MODELLIZZAZIONE DEI

TASSI DI INTERESSE

Derivati su obbligazioni e simili (1)

Per determinare un prezzo ai derivati che hanno come sottostante unaobbligazione o simili vi è bisogno di avere un modello dell'evoluzionedei prezzi di una obbligazione.Nel caso delle azioni il modello (con i suoi limiti) è il processobrowniano geometrico descritto da

Nel caso delle obbligazioni il problema è più complesso in quantoil valore di un'obligazione dipende dai flussi di cassa che vannoattualizzati col giusto tasso e quindi si deve avere un modelloper l'evoluzione di tutta la curva dei tassi.

Dopodiché dobbiamo derivare un'evoluzione risk-neutral da usarenel prezzare i derivati.

d S= S dt S d z

Derivati su obbligazioni e simili (2)

Vi sono due grandi classi di modelli per determinare il prezzodelle obbligazioni che sono il sottostante di qualche opzione

• Modelli di equilibrio (Vasicek, CIR..) Questi modelli assumono una qualche forma di equilibrio fra domanda/offerta che determina il tasso spot r(t) e fanno evolvere il tasso spot.

• Modelli di non arbitraggio ( Hull-White, HJM, Libor...) Questi modelli partono dalla curva forward come data e la fanno evolvere

Derivati su obbligazioni e simili (3)

Esistono tuttavia altri derivati che sono semplici da prezzaretanto quanto quelli sulle azioni in quanto dipendono solodal prezzo del sottostante in un dato momento nel futuro.

Per similitudine colle azioni si può pensare che il sottostante abbiauna distribuzione log-normale e che quindi si possa applicaremutatis mutande il prezzo che si deriva da BSM==> modello di Black

Esempi di strumenti strutturati del genere sono•Caplet•Floorlet•Collar (= caplet+ floorlet)

La modellizzazione dei tassi di interesse: modello Vasicek-CIR

Vasicek: ipotesi (1)

Le ipotesi su cui si basa il modello di Vasicek (1977) sono

•Il tasso di interesse spot r(t) segue un processo markoviano continuo

•Il prezzo di uno zero coupon (discount bond) con maturità T è determinato solo da r(s) con t<s<T

•Il mercato è efficiente

Vasicek: ipotesi (2)

Efficienza del mercato significa:

• Senza costi di transazione• Informazione disponibile a tutti• Investitore agisce razionalmente

in particolare questo vuol dire assenza di arbitraggio (vedi le condizioni sui coefficienti)

Vasicek: ipotesi (3)

L'evoluzione del tasso spot è data da un processo descritto da

in particolare Vasicek sceglie la forma

Questo processo è anche conosciuto come il processo diOrnstein-Uhlenbeck

d r=m r , t d tsr , t d z

d r=a b−r d t d z

Vasicek: ipotesi (4)

Il prezzo di un'obbligazione zero coupon con maturità Tè data al tempo t da

siccome dato un processo per l'evoluzione di r(s) la densità di probabilità al tesmpo s di r(s) è determinatasolo da r(t) epoichè si assume il valore dell'obbligazione come

P t ,T =P t ,T , r t

P t ,T =E e−∫t

Td s r s

=P t ,T , r t

Vasicek: caratteristiche

● Presenza della mean-reversion, che tiene conto dell’ evidenza empirica che il tasso a breve tende verso un certo valore nel lungo periodo (risolvere con dz=0);

● Modello univariato: la term structure è spiegata da un’ unica variabile di stato, il tasso a breve r(t);

● Manca eteroschedasticità ( la volatilità non cambia al variare di r)

Non arbitraggio ed il prezzo del rischio

Supponiamo che il prezzo di uno zero coupon evolva come

(questa espressione è connessa con quella di r usando Ito, esattamente come quella di V è connessa a quella di S nel modellodi Black-Scholes).

Consideriamo al tempo t di vendere una quantita' di bond W1

con maturità T1 e comprarne W

2 con maturità T

2

Il portafoglio W=W1-W

2 evolverà istantaneamente come

d P=t ,T P d tt ,T P d z

d W= t ,T 1W 1−t ,T 2W 2d t t ,T 1W 1−t ,T 2W 2d z

Non aritraggio ed il prezzo del rischio

Scegliendo opportunamente si può cancellare il termine in dzil portafoglio dovrà quindi eveolvere come un risk-free per argomenti di non arbitraggio quindi si deduce che

dove q è indipendente dai T ed è il prezzo del rischiopoiché

Vasicek assume che

t ,T 1−r t

t ,T 1= t ,T 2−r t

t ,T 2=q t , r

t ,T , r =r t q t , r t ,T , r

q t , r =q0=costante

L'equazione di Vasicek

Partendo da P(t,T,r(t)) possiamo applicare il lemma di Ito ed ottenere

da cui si ottiene usando l'equazione del prezzo del rischio

con condizione finale (esattamente come BSM)

d P=∂P∂ t

∂ P∂ rm

12∂

2P

∂ r2 s2d t

∂ P∂ rsd z

∂ P∂ t

mq s∂P∂ r

12s2 ∂

2P

∂ r2 −r P=0

P T ,T , r =1

La soluzione di Vasicek

∂ P∂ t

abq0−a r ∂P∂ r

12

2 ∂2P

∂ r2 −r P=0

L'equazione che si vuole risolvere è quindi

la cui soluzione è

Risk-neutral vuol dire q0=0! ( Però esiste il forward risk-neutral..)

P t ,T , r =A t ,T e−B t ,T r t

B t ,T =1−e−a T−t

a

A t ,T =e1

a2 B t ,T −Tt a abq0−12

2−

14a

2 B t ,T 2

La struttura a termine

Partendo dalla soluzione della precendete equazione per il modellodesiderato (caratterizzato da m e s) si può ottenere la strutturaa termine poichè la soluzione dà il valore di uno zero coupon.

Quindi si deduce la struttura a termine R(t,T) da

P t ,T =e−R t ,T T−t Rt ,T =−1T−t

log P t ,T

Opzioni col modello di Vasicek

Un'opzione europea call con strike K e maturità al tempo Tm

soddisferà la stessa equazione del bond ma con payoff, ossiacondizione al contorno diversa data da

dove il valore dell'obligazione a Tm dipende dal processo

sottastante ossia è calcolato col modello e questo è differenteda BSM.

C K ,T m ; t=T m ,T , r =max P T m ,T , r −K ,0

CIR: introduzione

● Il modello di Cox, Ingersoll e Ross (1985) considera la determinazione della struttura termine dei tassi d'interesse come un problema di formulazione di una teoria di equilibrio generale dei prezzi.

E’ necessario definire le ipotesi sulla teoria economica sottostante il modello

CIR: ipotesi

● Le ipotesi di base sono inquadrabili in due categorie:– Relative alla struttura del mercato:

● Competitività e assenza di attriti nel mercato;● Continuità degli scambi;● infinita divisibilità delle attività;● Possibilità di dare/prendere a prestito

qualsiasi quantità di denaro● Possibilità di operazioni allo scoperto

CIR: ipotesi

– Relative alla dinamica del tasso a breve r e alle preferenze degli investitori:

● Gli agenti hanno una funzione di utilità di tipo logaritmico;

● La funzione prezzo di mercato del rischio q è supposta lineare rispetto alla radice quadrata di r

● La term structure dipende unicamente dal tasso spot r(t), che evolve secondo un’ equazione stocastica markoviana di tipo square-root

q t , r = r1 /2

CIR:dinamica del tasso r(t)

● In particolare, l’ espressione che formalizza la dinamica del tasso r è:

dove a, b, σ >0 e r(t)>=0 b è il valore di lungo periodo a cui tende r(t); a è la velocità di aggiustamento di r(t) verso b;σ è il coefficiente di diffusione del processo

stocastico dz è un processo di Wiener con media nulla e

varianza pari a dt

d r=a b−r d t r1 /2 dz

CIR: caratteristiche

● Presenza della mean-reversion, che tiene conto dell’ evidenza empirica che il tasso a breve tende verso un certo valore nel lungo periodo;

● Modello univariato: la term structure è spiegata da un’ unica variabile di stato, il tasso a breve r(t);

● Eteroschedasticità:la volatilità di r(t) varia al variare del livello di r(t).

CIR: stima dei parametri

● Per stimare i parametri del modello, è possibile utilizzare una procedura a due fasi, che prevede:– Valutazione di α , γ , σ 2 con una

regressione lineare su una serie storica di tassi d’ interesse relativi a titoli obbligazionari;

– Stima di π con una procedura di regressione non lineare su serie storiche di rendimenti di obbligazioni con diversa vita a scadenza

Vasicek-CIR: vantaggi e svantaggi

● Vantaggi:– Limitato numero di parametri da stimare;– Non negatività del tasso d’ interesse.

● Svantaggi:– Presenza di molte limitazioni nelle ipotesi

di base;– Perfetta correlazione nei tassi d’ interesse;– Assenza di fit.

CIR: Curve teoriche

Theoretical (CIR) and market spot curve

2,50%

3,00%

3,50%

4,00%

4,50%

5,00%

5,50%

30-m

ar-0

1

20-se

t-06

12-m

ar-1

2

2-se

t-17

23-fe

b-23

15-a

go-2

8

Maturity

Rat

e

CIR Spot Rate Curve

Market Spot Rate Curve

CIR: Curve teoriche future

CIR Future Term Structures

2,9%

3,4%

3,9%

4,4%

4,9%

5,4%

30/03

/01

30/03

/02

30/03

/03

30/03

/04

30/03

/05

30/03

/06

30/03

/07

30/03

/08

30/03

/09

30/03

/10

30/03

/11

30/03

/12

30/03

/13

30/03

/14

30/03

/15

30/03

/16

30/03

/17

30/03

/18

30/03

/19

30/03

/20

30/03

/21

30/03

/22

30/03

/23

30/03

/24

30/03

/25

30/03

/26

30/03

/27

30/03

/28

30/03

/29

30/03

/30

30/03

/31

30/03

/32

Maturity

Rat

e

Spot Fut1 Fut2 Fut3 Fut4 Fut5 Fut6 Fut7 Fut8

La modellizzazione dei tassi di interesse: modello HJM

Le finalità del modello HJM (Heath, Jarrow, Morton)

● HJM descrive l’evoluzione temporale di un’intera curva di tassi forward

● HJM fornisce il fit esatto della struttura spot di yield (a differenza dei modelli di equilibrio, e.g. CIR)

Le ipotesi di HJM

A. Assenza di arbitraggio;B. completezza della curva dei tassi

forward;C. rischio di credito indifferenziato per

ogni operatore.

La grandezza da modellizzare: il tasso forward istantaneo

Si procede dai prezzi dei zero coupon: {P t ,T ∣T≥t }

Si definisce il Si definisce il tasso forward istantaneotasso forward istantaneo::

f t ,T ≡ limT ' T

f t ,T ,T '

Le due grandezze sono legate dalle:Le due grandezze sono legate dalle:

P t ,T =exp[−∫tT

f t ,s ds ] ⇔ f t ,T =−∂ logP t ,T

∂T

Il modello stocastico ipotizzato per la TS spot

dP t ,T

P t ,T =μ t ,T dt∑

k=1

n

σk t ,T dzk t

Drift istantaneo del rendimento di

P.

Numero di fattori di rischio statisticamente

indipendenti.

Volatilità istantanea di

P(t,T) legata al k-esimo fattore

di rischio.

Processo di Wiener associato al k-

esimo fattore di rischio

Utilizzo delle ipotesi

A. Nell’ipotesi di non arbitraggio, il drift del rendimento di P deve essere il tasso risk free istantaneo r(t,T) :

μ t ,T =r t ,T

Utilizzo delle ipotesi

C) L’ipotesi di completezza dei tassi forward implica l’indifferenziazione del tasso risk free su ogni maturity:

r t ,T =r t

Il modello stocastico dedotto per il tasso forward istantaneo

Dalle relazioni precedenti si deduce laseguente equazione HJM:

df t ,T =∑k=1

n

σ̇k t ,T ∫t

T

σ̇k t ,s ds

drift m t ,T

dt

∑k=1

n

σ̇k t ,T dzk t

dove σ̇k t ,T ≡∂σk t ,T

∂T

Implicazioni dell’equazione HJM

Le ipotesi alla base del modello HJMimplicano che il drift m(t,T):

m t ,T =∑k=1

n

σ̇k t ,T ∫t

T

σ̇k t ,s ds è completamente determinato è completamente determinato

dalla volatilità dalla volatilità : :σk t ,T

⇒

Implicazioni dell’equazione HJM

La matrice C di varianza-covarianza deifattori di rischio contiene TUTTE le informazioni di cui dispone il modelloHJM per far evolvere i tassi forward.

Dalla matrice C alle volatilità dei fattori di rischio

Per costruzione i fattori di rischio in HJMsono statisticamente indipendenti

Occorre riscrivere la matrice empiricaC nella base in cui essa è diagonale: levolatilità sono proporzionali agliautovalori (Analisi delle componentiprincipali).

σk t ,T