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República Bolivariana De VenezuelaMinisterio Del Poder Popular Para La Educación Universitaria

Instituto Universitario De Tecnologa !gro Industrial"an #ristóbal$ Estado T%c&ira

San Cristóbal, Junio de 2016

Autor:

Mara 'iguera

#(I() *+(,+-(-./

"IT+!


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Bernoulli

El principio de Bernoulli0 ta1bi2n deno1inado ecuación de Bernoulli o

Trino1io de Bernoulli0 describe el co1porta1iento de un 3luido 1ovi2ndose a

lo largo de una lnea de corriente( 4ue e5puesto por Daniel Bernoulli en su

obra 'idrodin%1ica 6,-+/7 8 e5presa 9ue en un 3luido ideal 6sin viscosidad ni

roza1iento7 en r2gi1en de circulación por un conducto cerrado0 la energa

9ue posee el 3luido per1anece constante a lo largo de su recorrido( La

energa de un 3luido en cual9uier 1o1ento consta de tres co1ponentes)

,($ #in2tico) es la energa debida a la velocidad 9ue posea el 3luido(

*($ Potencial gravitacional) es la energa debido a la altitud 9ue un 3luido

posea(

+($ Energa de 3lu:o) es la energa 9ue un 3luido contiene debido a la presión

9ue posee(

La siguiente ecuación conocida co1o ;Ecuación de Bernoulli; 6Trino1io de

Bernoulli7 consta de estos 1is1os t2r1inos(

?over *@A densidad del 3luido(


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Ejemplo1:

Ejemplo 2:

$Los resultados Ccara o Ccruz en el lanza1iento de una 1oneda

"ea 5 una v( a( asociada a un e5peri1ento de Bernoulli 8 9ue to1a los

valores)

625ito7 , 63racaso7.

Entonces se dice 9ue sigue una distribución de Bernoulli B 6,0 p7( "u

3unción de probabilidad viene dada por )

Pr6 ,7 p Pr6.7 , Fp 9


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Binomial

En estadstica0 la distribución bino1ial es una distribución de probabilidad

discreta 9ue cuenta el nú1ero de 25itos en una secuencia de n ensa8os de

Bernoulli independientes entre s0 con una probabilidad 3i:a p de ocurrencia

del 25ito entre los ensa8os( Un e5peri1ento de Bernoulli se caracteriza por

ser dicotó1ico0 esto es0 sólo son posibles dos resultados( ! uno de estos se

deno1ina 25ito 8 tiene una probabilidad de ocurrencia p 8 al otro0 3racaso0

con una probabilidad 9 , $ p( En la distribución bino1ial el anterior

e5peri1ento se repite n veces0 de 3or1a independiente0 8 se trata de calcular

la probabilidad de un deter1inado nú1ero de 25itos( Para n ,0 la bino1ial

se convierte0 de &ec&o0 en una distribución de Bernoulli(

Para representar 9ue una variable aleatoria sigue una distribución bino1ial

de par%1etros n 8 p0 se escribe)

E:e1plo ,)

• "e lanza un dado diez veces 8 se cuenta el nú1ero X de tres

obtenidos) entonces X G B6,.0 ,?H7

E:e1plo *)

• E5isten 1uc&as situaciones en las 9ue se presenta una e5periencia

bino1ial( #ada uno de los e5peri1entos es independiente de los

restantes 6la probabilidad del resultado de un e5peri1ento no depende

del resultado del resto7( El resultado de cada e5peri1ento &a de

ad1itir sólo dos categoras 6a las 9ue se deno1ina 25ito 8 3racaso7(


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Las probabilidades de a1bas posibilidades &an de ser constantes en

todos los e5peri1entos 6se denotan co1o p 8 q o p 8 ,$ p7(

•

"e designa por X a la variable 9ue 1ide el nú1ero de 25itos 9ue se&an producido en los n e5peri1entos(

• #uando se dan estas circunstancias0 se dice 9ue la variable X sigue

una distribución de probabilidad bino1ial0 8 se denotaB(n,p)(


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Ejemplo 4:

"i de seis a siete de la tarde se ad1ite 9ue un nú1ero de tel23ono de cada

cinco est% co1unicando0 cu%l es la probabilidad de 9ue0 cuando se

1ar9uen ,. nú1eros de tel23ono elegidos al azar0 sólo co1uni9uen dosN

B6,.0 ,?7p ,?9 O?

Ejemplo 5:

En una urna &a8 +. bolas0 ,. ro:as 8 el resto blancas( "e elige una bola al

azar 8 se anota si es ro:a el proceso se repite0 devolviendo la bola0 ,. veces(

#alcular la 1edia 8 la desviación tpica

B6,.0 ,?+7 p ,?+9 *?+


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Normal

En estadstica 8 probabilidad se lla1a distribución nor1al0 distribución de

Qauss o distribución gaussiana0 a una de las distribuciones de

probabilidad de variable continua 9ue con 1%s 3recuencia aparece

apro5i1ada en 3enó1enos reales(

La gr%3ica de su 3unción de densidad tiene una 3or1a aca1panada 8 es

si12trica respecto de un deter1inado par%1etro estadstico( Esta curva se

conoce co1o ca1pana de Qauss 8 es el gr%3ico de una 3unción gaussiana(

La i1portancia de esta distribución radica en 9ue per1ite 1odelar

nu1erosos 3enó1enos naturales0 sociales 8 psicológicos( Mientras 9ue los

1ecanis1os 9ue sub8acen a gran parte de este tipo de 3enó1enos son

desconocidos0 por la enor1e cantidad de variables incontrolables 9ue en

ellos intervienen0 el uso del 1odelo nor1al puede :usti3icarse asu1iendo 9uecada observación se obtiene co1o la su1a de unas pocas causas

independientes(

De &ec&o0 la estadstica descriptiva sólo per1ite describir un 3enó1eno0

sin e5plicación alguna( Para la e5plicación causal es preciso el diseño

experimental 0 de a& 9ue al uso de la estadstica en psicologa 8 sociologa

sea conocido co1o método correlacional (

La distribución nor1al ta1bi2n es i1portante por su relación con la

esti1ación por 1ni1os cuadrados0 uno de los 12todos de esti1ación 1%s

si1ples 8 antiguos(

https://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_continuahttps://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1ficahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_estad%C3%ADsticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Campana_de_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gaussianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimos_cuadradoshttps://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttps://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_probabilidadeshttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad#Distribuciones_de_variable_continuahttps://es.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%A1ficahttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_de_densidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/Par%C3%A1metro_estad%C3%ADsticohttps://es.wikipedia.org/wiki/Campana_de_Gausshttps://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_gaussianahttps://es.wikipedia.org/wiki/Modelo_matem%C3%A1ticohttps://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%ADnimos_cuadrados


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!lgunos e:e1plos de variables asociadas a 3enó1enos naturales 9ue siguen

el 1odelo de la nor1al son)

•

caracteres 1or3ológicos de individuos co1o la estatura

• caracteres 3isiológicos co1o el e3ecto de un 3%r1aco

• caracteres sociológicos co1o el consu1o de cierto producto por un

1is1o grupo de individuos

• caracteres psicológicos co1o el cociente intelectual

• nivel de ruido en teleco1unicaciones

• errores co1etidos al 1edir ciertas 1agnitudes

• etc(

Ejemplo 1:

"i es una variable aleatoria de una distribución 6S0 70 &allar) p6SJ+

SA+7

https://es.wikipedia.org/wiki/Morfolog%C3%ADa_(biolog%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Estaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Fisiolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%A1rmacohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Consumohttps://es.wikipedia.org/wiki/Psicolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Psicolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_intelectualhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ruido_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Telecomunicaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Error_experimentalhttps://es.wikipedia.org/wiki/Morfolog%C3%ADa_(biolog%C3%ADa)https://es.wikipedia.org/wiki/Estaturahttps://es.wikipedia.org/wiki/Fisiolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%A1rmacohttps://es.wikipedia.org/wiki/Sociolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Consumohttps://es.wikipedia.org/wiki/Psicolog%C3%ADahttps://es.wikipedia.org/wiki/Cociente_intelectualhttps://es.wikipedia.org/wiki/Ruido_(f%C3%ADsica)https://es.wikipedia.org/wiki/Telecomunicaci%C3%B3nhttps://es.wikipedia.org/wiki/Error_experimental


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Es decir0 9ue apro5i1ada1ente el 99!4" de los valores

de est%n a 1enos de tres desviaciones tpicas de la1edia(

Ejemplo 2:

La 1edia de los pesos de .. estudiantes de un colegio es -. g 8 la

desviación tpica + g( "uponiendo 9ue los pesos se distribu8en

nor1al1ente0 &allar cu%ntos estudiantes pesan)

$Entre H. g 8 - g

$M%s de W. g

$Menos de HO g

$HO g

$HO g o 1enos

Entre H. g 8 - g

M%s de W. g


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Menos de HO g

HO g

HO g o 1enos

Ejemplo #:

Tras un test de cultura general se observa 9ue las puntuaciones obtenidassiguen una distribución una distribución 6H0 ,/7( "e desea clasi3icar a los

e5a1inados en tres grupos 6de ba:a cultura general0 de cultura general

aceptable0 de e5celente cultura general7 de 1odo 9ue &a8 en el pri1ero un

*.X la población0 un HX el segundo 8 un ,X en el tercero( #u%les &an

de ser las puntuaciones 9ue 1arcan el paso de un grupo al otroN


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Ba:a cultura &asta OW puntos(

#ultura aceptable entre . 8 /+(

E5celente cultura a partir de /O puntos(

Ejemplo 4:

En una ciudad una de cada t res 3a1i lias posee tel23ono( "ise el igen al azar W. 3a1il ias0 calcular la probabi l idad de 9ue

entre ellas &a8a por lo 1enos +. tengan tel23ono


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Ejemplo 5:

En un e5a1en tipo test de *.. preguntas de elección 1últiple0

cada pregunta t iene una respuesta correcta 8 una incorrecta( "e

aprueba si se contesta a 1%s de ,,. respuestas correctas(

"uponiendo 9ue se contesta al azar0 calcular la probabil idad de

aprobar el e5a1en


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POISSON

La distribución de PYI""Y es ta1bi2n un caso particular de

probabilidad de variable aleatoria discreta0 el cual debe su no1bre a

"i12on Denis Poisson 6,-/,$,/O.70 un 3ranc2s 9ue la desarrolló a

partir de los estudios 9ue realizó durante la últi1a etapa de su vida( Estadistribución se utiliza para describir ciertos procesos( #aractersticas) P6*

caras7 .(*+OO Tabla Bino1ial

En este tipo de e5peri1entos los 25itos buscados son e5presados por

unidad de %rea0 tie1po0 pieza0 etc) $ Z de de3ectos de una tela por 1* $ Z de

aviones 9ue aterrizan en un aeropuerto por da0 &ora0 1inuto0 etc( $ Z de

bacterias por c 1* de cultivo $ Z de lla1adas tele3ónicas a un con1utador

por &ora0 1inuto0 etc0 etc( $ Z de llegadas de e1barcaciones a un puerto por da0 1es0 etc0 etc( Para deter1inar la probabilidad de 9ue ocurran 5 25itos

por unidad de tie1po0 %rea0 o producto0 la 3ór1ula a utilizar es) donde)

p67 probabilidad de 9ue ocurran 5 25itos0 cuando el nú1ero

pro1edio de ocurrencia de ellos es 1edia o pro1edio de 25itos por unidad


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de tie1po0 %rea o producto e *(-,/ 6base de logarit1o neperiano o natural7

variable 9ue nos denota el nú1ero de 25itos 9ue se desea 9ue ocurra

'a8 9ue &acer notar 9ue en esta distribución el nú1ero de 25itos 9ue

ocurren por unidad de tie1po0 %rea o producto es total1ente al azar 8 9uecada intervalo de tie1po es independiente de otro intervalo dado0 as co1o

cada %rea es independiente de otra %rea dada 8 cada producto es

independiente de otro producto dado( #alculo de la distribución de

probabilidad de Poisson por tres 12todos) a7 Utilización del Minitab ,( b7

Utilización de la 3ór1ula c7 Utilización de las tablas de Poisson P60 7 [

5e$[ \ P60 7 [ 5e$[ \

Ejemplo 1:

"i 8a se conoce 9ue solo el +X de los alu1nos de contabilidad son 1u8

inteligentes calcular la probabilidad de 9ue si to1a1os ,.. alu1nos al

azar sean 1u8 inteligentes

,..

P .(.+

La1bda ,..].(.+ +

Ejemplo 2:

Tres e:ecutivos del Insalud opinan 9ue el nú1ero 1edio de pacientes 9ue

llegan a cierto servicio nocturno de guardia durante una &ora es * 0 según el

pri1ero0 + 0 según el segundo0 8 según el tercero(


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"us opiniones pueden ponderarse teniendo en cuenta 9ue el pri1ero tiene

el doble de e5periencia pro3esional 9ue los otros dos(

Para to1ar una decisión de asignación de personal en ese servicio9uieren esti1ar el nú1ero 1edio de pacientes0 sin despreciar sus opiniones 0

por lo 9ue realiza una e5periencia controlando una &ora de actividad en el

servicio en la 9ue acuden + pacientes (Esta in3or1ación la van a co1binar

con la inicial a trav2s de un proceso Ba8esiano )có1o lo &aranN

La distribución a priori ser% tal 9ue deber% asignarse el doble de

probabilidad a la alternativa propuesta por el pri1er e5perto 9ue a las de los

otros dos( !s 9ue ser%)

i P6 i7

* .0

+ .0*

O .0*

De 1anera 9ue la esti1ación inicial de sera0la 1edia de la distribución a

priori)


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Realizada la e5periencia0 las verosi1ilitudes de las tres alternativas nos

vendr%n dadas por la 3unción de cuanta de la distribución de Poisson0

con

i

* .0,/.OO-

+ .0**O.O*

.0,O.+-O

La 3unción de cuanta de la distribución a posteriori la obtendre1os

aplicando el Teore1a de Ba8es 8 resultar% ser)

i

* .0OW--*

+ .0+.//W,

.0,W++H


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Esta distribución a posteriori nos dar% cuenta de toda la in3or1ación

disponible acerca del par%1etro desconocido0 6nú1ero 1edio de pacientes

por &ora7 tanto de la in3or1ación sub:etiva de los e5pertos

6conveniente1ente ponderada7 co1o de la in3or1ación e1pricasu1inistrada por la observación(

! partir de esta distribución a posteriori pode1os plantear nos dar un valor

concreto para la esti1ación de considerando una 3unción de p2rdida

cuadr%tica( La esti1ación adecuada sera la 1edia de la distribución a

posteriori)

Ejemplo #:

En una :aula con ,.. pericos , de ellos &ablan ruso calcular la probabilidad

de 9ue si to1a1os *. pericos al azar + de ellos &ablen ruso(

n *.

p .(,

+

la1bda +

P 6 +7 6 e−3

7 6 33

7 ? +\ .(**O.O,/

Ejemplo 4:

"e calcula 9ue en la ciudad el *.X de las personas tienen de3ecto de la vista

si to1a1os una 1uestra de . personas al azar #alcular la probabilidad de

9ue ,. de ellos tengan de3ecto en la vista(


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n .

p .(*

la1bda ,.

P 6 ,.7 6 e−10

7 6 1010

7 ? ,.\ .(,*,,

Central del Límite

La Distribución del l1ite central o El Teore1a #entral del L1ite dice 9ue

si tene1os un grupo nu1eroso de variables independientes 8 todas ellas

siguen el 1is1o 1odelo de distribución 6cual9uiera 9ue 2ste sea70 la su1a

de ellas se distribu8e según una distribución nor1al(

Ejemplo 1:

La variable ;tirar una 1oneda al aire; sigue la distribución de Bernouilli( "i

lanza1os la 1oneda al aire . veces0 la su1a de estas . variables 6cada

una independiente entre s7 se distribu8e según una distribución nor1al(

Este teore1a se aplica tanto a su1a de variables discretas co1o de

variables continuas(

Los par%1etros de la distribución nor1al son)

Media) n ] 1 61edia de la variable individual 1ultiplicada por el nú1ero de

variables independientes7

Varianza) n ] s* 6varianza de la variable individual 1ultiplicada por el nú1ero

de variables individuales(


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#ada renta personal es una variable independiente 9ue se distribu8e según

una 3unción uni3or1e( Por ello0 a la su1a de las rentas de ,.. personas se le

puede aplicar el Teore1a #entral del L1ite(

La 1edia 8 varianza de cada variable individual es)

1 6O A ,. 7 ? * -

s* 6,. $ O7=* ? ,* +

Por tanto0 la su1a de las ,.. variables se distribu8e según una nor1al cu8a

1edia 8 varianza son)

Media) n ] 1 ,.. ] - -..

Varianza) n ] s* ,.. ] + +..

Para calcular la probabilidad de 9ue la su1a de las rentas sea superior a -*

1illones ptas0 co1enza1os por calcular el valor e9uivalente de la variable

nor1al tipi3icada)

Luego)

P 6 ^ -*7 P 6_ ^ ,0OO7 , $P 6_ ` ,0OO7 , $ .0W*, .0.-OW

Es decir0 la probabilidad de 9ue la su1a de las rentas de ,.. personas

seleccionadas al azar supere los -* 1illones de pesetas es tan sólo del

-0OWX(

Ejemplo 4:

En una asignatura del colegio la probabilidad de 9ue te sa9uen a lapizarra en cada clase es del ,.X( ! lo largo del aKo tienes ,.. clases de esa

asignatura( #u%l es la probabilidad de tener 9ue salir a la pizarra 1%s de

,vecesN

"e vuelve a aplicar el Teore1a #entral del L1ite(


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"alir a la pizarra es una variable independiente 9ue sigue el 1odelo de

distribución de Bernouilli)

;"alir a la pizarra;0 le da1os el valor , 8 tiene una probabilidad del .0,.

;o salir a la pizarra;0 le da1os el valor . 8 tiene una probabilidad del .0W

La 1edia 8 la varianza de cada variable independiente es)

1 .0,.

s* .0,. ] .0W. .0.W

Por tanto0 la su1a de las ,.. variables se distribu8e según una nor1a lcu8a

1edia 8 varianza son)

Media ) n ] 1 ,.. ] .0,. ,.

Varianza ) n ] s* ,.. ] .0.W W

Para calcular la probabilidad de salir a la pizarra 1%s de , veces0

calcula1os el valor e9uivalente de la variable nor1al tipi3icada)

Luego)

P 6 ^ ,7 P 6_ ^ ,0H-7 , $ P6_ ` ,0H-7 , $ .0W* .0.O-

Es decir0 la probabilidad de tener 9ue salir 1%s de , veces a la pizarra a lo

largo del curso es tan sólo del O0-X(


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La distribución Uniforme

La distribución Uni3or1e es el 1odelo 6absoluta1ente7 continuo 1%s

si1ple( #orresponde al caso de una variable aleatoria 9ue sólo puede to1ar

valores co1prendidos entre dos e5tre1os a 8 b0 de 1anera 9ue todos los

intervalos de una 1is1a longitud 6dentro de 6a0 b77 tienen la 1is1a

probabilidad( Ta1bi2n puede e5presarse co1o el 1odelo probabilstico

correspondiente a to1ar un nú1ero al azar dentro de un intervalo 6 a0 b7(

De la anterior de3inición se desprende 9ue la 3unción de densidad debe

to1ar el 1is1o valor para todos los puntos dentro del intervalo 6a0 b7 68 cero

3uera del intervalo7( Es decir0

.

Gráficamente:


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La 3unción de distribución se obtiene integrando la 3unción de densidad 8

viene dada por)

Qr%3ica1ente)


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$ropiedades del modelo %ni&orme

,( "u esperanza vale 6b A a7?*

2. "u varianza es 6b J a7*

?,*

Ejemplo 1:

"ea el 1o1ento elegido al azar en 9ue un estudiante recibe clases en

un deter1inado da entre las siguientes &oras) -).. $ /).. $ W).. $ ,.).. $

,,).. $ ,*).. $ ,+)..

,7 #u%l es la 3unción de densidad de la variable N

*7 Elaborar un gr%3ico de la distribución de probabilidades+7 #alcular el valor 1edio esperado

O7 #alcular la desviación est%ndar

7 #alcular la probabilidad de 9ue llegue en la pri1era 1edia &ora


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H7 "i recibe clases de Estadstica !plicada de ,.).. a ,*),0 calcular la

probabilidad de recibir esta asignatura(

Solu'ión:

,7 a - 8 b ,+

Ree1plazando valores en la ecuación de la 3unción de densidad se obtiene)

*7 Elaborando el gr%3ico de la distribución de probabilidade1pleando E5cel se obtiene)

(nterpreta'ión:

#ada rect%ngulo tiene , de base 8 ,?H .0,H- de altura(

El %rea de cada rect%ngulo es)

El %rea total 6rect%ngulo de base el intervalo -$,+ 8 altura ,?H.0,H-7

representa a la su1a de todas las probabilidades0 8 es igual a uno)

+7 Ree1plazando valores en la 3ór1ula del valor esperado se obtiene)

http://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/sepa-excel/sepa-excel.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/estadistica/estadistica.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/sepa-excel/sepa-excel.shtml


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O7 Ree1plazando valores en la 3ór1ula de la varianza se obtiene)

7 Llegar en la pri1era 1edia &ora signi3ica 9ue llega a la -)+.( Por lo tanto

se debe calcular la probabilidad entre las -).. 8 las -)+.(

#o1o -)+. -&oras A +. 1inutos0 8 el porcenta:e 9ue representa +. 1inutos

de una &ora es)

Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre - 8 -0 !plicando la 3ór1ula de la probabilidad entre dos valores se obtiene)

En el siguiente gr%3ico se 1uestra la probabilidad calculada)

http://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/tebas/tebas.shtml


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H7 "e debe calcular la probabilidad entre las ,.).. 8 las ,*),

#o1o ,*), ,*&oras A , 1inutos0 8 el porcenta:e 9ue representa ,

1inutos de una &ora es)

Por lo tanto de debe calcular la probabilidad entre ,. 8 ,*0*

!plicando la 3ór1ula de la probabilidad entre dos valores se obtiene)

En el siguiente gr%3ico se 1uestra la probabilidad calculada)


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Multinomial

En teora de probabilidad0 la distribución 1ultino1ial es una generalización de

la distribución bino1ial(

La distribución bino1ial es la probabilidad de un nú1ero de 25itos en sucesos de

Bernoulli independientes0 con la 1is1a probabilidad de 25ito en cada suceso( En una

distribución 1ultino1ial0 el an%logo a la distribución de Bernoulli es la distribución

categórica0 donde cada suceso conclu8e en única1ente un resultado de un nú1ero

3inito de los posibles0 con probabilidades 6tal 9ue para i entre , 8 8 7 8 con nsucesos independientes(

Entonces sea la variable aleatoria 0 9ue indica el nú1ero de veces 9ue se &a dado el

resultado i sobre los n sucesos( El vector sigue una distribución 1ultino1ial con

par%1etros n 8 p0 donde (

ótese 9ue en algunos ca1pos las distribuciones categóricas 8 1ultino1ial se

encuentran unidas0 8 es co1ún &ablar de una distribución 1ultino1ial cuando el t2r1ino

1%s preciso sera una distribución categórica(

DI"TRIBU#I MULTIYMI!L(

#aractersticas)

a7 !l llevar a cabo un e5peri1ento con esta distribución se esperan

1%s de dos tipos de resultados(

b7 Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados son

constantes(

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomialhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_binomial


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c7 #ada uno de los ensa8os o repeticiones del e5peri1ento son

independientes(

d7 El nú1ero de repeticiones del e5peri1ento0 n es constante(

!l igual 9ue &ici1os con la distribución bino1ial0 en este caso partire1os

de un e:e1plo para obtener la 3ór1ula general para resolver proble1as

9ue tengan este tipo de distribución(

Ejemplo 1)

"e lanza al aire un dado nor1al0 veces0 deter1ine la probabilidad de

9ue aparezca dos nú1eros uno0 dos nú1eros tres 8 un nú1ero cinco(

Del diagra1a de %rbol se obtendra el espacio 1uestral 8 enseguida se

deter1inaran las probabilidades re9ueridas( En lugar de lo anterior0

obtendre1os una 3ór1ula a partir de la siguiente e5presión)

p6aparezcan dos unos0 dos tres 8 un cinco76nú1ero de ra1as en donde

&a8a dos unos0 dos tres 8 un cinco76probabilidad asociada a cada una de las

ra1as7

Para esto de3inire1os lo siguiente)

n nú1ero de lanza1ientos del dado

5, nú1ero de veces 9ue aparece el nú1ero , *

5* nú1ero de veces 9ue aparece el nú1ero * .

5+ nú1ero de veces 9ue aparece el nú1ero + *5O nú1ero de veces 9ue aparece el nú1ero O .

5 nú1ero de veces 9ue aparece el nú1ero ,

p, probabilidad de 9ue aparezca el nú1ero , ,?H

p* probabilidad de 9ue aparezca el nú1ero * ,?H


30/75

p+ probabilidad de 9ue aparezca el nú1ero + ,?H

pO probabilidad de 9ue aparezca el nú1ero O ,?H

p probabilidad de 9ue aparezca el nú1ero ,?H

pH probabilidad de 9ue aparezca el nú1ero H ,?H

Luego0 có1o obtendre1os el nú1ero de ra1as donde aparecen dos

nú1eros ,0 dos nú1eros + 8 un nú1ero N

Enunciando algunas de las ra1as0 tene1os lo siguiente

6,0 ,0 0 +0 +70 60 ,0 ,0 +0 +70 6,0 +0 +0 ,0 70 ((( etc0 etc(

u2 tipo de arreglos son estos0 co1binaciones0 per1utaciones o 9ueN

"Y PERMUT!#IYE" E DYDE '!_ YBETY" IQU!LE"(

Por tanto el nú1ero de ra1as se puede obtener de la siguiente 1anera)

El nú1ero de ra1as

_ en 3or1a general0

Luego la probabilidad asociada a cada una de las ra1as0 sera

p6asociada a cada una de las ra1as7

p6Z,7p6Z,7p6Z+7p6Z+7p6Z7p,]p,]p+]p+]p

p,*]p+*]p


31/75


32/75


33/75

c7

nW

5, lleguen en auto p, .(+.

5* O 6lleguen por aire o autobús o tren7 p* .(O.A.(*.A.(,. .(-.

Ejemplo #:

De acuerdo con la teora de la gen2tica0 un cierto cruce de cone:illo de

indias resultar% en una descendencia ro:a0 negra 8 blanca en la relación / )

O ) O( Encuentre la probabilidad de 9ue entre / descendientes0 a7 sean

ro:os0 * negros 8 un blanco0 b7 + sean ro:os 8 * sean negros(

"olución)

a7

n /

5, ro:os p, prob( "ean ro:os /?,H .(.

5* * negros p* prob( "ean negros O?,H .(*

5+ , blanco p+ prob( "ean blancos O?,H .(*

b7

n/


34/75

5, + ro:os p, .(.

5* * negros p* .(*

5+ + blancos p+ .(*

Ejemplo 4:

"egún una encuesta preli1inar acerca del voto 9ue los ciudadanos dar%n

por los candidatos para gobernador del estado se &a detectado 9ue

apro5i1ada1ente un *X votar% por el partido verde0 un O.X por el partido

azul 8 un /X por los partidos restantes0 si se seleccionan aleatoria1ente H

personas con edad de votar0 deter1ine la probabilidad de 9ue) a7 * voten por

el partido verde0 , por el azul 8 + por el resto de los partidos0 b7 * voten por el

partido verde 8 O por el azul(

"olución)

a7 n H

5, * voten por partido verde p, prob( de 9ue una persona vote por partido

verde .(*

5* , vote por partido azul p* prob( de 9ue una persona vote por partido

azul .(O.

5+ + voten por otros partidos p+ prob( de 9ue una persona vote por otros

partidos .(./


35/75

b7n H

5, * voten por el partido verde p , prob( de 9ue una persona vote por

partido verde.(*

5* O vote por partido azul p* prob( de 9ue una persona vote por

partido azul .(O.

5+ . voten por otros partidos p+ prob( de 9ue una persona vote por otrospartidos .(./

E:e1plo )

En una 3iesta0 el *.X de los asistentes son espaKoles0 el +.X

3ranceses0 el O.X italiano 8 el ,.X portugueses( En un pe9ueKo grupo se

&an reunido O invitados) cual es la probabilidad de 9ue * sean espaKoles 8

* italianosN

P .0.+/O


36/75

Gamma

Es una distribución adecuada para 1odelizar el co1porta1iento de

variables aleatorias continuas con asi1etra positiva( Es decir0 variables 9ue

presentan una 1a8or densidad de sucesos a la iz9uierda de la 1edia 9ue a

la derec&a( En su e5presión se encuentran dos par%1etros0 sie1pre

positivos0 67 8 6f7 de los 9ue depende su 3or1a 8 alcance por la derec&a0 8

ta1bi2n la 3unción Qa11a 670 responsable de la convergencia de la

distribución

4ór1ula 1ate1%tica)

La 3unción de densidad de la distribución Qa11a es0

3657,?6f=677]5=6$,7]e=65?f7

Donde 5^. 8 f0 son par%1etros positivos(

Este 1odelo es una generalización del 1odelo E5ponencial 8a 9ue0 enocasiones0 se utiliza para 1odelar variables 9ue describen el tiempo hasta

que se produce p veces un determinado suceso(

"u 3unción de densidad es de la 3or1a)


37/75

#o1o ve1os0 este 1odelo depende de dos par%1etros positivos) 8 p( La

3unción 6 p7 es la deno1inada funcin !amma de "uler 9ue representa la

siguiente integral)

ue veri3ica # 6 p A ,7 p# 6 p70 con lo 9ue0 si p es un nú1ero entero

positivo0 6 p A ,7 p\

Ejemplo 1

"e usa la distribución Qa11a para obtener la distribución de probabilidad

de la variable aleatoria Cedad de 3alleci1iento en accidentes de tr%3ico( En

este caso e5plican 9ue se asignaron los par%1etros 8 Ca o:o( El 1e:or

resultado es el 9ue parece 1ini1izar los errores cuadr%ticos 1edios despu2s

de varias asignaciones( 4inal1ente obtienen *0WO 8 ,+0WO(

Ejemplo 2

"i un co1ponente el2ctrico 3alla una vez cada &oras0 cu%l es el tie1po

1edio 9ue transcurre &asta 9ue 3allan dos co1ponentesN #u%l es laprobabilidad de 9ue transcurran ,* &oras antes de 9ue 3allen los dos

co1ponentesN


38/75

si γ 1

5

fallo

horas entonces0 f 1

γ

1

1

5 &oras?3allo

E ( x )=a . β=2.5=10horas

52.2

¿ .∫

0

12

μ2−1

. e μ

1

12du

P ( X >12 )=1

¿

Ejemplo #

Proble1a *

] ,

] H

] n +

] 5 .0 ,0 *0 +

P 65 .7 . H +W +,∁ ∁ ∁

P 65 *7 , 5 /OO .(,/

,*. *.\,\ 5 ,W\*.∁

+ /. /.5-W5-/5--\H 5 --\/*,H.∁

O ,.. ,..5WW5W/5W-5WH\*O5WH\+W*,**∁

,*. *.\,\ 5 ,W\*.∁

+ /. /.5-W5-/5--\H 5 --\/*,H.∁

O ,.. ,..5WW5W/5W-5WH\*O5WH\+W*,**∁


39/75

Cauchy

La distribución #auc&8$Lorentz0 lla1ada en &onor a !ugustin

#auc&8 8 'endri Lorentz0 es una distribución de probabilidadcontinua( Es

conocida co1o la distribución de #auc&8 8 en el %1bito de la 3sica se

conoce co1o la distribución de Lorentz0 la3unción Lorentziana ó la

distribución de Breit$higner( "u i1portancia en la 3sica es dada por ser lasolución de la ecuación di3erencial 9ue describe la resonancia 3orzada(

En espectros copia describe la 3or1a de las lneas espectrales 9ue son

a1pliadas por diversos 1ecanis1os0 en particular0 el 1ecanis1o de

ensanc&a1iento por colisión(

https://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Lorentzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttps://es.wiktionary.org/wiki/es:resonanciahttps://es.wiktionary.org/wiki/es:resonanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Espectroscopiahttp://www.astro.puc.cl/~dante/cursofia2000/apuntes/node55.htmlhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Cauchyhttps://es.wikipedia.org/wiki/Hendrik_Lorentzhttps://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttps://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttps://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencialhttps://es.wiktionary.org/wiki/es:resonanciahttps://es.wikipedia.org/wiki/Espectroscopiahttp://www.astro.puc.cl/~dante/cursofia2000/apuntes/node55.html


40/75

La lnea verde es la distribución est%ndar de #auc&8

Ejemplo:

!nalizar si el teore1a de #auc&8 es aplicable en el intervalo

,0 Oj a las 3unciones)

3657 5 * J *5 A + 8 g657 5 + J -5* A *.5 J (

En caso a3ir1ativo0 aplicarlo(

Las 3unciones 3657 8 g657 son cont inuas 8 derivables en

por ser polinó1incas0 luego0 en particular0 son continuas en

,0 Oj 8 derivables en 6,0 O7 (

!de1%s se cu1ple 9ue g6,7 k g6O7(

Por lo tanto se veri3 ica el teore1a de #auc&8)


41/75

2 !nalizar si el el teore1a de #auc&8 es aplicable a las

3unciones 3657 sen 5 8 g657 cos 5 en el intervalo .0 ?*j(

Las 3unciones 3657 sen 5 8 g657 cos 5 son continuas 8

derivables en toda la recta real(

_ en particular son continuas en el intervalo .0 ?*j 8

derivables en 6.0 ?*7(

g6?*7 k g6.7

Por lo tanto pode1os aplicar el teore1a de #auc&8)


42/75

gm 6c7 k . Jsen6?O7 k .(

"e trata de un 1odelo continuo cu8a 3unción de densidad es)

#u8a integral nos proporciona la 3unción de distribución )

Student

En probabilidad 8 estadstica0 la distribución t 6de "tudent7 es una

distribución de probabilidad 9ue surge del proble1a de esti1ar la 1edia de

una población nor1al1ente distribuida cuando el ta1aKo de la 1uestra es

pe9ueKo(


43/75

!parece de 1anera natural al realizar la prueba t de "tudent para la

deter1inación de las di3erencias entre dos 1edias 1uestrales 8 para la

construcción del intervalo de con3ianza para la di3erencia entre las 1edias de

dos poblaciones cuando se desconoce la desviación tpica de una población8 2sta debe ser esti1ada a partir de los datos de una 1uestra(

Las distribuciones t de Student son parecidas a la nor1al( "e pueden

utilizar para &acer esti1aciones de la 1edia cuando se desconoce la

varianza 6es lo &abitual7 8 se usan 1uestas pe9ueKas(

Los intervalos as obtenidos son0 no podra ser de otra 1anera0 1%s

grandes 8 1enos precisos 9ue los 9ue se obtendran si upusi2ra1osconocida la varianza en una distribución nor1al(

En el applet co1para1os distribuciones t de "tudent con la nor1al

est%ndar( Pode1os elegir el valor del par%1etro Cgrados de libertad 8

1odi3icar los e5tre1os del intervalo si12trico en torno a la 1edia( #on estos

datos se obtiene unas probabilidades 6c%lculos apro5i1ados7 9ue se

1uestran( !, representa el %rea de la zona central 8 !* es el %rea de las dos

colas de los e5tre1os( La su1a de a1bas %reas es ,(

"i considera1os esos 1is1os e5tre1os del intervalo en el caso de una

distribución nor1al est%ndar co1proba1os 9ue la probabilidad de la zona

central 6!,7 es 1a8or para la distribución nor1al 9ue para la t de "tudent( "i

el par%1etro grados de libertad es grande la di3erencia es pe9ueKa(

Ejemplo 1

Los valores de las 1atriculas de estudiantes en una universidad privada

tienen un co1porta1iento apro5i1ada1ente nor1al0 donde el pro1edio es

de *(,..(...( "e seleccionan / li9uidaciones0 siendo los valores los


44/75

siguientes) ,(W.(...0 *(,..(...0 *(*.(...0 ,(/W.(...0 *(*.(...0

,(W.(...0 *(..(...0 *(+.(...( Deter1ine la probabilidad de 9ue)

El pro1edio sea 1enor de *(...(...(

El pro1edio se encuentre entre *(...(... 8 *(*..(...

El pro1edio sea 1a8or o igual a *(..(...

"olución 1anual)

"ea Li9uidación 1atriculas(

1 *(,..(... s N

*(.W/(-. s,H/(HOO(/./ n/

a7 P6 `*(...(...7P6 `*(...(...7

P6t`6*(...(...$*(,..(...7?6,H/HOO(/./?*(/*/O7 P6t`$,(H--7

La probabilidad se encuentra entre .(W 8 .(W0 según la tabla T 9ue se

encuentra 1%s adelante0 no obstante0 al t ser negativo0 la probabilidad est%

entre .(, 8 .(.0 es decir0 los valores co1ple1entarios

Ejemplo 2:


45/75

Los punta:es de un grupo de estudiantes se co1portan nor1al0 con

pro1edio de .0 sin e1bargo0 no se conoce la desviación( "e to1ó una 1(a

de W estudiantes encontrando una varianza de +H 8 un pro1edio de *( #u%l

es la probabilidad de 9ue el pro1edio)

"ea 1a8or de ON

"ea 1enor 9ue ON

Est2 co1prendido entre O/ 8 * puntosN

Solu'ión manual:

"ea Punta:e estudiantes(

1 . puntos s N

* s*+H sH nW

a7 P6 Ô7,$ P6t`6O$.7?6H?+77 ,$ P6t`*7 ,$ .(WH* .(.+-

1 $ a

% &' &'*& &'* &'+& &'+ &'+ &'++ &'++

1 1'&&& 1'- 1'+- '&* -'1. 12'&- 1'*21 -'-

* &'&- &'**+ 1'1&* 1'+ 1'*-& 2'&- 2'*+- '

#o1o se observa en la tabla0 el *(. se encuentra entre ,(/H 8 *(+.H0 valores

9ue corresponden a las %reas de .(W 8 .(W-( Realizando una esti1ación

burda0 se pro1edian los dos valores correspondientes a las %reas(

Encontrando 9ue la probabilidad de 9ue el pro1edio del punta:e de los

estudiantes sea 1a8or de O es 1u8 ba:a0 .(.+-(

c7 P6 Ò7 P6t`6O$.7?6H?+77 P6t`*7 .(WH*( Por el contrario de lo

anterior0 es 1u8 probable 9ue el pro1edio del punta:e de los estudiantes sea

1enor de O0 dic&a probabilidad e9uivale al .(WH*(

d7 P6O/` ^*7P6 `*7$P6 Ò/7P6t`6*$.7?6H?+77$P6t`6O/$.7?6H?+77


46/75

P6t`,7$ P6t`$,7 .(/* N6,$.(/*7 .(H

La probabilidad es de .(H( "e aprecia 9ue al ser si12trica la distribución t0

se calcula la probabilidad utilizando el inverso(

Ejemplo #:

,( "ea T G t6O0.(7

a7 Deter1inar μT

μt = 4

0.5=8

b7 Deter1inar

σ T

σ T =√ 4

0.5

2

=4

c7 Deter1inar P6T ≤1¿

P6T ¿1¿=1−¿ ∑ j=0

4−1

e−(0.5 ) (1) [ (0.5) (1 ) ] j

j !

,$ e F6.(76,7[(0.5)(1) ]0

0 ! $ e F6.(76,7[(0.5)(1) ]1

1! $ e F6.(76,7

[(0.5)(1) ]22! $ e 6.(76,7

[(0.5 ) (1) ] 33!

,$ .(H.H+ $.(+.+*- $.(.-/,H $.(.,*H+H

.(...,-

d7 Deter1inar P6T ≥4¿


47/75

P6T ¿1¿=1−¿ ∑ j=0

4−1

e−(0.5 ) (3 ) [ (0.5) (3 ) ] j

j !

e F6.(76+7 (0.5)(3) 0

0 ! $ e F6.(76+7(0.5)(3) 1

1! $ e F6.(76+7

(0.5)(3) 22! $ e 6.(76+7

[(0.5 ) (3 ) ]33!

.(**+,+ A .(++O-.A.(*,.* A.(,*,

.(W+OO

Ejemplo 4

El valor t con ,O grados de libertad 9ue de:a un %rea de .(.* a la

iz9uierda0 8 por tanto un %rea de .(W- a la derec&a0 es

t.(W-$t.(.* $*(,O

"i se observa la tabla0 el %rea so1breada de la curva es de la cola derec&a0es por esto 9ue se tiene 9ue &acer la resta de ( La 1anera de

encontrar el valor de t es buscar el valor de en el pri1er renglón de la


48/75

tabla 8 luego buscar los grados de libertad en la pri1er colu1na 8 donde se

intercepten 8 se obtendr% el valor de t(

Ejemplo 5:

Encuentre la probabilidad de Ft.(.* ` t ` t.(.(

"olución)

#o1o t.(. de:a un %rea de .(. a la derec&a0 8 Ft .(.* de:a un %rea de .(.* a

la iz9uierda0 encontra1os un %rea total de ,$.(.$.(.* .(W*(

P6 Ft.(.* ` t ` t.(.7 .(W*

IS!"IBUCION #I$CU%"%% &'()

En realidad la distribución :i$cuadrada es la distribución 1uestral de s*( Y

sea 9ue si se e5traen todas las 1uestras posibles de una población nor1al 8

a cada 1uestra se le calcula su varianza0 se obtendr% la distribución 1uestralde varianzas(


49/75

Para esti1ar la varianza poblacional o la desviación est%ndar0 se necesita

conocer el estadstico *( "i se elige una 1uestra de ta1aKo n de una

población nor1al con varianza 0 el estadstico)

Tiene una distribución 1uestral 9ue es una distribu'ión ji)'uadrada con

gln$, *rados de libertad 8 se denota * 6 es la 1inúscula de la letra

griega :i7( El estadstico :i$cuadrada esta dado por)

donde n es el ta1aKo de la 1uestra0 s* la varianza 1uestral 8 la

varianza de la población de donde se e5tra:o la 1uestra( El estadstico :i$

cuadrada ta1bi2n se puede dar con la siguiente e5presión)

Ejemplo 1:

"uponga 9ue los tie1pos re9ueridos por un cierto autobús para alcanzar

un de sus destinos en una ciudad grande 3or1an una distribución nor1al con

una desviación est%ndar , 1inuto( "i se elige al azar una 1uestra de ,-


50/75

tie1pos0 encuentre la probabilidad de 9ue la varianza 1uestral sea 1a8or

9ue *(

/olucin0

Pri1ero se encontrar% el valor de :i$cuadrada correspondiente a s** co1o

sigue)

El valor de +* se busca adentro de la tabla en el renglón de ,H grados de

libertad 8 se encuentra 9ue a este valor le corresponde un %rea a la derec&a

de .(.,( En consecuencia0 el valor de la probabilidad es P6s *^*7

Ejemplo 2

Encuentre la probabilidad de 9ue una 1uestra aleatoria de *

observaciones0 de una población nor1al con varianza

0 tenga una varianza 1uestral)

a( Ma8or 9ue W(,

b( Entre +(OH* 8 ,.(-O

/olucin'


51/75

a( Pri1ero se proceder% a calcular el valor de la :i$cuadrada)

!l buscar este nú1ero en el renglón de *O grados de libertad nos da un %rea

a la derec&a de .(.( Por lo 9ue la P6s* ^W(,7 .(.

,( "e calcular%n dos valores de :i$cuadrada)

8

!9u se tienen 9ue buscar los dos valores en el renglón de *O grados de

libertad( !l buscar el valor de ,+(/OH se encuentra un %rea a la derec&a de

.(W( El valor de O*(W/ da un %rea a la derec&a de .(.,( #o1o se est%

pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el %rea de .(W 1enos

.(., 9uedando .(WO(

Por lo tanto la P6+(OH* s* ,.(-O7 .(WO

Esti1ación de la Varianza


52/75

Para poder esti1ar la varianza de una población nor1al se utilizar% la

distribución :i$cuadrada(

!l despe:ar esta 3ór1ula la varianza poblacional nos 9ueda)

Los valores de * depender%n de nivel de con3ianza 9ue se 9uiera al cual le

lla1a1os ( "i nos ubica1os en la gr%3ica se tiene)

Ejemplo #:

,( Los siguientes son los pesos0 en decagra1os0 de ,. pa9uetes de

se1illas de pasto distribuidas por cierta co1paKa) OH(O0 OH(,0 O(/0

O-(.0 OH(,0 O(W0 O(/0 OH(W0 O(* 8 OH( Encuentre un intervalo de

con3ianza de WX para la varianza de todos los pa9uetes de se1illas

de pasto 9ue distribu8e esta co1paKa0 suponga una población

nor1al(

/olucin0

Pri1ero se calcula la desviación est%ndar de la 1uestra)


53/75

al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la1uestra s* .(*/H(

Para obtener un intervalo de con3ianza de WX se elige un .(.(

Despu2s con el uso de la tabla con W grados de libertad se obtienen

los valores de *(

"e puede observar en la gr%3ica anterior 9ue el valor de * corre en

3or1a nor1al0 esto es de iz9uierda a derec&a(

Por lo tanto0 el intervalo de con3ianza de WX para la varianza es)

Qra3ica1ente)


54/75

"e observa 9ue la varianza corre en sentido contrario0 pero esto es

sólo en la gr%3ica( La interpretación 9uedara si1ilar a nuestros te1as

anteriores re3erentes a esti1ación( #on un nivel de con3ianza del WX

se sabe 9ue la varianza de la población de los pesos de los pa9uetes

de se1illas de pasto esta entre .(,+ 8 .(W+ decagra1os al

cuadrado(

Ejemplo 4

En traba:o de laboratorio se desea llevar a cabo co1probaciones

cuidadosas de la variabilidad de los resultados 9ue producen 1uestras

est%ndar( En un estudio de la cantidad de calcio en el agua potable0 el cual

se e3ectúa co1o parte del control de calidad0 se analizó seis veces la 1is1a

1uestra en el laboratorio en intervalos aleatorios( Los seis resultados en

partes por 1illón 3ueron W(O0 W(H,0 W(+*0 W(O/0 W(-. 8 W(*H( Esti1ar la

varianza de los resultados de la población para este est%ndar0 usando unnivel de con3ianza del W.X(

/olucin0

!l calcular la varianza de la 1uestra se obtiene un valor de s* .(.*/(


55/75

"e busca en la tabla los valores correspondientes con grados de libertad0

obteni2ndose dos resultados( Para *6.(W07 ,(,O 8 para *6.(.07 ,,(.-(

Entonces el intervalo de con3ianza esta dado por)

8

istribución Geom*trica

"i una variable aleatoria discreta de3inida en un espacio de probabilidad

representa el nú1ero de repeticiones necesarias de un e5peri1ento de

Bernoulli para obtener el pri1er 25ito0 entonces tiene por 3unción de

densidad) $,


56/75

P 6557 3unción de densidad0 de la variable aleatoria con distribución

geo12trica(

u1ero de e5peri1entos &asta 9ue aparece el ,er 25ito(

p probabilidad de 25ito

9 probabilidad de 3racaso 6, $ p7

Ejemplo 1:

Del salon el H.X de los alu1nos son &o1bres0 calcular probabilidad de

e5traer el ,er &o1bre a la cuarta ocasión 9ue e5trae1os un alu1no(

De3inir 25ito) sea &o1bre(

5 O

p .(H.

9 .(O.

Ejemplo 2:

#alcular la probabilidad de 9ue salga el o( a la tercera vez 9ue lanza1os

un dado(

De3inir 25ito) sale o(

5 +

p ,?H .( ,HHH


57/75


58/75

Ejemplo 5:

Una 1a9uina detecta 3allas en los productos 9ue elabora una 3%brica( "ilos productos tienen una probabilidad de 3alla del X0 calcular la probabilidad

de 9ue la 1a9uina encuentre su pri1er producto de3ectuoso en la octava

ocasión 9ue selecciona un producto para su inspección(

De3inir 25ito) salga de3ectuoso el producto(

/

p .(.

9 , $ .(. .(W

P6/7 6.(W7-6.(.7 .(.+OW

Bi+ariada

En probabilidad0 dados dos eventos aleatorios 8 _0 la distribución

con:unta de 8 _ es la distribución de probabilidad de la intersección de

eventos de 8 _0 esto es0 de los eventos e _ ocurriendo de 3or1a

si1ult%nea( En el caso de solo dos variables aleatorias se deno1ina una


59/75

distribución bivariada0 pero el concepto se generaliza a cual9uier nú1ero de

eventos o variables aleatorias

Ejemplo 1:

Esta1os estudiando el per3il de los traba:adores de un club deportivo(

#o1o se van a i1ple1entar algunos cursos de capacitación0 se 9uiere

conocer en particular el nivel educativo con 9ue cuentan los e1pleados( "e

encontró la siguiente distribución univariada de ivel educativo)

Distribución de 3recuencias absolutas de ivel educativo del personal de la

e1presa 0 *..-

ivel Educativo 3 i X

"?Instrucción 8 Pri1aria ,

. ,,0/

"ecundaria +

. +0+

Terciaria O

*0WTYT!L /

,..0.

4uente) datos 3icticios

En base a esta in3or1ación0 predo1inan los traba:adores con un nivel

terciario de educación0 lo cual i1plicara diseKar deter1inado tipo de cursosde capacitación(

"in e1bargo0 surge in1ediata1ente la duda sobre 9ui2nes son los 9ue

tienen un nivel terciario0 en 9u2 sectores de la e1presa se encuentran( Es

decir0 pode1os to1ar una decisión sobre el nivel de los cursos conociendo


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sola1ente la co1posición global de nivel educativoN o estar%n

predo1inando en algún sector espec3ico esto 3uncionarios de alto nivelN

#o1o es un club deportivo es probable 9ue en la plantilla e5istan 1uc&os

pro3esores de educación 3sica0 9ue se concentran en una deter1inada %reade traba:o(

Por tanto decidi1os estudiar el ivel educativo pero esta vez0 Cabriendo

nuestra in3or1ación según %rea de traba:o0 8 encontra1os la siguiente

distribución bivariada)

Distribución bivariada 6absoluta7 de ivel educativo 8 !rea de traba:o del

personal de la e1presa 0 *..-


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ivel Educativo ED(

4sica

"ervici

o

!d1inistrativo

s

TYT!L

"?Instrucción 8

Pri1aria

. ,. . ,.

"ecundaria *. +.

Terciaria + . ,. O

TYT!L O. , +. /

4uente) datos 3icticios

E3ectiva1ente0 el predo1inio de traba:adores con nivel terciario se

concentra b%sica1ente en el %rea de Educación 3sica( Entre los

ad1inistrativos0 predo1ina el nivel secundario 8 entre los 3uncionarios de

servicio0 el nivel pri1ario( Por tanto0 debe1os pensar en varios diseKos

distintos de capacitación0 según el %rea de traba:o(

Ejemplo 2:

De un gran lote de i1presoras desco1puestas se escogen al azar cuatro( "eclasi3ica cada i1presora según el daKo0 leve o severo( "ea el nú1ero de

i1presoras con daKo leve 8 sea _ el nú1ero de i1presoras con daKo severo( Es

claro 9ue G bin 6O0p70 5.0,0*0+0O 8 _ G bin 6O0p70 8.0,0*0+0O(

Si + 0- . 4 Si + 1- . # Si + 2- . 2

Si + #- . 1 Si + 4- . 0 As/ 4

De 1anera natural el espacio de las variables aleatorias e _ estar%

con3or1ado por el con:unto de pares 650 87 tal 9ue A_O

IS!"IBUCION ,-, -IS./"


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La necesidad de disponer de 12todos estadsticos para co1parar las

varianzas de dos poblaciones es evidente a partir del an%lisis de una sola

población( 4recuente1ente se desea co1parar la precisión de un

instru1ento de 1edición con la de otro0 la estabilidad de un proceso de1anu3actura con la de otro o &asta la 3or1a en 9ue vara el procedi1iento

para cali3icar de un pro3esor universitario con la de otro(

Intuitiva1ente0 podra1os co1parar las varianzas de dos poblaciones0

8 0 utilizando la razón de las varianzas 1uestrales s*,?s**( "i s*,?s** es

casi igual a ,0 se tendr% poca evidencia para indicar 9ue 8 no son

iguales( Por otra parte0 un valor 1u8 grande o 1u8 pe9ueKo para s *,?s**0

proporcionar% evidencia de una di3erencia en las varianzas de las

poblaciones(

Ejemplo 1:

Encontrar el valor de 40 en cada uno de los siguientes casos)

a. El %rea a la derec&a de 40 es de .(* con O 8 W(

b. El %rea a la iz9uierda de 40 es de .(W con , 8 ,.(

c. El %rea a la derec&a de 4 es de .(W con con H 8 /(

d. El %rea a la iz9uierda de 40 es de .(,. con con *O 8

*O

/olucin0


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a( #o1o el %rea 9ue da la tabla es de cero a 4is&er0 se tiene 9uelocalizar pri1ero los grados de libertad dos 9ue son W0 luego un %reade .(- con O grados de libertad uno(

b( En este caso se puede buscar el %rea de .(W directa1ente en la tablacon sus respectivos grados de libertad(

c( "e tiene 9ue buscar en la tabla un %rea de .(.0 puesto 9ue nos piden

un %rea a la derec&a de 4 de .(W(

d( "e busca directa1ente el %rea de .(,.0 con sus respectivos grados delibertad(


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Ejemplo 2:

Una co1paKa 3abrica propulsores para uso en 1otores de turbina( !l

ingeniero de 1anu3actura le gustara seleccionar el proceso 9ue tenga la1enor variabilidad en la rugosidad de la super3icie( Para ello to1a una

1uestra de n,,H partes del pri1er proceso0 la cual tiene una desviación

est%ndar s, O(- 1icropulgadas0 8 una 1uestra aleatoria de n*,* partes del

segundo proceso0 la cual tiene una desviación est%ndar s * (,

1icropulgadas( "e desea encontrar un intervalo de con3ianza del W.X para el

cociente de las dos varianzas ,*?

**( "uponga 9ue los dos procesos son independientes 8 9ue la rugosidad de

la super3icie est% distribuida de 1anera nor1al(

/olucin0

Por la reco1endación de 9ue la varianza 1uestral 1a8or va en el nu1erador

se tiene la siguiente 3ór1ula)

al despe:ar) (


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/01onencial

Este 1odelo suele utilizarse para variables 9ue describen el tiempo hasta

que se produce un determinado suceso(

"u 3unción de densidad es de la 3or1a)

#o1o ve1os este 1odelo depende de un único par%1etro 9ue debe

ser positivo) 3 .( ! continuación se 1uestra un progra1a 9ue nos per1ite

ver có1o ca1bia la 3or1a de la 3unción de densidad según el par%1etro (

La 3unción de distribución se obtiene integrando la de densidad 8 es de la

3or1a)


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Ejemplo 1:

El tie1po durante el cual cierta 1arca de batera traba:a en 3or1a e3ectiva

&asta 9ue 3alle 6tie1po de 3alla7 se distribu8e según el 1odelo e5ponencial

con un tie1po pro1edio de 3allas igual a +H. das(

• a7 9u2 probabilidad &a8 9ue el tie1po de 3alla sea 1a8or 9ue O..

dasN(

• b7 "i una de estas bateras &a traba:ado 8a O.. das0 9u2

probabilidad &a8 9ue traba:a 1%s de *.. das 1%sN

• c7 "i se est%n usando de tales bateras calcular la probabilidad de

9ue 1%s de dos de ellas continúen traba:ando despu2s de +H. das(

Solu'ión

"ea el tie1po 9ue traba:a la batera &asta 9ue 3alle( El tie1po pro1edio de

3alla es de +H. das( Entonces0 GE5p 6,?+H.7 8 su 3unción de densidad

es)

http://www.monografias.com/trabajos16/marca/marca.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/marca/marca.shtml


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Ejemplo 2:

"uponga 9ue la vida de cierto tipo de tubos electrónicos tiene una

distribución e5ponencial con vida 1edia de .. &oras( "i representa la vida

del tubo 6tie1po 9 dura el tubo7(

•

a7 'allar la probabilidad 9ue se 9ue1e antes de las +.. &oras(

• b7 #u%l es la probabilidad 9ue dure por lo 1enos +.. &orasN

• c7 "i un tubo particular &a durado +.. &oras( cúal es la probabilidad

de 9ue dure otras O.. &orasN


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Solu'ión

Este0 es una propiedad de la distribución e5ponencial 9ue se conoce co1o la

de no tener 1e1oria(

Ejemplo #:

http://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/romano-limitaciones/romano-limitaciones.shtml


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"uponga 9ue el tie1po 9ue necesita un ca:ero de un banco para atender

a un cliente tiene una distribución e5ponencial con una 1edia de O.

segundos(

• a7 'allar la probabilidad 9ue el tie1po necesario para atender un

cliente dado sea 1a8or 9ue *. 1inutosN

• b7 #u%l es la probabilidad 9ue el tie1po necesario para atender a un

cliente est2 co1prendido entre , 8 * 1inutos(

Solu'ión

http://www.monografias.com/trabajos11/bancs/bancs.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/sercli/sercli.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/bancs/bancs.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/sercli/sercli.shtml


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"elación /ntre La istribución e Binomial 2

Poisson

CE78EC(A ((A;)$(SS(

"e puede probar 9ue la distribución bino1ial tiende a converger a la

distribución de Poisson cuando el par%1etro n tiende a in3inito 8 el par%1etro

p tiende a ser cero0 de 1anera 9ue el producto de n por p sea una cantidad

constante( De ocurrir esto la distribución bino1ial tiende a un 1odelo de

Poisson de par%1etro l igual a n por p

Este resultado es i1portante a la &ora del c%lculo de probabilidades0 o 0

incluso a la &ora de in3erir caractersticas de la distribución bino1ial cuando

el nú1ero de pruebas sea 1u8 grande 8 la probabilidad de 25ito sea

1u8 pe9ueKa (

El resultado se prueba 0 co1probando co1o la 3unción de cuanta de

una distribución bino1ial con 8 tiende a una 3unción de

cuanta de una distribución de Poisson con sie1pre 9ue este

producto sea una cantidad constante 6 un valor 3inito7

En e3ecto ) la 3unción de cuanta de la bino1ial es

_ lla1a1os tendre1os 9ue)

https://www.uv.es/ceaces/tex1t/2%20conver/t%20conver.htmhttps://www.uv.es/ceaces/tex1t/2%20conver/t%20conver.htmhttps://www.uv.es/ceaces/tex1t/2%20conver/t%20conver.htmhttps://www.uv.es/ceaces/tex1t/2%20conver/t%20conver.htm


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Realizando 9ue es la 3unción de cuanta deuna distribución de Poisson


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Documents

milagroMatematica.docx