Mikrometeorologija

U NIVERZITET

U

B EOGRADU

MikrometeorologijaRajkovi Borivoj c Mesinger Fedor

ii

BEOGRAD March 13, 2002

Sadr aj z1 Priroda kretanja u grani nom sloju c 1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Priroda kretanja u najni im slojevima atmosfere . . . . . . . z 1.3 Denicije srednjih vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Jedna ine za srednje vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . c 1.5 Jedna ine za srednje vrednosti i uktuacije u indeksnoj notaciji c 1.6 Jedna ine za energiju kod turbulentnih tokova . . . . . . . . . c 4 4 5 10 13 17 19 22 22 23 29 32 39 41 42 44 52 52 62 64 70

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

2 Empirijske teorije turbulencije 2.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Turbulencija u grani nom sloju toka homogenog uida preko ravne plo e c c 2.3 Stratikovani uidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Teorija sli nosti Monin-Obuhov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 2.4.1 Lokalna slobodna konvekcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Veoma stabilna atmosfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Ri ardsonov broj. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 2.6 Izmeani sloj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 3 Statisti ke teorije turbulencije c 3.1 Korelacione funkcije, integralni i mikrorazmer 3.2 Tenzor korelacije . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Elementi spektralne analize . . . . . . . . . . 3.4 Teorija sli nosti . . . . . . . . . . . . . . . . c

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

iv 3.5 3.6 3.7 Kolmogorovljeva teorija mikroturbulencije; Strukturna funkcija . . . Prostorne i vremenske razmere kod homogene i izotropne turbulencije Turbulentna difuzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Tejlorova teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.2 Ri ardsonova teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

SADRZAJ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 77 81 82 85 90 90 90 92 95 95 101 109 116 119 126 126 127 128 135 135 137 138 138 140 143 145

4

Teorije zatvaranja 4.1 Empirijske teorije zatvaranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Hipoteza koecijenta razmene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Teorija puta meanja, Prantlova teorija . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 4.2 Teorije zatvaranja vieg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . s 4.2.1 Zatvaranje drugog reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Razmerna analiza sistema dobijenog zatvaranjem jedna ina drugog reda c 4.2.3 Aproksiomacije jedna ina u slu aju PGS-a . . . . . . . . . . . . . . . c c 4.3 Zatvaranje tre eg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

A Elementi teorije grani nog sloja c B Ra unanje ukseva koli ine kretanja i toplote pomo u Monin-Obuhov teorije c c c B.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.2 Nestabilna i neutralna stratikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Stabilna stratikacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Elementi tenzorske algebre C.1 Indeksna notacija . . . . . . . . . C.2 Simetri ni i antisimteri ni tenzori c c C.3 Izotropni tenzori . . . . . . . . . C.4 Ve be . . . . . . . . . . . . . . . z

C

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

D E

Izvodjenje jedna ine za turbulentnu kineti ku energiju c c Teorema abc a2 b2 c2 bc2

F Ergodiska teorema, jedan dovoljan uslov za njeno va enje z

SADRZAJ G Businesk aproksimacije H Osnovi dimenzionalne analize H.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . H.2 Dimenzionalne i bezdimenzionalne veli ine c H.3 Osnovne i izvedene veli ine . . . . . . . . c H.4 Dimenzije zi kih veli ina . . . . . . . . . c c H.5 teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . H.6 Primena teoreme . . . . . . . . . . . . .

v 149 153 153 153 154 158 161 163

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

vi

SADRZAJ

UvodOva knjiga je nastajala u poslednjih 15-ak godina u dve etape. Prva etapa je bila usredsredjena na njeno koncipiranje. Zatim je, tokom pisanja, uz male promene kako u pogledu materije tako i u pogledu stila formiaran kona na verzija. I na kraju je oblikovana u tehni kom smilsu. c c Polaznu osnovu su cinili beleke iz kursa mikrometeorologija koji je Fedor Mesinger dr ao nekoliko s z godina kao i bele aka sa kurseva sa i poslediplomskih studija koje je Borivoj Rajkovi sluao na Prinz c s stonskom univerzitetu. Tu je posebno va no naglasiti kurs koji je dr ao D ord Melor za sluaoce druge z z z z s godine poslediplomskih studija ali i kursa opte okeanologije koji se takodje on dr ao a u kome se doti e s z c pitanja grani nog sloja. c Kada se pie o turbulenciji mogu i su naravno kao i u skoro svakom poslu razni pristupi. Ali nama s c se cini kao da ipak postoje dve osnovne mogu nosti. Baviti se njome kao zikim fenomenom i pokuati c s dati sto rigorozniji matametai ki opis ili se opredeliti za pragmati niji pristup koji za cilj ima formiranje c c zaokru ene celine, slike o fenomenu turbulentnog toka. Kao drugi ili ipak jednako va an i osnovan cilj z z zeleli smo da se dodje do sistema jedna ina koji mo da poslu i kao osnova za numeri ka izra unavanja c e z c c potrebna u modelima za prognozu vremena. Ovo je uostalom i prirodan put za kurs na Meterologiji a nro ito na Meteorologiji zikog fakulteta u Beogradu sa jakom tradicijom u modeliranju atmosfere. c se ti e savladjivanja gradiva ovog predmeta mormo da upzorimo citaoca da ovo materija nije Sto c nimalo pitka. Komplikovan matemati ki opisa fenomena turbulencije zatvara mogu nost formalnog c c tretiranja. Zato se mora mnogo toga prebaciti na teren empirije, podaci, labaratorijska merenja pa cak i vizuelna osmatranja. U osnovi problema je veliki raspon u razmerama kretanja, cak vie dekada, s ali za razliku od dinami ke metteorologije gde ili lineraizacijom ili razmernom analizom uspevamo da c zna ajno redukujemo broj razmera koje su od zna aja za problem, ovde moramo da stalno imamo citav c c spektar. Imaju i ovo u vidu naavet citaocu je da ne posustaje jer ce nakon drugog citanja stvari biti c s mnogo jasnije i razumljivije. Mo da ce i dalje biti onog aha posle koga ne sledi neka formula ve z c mo da samo satenje lagodnosti kada se neto rzume ali teko jednostavno ili kratko iska ze. z s s

2

SADRZAJ

U prve tri glave struktura ove knjige prati strukturu pomenutog kursa profesora Melora. Prva glava opisuje fenomen turbulentnog toka, a zatim se postavlja matemati ki okvir za njegov opis. Centralna c tema je Rejnoldsova ideja o razlagnju trenutnog (pravog) signala na srednji tok i uktuacije. Analizirane su zi ke i matemati ke konsekvence toga i formirane su jedna ine koje opisuju vremensku evoluciju c c c svih uvedenih veli ina. Nakon razmatranja energetskih odnosa glava je zavrena konstatacijom da je s dobijeni sistem otvoren tj. konstatovan je problem zatvaranja. Kako se tu negde i zavrava domet s formalnom prilazu matemati ke analize turbulentnih tokova dolazi druga glava koja treba zajedno sa c tre om glavom da omogu i eventualno zatvaranje sistema jedna ina za turbulentne tokove. Ona je c c c nazvana Empiriske teorije turbulencije jer manje vie sve sto je u njoj dato je parkti no uobli avanje s c c rezultata merenja, kako u laboratoriojama tako i u atmosferi odnosno okeanu. Kao vrhunac tog posla je svakako torija Monina i Obuhova koja daje ziku sliku ali i zakone koji omogu uju kvantitativno c ra unanje kako srednjih veli ina tako u ukseva razniv veli cina u povrinskom sloju. Tre a glava daje c c s c prikaz statistikog opisa veli ina koje karakteriu turbulentne tokove i tu je centralno mesto rezervisano c s za pojam korelacione funkcije. kao drugi deo se razmatra teorija spektra. Kao vrhunac se javlja teorija Kolmogorova koja je jedan od dva ugaona kamena teorije zatvaranja. I kona no u cetvrtoj glavi se c ponovo vra amo na problem zatvaranja sistema jedna ina koji opisuje turbulentne tokove. Polaze i od c c c hipoteza Kilmogorova i Rote formiran je zatvoren sistem jedna ina za momente drugog reda. Kona no c c je data razmerna analiza dobijenog sistema jedna ina kao i njegovo sistematsko redukovanje na sistem c sa dve prognostike promenljive (nivo 3) i na potpuno dijagnosti ki sistem (nivo 2). na kraju je serija doc dataka koji sadr e elemente teorije grani nog sloja, ra unanje ukseva koli ine kretanja i toplote pomo u z c c c c Monin-Obuhov teorije, elemente tenzorske algebre, izvodjenje jedna ina za Rejnoldsove napone kao i c za ukseve toplote, nejednakost koja se sre e kod ztvaranja tre eg reda, jedan dovoljan uslov za njeno c c va enje Ergodiske teoreme, jedna ina kretanja u Businesk aproksimaciji i na kraju Dimenzionu analizu. z c Kako je ova knjiga nstajala tokom niza godina mnoge nae kolege i studenti su bili aktivni u esnici i s c na neki na in cak i koautori. Naro ito se zahvaljujemo kolegama Zavii Janji u i Dragutinu Mihailovi u c c s c c i kao recenzentima ali i kao dugogodinjim saradnicima sa kojima smo kroz mnogobrojne diskusije s oformljavali ili precizirali mnoge ideje koje se javljaju u ovoj knjizi, sto je zna ajno uticalo na kvalitet c ove knjige. Pa ljivim citanjem i komentarisanjem poslednbje verzije kolega Milivoj Gavrilov je bio od z velike pomo i. c Generacije studenata su se sudarale sa relativno brojnim i pomalo glomaznim izvodjenjima i kona no c dovele do, nadano se, teksta bez greaka. Tu su na prvom mestu Dusan Jovi koji je i ozna io kraj s c c prvog perioda u nastajanju ove knjige formiranjem Eri anske varijante koja je u preiodu od 1995 c do sada bila na raspolagnju studenta. Dule Jovi je zaslu an i za kona an izgled ove kjige jer nas je c z c nagovorio i uputio u LateX-ovanje i na smom kraju Marija studentkinja cetvrte godine koja je krajnje

SADRZAJ

3

pa ljivo prgledala ceo tekst. Time ce kjiga, mi se nadamo, dobiti na preglednosti i citljivosti. Pored z njih dvoje moramo da pomenemo nekadanje studnte a sada koleginice i kolege, Ljiljanu Deki , Vericu s c Savi , Jelenu Tanasijevi , Lea Separovi a, Vladimira Djurdjevi a, Iliju Arsenijevi a, Branislavu Lali , c c c c c c Zlaticu Popov i mnoge druge. Kolega Djurdjevi je pomogao i oko kona ne obrade slika a koleginica c c Popov je krajnje pedantno prolo kroz sva izvodjenja u ovoj, kon noj verziji teksta. Svim ovim koleginis c cama i kolegama se iskreno zahvaljujemo jer bez njih i njihovog doprinosa mo da ova kjiga nebi ni bila z napisana. Borivoj Rajkovi c Fedor Mesinger

1 Priroda kretanja u granicnom sloju

1.1

Uvod

Ova glava je posve ena prikazu osnovnih karakteristika atmosfere u blizini tla ( 1km). Uveden c je pojam turbulentnog kretanja i date su njegove osnovne karakteristike. Zatim je dat jedan mogu c pristup matemati kom opisu takvog kretanja kod koga se trenutni signal posmatra kao zbir relativno c sporo promenljivog dela (i u vremenu i u prostoru) tzv. srednjeg toka i brzo promenljivog dela (i u vremenu i u prostoru) tzv. odstupanja. I na kraju je data analiza nekih energetskih transformacija izmedju srednjeg toka i odstupanja. Treba imati na umu da nakon ovog razdvajanja kada se govori o turbulenciji misli e se na ovaj drugi deo toka. Tako se onda govori o razmeni energije izmedju srednjeg toka i c turbulencije ili o pretvaranju kineti ke energije srednjeg toka u turbulentnu kineti ku energiju. c c O optim karakteristikama atmosfere, u blizini tla, i vrsti kretanja kao i o procesima u njoj dos datne informacije se mogu na i u knjigama Stula(24), Monina i Jagloma(19), Hinzea(5), Lamlija i c Panofskog(13), Buisngera(2), Satona (25), Tenekesa i Lamlija(28) i Glajka(4). Knjige Stula(24), Buisngera(2), Tenekesa i Lamlija(28) i Lamlija i Panofskog (13) daju osnovne ideje o kretanju i karakteristikama atmosfere u blizini tla. Referenca Saton(25) je malo starija ali je veoma interesantna jer se u njoj jasno vide sve dileme sa kojima se sre emo kada pokuavamo da razumemo procese koji se deavaju u uidu koji c s s je u turbulentnom re imu kretanja. Knjige Hinzea(5) a pogotovu Monina i Jagloma(19) su matemati ki z c

Priroda kretanja u najni im slojevima atmosfere z

5

rigoroznije od prethodnih. I na kraju referenca Glajk(4) koja i nije u strogom smislu re i kjiga iz koje c se u i ali je veoma interesantna za citanje i mo e da poslu i kao uvod u problematiku turbulentnog c z z kretanja i sto je mo da jo va nije da se vidi istorija ideja vezanih za probleme kod kojih je haoti nost z s z c dominantna crta.

1.2


Prema karakteristikama kretanja i uopte prema procesima koji se deavaju u prvih desetak (8-16) s s kilometara atmosfere, tzv. troposfera se deli na grani ni sloj i slobodnu atmosferu (slika 1.1). Razlog c

O ( 11 km )

Tropopauza

Slobodna atmosfera

O ( 1 km ) Granicni sloj Tlo

postojanja dva re ima kretanja je prisustvo tla. Povrina Zemlje ima viestruki zna aj za procese u z s s c atmosferi. Najve i deo toplote atmosfera prima od podloge. Zemljina povrina, kako mora i jezera tako c s i kopno su izvori vodene pare i jezgara sublimacije i kondenzacije. Vetar u najni im slojevima atmosfere z je pod uticajem kako orograje tako i stepena zagrejanosti tla. Temperatura tla je usled razlika u sastavu tla cesto nehomogena. Ova nehomogenost u zagrevanju je uzrok lokalnih cirkulacija. Uopte, kad god se s javljaju nehomogenosti kod podloge pojavljuju se lokalne cirkulacije razmera nehomogenosti. Tipi an c primer je vetar s mora,a vetar s kopna, odnosno kretanje uz i niz planinu. Ova kretanja, koja ne moraju da deluju naro ito impresivno u poredjenju sa nekim drugim, koje sre emo u atmosferi recimo intenzivnim c c

Slika 1.1: Shematski prikaz vertikalnog preseka kroz troposferu, (prema Stulu (24))

Troposfera

6

Priroda kretanja u granicnom sloju

frontalnim cirkulacijama, u eri ozbiljnih ekolokih problema mogu biti i te kako va na. Na primer kod s z velikih gradova na obalama mora, Los Andjeles, Atina, Sangaj itd. u letnjim epizodama foto smoga i te kako razumeju blagotvorno dejstvo tih lokalnih cirkulacija. Razlika izmedju grani nog sloja i slobodne atmosfere se jasno uo ava kako u poljima kretanja tako i u c c poljima termodinami kih veli ina. Merenja su vrena sa radiosondom lansiranom iz Ft. Sill, Oklahoma, c c s

Slika 1.2: Evolucija temperatura merenih blizu tla (9.75 kPa) i na visini oko 1100 m (850 kPa). Merenja su vrena sa radiosondom lansiranom iz Ft. Sill, Oklahoma, SAD, (prema Stulu (24)) s SAD, (prema Stulu (24)). Na slici (1.2) prikazan je zapis temperature na 85 kPa (oko 1100 m) i na 97.5 kPa (pri tlu) u toku cetiri dana. Kod krive temperature pri tlu jasno se vidi dnevni hod. Za razliku kriva temperature na 85 kPa ima tendenciju rasta kao posledicu procesa koji imaju vremesnke razmere od vie s dana. Drugi na in da se upozna vertikalna struktura grani nog sloja su tzv. mikro sonde koje se zaka e c c c za balone koji zatim di u sonde od tla do visine od par kilometara. Na slici (1.3) prikazani su vetrikalni z proli temperature (T ), ta ke rose (Td ), potencijalne temperature (), virtuelne potencijalne temperature c (v ) i sadr aja vodene pare (r) dobijeni pomo u mikro sondi. U blizini nivoa 75 kPa se jasno uo ava z c c skokovita promena u svim veli inama tako da se mo e uzeti da u ovom slu aju on predstavlja granicu c z c izmedju slobodne atmosfere i grani nog sloja. Prikaz prirode speci nosti kretanja u blizini tla se mo e c c z dobiti i ako bismo registrovali vetar ili temperaturu u nekoj ta ki ali sa specijalnim instrumentima koji c su u stanju da registruju veoma brze promene. Uo ili bismo tada veoma komplikovane zapise haoti nog c c karaktera kao na graku (c) na slici (1.4). Veoma je jasan kontrast u odnosu na signal srednjeg vetra koji


7

Slika 1.3: Tipi ni proli temperature (T ), ta ke rose (Td ), potencijalne temperature (), virtuelne potenc c cijalne temperature (v ) i sadr aja vodene pare (r) dobijeni mikro sondom, (prema Stulu (24)) z

je dobijen nekim od klasi nih instrumenata ili u poredjenju sa promenama brzine kod prostiranja talasa. c Kretanje koje se odlikuje haoti nocu ovog tipa naziva se turbulentno za razliku od uredjenog kretanja c s uida koje se naziva laminarno. Da bi razumeo prirodu ove razlike Osborn Rejnolds je1883. g. izveo svoje cuvene eksperimente. U tim eksperimentima te nost iz velikog rezervoara isti e kroz dugu i tanku c c cev, pa ljivo izolovanu od potresa. Priroda strujanja u cevi je u injena vidljivom putanjem tankog konca z c s boje kroz jednu pomo nu cev. Ako je kretanje te nosti kroz cev dovoljno sporo kon i boje te e kroz c c cc c cev skoro bez sirenja i meanja sa okolnom te nocu. Medjutim, kada se brzina strujanja vode pove a s c s c preko izvesne granice dolazi do promene karaktera kretanja ; kon i boje se brzo siri i potpuno izmea cc s sa te nocu. Prvi tip kretanja je i laminarno kretanje, a drugi turbulentno kretanje. Dugotrajnim eksperic s mentisanjem i analiziranjem raznih slu ajeva Rejnolds je zaklju io da na in kretanja tj. da li je u pitanju c c c laminarno ili turbulentno kretanje mo e da se okarakterie jednim brojem, bezdimenzionalnom komz s c c binacijom ud , gde je u srednja brzina uida, d pre nik cevi, a kinemati ki koecijent viskoznosti uida. Ovako denisana kombinacija se naziva Rejnoldsov broj i bi e ozna avana sa Re. Ovo je jedan c c

8


Slika 1.4: Idealizovani primeri srednjeg vetra (a), talasa (b) i turbulencije (c) (prema Stulu (24)).

od osnovnih parametara u teoriji turbulentnog kretanja, jer prelaz iz laminarnog u turbulentno kretanje nastupa ako je Re jednak ili ve i od oko 2 000. Ipak, ova granica se ne mo e denitivno postaviti. c z Problem nastupa ako se zahteva jednozna na veza izmedju prelaza jednog toka u drugi i vrednosti Rec jnoldsovog broja, tj. da li postoji kriti an Rejnoldsov broj, Rekr , takav da jasno razgrani ava prelaz u c c turbulentni tok iz laminarnog. I drugo, ako smo u turbulentnom re imu i smanjujemo Re, na primer z smanjenjem brzine, u jednom momentu dolazi do prelaza u laminarni tok. Da li je to isti onaj broj kod koga je nastupio prelaz iz laminarnog u turbulentno kretanje? Odgovor je ne, jer pri pa ljivom pove anju z c brzine kod laminarnog kretanja mogu e je odr ati laminarnost toka cak i do vrednosti Re-a od 12 000, ali c z i pri najmanjem potresu kretanje trenutno prelazi u turbulentno. Sa druge strane ako je Re manji od oko 1000 bilo koliko veliki poreme aji ne mogu da kretanje u ine trajno turbulentnim. Preciznu deniciju c c turbulentnog kretanja nije mogu e dati pa je uobi ajeno da se turbulentno kretanje naziva ono kretanje c c koje poseduje sve slede e osobine 1 c1 pristup

denisanju pojma turbulencije je prema knjizi Tenekesa i Lamlija (28)


9

t=T

. .t=0

Slika 1.5: Shematski prikaz trajektorija deli a u turbulentnom toku c

Neuredjenost : Najuo ljivija osobina turbulentnog kretanja je neuredjenost ili haoti nost. Ako recc c imo pratimo putanju deli a (Lagran ov prikaz) u turbulentnom toku ona je veoma komplikovana, c z bez ikakvih znakova regularnosti. Jedan od parametara koji bi ukazao na nekakvu regularnost je da li posle makar i jako dugog ali kona nog vremena putanja prodje kroz polaznu ta ku ili bar c c veoma blizu. To bi zna ilo da se ispoljila nekakva periodi nost ili makar kvaziperiodi nost. U c c c tom pogledu turbulencija se karakterie potpunim odsustvom periodi nosti. Opet napominjemo s c da su grani ni uslovi u granicama mogu nosti merenja konstantni. Ve smo se ranije sreli sa c c c Ojlerovim na inom zapisivanja kod turbulentnog polja (sl. 1.4). I kod ovakvog na ina prikazic c vanja veli ina kod turbulentnog toka jasno se uo ava haoti an karakter zapisa. Neuredjenost ima c c c ozbiljne reperkusije na teorijsko razmatranje turbulentnog kretanja. Tako, za sada, izgleda da se moramo odre i deterministi kog pristupa pri kom se mo e polaze i od po etnih polo aja i brzina c c z c c z svih deli a predvideti dalja istorija sa proizvoljnom ta nocu. Umesto toga koriste se ili statisti ki c c s c metodi ili se pokuavaju izra unati integralni doprinosi lokalnih haoti nosti. s c c Difuzivnost: Transporti raznih veli ina su mnogo intenzivniji od transporta zbog molekularnog c kretanja. Ovo je u prakti nom pogledu najva nija osobina turbulentnog kretanja. c z Veliki Rejnoldsovi brojevi: Rejnoldsov broj je mogu e optije denisati kao odnos krakteristi nih c s c

10 vrednosti inercijalnih sila i sila viskoznosti: Re


2 u x2

Turbulentno kretanje se uvek dogadja pri velikim vrednostima Rejnoldsovog broja.

Trodimenzionalnost i vrtlo nost : Prava turbulentna kretanja su trodimenzionalna i karakteriu se z s relativno velikim vrednostima rotora vektora brzine, koja jo imaju izrazito uktuiraju i karakter. s c Na primer, talasi stvoreni vetrom na povrini okeana, iako daju krajnje komplikovanu sliku, nisu s turbulentno kretanje, zato sto je rotor brzine zanemarljiv u poredjenju sa divergencijom brzine.

Disipativnost : Turbulentno kretanje je disipativno; da bi se odr alo potreban je izvor energije. z Tako na primer slu ajni gravitacioni talasi ili zvu ni talasi nisu turbulentno kretanje. c c

Turbulentnost je karakteristika kretanja : Turbulentnost nije osobina uida, ve kretanja. Drugim c re ima, to je kinemati ka, a ne zi ka osobina. c c c

Kontinuum : Na analizu turbulentnog kretanja mo e da se primeni aparat mehanike uida, tj. z predstava o kontinuaranoj sredini. Nema turbulentnog kretanja na molekularnim razmerama; najmanji elementi turbulentnog kretanja su za nekoliko redova veli ine ve i od molekulskih razmera. c c Tako se mogu koristiti jedna ine hidrodinamike. Napominjemo da je ovde samo ovla spomenut, c s vie kao metafora, pojam o turbulentnom elementu (elementima). Preciziranje ovog, jednog od s osnovnih pojmova turbulentnog polja (toka) ce se dogadjati u toku citavog kursa iz vie komple s mentarnih uglova.

1.3

Denicije srednjih vrednosti

Pored denisanja turbulencije drugi osnovni problem je konstruisanje jedna ina koje treba da opisuju c turbulentne tokove. Rejnolds je predlo io da se turbulentni tok razmatra kao slo eni fenomen sastavljen z z od srednjeg dela toka i haoti nog dela toka. Pretpostavka je da su vremenski i prostorni razmeri c uredjenog (srednjeg) dela toka znatno du i odnosno ve i od haoti nog dela toka. Sam Rejnolds nije znao z c c da li su takve pretpostavke zaista ispunjene kod turbulentnih tokova koji se sre u u atmosferi ili uopte c s kod kretanja uida. Tako simboli no piemo da je trenutna (prava) vrednost, obele ena sa znakom tildai c s z

Inercijalne sile Viskozne sile

u u x

U2 L U L2

UL

(1.1)

Denicije srednjih vrednosti

11

( ) iznad slova, zbir srednje vrednosti, veliko slovo, i odstupanja od srednje vrednosti (u daljem tekstu samo odstupanje), malo slovo, za x, y i z komponente brzine : u v w potencijalnu temperaturu : relativnu vla nost : z q neku pasivnu supstancu (polutant, traser,...) : c

W

Odnos srednje vrednosti i odstupanja je ilustrovan na slici (1.6). Postoji vie mogu ih na ina dens c c isanja srednjih vrednosti i odstupanja. U teorijskim razmatranjima srednje vrednosti su denisane preko ansambla. Ansambl je skup realizacija (dogadjaja) koji imaju istu vrednost svih makroparametara. Pod makroparametrima se podrazumevaju geometriijske karakterisitike, gradijent pritiska koji izaziva kretanje, nepromenjene zi ke karakteristike kao viskoznost itd. Za turbulentno kretanje je karakteristi no c c da se svaki clan ansambla, svaka realizacija razlikuje od svih ostalih clanova ansambla. Recimo pri proticanju uida kroz cev, kada je Rejnoldsov broj dovoljno veliki pa je kretanje uida turbulentno i kada dr imo vrednost razlike pritiska na krajevima konstantnom. Ako napravimo zapis brzine u nekom z trenutku t, u toku intervala vremena od (0,T), a zatim ponovimo eksperiment N puta uo avamo da se c svaki od zapisa razlikuje od ostalih. Svaki od tih zapisa je jedna realizacija, jedan element ansambla. Koja srednja brzina onda karakterie proticanje uida kroz cev? Za trenutak t, unutar intervala 0 T s denie se srednja vrednost po ansamblu kao aritmeti ki srednjak izmerenih vrednosti iz svih realizacija: s c U t0

1 N ui t0 N i 1

Q

C

U V

u v w

(1.2) (1.3) (1.4)

(1.5)

q

(1.6)

c

(1.7)

(1.8)

12


~ u u U t

Slika 1.6: Detaljniji prikaz promene vetra sa slike (1.4) sa nazna enim odstupanjem kao i srednjom c vrednocu, (prema Stulu (24)) s

Ovako denisana srednja vrednost nije pogodna za eksperimentalna razmatranja. Kod laboratorijskih merenja ili osmatranja naj ece se sre emo sa srednjom vrednocu denisanom kao srednjak u vremenu c s c s ili prostoru. Recimo u vremenu, srednja vrednost se denie kao: s

U t0

u t dt

t0 T /2

i analogno u prostoru, s tim sto se integracija po vremenu zamenjuje integracijom po koordinati (koordi natama). O odnosu izmedju srednjih vrednosti po ansamblu i srednjaka u vremenu ili prostoru govori ergodiska hipoteza (videti Dodatak F). Tako, za dovoljnu du inu intervala osrednjavanja T i dovoljno veliki z broj realizacija, srednje vrednosti po ansamblu i vremenski srednjak se zanemarivo razlikuju. Preciznije odredjenje odnosno jedna varijanta ergodiske teoreme (hipoteze) je dat u ve pomenutom dodatku. c I na kraju, najoptiji na in denisanja osrednjavanja je preko operatora (operacije) osrednjavanja, pri s c cemu se postuliraju njegove osobine preko skupa pravila. Sa gornjom crtom cemo ozna iti dejstvovanje c operatora osrednjavanja. Tada deniemo osobine operatora osrednjavanja: s

f

g

f

g

F

C f

C f

CF

%$# "

!

1 T

t0 T /2

(1.9)

G

(1.10)

(1.11)

Jednacine za srednje vrednosti C

13

s

Fg

FG

Na slici (1.7) je dat prikaz odnosa nagiba neke veli ine pre i posle osrednjavanja. Geometrijski gledano, c uo avamo da je nagib srednje vrednosti daleko manji nego nagib trenutne vrednosti. Ova naizgled jedc nostavna karakteristika je od fundamentalnog zna aja kod razmatranja turbulentnih tokava i mogu ih c c izra unavanja vezanih za njih. Nagib srednje vrednosti zavisi, u optem slu aju, od perioda osrednjac s c vanja. Medjutim postoje vremenski odnosno prostorni intervali nakon kojih srednje vrednosti potpuno izgube haoti ni deo signala. (Ovo ce biti razmatrano u tre oj glavi nakon uvodjenja pojma spektra turc c bulentne kineti ke energije gde ce se pokazati postojanje tzv. spektralnog jaza). c Zadatak : Na osnovu aksioma operatora srednje vrednosti na i srednju vrednost proizvoda dve c slu ajne (haoti ne) veli ine. c c c Reenje : Na osnovu (1.10), piemo: s s uw Primena (1.14) daje: U u W w UW U w Wu

uw

UW

uw

Dakle iako je srednja vrednost odstupanja jednaka nuli kada se pojavi proizvod uktuacija, njegova srednja vrednost je razli ita od nule. c

1.4

Jedna ine za srednje vrednosti c

Nakon uvodjenja pojma srednjih vrednosti treba formirati jedna ine koje ce opisivati njihovu evoluc ciju kako u vremenu tako i u prostoru. Kako smo ranije videli ida je viskoznost uida jedna od njegovih bitnih karakteristika koja mo e da dovode do pojave turbulentnog toka, mora se po i od Navije-Stoksovih z c

2 1

0) (

'

f s

f s

C F s

(1.12)

&

xyzt

(1.13)

(1.14)

uw

(1.15)

(1.16)

14


~ a

nagib ~ da = trenutne dt vrednosti

A dA dt A = nagib srednje vrednosti

t

Slika 1.7: Shematski prikaz odnosa nagiba srednjih vrednosti prema nagibu trenutne vrednosti. Period osrednjavanja je predstavljen du inom horizontalnih strelica, (prema Stulu (24)) z

jedna ina kretanja. Navije-Stoksove jedna ine cemo uzeti uz Businesk aproksimaciju (vidi Dodatak G). c c Potpuni sistem jedna ina sadr i jo jedna inu kontinuiteta za nestiljiv uid i jedna inu termodinamike: c z s c s c fv

fu

g

3

w t

v w

1 p 0 z

0

3

v t

v v

1 p 0 y

3

u t

v u

1 p 0 x

u

(1.17)

v

(1.18)

w

(1.19)

Jednacine za srednje vrednosti u x t v y w z

15

gde je kinemati ki koecijent molekulske difuzije a koecijenat difuzije temperature. Kada uvedemo c razlaganje trenutne vrednosti na srednju vrednost i odstupanje (uktuacije) u U u i osrednjimo jedna ine, koriste i postulate osrednjavanja dobijamo jedna ine za srednje vrednosti: c c c fV uu

fU

vv

ww V y

g

Ako oduzmemo od jedna ina za trenutne vrednosti jedna ine za srednje vrednosti tada se dobijaju c c jedna ine za odstupanja (uktuacije): c fv uu

fu

vv

75 4

3 3 3

v t

v V

V v

v v

vu x

p y 0

vw z

65 4

3 3 3

u t

v U

V u

v u

p x 0

5

4

3

t

V

u x

v y

U x

W z

0 w z

uv y

5

4

3

W t

V W

P z 0

wu x

wv y

0

5 4

3

V t

V V

P y 0

vu x

vw z

5 4

3

U t

V U

P x 0

uv y

uw z

U

V

W

uw z

v

3

v

0

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

(1.26)

u

(1.27)

(1.28)

16


ww

g

Uo avamo da se u jedna inama za srednje vrednosti na desnoj strani javljaju novi clanovi, pored o ekivanih c c c clanovai, srednjih vrednosti za silu gradijenta pritiska i viskoznost. Prema drugom Njutnovom zakonu ti novi clanovi su nekakve sile, preciznije sile za jedini nu masu. Tako, kao posledica jedne matemati ke c c operacije (razlaganja na srednje vrednosti i odstupanja) javljaju se nove sile. Razmotrimo poreklo odnosno smisao ovih novih clanova. Na slici (1.8) je prikazana elementarna zapremina koja se kre e c srednjom brzinom U u pravcu x-ose. Kada bi kretanje bilo laminarno tada, u odsustvu Koriolisove sile i sile gradijenta pritiska, uo ena zapremina bi se kretala bez promene brzine. (To strogo uzev nije ta no jer c c postoji molekulska difuzija koli ine kretanja zbog molekulskog kretanja ali ona se mo e zanemariti za c z kra e vremenske intervale.) Ako bi jedna ine (1.22 - 1.24) pomno ili sa 0 tada bismo govorili o bilansu c c z koli ine kretanja odnosno o promeni koli ine kretanja elementarne mase. Novi clanovi na desnoj strani c c y 0 uv i z 0 wu . Oni se nazivaju Rejnoldsovi naponi u jedna inama kretanja c bi bili x 0 uu odnosno Rejnoldsovi clanovi kada se odnose na citav sistem jedna ina koji uklju uje i termodinami ku c c c jedna inu. Oni predstavljaju konvergenciju srednjeg uksa x-komponente koli ine kretanja u uo enoj c c c elementarnoj zapremini. Zaista analizirajmo clan z 0 wu . Njega mo emo napisati i na slede i na in: z c c z w 0 u . Veli ina 0 u je x-komponenta koli ine kretanja, a w 0 u je uks x-komponente koli ine c c c kretanja kroz jedini nu povrinu normalnu na z-osu. Dalje z wr 0 u je razlika ukseva kroz jedini ne c s c povrine po jedinici du ine tj. divergencija tog uksa ili neto odliv koli ine kretanja u pravcu z-ose, pa s z c c c je z 0 wu srednji neto priliv x komponente koli ine kretanja u pravcu z-ose u uo enu elementarnu zapreminu. Istom analizom mo emo da zaklju imo da je y v 0 u srednji neto priliv x komponente z c koli ine kretanja u pravcu y-ose u uo enu elementarnu zapreminu, a x u 0 u srednji neto priliv c c x komponente koli ine kretanja u pravcu x-ose u uo enu elementarnu zapreminu. Drugim re ima, u c c c uo enu zapreminu postoji priliv/odliv koli ine kretanja zbog postojanja odstupanja (uktuacija) u polju c c brzine. Naglasimo da je masa uida u uo enoj zapremini konstantna. Tako, rezimiramo da zbog relc ativnog kretanja uktuiraju eg dela toka, u odnosu na uo enu masu koja se kre e srednjom brzinom, c c c dolazi do promene srednje brzine jer svaka promena koli ine kretanja u jedinici vremena dovodi do c ubrzanja/usporenja. Na isti na in mo emo da analiziramo jedna inu termodinamike. Izraz w predc z c stavlja srednji uks potencijalne temperature kroz jedini nu povrinu normalnu na z-osu a z w je c s srednji neto priliv potencijalne temperature, u elementarnu zapreminu, iz pravca z-ose. Na isti na in c

@C 9

A@ 9 9 @ 9

B@ 9

u x

v y

w z

0

5

4

3 3

8

3

w t

v W

V w

v w

wu x

wv y

p z 0

0

w

(1.29)

(1.30)

A@ 9

Jednacine za srednje vrednosti i uktuacije u indeksnoj notaciji

17

w(z+dz) z

w(z)

y

Slika 1.8: Uz objanjenje s

mo emo da analiziramo izraze x u z y v . Dakle ako, recimo, topliji uid koji se kre e relac tivno u odnosu na jedini nu zapreminu istisne hladniji uid imamo neto zagrevanje, sve posmatrano iz c referentnog sistema koji se kre e srednjom brzinom. c

1.5

Jedna ine za srednje vrednosti i uktuacije u indeksnoj notaciji c

Prognosti ke jedna ine dobijaju koncizniju formu u tzv. indeksnoj notaciji. U tom zapisu vektor c c c c trenutne brzine v piemo kao u i ili kra e ui gde indeks i ima vrednosti 1,2,3. Tada jedna ina kontinu s iteta postaje:

ui xi

0

z 0 wu

DDEE DEDE DDEE DEDEu(z)

FG FG FG FG FG FG FG FG FG FG FG F FG FG FG FG FG FG FG FG FG FG FG F

DEDE DEDE DEDE DEDE

DEDE DEDE DEDE DEDE

8

DEDE DEDE DEDE DEDE

DEDE DDEE DEDE DDEE

DEDE DD DEDE DD I H

u(z+dz)

U

x

(1.31)

18


Ovde je koricena tzv. Ajntajnova konvencija o sabiranju 2 .Za srednje vrednosti, direktnom primenom s s pravila za osrednjavanje, dobijamo:

Oduzimanjem jedna ina kontinuiteta za srednje i trenutne vrednosti dobija se jedna ina kontinuiteta za c c uktuacije:

Jedna ine kretanja i termodinamike, u indeksnoj notaciji i u uksnom 3 obliku glase: c

uk

gde smo uveli oznaku za 1 0 . Vektor g g i ima komponente (0,0,-g). Ponavljanjem postupka osrednjavanja dobijaju se jedna ine za srednje vrednosti: c

Uk

i analogno kao kod jedna ine kontinuiteta, za uktuacije: c uiUk ui uk ui uk

2 Konvencija 3 Fluksni

o sabiranju glasi da se uvek vri sabiranje po ponovljenom indeksu. s oblik je uk f xk dok je uk f xk advektivi oblik.

TS

R

W

t

Uk xk

uk

uk

uk

2 x2 k

5

4

Q@

XWV U

9

ui t

ukU i xk

ilm fl um

t

xk

4

Uk

ui uk

uk xk

2 x2 k 2 ui x2 k

p ik xk 0

ik gk

5

U i t

U i xk

ilm flUm

P ik xk 0

I P H

t

xk

4

uk

2 x2 k

ik gk

5

ui t

ui xk

ilm fl um

p ik xk 0

ui xi

Ui xi

0

(1.32)

0

(1.33)

2 ui x2 k

i3 gi

(1.34)

(1.35)

2Ui x2 k

(1.36)

(1.37)

(1.38)

(1.39)

Jednacine za energiju kod turbulentnih tokova

19

1.6

Jedna ine za energiju kod turbulentnih tokova c

Da bi se formirale jedna ine za promenu kineti ke energije srednjeg toka i uktuacija polazi se od c c jedna ine kretanja koju pomno imo brzinom U j . Tako se dobija, koriste i pravila o izvodu proizvoda: c z c

ako se indeksi permutuju jedna ine postaju: c

Nakon sabiranja jedna ina (1.40) i (1.41) dobija se c U iu j uk

U j ui uk

u j uk

Kona no ako se izvri kontrakcija indeksa (tj. stavimo i c s sumaciji, dobija se zeljena jedna ina: c

j) jer Ekin

1

Jedna ina za turbulentnu kineti ku energiju mo e se dobiti, analogno prethodnom postupku, polaze i od c c z c jedna ina za uktuacije i ponavljaju i postupak kao kod jedna ine za kineti ku energiju srednjeg toka. c c c c Detaljano izvodjenje se mo e na i u Dodatku D. Tamo je takodje transformisan clan disipacije tako sto se z c drugi izvod napie kao zbir dva clana. Da bi se dobio kon an oblik koji ce ovde biti dat mora da se koristi s c analiza redova veli ina dva novodobijena clana iz koje se vidi da se drugi clan mo e zanemariti. Razmeri c z ovih clanova se dobijaju na osnovu izlaganja u tre oj glavi, no mi cemo ovde ipak dati kona nu formu c c jedna ine za turbulentnu kineti ku energiju. Ona, uz uobi ajenu deniciju veli ine q2 u2 v2 w2 c c c c

9

Uk Ekin 2

Ui ui uk 3

@

@

9

Ekin t

xk

xk

ui uk Uki x 4

P Uk xk 5

gk Uk 6

@ 9

4

4

Ui

Uj

1 2 Ui

5

5

P jk xk 0

Uig j

Ui

2U j x2 k

P ik xk 0

gi U j

@

9

U jU i t

UkU iU j xk

4

9

Ui

Ui

u j uk

Ui

U i xk

ui uk

5

Y@

U j t

UkU j xk

Ui jlm flUm

P jk xk 0

4

9

Uj

Uj

ui uk

Uj

Ui g j

5

Y@

U i t

UkU i xk

U j ilm fl Um

P ik xk 0

U j gi

U j

2 Ui x2 k

(1.40)

Ui

2 Uj x2 k

(1.41)

U j xk 2U x2 k

U j

(1.42)

2

, uz konvenciju o

Ui Ui 7

(1.43)

20 ima oblik:


1

2

3

4

5

6

Radi kra eg pisanja uobi ajeno je da se za turbulentnu kineti ku energiju uvede skra enica tke. Smisao c c c c clanova (6) u prethodnim jedna inama proizilazi iz analize jedna ina za srednju potencijalnu energiju c c i za potencijalnu energiju uktuacija. Kada uzmemo u obzir vrednosti komponenti vektora g grupa z z c clanova ozna ena sa (6) postaju gW odnosno gw . Ako sa Z obele imo srednji polo aj deli a, a sa c z odstupanje od njega, tada je srednja potencijalna energija, jedini ne mase u stratikovanom uidu, data c sa gZ. Znak se javlja jer je potencijalna temperatura u odnosu na osnovno referentno stanje, pa ako je pozitivno to zna i da je deli uida topliji/redji od okolnih pa postoji te nja da se podigne do c c z nivoa gde okolni uid ima njegovu potencijalnu temperaturu. Dakle sto je deli dublje, ni e u odnosu na c z srednji polo aj deli a, to je ve a njegova potencijalna energija. Analogno srednja potencijalna energija z c c c z c c uktuacija iznosi gz. Vremensku promenu ovih veli ina mo emo dobiti polaze i od termodinami ke jedna ine. Mno enjem jedna ine (1.37) sa gZ dobija se: c z c

odnosno 1

Za uktuacije se analogno dobija:d dt

pot

1

U jedna inama (1.46) i (1.47) sa Pot je ozna ena srednja potencijalna energija a sa pot srednja potencic c jalna energija uktuacija ili srednja turbulntna potencijalna energija. Dakle clan (6) iz jedna ine (1.44) c je jednak clanu (2) u jedna ini (1.47) ali sa suprotnim znakom ( gk uk gw). Na osnovu toga za c klju ujemo da clanovi (2) odnosno (6) opisuju pretvaranje srednje turbulentne potencijalne energijree u c srednju turbulentnu kineti ku energiju i obrnuto. c

%a%aa

S

R

d dt

gz

gw 2

%a%aa

@

d dt Pot

d dt

gZ

gZ

d dt

gZ

uk xk

gZ

gW 2

7

9

R

$ "

q2 2

Uk q2 2

uk u2 2 i

S `

t

xk

xk

`

ui uk Uki x

xk uk p

gk uk

u u xki xki

(1.44)

(1.45)

(1.46)

(1.47)

Jednacine za energiju kod turbulentnih tokova

21

Pored odredjivanja smisla clanova odgovornih za razmenu potencijalne energije, analogno, mo emo z da damo smisao i drugim clanovima u jedna inama energetskog bilansa. Poredjenjem jedna ina (1.43) c c i (1.44) uo avmo da se clanovi ozna eni sa (4) razlikuju samo u znaku. Opet zaklju ujemo da je ovaj c c c clan odgovoran za pretvaranje kineti ke energije srednjeg toka u tke ili obrnuto. Pravac ovog transfera c se ne mo e utvrditi direktnom analizom izraza. Nezavisno, iz laboratorijskih eksperimenata, zatim iz z osmatranja u atmosferi odnosno u okeanu, zna se da transfer energije uvek ide od srednjeg toka ka uktuacijama. To se mo e zaklju iti i slede om analizom. Prol vetra u blizini tla, u stacionarnom z c c slu aju, je posledica kombinovanog dejstva sile gradijenta pritiska i Koriolisove sile. Zatim znamo da c vetar uvek slabi kako se pribli avamo tlu. Sta bi mogao biti tome razlog? Sila gradijenta pritiska se ne z menja sa pribli avanjem tlu a Koriolisova sila mo e samo da promeni pravac vetra, te mora da postoji z z neki drugi mehanizam smanjenja brzine tj. odvodjenja koli ine kretanja. To je upravo turbulentni uks c koli ine kretanja i on mora biti usmeren ka tlu (tlo prima koli inu kretanja od atmosfere). Da bi se to c c ispunilo U z mora biti pozitivno. Sto se ti e transfera turbulentne potencijalne energije u kineti ku ili obrnuto on zavisi od znaka c c uksa w. Ukoliko je deli topliji/hladniji on spontano isplivava/tone sto u oba slu aja daje pozitivan c c uks toplote a time se daje pozitivan doprinos pove anju tke. Dok ako se sputa toploji deli ili se di e c s c z hladniji deli uks toplote je negativan i imamo pretvaranje tke u potencijalnu energiju turbulentnog dela c toka. To se deava u stabilnoj situaciji kada se tke stvara isklju ivo zbog smicanja. s c Na taj na in smo objasnili dva osnovna izvora tke; smicanje osnovne struje i rad sile potiska. Analize c osmatranja ili laboratorijskih merenja pokazuju da se u prvoj aproksimaciji ceo energetski bilans mo e z svesti na tri dominantna clana. Ve su opisana dva izvora tke, a kao tre i clan se javlja disipacija. U c c literaturi se ovakvo stanje naziva ravnote no stanje. Dakle z ui u j xij

ili simboli no c T KE

SPROD

BPROD

t

a

prod zbog smican ja

prod zbog rada sile potiska

disipaci ja

a

b 0) (

t

q2 2

U

gk uk

u u xki xki

(1.48)

(1.49)

2Empirijske teorije turbulencije

2.1

Uvod

U ovoj glavi cemo se baviti odredjivanjem ukseva i prola srednijh veli ina unutar turbulentnog c grani nog sloja polaze i od empirijskih rezultata koji su dobijeni ili merenjima ili u laboratorijama. Prvo c c koli ine kretanja a zatim i ostalih veli ina koje su od interesa u meteorologiji. Pri tome ce se prvo c c analizirati prostiji slu aj homogenog uida i tada ce se uglavnom analizirati laboratorijski rezultati. U c tom slu aju jedini izvor turbulencije je smicanje srednje struje. Nakon dobijanja nekih rezultata pre i ce c c se na stratikovan uid kod koga ce efekti rada sile potiska kao i prisustva vodene pare biti od velikog zna aja pored ve pomenutog smicanja srednje struje. Kao osnovni rezultat mo e se smatrati realizacija c c z kompleksnosti strukture turbulentnih grani nih slojeva. Uvek postoje tri podsloja prema karakteristikama c ukseva koli ine kretanja, toplote itd. Uz samu cvrstu granicu postoji veoma tanak podsloj tzv. viskozni c podsloj, zatim sledi sloj, pribli no 10% citavog grani nog sloja, tzv. sloj konstantnog uksa i ostatak z c je tzv. sloj defekta, kod homogenih uida ili izmeani sloj kod stratikovanih uida. Analiza njihovog s medjusobnog odnosa kao i prelaza iz jednog u drugi dovece do zaklju ka da vetar, u blizini tla, u s c prelaznom sloju od sloja konstantnog uksa ka izmeanom sloju ima logaritamsku zavisnost. To je s sigurno jedan od najva nijih rezultata citavog kursa. z

Turbulencija u granicnom sloju toka homogenog uida preko ravne ploce

23

2.2

Turbulencija u grani nom sloju toka homogenog uida preko ravne c plo e c

Kad se pokuava neto zaklju iti na osnovu empirijskih cinjenica skoro uvek se polazi od najjednoss s c tavnijeg mogu eg slu aja. U pogledu geometrije razmatramo ravnu podlogu, sto je slu aj sa najve im c c c c mogu im stepenom simetri nosti. U pogledu termodinami kom , razmatramo homogen uid i na kraju c c c u pogledu vremenskih promena rzmatra emo samo slu aj stacionarnog toka. Tako u slu aju toka hoc c c mogenog uida to je sigurno tok preko ravne plo e. Tada se mogu u initi slede e pretpostavke: c c c homogenost u x i y pravcu (

stacionarnost toka 1

konvergencije koli ine kretanja u x i y pravcu mogu da se zanemare u odnosu na konvergenciju u c pravcu z-ose (zato ?). s

Uvodjenjem ovih pretpostavki jedna ine kretanja se svode na jednu relaciju: c W uw

gde je sa P obele n takozvani kinemati ki pritisak koji je jednak P 0 . Sasvim blizu zida, vertikalna z c komponenta brzine, W , mora da bude sasvim mala tako da se mo e pisati: z uw

Dalje, smatra emo da se vetar odnosno sila gradijenta pritiska ne menja u pravcu x-ose. Tu, konstantnu c vrednost sile gradijenta pritiska obele i emo sa slovom A. Ako sada (2.2) integralimo od tla do visine z zc dobijamo: uw Az

Dakle, u neposrednoj blizini zida, gde je z vrlo malo, ukupan transport koli ine kretanja je, u prvoj c aproksimaciji, konstantan. Vrednost te konstante B je z U z 0 , a obele ava se sa u2 ili u2 . Kako je z 1 Kod viskoznih uida mogu e je imati staconarno kretanje i pored dejstva spolja njih sila. Upravo turbulentni transport c s koli ine kretanja prema podlozi, koji prelazi u viskozni transport uz sam zid, to omogu ava. c c

d

c

U z

B

Oz

5

4

z

U z

P x

A

5

4

U z

a U z P x (2.1) (2.2)

const )

(2.3)

24

Empirijske teorije turbulencije

1

d(U/u ) d(z/z0 )

0.5

uw u2

0 .1 1. log(z/z )0 10.

Slika 2.1: Relativan odnos viskoznog i turbulentnog transporta koli ine kretanja u neposrednoj blizini c zida(prema Meloru (15)).

denicija veli ine u vezana za viskozno trenje a ima dimenzije brzine zove se brzina trenja.Sloj u c kome je zbir molekulskog i turbulentnog transporta konstantan se zove sloj konstantnog uksa koli ine c 2 dobije se u bezdimenzionalkretanja ili kra e sloj konstantnog uksa. Ako se relacija (2.3) podeli sa u c nom obliku: uw u2

Ova relacija je gra ki predstavljena na slici (2.1), gde ja na apscisi predstavljen log z z0 a ordinata c prikazuje zbir molekulskog prenosa koli ine kretanja, meren odozgo na dole, i turbulentnog transporta c koli ine kretanja, meren odozdo na gore. Njihov zbir je tako uvek 1 sto zi ki zna i da se sav transport c c c koli ine kretanja odvija kao zbir molekulskog i turbulentnog transporta. Eksperimentalno je utvrdjeno da c za z 10 u dominira molekulski transport, dok za z 50 u dominira turbulentni transport koli ine c kretanja. Govore i jezikom teorije sli nosti odredjuju i parametri u blizini zida su brzina trenja, u i koecijent c c c viskoznosti . Tako se za karakteristi ni razmer du ine dobija z0 u koji pri u 0 1ms 1 i c z

!

a

@@ 9 9 1 O z u2

U u u z

f

e

(2.4)


25

1

0

(a)

(b)

10

u

U

5 x 10

3

0

10

-4

10

-3

10 z/

-2

10

-1

(c)30 Zakon zida 20 u u U = 5 x 10 3 5 x 104

10

0

1

10

1

10 z/z 0

Slika 2.2: Proli brzine u neutralnom grani nom sloju pri vrednostima Re broja 5x103 i 5x104 . Na c panelu (a) za razmer brzine je uzeta brzina U , dok je za razmer du ine uzeta du ina . Na slede em z z c panelu, panel (b), razmer razlike brzine U od U je u dok je za razmer du ine uzeta vli ina srazmerna sa z c . Tre i panel (c) pokazuje slu aj kada se za karakteristi ne razmere za du inu i brzinu ima z0 odnosno c c c z brzina trenja, u (prema Meloru i Gibsonu (16)).

8

0.5

U -u u20

8

U = 4 5 x 10

U = 4 5x 10

5x 10

3

Zakon defekta 30-4 -3 -2 -1

10

10

z/

10

10

5.6 log(z/z 0 ) + 4.9

2

10

3

10

4

26


10 5 m2 s 1, z0 je reda veli ine 0 1 mm. Ovo je samo kada je podloga veoma ravna. U stvarnosti c pdloga nikada nije idealno ravna. naro ito ako je podloga tlo gde neravnine , hrapavost, dominiraju u c odredjivanju vrednosti parametra z0 . Zato se u tim slu ajevima sre emo sa vrednostima za z0 od 1 cm. c c pa do nekoliko desetina santimetara. Polaze i od toga da je odredjuju i parametar (razmer) za brzinu u a za du inu z0 , prema teoremi c c z 2 prol vetra u sloju konstantnog uksa, u neposrednoj blizini zida, mora biti slede eg oblika: c

Gornja relacija se naziva zakon zida. Moramo naglasiti da oblik funkcije f ostaje nepoznat. Kako stoji stvar sa prolom vetra iznad sloja konstantnog uksa? Ovde je situacija komplikovanija jer ne znamo kako da, apriori, izaberemo du inski odnosno razmer brzine. Za oba razmera ima vie kanz s didata. U slu aju du inskog razmera, pored ve formiranog razmera z0 , kao drugi kandidat se pojavljuje c z c i visina citavog grani nog sloja, . U slu aju razmera brzine mo emo o ekivati brzinu trenja ali i rec c c z c imo brzinu uida iznad grani nog sloja uslovno ozna en sa U . Analiziraju i rezultate iz laboratorijskih c c c eksperimenata, za sloj iznad sloja konstantnog uksa, zaklju ujemo da zakon sli nosti ima oblik: c c

Kako prethodna relacija govori o razlici, defektu brzine, U , od brzine izvan grani nog sloja, U , relacija c (2.6) se naziva zakon defekta. Potvrda za to je slede a slika koja je preuzeta iz rada Melora i Gibc sona (1966). Na toj slici (2.2) su dati proli brzine u neutralnom grani nom sloju pri vrednostima c Rejnoldsovog broja 5x103 i 5x104 . Na panelu (a) za razmer brzine je uzeta brzina U , dok je za razmer du ine uzet . Vidimo da do slaganja dolazi tek pri samom vrhu grani nog sloja, sto dalje zna i da ili z c c razmere brzine ili razmere du ine nisu dobro izabrane. Na slede em panelu, panel (b), prikazana je raz c zlika brzine U od U podeljena sa u dok je rastojanje od podloge podeljeno sa (preciznije re eno na c ovoj slici je razmer du ine veli ina koja je srazmerna sa , ali u ovakvim razmatranjima je to nebitno). z c Poto je na apscisi logaritamska podela to vidimo da se u velikom delu grani nog sloja (preko 90 %) s c oba prola potpuno poklapaju i da je u pitanju logaritamska zavisnost (pribli no linearna veza veli ina z c 2 . Tre i c sa graka). Rasturanje po inje tek kada je bezdimenziono rastojanje od podloge manje od 10 c panel (c) pokazuje slaganje za veoma mala rastojanja od zida a karakteristi ne razmere za du inu i brzc z inu su z0 odnosno brzina trenja, u . Takodje se lepo vidi da postoji relativno sirok interval u kome va i z logaritamski zakon. Ova logaritamska zavisnost se mo e i formalno izvesti sto cemo ubrzo i pokazati. z 2 za

sadr aj teoreme vidi dodatak H z

!

U

U u

a

!

!

U u

f z z0

(2.5)

F z

(2.6)


27

Sumarno, prol vetra sa visinom, mo emo shematski prikazati kao na slici (2.3). Dakle iznad sloja z

Visina (z) Zakon defekta Sloj spajanja log profil Log profil Vetar (U)Slika 2.3: Shematski raspored podslojeva kod grani nog turbulentnog sloja u slu aju homogenog uida c c (debljina viskoznog podsloja je jako uveli ana). c konstantnog uksa va i zakon defekta, a u sloju konstantnog uksa zakon zida. U medjuprostoru, gde z jedan sloj prelazi u drugi sloj, postuliramo postojanje kontinuiranog prelaza jednog zakona u drugi. Kako formulisati (opisati) taj prelaz? Sa strane sloja konstantnog uksa prelaz se dogadja kako odnos z z0 postaje veoma veliki. Sa druge strane, idu i iz sloja gde va i zakon defekta u sloj konstantnog uksa, c z z postaje veoma mali. Medjutim, dodatna pretpostavka o neprekidnosti prvog izvoda ce dovesti do rezultata. dU u2 dU u f z z0 F z (2.7) dz unut dz spol j Kako desna strana gornje jedna ine ne zavisi od parametra viskoznosti to ni leva strana ne sme da c zavisi od njega. footnoteParametar viskoznosti je prisutan preko z0 . To je jedino mogu e ako je f c stepena funkcija agrumenta z z0 , tj. oblika:

Zakon zida

'

f

'

z z0

z z0

s

(2.8)

h

ih

g

'

&

&

ih & #

g

'

&

28


Slika 2.4: Izmereni prol brzine u blizini glatkog zida predstavljeni preko razmera brzine odnosno du ine, karakteristi ne za re im za koji va i zakon zida (prema Meloru (15)). z c z z

jer za s

1, koecijent viskoznosti, , se ne pojavljuje u krajnjem izrazu. Dakle: const

gde je tzv. konstanta Von Karmana. Njena vrednost nije ta no odredjena a u literaturi se sre u vrednost c c od 0.35 do 0.42. Ipak se naj ece sre e vrednost 0.4. Kona no, na osnovu rezultata mnogobrojnih c s c c eksperimenata ciji su rezultati prikazani na slici (2.4), za prol brzine se dobija:

a

U z u

1 z log z0

dU dz

u z

u z

(2.9)

49

(2.10)

Stratikovani uidi

29

Ina e u matemati koj teoriji grani nih slojeva ovakva procedura,a u kojoj se tra i preklapanje (slaganje) c c c z na kona nom intervalu, se naziva asimptotsko sklapanje ( za detaljniji prikaz ove problematike vidi c dodatak Elementi teorije grani nog sloja ili referencu Bender i Orzag (1)). Kada naprotiv zahtevamo c jednakost funkcija u jednoj ta ki govorimo o asimptotskom spajanju (u bukvalnom prevodu termina iz c anglo-saksonske literature govorimo o krpljenju). U dodatku A dati su osnovni elementi matemati ke c teorije grani nog sloja, za linearan slu aj. c c

2.3

Stratikovani uidi

U dosadanjim razmatranjima bilo je re i o grani nim slojevima u homogenim uidima gde je postos c c janje gradijenta brzine osnovne struje jedini mogu izvor turbulencije. Sada ce se razmatrati turbulentni c tokovi pri postojanju nehomogenosti u poljima temperature odnosno gustine. Svakako, za kretanja u grani nom sloju atmosfere dominantne su pojave vezane za nehomogenosti u poljima termodinami kih c c veli ina. To je najizra enije kroz dnevni hod temperature ali i ostalih veli ina. Na slici (2.5) dat je c z c shematski prikaz promena planetarnog grani nog sloja u toku dana. c Osnovni razlog postojanja stratikacije u atmosferi je mehanizam njenog zagrevanja. Apsorpcijom Sun evog kratkotalasnog zra cenja dolazi do zagrevanja tla. Toplota se zatim prenosi uvis dvojako. Kao c prvi mehanizam zagrevanja mo emo ozna iti apsorpciju i re-emisiju infracrvenog zra enja ciji je izvor z c c tlo. Toplotno zra enje se zatim postepeno prenosi do najviih slojeva atmosfere. Kao drugi mehanizam c s imamo provodjenje. Provodjenje po inje pri samom tlu i tu je najizrazitiji mehanizam prenosa toplotei c ali i drugih pasivnih veli ina. Ovaj transport je dominantan u vrlo tanakom sloju tzv. molekularnom c podsloju koji se opisuje preko kineti ka teorija gasova. U tom sloju srednji slobodni put je karakteristi i c n razmer du ine. Nastavak procesa prenos toplote i vlage iznad molekularnog podsloja je sasvim druga iji z c po svojoj prirodi. Tu se formiraju uredjena, mikro-kretanja mnogo manjih razmera u odnosu na razmere kretanja daleko od tla. Prenos, advkcija od strane tih mikr-struja je dominantan mehanizam transporta toplote, koli ine kretanja, vlage itd. u najve em delu atmosfere pri tlu. Samim tim i u odredjivanju c c vertikalnih prola tih i veli ina. Taj deo atmosfere nazivamo turbulentni grani ni sloj ili planetarni c c grani ni sloj, skra eno PGS. Iznad planetarnog grani nog sloja konvektivna kretanja velikih razmera c c c (velikih u odnosu na konvektivna kretanja unutar PGS-a) kao i kretanja mezo, sinopti kih i planetarnih c razmera odredjuju prole brzine i termodinami kih veli ina. Sem sto predstavlja izvor/ponor toplote, c c koli ine kretanja, vlage,..., va na karakteristika planetarnog grani nog sloja je da se u njemu odvija c z c velika disipacija kineti ke energije atmosfere. Drugi takav pojas velike disipacije kineti ke energije je c c sloj oko tropopauze u mlaznoj struji u kojoj se generie turbulencija, ovoga puta samo kao posledica s

30


Slika 2.5: Shematski prikaz PGS-a u polju visokog pritiska, iznad kopna. PGS se sastoji od tri glavna dela: jako tubulentnog izmeanog podsloja; manjeg turbulentnog, zaostalog podsloja gde je u prethods nom periodu bio izmeani podsloj; i no nog stabilnog podsloja u kome imamo sporadi nu pojavu turs c c bulencije. S1-S6 su vremenski markeri trenutaka za koje ce biti dati proli na slici (2.8), (prema Stulu (24)).

smicanja. Analizu dnevnog hoda PGS-a po nimo od podneva, tipi nog letnjeg dana, sa dobro razvijenim konc c vektivno izmeanim slojem na cijem se vrhu nalazi zona koja se naziva zona uvla enja. Na slici (2.5) sa s c S1 je ozna en ovaj trenutak za koji je na slede oj slici (2.6), prikazan prol virtuelne potencijalne temperc c ature, vetra, relativne vlage i tipi an prol neke pasivne supstance. Nakon zalaska Sunca, do narednog c izlaska, u najve em delu predjanjeg izmeanog sloja turbulencija se postepeno disipira. Struktura je c s s takva da na vrhu postoji sloj inverzije, zatim nadole zaostali sloj, zatim stabilni sloj (no ni) i pri tlu c povrinski sloj. Iz tog dela dana prikazani su proli S2 i S3. Nakon izlaska Sunca, usled intenzivnog s zagrevanja tla ponovo se razvija izmeani sloj na cijem se dnu nalazi povrinski sloj. Proli iz ovog dela s s

Stratikovani uidi

31

S1

S2

S3

S4

S5

S6

SA

SA SA SA SA

SA OS

ZS IS ZS

ZS SNS

ZS IS

IS

SNS SNS v v v

IS

v

v

v

Slika 2.6: Tipi ni, dnevni proli srednje virtuelne potencijalne temperature (v ), intenziteta vetra (M), c vodene pare, izra ene kao speci na vlaga (r) i nekog pasivnog polutanta, (prema Stulu (24)). z c

dana su nazna eni kao S4, S5 i S6 na slici (2.6). U toku no i se formira stabilna stratikacija i proli c c temperature i vetra mogu se shematski prikazati kao na slici (2.7). Jedna od najmarkantnijih karakteristika PGS-a je njegova gornja granica. Naj ece se na vrhu planc s etarnog grani nog sloja (sl. 2.6) opa a zona karakteristi na po postojanju jakih gradijenata u skoro svim c z c veli inama. Kako se tu opa a i intenzivnije sputanje, uvla enje, odatle i naziv zona uvla cenja. Ti gradic z s c jenti temperature i vlage bivaju naro ito jako izra eni ako se na vrhu planetarnog grani nog sloja formira c z c stratusni oblak a sto je ina e cesta pojava, naro ito iznad morskih povrina u suptropskim sirinama. c c s Fizi ki procesi pri formiranju ovih oblaka su jo kompleksniji od procesa u suvom PGS-u jer tada se c s pojavljuju dodatni efekti. Prvi i najzna ajniji je oslobadjanje latentne toplote. Drugi, zna ajan prces je c c interakcija oblaka sa zra enjem i to kako u kratkotalasnom tako i u dugotalasnom delu spektra. c Na kraju, va no je naglasiti da se karakteristi ne prostorne i vremenske razmere i razvijenost pojez c dinih podslojeva PGS-a menjaju u zavisnosti od doba dana, sezone i godinjeg doba a naro ito je va no s c z da li je podloga kopno ili more. Zatim lokalne karakteristike mogu da veoma mnogo uti u na karakterisc

32


z

Slobodna atmosfera Zona uvlacenjaGeostrofski vetar

ziStvarni vetar

Izmesani sloj

Povrsinski sloj v M r C

Slika 2.7: Proli srednje virtuelne potencijalne temperature v , levo i intenziteta vetra M, desno, za idealizovan stabilan grani ni sloj u polju visokog pritiska. Vertikalna isprekidana linija, desno, ozna ava c c odgovaraju i geostrofski vetar, (prema Stulu (24)). c

tike i evoluciju PGS-a, sastav podloge, prisustvo topograje, urbana sredina i sli no. c

2.4

Teorija sli nosti Monin-Obuhov c

U slu aju homogenih uida, za deo grani nog sloja u blizini zida, tamo gde je vertikalni uks koli ine c c c kretanja pribli no konstantan , va i logaritamski zakon promene brzine sa visinom, odnosno gradijent z z brzine je obrnuto srazmeran rastojanju od zida. Naravno, u meteorologiji je od mnogo ve eg interesa c koliki su uksevi koli ine kretanja i toplote u slu aju nehomogenog uida tj. pri postojanju stratikacije. c c Za stratikovane uide, za deo grani nog sloja u blizini podloge, pedesetih godina, Monin i Obuhov su c predlo ili kako da se ra unaju svi uksevi uoptenjem rezultata koji va e kod homogenog uida. Osz c s z novna ideja je bila da se podje od relacija za homogen uid pa se izraz za gradijent brzine pomno i z univerzalnom funkcijom odnosa du ine i karakteristi nog du inskog razmera kog odredjuju parametri z c z koji karakteriu procese prisutne kod stratikovanog uida. U slu aju odredjivanja gradijenata temperas c

Teorija slicnosti Monin-Obuhov

33

z

z

Geostrofski vetar

Stvarni vetar

v

M

Slika 2.8: Proli srednje virtuelne potencijalne temperature koji pokazuju dnevnu evoluciju PGS-a polaze i od 16 h lokalnog vremena. S1 S6 ozna avaju trenutke za koje va e proli a u skladu sa slikom c c z 2.5 (prema Stulu (24)).

ture ili neke druge pasivne supstance, za koje ne postoje analogoni u slu aju homogenog uida, zadr ava c z se ista ideja. Time bi se problem ra unanja ukseva ili ekvivalentno ra unajna vertikalnih prola sveo na c c oderedjivanje tih novouvedenih univerzalnih funkcija. Centralna ta ka je bila pretpostavka da je du inski c z razmer jedinstven za sve veli ine. Gradijent brzine kod homogenog uida cemo napisati na malo optiji c s na in koji ce nam omogu iti generalizaciju na prol brzine, potencijalne temperature neke pasivne supc c stance i uopte prol ne ega sto ima izvor pri tlu. To je prikazano slede om tabelom: s c c HOMOGEN FLUID STRATIFIKOVAN FLUID

z

h z

U z

Mx z

U z

Mx m z

(2.11)

(2.12)

34


gde su uvedene oznake L za vertikalni du inski razmer, z

Veli ine: c Mx wu0 u

w0 u

Q

wq0 u

su karakteristi ne razmere za x-komponentu brzine , potencijalnu temperaturu i vla nost. Uopte, karakc z s teristi ne razmere neke veli ine jesu odnos vertikalnog uksa te veli ine i brzine trenja, c c c S ws0 u

Kako je ranije re eno osnovni problem teorije je pronala enje veli ina koje odredjuju vertikalni du inski c z c z razmer. Monin i Obuhov su predlo ili da odredjuju i parametri budu reprezenti osnovnih procesa u z c stratikovanoj atmosferi koji uti u na nivo tke: c

brzina trenja, u , kao parametar koji predstavlja smicanje kao jedan mehanizam generisanja turbulencije, kao i kod homogenog slu aja, c

w0 je veli ina koja predstavlja drugi deo ovog mehanizma proizvodnje turbulencije, preko rada c sile potiska, kao izvora/ponora tke,

g parametar rada sile potiska koji karakterie stanje stratikacije. s

Uvedena je oznaka 1 0 , gde je 0 , karakteristi na vrednost za potencijalnu temperaturu u atmosc feri, konstanta za ciju vrednost se naj e sce uzima 300o K, mada neki autori za njenu vrednost uzimaju i c 273o K. Dimenziona analiza predlo enih veli ina daje slede i du inski razmer: z c c z L

u3 g w0

Veli ina je ve ranije uvedena konstanta Von-Karmana. Napominjemo da se cesto u literaturi sre e i c c c denicija koja se razlikuje od ove po znaku. Ponekad cemo i mi koristiti deniciju L-a sa promenjenim znakom ali uz jasnu naznaku u tekstu. Prema svojoj deniciji, du ina Monin-Obuhova je algebarska z veli ina ciji znak odredjuje znak uksa toplote od podloge ka atmosferi. Tako, kada je podloga toplija c

a

3

z L

Q z

Q q z

(2.13)

(2.14)

(2.15)


35

6 150 100 50

12

18

0

L(m)

0 50 100 150 200

Slika 2.9: Tipi an opseg vrednosti M-O du ine u toku dana (ovde je denicija L-a uzeta sa suprotnim c z znakom od denicije u tekstu). Apscisa ozna ava sate u danu, (prema Stulu (24)). c

od najni ih slojeva atmosfere tj. kada rad sile potiska generie tke, L je pozitivno. Ukoliko je podloga z s hladnija od vazduha iznad nje, uks toplote je negativan, pa je samim tim i L negativno. Na slici (2.9) su skicirane vrednosti za du inu Monin-Obuhov uzimaju i da se brzina trenja i uks toplote kre u u z c c opsezima karakteristi nim za atmosferu (napominjemo da je slika data za deniciju L-a sa suprotnim c znakom). Direktnom integracijom jedna ina (2.11), (2.12) i (2.13) i uz denicije c za koli inu kretanja c

za toplotu, i ostale pasivne substance d

z0t

p

t

p

m

z0m

t

1

m

1

d

(2.16)

(2.17)

36 za prol brzine dobijamo: U z U z0m


za prol potencijalne temperature dobijamo:

i kona no za prol vla nosti dobijamo: c z Qz Q z0

Veli ine z0m z0t z0q c su visine trenja za odgovaraju e procese i moraju se poznavati pre nego sto c se krene u izra unavanja ukseva. Kao i kod toka uida preko ravne plo e, gde smo imali samo jedan c c parametar z0 , postojanje i brojne vrednosti parametara z0m z0t z0q su posledica cinjenice da veoma blizu granica uticaji molekulskih transporta postaju zna ajni. Njihovo izra unavanje je mogu e putem c c c spajanja povrinskog (unutranjeg) i spoljanjeg sloja PGS-a. Za detalje ovog postupka pogledati s s s kod Janji a (9). Kada izra unamo ili naprosto usvojimo vrednosti za visine trenja mo emo da korisc c z timo metodologiju izra unavanja ukseva toplote i koli ine kretanja pomo u Monin-Obuhov teorije. Za c c c c detalje dobijanja analiti ke forme funkcija m h i razlike u ra unu kod stabilne i nestabilne stratic kacije videti Dodatk B. Kada razmena toplote izmedju atmosfere i podloge te i nuli tada i vrednost odnosa z L te i nuli. z z Ako je pre tog trenutka stratikacija bila nestabilna ona se sada pribli ava neutralnoj stratikaciji. Na z osnovu denicija funkcija m h q ... sledi : 0

Za male vrednosti , mo emo funkcije m h q razviti u stepeni red i ako se zadr imo na prvom clanu z z mo emo da piemo: z s

sto nakon integracije daje : U z u

t 4

1 log z z0

z

5

m h q

s r

lim m h q

1

1

z0

L

a

A@

%a%aa

9

Prt wq0 l og z z0q u

qA@ 9q z L

%a%aa

p

z

z0

Prt w0 l og z z0t u

t z L

qA@

9

1 wu0 l og z z0m u

m z L

p

(2.18)

(2.19)

(2.20)

%a%aa

(2.21)

(2.22)

(2.23)


37

Dakle, u slu aju kada je i stratikacija stabilna ali bliska neutralnoj, prema teoriji Monina i Obuhova, c prol vetra je logaritamsko linearan. Uspenost predvidjanja promene vetra sa visinom, relacija (2.23), i s uopte provera uspenosti hipoteze Monina i Obuhova o postojanju jedne univerzalne prostorne razmere s s je uradjena analizom rezultata dobijenih iz cuvenog Kanzaskog eksperimenta. Eksperiment je upravo i bio izveden sa ciljem da se dobiju detaljnije informacije o prolima srednjih veli ina odnosno vetrikalnim c uksevima tih veli ina unutar povrinskog dela PGS-a. Kanzas je izabran kao deo Sjedinjenih Ameri kih c s c Dr ava koji se karakterie velikim amplitudama temperature kako u toku dana tako i u toku godine. Leti z s imamo veoma nestabilnu stratikaciju sa izrazitim konvektivnim re imom, dok je zimi prisutna jaka z inverzija odnosno veoma stabilna stratikacija. Eksperiment je bio veoma skup jer su veoma velike povrine bile pokrivene mernim uredjajima, poto se zelelo da se sto bolje uo e a zatim izra unaju dos s c c prinosi od horizontalne advekcije lokalnim promenama. Ovaj eksperiment je bio veliki dokaz uspenosti s ideja teorije Monina i Obuhove. Rezultati se mogu prikazati na dijagramu koji za ose ima izra unate c vrednosti univerzalnih funkcija (ordinata), dok je na apscisi , odnos visine i du ine Monin-Obuhova. z Kako to izgleda mo emo videti sa slike (2.10). Ta ke ozna avaju izmerene vrednosti i jasno se vidi da z c c su se one grupisale, tj. da nisu nasumice rasute na dijagramu. Punim linijama su ozna ene krive koje c aproksimiraju izmerene vrednosti i deo po deo imaju slede e analiti ke oblike za funkcije m i h za c c nestabilnu stratikaciju, za koli inu kretanja i toplote c

74 1

za stabilnu stratikaciju, za koli inu kretanja i toplote: c

74 1

4 7

Kako je vrednost eksponenata, u slu aju nestabilne stratikacije, odredjena procenom slaganja merenja i c predlo ene krive, u litreraturi, pored ovih eksponenata koji su predlo eni u radu Paulsona (22) i Busingera z z i dr. (7) sre u se i neki drugi. Tako je Melor (14) predlo io da se za slu aj nestabilne stratikacije i kod c z c uksa momenta koli ine kretanja i kod uksa toplote uzima da je vrednost eksponenta -1/3 a koecijenti c 15 i 9 zamene sa 11.5 i 16.5 respektivno (videti dodatak B).

a

a

h

a

m

1

a

h

9

4 7

!

u 1

m

15

1 4

!

(2.24)1 2

(2.25)

(2.26) (2.27)

38


Slika 2.10: Osmotrene, bezdimenzionalne vrednosti: gradijenta vetra (levo) prikazanog preko funkcije M i gradijenta temperature (desno) prikazanog preko funkcije H , iz Kanzas eksperimenta (ta kice). c Pune linije, unutar oblasti sa izmerenim vrednostima, su iste dobijene iz modela Melora (14). Va no je z napomenuti da je u prikazu ovih rezultata L denisano sa suprotnim znakom od onog u tekstu (prema Businger i dr. (7))


39

Pored opteg slu aja kada imamo opis gradijenata ili ukseva veli ina koje analiziramo, preko funkcija s c c m i h odnosno m i h , mogu e je dobiti za neke specijalne slu ajeve eksplicitne relacije u obliku c c stepenih zakona. Da bi se to desilo mora se suziti broj dimenziono nezavisnih parametara u odnosu na opti slu aj za koji va i Monin-Obuhov analiza. U odnosu na mogu e stratikacije razlikujemo dva s c z c ekstrema. Prvi je stratikacija kod koje se uo avaju nadadijabatski gradijenti temperature, tzv. lokalna c slobodna konvekcija. Drugi slu aj je kada se formira jako stabilna stratikacija. c

2.4.1

Lokalna slobodna konvekcija

1. To ce se ispuniti, pri ksiranoj vrednosti z-a, kada je Analizirajmo prvo slu aj kada je c vrednost L-a mala. Da bi se to dogodilo mora da postoji intenzivan prenos toplote od podloge u atc mosferu (w0 jako veliko). To je karakteristi no za vedar letnji dan u podnevnim i ranim popodnevnim casovima a pri umerenim vetrovima. Ovaj re im nazivamo lokalna slobodna konvekcija. Konvekcija jer z se tada opa aju nadadijabatski gradijenti. Kako se pojava opa a najpre pri vrhu povrinskog sloja, dakle z z s lokalizovano, otud drugi deo naziva. S obzirom na lokalizovanost pojave, oko vrha povrinskog sloja, s relativno daleko od tla, mo da u vie nije odredjuju i parametar? Dakle sve veli ine se predstavljaju z s c c s c preko skupa z , g i w0 . Kao ilustraciju uspenosti izbora odredjuju ih parametara, nadjimo izraze za varijanse vertikalne brzine i potencijalne temperature. U slu aju varijanse vertikalne brzine dimezionalna c homogenost daje:6 4 u u 1

.. . . ... . . . .. . .. ..-0.1 z/L -1 -4

-0.02

Slika 2.11: Normalizovana varijansa vertikalne brzine uw (a) i potencijalne temperature 2 (b). Isprekidana linija predstavlja predvidjanje na osnovu teorije o lokalnoj slobodnoj konvekciji a ta ke c predstavljaju osmatranja.

x

w

f vf

2 1 .4

. .. . . . . ... . . . . .. ... . . .. . . .-0.1 z/L -1

.-4

-0.02

2

40


dimenziona homogenost daje a

Analogno, u slu aju varijanse potencijalne temperature, se dobija: c 2

const

Radi poredjenja sa optim slu ajem napiimo dobijene izraze tako da se pojavi du ina L: s c s z

const

U neutralnom slu aju uksevi koli ine kretanja su isti za sve komponente; w2 u2 const i wv u2 c c const jer je brzina trenja jedina raspolo iva veli ina sa razmerom brzine. U slu aju lokalne slobodne z c c konvekcije dobijeno je da varijansa vertikalne brzine raste sa visinom. Ovo pove anje brzine porasta c sa visinom, u poredjenju sa neutralnim slu ajem, je posledica porasta intenziteta meanja sa porastom c s visine. Uporedimo sada 2 sa rezultatom u neutralnom slu aju. Ona se smanjuje sa visinom, u odnosu c na neutralan slu aj, sto je opet posledica veoma intenzivnog meanja koje pokuava da smanji nadadic s s jabatski temperaturni gradijent, prisutan u slu aju lokalne slobodne konvekcije. Da li su ovakvi rezulc tati ispravni? Provera je jedino mogu a preko poredjenja sa merenjima. Zaista na slici (2.11), koja je c deo rezultata iz Kanzas eksperimenta, vidimo prvo da sa porastom odnosa z L slaganje predvidjanja na osnovu lokalne slobodne konvekcije i eksperimenta postaje sve bolje u smislu da se merene vrednosti grupiu oko prave linije. Drugo, grupisanje oko prave linije, a kada se ima logaritamska podela na apscisi s ukazuje na stepeni zakon, pri cemu nagib te linije odredjuje vrednost stepena. Napominjemo da je na 2 u ciji nagib iznosi oko -1/3 sto za kvadrat odnosa daje -2/3 kako smo i dobili. slici prikazan odnos w Analogno u slu aju varijanse potencijalne temperature o itavamo da je iznos nagiba oko -1/3. Dakle, u c c

a

( y !) 3

2 2

w2 u2

const

$ " 3

w0 zg

2

2 3

z L

2 3

z L

2 3

y

( y ) 3

w2

const

zg w0

2 3

b c

Poto su dimenzije w2 oblika L2 T s

2,

$ y q$ " " 3

$ " 3w0

w2

const za g

b

c

(2.28) 2 3. Dakle: (2.29)

!

(2.30)

(2.31)

(2.32)

x

a


41

oba slu aja predvidjanja i merenja se relativno dobro sla u. No, treba napomenuti da nisu sva predvidc z janja ovako uspena. Tako na primer h kz z, prema izboru odredjuju ih parametara za lokalnu s c slobodnu konvekciju, treba da se menja kao z L 1 3 dok merenja ukazuju na stepen z L 1 2 . Na kraju napomenimo da se u novije vreme sve ve i zna aj pridaje cinjenici da se turbulentno kretanje cak i c c u najni im slojevima atmosfere, blizu tla, karakterie postojanjem malih (lokalnih) strujica cak i pri potz s punom odsustvu smicanja srednje struje. Dakle i u tom slu aju polje turbulencije nije potpuno haoti no c c sto je bila slika na koju se naslanja Monin-Obuhov teorija. To ima za posledicu da i u slu aju iste c c konvekcije imamo intenzivniji vertikalni prenos koli ine kretanja. Naravno i sami uksevi toplote, pa i c svih drugih pasivnih veli ina, su ve i nego pri potpuno haoti nom kretanju. c c c

2.4.2

Veoma stabilna atmosfera

1 uz L 0. Ako je L negativno to zna i da je uks c Kao suprotnu krajnost imamo slu aj c toplote usmeren od atmosfere ka podlozi. To dalje zna i da dolazi do hladjenja najni ih slojeva atmosc z fere. Na taj na in mo e da se formira, lokalno, veoma stabilna stratikacija pa se ovaj slu aj naziva c z c slu aj jake stabilnosti. Kako se ovo deava u blizini tla na prvi pogled se mo e o ekivati da visina, z, c s z c pripada skupu odredjuju ih parametara. No ako je stabilnost, merena preko gradijenta potencijalne temc perature, dovoljno velika tada rad na savladjivanju sile potiska predstavlja dovoljno jak otpor formiranju najve ih mogu ih turbulentnih elemenata, onih koji bi se prostirali do samog tla. Podsetimo se c c da se u uobi ajenim situacijama po pravilu turbulentni elementi prostiru od uo ene visine do samog c c tla. Druga ije re eno u slu aju jako stabilne stratikacije dolazi do efektivne izolacije podloge. Tako c c c c c c preostaju u , g i w0 kao mogu i odredjuju i parametri. Sada kada smo formirali skup odredjuju ih veli ina (parametara) dimenzionom analizom se dobija, na primer za prol brzine srednjeg vetra: c

ili

Iz Kanzas eksperimenta mo e da se zaklju i da se m ponaa kao: z c s

a najbolje slaganje se dobija za c=4.7.

m

1

zU u z

U z

const

u L u L

m

const

z L

y !

e

y !

ee vc c

(2.33)

(2.34)

(2.35)

42


2.5

Ri ardsonov broj. c

Kada je razmatran problem nastanka turbulencije uveden je Rejnoldsov broj kao parametar cija vred nost pokazuje na re im toka uida. Medjuitim, on ne uzima u obzir kako stratikacija uti e na nastaz c janje/nestajanje turbulencije. Zato se u slu aju stratikovanih uida uvodi jo jedan broj tzv. Ri ardsonov c s c broj, Ri, sa idejom da se i na osnovu njegove vrednoti mo e neto re i o prirodi toka uida (lamiz s c narano/turbulentno). Postoji vie oblika ovog broja. Osnovni je onaj koji proisti e iz jedna ine za turbus c c lentnu kineti ku energiju, kao koli nik produkcije tke zbog rada sile potiska i produkcije zbog smicanja c c osnovne struje:Produkcija TKE zbog smicanja (SP) SP=-3 BP SP= 3 BP

Produkcija TKE zbog rada sile potiska (BP)

Slika 2.12: Shematski prikaz mogu ih re ima preko odnosa produkcije rada sile potiska (BP) i produkc z cije smicanja (SP), od slu aja kada ne mo e da nastane turbulencija zbog velike stabilnosti do slu aja c z c slobodne konvekcije, (prema Stulu (24)).

Ri f

gw ui u j Uji x

Nema turbulencije

Slobodna konvekcija

SP=-BP

Forsirana konvekcija

3 SP=- BP

(2.36)

Ricardsonov broj. ili u uobi ajenom slu aju horizontalne homogenosti, pri kojoj dominiraju vertikalni uksevi, c c Ri f gw uw U z

43

Kako je denisan preko ukseva koli ine kretanja i potencijalne temperature ovaj se oblik zove uksni c Ri ardsonov broj, Ri f . Ako se uksevi napiu preko gradijenata srednjih veli ina: c s c w i wu odnosno wv Kh z U z V z g z

Km

Km

mo emo denisati gradijentni Ri ardsonov broj, Rig z c Rig Prt

Km

c gde je odnos Prt Kh Km tzv. Prantlov turbulentni broj, analogno obi nom Prantlovom broju kao koli niku viskoznih koecijenata prenosa toplote i koli ine kretanja Pr . Osnovni razlog uvodc c jenja Rig je nemogu nost denisanja Ri f ako ve ne postoji turbulencija. Denicija (2.41) naprotiv c c omogu uje odredjivanje Rig i kod laminarnog kretanja. Poznavanje njegove vrednosti i za laminarni tok c je od zna aja, jer kako cemo pokazati, preko njega je mogu e dijagnosticirati da li postoji mogu nost c c c prelaska iz laminarnog u turbulentno kretanje, tj. on je parametar koji karakteri se stabilnost/nestabilnost posmatranog toka. Pretpostavimo za trenutak da nema disipacije i da je jedini izvor turbulencije smicanje osnovne struje a da je rad sile potiska negativan, tj. da je stratikacija stabilna. Tada jedna ina za tke, u c prvoj aproksimaciji i nakon zanemarivanja disipacije, postaje: SPROD 1 SPROD 1

@ 9

v5

4

q2 t

BPROD SPROD

5 ) ( ) (4

5 ) ( ) (4

U z

2

V z

2

U z

gKh z

vw V z

(2.37)

(2.38)

(2.39)

(2.40)

2

V z

2

(2.41)

Ri

(2.42)

44


Relacija (2.42) pokazuje da je potreban uslov da bi se turbulencija odr avala ili rasla Ri 1. Na osnovu z merenja kao i numeri kih simulacija, koja oba uklju uju i disipaciju, dolazi se do procene da je potreban c c uslov za nastajanje turbulencije tzv. kriti an Ri broj, Rikr 0.19 0.21. c Na slici (2.12) dat je shematski prikaz mogu ih re ima prema odnosu rada sile potiska i produkcije c z zbog smicanja. Mogu e vrednosti su uslovno podeljene u pet re ima (opsega). Podela je naravno donekle c z proizvoljna ali uobi ajena u meteorologiji gde se smatra da postoje znatnije razlike kada je odnos nekih c veli ina bar 3. c Re im I nema turbulencije jer je produkcija zbog rada sile potiska ve a od produkcije zbog smiz c SPROD , ali negativna. canja, BPROD Re im II, kada je BPROD negativna ali je manja od SPROD, i tada imamo turbulenciju u stabilno z stratikovanom uidu.

Re im III, kada je SPROD izmedju -3BPROD i 3BPROD. To je re im forsirane konvekcije i z z imamo turbulenciju.

Re im IV je slu aj kada je i SPROD i BPROD pozitivno i imamo turbulenciju. z c

Re im V , kada je BPROD ve e od 3 SPROD imamo re im slobodne konvekcije sa najintenzivniz c z jom turbulencijom.

Kako re im toka zavisi od vrednosti parametra Ri dat je na slici (2.13). Naravno, uvodjenje Ri-a ne z isklju uje va nost ranije uvedenog Re-a. Tako donja shema, na istoj slici, prikazuje kombinovani Ri Re c z dijagram sa koga je mogu e videti koji od re ima (turbulencija ili laminarni tok) postoje kao i mogu nost c z c prelaska iz jednog u drugi. Na kraju napomenimo da je Re za atmosferu tako veliki da deo prostora cwkojida mu odgovara zauzme, ceo, krajnje desni deo donje sheme. To je upravo i razlog sto se ponekad i zanemare efekti viskoznosti (mehani kog trenja) dok su od primarnog zna aja stabilnost i/ili postojanje c c zona velikog smicanja.

2.6

Izme ani sloj s

Do sada smo se uglavnom bavili povrinskim slojem. Pored metodolokih razloga postoje i prakti ni s s c razlozi za to jer ve ina merenja se vri unutar povrinskog sloja tako da se raspola e sa veoma malo c s s z eksperimentalnih podataka o karakteristikama turbulentnih kretanja iznad povrinskog sloja. S obzirom s na njegove dimenzije (35-80 % PGS-a) prisutnije su uredjene strukture ve ih razmera od onih u povrinskom c s

c

c

f c

c

Izmesani sloj

45

1

10

Ri0

10

0.25-1

10

Uvek laminarni tok (viskoznost)

Turb. samo ako su veliki vrtlozi sa Ri > 1000 takodje prisutni

Uvek turbulentno

-3

10-3 0

10

10

3

Re

10

Slika 2.13: Mogu i re imi toka uida u zavisnosti od Ri broja (gornja shema) odnosno kombinovan c z uticaj Ri i Re brojeva (donja shema), (prema Stulu (24)).

sloju, kao sto su termali, vrtlozi u obliku horizontalnih rolni i konvektivne celije mezo razmera. Na slici (2.14) je prikazan vertikalni presek kroz idealizovan termal, dok na slici (2.15) imamo predstavljanje strukture izmeanog sloja preko lidarskog 3 odraza na osnovu rasejanja na prisutnim aerosolima. Jasno s se prepoznaju mesta uzlazne struje koje dosti u do vrha PGS-a odnosno do zone inverzije. Termali z predstavljaju dominantan mehanizam prenoenja toplote pri slabom vetru. Ako je prisutan zna ajniji s c horizontalan vetar tada se generiu horizontalne rolne cija je idealizovana struktura prikazana na slici s (2.16). Da li se neto sli no Monin-Obuhov teoriji mo e formulisati i za izmeani sloj ? Dakle, da li s c z s je mogu e na i nekakav analogon du ini Monin-Obuhova koji ce omogu iti jedinstveno predstavljanje c c z c raznih prola iznad povrinskog sloja? Jedan uspean primer takvog jedinstvenog predstavljanja prola s s je dat na slici (2.17). Na toj slici, u levom delu, prikazani su proli ukseva toplote w unutar plan3 Lidar

je radar koji emituje laserski snop

$ "

2100

Uvek laminarni tok (stabilno) Karakteristike oba toka

-2 -1 Ri Stabilnost Nestabilno Dinamicka stabilnost Nestabilno Tubulentni tok Vrsta toka

0

1 Stabilno Oba (istorija) Oba (istorija)

2 Stabilno Laminarno

(a)

(b)Lamin. ako je Ri>1 ranije Turb. ako je Ri< .25 ranije

7

10

46


Slika 2.14: Vertikalni presek kroz PGS visine zi koji prikazuje idealizovane termale visine zi , (prema Stulu (24)).

etarnog grani nog sloja. Ako se sada uksevi toplote podele sa w 0 a visine sa visinom planetarnog c grani nog sloja u tom trenutku, koja je ovde obele ena sa zi , i te bezdimenzione kombinacije nacrtaju c z dobijamo sjajno slaganje u smislu da se sve krive, proli temperature za razli ite trenutkei, grupiu oko c s jedne. Medjutia,m ovo je mnogo slabiji rezultat od slu acja kod povrinskog sloja i L-a kao odredjuju eg a s c du inskog razmera jer visina inverzije zi , tj. visina vrha planetarnog grani nog slojrae je jedna od nepozz c natih u problemu. Tako na neki na in imamo situaciju kokoka ili jaje. Fluksevi sigurno uti u na c s c visinu PGS-a ali njihove vrednosti su odredjene trenutnom vrednocu visine PGS-a. s Svo dosadanje izlaganje u vezi sa nestabilnom stratikacijom mogu e je sinteti ki prikazati kao na s c c slici (2.18) gde je u levom delu (a) apscisa z L dok je u desnom delu slike (b) apscisa zi L. Obe ose su u logaritamskoj razmeri. Kod stabilnih stratikacija pokazalo se da ako se u izmeanom sloju umesto L s uvede lokalna M-O razmera, Ll , koja ima isti oblik kao i L s tim sto uksevi momenta i toplote uzimaju lokalne vrednosti. Drugim re ima,a lokalna, Ll se menja visnom z. Dakle c

Sigurno je jedan od razloga zavisnosti lokalne Monin-Obuhov du ine od z-a cinjenica da je kod stabilne z stratikacije re im je odredjen lokalno, onoliko koliko ima raspolo ive tke da se vri rad protiv sile z z s

Ll

ed

wu2 3 gw

f z

(2.43)

Izmesani sloj

47

Slika 2.15: Izgled lidarske slike konvektivnih termika, gde se reeksija vri na aerosolima koji su pokus pljeni pri tlu, (prema Huperu (6) ).

potiska. Analogno prethodnoj slici za nestabilne re ime, stabilni re imi se mogu shematski prikazati kao z z na slici (2.19)

48


Slika 2.16: Tipi an izgled rolni u PGS-u , (prema Stulu (24) ). c

Izmesani sloj

49

Slika 2.17: Proli uksa toplote prema rezultatima Wangara eksperimenta prikazani: a) dimenziono w 0 prema z (km) i b) bezdimenziono w w0 prema z zi , (prema Stulu (24)).

h

h

g f

Slika 2.18: Shematski prikaz razli itih re ima koji se mogu sresti u PGS-u. Uo iti da se apscise razlikuju c z c na levom i desnom panelu, (prema Stulu (24)).

z{ z{

z{ vw xyxyxyvw xyxyxyvw xyxyxyvw xyxyxyvw xyxyxyvw z{

~ ~ ~ ~ u ~z{ u z{ z{ z{ z{ xy z{ xy xyxyvw z{ xyxyvw

xy xy xy xyxyvw xyxyvw xyxyvw

mn mn kl mn mn mn kl mn mn mn kl mn mn mn kl mn mn mn kl mn mn mn kl mn mn mn kl mn o rq qr qr mnmn rq mnmn klqrkl mnmn op p mn mn kl mn mn mn kl mn mn mn kl mnIzmesani sloj -z/L=100Nezavisnost od L 10

lk mn st lk mn st lk mn st lk mn st lk mn st lk mn st lk mn st lk mn st lrkq mn st lk mn st lk mn st lk mn st

lk mn st lk mn st lk mn st lk mn st jlik mn st jlik mn st jlik mn st jlik mn st jlrikq mn st jlik mn st jlik mn st jlik mn st

kl mn lk mn kl mn lk mn kl mn lk mn kl mn lk mn ijkl mn jlik mn ijkl mn jlik mn ijkl mn jlik mn ijkl mn jlik mn ijklqr mn jlrikq mn ijkl mn jlik mn ijkl mn jlik mn ikjl mn jlik mn

lk k lk k lk k lk k jlik ik jlik ik jlik ik jlik ik jlrikq ikq jlik ik j

Documents

Mikrometeorologija