Upload
others
View
0
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Modellieren im Mathematik-
Unterricht
Dr. rer. nat. Frank Morherr
Christian Lego
Gliederung
• Was ist ein Modell?
• Mathematisches Modell
• Aufgabe entwerfen
• Aufgabenstellung, Ziele, Probleme
• Modellierungskreislauf und Lehrbücher
• Beispiele von Modellierungsaufgaben
• Fermi-Aufgaben mit Beispielen
Gibt es einen Unterschied zwischen
Problemlösen und Modellieren?
Problemlösen
• Orientierung an einem Mathematischen Problem oder Rechenverfahren
• Heuristik
• Begrenztes Wissen wenig Zeit
Modellieren
• Orientierung an einer Fragestellung mit komplexem Inhalt (außermathematisch)
• Mathematisierung dieses Problems (Prozessorientierung)
• Recherche und Datensammlung
Werkzeug
„Echte“ und „unechte“ Anwendungen
Unechte Anwendung
• „eingekleidete“ Aufgaben
• Kein Bezug zu dem Schüler
• Sämtliche Überlegungen zur Mathematisierung bereits gegeben
Echte Anwendung
• Relevanz für Schüler („authentisch“), aber auch von allgemeinem Interesse
• Motivierend und Interesse weckend
• Offene Fragestellungen veranlassen selbstständiges Modellieren
• Reales Problem
Was ist ein Modell?
• lat.: „modulus“ : Maßstab in der Architektur
• Reale Situation wird mithilfe von Mathematik
verstanden, strukturiert oder gedeutet, im
allerweitesten Sinne gelöst
• Ein Modell ist eine vereinfachende Darstellung der
Realität, die „nur gewisse, einigermaßen
objektivierbare Teilaspekte“ berücksichtigt.
• Modelle in diesem Sinne gehen über
Anschauungsmodelle (Würfelmodell,
Tetraedermodell, Galtonbrett als Modell der
Binomialverteilung hinaus
Modellvarianten DESKRIPTIV Beschreibt schon bestehendes Phänomen
aus Natur und Gesellschaft
• Vorhersagend:
Wetterbericht
• Erklärend:
Planetenbewegung,
warum Bumerang
zurückkommt
• Beschreibend:
Landkarten, Kettenlinie
NORMATIV Verwirklichen bestimmte Absichten in
einer tatsächlichen Situation
• Vorschreibend: Kochrezepte, Schnittmuster für Schneiderei,
Anwendung bestimmter Wahlverfahren,
Festlegen von Preisen,
Berechnung von Zinsen
Mathematisches Modell
• Verwendet mathematische Sprache zur Beschreibung
eines Systems
• Erfassen wesentlicher Parameter meist natürlicher
Phänomene und diese in einem berechenbaren
Rahmen, z.B. eines Gleichungssystem
Differentialgleichungssystem, Algorithmus o.ä. zur
Vorhersage des beobachteten Systems zu nutzen
• Kann berechnet und wissenschaftlich beschrieben
werden (analytisch, numerisch)
• Kann verschiedenste Dinge behandeln, z.B. sich auf
physikalischer Gesetzmäßigkeiten stützen oder in den
Wirtschaftswissenschaften die Natur sondern von
ökonomischen / sozialen Systemen abstrahieren.
Modellierungskreislauf ( nach Blum)
Reales Modell
Reale Situation
Mathematisches
Modell
Mathematische
Resultate
Realität Mathematik
Konstruieren / Verstehen • Gegebene Situation bzw. Aufgabe verstehen
• Nötige Informationen aus dem Text entnehmen
• Vorstellungen von der Situation der Aufgabe entwickeln, z.B.
im Fall der Konservendose muss verstanden und geklärt
werden, was ein optimaler Metallbedarf ist.
• Situationsmodell betrachten, um die Aufgabe zu
veranschaulichen, im Fall der Konservendose eine reale
Konservendose bzw. Abbildung
Probleme:
• Zu anspruchsvolle und verschachtelte Aufgabenstellung
• Signalwörter werden falsch verstanden oder suggerieren
falsche Rechenoperation
• Begriffe, mit denen die Schüler unzureichend vertraut sind:
Wer keine Zinsen kennt, hat es mit Geldanlagenmodell schwer
Vereinfachen / Strukturieren • Ziel: Situationsmodell mathematisieren
• Konkrete Leitfrage trennt „wichtige“ von „unwichtigen“
Informationen, Struktur vereinfachen
• Mathematisches Wissen, Ideen, Analogien sammeln
– Welche Mathematik kenne ich in diesem Zusammenhang
– Welche Ideen habe ich
– Welche Analogien/Beziehungen sehe ich
– Wie viel Motivation habe ich/Wie viel Zeit möchte ich investieren?
• Datenerfassung, Recherche, Messungen, eventuell auch
außerhalb des Klassenraums
Probleme:
• Schüler trauen sich nicht zu idealisieren und abzuschätzen
• Können wichtiges nicht von nebensächlichem trennen
• nicht gewohnt, auf länger Zurückliegendes zurückzugreifen
• Das Realmodell muss mathematisiert werden
• Einführen mathematisch idealisierter Objekte
• Funktionen, Gleichungen, Bildungsvorschriften, Graphen,
Formeln aufstellen
• Nebenbedingungen, Daten beachten
• Lösungsvielfalt
Auftretende Fehler und Probleme:
• Verwendung falscher bzw. unpassender Formeln
• Verwendung von unangemessenen Modellen, z.B.
statt für die Gravitationskraft, oder Anwendung
von Dreisatz, wo keiner besteht
• Fehler bei der Übersetzung in mathematische Operationen
Mathematisieren
Mathematisch arbeiten • „Lösung“ des Problems führt zu mathematischem Resultat
• Mathematische Werkzeuge anwenden: analytisch,
geometrisch, numerisch (Computer),…
• Je nach Vorkenntnisse der Schüler unterschiedliche
Möglichkeiten der Auswertung. Beispiel. Extremum einer
quadratischen Funktion über Differentialrechnung oder
Scheitelpunktsform.
• Je nach Technologie mit Taschenrechner, grafikfähigem
Taschenrechner, Excel, CAS.
• Verschiedene Arten der Mathematisierung: Anspruchsvoll oder
weniger anspruchsvoll
Probleme:
• Für Schüler nicht lösbar bei Wahl eines komplizierten Modells
• Fehler mit Einheiten, Syntaxfehler
Interpretieren • Mathematisches Resultat wieder auf Realsituation bzw. reales
Modell beziehen
• Einheiten mit berücksichtigen
• Fehler in den bisherigen Phasen der Modellierung können
teilweise selbständig von Schülern während der
Interpretation/Validierung aufgedeckt werden.
Probleme:
• Mathematische Lösungen werden überinterpretiert: Schüler
rechnen irgendwas und das Ergebnis wird so interpretiert, dass
es zur Sachsituation passt.
• Schüler passen Ergebnisse so an, dass Sie zur Erwartung
passen, insbesondere auch Einheiten
• Schüler missachten den Wertebereich des Ergebnisses
• Schüler rechnen richtig, beantworten aber die eigentliche
Fragestellung nicht mehr
Validieren • Überprüfen realer Resultate im Hinblick auf Realsituation,
Reflexion getroffener Modellannahmen (Ziel führend) – Erweiterungen/Verbesserungen (oft vernachlässigt)
• Vergleich verschiedener Modelle
• Verschiedene Perspektiven
• Rundungen/Approximationen überdenken
• Kontrolle Dimension, Größenordnung, Abhängigkeiten, Randbedingungen, Widerspruchsfreiheit, Stabilität des Modells
Probleme:
• Mathematisches Resultat kann Allgemeingültigkeit suggerieren, die bei der Realsituation nicht angemessen ist
• Schließt sich veränderter Modellbildungsprozess an, kann es passieren, dass Realmodell und mathematisches Modell verbessert werden und die Realsituation gar nicht mehr adäquat modelliert wird
Darlegen / Erklären • Ergebnisse dokumentieren und präsentieren
• Vorgehen erläutern
• Kommunikative und argumentative Kompetenzen gefördert
Probleme:
• Schüler unterschlagen bestimmte Aspekte oder schreiben sie
für andere unverständlich auf oder vernachlässigen
veranschaulichende Skizzen
• Schülern gelingt es nicht, sich in andere Personen
hineinzuversetzen
• Bezüglich methodischer Kompetenzen Schüler im Unterricht
evaluieren lassen, ob sie Präsentationen von Mitschülern für
angemessen halten
Fehler, die den gesamten
Modellierungsprozess betreffen
• Schüler vergessen teilweise einzelne Phasen des
Modellierungsprozesses, daher immer wieder als Ganzes in
Erinnerung rufen
• Schüler verlieren den Überblick über ihr Handeln, wenn Sie
nicht systematisch vorgehen. Auf strenge Orientierung achten.
• Schülern fällt Trennung zwischen Situationsmodell,
Realmodell und mathematischem Modell schwer
• Jüngere Schüler, die Ziel aus den Augen verlieren, brechen
Rechnungen frustriert ab, wenn sie zu unübersichtlich werden
• Schüler benötigen genügend Zeit, daher nicht Beschränkung
auf eine Schulstunde
• Schüler versuchen mathematische Modelle universell
einzusetzen, auch wenn sie nicht passen: Eierkochbeispiel
Ziele • Bildungsstandards – K3 Mathematisches Modellieren
• Schule soll auf Leben vorbereiten (Umgang mit Geld), Verbindung zwischen Umwelt und Mathematik schaffen
• Schüler zu eigenen kompetenten Einschätzungen befähigen (kritische Ergebnisanalyse)
• Einsicht in die Bedeutung der Mathematik als Wissenschaft aber auch als Alltagsrelevanz
• Motivierende und Interesse weckende Funktion
• Mathematisieren und Modellieren lernen …
• Kommunikation fördern
• Schüler sollen aktiv werden
• Konstruktiver Austausch über verschiedene Lösungsideen
Voraussetzungen und Gestaltung
• Lehrer muss erfahren und flexibel sein
• Zielklarheit für Lehrer und Schüler
• Realitätsnah und Interesse weckend
• Offene Fragestellungen – fehlende und überflüssige Angaben
• Projektartige Arbeitsform, Freiarbeit, Gruppenarbeit, fächerübergreifend
• Aufgabenstellung authentisch und differenzierbar, …
• Anforderungsniveau und Verständlichkeit
• Intentionale Probleme als Lernanlass
• Betonung einzelner Phasen des Modellierungsprozesses
Allg. Probleme und Schwierigkeiten
• Kein Schema, fehlende Problemlösetechnik
• Zeitaufwendig (Vorbereitung, Unterricht)
• Komplexität der Realsituation
• Problem der Relevanz für Schüler (Themenwahl)
• Gezieltes und dosiertes Einsetzen
• Geeignete Fragestellung finden
• Erfahrung mit Modellierung, …
Modellierungskreislauf und Lehrbücher
modellieren in
Anwendungsaufgaben
Modellierungskreislauf und Lehrbücher
modellieren in
Anwendungsaufgaben
Modellierungskreislauf und Lehrbücher
Behandlung auf der
Metaebene
Modellierungskreislauf und Lehrbücher
Beispiele für Modellierungsaufgaben
Beispiele für Modellierungsaufgaben
• Mathematisieren, indem in die gegebene Situation ein oder
mehrere Kreise als geometrische Figuren einbeschrieben
werden
• Messen des Winkels, der zur Strichspur eines Sterns gehört
• Berechnung der Belichtungszeit, indem der gemessene
Winkel zur vollen Umdrehung und die Belichtungszeit zu
einem Tag mit 24 Stunden in Beziehung gesetzt wird
Beispiele für Modellierungsaufgaben
Beispiele für Modellierungsaufgaben
• Teil a und b: Mathematisierung auf präformaler Ebene
• Teil c: Häufiger Rückgriff auf vertraute Zufallsgeräte
Münze: Kopf Kurs steigt
Zahl Kurs fällt
Würfel: Kurs steigt/ fällt nach Augenzahl
Beispiele für Modellierungsaufgaben
• Vorgabe der Mathematisierung
• Schwerpunk auf Validierung
Beispiele für Modellierungsaufgaben
• Schwerpunk auf Interpretation und Validierung
• Möglicher Ausbau zu einem Optimierungsproblem
Beispiele für Modellierungsaufgaben
Reizvolle Aufgabe, da Elefanten in der Mathematik selten
vorkommen, allerdings mit fraglichem Realitätsbezug
Beispiele für Modellierungsaufgaben
Aufgabe mit mehreren
Herangehensweisen der
Wertebeschaffung
Modellierung zur Optimierung Die optimale Konservendose
Ein Lebensmittelhersteller möchte sein Produkt in 365 ml-Dosen
abpacken. Für welche Dosenform soll er sich entscheiden?
• Konzentration auf den Aspekt „Materialverbrauch“
• Idealisierte Betrachtung der Konservendose
• Einführung geeigneter Variablen
• Verwendung der Volumen- und Oberflächenformel für
zylindrische Körper
Zielfunktion:
Die optimale Konservendose
Die optimale Konservendose
Die optimale Konservendose Bewertung der Lösung
Die optimale Konservendose
Beispiele für Modellierungsaufgaben
Aufgabe die ein falsches Modellierungsmodell suggeriert
Lauter-Kreise Modell der Kabeltrommel
Helixmodell der Kabeltrommel
Unzulässige Modellierung der Kabeltrommel
Kabel kann so gar nicht verlaufen
Fermi-Aufgaben
• Italienischer Physiker und Nobelpreisträger Enrico Fermi (1901-1954)
• Dafür bekannt, „dass er direkte, eher provisorisch anmutende Lösungswege häufig den eleganten und meist aufwändigeren Methoden vorzog“ (Peter-Koop)
• War davon überzeugt, dass jeder denkende Mensch jede Frage beantworten kann
• Berühmteste Frage: „Wie viele Klavierstimmer gibt es in Chicago?“
Annahmen:
• Ungefähr 3 Millionen Leute leben in Chicago.
• Ungefähr zwei Personen leben durchschnittlich in einem Haushalt.
• Ungefähr in jedem zwanzigsten Haushalt gibt es ein Klavier, das
regelmäßig gestimmt wird.
• Klaviere werden ungefähr einmal pro Jahr gestimmt.
• Es dauert etwa zwei Stunden, ein Klavier zu stimmen, inklusive
Fahrzeit.
• Ein Klavierstimmer hat einen 8-Stunden-Tag, eine 5-Tage-Woche und
arbeitet 40 Wochen pro Jahr.
Daraus ergibt sich die Zahl der pro Jahr zu stimmenden Klaviere in Chicago:
(3000000 Einwohner) / (2 Personen pro Haushalt) × (1 Klavier/20
Haushalte) × (1 Mal Stimmen pro Klavier und Jahr) = 75000 Mal muss
in Chicago pro Jahr ein Klavier gestimmt werden.
Ein Klavierstimmer kann folgende Arbeit bewältigen:
(40 Wochen pro Jahr) × (5 Tage pro Woche) × (8 Stunden pro Tag) / (2
Stunden pro Klavier) = 800 Klaviere kann ein Klavierstimmer pro Jahr
stimmen.
Demnach müsste es etwa 100 Klavierstimmer in Chicago geben.
Fermi-Aufgabe
• keine richtige oder falsche Lösung -> sondern: nachvollziehbares oder nichtnachvollziehbares Ergebnis
• kein Standardverfahren zum Lösen der Aufgaben
• Fermi-Aufgaben bilden somit komplexe Probleme, die für die rechnerische Beantwortung einer Frage entweder keine oder nur unzureichend numerische Angaben aufweisen. Der Bearbeiter wird gezwungen, seine eigenen Daten zu erheben, plausible Annahmen zu formulieren oder zu schätzen, um zu einer Lösung zu gelangen.
• Ziele: Problemlösen , Argumentieren, Kommunizieren, Darstellen
• Anlass, Vorwissen zu aktualisieren, Sachen zu erforschen, zu erleben und zu erkunden, Denkprozesse zu Ende führen, festzuhalten und zu überprüfen
• Fermiaufgaben kommen damit der Lernforschung nach vernetztem, problemorientiertem, ganzheitlichen Lernen entgegen
Beispiele für Fermiaufgaben
Beispiele für Fermiaufgaben
Beispiele für Fermiaufgaben
Modellbildungsprozess anhand einer Fermiaufgabe:
Anmerkung
Ob die obige Lösung im Sinne von Fermi ist, darf allerdings
bezweifelt werden. Ihm dürfte Folgendes besser gefallen:
Der Durchmesser des Loches der Zahnpastatube macht
schätzungsweise ein Viertel des Stirndurchmessers aus, also
passt das Loch 16-mal in die Stirnseite (exakt wegen
Proportionalität, und zwar ohne Verwendung von ). Die Tube
ist ungefähr 20 cm lang. Multipliziert mit 16 macht dies 3,20 m.
Da die Tube kein Zylinder, sondern keilförmig ist, nehmen wir
grob die Hälfte und kommen auf 1,60 m (bis vielleicht 2m).
Literatur und Quellen • Hinrichs, Gerd: Modellierung im Mathematikunterricht, Verlag Spektrum 2008
• ISTRON-Schriftenreihe – Materialien für einen realitätsbezogenen Unterricht, Bände 1-9, Verlag Franzbecker
• Claus, Heinz Jörg: Einführung in die Didaktik der Mathematik , 2. Auflage 1995, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, S. 160 ff
• Müller, Gerhard; Wittmann, Erich CH.: Der Mathematikunterricht in der Primarstufe, 3. Auflage, Vieweg 1984
• Peter-Koop, A.: Wieviele Autos stehen in einem 3-km-Stau? –Modellbildungsprozesse beim Bearbeiten von Fermi-Problemen in Kleingruppen, In: Ruwisch; Peter-Koop, (Hrsg.): Gute Aufgaben im Mathematikunterricht der Grundschule, Offenburg: Mildenberger Verlag, (2003)
• Baireuther, P.(1990): Konkreter Mathematikunterricht, Bad Salzdetfurth: Franzbecker, (1990)
• Krauthausen,G.; Scherer, P. Einführung in die Mathematikdidaktik, Heidelberg, Berlin, Spektrum (2001)
• Kratz, Henrik: Wege zu einem kompetenzorientierten Mathematikunterricht, Klett
• Greefrath, Gilbert: Modellieren lernen, Aulis-Verlag 2006
• Leuders, T.; Maaß,K.: Modellieren-Brücken zwischen Welt und Mathematik, Praxis der Mathematik, Heft 3, 2006, S.1-7
• Dr. Thies, Silke: Methodik des Mathematikunterrichts; Giessen SS 2011
• http://de.wikipedia.org/wiki/Modell 03.05.10
• http://de.wikipedia.org/wiki/Mathematisches_Modell 03.05.10