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7/28/2019 MIT6_241JS11_chap13

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L e c t u r e s o n D y n a m i c S y s t e m s a n d

C o n t r o l

M o h a m m e d D a h l e h M u n t h e r A . D a h l e h G e o r g e V e r g h e s e

D e p a r t m e n t o f E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g a n d C o m p u t e r S c i e n c e

M a s s a c h u a s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

1

1

�

c

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D e � n i t i o n 1 3 . 1 A s y s t e m i s c a l l e d a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e a r o u n d i t s e q u i l i b r i u m p o i n t a t t h e

o r i g i n i f i t s a t i s e s t h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s :

1 . G i v e n a n y 0 9

1

0 s u c h t h a t i f k x ( t

0

) k

1

, t h e n k x ( t ) k 8 t t

0

:

2 . 9

2

0 s u c h t h a t i f k x ( t

0

) k

2

, t h e n x ( t ) ! 0 a s t ! 1 .

T h e r s t c o n d i t i o n r e q u i r e s t h a t t h e s t a t e t r a j e c t o r y c a n b e c o n n e d t o a n a r b i t r a r i l y

s m a l l \ b a l l " c e n t e r e d a t t h e e q u i l i b r i u m p o i n t a n d o f r a d i u s , w h e n r e l e a s e d f r o m a n a r b i t r a r y

i n i t i a l c o n d i t i o n i n a b a l l o f s u c i e n t l y s m a l l ( b u t p o s i t i v e ) r a d i u s

1

. T h i s i s c a l l e d s t a b i l i t y i n

t h e s e n s e o f L y a p u n o v ( i . s . L . ) . I t i s p o s s i b l e t o h a v e s t a b i l i t y i n t h e s e n s e o f L y a p u n o v w i t h o u t

h a v i n g a s y m p t o t i c s t a b i l i t y , i n w h i c h c a s e w e r e f e r t o t h e e q u i l i b r i u m p o i n t a s m a r g i n a l l y

s t a b l e . N o n l i n e a r s y s t e m s a l s o e x i s t t h a t s a t i s f y t h e s e c o n d r e q u i r e m e n t w i t h o u t b e i n g s t a b l e

i . s . L . , a s t h e f o l l o w i n g e x a m p l e s h o w s . A n e q u i l i b r i u m p o i n t t h a t i s n o t s t a b l e i . s . L . i s t e r m e d

u n s t a b l e .

E x a m p l e 1 3 . 1 ( U n s t a b l e E q u i l i b r i u m P o i n t T h a t A t t r a c t s A l l T r a j e c t o r i e s )

C o n s i d e r t h e s e c o n d - o r d e r s y s t e m w i t h s t a t e v a r i a b l e s x

1

a n d x

2

w h o s e d y n a m i c s

a r e m o s t e a s i l y d e s c r i b e d i n p o l a r c o o r d i n a t e s v i a t h e e q u a t i o n s

r _ r ( 1 ; r )

_

s i n

2

( 2 ) ( 1 3 . 3 )

q

w h e r e t h e r a d i u s r i s g i v e n b y r x

2

1

+ x

2

2

a n d t h e a n g l e b y 0

a r c t a n ( x

2

x

1

) 2 . ( Y o u m i g h t t r y o b t a i n i n g a s t a t e - s p a c e d e s c r i p t i o n d i r e c t l y

i n v o l v i n g x

1

a n d x

2

. ) I t i s e a s y t o s e e t h a t t h e r e a r e p r e c i s e l y t w o e q u i l i b r i u m

p o i n t s : o n e a t t h e o r i g i n , a n d t h e o t h e r a t r 1 , 0 . W e l e a v e y o u t o v e r i f y

w i t h r o u g h c a l c u l a t i o n s ( o r c o m p u t e r s i m u l a t i o n f r o m v a r i o u s i n i t i a l c o n d i t i o n s )

t h a t t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e s y s t e m h a v e t h e f o r m s h o w n i n t h e g u r e b e l o w .

E v i d e n t l y a l l t r a j e c t o r i e s ( e x c e p t t h e t r i v i a l o n e t h a t s t a r t s a n d s t a y s a t t h e o r i g i n )

e n d u p a t r 1 , 0 . H o w e v e r , t h i s e q u i l i b r i u m p o i n t i s n o t s t a b l e i . s . L . ,

b e c a u s e t h e s e t r a j e c t o r i e s c a n n o t b e c o n n e d t o a n a r b i t r a r i l y s m a l l b a l l a r o u n d

t h e e q u i l i b r i u m p o i n t w h e n t h e y a r e r e l e a s e d f r o m a r b i t r a r y p o i n t s w i t h a n y b a l l

( n o m a t t e r h o w s m a l l ) a r o u n d t h i s e q u i l i b r i u m .

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unit circle

x

y

F i g u r e 1 3 . 1 : S y s t e m T r a j e c t o r i e s

1 3 . 3 S t a b i l i t y o f L i n e a r S y s t e m s

W e m a y a p p l y t h e p r e c e d i n g d e n i t i o n s t o t h e L T I c a s e b y c o n s i d e r i n g a s y s t e m w i t h a

d i a g o n a l i z a b l e A m a t r i x ( i n o u r s t a n d a r d n o t a t i o n ) a n d u � 0 . T h e u n i q u e e q u i l i b r i u m p o i n t

i s a t x 0 , p r o v i d e d A h a s n o e i g e n v a l u e a t 0 ( r e s p e c t i v e l y 1 ) i n t h e C T ( r e s p e c t i v e l y D T )

c a s e . ( O t h e r w i s e e v e r y p o i n t i n t h e e n t i r e e i g e n s p a c e c o r r e s p o n d i n g t o t h i s e i g e n v a l u e i s a n

e q u i l i b r i u m . ) N o w

x _ ( t ) e

A t

x ( 0 )

2

1

t

3

e

V

6

4

.

7

5

.

W x ( 0 ) ( C T ) ( 1 3 . 4 )

.

n

t

e

x ( k ) A

k

x ( 0 )

2 3

k

1

V

6

4

.

7

5

.

W x ( 0 ) ( D T ) ( 1 3 . 5 )

.

k

n

H e n c e , i t i s c l e a r t h a t i n c o n t i n u o u s t i m e a s y s t e m w i t h a d i a g o n a l i z a b l e A i s a s y m p t o t i c a l l y

s t a b l e i

R e (

i

) 0 i 2 f 1 : : : n g ( 1 3 . 6 )

w h i l e i n d i s c r e t e t i m e t h e r e q u i r e m e n t i s t h a t

j

i

j 1 i 2 f 1 : : : n g ( 1 3 . 7 )

N o t e t h a t i f R e (

i

) 0 ( C T ) o r j

i

j 1 ( D T ) , t h e s y s t e m i s n o t a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e , b u t

i s m a r g i n a l l y s t a b l e .

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E x e r c i s e : F o r t h e n o n d i a g o n a l i z a b l e c a s e , u s e y o u r u n d e r s t a n d i n g o f t h e J o r d a n f o r m t o s h o w

t h a t t h e c o n d i t i o n s f o r a s y m p t o t i c s t a b i l i t y a r e t h e s a m e a s i n t h e d i a g o n a l i z a b l e c a s e . F o r

m a r g i n a l s t a b i l i t y , w e r e q u i r e i n t h e C T c a s e t h a t R e (

i

) 0 , w i t h e q u a l i t y h o l d i n g f o r a t

l e a s t o n e e i g e n v a l u e f u r t h e r m o r e , e v e r y e i g e n v a l u e w h o s e r e a l p a r t e q u a l s 0 s h o u l d h a v e i t s

g e o m e t r i c m u l t i p l i c i t y e q u a l t o i t s a l g e b r a i c m u l t i p l i c i t y , i . e . , a l l i t s a s s o c i a t e d J o r d a n b l o c k s

s h o u l d b e o f s i z e 1 . ( V e r i f y t h a t t h e p r e s e n c e o f J o r d a n b l o c k s o f s i z e g r e a t e r t h a n o n e f o r

t h e s e i m a g i n a r y - a x i s e i g e n v a l u e s w o u l d l e a d t o t h e s t a t e v a r i a b l e s g r o w i n g p o l y n o m i a l l y w i t h

t i m e . ) A s i m i l a r c o n d i t i o n h o l d s f o r m a r g i n a l s t a b i l i t y i n t h e D T c a s e .

S t a b i l i t y o f L i n e a r T i m e - V a r y i n g S y s t e m s

R e c a l l t h a t t h e g e n e r a l u n f o r c e d s o l u t i o n t o a l i n e a r t i m e - v a r y i n g s y s t e m i s

x ( t ) � ( t t

0

) x ( t

0

)

w h e r e � ( t ) i s t h e s t a t e t r a n s i t i o n m a t r i x . I t f o l l o w s t h a t t h e s y s t e m i s

1 . s t a b l e i . s . L . a t x 0 i f s u p k � ( t t

0

) k m ( t

0

) 1 .

t

2 . a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e a t x 0 i f l i m k � ( t t

0

) k ! 0 8 t

0

.

t ! 1

T h e s e c o n d i t i o n s f o l l o w d i r e c t l y f r o m D e n i t i o n 1 3 . 1 .

1 3 . 4 L y a p u n o v ' s D i r e c t M e t h o d

G e n e r a l I d e a

C o n s i d e r t h e c o n t i n u o u s - t i m e s y s t e m

x _ ( t ) f ( x ( t ) ) ( 1 3 . 8 )

w i t h a n e q u i l i b r i u m p o i n t a t x 0 . T h i s i s a t i m e - i n v a r i a n t ( o r \ a u t o n o m o u s " ) s y s t e m , s i n c e f

d o e s n o t d e p e n d e x p l i c i t l y o n t . T h e s t a b i l i t y a n a l y s i s o f t h e e q u i l i b r i u m p o i n t i n s u c h a s y s t e m

i s a d i c u l t t a s k i n g e n e r a l . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t w e c a n n o t w r i t e a s i m p l e f o r m u l a

r e l a t i n g t h e t r a j e c t o r y t o t h e i n i t i a l s t a t e . T h e i d e a b e h i n d L y a p u n o v ' s \ d i r e c t " m e t h o d i s t o

e s t a b l i s h p r o p e r t i e s o f t h e e q u i l i b r i u m p o i n t ( o r , m o r e g e n e r a l l y , o f t h e n o n l i n e a r s y s t e m ) b y

s t u d y i n g h o w c e r t a i n c a r e f u l l y s e l e c t e d s c a l a r f u n c t i o n s o f t h e s t a t e e v o l v e a s t h e s y s t e m s t a t e

e v o l v e s . ( T h e t e r m \ d i r e c t " i s t o c o n t r a s t t h i s a p p r o a c h w i t h L y a p u n o v ' s \ i n d i r e c t " m e t h o d ,

w h i c h a t t e m p t s t o e s t a b l i s h p r o p e r t i e s o f t h e e q u i l i b r i u m p o i n t b y s t u d y i n g t h e b e h a v i o r o f

t h e l i n e a r i z e d s y s t e m a t t h a t p o i n t . W e s h a l l s t u d y t h i s n e x t C h a p t e r . )

C o n s i d e r , f o r i n s t a n c e , a c o n t i n u o u s s c a l a r f u n c t i o n V ( x ) t h a t i s 0 a t t h e o r i g i n a n d

p o s i t i v e e l s e w h e r e i n s o m e b a l l e n c l o s i n g t h e o r i g i n , i . e . V ( 0 ) 0 a n d V ( x ) 0 f o r x 6 0 i n

_

t h i s b a l l . S u c h a V ( x ) m a y b e t h o u g h t o f a s a n \ e n e r g y " f u n c t i o n . L e t V ( x ) d e n o t e t h e t i m e

d e r i v a t i v e o f V ( x ) a l o n g a n y t r a j e c t o r y o f t h e s y s t e m , i . e . i t s r a t e o f c h a n g e a s x ( t ) v a r i e s

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a c c o r d i n g t o ( 1 3 . 8 ) . I f t h i s d e r i v a t i v e i s n e g a t i v e t h r o u g h o u t t h e r e g i o n ( e x c e p t a t t h e o r i g i n ) ,

t h e n t h i s i m p l i e s t h a t t h e e n e r g y i s s t r i c t l y d e c r e a s i n g o v e r t i m e . I n t h i s c a s e , b e c a u s e t h e

e n e r g y i s l o w e r b o u n d e d b y 0 , t h e e n e r g y m u s t g o t o 0 , w h i c h i m p l i e s t h a t a l l t r a j e c t o r i e s

c o n v e r g e t o t h e z e r o s t a t e . W e w i l l f o r m a l i z e t h i s i d e a i n t h e f o l l o w i n g s e c t i o n s .

L y a p u n o v F u n c t i o n s

D e � n i t i o n 1 3 . 2 L e t V b e a c o n t i n u o u s m a p f r o m R

n

t o R . W e c a l l V ( x ) a l o c a l l y p o s i t i v e

d e n i t e ( l p d ) f u n c t i o n a r o u n d x 0 i f

1 . V ( 0 ) 0 .

2 . V ( x ) 0 0 k x k r f o r s o m e r .

S i m i l a r l y , t h e f u n c t i o n i s c a l l e d l o c a l l y p o s i t i v e s e m i d e n i t e ( l p s d ) i f t h e s t r i c t i n e q u a l i t y o n

t h e f u n c t i o n i n t h e s e c o n d c o n d i t i o n i s r e p l a c e d b y V ( x ) 0 . T h e f u n c t i o n V ( x ) i s l o c a l l y

n e g a t i v e d e n i t e ( l n d ) i f ; V ( x ) i s l p d , a n d l o c a l l y n e g a t i v e s e m i d e n i t e ( l n s d ) i f ; V ( x ) i s

l p s d . W h a t m a y b e u s e f u l i n f o r m i n g a m e n t a l p i c t u r e o f a n l p d f u n c t i o n V ( x ) i s t o t h i n k o f

i t a s h a v i n g \ c o n t o u r s " o f c o n s t a n t V t h a t f o r m ( a t l e a s t i n a s m a l l r e g i o n a r o u n d t h e o r i g i n )

a n e s t e d s e t o f c l o s e d s u r f a c e s s u r r o u n d i n g t h e o r i g i n . T h e s i t u a t i o n f o r n 2 i s i l l u s t r a t e d

i n F i g u r e 1 3 . 2 .

V(x)=c 1

V(x)=c 2

V(x)=c 3

F i g u r e 1 3 . 2 : L e v e l l i n e s f o r a L y a p u n o v f u n c t i o n , w h e r e c

1

c

2

c

3

.

T h r o u g h o u t o u r t r e a t m e n t o f t h e C T c a s e , w e s h a l l r e s t r i c t o u r s e l v e s t o V ( x ) t h a t h a v e

c o n t i n u o u s r s t p a r t i a l d e r i v a t i v e s . ( D i e r e n t i a b i l i t y w i l l n o t b e n e e d e d i n t h e D T c a s e |

c o n t i n u i t y w i l l s u c e t h e r e . ) W e s h a l l d e n o t e t h e d e r i v a t i v e o f s u c h a V w i t h r e s p e c t t o t i m e

_

a l o n g a t r a j e c t o r y o f t h e s y s t e m ( 1 3 . 8 ) b y V ( x ( t ) ) . T h i s d e r i v a t i v e i s g i v e n b y

d V ( x ) d V ( x )

_

V ( x ( t ) ) x _ f ( x )

d x d x

w h e r e

d V

d x

( x )

i s a r o w v e c t o r | t h e g r a d i e n t v e c t o r o r J a c o b i a n o f V w i t h r e s p e c t t o x |

c o n t a i n i n g t h e c o m p o n e n t - w i s e p a r t i a l d e r i v a t i v e s

@

@

x

V

i

.

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_

D e � n i t i o n 1 3 . 3 L e t V b e a n l p d f u n c t i o n ( a \ c a n d i d a t e L y a p u n o v f u n c t i o n " ) , a n d l e t V b e

_

i t s d e r i v a t i v e a l o n g t r a j e c t o r i e s o f s y s t e m ( 1 3 . 8 ) . I f V i s l n s d , t h e n V i s c a l l e d a L y a p u n o v

f u n c t i o n o f t h e s y s t e m ( 1 3 . 8 ) .

L y a p u n o v T h e o r e m f o r L o c a l S t a b i l i t y

T h e o r e m 1 3 . 1 I f t h e r e e x i s t s a L y a p u n o v f u n c t i o n o f s y s t e m ( 1 3 . 8 ) , t h e n x 0 i s a s t a b l e

_

e q u i l i b r i u m p o i n t i n t h e s e n s e o f L y a p u n o v . I f i n a d d i t i o n V ( x ) 0 , 0 k x k r

1

f o r s o m e

_

r

1

, i . e . i f V i s l n d , t h e n x 0 i s a n a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e e q u i l i b r i u m p o i n t .

P r o o f : F i r s t , w e p r o v e s t a b i l i t y i n t h e s e n s e o f L y a p u n o v . S u p p o s e 0 i s g i v e n . W e n e e d

t o n d a 0 s u c h t h a t f o r a l l k x ( 0 ) k , i t f o l l o w s t h a t k x ( t ) k 8 t 0 . T h e F i g u r e

1 9 . 6 i l l u s t r a t e s t h e c o n s t r u c t i o n s o f t h e p r o o f f o r t h e c a s e n 2 . L e t

1

m i n ( r ) . D e n e

r δ

ε1

F i g u r e 1 3 . 3 : I l l u s t r a t i o n o f t h e n e i g h b o r h o o d s u s e d i n t h e p r o o f

m m i n V ( x ) :

k x k �

1

S i n c e V ( x ) i s c o n t i n u o u s , t h e a b o v e m i s w e l l d e n e d a n d p o s i t i v e . C h o o s e s a t i s f y i n g

0

1

s u c h t h a t f o r a l l k x k , V ( x ) m . S u c h a c h o i c e i s a l w a y s p o s s i b l e , a g a i n

b e c a u s e o f t h e c o n t i n u i t y o f V ( x ) . N o w , c o n s i d e r a n y x ( 0 ) s u c h t h a t k x ( 0 ) k , V ( x ( 0 ) ) m ,

_

a n d l e t x ( t ) b e t h e r e s u l t i n g t r a j e c t o r y . V ( x ( t ) ) i s n o n - i n c r e a s i n g ( i . e . V ( x ( t ) ) 0 ) w h i c h

r e s u l t s i n V ( x ( t ) ) m . W e w i l l s h o w t h a t t h i s i m p l i e s t h a t k x ( t ) k

1

. S u p p o s e t h e r e

e x i s t s t

1

s u c h t h a t k x ( t

1

) k

1

, t h e n b y c o n t i n u i t y w e m u s t h a v e t h a t a t a n e a r l i e r t i m e t

2

,

k x ( t

2

) k

1

, a n d m i n

k x k �

1

k V ( x ) k m V ( x ( t

2

) ) , w h i c h i s a c o n t r a d i c t i o n . T h u s s t a b i l i t y

i n t h e s e n s e o f L y a p u n o v h o l d s .

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_

T o p r o v e a s y m p t o t i c s t a b i l i t y w h e n V i s l n d , w e n e e d t o s h o w t h a t a s t ! 1 , V ( x ( t ) ) !

0 t h e n , b y c o n t i n u i t y o f V , k x ( t ) k ! 0 . S i n c e V ( x ( t ) ) i s s t r i c t l y d e c r e a s i n g , a n d V ( x ( t ) ) 0

w e k n o w t h a t V ( x ( t ) ) ! c , w i t h c 0 . W e w a n t t o s h o w t h a t c i s i n f a c t z e r o . W e c a n a r g u e

b y c o n t r a d i c t i o n a n d s u p p o s e t h a t c 0 . L e t t h e s e t S b e d e n e d a s

S f x 2 R

n

j V ( x ) c g

a n d l e t B

�

b e a b a l l i n s i d e S o f r a d i u s � ,

B

�

f x 2 S j k x k � g :

S u p p o s e x ( t ) i s a t r a j e c t o r y o f t h e s y s t e m t h a t s t a r t s a t x ( 0 ) , w e k n o w t h a t V ( x ( t ) ) i s

d e c r e a s i n g m o n o t o n i c a l l y t o c a n d V ( x ( t ) ) c f o r a l l t . T h e r e f o r e , x ( t ) 2 B

�

r e c a l l t h a t

B

�

S w h i c h i s d e n e d a s a l l t h e e l e m e n t s i n R

n

f o r w h i c h V ( x ) c . I n t h e r s t p a r t o f

t h e p r o o f , w e h a v e e s t a b l i s h e d t h a t i f k x ( 0 ) k t h e n k x ( t ) k . W e c a n d e n e t h e l a r g e s t

d e r i v a t i v e o f V ( x ) a s

_

; m a x V ( x ) :

� � k x k �

_

C l e a r l y ; 0 s i n c e V ( x ) i s l n d . O b s e r v e t h a t ,

Z

t

_

V ( x ( t ) V ( x ( 0 ) ) + V ( x ( ) ) d

0

V ( x ( 0 ) ) ; t

w h i c h i m p l i e s t h a t V ( x ( t ) ) w i l l b e n e g a t i v e w h i c h w i l l r e s u l t i n a c o n t r a d i c t i o n e s t a b l i s h i n g

t h e f a c t t h a t c m u s t b e z e r o .

E x a m p l e 1 3 . 2 C o n s i d e r t h e d y n a m i c a l s y s t e m w h i c h i s g o v e r n e d b y t h e d i e r -

e n t i a l e q u a t i o n

x _ ; g ( x )

w h e r e g ( x ) h a s t h e f o r m g i v e n i n F i g u r e 1 3 . 4 . C l e a r l y t h e o r i g i n i s a n e q u i l i b r i u m

p o i n t . I f w e d e n e a f u n c t i o n

Z

x

V ( x ) g ( y ) d y

0

t h e n i t i s c l e a r t h a t V ( x ) i s l o c a l l y p o s i t i v e d e n i t e ( l p d ) a n d

_

V ( x ) ; g ( x )

2

w h i c h i s l o c a l l y n e g a t i v e d e n i t e ( l n d ) . T h i s i m p l i e s t h a t x 0 i s a n a s y m p t o t i c a l l y

s t a b l e e q u i l i b r i u m p o i n t .

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1-1

g(x)

x

F i g u r e 1 3 . 4 : G r a p h i c a l D e s c r i p t i o n o f g ( x )

L y a p u n o v T h e o r e m f o r G l o b a l A s y m p t o t i c S t a b i l i t y

T h e r e g i o n i n t h e s t a t e s p a c e f o r w h i c h o u r e a r l i e r r e s u l t s h o l d i s d e t e r m i n e d b y t h e r e g i o n

o v e r w h i c h V ( x ) s e r v e s a s a L y a p u n o v f u n c t i o n . I t i s o f s p e c i a l i n t e r e s t t o d e t e r m i n e t h e

\ b a s i n o f a t t r a c t i o n " o f a n a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e e q u i l i b r i u m p o i n t , i . e . t h e s e t o f i n i t i a l

c o n d i t i o n s w h o s e s u b s e q u e n t t r a j e c t o r i e s e n d u p a t t h i s e q u i l i b r i u m p o i n t . A n e q u i l i b r i u m

p o i n t i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e ( o r a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e \ i n t h e l a r g e " ) i f i t s b a s i n o f

a t t r a c t i o n i s t h e e n t i r e s t a t e s p a c e .

I f a f u n c t i o n V ( x ) i s p o s i t i v e d e n i t e o n t h e e n t i r e s t a t e s p a c e , a n d h a s t h e a d d i t i o n a l

_

p r o p e r t y t h a t j V ( x ) j % 1 a s k x k % 1 , a n d i f i t s d e r i v a t i v e V i s n e g a t i v e d e n i t e o n t h e

e n t i r e s t a t e s p a c e , t h e n t h e e q u i l i b r i u m p o i n t a t t h e o r i g i n i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e .

W e o m i t t h e p r o o f o f t h i s r e s u l t . O t h e r v e r s i o n s o f s u c h r e s u l t s c a n b e s t a t e d , b u t a r e a l s o

o m i t t e d .

E x a m p l e 1 3 . 3

C o n s i d e r t h e n t h - o r d e r s y s t e m

x _ ; C ( x )

w i t h t h e p r o p e r t y t h a t C ( 0 ) 0 a n d x

0

C ( x ) 0 i f x 0 .6 C o n v i n c e y o u r s e l f t h a t

t h e u n i q u e e q u i l i b r i u m p o i n t o f t h e s y s t e m i s a t 0 . N o w c o n s i d e r t h e c a n d i d a t e

L y a p u n o v f u n c t i o n

V ( x ) x

0

x

w h i c h s a t i s e s a l l t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s , i n c l u d i n g j V ( x ) j % 1 a s k x k % 1 .

E v a l u a t i n g i t s d e r i v a t i v e a l o n g t r a j e c t o r i e s , w e g e t

_

0

0 V ( x ) 2 x x _ ; 2 x

0

C ( x ) 0 f o r x 6

H e n c e , t h e s y s t e m i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e .

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E x a m p l e 1 3 . 4 C o n s i d e r t h e f o l l o w i n g d y n a m i c a l s y s t e m

x _

1

; x

1

+ 4 x

2

x _

2

; x

1

; x

3

2

:

T h e o n l y e q u l i b r i u m p o i n t f o r t h i s s y s t e m i s t h e o r i g i n x 0 . T o i n v e s t i g a t e t h e

s t a b i l i t y o f t h e o r i g i n l e t u s p r o p o s e a q u a d r a t i c L y a p u n o v f u n c t i o n V x

2

1

+ a x

2

2

,

w h e r e a i s a p o s i t i v e c o n s t a n t t o b e d e t e r m i n e d . I t i s c l e a r t h a t V i s p o s i t i v e

d e n i t e o n t h e e n t i r e s t a t e s p a c e R

2

. I n a d d i t i o n , V i s r a d i a l l y u n b o u n d e d , t h a t

i s i t s a t i s e s j V ( x ) j % 1 a s k x k % 1 . T h e d e r i v a t i v e o f V a l o n g t h e t r a j e c t o r i e s

o f t h e s y s t e m i s g i v e n b y

" #

h i

_

V 2 x

1

2 a x

2

; x

1

+ 4 x

3

2

; x

1

; x

2

; 2 x

2

+ ( 8 ; 2 a ) x

1

x

2

; 2 a x

4

2

:

1

I f w e c h o o s e a 4 t h e n w e c a n e l i m i n a t e t h e c r o s s t e r m x

1

x

2

, a n d t h e d e r i v a t i v e

o f V b e c o m e s

V

_

; 2 x

2

1

; 8 x

4

2

w h i c h i s c l e a r l y a n e g a t i v e d e n i t e f u n c t i o n o n t h e e n t i r e s t a t e s p a c e . T h e r e f o r e

w e c o n c l u d e t h a t x 0 i s a g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e e q u i l i b r i u m p o i n t .

E x a m p l e 1 3 . 5 A h i g h l y s t u d i e d e x a m p l e i n t h e a r e a o f d y n a m i c a l s y s t e m s a n d

c h a o s i s t h e f a m o u s L o r e n z s y s t e m , w h i c h i s a n o n l i n e a r s y s t e m t h a t e v o l v e s i n R

3

w h o s e e q u a t i o n s a r e g i v e n b y

x _ ( y ; x )

y _ r x ; y ; x z

z _ x y ; b z

w h e r e , r a n d b a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s . T h i s s y s t e m o f e q u a t i o n s p r o v i d e s a n

a p p r o x i m a t e m o d e l o f a h o r i z o n t a l u i d l a y e r t h a t i s h e a t e d f r o m b e l o w . T h e

w a r m e r u i d f r o m t h e b o t t o m r i s e s a n d t h u s c a u s e s c o n v e c t i o n c u r r e n t s . T h i s

a p p r o x i m a t e s w h a t h a p p e n s i n t h e a t m o s p h e r e . U n d e r i n t e n s e h e a t i n g t h i s m o d e l

e x h i b i t s c o m p l e x d y n a m i c a l b e h a v i o u r . H o w e v e r , i n t h i s e x a m p l e w e w o u l d l i k e t o

a n a l y z e t h e s t a b i l i t y o f t h e o r i g i n u n d e r t h e c o n d i t i o n r 1 , w h i c h i s k n o w n n o t t o

l e a d t o c o m p l e x b e h a v i o u r . L e u s d e n e V �

1

x

2

+ �

2

y

2

+ �

3

z

2

, w h e r e �

1

, �

2

, a n d

�

3

a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s t o b e d e t e r m i n e d . I t i s c l e a r t h a t V i s p o s i t i v e d e n i t e

o n R

3

a n d i s r a d i a l l y u n b o u n d e d . T h e d e r i v a t i v e o f V a l o n g t h e t r a j e c t o r i e s o f t h e

s y s t e m i s g i v e n b y

2 3

h i

( y ; x )

6 7

_

V 2 �

1

x 2 �

2

y 2 �

3

z

4

r x ; y ; x z

5

x y ; b z

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; 2 �

1

x

2

; 2 �

2

y

2

; 2 �

3

b z

2

+ x y ( 2 �

1

+ 2 r �

2

) + ( 2 �

3

; 2 �

2

) x y z :

I f w e c h o o s e �

2

�

3

1 a n d �

1

1

t h e n t h e V

_

b e c o m e s

�

V

_

; 2 x

2

+ y

2

+ 2 b z

2

; ( 1 + r ) x y

"

2

#

; 2 x ;

1

( 1 + r ) y + 1 ; (

1 + r

)

2

y

2

+ b z

2

:

2 2

_

S i n c e 0 r 1 i t f o l l o w s t h a t 0

1 + r

1 a n d t h e r e f o r e V i s n e g a t i v e d e n i t e o n

2

t h e e n t i r e s t a t e s p a c e R

3

. T h i s i m p l i e s t h a t t h e o r i g i n i s g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y

s t a b l e .

E x a m p l e 1 3 . 6 ( P e n d u l u m )

T h e d y n a m i c e q u a t i o n o f a p e n d u l u m c o m p r i s i n g a m a s s M a t t h e e n d o f a r i g i d

b u t m a s s l e s s r o d o f l e n g t h R i s

M R

+ M g s i n 0

w h e r e i s t h e a n g l e m a d e w i t h t h e d o w n w a r d d i r e c t i o n , a n d g i s t h e a c c e l e r a t i o n

_

d u e t o g r a v i t y . T o p u t t h e s y s t e m i n s t a t e - s p a c e f o r m , l e t x

1

, a n d x

2

t h e n

x _

1

x

2

x _

2

;

g

s i n x

1

R

T a k e a s a c a n d i d a t e L y a p u n o v f u n c t i o n t h e t o t a l e n e r g y i n t h e s y s t e m . T h e n

V ( x )

1

M R

2

x

2

2

+ M g R ( 1 ; c o s x

1

) k i n e t i c + p o t e n t i a l

2

" #

_

d V

2

x

2

V

d x

f ( x ) [ M g R s i n x

1

M R x

2

]

;

g

s i n x

1

R

0

H e n c e , V i s a L y a p u n o v f u n c t i o n a n d t h e s y s t e m i s s t a b l e i . s . L . W e c a n n o t c o n c l u d e

a s y m p t o t i c s t a b i l i t y w i t h t h i s a n a l y s i s .

C o n s i d e r n o w a d d i n g a d a m p i n g t o r q u e p r o p o r t i o n a l t o t h e v e l o c i t y , s o t h a t t h e

s t a t e - s p a c e d e s c r i p t i o n b e c o m e s

x _

1

x

2

x _

2

; D x

2

;

g

s i n x

1

R

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_

_

W i t h t h i s c h a n g e , b u t t h e s a m e V a s b e f o r e , w e n d

V

_

; D M R

2

x

2

2

0 :

F r o m t h i s w e c a n c o n c l u d e s t a b i l i t y i . s . L . W e s t i l l c a n n o t d i r e c t l y c o n c l u d e a s y m p -

t o t i c s t a b i l i t y . N o t i c e h o w e v e r t h a t V 0 ) 0 . U n d e r t h i s c o n d i t i o n ,

; ( g R ) s i n : H e n c e ,

6 0 i f 6 k f o r i n t e g e r k , i . e . i f t h e p e n d u l u m i s n o t

v e r t i c a l l y d o w n o r v e r t i c a l l y u p . T h i s i m p l i e s t h a t , u n l e s s w e a r e a t t h e b o t t o m o r

t o p w i t h z e r o v e l o c i t y , w e s h a l l h a v e

0 w h e n 6 V

_

0 , s o

_

w i l l n o t r e m a i n a t

0 , a n d h e n c e t h e L y a p u n o v f u n c t i o n w i l l b e g i n t o d e c r e a s e a g a i n . T h e o n l y p l a c e

t h e s y s t e m c a n e n d u p , t h e r e f o r e , i s w i t h z e r o v e l o c i t y , h a n g i n g v e r t i c a l l y d o w n o r

s t a n d i n g v e r t i c a l l y u p , i . e . a t o n e o f t h e t w o e q u i l i b r i a . T h e f o r m a l p r o o f o f t h i s

r e s u l t i n t h e g e n e r a l c a s e ( \ L a S a l l e ' s i n v a r i a n t s e t t h e o r e m " ) i s b e y o n d t h e s c o p e

o f t h i s c o u r s e .

T h e c o n c l u s i o n o f l o c a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y c a n a l s o b e o b t a i n e d d i r e c t l y t h r o u g h

a n a l t e r n a t i v e c h o i c e o f L y a p u n o v f u n c t i o n . C o n s i d e r t h e L y a p u n o v f u n c t i o n c a n -

d i d a t e

V ( x )

1

x

2

2

+

1

( x

1

+ x

2

)

2

+ 2 ( 1 ; c o s x

1

) :

2 2

I t f o l l o w s t h a t

V

_

; ( x

2

2

+ x

1

s i n x

1

) ; ; (

_

2

+ s i n ) 0 :

A l s o ,

_

2

+ s i n 0 )

_

2

0 s i n 0 ) 0

_

0 : H e n c e , V

_

i s s t r i c t l y

n e g a t i v e i n a s m a l l n e i g h b o r h o o d a r o u n d 0 . T h i s p r o v e s a s y m p t o t i c s t a b i l i t y .

D i s c r e t e - T i m e S y s t e m s

E s s e n t i a l l y i d e n t i c a l r e s u l t s h o l d f o r t h e s y s t e m

x ( k + 1 ) f ( x ( k ) ) ( 1 3 . 9 )

p r o v i d e d w e i n t e r p r e t V

_

a s

4

_

V ( x ) V ( f ( x ) ) ; V ( x )

i . e . a s

V ( n e x t s t a t e ) ; V ( p r e s e n t s t a t e )

E x a m p l e 1 3 . 7 ( D T S y s t e m )

C o n s i d e r t h e s y s t e m

x

2

( k )

x

1

( k + 1 )

2

1 + x

2

( k )

x

1

( k )

x

2

( k + 1 )

1 + x

2

2

( k )

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w h i c h h a s i t s o n l y e q u i l i b r i u m a t t h e o r i g i n . I f w e c h o o s e t h e q u a d r a t i c L y a p u n o v

f u n c t i o n

V ( x ) x

2

1

+ x

2

2

w e n d

1

_

V ( x ( k ) ) V ( x ( k ) )

[ 1 + x

2

2

( k ) ]

2

; 1 0

f r o m w h i c h w e c a n c o n c l u d e t h a t t h e e q u i l i b r i u m p o i n t i s s t a b l e i . s . L . I n f a c t ,

e x a m i n i n g t h e a b o v e r e l a t i o n s m o r e c a r e f u l l y ( i n t h e s a m e s t y l e a s w e d i d f o r t h e

p e n d u l u m w i t h d a m p i n g ) , i t i s p o s s i b l e t o c o n c l u d e t h a t t h e e q u i l i b r i u m p o i n t i s

a c t u a l l y g l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e .

N o t e s

T h e s y s t e m i n E x a m p l e 2 i s t a k e n f r o m t h e e m i n e n t l y r e a d a b l e t e x t b y F . V e r h u l s t , N o n l i n e a r

D i � e r e n t i a l E q u a t i o n s a n d D y n a m i c a l S y s t e m s , S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 0 .

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( b ) U s e t h e c a n d i d a t e L y a p u n o v f u n c t i o n

V ( x ) P ( x ) ; P ( x )

t o t r y a n d e s t a b l i s h t h a t x i s a n a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e e q u i l i b r i u m p o i n t .

E x e r c i s e 1 3 . 4 T h e o b j e c t i v e o f t h i s p r o b l e m i s t o a n a l y z e t h e c o n v e r g e n c e o f t h e g r a d i e n t a l g o r i t h m

f o r n d i n g a l o c a l m i n i m u m o f a f u n c t i o n . L e t f : R

n

! R a n d a s s u m e t h a t x

�

i s a l o c a l m i n i m u m i . e . ,

f ( x

�

) f ( x ) f o r a l l x c l o s e e n o u g h b u t n o t e q u a l t o x

�

. A s s u m e t h a t f i s c o n t i n u o u s l y d i � e r e n t i a b l e .

L e t g

T

: R ! R

n

b e t h e g r a d i e n t o f f :

T

@ g @ g

g (

@ x

: : :

@ x

n

) :

1

I t f o l l o w s f r o m e l e m e n t a r y C a l c u l u s t h a t g ( x

�

) 0 .

I f o n e h a s a g o o d e s t i m a t e o f x

�

, t h e n i t i s a r g u e d t h a t t h e s o l u t i o n t o t h e d y n a m i c s y s t e m :

x _ ; g ( x ) ( 1 3 . 1 0 )

w i t h x ( 0 ) c l o s e t o x

�

w i l l g i v e x ( t ) s u c h t h a t

l i m x ( t ) x

�

:

t ! 1

( a ) U s e L y a p u n o v s t a b i l i t y a n a l y s i s m e t h o d s t o g i v e a p r e c i s e s t a t e m e n t a n d a p r o o f o f t h e a b o v e

a r g u m e n t .

( b ) S y s t e m 1 3 . 1 0 i s u s u a l l y s o l v e d n u m e r i c a l l y b y t h e d i s c r e t e - t i m e s y s t e m

x ( k + 1 ) x ( k ) ; � ( x

k

) g ( x

k

) ( 1 3 . 1 1 )

w h e r e � ( x

k

) i s s o m e f u n c t i o n f r o m R

n

! R . I n c e r t a i n s i t u a t i o n s , � c a n b e c h o s e n a s a c o n s t a n t

f u n c t i o n , b u t t h i s c h o i c e i s n o t a l w a y s g o o d . U s e L y a p u n o v s t a b i l i t y a n a l y s i s m e t h o d s f o r

d i s c r e t e - t i m e s y s t e m s t o g i v e a p o s s i b l e c h o i c e f o r � ( x

k

) s o t h a t

l i m x ( k + 1 ) x

�

:

k ! 1

( c ) A n a l y z e d i r e c t l y t h e g r a d i e n t a l g o r i t h m f o r t h e f u n c t i o n

1

f ( x ) x

T

Q x Q S y m m e t r i c , P o s i t i v e D e n i t e :

2

S h o w d i r e c t l y t h a t s y s t e m 1 3 . 1 0 c o n v e r g e s t o z e r o ( x

�

) . A l s o , s h o w t h a t � i n s y s t e m 1 3 . 1 1

c a n b e c h o s e n a s a r e a l c o n s t a n t , a n d g i v e t i g h t b o u n d s o n t h i s c h o i c e .

E x e r c i s e 1 3 . 5 ( a ) S h o w t h a t a n y ( p o s s i b l y c o m p l e x ) s q u a r e m a t r i x M c a n b e w r i t t e n u n i q u e l y a s

t h e s u m o f a H e r m i t i a n m a t r i x H a n d a s k e w - H e r m i t i a n m a t r i x S , i . e . H

0

H a n d S

0

; S .

( H i n t : W o r k w i t h c o m b i n a t i o n s o f M a n d M

0

. ) N o t e t h a t i f M i s r e a l , t h e n t h i s d e c o m p o s i t i o n

e x p r e s s e s t h e m a t r i x a s t h e s u m o f a s y m m e t r i c a n d s k e w - s y m m e t r i c m a t r i x .

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( b ) W i t h M , H , a n d S a s a b o v e , s h o w t h a t t h e r e a l p a r t o f t h e q u a d r a t i c f o r m x

0

M x e q u a l s x

0

H x ,

a n d t h e i m a g i n a r y p a r t o f x

0

M x e q u a l s x

0

S x . ( I t f o l l o w s t h a t i f M a n d x a r e r e a l , t h e n x

0

M x

x

0

H x . )

( c ) L e t V ( x ) x

0

M x f o r r e a l M a n d x . U s i n g t h e s t a n d a r d d e n i t i o n o f d V ( x ) d x a s a J a c o b i a n

m a t r i x | a c t u a l l y j u s t a r o w v e c t o r i n t h i s c a s e | w h o s e j t h e n t r y i s @ V ( x ) @ x

j

, s h o w t h a t

d V ( x )

2 x

0

H

d x

w h e r e H i s t h e s y m m e t r i c p a r t o f M , a s d e n e d i n p a r t ( a ) .

( d ) S h o w t h a t a H e r m i t i a n m a t r i x a l w a y s h a s r e a l e i g e n v a l u e s , a n d t h a t t h e e i g e n v e c t o r s a s s o c i a t e d

w i t h d i s t i n c t e i g e n v a l u e s a r e o r t h o g o n a l t o e a c h o t h e r .

E x e r c i s e 1 3 . 6 C o n s i d e r t h e ( r e a l ) c o n t i n u o u s - t i m e L T I s y s t e m x _ ( t ) A x ( t ) .

( a ) S u p p o s e t h e ( c o n t i n u o u s - t i m e ) L y a p u n o v e q u a t i o n

P A + A

0

P ; I ( 3 : 1 )

h a s a s y m m e t r i c , p o s i t i v e d e n i t e s o l u t i o n P . N o t e t h a t ( 3 . 1 ) c a n b e w r i t t e n a s a l i n e a r s y s t e m

o f e q u a t i o n s i n t h e e n t r i e s o f P , s o s o l v i n g i t i s i n p r i n c i p l e s t r a i g h t f o r w a r d g o o d n u m e r i c a l

a l g o r i t h m s e x i s t .

S h o w t h a t t h e f u n c t i o n V ( x ) x

0

P x s e r v e s a s a L y a p u n o v f u n c t i o n , a n d u s e i t t o d e d u c e t h e

g l o b a l a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e e q u i l i b r i u m p o i n t o f t h e L T I s y s t e m a b o v e , i . e . t o d e d u c e t h a t

t h e e i g e n v a l u e s o f A a r e i n t h e o p e n l e f t - h a l f p l a n e . ( T h e r e s u l t o f E x e r c i s e 1 3 . 5 w i l l b e h e l p f u l

_

i n c o m p u t i n g V ( x ) . )

W h a t p a r t ( a ) s h o w s i s t h a t t h e e x i s t e n c e o f a s y m m e t r i c , p o s i t i v e d e n i t e s o l u t i o n o f ( 3 . 1 ) i s

s u � c i e n t t o c o n c l u d e t h a t t h e g i v e n L T I s y s t e m i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e . T h e e x i s t e n c e o f s u c h

a s o l u t i o n t u r n s o u t t o a l s o b e n e c e s s a r y , a s w e s h o w i n w h a t f o l l o w s . [ I n s t e a d o f ; I o n t h e

r i g h t s i d e o f ( 3 . 1 ) , w e c o u l d h a v e h a d ; Q f o r a n y p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x Q . I t w o u l d s t i l l b e

t r u e t h a t t h e s y s t e m i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e i f a n d o n l y i f t h e s o l u t i o n P i s s y m m e t r i c , p o s i t i v e

d e n i t e . W e l e a v e y o u t o m o d i f y t h e a r g u m e n t s h e r e t o h a n d l e t h i s c a s e . ]

( b ) S u p p o s e t h e L T I s y s t e m a b o v e i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e . N o w d e n e

Z

1

A

0

t A t

P R ( t ) d t R ( t ) e e ( 3 : 2 )

0

T h e r e a s o n t h e i n t e g r a l e x i s t s i s t h a t t h e s y s t e m i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e | e x p l a i n t h i s i n m o r e

d e t a i l ! S h o w t h a t P i s s y m m e t r i c a n d p o s i t i v e d e n i t e , a n d t h a t i t i s t h e u n i q u e s o l u t i o n o f t h e

L y a p u n o v e q u a t i o n ( 3 . 1 ) . Y o u w i l l n d i t h e l p f u l t o n o t e t h a t

Z

1

d R ( t )

R ( 1 ) ; R ( 0 ) d t

d t

0

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T h e r e s u l t s o f t h i s p r o b l e m s h o w t h a t o n e c a n d e c i d e w h e t h e r a m a t r i x A h a s a l l i t s e i g e n v a l u e s

i n t h e o p e n l e f t - h a l f p l a n e w i t h o u t s o l v i n g f o r a l l i t s e i g e n v a l u e s . W e o n l y n e e d t o t e s t f o r t h e

p o s i t i v e d e n i t e n e s s o f t h e s o l u t i o n o f t h e l i n e a r s y s t e m o f e q u a t i o n s ( 3 . 1 ) . T h i s c a n b e s i m p l e r .

E x e r c i s e 1 3 . 7 T h i s p r o b l e m u s e s L y a p u n o v ' s d i r e c t m e t h o d t o j u s t i f y a k e y c l a i m o f h i s i n d i r e c t

m e t h o d : i f t h e l i n e a r i z e d m o d e l a t a n e q u i l i b r i u m p o i n t i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e , t h e n t h i s e q u i l i b r i u m

p o i n t o f t h e n o n l i n e a r s y s t e m i s a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e . ( W e s h a l l a c t u a l l y o n l y c o n s i d e r a n e q u i l i b r i u m

p o i n t a t t h e o r i g i n , b u t t h e a p p r o a c h c a n b e a p p l i e d t o a n y e q u i l i b r i u m p o i n t , a f t e r a n a p p r o p r i a t e

c h a n g e o f v a r i a b l e s . )

C o n s i d e r t h e t i m e - i n v a r i a n t c o n t i n u o u s - t i m e n o n l i n e a r s y s t e m g i v e n b y

x _ ( t ) A x ( t ) + h ( x ( t ) ) ( 4 : 1 )

w h e r e A h a s a l l i t s e i g e n v a l u e s i n t h e o p e n l e f t - h a l f p l a n e , a n d h ( : ) r e p r e s e n t s \ h i g h e r - o r d e r t e r m s " , i n

t h e s e n s e t h a t k h ( x ) k k x k ! 0 a s k x k ! 0 .

( a ) S h o w t h a t t h e o r i g i n i s a n e q u i l i b r i u m p o i n t o f t h e s y s t e m ( 4 . 1 ) , a n d t h a t t h e l i n e a r i z e d m o d e l a t

t h e o r i g i n i s j u s t x _ ( t ) A x ( t ) .

( b ) L e t P b e t h e p o s i t i v e d e n i t e s o l u t i o n o f t h e L y a p u n o v e q u a t i o n i n ( 3 . 1 ) . S h o w t h a t V ( x ) x

0

P x

q u a l i e s a s a c a n d i d a t e L y a p u n o v f u n c t i o n f o r t e s t i n g t h e s t a b i l i t y o f t h e e q u i l i b r i u m p o i n t a t

_

t h e o r i g i n i n t h e s y s t e m ( 4 . 1 ) . D e t e r m i n e a n e x p r e s s i o n f o r V ( x ) , t h e r a t e o f c h a n g e o f V ( x )

a l o n g t r a j e c t o r i e s o f ( 4 . 1 )

0

( c ) U s i n g t h e f a c t t h a t x x k x k

2

, a n d t h a t k P h ( x ) k k P k k h ( x ) k , h o w s m a l l a v a l u e ( i n t e r m s o f

k P k ) o f t h e r a t i o k h ( x ) k k x k w i l l a l l o w y o u t o c o n c l u d e t h a t V

_

( x ( t ) ) 0 f o r x ( t ) 0 6 N o w

a r g u e t h a t y o u c a n i n d e e d l i m i t k h ( x ) k k x k t o t h i s s m a l l a v a l u e b y c h o o s i n g a s m a l l e n o u g h

_

0 . B y n e i g h b o r h o o d o f t h e e q u i l i b r i u m . I n t h i s n e i g h b o r h o o d , t h e r e f o r e , V ( x ( t ) ) 0 f o r x ( t ) 6

L y a p u n o v ' s d i r e c t m e t h o d , t h i s i m p l i e s a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e e q u i l i b r i u m p o i n t .

E x e r c i s e 1 3 . 8 F o r t h e d i s c r e t e - t i m e L T I s y s t e m x ( k + 1 ) A x ( k ) , l e t V ( x ) x

0

P x , w h e r e P i s a

s y m m e t r i c , p o s i t i v e d e n i t e m a t r i x . W h a t c o n d i t i o n w i l l g u a r a n t e e t h a t V ( x ) i s a L y a p u n o v f u n c t i o n

f o r t h i s s y s t e m W h a t c o n d i t i o n i n v o l v i n g A a n d P w i l l g u a r a n t e e a s y m p t o t i c s t a b i l i t y o f t h e s y s t e m

( E x p r e s s y o u r a n s w e r s i n t e r m s o f t h e p o s i t i v e s e m i d e n i t e n e s s a n d d e n i t e n e s s o f a m a t r i x . )

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6.241J / 16.338J Dynamic Systems and Control

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