potrebno je poznavati beskonačno mnogo korelacija brzina i tlaka. S druge strane, iskustvo pokazuje da je dovoljno poznavati konačan broj korelacija da bi se proračunale karakteristike polja interesantne sa stajališta inženjerske prakse, i na toj se činjenici temelje modeli turbulencije. Zadatak modela turbulencije je usklađivanje broja jednadžbi i broja nepoznatih polja, zaustavljajući se na određenoj korelaciji. Sve više korelacije modeliraju se pomoću nižih koje su obuhvaćene modelom turbulencije. Opći zahtjevi koji se postavljaju pred model turbulencije su: univerzalnost, točnost, mogućnost ekonomičnog rješavanja i jednostavnost.

Model turbulencije

Modeli turbulencije dijele se s obzirom na red korelacije brzina za koju se rješava transportna jednadžba na: modele prvog, drugog i trećeg reda. U modelima prvog reda, koji su najjednostavniji, modelira se već dvojna korelacija brzina, odnosno tenzor Reynoldsovih naprezanja i to uglavnom prema hipotezi Boussinesqa u obliku:

t23

jii j ij

j i

vvv v kx x

ρ μ ρ δ⎛ ⎞∂∂′ ′− = + −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

gdje je tμ koeficijent turbulentne viskoznosti koji nije fizikalno svojstvo fluida već funkcija uvjeta strujanja, a u laminarnom strujanju jednak je nuli. Član s kinetičkom energijom turbulencije / 2i ik v v′ ′= dodan je u cilju zadovoljavanja gornje jednadžbe za slučaj kontrakcije indeksa. S obzirom na analogiju gornjeg izraza s Newtonovim zakonom viskoznosti, modeli koji se temelje na toj pretpostavci nazivaju se newtonovskim modelima turbulencije. Hipotezom Boussinesqa šest komponenti tenzora Reynolsovih naprezanja modelirano je jednim nepoznatim poljem koeficijenta turbulentne viskoznosti. Postoji više načina modeliranja koeficijenata turbulentne viskoznosti, a mi ćemo se zadržati na najjednostavnijem prema analogiji s kinetičkom teorijom plinova.


Prandtlova hipoteza puta miješanja Boussinesqova ideja da turbulentna naprezanja (koja su posljedica kaotičnog turbulentnog miješanja čestica fluida) modelira slično viskoznim naprezanjima (koja su posljedica kaotičnog gibanja atoma i molekula unutar čestica fluida), direktno vodi k Prandtlovom modelu turbulentne viskoznosti koji se temelji na analogiji s molekularnom viskoznošću, koja je definirana kinetičkom teorijom plinova. Prema kinetičkoj teoriji plinova viskoznost fluida je manifestacija molekularnog gibanja, kojeg opažamo u makrosvijetu. Po toj teoriji viskoznost fluida je razmjerna gustoći fluida, slobodnoj putanji molekula i karakterističnoj brzini molekula. Analogno tome se definira turbulentnu viskoznost u obliku t m tl vμ ρ= gdje su: ml - duljina puta miješanja čestica fluida u turbulentnom strujanju tv - karakteristična brzina turbulentnih pulsacija Prema tome turbulentna viskoznost je definirana s dvije karakteristične veličine u turbulentnom strujanju, a gornja relacija čini osnovu za veći broj modela turbulencije, koji se razlikuju po definiciji te dvije karakteristične veličine u turbulenciji. Proučavajući strujanje u graničnom sloju Prandtl je predložio sljedeću relaciju između puta miješanja i karakteristične brzine turbulencije

1t m

2

vv lx∂

=∂

što uvršteno u gornju relaciju, daje konačni izraz za koeficijent turbulentne viskoznosti

2 1m

2t

vlx

μ ρ ∂=

∂

u kojem se pojavljuje samo nepoznata duljina puta miješanja ml . Ova se duljina propisuje algebarskim relacijama na temelju eksperimentalnih mjerenja. Naravno da je to nedostatak ovog modela jer je primjenjiv samo u situacijama za koje već postoje eksperimentalna mjerenja temeljem kojih se može propisati put miješanja. Uvrštavanjem hipoteze Boussinesqa u Reynoldsove jednadžbe one prelaze u oblik

0=∂∂

j

j

xv

( ) ( )

efektivnitlak

fektivnaviskoznost

t

23

e

ji ij i

j i j j i

p k vv vv vt x x x x x

ρρ ρ μ μ

⎛ ⎞ ⎡ ⎤∂ +⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎢ ⎥∂∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠+ = − + + +⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Očito je da Reynoldsove jednadžbe koje opisuju vremenski osrednjeno turbulentno strujanje fluida imaju isti oblik kao i polazne Navier.Stokesove jednadžbe, koje opisuju ukupno strujanje, s razlikom da se u Reynoldsovim jednadžbama pojavljuju vremenski osrednjene veličine, umjesto tlaka se pojavljuje efektivni tlak, a umjesto viskoznosti fluida efektivna viskoznost. Iz toga se dade zaključiti da će i von Kármánova impulsna jednadžba za turbulentno strujanje fluida imati isti oblik kao i za laminarno strujanje s tim da će se u njoj pojavljivati vremenski osrednjene veličine.

MEHANIKA FLUIDA II – Što valja zapamtiti

76

Strujanje u blizini čvrste stijenke (višeslojni model turbulentnog graničnog sloja) Promotrimo s teorijskog stajališta vremenski osrednjeno strujanje u blizini ravne stijenke. Pretpostavimo ravninsko strujanje (u koordinatnom sustavu s osi 1x duž stijenke i osi 2x okomito na stijenku). Neka je strujanje stacionarno s izobraženim profilom brzine ( )1 1 2v v x= (kao u strujanju u cjevovodu) i neka je strujanje bez gradijenta tlaka (kao u graničnom sloju uz ravnu ploču).

Iz jednadžbe kontinuiteta za vremenski osrednjeno strujanje slijedi

02

2

1

1 =∂∂

+∂∂

xv

xv

, odnosno prema pretpostavci je 01

1 =∂∂xv , pa je 2

2

0vx∂

=∂

, odnosno 2 0v ≡ .

Iz komponente jednadžbe količine gibanja u smjeru strujanja, za 1i = dobije se

( )1 2

2

1

2 221

1t

vvx x

v vvx x

ρ ρ μ μ⎡ ⎤∂∂∂ ∂

+ = +⎢ ⎥∂ ∂⎣∂ ⎦∂

S obzirom da je konvekcijski član jednak nuli ostaje

( )

21

1

2 2

0tv

x xσ τ

μ μ

=

⎡ ⎤∂ ∂+ =⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

gdje izraz u uglatoj zagradi označuje ukupno viskozno i turbulentno naprezanje 21σ , kojeg ćemo jednostavno označavati s τ . S obzirom da smo pretpostavili strujanje izobraženim profilom brzine ( 1v nije funkcija od 1x ) integracijom gornje jednadžbe dobije se

( ) 1

2t

v Cx

τ μ μ ∂= + =

∂

gdje se vrijednost konstante C određuje iz rubnog uvjeta: za 2 0x = ; wτ τ= , pa vrijedi

( ) 1w

2

konst.tvx

τ μ μ τ∂= + = =

∂

što će reći da je smično naprezanje konstantno po debljini graničnog sloja. Analizirajmo sada dva ekstremna slučaja, da je zanemariva turbulentna viskoznost i da je zanemariva molekularna viskoznost. Naime u neposrednoj blizini stijenke, turbulentne pulsacije su onemogućene (prigušene) samom stijenkom, a poznato je da su pulsacije brzine na samoj stijenci jednake nuli. Kada nema turbulentnih pulasacija nema ni turbulentne difuzije, odnosno turbulentne viskoznosti. Stoga se za vrlo blisko područje uz stijenku turbulentna viskoznost može zanemariti. Nasuprot tome udaljavanjem od stijenke turbulentne pulsacije se povećavaju, čime raste i put miješanja pa prema tome i turbulentna viskoznost. Dovoljno daleko od stijenke turbulentno strujanje postaje toliko razvijeno da je turbulentna


77

viskoznost mnogostruko puta veća od molekularne viskoznosti, te se molekularna viskoznost može zanemariti. U tom području možemo pretpostaviti da se put miješanja povećava razmjerno s udaljenošću od stijenke, a ako je κ koeficijent razmjernosti, vrijedi m 2l xκ= . U nastavku ćemo integrirati prethodnu jednadžbu za ova dva slučaja. 1) Područje neposredno uz stijenku ( tμ μ ), turbulentna viskoznost zanemariva

Izraz za ukupno naprezanje prelazi u ( ) 1w

2

konst.tvx

τ τμμ ∂= = =+

∂, čijom integracijom se

dobije

w1 2v xτ

μ=

tj. profil brzine je linearan. 2) Područje podalje od stijenke tμ μ , molekularna viskoznost se zanemaruje

Izraz za ukupno naprezanje prelazi u ( ) 1w

2

konst.tvx

τ μ τμ ∂= = =+

∂, a prema Prandtlovoj

hipotezi puta miješanja je 2 1m

2t

vlx

μ ρ ∂=

∂, gdje je m 2l xκ= , pa je

2

2 2 12 w

2

konst.vxx

τ ρκ τ⎛ ⎞∂

= = =⎜ ⎟∂⎝ ⎠

odakle je

1 w

2 2

d 1 1d

vx x

τκ ρ

=

te se integracijom dobije

w1 2

1 lnv x Cτκ ρ

= +

logaritmički profil brzine, u kojem se von Kármánova konstanta κ i konstanta C određuju mjerenjem. Postojanje ova dva područja linearnog i logaritmičkog profila brzine potvrđen je mjerenjem uz stijenku kako u graničnom sloju, tako i u strujanju u cjevovodima. Rezultati mjerenja se obično prikazuju u bezdimenzijskom obliku. Iz prethodnog izraza je jasno da član

wτρ

ima dimenziju brzine, pa se wvττρ

= naziva brzina trenja. S pomoću brzine trenja

definiraju se bezdimenzijska brzina

1vuvτ

+ =

i bezdimenzijska udaljenost od stijenke

2 2x v x vy τ τρμ υ

+ = =

Linearni profil brzine w1 2v xτ

μ= prelazi u

2

w 21

v

xv

τ

τ ρρ μ

= ili u y+ +=


78

Logaritmički profil w1 2

1 lnv x Cτκ ρ

= + se može preurediti u bezdimenzijskom obliku u

1 1ln ln( )u y B Eyκ κ

+ + += + =

Ova se dva profila obično prikazuju u dijagramu gdje je na ordinati bezdimenzijska brzina u+ , a na apscisi ln y+ (odnosno y+ u logaritamskoj skali), pa se u takvom dijagramu linearni

profil ln yu y e++ += = prikazuje eksponencijalnom krivuljom, a logaritmički profil pravcem.

ντ 2xvy =+

τvvu 1=+

++ = yu

53doy =+ 40≈+y

)ln(1 ++ = Eyuχ

μ tμμtμ

δ

Gornja slika shematski prikazuje dijagram bezdimenzijske brzine u funkciji bezdimenzijske udaljenosti od stijenke, pri čemu bi kvadratići odgovarali mjerenjima. Linearni profil koji je izveden uz pretpostavku tμ μ , poklapa se s mjerenjima do vrijednosti y+ tri do pet, a to se područje naziva linearnim podslojem. Područje u kojem se mjerenja dobro poklapaju s logaritmičkim profilom brzine (izvedenim pod pretpostavkom tμ μ ) naziva se inercijalni podsloj (područje y+ od približno 40 do nekoliko tisuća). Između ta dva podsloja postoji područje unutar kojega su molekularna i turbulentna viskoznost istog reda veličine, a to se područje naziva prijelaznim podslojem.

Kada se radi o optjecanju tijela, viskozni, prijelazni i inercijalni podsloj čine zajedno unutarnji dio graničnog sloja (procjenjuje se na 10 do 15 % ukupne debljine graničnog sloja). U unutarnjem dijelu graničnog sloja značajni utjecaj na samu turbulenciju ima sama stijenka, te ona ne ovisi značajno o vanjskom strujanju, što objašnjava činjenicu da će logaritmički profil brzine vrijediti u strujanju uz bilo koju stijenku, pod uvjetom da je gradijent tlaka umjereno velik (izraz je izveden pod pretpostavkom nultog gradijenta tlaka). U unutarnjem dijelu graničnog sloja je karakteristična brzina jednaka brzini vτ , a karakteristična duljina je /vτ υ . Na turbulenciju u vanjskom dijelu graničnog sloja značajniji utjecaj imaju parametri vanjskog strujanja, pa je u tom dijelu karakteristična brzina jednaka brzini vδ na vanjskom rubu graničnog sloja, a karakteristična duljina je jednaka debljini graničnog sloja.

( )1 1ln lnu y B Eyκ κ

+ + += + =

u y+ +=

v yy τ

υ+ =

1vuvτ

+ =


79

Strujanje u hidraulički glatkim i hrapavim cijevima

Za potrebe hidrauličkog proračuna cjevovoda, definiran je faktor trenja λ koji ulazi u Darcy-Weissbachov izraz za proračun pada tlaka, koji glasi

21 2 sr

12

Lp p uD

λ ρ− =

gdje je 2sru prosječna brzina (po presjeku) vremenski osrednjenog profila brzine. Dakako da

postoji veza između faktora trenja i smičnog naprezanja na stijenci cijevi. Ako je strujanje stacionarno i izobraženim profilom brzine (tako da se smično naprezanje ne mijenja u smjeru strujanja), tada se iz jednadžbe količine gibanja postavljene za kontrolni volumen (koji obuhvaća cijev duljine L između presjeka 1 i 2) zaključuje da je sila na stijenku cijevi

jednaka razlici impulsnih funkcija tj. ( )2

1 2 4Dp p π− , a s druge strane, za slučaj konstantnog

smičnog naprezanja, ta sila je w D Lτ π . Primjenom Darcy-Weissbachovog izraza dobije se 2

2sr w

12 4

L Du D LD

πλ ρ τ π= , odakle je

2w sr8

uλτ ρ=

gornji izraz prikazan pomoću brzine trenja wvττρ

= prelazi u sr8v uτ

λ= .

Slika prikazuje rezultate mjerenja vremenski osrednjenog profila brzine u hidraulički glatkim cijevima, pri različitim vrijednostima Reynoldsova broja. Vrijednosti brzine su normirane s maksimalnom brzinom maxu u simetrali cijevi. Iz slike je očito da porastom Reynoldsova broja profil brzine postaje ujednačeniji po presjeku, što se tumači porastom utjecaja turbulentne difuzije (kao što je prije rečeno što je veći Reynoldsov broj to je turbulentno strujanje razvijenije).

Jednostavan izraz koji dobro opisuje profil brzine u turbulentnom strujanju u hidraulički glatkim cijevima je

1 1

max

n nu y R ru R R

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

gdje je y udaljenost od stijenke cijevi, a r cilindarska koordinata (udaljenost od simetrale

cijevi), R polumjer cijevi, a parametar n zavisi od Reynoldsova broja sru DRe ρμ

= . prosječna

brzina po presjeku cijevi je po definiciji

Re

max

uu

Porast Re


80

( )( )

12

sr max max20

1 1 2d 2 d1 2 1

R n

A

R r nu u A u r r uA R R n n

ππ

−⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ + +⎝ ⎠∫ ∫

Sljedeća tablica prikazuje vrijednosti parametra n i odgovarajuću vrijednost srednje brzine, za različite Reynoldsove brojeve Re= 34.0 10⋅ 42.3 10⋅ 51.1 10⋅ 61.1 10⋅ 62.0 10⋅ 63.2 10⋅ n= 6 6.6 7 8.8 10 10

sr max/u u = 0.791 0.807 0.817 0.850 0.865 0.865 Iz tablice se vidi da se povećanjem Reynoldsova broja prosječna vrijednost brzine po presjeku približava maksimalnoj brzini, jer se povećanjem Reynoldsova broja povećava i turbulentna viskoznost. Blasiusov empirički izraz za faktor trenja, koji vrijedi u području Reynoldsova broja do 510 je

14

sr0.25

0.31640.3164 u DRe

λυ

−⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

Prema gornjoj tablici u području Reynoldsova broja do 510 približno vrijedi sr max0.8u u≈ , te primjenom Blasiusove formule, prethodno izvedeni izraz za smično naprezanje možemo pisati

( )1144 22 2max

w sr max maxmax

1 0.8 20.3164 0.8 0.02258 8

u Ru u uu R

λ υτ ρ ρ ρυ

− ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎜⎟⎜ ⎟= = = ⎜⎟⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Uzimajući da je po definiciji 2w vττ ρ= , iz gornjeg izraza slijedi veza

17

max 8.74 v Ru v ττ υ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

što uvršteno u izraz za profil brzine uz 7n = daje

17

8.74u v yv

τ

τ υ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

ili ( )178.74u y+ +=

Dakle izraz 17

max

u yu R

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

za profil brzine u hidraulički glatkoj cijevi pri Reynoldsovu broju

510 smo uz pomoć Blasiusova izraza za faktor trenja prikazali u bezdimenzijskim varijablama, definiranima uz izvod logaritmičkog zakona, pa se sada ti profili brzine mogu prikazati u istom dijagramu zajedno s rezultatima mjerenja. Takav dijagram upravo prikazuje sljedeća slika, na kojoj su kružićima označeni rezultati mjerenja pri različitim vrijednostima Reynoldsova broja. Očito je da svi mjerni rezultati približno padaju na jednu krivulju, što potvrđuje činjenicu da tako prikazani rezultati ne zavise od Reynoldsova broja. U istom je dijagramu ucrtan linearni profil brzine iz viskoznog podsloja (s obzirom da je na apscisi dekadski logaritam y+ ovdje je do krivulja 1), logaritmički profil brzine (definiran s 0.4κ = i

5.5B = - pravac 3), te prijelazno područje između viskoznog podsloja (linearnog profila) i inercijalnog podsloja (logaritmičkog profila). Krivuljom 4 je označen gore dobiveni izraz iz Blasiusove formule i 7n = , a krivuljom 5 analogni izraz koji se dobije iz pretpostavke 10n = koja odgovara višim vrijednostima Reynoldsova broja. Iz slike je jasno da linearni profil vrijedi neposredno uz stijenku cijevi, za 5y+ < ( ( )log 0.7y+ < ), a logaritmički profil brzine


81

počinje vrijediti za ( )log 1.5y+ > ( 31y+ > ). Također je uočljivo puno bolje slaganje logaritmičkog profila brzine s rezultatima mjerenja, od profila brzine dobivenih uz pretpostavke 7n = i 10n = (krivulje 4 i 5). Krivulja 4 se bolje slaže s mjerenjima u području bliže stijenci, a krivulja 5 dalje od stijenke.

Profil brzine u hidraulički glatkim cijevima 1- viskozni podsloj u y+ += ; 2- prijelazni podsloj; 3 – inercijalni podsloj ( )2.5ln 5.5u y+ += +

4- ( )1/ 78.74u y+ += ; 5 - ( )1/10

11.5u y+ += Profil brzine ( )1/ 7

8.74u y+ += smo dakle dobili uz pretpostavku Blasiusova zakona za faktor trenja, a taj se profil lošije slaže s mjerenjima nego logaritmički profil, pa se nameće ideja da se krene od pretpostavke da logaritmički profil vrijedi po čitavom presjeku cijevi, pa da se iz te pretpostavke odredi zakon faktora trenja (tako dobiveni zakon nosi naziv Prandtlov univerzalni zakon faktora trenja). Dakle polazimo od pretpostavki da je profil zadan izrazom ( )2.5ln 5.5u y+ += + , odnosno

( )2.5ln 5.5v R ru v ττ υ⎡ − ⎤⎛ ⎞= +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

,

a vrijedi i prije izvedeni izraz sr8v uτ

λ= .

Srednja brzina je po definiciji

sr 20

( )1 2.5ln 5.5 2 dR v R r

u v r rR

ττ π

υπ⎡ − ⎤⎛ ⎞= +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦∫ ,

uuvτ

+ =

( )log log yvy τ

ν+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Re


82

a nakon integracije1 se dobije

sr = 2.5ln 4.25v R

u v ττ υ⎛ ⎞⎛ ⎞ +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

Uvrštavanjem izraza sr8v uτ

λ= u gornji izraz, dobije se

sr8 2= 2.5ln 4.258 2

u Rλλ υ

⎛ ⎞⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

,

ili nakon sređivanja i prijelaza s prirodnog na dekadski logaritam

( )1 = 2.03log Re 0.91λλ

−

Naravno da koeficijenti u gornjem izrazu neće biti točni, jer logaritmički profil ne vrijedi u neposrednoj blizini stijenke i pri simetrali cijevi. Značaj dobivenog rezultata sastoji se u tome da smo dobili oblik zakona u kojem se koeficijenti određuju metodom najmanjih kvadrata na temelju rezultata mjerenja. Nakon takve korekcije koeficijenata Prandtlov univerzalni zakon za faktor trenja u strujanju kroz hidraulički glatke cijevi, poprima konačan oblik

( )1 = 2.0log Re 0.8λλ

−

Ovaj zakon je primjenjiv na cijelo područje vrijednosti Reynoldsovih brojeva koji se pojavljuje u praksi. Strujanje kroz hidraulički hrapave cijevi U tehničkoj praksi su cijevi uglavnom hrapave, a osnovni problem je u tome što se hrapavost opisuje s puno parametara, npr. visina hrapavosti, oblik hrapavosti, raspored hrapavosti, gustoća hrapavosti (broj neravnina po jedinici površine) i sl. Sustavno ispitivanje strujanja u umjetno ohrapavljenim cijevima izvršio je Nikuradse, tako da je na stijenku cijevi lijepio zrnca pijeska određenog promjera i to maksimalno gusto, tako da mu je jedini parametar koji opisuje hrapavost bila promjer zrnaca pijeska, što ćemo zvati visinom pješčane hrapavosti sk . Sljedeća slika prikazuje dijagram s njegovim rezultatima mjerenja u umjetno ohrapavljenim cijevima, gdje je na apscisi Reynoldsov broj, a na ordinati stostruka vrijednost faktora trenja (obje veličine u logaritamskom mjerilu). Pravcem 1, definiran je zakon promjene faktora trenja u laminarnom strujanju (potvrđeno je analitičko rješenje prema kojemu je 64 / Reλ = ). Krivulja 2 označuje Blasuiusov zakon faktora trenja za hidraulički glatke cijevi, koji vrijedi za Reynoldsove brojeve do 510 , krivulja 3 označuje Prandtlov univerzalni zakon faktora trenja za strujanje u hidraulički glatkim cijevima. Iz prikazanih rezultata moguće je zaključiti sljedeće:

1) hrapavost stijenke nema utjecaja u laminarnom strujanju ( 64 / Reλ = za bilo koju hrapavost stijenke).

1 ( ) ( )

sr 2 20 0 0

22 2 2 2

20

22 2

2

1 ( ) 2 ( )2.5ln 5.5 2 d 2.5 ln d 5.5 d

2 2.5 2 5.5 ln ln2 2 2

2 = 1.25 ln2

R R R

R

v R r v v R ru v r r r r r rR R

v v Rr rr r R R r rR

v v RR RR

τ τ ττ

τ τ

τ τ

ππ υ υ

υ

υ

⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞+⎛ ⎞= + − − − + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎛ ⎞ − +⎜ ⎟⎝ ⎠

∫ ∫ ∫

25.5ln 2.5ln 4.252

v RR R v ττ υ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠


83

2) Faktor trenja (a time i gubitak visine energije) je veći u hrapavim nego u hidraulički glatkoj cijevi. Kod relativno malih visina hrapavosti, pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja hrapavost se ne manifestira (faktor trenja je jednak onome za hidraulički glatke cijevi.

3) Pri visokim vrijednostima Reynoldsova broja i najglađe cijevi počinju pokazivati hidrauličku hrapavost.

4) Za zadanu visinu hrapavosti se može uočiti područje u kojem faktor trenja ne zavisi od Reynoldsova broja (područje potpuno izražene hrapavosti). Područje između hidraulički glatkog područja i područja potpuno izražene hrapavosti se naziva prijelaznim područjem i u njemu je faktor trenja funkcija i Reynoldsova broja i relativne visine hrapavosti.

Ispitivanje Nikuradsea u umjetno ohrapavljenim cijevima (ks=visina pješčane hrapavosti)

1- laminarno strujanje 64 / Reλ = 2- Blasiusov zakon za hidraulički glatke cijevi 0.250.3164 / Reλ = 3- Prandtlov univerzalni zakon za hidraulički glatke cijevi ( )1 = 2.0log Re 0.8λ

λ−

Lijeva slika prikazuje profile brzine za tri visine hrapavosti, pri Reynoldsovom broju

610Re = . Što je visina pješčane hrapavosti veća to će razlika prosječne brzine po presjeku i maksimalne brzine veća.

yR

max

uu

Hrapavost


84

Mjerenja profila brzine u području potpuno izražene hrapavosti pokazuju da ponovo vrijedi logaritmički zakon u kojem je y+ definiran kao bezdimenzijska udaljenost od stijenke, ali normirana s visinom pješčane hrapavosti (umjesto karakterističnom duljinom

/ vτυ koja je definirana u viskoznom podsloju uz hidraulički glatku stijenku), tako da je kod hrapavih cijevi s/y y k+ = (umjesto /y v yτ υ+ = ). Sljedeća slika prikazuje dijagram s rezultatima mjerenja brzine (prikazano u bezdimenzijskim varijablama), pri čemu je y+ u logaritamskom mjerilu.

Zakon promjene brzine izražava se izrazom

s s

5.75log 8.5 2.5ln 8.5u y yv k kτ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ovaj izraz vrijedi u području potpuno izražene turbulencije, tj. u području kada faktor trenja više ne zavisi od Reynoldsova broja. Fizikalno je jasno da kada visina hrapavosti teži k nuli, da hidraulički hrapava stijenka postaje hidraulički glatka, pa bi i gornji zakon morao prijeći u zakon za hidraulički glatke cijevi, koji glasi

15.75log 5.5 2.5ln 5.5 lnu v y v y v y Bv

τ τ τ

τ υ υ κ υ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

To znači da se i logaritmički zakon za hidraulički glatke cijevi mora moći prikazati s pomoću zakona za hidraulički hrapave cijevi. Ako se u gornjem izrazu doda i oduzme član

sln k , on će prijeći u oblik

s s

s s

5.75log 5.5 5.75log 2.5ln 5.5 2.5ln

B B

u y v k y v kv k k

τ τ

τ υ υ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Prema tome zakon promjene brzine za hrapave cijevi u području potpuno izražene hrapavosti i za hidraulički glatke cijevi može se izraziti istim izrazom

uuvτ

+ =

s

log logy yk

+=


85

s s

5.75log 2.5lnu y yB Bv k kτ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

gdje je za hrapave cijevi u području potpuno izražene hrapavosti 8.5 konst.B = = , a za hidraulički glatke cijevi B postaje funkcija

s s5.5 5.75log 5.5 2.5lnv k v kB τ τ

υ υ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Sljedeći dijagram prikazuje rezultate mjerenja koeficijenta B u funkciji bezdimenzijske

hrapavosti sv kk τ

υ+ = (u logaritamskoj skali).

1) Pravac označen s 1, je tangenta na mjerne podatke, a njegova jednadžba upravo

odgovara zakonu promjene koeficijenta B za hidraulički glatke cijevi. Iz dijagrama je vidljivo da se mjerni podaci dobro slažu s tim pravcem do

log 0.7kvτν

⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠

, odnosno 0.710 5.01kvτν

< = . Prema tome površina cijevi neće

izražavati hidrauličku hrapavost ako je 5kvk τ

ν+ = < . S obzirom da je na granici

viskoznog podsloja 5y+ = , mogli bi reći da se hrapavost neće manifestirati ako se nalazi u viskoznom podsloju.

2) Horizontalni pravac označen s 2, govori o konstantnoj vrijednosti koeficijenta 8.5B = i odnosi se na područje potpuno izražene hrapavosti, u kojem faktor trenja

nije funkcija Reynoldsova broja. Iz dijagrama se dade očitati da je u tom području

približno 70kvk τ

ν+ = > .

3) Za 5 70kvτν

< < govorimo o prijelaznom području turbulentnog strujanja u

hrapavim cijevima u kojima je faktor trenja funkcija i Reynoldsova broja i relativne visine hrapavosti.

( )log log kvk τ

ν+ ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

B


86

Valja naglasiti da se prikazani rezultati odnose na umjetnu pješčanu hrapavost. Stvarna hrapavost se opisuje s puno više parametara, a zavisi od materijala cijevi, tehnologije izrade cijevi, stanja zaprljanosti (npr. pri transportu nafte, teže frakcije se talože na površinu cijevi) i starosti površine (npr. korozija cijevi povećava hrapavost). Za praktične proračune načinjen je Moodyjev dijagram u kojem se definira ekvivalentna pješčana hrapavost, kao ona visina pješčane hrapavosti koja daje faktor trenja jednak onome u stvarno hrapavoj cijevi.

Turbulentno optjecanje hidraulički glatke i hrapave ploče Jedno od korisnih rješenja za inženjersku praksu, je i rješenje turbulentnog graničnog sloja uz ravnu ploču. Dakako da u rješavanju praktičnih problema rijetko imamo optjecanje ravne ploče, ali sila otpora ravne ploče nam određuje donju vrijednost te sile ispod koje se ne može ići. Tako se npr. za inženjersku procjenu sile otpora broda koristi vrijednost sile otpora ekvivalentne ravne ploče (koja je površine jednake površini broda) pomnoženoj s faktorom forme, kojim se uzima u obzir i dio sile otpora oblika. Taj se faktor npr. uzima iskustveno, na temelju poznavanja podataka na sličnim formama. Naravno, čim se radi o turbulentnom strujanju ne postoji analitičko rješenje problema optjecanja ravne ploče, koje doduše nismo dobili niti u slučaju laminarnog strujanja (iako neki Blasiusovo rješenje svrstavaju u klasu analitičkih rješenja, budući se ono može odrediti po volji točno), već u obzir dolazi samo numeričko rješavanje i to uglavnom vremenski osrednjenih (Reynoldsovih) jednadžbi ili pojednostavljene von Kármánove integralne jednadžbe. Von Kármánova jednadžba za turbulentno strujanje je istog oblika kao i za laminarno strujanje s razlikom da se u njoj pojavljuju vremenski osrednjene veličine. Najčešće korištena rješenja von Kármánove jednadžbe su ona koja se dobiju pretpostavkom profila brzine oblika

1nu y

vδ δ⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

,

(to je analogija s profilom brzine u cijevima, gdje brzina maxu u simetrali cijevi prelazi u vremenski osrednjenu brzinu na rubu graničnog sloja, a polumjer cijevi R u vremenski osrednjenu debljinu graničnog sloja). Vrijednost parametra n zavisna je od Reynoldsova broja na izlaznom rubu ploče /Re v Lρ μ∞= , a vrijednost n raste s porastom Reynoldsova broja. Ako je 7n= govori se o Prandtlovom zakonu jedne sedmine, a za 11n= o zakonu jedne jedanaestine. Zakon 1/7 se koristi u području 5 75 10 10< Re⋅ < . Izrazi za debljinu graničnog sloja, smično naprezanje i koeficijent otpora jedne strane ploče, prema zakonu 1/7 su

( )15

0.37 v xx xδυ

−∞⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

( )15 2

w 0.0296 v xx vτ ρυ

−∞

∞

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

15

D 0.074 v LCυ

−∞⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

Za područje 6 95 10 10< Re⋅ < koristi se zakon 1/11, po kojem vrijedi


87

( )17 2

w 0.0526 v xx vτ ρυ

−∞

∞

⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠, i

17

D 0.0307 v LCυ

−∞⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠

.

Osim ovih izraza u upotrebi su i Prandtl-Schlichtingov izraz ( )2 58

0 455D .

.Clog Re

= , koji se temelji

na rješavanju von Kármánove jednadžbe uz pretpostavku logaritmičkog profila brzine u graničnom sloju, te još neke empiričke formule. Sljedeći dijagram prikazuje rezultate mjerenja koeficijenta otpora hidraulički glatke ploče (točke označene kružićima) i krivulje koje označuju pojedine zakone promjene koeficijenta otpora.

Koeficijent otpora hidraulički glatke ploče Značenje pojedinih krivlja na slici je sljedeće:

1 - Blasiusovo rješenje za laminarni granični sloj: 1 328D

.CRe

=

2 - Prandtlov zakon 1/7: 0 20 074 .DC . Re−=

3 - Prandtl-Schichting: ( )2 58

0 455D .

.Clog Re

=

4 - Schultz-Grunow: ( ) 2 64D 0 427 log 0 407 .C . Re . −= −

Krivulja 3a prikazuje prijelazno područje. Naime na početku hidraulički glatke ploče prvo se formira laminarni granični sloja, a nakon kritičnog Reynoldsova broja (Rekr=3·105 do 30·105) počinje prelaziti u turbulentni granični sloj. Zbog početnog dijela laminarnog graničnog sloja uvodi se korekcija (smanjenje koeficijenta otpora dobivenog uz pretpostavku da se turbulentni granični sloj razvija od početka ploče) u obliku /A Re , gdje je A parametar koji ovisi o kritičnom Reynoldsovom broju. Što je Rekr veći to će područje laminarnog graničnog sloja biti veće, pa će i korekcija (smanjenje) koeficijenta otpora biti veće. Sljedeća tablica prikazuje vrijednosti parametra A u zavisnosti od Rekr

Rekr 3·105 5·105 10·105 30·105 A 1050 1700 3300 8700

1000

CD

U LReν∞=


88

Korekciju ima smisla primjenjivati kada je Reynoldsov broj na temelju duljine ploče relativno mali (u području 5 75 10 10Re⋅ < < ). Ako je npr. 810Re = , a kritični Reynoldsov broj 610 , tada će laminarni granični sloj zauzimati svega jedan posto duljine ploče, što je naravno s inženjerskog stajališta zanemarivo. Korekcija koeficijenta otpora se može vršiti ili u zakonu 1/7 ili u Prandtl-Schlichtingovoj formuli. Krivulja 3a prikazuje korigiranu Prandtl-Schlichtingovu formulu, koja dakle glasi

( )2 58

0 455D .

. ACRelog Re

= −

Treba naglasiti da se prijelaz laminarnog u turbulentno strujanje može uz pomoć takozvanih stimulatora turbulencije pomaknuti u područje nižih Reynoldsovih brojeva. Stimulator turbulencije je žica određenog promjera koja se postavlja na ploču poprečno na vektor brzine strujanja. Na toj se žici pojavljuju mali vrtlozi koji iniciraju nestabilnost strujanja i prijelaz laminarnog u turbulentno strujanje. Ova se tehnika često koristi u bazenskom ispitivanju brodskih modela. Za slučaj da se u ispitivanju zadovoljava jednakost Froudeovih brojeva, Reynoldsov broj za prototipni brod može biti reda veličine 910 , a na modelu broda reda veličine 610 . Strujanje fluida oko prototipnog broda je dobrim dijelom laminarno, pa je jasno da ta dva strujanja neće biti slična. Da bi se osigurala što veća sličnost dvaju strujanja na pramcu brodskog modela se stavljaju stimulatori turbulencije, kojima je zadatak izazvati što raniji prijelaz laminarnoga u turbulentno strujanje, kako bi što veće područje strujanja bilo u režimu turbulentnoga strujanja. Naravno da mjesta na koja se stavljaju stimulatori turbulencije moraju biti u području dovoljno velikog Reynoldsova broja, jer će u protivnom nestabilnosti izazvane stimulatorom turbulencije biti prigušene (govori se o relaminarizaciji turbulencije), pa će se prijelaz laminarnog u turbulentno strujanje pojaviti na nekom većem Reynoldsovu broju. Turbulentno strujanje oko hidraulički hrapave ploče

1000 CD

s

Lk

sv kυ∞

v LReυ∞=


89

Gornja slika prikazuje dijagram koeficijenta otpora umjetno ohrapavljene ploče duljine L . Na dijagramu sk označuje visinu pješčane hrapavosti. Na apscisi je Reynoldsov broj, a na ordinati koeficijent otpora pomnožen s 1000. Parametarske krivulje hrapavosti su dane u dva

oblika: za konstsv k .υ∞ = i za

s

konst.Lk= . Donja krivulja označuje zakon promjene

koeficijenta otpora hidraulički glatke ploče. Slično kao i kod faktora trenja u hidraulički hrapavim cijevima povećanjem Reynoldsova broja počinju se manifestirati i manje visine

pješčane hrapavosti. Tako bi se iz dijagrama moglo očitati da se hrapavost 6

s

2 10Lk= ⋅ počinje

manifestirati kod 82 10Re = ⋅ , hrapavost 5s 2 10L / k = ⋅ kod 72 10Re = ⋅ , a hrapavost

4s 2 10L / k = ⋅ kod 52 10Re = ⋅ . Mogli bismo definirati dopuštenu visinu hrapavosti dopk kao

maksimalnu visinu hrapavosti koja se neće manifestirati u turbulentnom strujanju. Iz rečenog bi za dopuštenu visinu hrapavosti vrijedilo

dop 100L Re

k=

Dopuštena visina hrapavosti nam govori do koje se mjere isplati ulagati u poboljšanje kvalitete površine.

Na gornjem se dijagramu može uočiti da krivulje definirane s s

konst.Lk= desno od crtkane

linije postaju horizontalne, što znači da koeficijent otpora prestaje zavisiti od Reynoldsova

broja. To je područje potpuno izražene hrapavosti za koje je 2 5

Ds

1 89 1 62log.

LC . .k

−⎛ ⎞

= +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Pri optjecanju tijela kod kojih je pretežiti dio sile otpora otpor trenja, hrapavost povećava silu otpora i zbog pomicanja kritičnog Reynoldsova broja na niže vrijednosti, čime se smanjuje područje laminarnog graničnog sloja. Međutim kod oblih tijela poput cilindra i kugle, uz pomoć hrapavosti se može smanjiti koeficijent otpora. Sljedeća slika prikazuje zavisnost koeficijenta otpora hidraulički glatkog cilindra i kugle u funkciji Reynoldsova broja.

Koeficijent otpora dugog cilindra i kugle


90

Pri niskim vrijednostima Reynoldsova broja (manjim od 1) inercijske sile se mogu zanemariti, a koeficijent otpora je oblika D konst.C / Re= . Pri visokim vrijednostima Reynoldova broja postoji područje Reynoldsova broja u kojem je koeficijent otpora konstantan (sila otpora je razmjerna kvadratu brzine). Pri određenom Reynoldsovu broju obje krivulje pokazuju gotovo skokovito smanjenje koeficijenta otpora, što se naziva «krizom otpora». Ova se pojava objašnjava premještanjem točke odvajanja. Sljedeća slika prikazuje turbulentno optjecanje kugle pri

4/ 1.5 10Re v Dρ μ∞= = ⋅ . Strujanje u graničnom sloju do točke odvajanja strujanja je laminarno, a do odvajanja je došlo jer je fluidu ponestalo kinetičke energije za svladavanje pozitivnog gradijenta tlaka.

Optjecanje kugle pri 41.5 10Re = ⋅

Optjecanje kugle pri 43 10Re = ⋅ s ugrađenim turbulizatorom

Gornja slika prikazuje optjecanje kugle pri 43 10Re = ⋅ , u kojem je tranzicija laminarnog u turbulentno strujanje izazvana turbulizatorom (žičanim prstenom) iza kojeg se jasno vidi da je laminarno strujanje prešlo u režim turbulentnog strujanja. U turbulentnom graničnom sloju se


91

kinetička energija vanjskog strujanja pretvara u kinetičku energiju turbulentnih pulzacija unutar graničnog sloja, tako da fluid ima energije za svladavanje pozitivnog tlaka u graničnom sloju, te se točka zastoja pomiče prema stražnjoj točki zastoja. Pomicanjem točke odvajanja slika tlaka se mijenja u smislu smanjivanja otpora oblika, čime dolazi do značajnog smanjenja koeficijenta otpora. Dakle bez turbulizatora bi do krize otpora došlo pri Reynoldsovom broju iznad 510 , a uz pomoć turbulizatora (hrapavosti) vrijednost Reynoldsova broja pri kojem se postiže kriza otpora, se može smanjiti. Sljedeći dijagram prikazuje koeficijent otpora različito hrapavih kugli i to u blizini kritičnog Reynoldsova broja.

Iz dijagrama je očito da za određeno područje Reynoldsova broja hrapava kugla ima manji koeficijent otpora nego hidraulički glatka kugla.

Documents

MFII sazetak predavanja 01 - FSB Online · gdje je prvi član desne strane sferni dio, a drugi devijatorski dio tenzora. Očito da je Tkk skalar, pa je sferni dio izotropni tenzor,