Millerovi indeksi. Prostorne grupe.bruckler/pdf/kristali-simetrije5.pdf · parametri slu ze kao jedinice mjere na kristalografskim osima. Ti parametri moraju biti u skladu s parametrima

Millerovi indeksi. Prostorne grupe.

Franka Miriam Bruckler

PMF-MO, Zagreb

Prosinac 2008.

Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb) Millerovi indeksi. Prostorne grupe. Prosinac 2008. 1 / 27

Millerovi indeksi

O koordinatnom sustavu za opis kristalne strukture

U kristalografiji redovno se koriste kosokutni koordinatni sustavi ueuklidskom prostoru R3. Matematicki model kristala je kristalna resetkadefinirana jedinicnom celijom kristala. Neka su a, b i c (duljina redom a, b,c) vektori koji razapinju jedinicnu celiju tj. neka je {a, b, c} kristalografskabaza. Podsjetimo se: samo u kubicnom sustavu ona je ortonormirana, aortogonalna je jos samo za tetragonski i rompski sustav.

Stoga analiticka geometrija koja opisuje podskupove prostora vezane zakristal ne moze (direktno) koristiti sva svojstva euklidskih prostora,odnosno formule za izracunavanje udaljenosti i kuteva iz koordinata ijednadzbi pravaca i ravnina nisu direktno primjenjive osim u slucajuortonormirane baze.


Millerovi indeksi

O koordinatnom sustavu za opis kristalne strukture

U kristalografiji redovno se koriste kosokutni koordinatni sustavi ueuklidskom prostoru R3. Matematicki model kristala je kristalna resetkadefinirana jedinicnom celijom kristala. Neka su a, b i c (duljina redom a, b,c) vektori koji razapinju jedinicnu celiju tj. neka je {a, b, c} kristalografskabaza. Podsjetimo se: samo u kubicnom sustavu ona je ortonormirana, aortogonalna je jos samo za tetragonski i rompski sustav.Stoga analiticka geometrija koja opisuje podskupove prostora vezane zakristal ne moze (direktno) koristiti sva svojstva euklidskih prostora,odnosno formule za izracunavanje udaljenosti i kuteva iz koordinata ijednadzbi pravaca i ravnina nisu direktno primjenjive osim u slucajuortonormirane baze.


Millerovi indeksi

Ipak, jednadzbe pravaca i ravnina, te za dijeljenje duzina u zadanomomjeru, ostaju nepromijenjenog oblika i za rad s koordinatama ukosokutnom koordinatnom sustavu. Potrebno je paziti na iduce cinjenice ukoristenju kosokutnog koordinatnog sustava:

- koordinate tocke prostora (x , y , z) znace da tocka ima radij-vektorxa+ yb+ zc; njena udaljenost do ishodista nije

√x2 + y 2 + z2;

- kosinus kuta medu pravcima s vektorima smjera s i t nijes1t1+s2t2+s3t3√

s21 +s2

2 +s23

√t2

1 +t22 +t2

3

jer vektori spomenute baze nisu ortonormirani;

- duljina vektora s nije√

s21 + s2

2 + s23 itd.


Millerovi indeksi

Ipak, jednadzbe pravaca i ravnina, te za dijeljenje duzina u zadanomomjeru, ostaju nepromijenjenog oblika i za rad s koordinatama ukosokutnom koordinatnom sustavu. Potrebno je paziti na iduce cinjenice ukoristenju kosokutnog koordinatnog sustava:- koordinate tocke prostora (x , y , z) znace da tocka ima radij-vektorxa+ yb+ zc; njena udaljenost do ishodista nije

√x2 + y 2 + z2;


s21 +s2

2 +s23

√t2

1 +t22 +t2

3



s21 + s2

2 + s23 itd.


Millerovi indeksi


√x2 + y 2 + z2;


s21 +s2

2 +s23

√t2

1 +t22 +t2

3



s21 + s2

2 + s23 itd.


Millerovi indeksi


√x2 + y 2 + z2;


s21 +s2

2 +s23

√t2

1 +t22 +t2

3



s21 + s2

2 + s23 itd.


Millerovi indeksi

Mrezne ravnine

U kristalografiji od zanimanja su samo odredene, tzv. mrezne ravnine: tosu ravnine koje prolaze kroz (medusobno relativno bliske) tocke resetke.Pritom se medusobno paralelne mrezne ravnine smatraju ekvivalentnim.Konkretan makroskopski kristal je poliedar omeden plohama cije ravninepripadaju pojedinom skupu medusobno ekvivalentnih mreznih ravnina.


Millerovi indeksi

Na lijevoj od prethodnih slika ucrtana su dva od mogucih smjerovapravaca koji prolaze kroz tocke resetke. Vidimo da zadani smjer pravacaima jednadzbe u segmentnom obliku

x

m+

y

n= λ

gdje su m, n, λ ∈ Z (uz fiksirane m i n za razlicite λ dobivamo razlicite, alimedusobno paralelne, mrezne ravnine).

Analogno, u prostoru ce odabrani smjer ravnina u kristalnoj resetki bitiopisan jednadzbama segmentnog oblika

x

m+

y

n+

z

p= λ

s m, n, p, λ ∈ Z. Pritom treba misliti na to da λm, λn i λp nisu stvarneudaljenosti od ishodista do sjecista koordinatnih osi s ravninama, negosamo relativne (stvarni odsjecci se dobiju kao λma, λnb i λpc).


Millerovi indeksi

Na lijevoj od prethodnih slika ucrtana su dva od mogucih smjerovapravaca koji prolaze kroz tocke resetke. Vidimo da zadani smjer pravacaima jednadzbe u segmentnom obliku

x

m+

y

n= λ

gdje su m, n, λ ∈ Z (uz fiksirane m i n za razlicite λ dobivamo razlicite, alimedusobno paralelne, mrezne ravnine).Analogno, u prostoru ce odabrani smjer ravnina u kristalnoj resetki bitiopisan jednadzbama segmentnog oblika

x

m+

y

n+

z

p= λ

s m, n, p, λ ∈ Z. Pritom treba misliti na to da λm, λn i λp nisu stvarneudaljenosti od ishodista do sjecista koordinatnih osi s ravninama, negosamo relativne (stvarni odsjecci se dobiju kao λma, λnb i λpc).


Millerovi indeksi

Weissovi parametri

Vidimo da su s trojkom (m, n, p) karakterizirane sve mrezne ravnine jednogsmjera. Nacelno, ta se trojka moze odabrati proizvoljno, no konvencija jeiduca: (m, n, p) se bira tako da su m, n i p relativno prosti1. Ti brojevizovu se Weissovi parametri (koeficijenti) plohe na kristalu, tocnije smjeranjenih mreznih ravnina. Pisemo i: ploha ima Weissove parametre

ma : nb : pc.

Primijetimo da je vektor normale za taj smjer dan kao[1

m,

1

n,

1

p

].

U slucaju da je ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi, dogovorno sepripadni Weissov parametar oznacava s ∞.

1Zapravo se cesto kao Weissovi parametri dozvoljavaju i racionalni brojevi uz uvjet daje n = 1.


Millerovi indeksi

Weissovi parametri

Vidimo da su s trojkom (m, n, p) karakterizirane sve mrezne ravnine jednogsmjera. Nacelno, ta se trojka moze odabrati proizvoljno, no konvencija jeiduca: (m, n, p) se bira tako da su m, n i p relativno prosti1. Ti brojevizovu se Weissovi parametri (koeficijenti) plohe na kristalu, tocnije smjeranjenih mreznih ravnina. Pisemo i: ploha ima Weissove parametre

ma : nb : pc.

Primijetimo da je vektor normale za taj smjer dan kao[1

m,

1

n,

1

p

].

U slucaju da je ravnina paralelna nekoj od koordinatnih osi, dogovorno sepripadni Weissov parametar oznacava s ∞.

1Zapravo se cesto kao Weissovi parametri dozvoljavaju i racionalni brojevi uz uvjet daje n = 1.


Millerovi indeksi

Primjer

Ploha paralelna s a i b ima Weissove parametre ∞a :∞b : pc. Plohaparalelna sa c ima Weissove parametre ma : nb :∞c.

Jedinicna ploha je ploha s Weissovim parametrima 1a : 1b : 1c . Njeniparametri sluze kao jedinice mjere na kristalografskim osima. Ti parametrimoraju biti u skladu s parametrima jedinicne celije. Weissovi parametridakle usporeduju odsjecke na osima pojedine plohe s onima koje tvorijedinicna ploha. Osim u kubicnom sustavu uvijek moramo prvo samiodabrati jedinicnu plohu. Kako se rijetko tocno znaju duljine od a, b, c,obicno se kao jedinicna ploha odabire najveca ploha kristala koja sijece svetri kristalografske osi.Drugi kristalografski zakon glasi: Na kristalu su moguce samo one ploheciji osni odnosi u usporedbi s osnim odnosom jedinicne plohe daju (poapsolutnoj vrijednosti) male cijele brojeve ili razlomke.


Millerovi indeksi

Primjer


Jedinicna ploha je ploha s Weissovim parametrima 1a : 1b : 1c . Njeniparametri sluze kao jedinice mjere na kristalografskim osima. Ti parametrimoraju biti u skladu s parametrima jedinicne celije. Weissovi parametridakle usporeduju odsjecke na osima pojedine plohe s onima koje tvorijedinicna ploha. Osim u kubicnom sustavu uvijek moramo prvo samiodabrati jedinicnu plohu. Kako se rijetko tocno znaju duljine od a, b, c,obicno se kao jedinicna ploha odabire najveca ploha kristala koja sijece svetri kristalografske osi.

Drugi kristalografski zakon glasi: Na kristalu su moguce samo one ploheciji osni odnosi u usporedbi s osnim odnosom jedinicne plohe daju (poapsolutnoj vrijednosti) male cijele brojeve ili razlomke.


Millerovi indeksi

Primjer


Jedinicna ploha je ploha s Weissovim parametrima 1a : 1b : 1c . Njeniparametri sluze kao jedinice mjere na kristalografskim osima. Ti parametrimoraju biti u skladu s parametrima jedinicne celije. Weissovi parametridakle usporeduju odsjecke na osima pojedine plohe s onima koje tvorijedinicna ploha. Osim u kubicnom sustavu uvijek moramo prvo samiodabrati jedinicnu plohu. Kako se rijetko tocno znaju duljine od a, b, c,obicno se kao jedinicna ploha odabire najveca ploha kristala koja sijece svetri kristalografske osi.Drugi kristalografski zakon glasi: Na kristalu su moguce samo one ploheciji osni odnosi u usporedbi s osnim odnosom jedinicne plohe daju (poapsolutnoj vrijednosti) male cijele brojeve ili razlomke.


Millerovi indeksi

Millerovi indeksi

Millerovi indeksi (hkl) usporeduju osni odnos jedinicne plohe s osnimodnosom promatrane plohe. Ako su Weissovi parametri plohe ma : nb : pcte ako je V najmanji zajednicki visekratnik od m, n i p, onda je

h =V

m, k =

V

n, l =

V

p.

Ako je neki od Weissovih parametara ∞, odgovarajuci Millerov indeks jepo definiciji jednak 0.Geometrijski, Millerovi indeksi predstavljaju koordinate vektora normale nadani smjer ravnina, s tim da nisu proizvoljno odabrane.


Millerovi indeksi

Primjer

Millerovi indeksi (110) pripadaju ravninama paralelnim vektoru c koje ujednakim (relativnim) odsjeccima sijeku druge dvije kristalografske osi, a(010) su Millerovi indeksi ravnina paralelnih ravnini razapetoj s a i c.Jedinicna ploha ima indekse (111).

Primjer

Promotrimo ravninu x15 + y

10 + z20 = 1. Njeni odsjecci na kristalografskim

osima su 15a, 10b, 20c. Kako Weissovi parametri trebaju biti maksimalnoskraceni, oni su

3a : 2b : 4c

(naravno, jednaki su za sve gornjoj ravnini paralelne ravnine).Najmanji zajednicki visekratnik od 3, 2, 4 je 12 pa je h = 12

3 = 4,k = 12

2 = 6 i l = 124 = 3. Stoga je smjer ravnine x

15 + y10 + z

20 = 1 opissanMillerovim indeksima

(463).


Millerovi indeksi

Ukoliko je neki od Weissovih parametara razlomak, kao V uzimamonajmanji zajednicki visekratnik brojnika Weissovih parametara.

Primjer

Recimo da jedna ravnina danog smjera sijece koordinatne osi redom utockama 1

2 a, b, 3c. Tada je pripadni segmentni oblik jednadzbe te jedneravnine

x

1/2+

y

1+

z

3= 1,

a Weissovi parametri su 12 a : 1b : 3c. Vektor normale ove ravnine i svih

njoj paralelnih je[2, 1, 1

3

]odnosno njemu proporcionalan vektor [6, 2, 1].

Millerovi indeksi naseg smjera ravnina su (621).

Zgodno je uociti: sto je neki Millerov indeks veci u odnosu na druga dvaindeksa (dakle, odgovarajuci odsjecak na pripadnoj osi je manji), ravninaje bliza okomitosti na odgovarajucu koordinatnu os.


Millerovi indeksi

Ukoliko je neki od Weissovih parametara razlomak, kao V uzimamonajmanji zajednicki visekratnik brojnika Weissovih parametara.

Primjer

Recimo da jedna ravnina danog smjera sijece koordinatne osi redom utockama 1

2 a, b, 3c. Tada je pripadni segmentni oblik jednadzbe te jedneravnine

x

1/2+

y

1+

z

3= 1,

a Weissovi parametri su 12 a : 1b : 3c. Vektor normale ove ravnine i svih

njoj paralelnih je[2, 1, 1

3

]odnosno njemu proporcionalan vektor [6, 2, 1].

Millerovi indeksi naseg smjera ravnina su (621).

Zgodno je uociti: sto je neki Millerov indeks veci u odnosu na druga dvaindeksa (dakle, odgovarajuci odsjecak na pripadnoj osi je manji), ravninaje bliza okomitosti na odgovarajucu koordinatnu os.


Millerovi indeksi

Recimo da promatramo kristal rompskog sustava na iducoj slici

Odaberemo si smjerove koordinatnih osi. Najveca ploha cija ravnina sijecesve tri osi na pozitivnoj strani je tamno osjencana te ju biramo kaojedinicnu.Recimo da zelimo odrediti Millerov indeks jos tamnije osjencane plohe nasljedecoj slici


Millerovi indeksi


Millerovi indeksi

Produljenjem bridova vidimo da je sjeciste na a-osi dvaput udaljenije odishodista nego sto je to sjeciste (111) ravnine, s b-osi takoder, a s c-osisjeciste je pak na 2

3 udaljenosti na kojoj (111) ravnina sijece c-os. Stoga jesegmentni oblik jednadzbe te ravnine

x

2+

y

2+

z23

= 1

Mnozenjem jednadzbe sa 2 dobivamo oblik

x + y + 3z = 2

s relativno prostim cjelobrojnim koordinatama vektora normale. Stoga suMillerovi indeksi ove ravnine (113).


Millerovi indeksi

Udaljenost medu paralelnim mreznim ravninama

Cesto je potrebno znati medusobnu udaljenost dhkl dvije susjedne mrezneravnine s Millerovim indeksima (hkl): dhkl jednaka je udaljenosti ishodistado ishodistu najblize (hkl) ravnine (koja ne prolazi ishodistem). Zarompske resetke se dhkl moze lako odrediti iz Millerovih indeksa formulom

1

d2hkl

=h2

a2+

k2

b2+

l2

c2

Izvod te formule je posljedica Pitagorinog teorema (trodimenzionalnaverzija), kojeg u rompskom sustavu mozemo koristiti jer imamoortogonalnu bazu. Uz a = b = c ta se formula moze koristiti i u kubicnom,a uz a = b u tetragonskom sustavu.

Napomenimo da se u heksagonskom sustavu tradicionalno koriste cetiriMillerova indeksa (hkil) s tim da je h + k + i = 0.


Millerovi indeksi

Udaljenost medu paralelnim mreznim ravninama

Cesto je potrebno znati medusobnu udaljenost dhkl dvije susjedne mrezneravnine s Millerovim indeksima (hkl): dhkl jednaka je udaljenosti ishodistado ishodistu najblize (hkl) ravnine (koja ne prolazi ishodistem). Zarompske resetke se dhkl moze lako odrediti iz Millerovih indeksa formulom

1

d2hkl

=h2

a2+

k2

b2+

l2

c2

Izvod te formule je posljedica Pitagorinog teorema (trodimenzionalnaverzija), kojeg u rompskom sustavu mozemo koristiti jer imamoortogonalnu bazu. Uz a = b = c ta se formula moze koristiti i u kubicnom,a uz a = b u tetragonskom sustavu.Napomenimo da se u heksagonskom sustavu tradicionalno koriste cetiriMillerova indeksa (hkil) s tim da je h + k + i = 0.


Millerovi indeksi

Primjer

Recimo da je rompska jedinicna celija zadana parametrima a = 4, 830A,b = 10, 896A, c = 6, 288A. Zelimo li znati razmak ravnina (211), imamo

1

d2211

=4

23, 3289+

1

118, 722816+

1

39, 538944= 0, 20517565

pa jed211 = 2, 2077A.


Millerovi indeksi

Oznacavanje formi i smjerova

U slucaju da zelimo oznaciti formu tj. sve jednoj plohi simetrijskiekvivalentne plohe, onda odgovarajuce Millerove indekse pisemo {hkl}.Tako je primjerice s {111} oznacen skup svih ploha kristala koje susimetrijski ekvivalentne jedinicnoj plohi.Ukoliko pak zelimo istaknuti neki smjer pravaca, koristimo njegov vektorsmjera zapisan bez zareza: [uvw ]. Primjerice, [100] je smjer kristalografskeosi odredene vektorom a. Simetrijski ekvivalentni smjerovi (tj. oni koji seprimjenom simetrijskih operacija mogu dobiti iz vektora smjera [uvw ])oznacavaju se s 〈uvw〉. Primjerice, u kubicnom sustavu smjerovi [100],[010] i [001] su simetrijski ekvivalentni te pripadaju u 〈100〉.


Stereografske projekcije tockinih grupa

Pravila za citanje odnosno pridruzivanje Hermann-Mauguinovih oznaka(sjetite se: najvise tri!) tockinih grupa pojedinom smjeru su kako slijedi:

Sustav smjer 1 smjer 2 smjer 3(broj ponavljanja) (broj ponavljanja) (broj ponavljanja)

kubicni 〈100〉 (3) 〈111〉 (4) 〈110〉 (6)

tetragonski 〈001〉 (1) 〈100〉 (2) 〈110〉 (2)

heksagonski 〈001〉 (1) 〈100〉 (3) 〈210〉 (3)i trigonski

rompski 〈100〉 (1) 〈010〉 (1) 〈001〉 (1)

monoklinski 〈010〉 (1)

triklinski


Stereografske projekcije tockinih grupa

Vjezbe: temeljem Hermann-Mauguinove oznake tockine grupe nacrtatistereografsku projekciju svih elemenata simetrije i polozaja u koje mozedoci tocka opceg polozaja.


Prostorne grupe

Bravaisove resetke

Svaki od 7 kristalnih sustava karakteriziran je odredenim oblikom jedinicnecelije. Ako kristalografska baza nije primitivna, moguce je dodati neketocke u resetku tako da dobijemo podvrste pojedinih kristalnih sustava i nataj nacin 14 Bravaisovih resetki. Primitivne se oznacavaju s P i one suodredene primitivnom kristalografskom bazom; u svakom sustavu postojiprimitivna Bravaisova resetka. Dodatno, u kubicnom, tetragonskom irompskom sustavu moguce su resetke s dodatnom tockom u sredini svakecelije (volumno centrirane resetke, oznaka I ). U kubicnom i rompskomsustavu pojavljuju se i plosno centrirane (F ) resetke kod kojih uz vrhovecelije dodatne tocke resetke dobivamo iz sredista svih strana celije.Rompski sustav dozvoljava i plosno centriranu (A, B ili C ) resetku kodkoje se kao dodatne tocke resetke pojavljuju sredista po dvije nasuprotnestrane celije. Sve skupa ima 14 Bravaisovih resetki.

Kombiniranjem 32 tockine grupe s 14 Bravaisovih resetki, uz uzimanje uobzir da neke kombinacije nisu moguce, pokazuje se da imamo ukupno 230prostornih grupa.


Prostorne grupe

Bravaisove resetke

Svaki od 7 kristalnih sustava karakteriziran je odredenim oblikom jedinicnecelije. Ako kristalografska baza nije primitivna, moguce je dodati neketocke u resetku tako da dobijemo podvrste pojedinih kristalnih sustava i nataj nacin 14 Bravaisovih resetki. Primitivne se oznacavaju s P i one suodredene primitivnom kristalografskom bazom; u svakom sustavu postojiprimitivna Bravaisova resetka. Dodatno, u kubicnom, tetragonskom irompskom sustavu moguce su resetke s dodatnom tockom u sredini svakecelije (volumno centrirane resetke, oznaka I ). U kubicnom i rompskomsustavu pojavljuju se i plosno centrirane (F ) resetke kod kojih uz vrhovecelije dodatne tocke resetke dobivamo iz sredista svih strana celije.Rompski sustav dozvoljava i plosno centriranu (A, B ili C ) resetku kodkoje se kao dodatne tocke resetke pojavljuju sredista po dvije nasuprotnestrane celije. Sve skupa ima 14 Bravaisovih resetki.Kombiniranjem 32 tockine grupe s 14 Bravaisovih resetki, uz uzimanje uobzir da neke kombinacije nisu moguce, pokazuje se da imamo ukupno 230prostornih grupa.


Prostorne grupe

Vijcane osi i klizne ravnine

U prostornoj grupi moguce je komponiranje translacija s rotacijama ilizrcaljenjima. Odgovarajuci elementi simetrije zovu se vijcane osi (zbogkristalografske restrikcije mogu biti samo reda 2, 3, 4 ili 6) i klizne ravnine.

Primjer

U monoklinskom sustavu moguce su P i C resetke, a tockine grupemonoklinskog sustava su 2

m , 2 i m (dogovorno: smjer elementa simetrije usmjeru b). Stoga je za prostorne grupe monoklinskog sustava mogucedobiti vijcane digire i klizne ravnine u smjeru a i c. Kako nije potrebnorazlikovati ta dva smjera, dogovorno uzimamo da se takvi

”komponirani”

elementi simetrije pojavljuju u smjeru c.


Prostorne grupe

Vijcane osi oznacavamo njenim redom s indeksom koji kaze koliki jepomak. Primjerice, 41 je vijcana tetragira kod koje je rotacija komponiranas translacijom za 1/4 duljine vektora baze koji joj odreduje smjer.


Prostorne grupe

Slika iz Klein, C. (2002): Mineral Science. JohnWiley& Sons, Inc., New York.Franka Miriam Bruckler (PMF-MO, Zagreb) Millerovi indeksi. Prostorne grupe. Prosinac 2008. 22 / 27

Prostorne grupe

Klizne ravnine oznacavamo ovisno o tom u kojem smjeru dolazi doklizanja. Oznake a, b, c znace da u smjeru oznacene kristalografske osiimamo translaciju za pola njene duljine. Oznaka n odnosi se nakompoziciju zrcaljenja s translacijom za xa+ yb+ zc, gdje su bar dva odx , y , z jednaka 1/2, a treci je 1/2 ili 0. Oznaka d odnosi se na kompozicijuzrcaljenja s translacijom za xa+ yb+ zc, gdje su bar dva od x , y , z jednaka1/4, a treci je 1/4 ili 0.

Slika iz Borchardt-Ott, W. (1995): Crystallography. Springer, Berlin.


Prostorne grupe

Hermann-Mauguinove oznake prostornih grupa

Princip cemo objasniti na monoklinskom sustavu. Prvo oznacimo tipBravaisove resetke (ovdje: P ili C). Ostali simboli izvode se iz tockinegrupe. Tako prije svega u monoklinskom sustavu imamo prostorne grupeP 2

m , P2 i Pm. No, uz obicne elemente simetrije mogu se pojaviti i vijcanadigira 21 (u smjeru b) i klizna ravnina c . Stoga su moguce i prostornegrupe P 21

m , P21 i Pc te P 2c i P 21

c . U plosno centriranoj resetki mogli bismoponoviti isti princip i tako dobiti jos osam prostornih grupa C 2

m , C2, Cm,

C 21m , C21, Cc , C 2

c i C 21c . No, tri od njih su vec ukljucene u P-grupe (C 21

m ,

C 21c i C21) te nam ostaje 8+8-3=13 prostornih grupa monoklinskog

sustava.Na temelju oznake prostorne grupe mozemo se zakljuciti koja tockinagrupa odgovara promatranoj prostornoj grupi, npr. Cmca je nastao izmmm, sto je skracena oznaka za 2

m2m

2m .


Prostorne grupe

Graficki prikaz prostornih grupa

Da bismo prikazali koordinate atoma pojedine vrste koji cini kristal, zbogperiodicne strukture kristala dovoljno je znati koordinate takvog atomaunutar jedinicne celije. Pritom koristimo konvenciju da je koordinatnisustav odreden kristalografskom bazom te su sve tri koordinate tocakajedinicne celije brojevi izmedu 0 i 1. Ovisno o tipu Bravaisove resetke lakoje zakljuciti koliki je broj cvorova u celiji (P ima 1, A, B, C i I imaju po 2,a F ima 4).Multiplicitet je broj ekvivalentnih polozaja unutar jedinicne celije (gledatcemo samo za tocku opceg polozaja) i jednak je redu tockine grupepomnozenom s brojem cvorova u celiji. Recimo, za tocku opceg polozaja uCmca multiplicitet je 2 · 8 = 16.


Prostorne grupe


Prostorne grupe


Documents

Millerovi indeksi. Prostorne grupe.bruckler/pdf/kristali-simetrije5.pdf · parametri slu ze kao jedinice mjere na kristalografskim osima. Ti parametri moraju biti u skladu s parametrima