Modelos de Redes: Problema del flujo máximo · Investigación de Operaciones M. En C. Eduardo Bustos Farías 4 QConsidere una red con un nodo de entrada (o fuente) y un nodo de salida

Modelos de Redes: Problema Modelos de Redes: Problema del flujo mdel flujo mááximoximo

M. En C. Eduardo Bustos FarM. En C. Eduardo Bustos Farííasas

Investigación de Operaciones

M. En C. Eduardo Bustos Farías 2

Problema del flujo mProblema del flujo mááximoximo

Problema del flujo mProblema del flujo mááximoximo

Este modelo se utiliza para reducir los Este modelo se utiliza para reducir los embotellamientos entre ciertos puntos de partida y embotellamientos entre ciertos puntos de partida y destino en una red.destino en una red.Existe un flujo que viaja desde un Existe un flujo que viaja desde un úúnico lugar de nico lugar de origen hacia un origen hacia un úúnico lugar destino a travnico lugar destino a travéés de arcos s de arcos que conectan nodos intermediosque conectan nodos intermediosCada arco tiene una capacidad que no puede ser Cada arco tiene una capacidad que no puede ser excedidaexcedidaLa capacidad no debe ser necesariamente la misma La capacidad no debe ser necesariamente la misma para cada direccipara cada direccióón del arco.n del arco.



Considere una red con un nodo de Considere una red con un nodo de entrada (o fuente) y un nodo de salida entrada (o fuente) y un nodo de salida (o (o antifuenteantifuente). ). El problema del flujo mEl problema del flujo mááximo pregunta:ximo pregunta:¿¿CuCuáál es la cantidad ml es la cantidad mááxima de xima de vehvehíículos, lculos, lííquido, peatones o llamadas quido, peatones o llamadas teleftelefóónicas que pueden entrar y salir del nicas que pueden entrar y salir del sistema en un periodo determinado de sistema en un periodo determinado de tiempo?tiempo?



En este tipo de problemas se intenta En este tipo de problemas se intenta conducir el flujo por las ramas o arcos conducir el flujo por las ramas o arcos de la red en forma de la red en forma óóptima, aunque ptima, aunque dicho flujo estdicho flujo estáá limitado por limitado por restricciones diversas tales como: restricciones diversas tales como: condiciones de la carpeta asfcondiciones de la carpeta asfááltica, ltica, didiáámetros de tubermetros de tuberíía, etc. a, etc. Al lAl líímite mmite mááximo de flujo de una rama ximo de flujo de una rama se le denominarse le denominaráá capacidad de flujo.capacidad de flujo.



Se quiere transportar la mSe quiere transportar la mááxima cantidad de flujo desde xima cantidad de flujo desde un punto de partida (fuente) o un punto final (pozo) un punto de partida (fuente) o un punto final (pozo) ieie..

Al respecto diremos que existen muchos algoritmos Al respecto diremos que existen muchos algoritmos especializados para dar soluciespecializados para dar solucióón a los n a los P.F.MP.F.M..



ObservaciObservacióón:n:1.Se debe considerar una red dirigida.1.Se debe considerar una red dirigida.2.Tiene una fuente y un pozo. 2.Tiene una fuente y un pozo. 3.Los otros nodos son de trasbordo.3.Los otros nodos son de trasbordo.4.Capacidad de los arcos.4.Capacidad de los arcos.5.El objetivo es determinar el patr5.El objetivo es determinar el patróón factible de flujo a travn factible de flujo a travéés de la s de la

red que maximice el flujo total desde la fuente de destino. red que maximice el flujo total desde la fuente de destino.

DefiniciDefinicióón del Probleman del Problema

-- Existe un nodo origen (con el nExiste un nodo origen (con el núúmero 1), del cual los flujos mero 1), del cual los flujos emanan.emanan.

-- Existe un nodo terminal (con el nExiste un nodo terminal (con el núúmero n), en el cual todos los mero n), en el cual todos los flujos de la red son depositados.flujos de la red son depositados.

-- Existen nExisten n--2 nodos (2 nodos (nnúúmeradosmerados del 2, 3,....,ndel 2, 3,....,n--1), en el cual el 1), en el cual el flujo que entra es igual al flujo que sale.flujo que entra es igual al flujo que sale.

-- La capacidad CLa capacidad Cij ij que transita del nodo i al nodo j, y la que transita del nodo i al nodo j, y la capacidad capacidad CCjiji para la direccipara la direccióón opuesta.n opuesta.

El objetivo es encontrar la mEl objetivo es encontrar la mááxima xima cantidad de flujo que salga del nodo cantidad de flujo que salga del nodo 1 al nodo n sin exceder la capacidad 1 al nodo n sin exceder la capacidad de los arcos.de los arcos.



El problema consiste en encontrar la El problema consiste en encontrar la mmááxima cantidad de flujo total que xima cantidad de flujo total que puede circular a travpuede circular a travéés de la red en una s de la red en una unidad de tiempo.unidad de tiempo.

El El úúnico requerimiento en ellos es que nico requerimiento en ellos es que para cada nodo (que no sea la fuente o para cada nodo (que no sea la fuente o el destino) la relaciel destino) la relacióón de equilibrio debe n de equilibrio debe cumplirse:cumplirse:

flujo que sale = flujo que entra flujo que sale = flujo que entra



Dicho en tDicho en téérminos formales, siendo f = flujo, n = rminos formales, siendo f = flujo, n = destino, l = origen:destino, l = origen:

Maximizar f sujeto a:Maximizar f sujeto a:

de la redde la red

capacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversocapacidades en el flujo por unidad de tiempo de los diversos arcos.s arcos.

=−∑∑ j jij ij xx

= f, si i = 1

= -f, si j = n

= 0 en otro caso

ji

Ux ijij

,

0

∀

≤≤

=ijU



El algoritmo de flujo mEl algoritmo de flujo mááximo se fundamenta ximo se fundamenta en pasos de sentido comen pasos de sentido comúún: encontrar un n: encontrar un camino que inicie en la fuente y concluya en camino que inicie en la fuente y concluya en la la antifuenteantifuente, que tenga capacidad de flujo en , que tenga capacidad de flujo en el sentido deseado y mayor a cero para todas el sentido deseado y mayor a cero para todas las ramas que integran el camino o ruta. las ramas que integran el camino o ruta. Debemos continuar buscando caminos que Debemos continuar buscando caminos que vayan de fuentes a depvayan de fuentes a depóósitos y que sigan sitos y que sigan teniendo capacidad mayor a cero para todas teniendo capacidad mayor a cero para todas las ramas en el sentido del flujo.las ramas en el sentido del flujo.



PASOS DEL ALGORITMOPASOS DEL ALGORITMO

1. Encontrar un camino que vaya del origen 1. Encontrar un camino que vaya del origen al destino y que tenga capacidad mayor a al destino y que tenga capacidad mayor a cero en el sentido deseado.cero en el sentido deseado.2. Encontrar la rama de menor capacidad (2. Encontrar la rama de menor capacidad (PfPf) ) del camino seleccionado en el paso anterior y del camino seleccionado en el paso anterior y programar el envprogramar el envíío de dicha capacidad (o de dicha capacidad (PfPf).).3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir 3. Para el camino elegido en el paso 1 reducir la cantidad la cantidad PfPf en las ramas involucradas y en las ramas involucradas y aumentar dicha cantidad en el sentido aumentar dicha cantidad en el sentido contrario.contrario.4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.4. Repetir el procedimiento desde el paso 1.



EJEMPLO 1EJEMPLO 1

Flujo mFlujo mááximoximo



Una ciudad es atravesada por una red Una ciudad es atravesada por una red interestatal de carreteras de norte a sur que interestatal de carreteras de norte a sur que le permite alcanzar un nivel de 15,000 le permite alcanzar un nivel de 15,000 vehvehíículos/hora en el horario culos/hora en el horario ““picopico””. . Debido a un programa de mantenimiento Debido a un programa de mantenimiento general, el cual exige cerrar dichas vgeneral, el cual exige cerrar dichas víías, un as, un grupo de ingenieros ha propuesto una red de grupo de ingenieros ha propuesto una red de rutas alternas para cruzar la ciudad de norte rutas alternas para cruzar la ciudad de norte a sur, la cual incorpora avenidas importantes.a sur, la cual incorpora avenidas importantes.



La red propuesta es la siguiente. Incluye el número de vehículos (miles) que pueden circular por dichas vías.



1. 1. ¿¿Puede la red propuesta dar cabida a Puede la red propuesta dar cabida a un flujo mun flujo mááximo de 15,000 v/h de ximo de 15,000 v/h de norte a sur?norte a sur?

2. 2. ¿¿CuCuáál es el flujo ml es el flujo mááximo de vehximo de vehíículos culos que permite la red cada hora?que permite la red cada hora?

3. 3. ¿¿QuQuéé flujo se debe canalizar sobre flujo se debe canalizar sobre cada rama?cada rama?



SOLUCISOLUCIÓÓNN



3

2

0 5

1. 1-2-5-7 3



36

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 6

0 11



361

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 63. 1-4-6-7 1

0 11

4

4

0



3611

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 63. 1-4-6-7 14. 1-4-6-5-7 1

0 11

4

4

0

3

3

0

4



3+6+1+1+2=13

2

0 5

1. 1-2-5-7 32. 1-3-6-7 63. 1-4-6-7 14. 1-4-6-5-7 15. 1-2-3-5-7 2

0 11

4

4

0

3

3

0

4

0 01

2

SOLUCIÓN FINAL



36112

2

0 5

0 1 1

4

4

0

3

3

0

4

0 01

2

3 65

2

2 26

2

61

7



EJERCICIO 2EJERCICIO 2

Flujo mFlujo mááximoximo



La compaLa compañíñía estatal de petra estatal de petróóleo cuenta con una red de leo cuenta con una red de oleoductos que utiliza para transportar petroleoductos que utiliza para transportar petróóleo desde su leo desde su refinerrefineríía (fuente) hasta diversos centros de almacenamiento. a (fuente) hasta diversos centros de almacenamiento. Una parte de la red de oleoductos es la siguiente:Una parte de la red de oleoductos es la siguiente:

¿Cuál es el flujo máximo?



Como puede observarse, las capacidades de flujo son Como puede observarse, las capacidades de flujo son variables como resultado de los diversos divariables como resultado de los diversos diáámetros metros de los de los ductosductos capscaps. en miles de . en miles de galgal. por hora.. por hora.

1.1. LaLa empresa desea abastecer el almacempresa desea abastecer el almacéén 7, n 7, ¿¿CuCuáál es l es el flujo mel flujo mááximo con el cual puede abastecerlo?ximo con el cual puede abastecerlo?

2.2. ¿¿CuCuáánto tiempo se requiere para satisfacer una nto tiempo se requiere para satisfacer una demanda de 95,000 galones para el mismo almacdemanda de 95,000 galones para el mismo almacéén?n?

3.3. SiSi se presentarse presentaráá una ruptura o cierre en el una ruptura o cierre en el ductoducto que que va de 2va de 2--3, 3, ¿¿CuCuáál serl seríía ahora el flujo ma ahora el flujo mááximo para el ximo para el sistema?sistema?



SOLUCISOLUCIÓÓNN



33

3

02

1. 1-2-5-7 3



3+2

3+2

3

02

4

0

1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 2



3+2+2

3+2+2

3

02

4

0

2

1

0 3

1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 23. 1-4-3-6-7 2



1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 23. 1-4-3-6-7 24. 1-4-3-5-7 1

3+2+2+1

3+2+2+1

3

02

4

0

2

1

0 31

0

1

1



1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 23. 1-4-3-6-7 24. 1-4-3-5-7 15. 1-4-6-7 1

3+2+2+1+1

3+2+2+1+1

3

02

4

0

2

1

0 31

0

1

1

0

0

2



1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 23. 1-4-3-6-7 24. 1-4-3-5-7 15. 1-4-6-7 16. 1-2-3-5-7 1

3+2+2+1+1+1

3+2+2+1+1+

3

02

4

0

2

1

0 31

0

1

1

0

0

2

21

0

0



1. 1-2-5-7 32. 1-4-7 23. 1-4-3-6-7 24. 1-4-3-5-7 15. 1-4-6-7 16. 1-2-3-5-7 1

3+2+2+1+1+1

El Flujo máximo es:3+2+2+1+1+1=10

3

02

4

0

2

1

0 31

0

1

1

0

0

2

21

0

0



4

3

511

63 1

2

32

El Flujo máximo es:3+2+2+1+1+1=10

COMPACOMPAÑÍÑÍA QUIMICA UNIDAA QUIMICA UNIDAQuQuíímica unida produce pesticidas y otros productos mica unida produce pesticidas y otros productos de control agrde control agríícola.cola.El veneno quEl veneno quíímico necesario para la produccimico necesario para la produccióón es n es depositado en grandes tambores.depositado en grandes tambores.Una red de tubos y vUna red de tubos y váálvulas regula el flujo del lvulas regula el flujo del ququíímico de los tambores a las diferentes mico de los tambores a las diferentes ááreas de reas de producciproduccióón.n.El departamento de seguridad debe diseEl departamento de seguridad debe diseññar un ar un procedimiento que vacprocedimiento que vacííe los tambores de la forma e los tambores de la forma mmáás rs ráápida posible dentro de los tubos del pida posible dentro de los tubos del áárea de rea de depdepóósito, usando la misma red de tubos y vsito, usando la misma red de tubos y váálvulas.lvulas.El procedimiento debe determinar:El procedimiento debe determinar:-- QuQuéé vváálvulas deben abrirse y cerrarselvulas deben abrirse y cerrarse-- Estimar el tiempo total de descarga.Estimar el tiempo total de descarga.

DatosDatos

Tambores con químico

1 7

4

2

3

6

5

10

0

80

0

0

0

0

0

0

10

61

12

1 4

4 2

2 8

3

3

7

2

El máximo flujo de 2 a 4 es 8

No se permite flujo de 4 a 2.

Tubo de Seg.

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