Model Inti

• Ada dua model terkeneal untuk menggambarkan energi ikat,ukuran dan energetik inti serta stabilitas isotop.– Liquid drop model (sticky billiard balls), model tetes

cair– The shell model(Model Sel),analogi dengan

perlakuan elektron atrom

• Kedua model sangat berbeda tetapi mempunyai kegunaan masing-2

Model Tetes Cair

• Gaya inti tolak menolak untuk jarak pendek dan tarik menarik untuk jarak panjang( tetapi stabil sekitar 2-3 fm). Gaya ini mirip gaya antar molekul air.– Air tak dapat dimanpatkan (roughly

incompressible) dan mempunyai tegangan muka. – Partikel interaksi melalui “contact force”: hanya

interaksi dengan partikel disekitar yg terdekat. Bayangkan bola pejal bilyard.

Energi Ikat Model Tetes Cair

Ide utama adalah bahwa energi ikat total tergantung pada jumlah pasangan nukleon :nukleon bagian dalam mempunyai tetangga lebih banyak sehingga berkontribusi banyak terhadap energi ikat.•Suku Volume: Dengan mengabaikan nukleon permukaan maka energi ikat total proposional dengan nomor massa inti.

• Suku Permukaan– Nukleaon pada permukaan mempunyai lebih

sedikit tetangga sehingga kita perlu suku koreksi untuk mengurangi energi ikat keseluruhan. Jumlah nukleon pada permukaan proposional dengan luas permukaan sehingga

(luas permukaan proposional dengan volume pangkat 2/3)

• Suku Coulomb– Perlu diperhitungkan bahwa proton saling

tolak menolak karena gaya Coulomb

• Energi potensial proton pada pusat bola dengan jejari R dan muatanQ = (z-1)e adalah:

• Ada Z proton, dan tidak semua di pusat maka energi potensianyal :

• Karen enegi ikat merupakan negatip energi potensial maka

• Suku Asymmetry :– Nukleon berada pada tingkat energi(akan

diterangkan pada Model Sel) dan karena prinsip eksklusi bahwa hanya dua fermion dapat memenuhi per tingkat. (berlaku untuk proton dan neutron). Energi terendah ditempati dengan N yang hampir sama Z.

– Anggap tingkat-2 energi berjarak

– Jika awalnya Z=N dan kemudian j nukleon satu jenis menjadi nukleon jenis lain,maka nukleon harus mengisi tingkat energi lebih tinggi. Hal ini mensyaratkan kenaikan energi sebesar

• Jarak tingkat energi proposional dengan energi Fermi dibagi jumlah nukleon

• Semua suku digabung maka diperoleh energi ikat semi empiris:

j = (N-Z)/2

• Energi Ikat Semi-Empiris:

• Formula Massa Semi-Empiris

+η untuk N,Z genap

-η untuk N,Z ganjil

η=0 untuk A ganjil

η=11A1/2

• Substitusikan Z ke B(A,Z), kita dapat tentukan B(A)/A dan menemukan harga maksimumnya yg terjadi secara teoritis pada A=63 dan secara eksperimental A=62 dan A=58.

c1 = 15.8c2 = 17.8c3 = 0.71c4 = 23.7(all in MeV)

• Dg maksimumkan B(A,Z) terhadap Z, kita dapat menemukan unsur paling stabil untuk A tertentu. Untuk harga A kecil, maka Z sekitar A/2. Untuk harga A lebih besar Z lebih kecil A/2 (utamanya dikarenakan Suku Coulomb repuls).

• Model Tetes Cair sangat bagus tetapi ini hanya pendekatan:– Tidak semua inti speris– Nucleon dapat dimanpatkan(compressible)– Gaya kuat tidak tidak hanya pada gaya

tetangga terdekat.– Struktur sel lebih rumit dari struktur

sederhana bola gas Fermi– Gaya inti tergantu pada ‘spin-orbit coupling’!

The Shell Model

• Quantum-mechanical treatment• Similar to treatment of multi-electron atoms.

– Solve Schroedinger equation for a nucleon given the smeared-out potential due to the other nucleons.

– Nucleons not modeled as billiard balls• Independent particle approximation: Other nucleons

determine a potential field. Each nucleon interacts with this potential field rather than with individual other nucleons (no collisions!).

EHExV

xm

ˆ)(2 2

22

or

EHExV

xm

ˆ)(2 2

22

or

Potential Energy Distribution

• Determining V(r) that each nucleon sees depends on both PE due to nuclear force and (for protons) the coulomb potential energy

• PE due to nuclear force– form is rather speculative– crude model is a spherically-symmetric finite

potential well– more accurate model accounts for probability

distribution which determines the nuclear density.

16

Nuclear Potential Functions• Square Well Potential

• Harmonic Oscillator Potential

• Woods-Saxon

• Exponential Potential

• Gaussian Potential

• Yukawa Potential:

V (r) V0 (r R), V (r) 0 (r R)

V (r) V0 1r

R

2

V (r) V0er

R

V (r) V0er 2

R 2

V (r) V0

er

R

r 1.0

R

Note: R = nuclear radiusr = distance from center of nucleus

V (r) V0

1 er Ra

17

Nuclear Potential Functions

Exact shape of well is uncertain and dependson mathematical functionassumed for the interaction

Square Well

Gaussian

Exponential

Yukawa

• common model is to use (Woods-Saxon)

• For model to work, two other terms are added– LS coupling term– Symmetry energy term

• Coulomb Term– Treat nucleus as uniformly charged sphere of

radius Rc and charge (Z-1)e.

(for Z>> 1)

• Potential well for neutrons doesn’t contain the coulomb potential, so its well is 1-2 MeV (for lightest nuclei) to 30 MeV (for the heaviest nuclei) lower than that of the protons.

• Solve Schroedinger equation for a particle in the appropriate potential well, and find eigenenergies.

• To reproduce observed magic numbers (number of protons and/or neutrons in very stable nuclei), an LS-coupling term was added to the potential (nuclear force depends on L and S; not a magnetic effect).

• Results:– rules for l is

not limited to n as it is for atoms

– Magic Numbers: closed shells

• very stable• closed

shells• most

abundant nuclides

http://www.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld3_E/3Part2_E/3P26_E/shell_model_E.htm

24

Neutron vs Proton Potential Wells

Coulomb repulsion prevents potential well from being as deep for protons as for neutrons

• Doubly magic nuclei: Nuclei which have both neutron number and proton number equal to one of the magic numbers.– Very stable.– High binding energies

• LS coupling term in nuclear potential has nothing to do with magnetic fields.

• For heavy nuclei, fewer protons than neutrons due to coulomb potential.