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7/21/2019 mmc bon
1/99
1
U n i v e r s i t P a u l S a b a t i e r T o u l o u s e 3
P O L Y C O P I E D E
M E C A N I Q U E D E S M I L I E U X C O N T I N U S
E L A S T I C I T E L I N E A I R E
v e r s i o n 1 . 5
U n i v e r s i t P a u l S a b a t i e r , T o u l o u s e 3
M e n t i o n S C I E N C E S P O U R L ' I N G E N I E U R
D p a r t e m e n t d ' I n g n i e r i e U P S S I T E C H
L i c e n c e s d e g n i e d e l ' h a b i t a t E n H a , d e g n i e c i v i l G C G E O ( L 3 )
U n i v e r s i t P a u l S a b a t i e r T o u l o u s e I I I - U n i v e r s i t d e T o u l o u s e
1 1 8 , r o u t e d e N a r b o n n e - F R 3 1 0 6 2 T o u l o u s e F r a n c e
E r i c k R i n g o t
e - m a i l : e r i c k . r i n g o t @ u n i v - t l s e 3 . f r
7/21/2019 mmc bon
2/99
A v a n t - P r o p o s
r v i s i o n s d u d o c u m e n t
n d a t e a u t e u r - c o r r e c t e u r n a t u r e d e l a m o d i c a t i o n
1 . 0 a v r i l 2 0 1 0 E . R i n g o t -
1 . 1 s e p t e m b r e 2 0 1 0 E . R i n g o t - c o r r e c t i o n s c o q u i l l e s .
1 . 2 j u i n 2 0 1 1 E . R i n g o t - a j o u t d e s r s u m s d e n d e c h a p i t r e .
- c o r r e c t i o n s m i n e u r e s e t c o m p l m e n t s d a n s
l e c h a p i t r e d f o r m a t i o n s .
1 . 3 f v r i e r 2 0 1 2 E . R i n g o t - c o r r e c t i o n d u c h a p i t r e c i n m a t i q u e e t
r e m i s e e n f o r m e d e s g r a p h e s e t i m a g e s .
1 . 4 o c t o b r e 2 0 1 2 E . R i n g o t - c h a p i t r e c o n t r a i n t e s : e l l i p s o d e d e L a m -
c h a m p s s c a l a i r e s , v e c t o r i e l s , t e n s o r i e l s .
- c h a p i t r e c i n m a t i q u e : r e m i s e e n f o r m e
d e s g u r e s .
1 . 5 n o v e m b r e 2 0 1 2 E . R i n g o t - c h a p i t r e a n a l y s e : c o r r e c t i o n s e t q q u e s
a j o u t s d e c o m m e n t a i r e s .
a c q u i s i t i o n d e c o m p t e n c e s
L a m c a n i q u e d e s m i l i e u x c o n t i n u s , l ' l a s t i c i t l i n a i r e e n p a r t i c u l i e r , e s t l ' o r i g i n e d e b o n n o m b r e d e t h o r i e s
m a t h m a t i q u e s v e n a n t e n s u p p o r t l a c o n s t r u c t i o n ( g n i e m c a n i q u e o u g n i e c i v i l ) . L e b u t d e c e c o u r s
e s t d e p e r m e t t r e l ' a c q u i s i t i o n d e n o u v e l l e s c o m p t e n c e s p a r l ' t u d i a n t q u i s e r a m m e d e c o m p r e n d r e l e
v o c a b u l a i r e , l e s c o n c e p t s e t l e s m t h o d e s m i s e n o e u v r e d a n s l e s c o d e s d e c a l c u l o u l e s r g l e s d e c a l c u l
i n t e r n a t i o n a l e s . L e s p r e m i e r s o u t i l s m a t r i s s p a r t o u t b o n i n g n i e u r s o n t a i n s i m i s l a p o r t e d e s t u d i a n t s
d e l i c e n c e L 3 .
c o n t e n u
L ' o b j e t d e l a m c a n i q u e d e s m i l i e u x c o n t i n u s ( m m c ) e s t l ' t u d e d u c o m p o r t e m e n t d e m i l i e u x c o n t i n u s q u i
r e s p e c t e n t l ' h y p o t h s e d e c o n t i n i t . C e c o u r s d e 3 m e a n n e d e l i c e n c e d e m c a n i q u e e s t v o l o n t a i r e m e n t
r e s t r e i n t l ' t u d e d e s s o l i d e s l a s t i q u e s , d a n s l ' h y p o t h s e d e s p e t i t e s p e r t u r b a t i o n s .
G l o b a l e m e n t , l e c o u r s a b o r d e l e s n o t i o n s s u i v a n t e s :
1 . L a c i n m a t i q u e e x p l i q u e c e q u ' e s t l ' h y p o t h s e d e c o n t i n u i t e t t r a i t e d e s d p l a c e m e n t s e t d e s d f o r m a -
t i o n s d e s s o l i d e s ;
2 . L a s t a t i q u e a b o r d e l e s q u e s t i o n s d e f o r c e s i n t e r n e s e t i n t r o d u i t l e c o n c e p t d e c o n t r a i n t e s e t l e u r s
p r o p r i t s ;
3 . L e s l o i s d e c o m p o r t e m e n t d e s m a t r i a u x t a b l i s s e n t d e s p o n t s e n t r e l e s c o n t r a i n t e s e t l e s d f o r m a t i o n s .
L a l o i l a s t i q u e d e s m i l i e u x h o m o g n e s i s o t r o p e s e s t d t a i l l e ;
4 . C e q u ' e s t u n p r o b l m e d e m c a n i q u e d e s m i l i e u x c o n t i n u s e t l e s m t h o d e s g n r a l e s d e r s o l u t i o n e n
l a s t i c i t .
2
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3
L e s d e u x d e r n i e r s c h a p i t r e s p r s e n t e n t d e s l m e n t s d e c a l c u l v e c t o r i e l e t l e s p r i n c i p a l e s f o r m u l e s d ' l a s t i c i t
d a n s d i r e n t s s y s t m e s d e p r o j e c t i o n . U n r e c u e i l d ' e x e r c i c e s f a i s a n t l ' o b j e t d ' u n a u t r e d o c u m e n t e s t a s s o c i
c e c o u r s ; i l c o n t i e n t l e s s u j e t s a b o r d s a u c o u r s d e s t r a v a u x d i r i g s .
O n t r o u v e r a l e s m i s e s j o u r d e c e c o u r s e t d e s e s a n n e x e s l ' a d r e s s e :
h t t p s : / / s i t e s . g o o g l e . c o m / s i t e / s c i e n c e s p o u r l i n g e n i e u r /
p r r e q u i s
C o m m e p o u r t o u t e s c i e n c e , l a m c a n i q u e a d o p t e l e s m a t h m a t i q u e s c o m m e l a n g a g e . L e n i v e a u d e m a -
t h m a t i q u e r e q u i s p o u r l a b o n n e c o m p r h e n s i o n d e c e c o u r s e s t c o n n u c o m m e r e l e v a n t d u p r o g r a m m e d e
m a t h m a t i q u e s p o u r l ' i n g n i e u r d i s p e n s j u s q u ' a u n i v e a u L 2 d e l ' e n s e i g n e m e n t s u p r i e u r ( c l a s s e s p r p a r a -
t o i r e s a u x g r a n d e s c o l e s e t l i c e n c e s e s s c i e n c e s ) . D e c o u r t s r a p p e l s m a i l l e n t c i o u l l e p r s e n t p o l y c o p i
l o r s q u e l e r d a c t e u r l ' a j u g u t i l e s a n s q u e c e l a p r s e n t e l e c a r a c t r e d e r i g u e u r e t d ' e x h a u s t i v i t d ' u n e
d m o n s t r a t i o n m a t h m a t i q u e .
L e s l e c t e u r s s o n t d o n c i n v i t s c o m p l t e r l e u r s c o n n a i s s a n c e s , l e c a s c h a n t , p a r l a l e c t u r e e t l a p r a t i q u e
d ' e x e r c i c e s d a n s d e s o u v r a g e s d e m a t h m a t i q u e s a p p r o p r i s
1
.
L e s m a t h m a t i q u e s l m e n t a i r e s c o m m e l e s r g l e s d e p r o p o r t i o n n a l i t , l a r s o l u t i o n d e s y s t m e s d ' q u a t i o n s
l i n a i r e s , l a t r i g o n o m t r i e , l e s p r o p r i t s d u c e r c l e , l ' a r i t h m t i q u e , e t c . . . s o n t s u p p o s e s m a t r i s e s .
m a t h m a t i q u e s
E s p a c e s v e c t o r i e l s e t a n e s . C a l c u l m a t r i c i e l : m a t r i c e , p r o d u i t d e m a t r i c e s , a s s o c i a t i v i t , t r a n s p o s e , i n v e r s e ,
p o l y n m e c a r a c t r i s t i q u e , v a l e u r s e t v e c t e u r s p r o p r e s . G o m t r i e E u c l i d i e n n e l m e n t a i r e : t r i a n g l e r e c t a n g l e ,
c e r c l e , t r i g o n o m t r i e . P r o d u i t v e c t o r i e l , p r o d u i t s c a l a i r e , p r o d u i t m i x t e . q u a t i o n e t r e p r s e n t a t i o n p a r a m -
t r i q u e d ' u n e c o u r b e e t d ' u n e s u r f a c e . C o o r d o n n e s c a r t s i e n n e s e t c y l i n d r i q u e s . F o n c t i o n , d r i v e . F o n c t i o n s
d e p l u s i e u r s v a r i a b l e s , d r i v e p a r t i e l l e , d i r e n t i e l l e . F o n c t i o n s v e c t o r i e l l e s , a n a l y s e v e c t o r i e l l e . C a l c u l i n t -
g r a l e t c a l c u l d i r e n t i e l . I n t g r a l e s c u r v i l i g n e s , i n t g r a l e s d e s u r f a c e , i n t g r a l e s d e v o l u m e . F l u x d ' u n v e c t e u r
t r a v e r s u n e s u r f a c e . T h o r m e s d e l a d i v e r g e n c e ( G r e e n , S t o c k e s , O s t r o g r a d s k i ) .
m c a n i q u e
F o r c e , m o m e n t d ' u n e f o r c e , t o r s e u r . M c a n i q u e d u s o l i d e i n d f o r m a b l e : t o r s e u r c i n m a t i q u e , t o r s e u r d y n a -
m i q u e . P r i n c i p e f o n d a m e n t a l d e l a d y n a m i q u e . S t a t i q u e .
1 . L a b i b l i o g r a p h i e e s t a b o n d a n t e . L ' a u t e u r r e c o m m a n d e l a l e c t u r e d e s o u v r a g e s d e s e s c o l l g u e s d e l ' U n i v e r s i t d e s S c i e n c e s
d e T o u l o u s e : T e c h n i q u e s m a t h m a t i q u e s p o u r l a p h y s i q u e 1 e r c y c l e V o l . 1 e t V o l . 2 d e G a b r i e l S o u m , R a y m o n d J a g u t , P i e r r e
D u b o u i x p a r t i c u l i r e m e n t p d a g o g i q u e s e t b i e n i l l u s t r s .
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T a b l e d e s m a t i r e s
1 D e s c r i p t i o n c i n m a t i q u e d ' u n m i l i e u c o n t i n u 1 2
1 . 1 h y p o t h s e d e c o n t i n u i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
1 . 1 . 1 n o t i o n d e s o l i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
1 . 1 . 2 c o n t i n u i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
1 . 2 m o d l e s d e d e s c r i p t i o n c i n m a t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
1 . 2 . 1 r f r e n t i e l e t r e p r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3
1 . 2 . 2 d e s c r i p t i o n l a g r a n g i e n n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4
1 . 2 . 3 d e s c r i p t i o n e u l r i e n n e - d r i v e p a r t i c u l a i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5
1 . 3 C h a m p d e d f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
1 . 3 . 1 t e n s e u r g r a d i e n t d u c h a m p d e d p l a c e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
1 . 3 . 2 t r a n s f o r m a t i o n d e G r e e n - L a g r a n g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
1 . 3 . 3 L i n a r i s a t i o n d u t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 8
1 . 3 . 4 I n t e r p r t a t i o n - c o m p o s a n t e s d e d f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
1 . 3 . 4 . 1 i n t e r p r t a t i o n d u t e n s e u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
1 . 3 . 4 . 2 c o m p o s a n t e s d e e n c o o r d o n n e s c a r t s i e n n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0
1 . 3 . 5 a n a l y s e d e s c o m p o s a n t e s : l o n g a t i o n & d i s t o r s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0
1 . 3 . 5 . 1 l o n g a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0
1 . 3 . 5 . 2 d i s t o r s i o n ( g l i s s e m e n t ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
1 . 3 . 5 . 3 d i l a t a t i o n v o l u m i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
1 . 4 D f o r m a t i o n s & d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3
1 . 4 . 1 d f o r m a t i o n s p r i n c i p a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3
1 . 4 . 2 d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s d e d f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
1 . 4 . 3 i n v a r i a n t s d u t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
1 . 5 R e p r s e n t a t i o n g r a p h i q u e d ' u n t a t d e d f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4
1 . 5 . 1 c e r c l e d e M o h r d e s d f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
1 . 5 . 2 a u t r e s r e p r s e n t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
1 . 6 M t r o l o g i e d e s d f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
1 . 6 . 1 j a u g e s d e d f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
1 . 6 . 1 . 1 r s i s t o r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
1 . 6 . 1 . 2 j a u g e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
1 . 6 . 1 . 3 m e s u r e d e l a v a r i a t i o n d e r s i s t a n c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
4
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T A B L E D E S M A T I R E S 5
1 . 6 . 1 . 4 c o n d i t i o n n e u r d e j a u g e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
1 . 6 . 2 r o s e t t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
1 . 6 . 2 . 1 m a t r i e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
1 . 6 . 2 . 2 d p o u i l l e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
1 . 7 P r o b l m e i n v e r s e - c o m p a t i b i l i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0
1 . 7 . 1 c o m p a t i b i l i t d ' u n t e n s e u r a v e c u n c h a m p d e d p l a c e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1
1 . 7 . 2 i n t g r a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2
1 . 7 . 3 c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s d u s o l i d e e x p r i m e s e n d p l a c e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2
1 . 8 E n r s u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3
2 C o n t r a i n t e s 3 4
2 . 1 o b j e c t i f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4
2 . 2 i n t e r a c t i o n s - c a d r e N e w t o n i e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4
2 . 2 . 1 e s p a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4
2 . 2 . 2 t e m p s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4
2 . 2 . 3 o r i g i n e d e s f o r c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5
2 . 2 . 4 p r i n c i p e f o n d a m e n t a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6
2 . 2 . 4 . 1 d y n a m i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6
2 . 2 . 4 . 2 s t a t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6
2 . 2 . 5 a c t i o n - r a c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6
2 . 3 c h a m p d e c o n t r a i n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7
2 . 3 . 1 p a r t i t i o n n e m e n t d ' u n s o l i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7
2 . 3 . 2 h y p o t h s e s u r l a n a t u r e d e s f o r c e s i n t e r n e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8
2 . 3 . 3 c o n t r a i n t e n o r m a l e e t c o n t r a i n t e d e c i s a i l l e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9
2 . 4 p r o p r i t s d e s c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9
2 . 4 . 1 t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 9
2 . 4 . 2 q u i l i b r e d y n a m i q u e d ' u n d o m a i n e s o l i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1
2 . 4 . 2 . 1 r s u l t a n t e d y n a m i q u e : q u a t i o n d e l ' q u i l i b r e l o c a l . . . . . . . . . . . . . . 4 2
2 . 4 . 2 . 2 m o m e n t d y n a m i q u e : s y m t r i e d u t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . 4 3
2 . 5 D i a g o n a l i s a t i o n d u t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4
2 . 5 . 1 c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4
2 . 5 . 2 d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s d e c o n t r a i n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4
2 . 5 . 3 i n v a r i a n t s d u t e n s e u r d e s c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5
2 . 5 . 4 c o m p o s a n t e s s p h r i q u e e t d v i a t o r i q u e d ' u n t e n s e u r c o n t r a i n t e . . . . . . . . . . . . . 4 6
2 . 5 . 4 . 1 d n i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6
2 . 5 . 4 . 2 i n v a r i a n t s d u t e n s e u r d v i a t e u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6
2 . 6 r e p r s e n t a t i o n g r a p h i q u e d ' u n t a t d e c o n t r a i n t e e n u n p o i n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
2 . 6 . 1 E l l i p s o d e d e L a m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
2 . 6 . 2 t r i c e r c l e d e M o h r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7
2 . 6 . 3 c e r c l e d e M o h r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
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6 T A B L E D E S M A T I R E S
2 . 6 . 3 . 1 u n c a s p a r t i c u l i e r d e l ' t a t d e c o n t r a i n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
2 . 6 . 3 . 2 c o n s t r u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
2 . 6 . 3 . 3 g n r a l i s a t i o n ( p r o b l m e i n v e r s e ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0
2 . 7 c o n d i t i o n s a u x l i m i t e s d u s o l i d e e x p r i m e s e n c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1
2 . 8 M t r o l o g i e d e s c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
2 . 8 . 1 p h o t o l a s t i c i t p a r t r a n s m i s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
2 . 8 . 2 p h o t o l a s t i c i t p a r r e x i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4
2 . 8 . 3 a u t r e s m t h o d e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4
2 . 9 E n r s u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5
3 L o i d e c o m p o r t e m e n t l a s t i q u e l i n a i r e 5 6
3 . 1 i n t r o d u c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 6
3 . 2 h y p o t h s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
3 . 2 . 1 e x p r i m e n t a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
3 . 2 . 1 . 1 c o m p o r t e m e n t d e l ' a c i e r ( t e s t d e t r a c t i o n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
3 . 2 . 1 . 2 c o m p o r t e m e n t d u b t o n ( t e s t d e c o m p r e s s i o n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8
3 . 2 . 2 c o n s q u e n c e s s u r l e s d f o r m a t i o n s d ' o r i g i n e m c a n i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9
3 . 2 . 3 d f o r m a t i o n s t h e r m i q u e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0
3 . 3 f o r m u l a t i o n s d e l a l o i l a s t i q u e l i n a i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0
3 . 3 . 1 l o i d e H o o k e - D u h a m e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0
3 . 3 . 2 l o i d e G a b r i e l L a m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
3 . 3 . 3 n o t a t i o n d e V o i g t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1
3 . 3 . 4 r e l a t i o n s e n t r e c o e c i e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2
3 . 3 . 5 f o r m u l a t i o n s c r o i s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3
3 . 4 p u i s s a n c e , t r a v a i l , n e r g i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3
3 . 4 . 1 p r i n c i p e d e s p u i s s a n c e s v i r t u e l l e s P P V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3
3 . 4 . 1 . 1 t h o r m e g n r a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 3
3 . 4 . 1 . 2 c a s d u c h a m p d e v i t e s s e v i r t u e l l e c i n m a t i q u e m e n t a d m i s s i b l e . . . . . . . . 6 4
3 . 4 . 1 . 3 c a s o u e s t l e c h a m p d e v i t e s s e r e l : t h o r m e d e l ' n e r g i e c i n t i q u e . . 6 4
3 . 4 . 2 n e r g i e l a s t i q u e v o l u m i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5
3 . 4 . 3 t h o r m e d e l ' n e r g i e m c a n i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5
3 . 5 c r i t r e s d e l i m i t e l a s t i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5
3 . 5 . 1 c r i t r e d e R a n k i n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6
3 . 5 . 2 c r i t r e d e T r e s c a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6
3 . 5 . 3 c r i t r e d e V o n M i s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6
3 . 6 E n r s u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 7
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T A B L E D E S M A T I R E S 7
4 M t h o d e s d e r s o l u t i o n d e s p r o b l m e s d ' l a s t i c i t 6 8
4 . 1 p r o b l m e d ' l a s t i c i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8
4 . 1 . 1 p o s i t i o n d u p r o b l m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8
4 . 1 . 2 o b j e c t i f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8
4 . 1 . 3 r c a p i t u l a t i o n d e s q u a t i o n s d i s p o n i b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9
4 . 1 . 3 . 1 q u a t i o n s c o n c e r n a n t l e c h a m p d e c o n t r a i n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9
4 . 1 . 3 . 2 q u a t i o n s c o n c e r n a n t l e c h a m p d e d f o r m a t i o n e t l e c h a m p d e d p l a c e m e n t . 6 9
4 . 1 . 3 . 3 l o i d e c o m p o r t e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9
4 . 1 . 3 . 4 b i l a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 9
4 . 1 . 3 . 5 m t h o d o l o g i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
4 . 2 M t h o d e d e N a v i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
4 . 2 . 1 p r i n c i p e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
4 . 2 . 2 q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1
4 . 2 . 3 c h a m p d e d p l a c e m e n t c i n m a t i q u e m e n t a d m i s s i b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
4 . 3 M t h o d e d e B e l t r a m i - M i t c h e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
4 . 3 . 1 p r i n c i p e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
4 . 3 . 2 q u a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2
4 . 3 . 3 c a s d e s f o r c e s d e v o l u m e u n i f o r m e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3
4 . 3 . 4 c h a m p d e c o n t r a i n t e s t a t i q u e m e n t a d m i s s i b l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
4 . 4 u n i c i t d e l a s o l u t i o n d ' u n p r o b l m e d ' l a s t i c i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
4 . 4 . 1 p r i n c i p e d e s u p e r p o s i t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
4 . 4 . 2 u n i c i t d e l a s o l u t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
4 . 4 . 3 c h a m p
u C A e t c h a m p S A a s s o c i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
4 . 5 M t h o d e d e R i t z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4
4 . 5 . 1 t h o r m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 5
4 . 5 . 2 a p p l i c a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7
4 . 5 . 3 m t h o d e d e s l m e n t s n i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7
4 . 6 l a s t i c i t b i d i m e n s i o n n e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8
4 . 6 . 1 f o r m e d e s t e n s e u r s - t e n s e u r s r d u i t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8
4 . 6 . 2 q u a t i o n d e c o m p a t i b i l i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 9
4 . 6 . 3 t r a c e d e s t e n s e u r s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0
4 . 6 . 4 q u i l i b r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0
4 . 6 . 5 r e l a t i o n c o n t r a i n t e s - d f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 0
4 . 6 . 6 n e r g i e v o l u m i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1
4 . 6 . 7 q u a t i o n s d e B e l t r a m i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1
4 . 6 . 8 f o n c t i o n d e A i r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2
4 . 6 . 8 . 1 L e s c o n t r a i n t e s d r i v e n t d ' u n e f o n c t i o n u n i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2
4 . 6 . 8 . 2 p r o p r i t d e l a f o n c t i o n d 'A i r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3
4 . 6 . 8 . 3 f o r m u l a t i o n d ' u n p r o b l m e d ' l a s t i c i t p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4
4 . 7 l a s t i c i t a x i s y m t r i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4
4 . 8 E n r s u m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4
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8 T A B L E D E S M A T I R E S
5 D n i t i o n s & t h o r m e s d e l ' a n a l y s e v e c t o r i e l l e 8 6
5 . 1 n o t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6
5 . 1 . 1 N o t a t i o n d e s d r i v e s p a r t i e l l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6
5 . 1 . 2 R g l e d e s o m m a t i o n i m p l i c i t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6
5 . 1 . 3 D i r e n t s p r o d u i t s e t n o t a t i o n s a s s o c i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 6
5 . 2 S y s t m e s d e p r o j e c t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7
5 . 3 O p r a t e u r s v e c t o r i e l s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 7
5 . 3 . 1 g r a d i e n t grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8
5 . 3 . 1 . 1 v e c t e u r g r a d i e n t d ' u n c h a m p s c a l a i r e
grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8
5 . 3 . 1 . 2 o p r a t e u r s y m b o l i q u e
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8
5 . 3 . 1 . 3 t e n s e u r g r a d i e n t d ' u n c h a m p v e c t o r i e l grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 8
5 . 3 . 2 d i v e r g e n c e div . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9
5 . 3 . 2 . 1 d i v e r g e n c e s c a l a i r e d ' u n c h a m p v e c t o r i e l div . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9
5 . 3 . 2 . 2 d i v e r g e n c e v e c t o r i e l l e d ' u n t e n s e u r
div . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9
5 . 3 . 3 v e c t e u r r o t a t i o n n e l
rot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9
5 . 3 . 4 l a p l a c i e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9
5 . 3 . 4 . 1 l a p l a c i e n d ' u n c h a m p s c a l a i r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9
5 . 3 . 4 . 2 l a p l a c i e n d ' u n c h a m p v e c t o r i e l
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 9
5 . 3 . 4 . 3 l a p l a c i e n d ' u n c h a m p t e n s o r i e l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0
5 . 4 f o r m u l e s d ' a n a l y s e v e c t o r i e l l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0
5 . 4 . 1 i d e n t i t s r e m a r q u a b l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0
5 . 4 . 2 o p r a t e u r s a p p l i q u s d e s p r o d u i t s d e f o n c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0
5 . 4 . 3 f o r m e s i n t g r a l e s d ' a n a l y s e v e c t o r i e l l e : D g = D g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0 5 . 4 . 3 . 1 n o t a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 0
5 . 4 . 3 . 2 t h o r m e d ' O s t r o g r a d s k y ( d i t d e u x - d i v e r g e n c e ) . . . . . . . . . . . . . 9 1
5 . 4 . 3 . 3 t h o r m e d e S t o c k e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2
6 F o r m u l a i r e d ' l a s t i c i t l i n a i r e 9 3
6 . 1 h y p o t h s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3
6 . 2 q u i l i b r e l o c a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3
6 . 2 . 1 t e n s e u r c o n t r a i n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3
6 . 2 . 2 v e c t e u r c o n t r a i n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3
6 . 2 . 3 q u i l i b r e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3
6 . 3 c o n d i t i o n s l i m i t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4
6 . 3 . 1 C L e n c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4
6 . 3 . 2 C L e n d p l a c e m e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4
6 . 4 r e l a t i o n d p l a c e m e n t s - d f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4
6 . 4 . 1 t e n s e u r d f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 4
6 . 4 . 2 q u a t i o n s d e c o m p a t i b i l i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5
6 . 5 c r i t r e s d ' l a s t i c i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5
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T A B L E D E S M A T I R E S 9
6 . 6 l o i d e c o m p o r t e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 5
6 . 7 q u a t i o n s d e N a v i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6
6 . 8 q u a t i o n s d e B e l t r a m i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6
6 . 9 l a s t i c i t p l a n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6
6 . 9 . 1 f o r c e s d e v o l u m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 6
6 . 9 . 2 c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7
6 . 9 . 3 q u i l i b r e l o c a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7
6 . 9 . 4 d p l a c e m e n t s & d f o r m a t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 7
6 . 9 . 5 l o i d e H o o k e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8
6 . 9 . 6 f o n c t i o n d 'A i r y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 8
6 . 9 . 7 P r o p r i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9
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T a b l e d e s g u r e s
1 . 1 . 1 d i s c o n t i n u i t d e l a m a t i r e - m a c r o v u e d ' u n b t o n : i n t e r f a c e g r a n u l a t - m o r t i e r - i m a g e e n
m i c r o s c o p i e p i u o r e s c e n c e L M D C I N S A / U P S T o u l o u s e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2
1 . 1 . 2 d i s c o n t i n u i t d e l a m a t i r e - m i c r o v u e l e c t r o n i q u e d ' u n e p t e d e c i m e n t : c r i s t a l d e P o r t l a n d i t e
( c h a u x ) e t g e l d e s i l i c a t e d e c a l c i u m h y d r a t ( C - S - H ) - i m a g e L M D C I N S A / U P S T o u l o u s e . . 1 3
1 . 1 . 3 m o d e s d e r u p t u r e s s e l o n l e m o u v e m e n t r e l a t i f d e s l v r e s d e l a s s u r e . . . . . . . . . . . . . . 1 3
1 . 2 . 1 c o n g u r a t i o n s i n i t i a l e ( i n s t a n t t0 ) e t p o s t r i e u r e ( i n s t a n t t ) d ' u n s o l i d e : v e c t e u r d p l a c e m e n t 1 4
1 . 3 . 1 t r a n s f o r m a t i o n d ' u n v e c t e u r i n n i m e n t p e t i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 6
1 . 3 . 2 t r a n s f o r m a t i o n d ' u n d i d r e i n n i t s i m a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7
1 . 3 . 3 t r a n s l a t i o n p u i s r o t a t i o n p u i s d f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9
1 . 3 . 4 l o n g a t i o n : v a r i a t i o n l o c a l e d e l o n g u e u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
1 . 3 . 5 d i s t o r s i o n : v a r i a t i o n l o c a l e d ' a n g l e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1
1 . 3 . 6 v a r i a t i o n l o c a l e d e v o l u m e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2
1 . 4 . 1 d f o r m a t i o n s a n s d i s t o r s i o n d ' u n p a r a l l l p i p d e b t i s u r l e s a x e s p r i n c i p a u x . . . . . . . . . 2 3
1 . 5 . 1 d i d r e { n , t } . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 5
1 . 6 . 1 p r i n c i p e & p h o t o d ' u n e j a u g e d e d f o r m a t i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 6
1 . 6 . 2 j a u g e s c o l l e s s u r u n e p r o u v e t t e d e b o i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 7
1 . 6 . 3 s c h m a d u p o n t d e W h e a t s t o n e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
1 . 6 . 4 C o n d i t i o n n e u r p o n t d e W h e a t s t o n e ( d o c . V i s h a y ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 8
1 . 6 . 5 r o s e t t e s : 4 5 , 1 2 0 ( d o c H B M ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9
1 . 6 . 6 c e r c l e d e M o h r d e l a r o s e t t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0
1 . 7 . 1 p a r t i t i o n d e l ' e n v e l o p p e :
S =
S f S u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2
2 . 2 . 1 p r i n c i p e f o n d a m e n t a l d e l a d y n a m i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5
2 . 2 . 2 s o l i d e c o n s i d r c o m m e l ' u n i o n d e s e s d e u x p a r t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 6
2 . 2 . 3 s o l i d e d c o m p o s e n d e u x p a r t i e s - f o r c e s d ' i n t e r a c t i o n s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7
2 . 3 . 1 s o l i d e s o u m i s d e s f o r c e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8
2 . 3 . 2 s e c t i o n d u s o l i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8
2 . 4 . 1 l m e n t d e v o l u m e t t r a d r i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0
2 . 4 . 2 s o u s - d o m a i n e e x t r a i t d ' u n s o l i d e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2
2 . 4 . 3 r c i p r o c i t d e s c o n t r a i n t e s d e c i s a i l l e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4
2 . 5 . 1 c o n t r a i n t e p r i n c i p a l e e t d i r e c t i o n p r i n c i p a l e d e c o n t r a i n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5
2 . 6 . 1 c o n t r a i n t e n o r m a l e e t c o n t r a i n t e d e c i s a i l l e m e n t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8
1 0
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T A B L E D E S F I G U R E S 1 1
2 . 6 . 2 t r i c e r c l e d e M o h r ( p o u r l e s c o n t r a i n t e s ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 8
2 . 6 . 3 t a t p l a n d e c o n t r a i n t e ( c a s d u p l a n p e r p e n d i c u l a i r e l ' a x e I I I ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9
2 . 6 . 4 c e r c l e d e M o h r d e s c o n t r a i n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1
2 . 6 . 5 v e c t e u r s n o r m a u x e t t a n g e n t s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2
2 . 6 . 6 c o n s t r u c t i o n d u c e r c l e d e M o h r l o r s q u e l e s c o n t r a i n t e s p r i n c i p a l e s s o n t i n c o n n u e s . . . . . . 5 3
2 . 7 . 1 p a r t i t i o n d e l ' e n v e l o p p e : S = S f S u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3
2 . 8 . 1 s c h m a d e p o l a r i s c o p e e m p l o y e n p h o t o l a s t i c i m t r i e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4
2 . 8 . 2 d i r e n t e s t a p e s d e l ' t a t d e c o n t r a i n t e d ' u n m o d l e e n a r a l d i t e . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4
2 . 8 . 3 i m a g e e n p h o t o l a s t i c i m t r i e p a r r e x i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5
3 . 1 . 1 c o u r b e d f o r m a t i o n - n o m b r e d e c y c l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 7
3 . 2 . 1 p r o u v e t t e d e t r a c t i o n e n a c i e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8
3 . 2 . 2 p r o u v e t t e s d e b t o n a p r s e s s a i d e c o m p r e s s i o n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 9
3 . 2 . 3 l o i t y p e d f o r m a t i o n - c o n t r a i n t e p o u r l e b t o n e n c o m p r e s s i o n ( , < 0) . . . . . . . . . . . . . 5 9
3 . 2 . 4 t o r s i o n d ' u n b a r r e a u c y l i n d r i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0
3 . 5 . 1 r e p r s e n t a t i o n d e s c o n t r a i n t e s d e V o n M i s e s d a n s u n c o d e d e c a l c u l b i d i m e n s i o n n e l . . . . . 6 7
4 . 1 . 1 D o n n e s d ' u n p r o b l m e d ' l a s t i c i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 8
4 . 1 . 2 d c o u p a g e d ' u n s o l i d e 2 D e n l m e n t s n i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
4 . 1 . 3 m t h o d o l o g i e d e r s o l u t i o n d ' u n p r o b l m e d ' l a s t i c i t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 0
4 . 5 . 1 t r a v a i l v e r s u s p o t e n t i e l d ' u n e f o r c e - c a s d u r e s s o r t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 6
4 . 5 . 2 m a i l l a g e d ' u n e c o q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8
4 . 6 . 1 t a t s p l a n s d e d f o r m a t i o n & d e c o n t r a i n t e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8
4 . 7 . 1 E x e m p l e d e p r o b l m e a x i s y m t r i q u e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 4
5 . 4 . 1 d o m a i n e s e t l e u r c o n t o u r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1
L e p r s e n t d o c u m e n t a t r d i g l ' a i d e d e L
Y
X + M i K T e K ( v e r s i o n i n t e r a c t i v e d e L A
T E
X ) . L e s d e s s i n s o n t
t r a l i s s l ' a i d e d e l a c o m p o s a n t e g r a p h i q u e D r a w d e O p e n O c e .
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C h a p i t r e 1
D e s c r i p t i o n c i n m a t i q u e d ' u n m i l i e u
c o n t i n u
1 . 1 h y p o t h s e d e c o n t i n u i t
1 . 1 . 1 n o t i o n d e s o l i d e
L ' e x p o s p o r t e s u r l ' t u d e d e s m o u v e m e n t s e t d e s d f o r m a t i o n s d e s s o l i d e s . P o u r s i m p l i e r , o n c o n v i e n d r a
q u ' u n s o l i d e p o s s d e u n e f o r m e p r o p r e , c ' e s t - - d i r e q u ' i l f a u t l u i a p p l i q u e r d e s e o r t s i m p o r t a n t s p o u r l u i
i m p o s e r u n p e t i t c h a n g e m e n t d e f o r m e , c e e n q u o i i l s e d i s t i n g u e d e s l i q u i d e s e t d e s g a z .
1 . 1 . 2 c o n t i n u i t
B i e n q u e l a m a t i r e s o i t d i s c o n t i n u e , c e q u e p e u t m e t t r e e n v i d e n c e n ' i m p o r t e q u e l l e o b s e r v a t i o n m i c r o s c o -
p i q u e v o i r e m a c r o s c o p i q u e o p r e s u r l a p l u p a r t d e s m a t r i a u x , l e s m c a n i c i e n s o n t b e s o i n d ' u n e h y p o t h e
d e c o n t i n u i t p e r m e t t a n t d e d c r i r e l e s g r a n d e u r s p h y s i q u e s p a r d e s c h a m p s d e f o n c t i o n s m a t h m a t i q u e s
a y a n t l e s b o n n e s p r o p r i t s d e c o n t i n u i t e t d e d r i v a b i l i t .
F i g u r e 1 . 1 . 1 d i s c o n t i n u i t d e l a m a t i r e - m a c r o v u e d ' u n b t o n : i n t e r f a c e g r a n u l a t - m o r t i e r - i m a g e e n
m i c r o s c o p i e p i u o r e s c e n c e L M D C I N S A / U P S T o u l o u s e .
C e t t e h y p o t h s e s ' a p p l i q u e q u a n d b i e n m m e d e s h t r o g n i t s a p p a r a i s s e n t d e s c h e l l e s m a c r o s c o p i q u e s .
I l e n v a a i n s i d u b t o n b i e n q u e l e s g r a n u l a t s e n c h a s s s d a n s l a p t e d e m o r t i e r s o n t b i e n v i s i b l e s .
N a t u r e l l e m e n t , i l e x i s t e a u s s i d e s s i t u a t i o n s o c e t t e h y p o t h s e d e c o n t i n u i t n e p e r m e t p l u s d e r e n d r e c o m p t e
d e l a r a l i t p h y s i q u e :
i l s ' a g i t p a r e x e m p l e d e s s o l i d e s p o s s d a n t u n e f r o n t i r e d l i m i t a n t d e u x m a t r i a u x d i s t i n c t s ; d a n s c e c a s
l e s d e u x d o m a i n e s s o n t t r a i t s s p a r m e n t c o m m e t a n t h o m o g n e s e t d e s q u a t i o n s d e c o n t i n u i t d c r i v e n t
l a s o l i d a r i t d e s d e u x p h a s e s ;
o u b i e n q u ' u n e d i s c o n t i n u i t a p p a r a i s s e d u f a i t d e l a p r o p a g a t i o n d ' u n e s s u r e . A c e p r o p o s , l e s m c a n i c i e n s
d e l a r u p t u r e d i s t i n g u e n t t r o i s m o d e s d e p r o p a g a t i o n ( F i g . 1 . 1 . 3 ) .
1 2
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13/99
1 . 2 . M O D L E S D E D E S C R I P T I O N C I N M A T I Q U E 1 3
F i g u r e 1 . 1 . 2 d i s c o n t i n u i t d e l a m a t i r e - m i c r o v u e l e c t r o n i q u e d ' u n e p t e d e c i m e n t : c r i s t a l d e P o r t -
l a n d i t e ( c h a u x ) e t g e l d e s i l i c a t e d e c a l c i u m h y d r a t ( C - S - H ) - i m a g e L M D C I N S A / U P S T o u l o u s e .
L e s m a t r i a u x c o m p o s i t e s ( p a r e x e m p l e l e s c o m p o s i t e s b r e s e t m a t r i c e d e c a r b o n e ) p e u v e n t f a i r e l ' o b j e t
d ' u n c a l c u l a p p r o x i m a t i f r e p o s a n t s u r u n e h y p o t h s e d e c o n t i n u i t e t p e u v e n t g a l e m e n t t r e a b o r d s a u
m o y e n d e t h o r i e s p l u s p r c i s e s ( d i t e d ' h o m o g n i s a t i o n ) q u a n d i l f a u t e n d i s t i n g u e r l e s d i r e n t e s p h a s e s .
P a r l a s u i t e , l ' h y p o t h s e d e c o n t i n u i t n o u s p e r m e t t r a d e d n i r d e s d e n s i t s v o l u m i q u e s d e c e r t a i n e s g r a n -
d e u r s p h y s i q u e s , p a r m i l e s q u e l l e s l a m a s s e v o l u m i q u e p a r e x e m p l e .
F i g u r e 1 . 1 . 3 m o d e s d e r u p t u r e s s e l o n l e m o u v e m e n t r e l a t i f d e s l v r e s d e l a s s u r e
1 . 2 m o d l e s d e d e s c r i p t i o n c i n m a t i q u e
1 . 2 . 1 r f r e n t i e l e t r e p r e s
L ' o b s e r v a t e u r , l e m c a n i c i e n d u s o l i d e , a p p a r t i e n t u n r f r e n t i e l d ' o b s e r v a t i o n . L e s v i t e s s e s e t a c c l r a -
t i o n s s o n t t a b l i e s d a n s c e r f r e n t i e l . N a t u r e l l e m e n t , i l c h e r c h e r a p r i v i l g i e r l e s r f r e n t i e l s G a l i l e n s d a n s
l e s q u e l s l e s l o i s N e w t o n n i e n n e s s o n t a p p l i c a b l e s ( c f . 2 . 2 . 1 ) .
L ' a p p a r t e n a n c e d ' u n r f r e n t i e l l a c l a s s e d e s r f r e n t i e l s G a l i l e n s d p e n d d u t y p e d ' a p p l i c a t i o n a u q u e l
l ' i n g n i e u r e s t c o n f r o n t . P a r e x e m p l e s i l a T e r r e c o n s t i t u e u n r f r e n t i e l G a l i l e n p l a u s i b l e p o u r l ' i n g n i e u r
c i v i l i l e n v a t o u t d i r e m m e n t p o u r l e m c a n i c i e n q u i s ' i n t r e s s e a u d c o l l a g e e t l a t r a j e c t o i r e d ' a r o n e f s
e t a u t r e s e n g i n s b a l l i s t i q u e s .
D a n s c e r f r e n t i e l , l a p o s i t i o n d e s p o i n t s d e l ' e s p a c e p e u v e n t t r e d c r i t s p a r l e u r s c o o r d o n n e s d a n s u n
r e p r e f o r m p a r u n e o r i g i n e e t u n j e u d e t r o i s a x e s i n d p e n d a n t s ( e n 3 D ) . P l u s i e u r s r e p r e s p e u v e n t t r e
a s s o c i s u n m m e r f r e n t i e l .
L e s r e p r e s p e u v e n t t r e d e n a t u r e c a r t s i e n n e , c y l i n d r i q u e , s p h r i q u e o u a t t a c h u n e s u r f a c e s e l o n c e q u e
l e m c a n i c i e n j u g e l e p l u s p e r t i n e n t . P a r e x e m p l e : r e p r e s c a r t s i e n s d n i s u n e r o t a t i o n p r s , r e p r e s e n
c o o r d o n n e s t o r i q u e s , e t c . . . L e c h o i x d u r e p r e e s t g u i d p a r d e s c o n s i d r a t i o n s d e s i m p l i c a t i o n d e s c a l c u l s
r s u l t a n t , n o t a m m e n t , d e l ' e x p l o i t a t i o n d e s y m t r i e s .
C ' e s t l ' i n t r i e u r d e c e r e p r e q u e s ' e e c t u e l a d e s c r i p t i o n d ' u n s o l i d e . D e u x p o i n t s d e v u e p e u v e n t t r e
a d o p t s c e t g a r d , c e l l e d e L a g r a n g e e t c e l l e d 'E u l e r .
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1 4 C H A P I T R E 1 . D E S C R I P T I O N C I N M A T I Q U E D ' U N M I L I E U C O N T I N U
1 . 2 . 2 d e s c r i p t i o n l a g r a n g i e n n e
F i g u r e 1 . 2 . 1 c o n g u r a t i o n s i n i t i a l e ( i n s t a n t t0 ) e t p o s t r i e u r e ( i n s t a n t t ) d ' u n s o l i d e : v e c t e u r d p l a c e m e n t
S o i t l e r e p r e o r t h o n o r m {R} = {0, e1 , e2 , e3} , l ' i n s t a n t t0 = 0 c h a q u e p o i n t M a p p a r t e n a n t a u s o l i d e p o s s d e d e s c o o r d o n n e s i n i t i a l e s X 1 , X 2 , X 3 . L e v e c t e u r p o s i t i o n i n i t i a l e e s t a i n s i :
M =
OM = X 1e1 + X 2e2 + X 3e3
s o i t , d e f a o n a b r g e e t e n u t i l i s a n t l a c o n v e n t i o n d e s o m m a t i o n i m p l i c i t e
1
:
M =
3
i =1
X i ei = X i ei
U n e d e s c r i p t i o n p o s s i b l e d e s t r a n s f o r m a t i o n s s u b i e s p a r l e s o l i d e c o n s i s t e c o n s i d r e r l a l o i d ' v o l u t i o n d e s
p o s i t i o n s d e c h a q u e p a r t i c u l e d u d i t s o l i d e . O n i n t r o d u i t a i n s i l e s c o o r d o n n e s x1 , x2 , x3 d u p o i n t m , r s u l t a n t d u d p l a c e m e n t d e M e n t r e l e s i n s t a n t s t0 e t t . P a r c o n s q u e n t l e v e c t e u r p o s i t i o n i n s t a n t a n e s ' c r i t d e l a f a o n s u i v a n t e :
m =Om =
3
i=1x i ei = x i ei
L e s c o o r d o n n e s x i d p e n d e n t l a f o i s d e s c o o r d o n n e s X j ( p o s i t i o n i n i t i a l e ) e t d u t ( t e m p s ) . D e s o r t e q u e :
m = m (M, t )
o u b i e n :
x1 = x1(X 1 , X 2 , X 3 , t )x2 = x2(X 1 , X 2 , X 3 , t )x3 = x3(X 1 , X 2 , X 3 , t )
( 1 . 2 . 1 )
R e m a r q u e 1 . O n d s i g n e r a p a r u n e l e t t r e m a j u s c u l e l a p o s i t i o n i n i t i a l e d ' u n p o i n t ( t e m p s t0 ) e t p a r u n e l e t t r e m i n u s c u l e s a p o s i t i o n i n s t a n t a n e a u t e m p s t .
L a v i t e s s e p e u t a l o r s t r e c a l c u l e p a r :
V (m, t ) =
dmdt
( 1 . 2 . 2 )
D e c o m p o s a n t e s c a r t s i e n n e s ( p a r e x e m p l e ) :V i = x it (X k , t ) k = 1 ..3 ( l a d r i v e p a r t i e l l e n e c o n c e r n e d o n c q u e l a v a r i a b l e d e t e m p s , l e s p o s i t i o n s i n i t i a l e s e n t a n t i n d p e n d a n t e s q u a n t e l l e s ) .
1 . l o r s q u ' u n i n d i c e e s t r p t d a n s l e t e r m e d e s o m m a t i o n , i l e s t c o n s i d r c o m m e m u e t e t l a s o m m a t i o n e s t i m p l i c i t e m e n t
t e n d u e a u d o m a i n e d e v a l e u r s d e c e t i n d i c e . P a r e x e m p l e : i i = 1 1 + 2 2 + 3 3 e t kk = 11 + 22 + 33 .
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15/99
1 . 2 . M O D L E S D E D E S C R I P T I O N C I N M A T I Q U E 1 5
E t d e m m e p o u r l ' a c c l r a t i o n :
(m, t ) =
dV dt
=d2mdt2
( 1 . 2 . 3 )
Q u i a u r a p o u r c o m p o s a n t e s :
i = 2x it 2
(X k , t ) k = 1 ..3 ( 1 . 2 . 4 )
L ' i n t r o d u c t i o n d u v e c t e u r d p l a c e m e n t
u =Mm n e c h a n g e p a s g r a n d c h o s e l a f o r m u l a t i o n , e n e e t 2 :
V (m, t ) =
OM
t(M, t )
0+
M m
t(M, t ) =
ut
(M, t ) =
dudt
(M, t ) ( 1 . 2 . 5 )
1 . 2 . 3 d e s c r i p t i o n e u l r i e n n e - d r i v e p a r t i c u l a i r e
E u l e r p r o p o s e u n a u t r e p o i n t d e v u e , p a r a i l l e u r s b i e n a d a p t l a d e s c r i p t i o n d u m o u v e m e n t d e s u i d e s .
A u l i e u d e s u i v r e c h a q u e p a r t i c u l e d a n s s o n m o u v e m e n t , o n p e u t a u s s i s e p o s t e r e n u n p o i n t M d o n n d e
l ' e s p a c e e t o b s e r v e r l e s p a r t i c u l e s q u i y p a s s e n t ( e t a v e c q u e l l e v i t e s s e e l l e s y p a s s e n t ) a i n s i q u e l a v a r i a t i o n
d e s g r a n d e u r s p h y s i q u e s l o c a l e s q u ' e l l e s t r a n s p o r t e n t ( t e m p r a t u r e , p r e s s i o n l e c a s c h a n t ) .
S e l o n c e p o i n t d e v u e , d i t e u l r i e n , l e s v a r i a b l e s d e s c r i p t i v e s s o n t d o n c {x , t } ou {x1 , x2 , x3 , t} . L e p o i n t x t a n t l e p o i n t l a q u e l l e l ' o b s e r v a t i o n s e f a i t a u t e m p s t .
A i n s i u n e g r a n d e u r p h y s i q u e ( p a r e x e m p l e s c a l a i r e ) G p e u t t r e d c r i t e d e d e u x f a o n s :s e l o n u n p o i n t d e v u e d e L a g r a n g e , G d p e n d d e l a p a r t i c u l e i n i t i a l e e t d u t e m p s e t d o n c :
G = G(X k , t ) ( 1 . 2 . 6 )
s e l o n u n p o i n t d e v u e d 'E u l e r ,
G d p e n d d e l a p o s i t i o n d ' o b s e r v a t i o n e t d u t e m p s e t d o n c :
G = g(xk , t ) ( 1 . 2 . 7 )
S i l ' o n s ' i n t r e s s e l a v a r i a t i o n d e l a g r a n d e u r G a u c o u r s d u t e m p s , o n o b t i e n t g a l e m e n t d e u x f o r m u l a t i o n s :s e l o n L a g r a n g e , p u i s q u e l e s c o o r d o n n e s i n i t i a l e s s o n t i n d p e n d a n t e s d u t e m p s :
G =dG dt
=dGdt
(X k , t ) =Gt
(X k , t ) ( 1 . 2 . 8 )
s e l o n E u l e r , p a r c o n t r e , e n i n t r o d u i s a n t l a d i r e n t i e l l e t o t a l e e x a c t e d e G :
dG dt
=dG dt
(xk , t ) =1dt
G t
dt + G x 1
dx1 + G x 2
dx2 + G x 3
dx3
c e q u i d e v i e n t :
G =dG dt
= G t
+ G x 1
dx1dt
+ G x 2
dx2dt
+ G x 3
dx3dt
O n r e c o n n a t l e s t e r m e s s u i v a n t s :
l a d r i v e p a r t i e l l e d e l a m e s u r e l o c a l e G p a r r a p p o r t a u t e m p s : Gtl e v e c t e u r v i t e s s e l o c a l :
V = dx 1dt ,
dx 2dt ,
dx 3dt
l e v e c t e u r g r a d i e n t d e l a m e s u r e G :grad G = Gx 1 ,
Gx 2 ,
Gx 3 ( c f . 5 . 3 . 1 ) .
P a r c o n s q u e n t , o n r e t i e n d r a q u e :
G = G
t(xk , t ) +
grad G (xk , t ).
V (xk , t ) ( 1 . 2 . 9 )
o u , e n n o t a t i o n s i m p l i e :
2 . E n e e t ,
M t = 0 .
7/21/2019 mmc bon
16/99
1 6 C H A P I T R E 1 . D E S C R I P T I O N C I N M A T I Q U E D ' U N M I L I E U C O N T I N U
G = G t
+grad G .
V ( 1 . 2 . 1 0 )
C e t t e r e l a t i o n s ' a p p l i q u e g a l e m e n t a u x g r a n d e u r s v e c t o r i e l l e s o u t e n s o r i e l l e s .
P a r e x e m p l e , s ' a g i s s a n t d e l ' a c c l r a t i o n :
=
dV dt
=V t
+ gradV .
V ( 1 . 2 . 1 1 )
E n c o m p o s a n t e s c a r t s i e n n e s :
i =V it
+3
k=1
V k .V ix k
( 1 . 2 . 1 2 )
1 . 3 C h a m p d e d f o r m a t i o n
1 . 3 . 1 t e n s e u r g r a d i e n t d u c h a m p d e d p l a c e m e n t
F i g u r e 1 . 3 . 1 t r a n s f o r m a t i o n d ' u n v e c t e u r i n n i m e n t p e t i t
P o u r c a r a c t r i s e r u n e d f o r m a t i o n v e n t u e l l e m e n t s u b i e p a r u n s o l i d e a u c o u r s d e s a t r a n s f o r m a t i o n , i l
c o n v i e n t d e s u r v e i l l e r s ' i l e s t a e c t p a r d e s c h a n g e m e n t s d e l o n g u e u r ( l o n g a t i o n s , r a c c o u r c i s s e m e n t s ) o u
d e s d i s t o r s i o n s d ' a n g l e .
D a n s u n p r e m i e r t e m p s , i n t r e s s o n s n o u s a u s o r t s u b i p a r u n v e c t e u r i n n i m e n t p e t i t
dM =
MM d e l a
c o n g u r a t i o n i n i t i a l e . A l ' i n s t a n t t d o n n , c e v e c t e u r s ' e s t t r a n s f o r m e n dm =
mm c e q u e l ' o n n o t e :
dM
dm ( e t a u s s i
dX
dx) . P u i s q u e x
i= x
i(X
k) , i l v i e n t dx
i= x i
X kdX
k. S o i t , e n c o m p o s a n t e s
c a r t s i e n n e s :
dx1 = x 1X 1 dX 1 +x 1X 2 dX 2 +
x 1X 3 dX 3
dx2 = x 2X 1 dX 1 +x 2X 2 dX 2 +
x 2X 3 dX 3
dx3 = x 3X 1 dX 1 +x 3X 2 dX 2 +
x 3X 3 dX 3
O n i n t r o d u i t a i n s i l e t e n s e u r g r a d i e n t F q u i e s t u n o p r a t e u r l i n a i r e 3 3 d o n t l e s c o m p o s a n t e s s o n t 3 :
F = grad x =
x 1X 1
x 1X 2
x 1X 3
x 2X 1
x 2X 2
x 2X 3
x 3
X 1x 3
X 2x 3
X 3 {e 1 ,e 2 ,e 3 }
( 1 . 3 . 1 )
3 . O n p e u t n o t e r q u e grad x = x =
x 1x 2x 3
X 1
X 2
X 3
( v o i r 5 . 3 . 1 . 3 ) .
7/21/2019 mmc bon
17/99
1 . 3 . C H A M P D E D F O R M A T I O N 1 7
E t d o n c :
dx = F .
dX ( 1 . 3 . 2 )
S i l ' o n i n t r o d u i t m a i n t e n a n t l e c h a m p d e d p l a c e m e n t p a r
u =Mm , i l a p p a r a t c l a i r e m e n t q u e :x =
X + u
e t d o n c
gradx = grad
X + grad
u
a v e c
gradx = F
e t
gradX = I
( i d e n t i t ) . C ' e s t - - d i r e
4
:
F = I + grad u ( 1 . 3 . 3 )
1 . 3 . 2 t r a n s f o r m a t i o n d e G r e e n - L a g r a n g e
L a t r a n s f o r m a t i o n d ' u n v e c t e u r e l l e s e u l e n e p e u t p a s d c r i r e u n e d f o r m a t i o n ; p a r e x e m p l e ,
dx p e u t
d i r e r d e
dX s o u s l ' e e t d ' u n e r o t a t i o n s a n s q u e c e l a n e s o i t l e s i g n e d ' u n e d f o r m a t i o n . D ' a u t r e p a r t l a
t r a n s f o r m a t i o n d ' u n v e c t e u r p r i s s p a r m e n t n e p e u t e n a u c u n c a s r e n d r e c o m p t e d ' u n e q u e l c o n q u e v a r i a t i o n
a n g u l a i r e . A i n s i l e t e n s e u r g r a d i e n t F n ' e s t p a s a d q u a t p o u r c a r a c t r i s e r , s e u l , u n t a t d e d f o r m a t i o n .
F i g u r e 1 . 3 . 2 t r a n s f o r m a t i o n d ' u n d i d r e i n n i t s i m a l
E x a m i n o n s p l u t t l a t r a n s f o r m a t i o n d u c o u p l e f o r m p a r d e u x v e c t e u r s i n n i t s i m a u x
dX e t
dX . D ' u n p o i n t
d e v u e m a t h m a t i q u e , i l e s t a v a n t a g e u x d e p o r t e r s o n a t t e n t i o n s u r l ' v o l u t i o n d u p r o d u i t s c a l a i r e
dX.
dX
c a r l ' i n v a r i a n c e d u p r o d u i t s c a l a i r e d a n s u n e t r a n s f o r m a t i o n g o m t r i q u e g a r a n t i t q u e l e m i l i e u , n e s u b i s s a n t
n i v a r i a t i o n d e l o n g u e u r n i v a r i a t i o n d ' a n g l e , n ' e s t p a s d f o r m ( l o c a l e m e n t ) .
C o m m e o n l ' a v u c i - d e s s u s ( 1 . 3 . 2 ) , l e s v e c t e u r s
dX e t
dX d e v i e n n e n t r e s p e c t i v e m e n t
dx = F
X e t
dx = F
X
A i n s i l a v a r i a t i o n d e p r o d u i t s c a l a i r e e s t g a l e , m a t r i c i e l l e m e n t ,
5
:
dx.
dx
dX.
dX = [dx]t . [dx ] [dX ]t . [dX ]
A u t r e m e n t d i t
6
:
dx.
dx
dX.
dX = ([ F ] [dX ])t . ([F ] [dX ]) [dX ]t [I ] [dX ]
E t e n c o r e , p a r a s s o c i a t i v i t :
4 . O n r e m a r q u e q u e grad X e s t f o r m d e s c o m p o s a n t e s X iX j = X i,j = ij . O n i n t r o d u i t l e s y m b o l e ij e s t l e s y m b o l e d e
K r o n e c k e r v a l a n t 1 s i i = j e t v a l a n t 0 s i n o n . A i n s i :grad X =X
=
X 1 ,X 1 X 1 ,X 2 X 1 ,X 3X 1 ,X 1 X 2 ,X 2 X 2 ,X 3X 1 ,X 1 X 3 ,X 2 X 3 ,X 3
=1 0 00 1 00 0 1
= I
5 . [dx ] e s t l e v e c t e u r c o l o n n e dx 1dx 2dx 3
e t [dx ]t , s a t r a n s p o s e , l e v e c t e u r l i g n e [dx 1 , dx 2 , dx 3 ]
6 . O n n o t e r a a u p a s s a g e q u e [X ]t [I ] [X ] = [X ]t [X ] ; c e q u i p e r m e t d ' i n t r o d u i r e l ' o p r a t e u r I d e n t i t [I ] a u b e s o i n .
7/21/2019 mmc bon
18/99
1 8 C H A P I T R E 1 . D E S C R I P T I O N C I N M A T I Q U E D ' U N M I L I E U C O N T I N U
dx.
dx
dX.
dX = [dX ]t [F ]t . [F ] . [I ] [dX ]
Q u e l ' o n p o s e g a l :
dx.
dx
dX.
dX = 2 [dX ]t [E ] [dX ] ( 1 . 3 . 4 )
e n i n t r o d u i s a n t l a m a t r i c e [E ] t e l l e q u e :
[E ] =12
[F ]t . [F ] . [I ] ( 1 . 3 . 5 )
E n p r e n a n t e n c o m p t e l ' q u a t i o n 1 . 3 . 3 , e t e n r e v e n a n t e n n o t a t i o n t e n s o r i e l l e , i l v i e n t :
E = 12 I + grad ut
. I + grad u I
S o i t :
E =12
grad u + grad t u
1erordre+ grad t u grad u
2emeordre( 1 . 3 . 6 )
E e s t l e t e n s e u r d e d f o r m a t i o n d e G r e e n - L a g r a n g e ; i l e s t s y m t r i q u e . I l c o m p r e n d u n t e r m e d u 1 e r o r d r e e t u n t e r m e d u s e c o n d o r d r e .
1 . 3 . 3 L i n a r i s a t i o n d u t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s
D a n s l a s u i t e d e l ' e x p o s , l ' h y p o t h s e d e s p e t i t e s p e r t u r b a t i o n s ( H P P ) v a p e r m e t t r e u n e s i m p l i c a t i o n d e
l ' e x p r e s s i o n d u t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s .
C e t t e h y p o t h s e e s t d o u b l e :
1 . P e t i t s d p l a c e m e n t s : l e d p l a c e m e n t d e c h a c u n d e s p o i n t s d u s o l i d e e s t p e t i t d e s o r t e q u e l ' t a t a c t u e l
( d f o r m ) e s t c o n f o n d u a v e c l ' t a t i n i t i a l d a n s l e c a l c u l d e s f o r c e s i n t e r n e s
7
.
2 . P e t i t e s d f o r m a t i o n s : l e s t e r m e s d u t e n s e u r d e d f o r m a t i o n s o n t p e t i t s d e v a n t l ' u n i t
8
.
L e s t e r m e s d e d f o r m a t i o n d u s e c o n d o r d r e d e v i e n n e n t n g l i g e a b l e s d e v a n t l e s t e r m e s d u p r e m i e r o r d r e d e
s o r t e q u e l e t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s , q u e l ' o n n o t e d s o r m a i s , s e r d u i s e :
E =12
grad u + grad t u ( 1 . 3 . 7 )
7 . L ' h y p o t h s e d e s p e t i t s d p l a c e m e n t s e s t c o u r a n t e e n m c a n i q u e d u s o l i d e e t l e s t h o r i e s q u i e n d r i v e n t , p a r e x e m p l e
e n r s i s t a n c e d e s m a t r i a u x . O n p e u t r e m a r q u e r q u ' e l l e e s t p a r a d o x a l e d a n s l a m e s u r e o e l l e p e r m e t d e f a i r e d e s c a l c u l s s u r
l e s o l i d e c o m m e s ' i l t a i t i n d f o r m a b l e e t n o t a m m e n t d ' t a b l i r l e s c o n d i t i o n s d e s o n q u i l i b r e s t a t i q u e d a n s l a c o n g u r a t i o n
n o n - d f o r m e e t , e n s u i t e s e u l e m e n t , d e s e p o s e r l a q u e s t i o n d e s a d f o r m a b i l i t .
C e t t e h y p o t h s e e s t n a n m o i n s r a i s o n n a b l e d a n s d e n o m b r e u s e s s i t u a t i o n s . N a t u r e l l e m e n t , i l a p p a r t i e n t a u m c a n i c i e n
d e s t a t u e r s u r l a l g i t i m i t o u n o n d e c e t t e h y p o t h s e s e l o n l a s i t u a t i o n . P a r e x e m p l e , i l e s t d r a i s o n n a b l e d e t r a i t e r l ' q u i l i b r e
o u l e c o m p o r t e m e n t d ' u n e c o r d e o u d ' u n c b l e d a n s l ' h y p o t h s e d e s p e t i t s d p l a c e m e n t s .
A t t e n t i o n : c e t t e p r e m i r e h y p o t h s e n e p e r m e t p a s d e r e n d r e c o m p t e d e c e r t a i n s p h n o m n e s i m p o r t a n t s e n m c a n i q u e
d u s o l i d e , n o t a m m e n t l e s p h n o m n e s d ' i n s t a b i l i t .
8 . C e t t e s e c o n d e h y p o t h s e p e u t l g i t i m e m e n t t r e f a i t e d a n s l e c a d r e d ' u n e t h o r i e d u s o l i d e l a s t i q u e ; c e p e u t n e p l u s t r e
l e c a s l o r s q u e l e s d f o r m a t i o n s p l a s t i q u e s d e v i e n n e n t i m p o r t a n t e s ( p a r e x e m p l e d a n s u n p r o c e s s u s d ' e x t r u s i o n ) .
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19/99
1 . 3 . C H A M P D E D F O R M A T I O N 1 9
1 . 3 . 4 I n t e r p r t a t i o n - c o m p o s a n t e s d e d f o r m a t i o n
1 . 3 . 4 . 1 i n t e r p r t a t i o n d u t e n s e u r
R e p a r t a n t d e s q u a t i o n s 1 . 3 . 2 e t 1 . 3 . 3 , o n p e u t c r i r e :
dx =
dX + grad u .
dX
O n i n t r o d u i t l e s p a r t i e s a n t i - s y m t r i q u e e t s y m t r i q u e d u t e n s e u r g r a d i e n t :
dx =
dX +
12
grad u grad t u .dX +
12
grad u + grad t u .dX =
dX + .
dX + .
dX ( 1 . 3 . 8 )
F i g u r e 1 . 3 . 3 t r a n s l a t i o n p u i s r o t a t i o n p u i s d f o r m a t i o n .
O r , o n m o n t r e a i s m e n t q u ' u n t e n s e u r a n t i - s y m t r i q u e e s t q u i v a l e n t u n p r o d u i t v e c t o r i e l
9
, a i n s i :
dx =
dX +
dX + .
dX
9 . C o n s i d r o n s d e u x v e c t e u r s
A =
abc
e t
V =
uvw
e x p r i m s d a n s l a m m e b a s e {B} . C a l c u l o n s - e n l e p r o d u i t
v e c t o r i e l
A
V . A l o r s :
A
V =
abc
uvw
=bw cvcu awav bu
. O n r e c o n n a t u n e f o r m e l i n a i r e d e s c o m p o s a n t e s
u,v,w q u i p e u t a u s s i s ' c r i r e s o u s l a f o r m e d ' u n o p r a t e u r m a t r i c i e l d ' o r d r e 2 q u e l ' o n n o t e A . E n e e t bw cvcu awav bu
=
0 c bc 0 a
b a 0
uvw
. P a r c o n s q u e n t , l ' o p r a t e u r A s ' e x p r i m e p a r :0 c bc 0 a
b a 0q u i e s t u n o p r a t e u r l i n a i r e
a n t i - s y m t r i q u e .
I n v e r s e m e n t , t o u t o p r a t e u r a n t i - s y m t r i q u e A =0 a b
a 0 c b c 0
c o r r e s p o n d s a v e r s i o n v e c t e u r
A =
cb
at e l l e q u e
A V =
A
V a conditionque A soit antisym etrique
E n p a r t i c u l i e r p o u r l a p a r t i e a n t i - s y m t r i q u e d u t e n s e u r grad u : =
0 12u 1x 2
u 2x 1
12
u 1x 3
u 3x 1
12u 1x 2
u 2x 1 0
12
u 2x 3
u 3x 2
12u 1x 3
u 3x 1
12
u 2x 3
u 3x 2 0
, o n n o t e r a q u e l e s c o m p o s a n t e s d i a g o n a l e s d u t e n s e u r
s o n t n u l l e s a l o r s q u e l e s c o m p o s a n t e s e x t r a - d i a g o n a l e s s o n t o p p o s e s
d e u x d e u x :ij = ji . e s t d o n c b i e n a n t i - s y m t r i q u e e t o n l u i a s s o c i e l e v e c t e u r =
12u 2x 3
u 3x 2
12
u 1x 3
u 3x 1
12u 1x 2
u 2x 1
.
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20/99
2 0 C H A P I T R E 1 . D E S C R I P T I O N C I N M A T I Q U E D ' U N M I L I E U C O N T I N U
o u e n c o r e ( c o m p t e t e n u d e l a d n i t i o n d e s v e c t e u r s
X e t x , v o i r g u r e 1 . 3 . 1 ) :
mm =
MM +
dX + .
dX
e t , p u i s q u e
u (M ) =
Mm
e t
u (M ) =
M m
a l o r s :
u(M ) =
translation
u(M ) +rotation
dX solideind eformable+ .
dX
deformationD a n s u n s o l i d e d f o r m a b l e , d a n s l ' h y p o t h s e H P P , l e c h a m p d e d p l a c e m e n t r s u l t e a i n s i d e l a c o m b i n a i s o n
( p a r s o m m a t i o n ) d e :
u n e t r a n s l a t i o n d ' e n s e m b l e ;
u n e r o t a t i o n d ' e n s e m b l e ;
u n c h a m p d e d p l a c e m e n t g n r a n t l a d f o r m a t i o n p u r e .
1 . 3 . 4 . 2 c o m p o s a n t e s d e e n c o o r d o n n e s c a r t s i e n n e s
D e p a r s a d n i t i o n ( q u a t i o n 1 . 3 . 7 ) , l a m a t r i c e d e s d f o r m a t i o n s s ' t a b l i t c o m m e s u i t :
=11 12 13
12 22 23
13 23 33
=
u 1X 1
12
u 1X 2 +
u 2X 1
12
u 1X 3 +
u 3X 1
12
u 1X 2 +
u 2X 1
u 2X 2
12
u 2X 3 +
u 3X 2
12
u 1X 3 +
u 3X 1
12
u 2X 3 +
u 3X 2
u 3X 3
( 1 . 3 . 9 )
E l l e e s t s y m t r i q u e :ij = ji c e q u e l ' o n c r i t e n c o r e :
= t
O n s e r e p o r t e r a a u . 6 . 4 . 1 p o u r l ' e x p r e s s i o n d u t e n s e u r e n c o o r d o n n e s c y l i n d r i q u e s s i b e s o i n e s t .
1 . 3 . 5 a n a l y s e d e s c o m p o s a n t e s : l o n g a t i o n & d i s t o r s i o n
D a n s c e p a r a g r a p h e o n e x p l o i t e l ' e x p r e s s i o n 1 . 3 . 4 d a n s d e u x s i t u a t i o n s p a r t i c u l i r e s :
1 . l e s v e c t e u r s
dX e t
dX s o n t c o n f o n d u s . O n t u d i e a l o r s l a v a r i a t i o n d e l o n g u e u r d e dX .
2 . l e s v e c t e u r s
dX e t
dX s o n t u n i t a i r e s e t o r t h o g o n a u x . O n t u d i e a l o r s l a v a r i a t i o n d e l ' a n g l e d r o i t b t i
s u r c e s v e c t e u r s .
1 . 3 . 5 . 1 l o n g a t i o n
C o n s i d r o n s u n v e c t e u r m a t r i e l d e l a c o n g u r a t i o n i n i t i a l e d e l o n g u e u r dX o r i e n t p a r u n v e c t e u r d i r e c t e u r u n i t a i r e
e , a l o r s dX = dX. e . A u c o u r s d e l a t r a n s f o r m a t i o n g o m t r i q u e , c e v e c t e u r d e v i e n t
dx e t , s e l o n
l ' q u a t i o n 1 . 3 . 4 d a n s l e c a s p a r t i c u l i e r o
X =
X :
dx2 dX 2 = ( dx dX ) (dx + dX ) = 2dX.E
dX
D a n s l ' h y p o t h s e d e s p e t i t e s p e r t u r b a t i o n s , o n a p p r o x i m e l a s o m m e dx + dX p a r 2dX e t o n i n t r o d u i t l a n o t a t i o n e = dx dXdX ( a l l o n g e m e n t r e l a t i f d a n s l a d i r e c t i o n
e ) , a l o r s :
(dx dX ) (dx + dX ) e .dX. 2dX = 2 dX 2 e . e
E t d o n c :
e = e . .e ( 1 . 3 . 1 0 )
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21/99
1 . 3 . C H A M P D E D F O R M A T I O N 2 1
F i g u r e 1 . 3 . 4 l o n g a t i o n : v a r i a t i o n l o c a l e d e l o n g u e u r
e e s t a d i m e n s i o n n e l 1 0
, i l e s t p o s i t i f s i l e s e g m e n t dX s ' a l l o n g e e t e s t n g a t i f d a n s l e c a s d ' u n r a c c o u r c i s s e m e n t .
A i n s i :
11 = u 1x 1 est elongation selonx1
22 = u 2x 2 est elongation selonx2
33 = u 3x 3 est elongation selonx3
E t , d e f a o n g n r a l e :
e = e1 e2 e311 12 13
12 22 23
13 23 33
e1e2
e2
( 1 . 3 . 1 1 )
r e p r s e n t e l ' l o n g a t i o n d a n s l a d i r e c t i o n d u v e c t e u r u n i t a i r e
e =e1e2e3
1 . 3 . 5 . 2 d i s t o r s i o n ( g l i s s e m e n t )
F i g u r e 1 . 3 . 5 d i s t o r s i o n : v a r i a t i o n l o c a l e d ' a n g l e
C o n s i d r o n s , c e t t e f o i s , l ' a n g l e d r o i t c o n s t r u i t s u r d e u x v e c t e u r s u n i t a i r e s
N e t
M , c e u x - c i s e t r a n s f o r m a n t
r e s p e c t i v e m e n t e n
n e t m ( p a s f o r c m e n t u n i t a i r e s ) . E n c o r e e n v e r t u d e l ' q u a t i o n 1 . 3 . 4 , o n a :
n m N
M = 2
N .E
M
a v e c N M = 0 p u i s q u e N M p a r h y p o t h s e .
1 0 . L e s p e t i t e s d f o r m a t i o n s o n t u n o r d r e d e g r a n d e u r a l l a n t j u s q u ' 10 3 ; o n p r e n d l ' h a b i t u d e d e l e s e x p r i m e r e n m u l t i p l e d e 10 6 ( r s o l u t i o n d e s a p p a r e i l s d e m e s u r e ) . O n d n i t a i n s i u n e m i c r o d f o r m a t i o n e t o n n o t e o u def l a v a l e u r 10 6 .P a r e x e m p l e 250def = 250 10 6 = 2 .5 10 4 .
7/21/2019 mmc bon
22/99
2 2 C H A P I T R E 1 . D E S C R I P T I O N C I N M A T I Q U E D ' U N M I L I E U C O N T I N U
o r , s e l o n l a g u r e 1 . 3 . 5 d e s s i n e d a n s l e p l a n
N ,
M , o n v o i t q u e 1 1
n m = |n | | m | sin NM = (1 + N )(1 + M )sin NM
S i l ' o n c o n s i d r e d e n o u v e a u l ' h y p o t h s e d e s p e t i t e s p e r t u r b a t i o n s , o n a p p r o x i m e l ' a n g l e e t s o n s i n u s e t o n
n g l i g e l e s d f o r m a t i o n s d e v a n t l ' u n i t e t d o n c :
n m NM .
P a r c o n s q u e n t o n o b t i e n t l a d i s t o r s i o n ( o n d i t a u s s i l e g l i s s e m e n t ) d e l ' a n g l e d r o i t b t i s u r
N e t
M p a r :
NM = 2N .E
M = 2
N .
M ( 1 . 3 . 1 2 )
O n v o i t a i n s i q u ' u n e d i s t o r s i o n p o s i t i v e c o r r e s p o n d u n e r d u c t i o n d ' a n g l e d r o i t . L e s d i s t o r s i o n s ,
t o u t c o m m e l e s l o n g a t i o n s , s o n t a d i m e n s i o n n e l l e s e t s ' e x p r i m e n t g a l e m e n t e n def 1 2 .
12 = 12u 1x 2 +
u 2x 1 est la demi distorsion de l angle
x1 , x2
13 =12
u 1x 3 +
u 3x 1 est la demi distorsion de l angle
x1 ,
x3
23 = 12u 2x 3 +
u 3x 2 est la demi distorsion de l angle
x2 , x3
1 . 3 . 5 . 3 d i l a t a t i o n v o l u m i q u e
F i g u r e 1 . 3 . 6 v a r i a t i o n l o c a l e d e v o l u m e
S o i t u n p e t i t p a r a l l l p i p d e r e c t a n g l e b t i s u r l e s v e c t e u r s d e l a b a s e {e1 , e1 , e1 } :dX 1 , d
X 2 , d
X 3 , a l o r s
s o n v o l u m e e s t dV = dX 1dX 2dX 3 ; a p r s t r a n s f o r m a t i o n g o m t r i q u e l e v o l u m e d e v i e n t dv = dx1dx2dx3( l ' h y p o t h s e d e s p e t i t e s p e r t u r b a t i o n s t a n t p r i s e e n c o m p t e ) . P a r c o n s q u e n t l a v a r i a t i o n r e l a t i v e d e v o l u m e ,
n o t e , e s t :
=dv dV
dV =
[(1 + 11 ) dX 1 . (1 + 22 ) dX 2 . (1 + 33 ) dX 3] [dX 1dX 2dX 3]dX 1dX 2dX 3
= dV dV 11
+ 22 + 33 = u1
x 1+ u 2
x 2+ u 3
x 3
S o i t , e n i n t r o d u i s a n t l e s o p r a t e u r s t r a c e e t d i v e r g e n c e
1 3
:
= tr = div u ( 1 . 3 . 1 3 )
O n p e u t d o n c i n d i r e m m e n t e x p r i m e r l a v a r i a t i o n v o l u m i q u e u n i t a i r e s o i t p a r l a t r a c e d u t e n s e u r d e s
d f o r m a t i o n s , s o i t p a r l a d i v e r g e n c e d u c h a m p d e d p l a c e m e n t .
1 1 . E n t o u t e r i g u e u r , i l e s t f o r t p o s s i b l e q u e l e s v e c t e u r s
n o u m n ' a p p a r t i e n n e n t p a s t o u t f a i t a u p l a n N , M . I l s ' a g i t ,l e n c o r e , d ' u n e a p p r o x i m a t i o n l i e l ' h y p o t h s e d e s p e t i t e s p e r t u r b a t i o n s .
1 2 . C e s o n t d o n c l e s d e m i - d i s t o r s i o n s q u i a p p a r a i s s e n t d a n s l a m a t r i c e d e s d f o r m a t i o n s . L ' u n i t i m p l i c i t e d e d i s t o r s i o n e s t
l e r a d i a n q u i c o n v i e n t u n e m e s u r e d ' a n g l e . O n a d o n c c o u t u m e d ' e x p r i m e r l e s d i s t o r s i o n s e n microradian o u rad . L ' u s a g e ,t o u t e f o i s , f a i t q u e l ' o n n e d i s t i n g u e p a s l ' u n i t d ' l o n g a t i o n d e c e l l e d e d i s t o r s i o n 1 rad = 1 def = 1 .
1 3 . L a t r a c e d ' u n e m a t r i c e A , n o t e tr (A ) e s t g a l e l a s o m m e d e s t e r m e s d e s a d i a g o n a l e . V o i r a u s s i l e . 5 . 3 . 2 p o u r l a d n i t i o n d e l a d i v e r g e n c e .
7/21/2019 mmc bon
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1 . 4 . D F O R M A T I O N S & D I R E C T I O N S P R I N C I P A L E S 2 3
1 . 4 D f o r m a t i o n s & d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s
O n c o n s i d r e u n t a t d e d f o r m a t i o n l o c a l a u p o i n t m a t r i e l M 0 d u s o l i d e {S } o b j e t d e l ' t u d e .
O n v o i t q u e , p a r l a n t d e d f o r m a t i o n , i l c o n v i e n t d e p r c i s e r s o i t l a d i r e c t i o n d ' i n t r t ( p o u r l ' e s t i m a t i o n d e s
l o n g a t i o n s ) , s o i t l ' a n g l e - e t d o n c l e p l a n - c o n c e r n ( p o u r l ' e s t i m a t i o n d e s d i s t o r s i o n s ) . C ' e s t d ' a i l l e u r s l a
r a i s o n p o u r l a q u e l l e i l f a u t u n o p r a t e u r d ' o r d r e 2 ( u n t e n s e u r 3 3) p o u r t o t a l e m e n t c a r a c t r i s e r u n t a t d e d f o r m a t i o n l o c a l .
F i g u r e 1 . 4 . 1 d f o r m a t i o n s a n s d i s t o r s i o n d ' u n p a r a l l l p i p d e b t i s u r l e s a x e s p r i n c i p a u x
D s l o r s , i l d e v i e n t l g i t i m e d e s ' i n t e r r o g e r s u r l ' e x i s t e n c e d ' a x e s , c e n t r s s u r u n p o i n t m a t r i e l d o n n d a n s
l e s o l i d e t u d i , s e l o n l e s q u e l s l e s d i s t o r s i o n s s e r a i e n t n u l l e s . S i d e t e l l e s d i r e c t i o n s e x i s t e n t c ' e s t q u ' e l l e s
r e s t e n t p e r p e n d i c u l a i r e s e n t r e e l l e s a l o r s m m e q u e l e s o l i d e s e d f o r m e . A u t r e m e n t d i t , c e s d i r e c t i o n s t r s
p a r t i c u l i r e s s o n t i n v a r i a n t e s ( l a r o t a t i o n p r s ) p a r l a t r a n s f o r m a t i o n i m p o s e p a r l ' o p r a t e u r .
O n a u r a i t d o n c , p o u r c e s d i r e c t i o n s p r i v i l g i e s :.n proportionnel a n s o i t n = n .
D ' u n p o i n t d e v u e m a t h m a t i q u e , c e s d i r e c t i o n s s o n t d i r i g e s p a r l e s v e c t e u r s p r o p r e s d e l a m a t r i c e .
C o m m e l a m a t r i c e e s t s y m t r i q u e e t q u e s e s t e r m e s s o n t d e s n o m b r e s r e l s , s e s v a l e u r s p r o p r e s s o n t d o n c
g a l e m e n t r e l l e s e t l e s v e c t e u r s p r o p r e s a s s o c i s ( s i l e s v a l e u r s p r o p r e s s o n t d i r e n t e s e n t r e e l l e s ) f o r m e n t
u n t r i d r e ( o r t h o g o n a l i t d e s v e c t e u r s p r o p r e s d e u x d e u x ) .
D n i t i o n 1 . O n a p p e l l e d f o r m a t i o n p r i n c i p a l e t o u t e v a l e u r p r o p r e d u t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s .
D n i t i o n 2 . O n a p p e l l e d i r e c t i o n p r i n c i p a l e d e d f o r m a t i o n t o u t e d i r e c t i o n o r i e n t e p a r u n v e c t e u r p r o p r e
d u t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s .
R e m a r q u e : U n p e t i t l m e n t d e v o l u m e p a r a l l l p i p d i q u e d o n t l e s a r t e s s o n t o r i e n t e s p a r l e s d i r e c t i o n s
p r i n c i p a l e s r e s t e p a r a l l l p i p d i q u e a p r s t r a n s f o r m a t i o n g o m t r i q u e ( v o i r l a g u r e 1 . 4 . 1 ) .
1 . 4 . 1 d f o r m a t i o n s p r i n c i p a l e s
L e s d f o r m a t i o n s p r i n c i p a l e s s o n t s o l u t i o n s d e l ' q u a t i o n :det I = 0 . C ' e s t u n e q u a t i o n d u t r o i s i m e d e g r e n a p p e l e q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e s d e l a m a t r i c e 1 4 . L e s s o l u t i o n s e n s o n t r e l l e s e t t r o i s s i t u a t i o n s p e u v e n t s u r v e n i r :
1 . l e s t r o i s v a l e u r s p r o p r e s s o n t g a l e s : c ' e s t q u e t o u t e d i r e c t i o n d e l ' e s p a c e a u t o u r d e M 0 e s t d i r e c t i o n p r i n c i p a l e e t l e s d i l a t a t i o n s s o n t l e s m m e s d a n s t o u t e s l e s d i r e c t i o n s . I l n ' y a a u c u n e d i s t o r s i o n d a n s
q u e l q u e p l a n q u e c e s o i t . L e t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n e s t d i t s p h r i q u e e t s ' c r i t = I .2 . d e u x v a l e u r s p r o p r e s s o n t g a l e s : i l y a u n e t r o i s i m e v a l e u r p r o p r e a s s o c i e u n e d i r e c t i o n p r o p r e .
T o u t e d i r e c t i o n a p p a r t e n a n t a u p l a n p e r p e n d i c u l a i r e c e t t e d i r e c t i o n p r o p r e e s t g a l e m e n t p r o p r e .
1 4 .
det I =11 12 13
12 22 2313 23 33
= 0
C e q u e l ' o n p e u t d v e l o p p e r e n :
( 11 ) ( 22 ) ( 33 ) 223 12 [ 12 ( 33 ) 13 23 ] + 13 [ 12 23 13 ( 22 )] = 0C e q u i e s t b i e n u n e q u a t i o n d u 3
m e
d e g r e n .
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2 4 C H A P I T R E 1 . D E S C R I P T I O N C I N M A T I Q U E D ' U N M I L I E U C O N T I N U
3 . l e s t r o i s v a l e u r s p r o p r e s ( p r i n c i p a l e s ) s o n t d i r e n t e s a l o r s l e s t r o i s d i r e c t i o n s p r o p r e s ( p r i n c i p a l e s ) s o n t
d i r e n t e s e t o r t h o g o n a l e s e n t r e e l l e s d u f a i t d e l a s y m t r i e d u t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s .
D a n s l a b a s e d e s v e c t e u r s p r o p r e s ( d e s d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s ) , l e t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s s ' c r i t a i n s i :
=I 0 00 II 00 0 II I {e I ,e II ,e III }
( 1 . 4 . 1 )
1 . 4 . 2 d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s d e d f o r m a t i o n
C e l a a t d m o n t r : l e s v e c t e u r s p r o p r e s
eK o r i e n t e n t l e s d i r e c t i o n s p r i n c i p a l e s d e d f o r m a t i o n . I l s s o n t s o l u t i o n s v e c t o r i e l l e s d e l ' q u a t i o n :
K I .eK =0 ( 1 . 4 . 2 )
o K e s t d f o r m a t i o n p r i n c i p a l e ( e t d o n c v a l e u r p r o p r e d e ) . N a t u r e l l e m e n t l a s o l u t i o n n ' e s t p a s u n i q u e 1 5
m a i s i l f a u t a j o u t e r l e s c o n d i t i o n s s u i v a n t e s :
1 .
eK = 12 . c l a s s e m e n t c o n v e n t i o n n e l d e s s o l u t i o n s :I II II I 3 . {eI , eII , eII I } f o r m e u n t r i d r e d i r e c t .
1 . 4 . 3 i n v a r i a n t s d u t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s
L e s i n v a r i a n t s d u t e n s e u r d e s d f o r m a t i o n s s o n t l e s c o e c i e n t s d e l ' q u a t i o n c a r a c t r i s t i q u e det I = 0 :
3 + K 12 + K 2 + K 3 = 0 ( 1 . 4 . 3 )
C o m m e l e n o m l ' i n d i q u e , i l s s o n t i n d p e n d a n t s d u c h o i x d e l a b a s e d e p r o j e c t i o n d u t e n s e u r , c e s o n t :
K 1 = tr K 2 = 12 tr
2 tr 2
K 3 = det( 1 . 4 . 4 )
C e s i n v a r i a n t s s o n t u t i l i s s p o u r l a d n i t i o n d e c e r t a i n s c r i t r e s ( p l a s t i c i t , e n d o m m a g e m e n t ) e x p r i m s
e n t e r m e d e d f o r m a t i o n ( v o i r . 3 . 5 ) .
1 . 5 R e p r s e n t a t i o n g r a p h i q u e d ' u n t a t d e d f o r m a t i o n
N o u s a l l o n s c o n s i d r e r u n t a t l o c a l d e d f o r m a t i o n , i n i t i a l e m e n t c a r a c t r i s p a r l e t e n s e u r e x p r i m d a n s
s o n r e p r e p r i n c i p a l p a r :
=I 0 00 II 00 0 II I {e I ,e II ,e III }
P l u s p r c i s m e n t , o n r e s t r e i n t l ' t u d e a u x d f o r m a t i o n s ( l o n g a t i o n s e t d i s t o r s i o n s ) s u r v e n a n t d a n s l e p l a n
p a r t i c u l i e r f o r m p a r l e s v e c t e u r
eI e t eII .
1 5 . D a n s u n e b a s e B c e t t e q u a t i o n s ' c r i t :
11 KK 12 1312 22 KK 2313 23 33 KK
e1
Ke2Ke3K
= 0
