Upload
achsana-miftahul-jannah
View
222
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
7/24/2019 Modul KD1
1/46
Modul Bahan KuliahModul Bahan Kuliah
Jurusan Teknik Sipil UNSOleh: Wibowo
7/24/2019 Modul KD1
2/46
Metode Energi adalah metode yang sangat baik
(powerful) untuk memformulasi hubungan gaya
dan perpindahan
Pembahasan Metode energi termasuk:
1. Energi Regangan (Strain Energy)2. Metode Kerja Nyata3. Metode Kerja Maya
7/24/2019 Modul KD1
3/46
Kerja Luar = Kerja Dalam
Sebagai ilustrasi misal sebuah elemen struktur dibebani gaya P dan q maka:
Kerja Luar (External Work) : adalah produk gaya luar
Kerja dalam (Internal Work) : adalah produk gaya dalam
7/24/2019 Modul KD1
4/46
J ika suatu struktur elastis bekerja beban Pi pada titik idan terjadi penambahan deformasi dvi oleh beban lain, sementaraPi konstan, maka kerja oleh Pi akibat perpindahan dvi adalah :
ii
v
ii
v
ii
ii
vPdvPdvPW
dvPdw
ii
===
=
00
Pi Pi
vidvi
7/24/2019 Modul KD1
5/46
Bila displacement diakibatkan oleh beban Pi itu sendiri maka:
K
1
Pi
vi
Displacement vi adalah proporsional terhadap penambahan beban Pi
iiiiiiiii vPKvdvvKdvKvdvPW 212
2
1=====
Pi
vi
iivPW
2
1
=
Complimentary work
7/24/2019 Modul KD1
6/46
z
y
x
dy
dx
dz
Gaya dalam merespon beban luar yang diaplikasikan padastruktur serta deformasinya. GD mempunyai kapasitasuntuk menghasilkan kerja dan menjaga struktur padakonfigurasi asalnya.
7/24/2019 Modul KD1
7/46
Energi dalam juga sering disebut energi regangan (strain energy)
Disimbolkan Ustrain
( ) == dvoldddxdydzdxdydzdUntuk material elastis : =.E , maka internal work elemen tak hingga :
== )()()( 21221 voldvoldEdvolEd Internal work system yang diaplikasikan tegangan aksial adalah integral
dari energi utk elemen tak hingga atas volumenya.
=== )())(( 212121 volddxdydzdxdydzUa
7/24/2019 Modul KD1
8/46
Suatu batang elastis dibebani beban P dan
kekakuannya K, maka energi elastisnya:
===== KP
PvKvKvdvPdvUa 2
2
212
21
Untuk batang dibebani beban aksial U mengakibatkan displacement u, maka
Energi elastisnya:
== dxuEAdxEAU
Ua 221
2
21 )'(
7/24/2019 Modul KD1
9/46
Untuk elemen yang mengalami lentur (flexural)
=
= dAydx
I
Mvold
I
My
E
UbE
2
2
121
2
21 )(
1
Inersia penampang
Maka:
== dxvEIdxEIM
Ub 221
2
21 )''(
7/24/2019 Modul KD1
10/46
Dengan cara yang sama, ekspresi energi elastis untuk Geser:
== dAdxGvoldGUs2
21
2
21 )(
Bila dimasukkan rumus tegangan geser di sembarang titik dipenampang:A
V =
== dAdxGV
dAdxG
VUs 2
2
21
22
21
= dA 21 Adalah shape factor maka,= dxGV
Us2
21
7/24/2019 Modul KD1
11/46
Untuk torsi:
== dxGJdxGJT
Ut 221
2
21 )'(
Bila lebih dari satu macam deformasi terjadi maka total energi regangan
adalah jumlah dari energi regangan dari berbagai deformasi tersebut.
7/24/2019 Modul KD1
12/46
Apa yang terjadi ketika struktur ber deformasi ?
Ketika Struktur berdeformasi gaya luar (external force) yang membebanistruktur tsb menunjukkan eksternal work (We). Pada saat bersamaan
struktur mengembangkan gaya dalam (internal force) yang melawan
eksternal force tsb. Kerja dari GD ini yang selaras dengan deformasi
disebut internal work (Wi).
Total Energi pada peristiwa ini tidak berubah, maka:
We = Wi
7/24/2019 Modul KD1
13/46
Hitung defleksi (v1) dari balok kantilever pada gambar:
P
L
v1
Modulus elastisitas E dan Momen Inersia Penampang I
7/24/2019 Modul KD1
14/46
Defleksi v1 diakibatkan oleh P, maka eksternal work adalah:
121PvWe=
Internal work adalah energi elastis pada saat balok mengalami momen:
PM = === L
bEI
lPdxx
EI
Pdx
EI
MU
0
322
22
21
62
ie WW = maka
EI
Plv
EIlPPv
3
6
3
1
32
121
=
=
7/24/2019 Modul KD1
15/46
Metode Kerja MayaMetode Kerja Maya
(Virtuil Work)(Virtuil Work) Jika struktur dalam keadaan setimbang maka akibatbeban luar akan menghasilkan gaya dalam yang sesuai.
Bila diaplikasikan tambahan displacement atau gaya luarmaya maka akan ada penambahan (penyesuaian) gayadalam yang terjadi.
Kerja dari real force pada virtual displacement atauvirtual force pada real displacement adalah yg disebutvirtual work (kerja maya) dari sebuah struktur.
Virtual work dari gaya luar dan gaya dalam adalah sama
7/24/2019 Modul KD1
16/46
Aplikasi untuk elemen dgn bebanAplikasi untuk elemen dgn beban
aksialaksial
u
ud
du +
U2
U1
x dx
L
Akibat beban aksial U maka displacement penampang pada x adalah u
dx
7/24/2019 Modul KD1
17/46
Virtual workVirtual work
=== l
i uuUdxuddUdxu
ddUW
0 12 )()()(
)( 121122 uuUuUuUWe ==
Internal work pada elemen di atas:
Eksternal work:
7/24/2019 Modul KD1
18/46
V W lanjutanV W lanjutan
Adxvold
dx
ud
AU
=
=
=
)(
)(
=vol
voldWi )(
Internal virtual work juga bisa dinyatakan dalam bentuk tegangandan regangan:
Maka:
7/24/2019 Modul KD1
19/46
VW lanjutanVW lanjutan
WeUs=
Jadi dari persamaan terakhir dapat digeneralisir bahwa internal workadalah sama dengan energi elastic dari system.
Dengan mengikuti prosedur yang mirip (dgn internal work), makauntuk semua system struktur dapat ditulis:
7/24/2019 Modul KD1
20/46
VW lanjutanVW lanjutan
=
=vol
n
i
ii vPvold1
)()(
=
=vol
n
iii Pvvold
1
)()(
Pada struktur dengan n beban nyata Pi menyebabkan terjadinya tegangan .Bila struktur tersebut diberlakukan virtual displacement yang menyebabkan
displacement vi searah dengan arah beban maka persamaan mejnadi:
Bila struktur dalam kondisi setimbang oleh beban maya Pi yg menyebabkan
tegangan dan dikenai beban Pi yang menyebabkan displacement vi dilokasi dan arah dari gaya maya akan memeberi pers:
7/24/2019 Modul KD1
21/46
Defleksi Struktur dgn VWDefleksi Struktur dgn VW
Prinsip Virtual Work dapat digunakanuntuk menghitung defleksi struktur.
Prinsip ini terutama cocok untuk struktur
yang diaplikasikan tegangan kombinasi danbeban yang diskontinyu.
Contoh struktur yang defleksinya dihitungdgn prinsip VW adalahTrussdanBeam.
7/24/2019 Modul KD1
22/46
Formulasi defleksi dgn VWFormulasi defleksi dgn VW
Prinsip Truss:
Eksternal VW yg dilakukan oleh gaya satuan = 1 x v
Internal VW oleh virtuil gaya batang (fi) =
ii lf=
ii lf
Persamaan VW truss :
Langkah-langkah:1. Hitung Gaya Batang akibat gaya luar2. Hilangkan Gaya luar, aplikasi beban 1 satuan di joint yg ditinjau, hit gaya batang3. Gunakan rumus VW utk menghitung defleksi
Persamaan defleksi truss : =i i
iii
A
lfF
E
1
7/24/2019 Modul KD1
23/46
Defleksi balok dgn VWDefleksi balok dgn VW
Analogi pada truss, pada balok perhitungan juga dilakukan denganaplikasi beban 1 satuan, hanya ekternal maupun internal force yangdihitung adalah momen
dAydxEI
mMvold
I
my
EI
My li == 0
2
2)(
=l
i dxEI
mM
0
7/24/2019 Modul KD1
24/46
TrussTruss
contoh
20 20 20 20
10
P1 P2 P3
1
2 4 6
3 5 7
8
P1=P2=P3=10 kips
E=29000 ksi
Panjang batang (l) dan luas (A)penampang disajikan dalam tabel
1 kips
7/24/2019 Modul KD1
25/46
PenyelesaianPenyelesaian
=i
ii lf
i
ii
i EA
lF
l =
=i i
iii
A
lfF
E
1
Untuk menyelesaikan soal diatas maka dilakukan aplikasi beban maya sbb:Kerja maya luar(ekternal vcirtual work) dilakukan dengan memberikanbeban satuan 1 x v, sementara kerja maya dalam (internal virtual work)dengan menghitung gaya batang akkibat beban maya satu satuan dikalikandisplacement terjadi.Jadi persamaan kerja maya:
Dimana li adalah:
Subtitusi pers di atas:
7/24/2019 Modul KD1
26/46
Perhitungan disajikan dalam tabelPerhitungan disajikan dalam tabel
Batang Ai Fi fi5 Fi x fi5 x /Ai
1-2 268.33 6 -33.54 -1.12 1679.96046
1-3 240 6 30 1 1200
2-3 120 4 0 0 0
2-4 240 6 -40 -2 3200
2-5 268.33 6 11.8 1.12 591.041547
3-5 240 6 30 1 1200
4-5 120 4 -10 0 0
4-6 240 6 -40 -2 3200
5-6 268.33 6 11.8 1.12 591.041547
5-7 240 6 30 1 12006-7 120 4 0 0 0
6-8 268.33 6 -33.54 -1.12 1679.96046
7-8 240 6 30 1 1200
Jml 15742.004
Defleksi pada titik 5 = 15742/E = 0.54282772 in
7/24/2019 Modul KD1
27/46
Defleksi balok dgn Virtuil WorkDefleksi balok dgn Virtuil Work
Tentukan defleksi pada ujung bebas balok balok sbb:
2 kip/ft
20 ft 5 ft
7/24/2019 Modul KD1
28/46
Penyelesaian:Penyelesaian:
kipsRkipsRR
25,3175,18252
75,180)5,1220(25220
2
11
====
kipsr
kipsrr
25,1)25,0(1
25,005120
2
11
====+
Reaksi perletakan akibat beban luar:
Reaksi perletakan akibat beban 1 satuan di ujung bebas balok:
7/24/2019 Modul KD1
29/46
Penyelesaian lanjutanPenyelesaian lanjutan
xm
xxxxM
25,0
75,182/275,18 22
===
xxxm
xxxxxM
+=+=+=+=
25)20(25,125,0
50625)20(25,312/275,18 22
Momen akibat beban luar bekerja:
Untuk x< 20 ft:
Untuk x> 20 ft:
7/24/2019 Modul KD1
30/46
Contoh soal 1Contoh soal 1
7/24/2019 Modul KD1
31/46
Contoh 2Contoh 2
7/24/2019 Modul KD1
32/46
Lanjutan contoh 2Lanjutan contoh 2
7/24/2019 Modul KD1
33/46
Contoh 3Contoh 3
7/24/2019 Modul KD1
34/46
Lanjutan contoh3Lanjutan contoh3
7/24/2019 Modul KD1
35/46
LanjutanLanjutan
+++=20
0
25
20
22
3 )25)(50625(1
)25,0)(75,18(1
dxxxxEI
dxxxxEI
v
EI
ftkipv
3
3
.75,2343=
Persamaan kerja maya:
Hasil integrasi:
7/24/2019 Modul KD1
36/46
Teorema CastiglianoTeorema Castigliano
=
=vol
n
i
ii vPvold1
)()(
0)(1
= =
n
iiiis vPvU
Teorema ini sangat berguna untuk menghitung defleksi stukturkhususnya yang mengalami beban lebih dari satu
Dengan mengassumsikan bahwa Us adaah fungsi dari virtuil displacement maka
Persamaan
Dapat ditulis:
7/24/2019 Modul KD1
37/46
=
=
n
ii
i
ss v
v
UU
1
Variasi dari Us dapat ditulis dalam variabel vi:
Maka persamaan sebelumnya menjadi:
01
=
=i
n
ii
i
s vPv
U
Penyelesaian persamaan di atas:
i
i
ii
s
v
UsP
atau
Pv
U
=
=
0
7/24/2019 Modul KD1
38/46
Diferensial parsiil dari energi elastic (Us) dari struktur yang sesuai dengandisplacementdari suatu titik adalah sama dengan gaya yang bekerja pada
titik tersebut dengan arah yang sama dengan displacementnya.
Dengan cara yang sama (similar):
i
si
P
Uv
=
1st theorem:
7/24/2019 Modul KD1
39/46
LanjutanLanjutan
=1
0
dxP
M
EI
Mv
i
i
2nd therem:
Differensial parsiil dari Energy Regangan/Elastik yang mempengaruhigaya Pi adalah sama dengan defleksi di lokasi yg sama dengan arah
sama dengan Pi.
Teorema ini bisa digunakan untuk menghitung gaya redundant (reaksiperletakan) dengan cara memasukkan harga defleksi = 0.
Untuk balok dimana Us = Ub maka ekpresi theorema kedua Castigliano:
7/24/2019 Modul KD1
40/46
Aplikasi Metode EnergiAplikasi Metode Energiuntuk perhitunganuntuk perhitungan
Slope Defleksi/rotasi danSlope Defleksi/rotasi danFixed End MomentFixed End Moment(Momen Primer)(Momen Primer)
7/24/2019 Modul KD1
41/46
Rotasi / Slope DefleksiRotasi / Slope Defleksi
Hitunglah rotasi di A
dgn metode kerja maya
7/24/2019 Modul KD1
42/46
PenyelesaianPenyelesaian
A B
1
m pada x=0 = 1
m pada x=L = 0
Mx
=L
dxEI
mM
0
..
7/24/2019 Modul KD1
43/46
IntegrasiIntegrasi
=
L
dxL
xL
EI
xLxq
0
2
21 )(
=L
dxL
xxLx
EI
q
0
2 )1)((2
L
L
xx
xL
EI
q0
43
2
43
2
2
.
2 +=
EI
qL
24
3
=
7/24/2019 Modul KD1
44/46
Fixed End Momen (Momen Primer)Fixed End Momen (Momen Primer)
7/24/2019 Modul KD1
45/46
PenyelesaianPenyelesaian
L
A B
A B
m = 1M
M M
Mx
mx
=L
dxEI
mM
0
..
7/24/2019 Modul KD1
46/46
Integrasi Kerja mayaIntegrasi Kerja maya
=L
dxEI
mM
0
..
[ ] =L
dxEI
MMxLxq
0
221 )(
0
( ) =L
dxMxLxqEI
M
0
2
21 )(
= Mx
xq
xqL
L
EI
M
32
3
21
2
21
0
( )MLqLEI
M= 3
1210
2
12
1
qLM=