Modul MTE3108 Pembezaan & Pengamiran

MTE3108 – Kalkulus Asas

1

TAJUK 1 DERIVATIF – 12 JAM

HASIL PEMBELAJARAN

Pada akhir topik ini, anda seharusnya dapat

• mendefinisikan kecerunan sesuatu tangen kepada lengkungan pada satu titik

dengan konsep had.

• memahami definisi keterbezaan suatu fungsi f pada satu titik.

• memahami definisi terbitan suatu fungsi pada satu titik.

• menentukan terbitan suatu fungsi dengan menggunakan definisi terbitan atau

prinsip pertama pembezaan.

• menggunakan teorem terbitan seperti petua hasil tambah, petua hasil darab dan

petua hasil bahagi.

• menentukan terbitan bagi fungsi polynomial, rasional dan trigonometri asas

dengan rumus pembezaan.

• mencari terbitan fungsi peringkat lebih tinggi

• mengamalkan konsep pembezaan untuk mencari kadar perubahan seperti halaju

dan pecutan serta kadar perubahan dalam bidang ekonomi.

• menjalankan pembezaan tersirat.

KERANGKA TAJUK 1

1.1 Tangen kepada Lengkungan

1.2 Terbitan suatu Fungsi

1.3 Garis Tangen dan Normal

1.4 Keterbezaan dan Keselanjaran

1.5 Rumus dan Petua Pembezaan

1.6 Terbitan Peringkat Lebih Tinggi

1.7 Aplikasi Terbitan : Terbitan sebagai Kadar Perubahan

1.8 Pembezaan Fungsi Trigonometri Asas

1.9 Pembezaan Tersirat


2

1.1 Tangen kepada Lengkungan

Mari kita pertimbangkan graf suatu fungsi f di mana P (c , f(c)) ialah satu titik pada

lengkungan. Untuk mencari tangen pada titik P di atas lengkungan, kita memilih suatu

nombor kecil , h ≠ 0 dan tandakan titik Q (c + h, f ( c + h )) yang berdekatan dengan P.

Jika h > 0 dan bila h menghampiri sifar, garis PQ menghampiri satu kedudukan terhad

seperti ditunjukkan oleh garis berputus-putus seperti ditunjukkan. Garis ini dikenali

sebagai tangen kepada lengkungan pada titik P (c, f (c)). Jika h < 0 dan bila h

menghampiri sifar dari sebelah kiri, hasilnya adalah sama.

Tangen kepada lengkungan pada satu titik

Kecerunan garis PQ diberi oleh h

cfhcf )()( −+ . Anda boleh mencari kecerunan garis

PQ bila perubahan h menghampiri sifar dengan menentukan nilai h

cfhcfhadh

)()(0

−+→

.

Oleh itu, kecerunan graf pada titik P ( c, f ( c ) ) mempunyai nilai h

cfhcfhadh

)()(0

−+→

.

Fungsi f dikatakan terbezakan pada titik c jika h

cfhcfhadh

)()(0

−+→

wujud. Jika

had ini wujud, ia dipanggil sebagai terbitan f pada c dan ditulis sebagai f ′(c). Untuk

memperoleh f ′(c) iaitu kecerunan graf pada titik (c, f (c )), kita dikehendaki menilai


3

h

cfhcfhadh

)()(0

−+→

dan f perlu tertakrif sekurang-kurangnya dalam selang terbuka

yang mengandungi c. Dengan rumus titik–kecerunan, persamaan tangen adalah

y – f( c ) = f ′(x) ( x – c ).

Contoh

Cari terbitan bagi fungsi f (x) = x2 pada titik (2, 4). Seterusnya dapatkan

persamaan bagi tangen kepada graf pada titik tersebut.

Penyelesaian

f ′( 2 ) =h

fhfhadh

)2()2(0

−+→

= h

hhhadh

444 2

0

−++→

= h

hhhadh

2

0

4 +→

= )4(0

hhadh

+→

= 4

Persamaan tangen kepada graf pada titik (2, 4) ialah

y – 4 = 4 ( x – 2 ) or y = 4x – 4.

Contoh

Cari g′ ( 2 ) diberi g ( x ) = 2x2 - 5x + 1.

Penyelesaian

g(1) = h

ghghadh

)2()2(0

−+→

= h

hhhadh

11081)2(5)2(2 2

0

−+−++−+→

= h

hhhhadh

582 2

0

−+→


4

= h

hhhadh

32 2

0

+→

= )32(0

+→

hhadh

= 3

1.2 Terbitan Suatu Fungsi

Terbitan suatu fungsi f ialah fungsi f ′ dengan nilai pada x diberi oleh

f ′( x ) = h

xfhxfhadh

)()(0

−+→

, jika hadnya wujud. Untuk membezakan sesuatu fungsi

bermakna mencari terbitannya dengan syarat fungsi f adalah tertakrif dalam selang

terbuka yang mengandungi x.

Contoh

Cari terbitan bagi f, f ′ (x) diberi f (x ) = x3 + 2x - 8

Penyelesaian

f ′ (x ) = h

xfhxfhadh

)()(0

−+→

= [ ] [ ]

h

xxhxhxhadh

828)(2)( 33

0

−+−−+++→

= h

xxhxhxhhxxhadh

8282233 33223

0

+−−−+++++→

= h

hhxhhxhadh

233 322

0

+++→

= )233( 22

0+++

→hxhxhad

h

= 3x2 + 2


5

Contoh

Diberi f ( x ) = x , x ≥ 0, cari terbitannya, f ′( x )

Penyelesaian

f ′( x ) = h

xfhxfhadh

)()(0

−+→

= h

xhxhadh

−+→0

=

++++

−+→ xhx

xhx

h

xhxhadh 0

= xhxh

xhxhadh ++

−+→ (

)(0

= xhx

hadh ++→

10

= x2

1 , x > 0

Contoh

Cari terbitan untuk fungsi, f (x) = x

1 , x ≠ 0 dengan menggunakan prinsip pertama

pembezaan.

Penyelesaian

f (x) = x

1

f ′(x) = h

xfhxfhadh

)()(0

−+→


6

= h

xhxhadx

11

0

−+

→

= h

hxx

hxx

hadh

)(0

+−−

→

= )(

10 hxx

hadh +

−→

= 2

1

x−

Aktiviti Percubaan

Dengan menggunakan definisi terbitan, cari terbitan pertama bagi fungsi

f ( x ) = x−2 , x ≤ 2

___________________________________________________________________

Contoh

Diberi f ( x ) =

>≤

3,3

3,2

xx

xx , cari f ′ ( -3 ) and f ′( 3 )

Penyelesaian

f ′ (-3 ) = h

fhfhadh

)3()3(0

−−+−→

= h

hhhadh

969 2

0

−−+→

= - 6

So, f ′( -2 ) = - 6

f ′( 3 ) = h

fhfhadh

)3()3(0

−+→

Oleh sebab fungsi f tidak ditakrifkan dengan rumus yang sama pada kedua-dua belah

untuk 3, kita menentukan hadnya dengan menggunakan had sebelah.


7

Sebelah kiri 3, f (x) = x2 ⇒ f ′- ( 3 ) = =−+−→ h

hhadh

9)3( 2

0 h

hhhadh

2

0

6 +−→

= 6

Sebelah kanan 2, f(x) = 3x ⇒ f ′+ ( 3 ) = =−++→ h

hhadh

9390 h

hhadh

30+→

= 3

Disebabkan had-had sebelah tidak sama, h

fhfhadh

)3()3(0

−+→

tidak wujud.

Maka, tiada terbitan pada titik x = 3.

Contoh

Diberi g ( x ) =

≥

<

2

1,

2

1,2

xx

xx , find g ′ (

2

1 )

Penyelesaian

Sebelah kanan 2

1, g ( x ) = x . Oleh itu,

g ′+( 2

1 ) =

h

fhfhadh

)2

1()

2

1(

0

−++→

= h

hhadh

2

1)

2

1(

0

−++→

= 1

Sebelah kiri 2

1 , g (x ) = x2. Oleh itu,

g ′- ( 2

1 ) =

h

fhfhadh

)2

1()

2

1(

0

−+−→

= h

hhadh

4

1)

2

1( 2

0

−+−→

= h

hhhadh

2

0

+−→

= 1

Kedua-dua belah had adalah sama, had wujud and sama dengan 1.

Maka, g ′ (1 ) = h

fhfhadh

)2

1()

2

1(

0

−+

→= 1

Aktiviti Percubaan

Diberi g (x ) =

>≤+

1,2

1,12

xx

xx , find g ’ (0) and g ’ (1)


8

1.3 Garis Tangen dan Normal

Katakan P ( c, f(c) ) ialah satu titik di atas lengkungan bagi fungsi f dan jika f adalah

keterbezakan pada x = c. maka persamaan bagi garis tangen ialah

y – f (c ) = f’ (c ) ( x – c ). Garis yang melalui P and berserenjang dengan tangen itu

dipanggil garis normal. Kecerunan garis normal ialah )('

1

cf− , di mana f ’(c) ≠ 0.

Maka, persamaan bagi garis normal ialah y - f( c ) = )('

1

cf− (x – c), di mana f ’(c) ≠ 0.

Contoh

Cari persamaan bagi garis tangen dan normal kepada graf f (x) = x3 + 2x at the

point (1,3).

Penyelesaian

f ′ ( x ) = 3x2 + 2,

Pada titik ( 1, 3 ), kecerunan f ’ (1) = 3 ( 1 )2 + 2 = 5,

Persamaan bagi garis tangen pada (1, 3 ) ialah y – 3 = 5 ( x – 1 ) or y = 5x – 2.

Persamaan bagi garis normal pada (1, 3 ) is y – 3 =5

1− (x – 1) or 5y + x – 16 = 0.

Aktiviti Percubaan

Cari titik di atas lengkungan f (x) = x3 - 6x, di mana garis tangen kepada graf itu

adalah mengufuk.


9

1.4 Keterbezaan dan Keselanjaran

Satu fungsi f dikatakan terbezakan pada titik c jika h

cfhcfhadh

)()(0

−+→

wujud. Seperti

keselanjaran, jika f terbezakan pada setiap titik dalam selang terbuka I, maka kita

mengatakan bahawa f adalah terbezakan dalam selang I. Contohnya , f (x) = x2 and y

= mx + c adalah terbezakan dalam ( ∞∞− , ) tetapi f (x) = x

1 adalah terbezakan

dalam ( - ∞, 0 ) and on ( 0, ∞ ). Fungsi f (x) = x hanya terbezakan dalam ( 0, ∞ ).

Satu fungsi f adalah terbezakan pada [ a, b] jika dan hanya jika fungsi itu terbezakan

dalam selang terbuka (a, b), dan juga mempunyai satu terbitan sebelah kiri pada b dan

satu terbitan sebelah kanan pada a. Jika f adalah terbezakan dalam [a, b) jika dan

hanya jika fungsi itu terbezakan dalam (a, b) dan mempunyai satu terbitan sebelah

kanan pada a.

Perlu diingatkan bahawa satu fungsi adalah selanjar pada suatu nombor x

walaupun fungsi itu tidak terbezakan pada titik tersebut. Contoh, untuk fungsi

nilai mutlak , f (x) = x adalah selanjar pada titik x = 0 tetapi fungsi tersebut tidak

terbezakan pada titik x = 0 disebabkan berlainan hasil bahagi pada titik x = 0

h

fhf )0()0( −+=

h

h =

><−

0,1

0,1

h

h

Oleh itu, h

fhfhadh

)0()0(0

−+−→

= -1 tetapi h

fhfhadh

)0()0(

0

−++→

= 1

Disebabkan had-had sebelah adalah berlainan nilai, maka h

fhfh

)0()0(lim

0

−+→

tidak

wujud. Walaupun bukan setiap fungsi selanjar adalah terbezakan, namun setiap fungsi

terbezakan pastinya selanjar. Mengikut teorem, jika fungsi f adalah terbezakan pada x,

maka fungsi f adalah selanjar pada x.


10

Aktiviti Percubaan

Diberi f (x) =

≥+<1),1(2

1,42 xx

xx , cari f ’ (1) dan tentukan sama ada f adalah selanjar

pada titik x = 1.

Pentaksiran Kendiri

1. Cari f ′ ( c ) dengan menggunakan definisi, f ′(c) = h

cfhcfhadh

)()(0

−+→

untuk setiap yang berikut :

( a ) f (x) = 3 – x3 , c = 2

( b ) f (x) = 2

2

+x , c = -3

( c ) f (x) = x−8 , c = 4

2. Bezakan setiap fungsi yang berikut berdasarkan definisi terbitan

( a ) f (x) = 3x – x2

( b ) f (x) = 5

1

−x

( c ) f (x) = 2−x

3. Cari persamaan bagi tangen dan normal pada titik c yang diberi.

( a ) f (x) = 3x – x2 ; c = 2

( b ) f (x) = 5

1

−x ; c = 6

( c ) f (x) = 2−x ; c = 6

4. Tentukan sama ada setiap fungsi yang berikut adalah terbezakan atau tidak

pada x = c dan carikan f ′ (c) jika wujud.


11

( a ) f (x) =

>+≤

1,12

1,33

2

xx

xx ; c = 1

( b ) f (x) =

≥−

<−

3,3

3,2

1 2

xx

xx ; c = 3

( c ) f (x) =

−>+−≤+

1,)1(

1,12 xx

xx ; c = -1

5. Katakan f (x) =

>≤−

0,

0,12

2

xx

xx

(a) Cari f ′-(0) and f ′+ (0) jika wujud

(b) Tentukan sama ada f terbezakan pada titik x = 0 .

6. Diberi f ( x ) = x−1 for 0 ≤ x ≤ 1

( a ) Hitungkan f ′ ( x ) untuk setiap x ∈ ( 0, 1 )

( b ) Cari f ′+(0), jika wujud.

( c ) Cari f ′_ (1) , jika wujud.

1.5 Rumus dan petua pembezaan

• Jika f (x) = k ialah suatu fungsi malar, maka f ’ (x) = 0

• Jika f (x) = c f(x) , c = pemalar, maka f ’ (x) = c f ’ (x)

• Jika f (x) = xn, maka f ’ (x) = n xn-1

• ( f ± g )’ (x) = f ’ (x) ± g ’ (x) atau dalam simbol Leibniz

)]([)]([)]()([ xgdx

dxf

dx

dxgxf

dx

d +=+


12

• Petua hasil darab : ( f ⋅ g )’ (x) = f ( x ) g’ (x) + g (x) f ’ (x) atau

)]([)()]([)()]()([ xfdx

dxgxf

dx

dxfxgxf

dx

d +=

• Petua hasil bahagi : ( ) [ ]2

'''

)(

)()()()(

xg

xgxfxfxgx

g

f −=

atau

[ ]2)(

)]([)()]([)(

)(

)(

xg

xgdx

dxfxf

dx

dxg

xg

xf

dx

d−

=

Contoh

Bezakan terhadap x bagi f (x) = 4x3 – 3x2 + x – 5 dan carikan f ′ ( 1)

Penyelesaian

f ′ (x) = 12x2 – 6x + 1 and f ′ ( 1 ) = 12 (1)2 – 6(1) + 1 = 7

Contoh

Bezakan terhadap x bag g (x) = ( x 3 -2x + 3 ) ( 2x2 – 1 ) dan carikan g ′( 1 )

Penyelesaian

Katakan u (x) = x 3 -2x + 3 dan v (x) = 2x2 – 1.

Dengan petua hasil darab , kita dapat,

g′(x) = u(x) v’(x) + v(x)u ’(x)

= ( x 3 -2x + 3 ) ( 4x ) + (2x2 – 1 ) ( 3x2 – 2 )

= 4x4 – 8x2 + 12x + 6x4 -7x2 + 2

= 10x4 – 15x2 + 12x + 2

Maka, g′ (1) = 10 – 15 + 12 + 2 = 9


13

Aktiviti Percubaan

Bezakan terhadap x untuk F (x) = (ax + b) (cx + d), di mana a, b , c d adalah

pemalar-pemalar dengan menggunakan petua hasil darab.

Contoh

Bezakan terhadap x untuk g (x) = xx

232

− . Seterusnya carikan g ′ ( -1 )

Penyelesaian

g ′ (x) = - 6 x -3 - ( - 2x -2 )

= - 6x -3 + 2x -2 atau 23

26

xx+−

g ′ (-1) = =−

+−

−23 )1(

2

)1(

68

Contoh

Bezakan terhadap x untuk f (x) = 432

12 +− xx

. Seterusnya carikan f ′ (1)

Penyelesaian

f ′ (x) = 2)]([

)('

xg

xg− = ( )22 432

34

+−−−xx

x

f ′ (1) = ( )22 4)1(3)1(2

3)1(4

+−−− =

9

1−


14

Contoh

Bezakan terhadap P(x) = 12

254

2

−+−xx

x

Penyelesaian

Katakan P (x) = )(

)(

xg

xf dan menggunakan petua hasil bahagi,

F′ (x) = [ ]2)(

)(')()(')(

xg

xgxfxfxg −

= 24

324

)12(

)24)(25()10)(12(

−++−−−+

xx

xxxxx

= 24

32525

)12(

481020102010

−+++−−−+

xx

xxxxxx

= 24

235

)12(

41010810

−++−++−

xx

xxxx

Contoh

Bezakan terhadap x untuk f (x) = 2

5 32

x

xx − , x ≠ 0. Seterusnya carikan f ’ ( 1)

Penyelesaian

f (x) = 2

5 32

x

xx − =

x

x 32 4 −

f ′(x) = 2

43 )32()8(

x

xxxx −−

= 2

54 328

x

xxx +−

= 8x2 - 2x3 + x

3

Maka, f ′ (1) = 8 – 2 + 3 = 9


15

Contoh

Cari persamaan bagi tangen dan normal kepada graf f (x) = 2−x

x pada titik (4, 2 ).

Penyelesaian

f ′(x) = 22 )2(

2

)2(

)2(

−−=

−−−

xx

xx

f ′ (4) = 2

1

4

2 −=−

Persamaan tangen pada titik (4, 2) ialah y - 2 = 2

1− ( x – 4 ) atau x + 2y - 8 = 0

Persamaan normal pada titik (4, 2) ialah y – 2 = 2 ( x – 4 ) atau 2x – y – 6 = 0

Aktiviti Percubaan

Cari terbitan bagi setiap fungsi yang berikut :

( a ) f(x) = ( x2 – 3 ) ( x + 1 ) ( b ) g (x) = x

x

−1

3

, x ≠ 1

Contoh

Jika y = 23

32

+−

x

x , carikan

dx

dy

Penyelesaian

dx

dy =

2)23(

)23()32()32()23(

+

+−−−+

x

xdx

dxx

dx

dx


16

= 2)23(

)3)(32()2)(23(

+−−+

x

xx

= 2)23(

9646

++−+

x

xx

= 2)23(

13

+x

Contoh

Jika y = (2x3 + 1) (x4 - 2x + 3), carikan dx

dy

Penyelesaian

=dx

dy ( 2x3 + 1 )

dx

d(x4 - 2x + 3 ) + ( x4 - 2x + 3 )

dx

d( 2x3 + 1 )

= (2x3 + 1) (4x3 – 2 ) + ( x4 - 2x + 3 ) ( 6x2 )

= 8x6 – 4x3 + 4x3 – 2 + 6x6 – 12x3 + 18x2

= 14x6 – 12x3 + 18x2 – 2

Contoh

Diberi u = x

x

21

2

− , nilaikan

dx

du

Penyelesaian

dx

du =

2)21(

)2(2)2)(21(

x

xx

−−−−

= 2)21(

442

x

xx

−+−

= 2)21(

2

x−

Pada x = 1, dx

du =

( )221

2

− = 2


17

_____________________________________________________________________

Aktiviti Percubaan

Cari 2=xdx

dy untuk setiap fungsi yang berikut :

( a ) y = x ( x + 3 ) ( x -2 ) ( b ) y = x

x

+2

2

1.6 Terbitan Peringkat Lebih Tinggi

Katakan f ialah satu fungsi terbezakan, terbitannya f ′ juga mungkin adalah satu

fungsi dan mempunyai terbitannya ditulis sebagai ( f ′)′ = f ′′ = f (2) yang dikenali

sebagai terbitan kedua bagi f.

Sekiranya y = f (x) ,terbitan kedua bagi y terhadap x ditulis sebagai )(dx

dy

dx

d iaitu

2

2

dx

yd.

Terbitan ketiga bagi f adalah terbitan bagi terbitan kedua bagi f dan ditulis

sebagai f ’’’ (x) atau f (3) . Jika y = f (x), maka terbitan ketiga bagi y terhadap x

ditulis sebagai y′′′= f ′′′ (x) = 3

3

2

2

dx

yd

dx

yd

dx

d =

. Kita boleh teruskan sehingga

terbitan ke-n dan ditulis sebagai f (n). Oleh itu jika y = f (x ), terbitan ke-n bagi f

ditulis sebagai y (n) = f (n) = n

n

dx

yd = ( ))(xf

dx

dn

n

Contoh

f (x) = 3x5 – x4 + 4x3 - 5x + 8,

f ′ (x) = 15x 4 – 4x3 + 12x2 – 5

f ′′ (x) = 60x3 - 12x2 + 24x

f (3) (x) = 180x2 - 24x + 24

f (4) (x) = 360x – 24

f (5) (x) = 360

f (6) (x) = 0 , f (7) (x) = 0, . . .

Maka , f (n) (x) = 0 untuk semua n ≥ 6


18

Aktiviti Percubaan

( a ) Cari f (3) (x) diberi f (x) = x

x 84 + .

( b ) Cari f (4) (x) diberi f (x) = 5x – x4

Pentaksiran kendiri

1. Carikan dx

dy untuk setiap yang berikut

(a) y = 2x - x

1 (b) y =

x

x

−1

2

2. Tentukan terbitan bagi setiap yang berikiut.

(a) )21

2(

x

x

dx

d

− (b)

+2

332

t

t

dt

d

3. Hitungkan dx

dypada x = 2 untuk setiap yang berikut

(a) y = (x + 1) (x + 2) (x + 3)

(b) y = ( )( )

( )2

21

+−−

x

xx

4. Cari f ′′ (x) and f ′′′(x) bagi setiap yang berikut

( a ) f (x) = x 2 - 2

1

x

( b ) f (x) = x

x 54 −


19

1.7 Aplikasi Terbitan : Terbitan sebagai Kadar Peru bahan.

Purata bagi kadar perubahan sautu fungsi f terhadap x dalam selang dari x o ke

x o + h diberi oleh h

xfhxf )()( 00 −+, manakala kadar perubahan f terhadap x seketika

pada x0 diberi oleh f ′ (x) = h

xfhxfhadh

)()( 00

0

−+→

jika had wujud. Sila lihat contoh-contoh

yang berikut:

Contoh

Diberi y = x3 – 12x2 + 45x - 1

(a) Cari kadar perubahan y terhadap x pada ketika at x = 1

(b) Cari nilai-nilai x jika kadar perubahan y terhadap x adalah sifar.

Penyelesaian

(a) dx

dy= 3x2 – 24x + 45

Pada x = 1, dx

dy = 3 (1)2 – 24 (1) + 45

= 24

(b) Bila dx

dy= 0, maka 3x2 – 24x + 45 = 0 atau x2 – 8x + 15 = 0

⇒ ( x – 3 ) ( x – 5 ) = 0

∴ x = 3 atau x = 5

Contoh

Diberi luas sebuah bulatan, A dengan jejari r ialah A = 2rπ . Hitungkan kadar

perubahan luasnya terhadap perubahan jejari ketika jejari = 5 cm?


20

Penyelesaian

Kadar perubahan luas bulatan terhadap jejari ialah, rdr

dA π2= . Bila r = 5 cm, dr

dA = 10

π cm/s. Ini menunjukkan kadar luas bulatan berubah pada kadar 10π cm / s ketika

jejarinya ialah 5 cm.

Aktiviti Percubaan

Isipadu sebuah kubus dengan sisi x cm diberi oleh V = x3 . Cari kadar perubahan

isipadu terhadap sisinya ketika jejarinya ialah 10.

Contoh (Halaju dan Pecutan)

Suatu objek bergerak sepanjang paksi-x dan sesarannya selepas masa t diberi

oleh x ( t ) = t3 – 12t2 + 36t – 27. Terangkan (a) halajunya dari masa t = 0 kepada t = 9

(b) pecutannya dalam jangka masa [ 0, 9]

Penyelesaian

v(t) = x ′ (t) = 3t2 – 24t + 36 = 3 (t – 2) (t – 6 )

Rajah : v( t ) = 3 ( t - 2) ( t – 6 )


21

Maka, fungsi halaju diberi oleh v(t) adalah

v(t) =

≤<+=<<−=<≤+

96,

6,0

62,

2,0

20,

t

tat

t

tat

x

Pada awalnya, objek itu bergerak ke arah kanan dan berhenti seketika pada t= 2 .

Kemudian ia bergerak ke arah kiri dan berhenti pada t = 6. Selepas itu objek itu

bergerak ke arah kanan dan teruskan perjalanan ke sebelah kanan.

Rajah : x ( t ) = t3 – 12t2 + 36t – 27

(b) Pecutan, a(t)

a (t) = v ′ (t) = 6t – 24 = 6 (t – 4) ,

a (t) =

≤<+=

<≤−

94,

4,0

40,

t

tpada

t

Pada awalnya, halaju berkurangan sehingga titik minimum pada t = 4. Kemudian

halaju mulai meningkat selepas t = 4 dan terus meningkat.

Rajah: a (t) = 6 t – 24


22

Contoh ( Bidang Ekonomi )

Seorang pengeluar produk A ingin menentukan sama ada jumlah kos C (x) untuk

menghasilkan x produk per minggu adalah diberi oleh fungsi yang berikut

C (x) = 1000 + 50x - 10

2x (in RM)

Hitungkan kos marginal pada paras pengeluaran sebanyak 50 unit. Kirakan kos

sebenar menghasilkan produk ke-51.

Penyelesaian

Kos marginal pada paras pengeluaran x diberi oleh terbitan

C′ (x) = 50 - 5

x

⇒ C′ (50 ) = 50 - 5

20 = 46

Kos sebenar untuk menghasilkan produk ke-51 ialah

C ( 51 ) – C ( 50 )

= [ 1000 + 50 ( 51 ) - 10

512

] - [ 1000 + 50 ( 50 ) - 10

502

]

= 3289.9 - 3250 = RM 39.90

Contoh (Bidang Ekonomi)

Seorang pengeluar produk A menentukan bahawa fungsi kos dan fungsi revenue

yang terlibat dalam penghasilan dan penjualan x unit produk diberi oleh persamaan

C (x) = 1500 + 15x and R (x) = 80x - 2

2x. Cari

(a) Fungsi keuntungan dan seterusnya tentukan titik “ break-even”.

(b) keuntungan marginal dan seterusnya tentukan paras penghasilan/penjualan di

mana keuntungan profit adalah sifar.


23

Penyelesaian

(a) Fungsi profit P diberi oleh P (x) = R(x) – C (x) = 80x - 2

2x- (1500 + 15x)

= 65x – 1500 - 2

2x.

Untuk titik “break-even”, P(x ) = 0 ⇒ 65x – 1500 - 2

2x= 0

iaitu 130x – 3000 – x2 = 0

x2 – 130x + 3000 = 0

(x – 30) (x – 100) = 0

x = 30 atau x = 100.

Jadi, titik “ break-even” ialah x = 30 dan x = 100

(b) Keuntungan marginal diberi oleh terbitan P ′(x) = 65 – x dan P ′(x) = 0 bila x = 65

Aktiviti Percubaan

Seorang pengeluar produk elektrik menganggarkan bahawa kos dalam RM untuk

menghasilkan x unit produk sehari diberi oleh persamaan

C (x) = 1000 + 25x - 10

2x , 0 200≤≤ x .

( a ) Cari kos marginal untuk menghasilkan 10 unit produk tersebut.

( b ) Bandingkannya dengan kos sebenar untuk menghasilkan unit produk

ke-11.


24

1.8 Pembezaan Fungsi Trigonometri Asas

Terbitan untuk beberapa fungsi trigonometri asas adalah seperti yang berikut.

dx

d( sin x ) = cos x ;

dx

d( cos x ) = - sin x ;

dx

d( tan x ) = sec2 x ;

dx

d( cot x ) = - csc2 x ;

dx

d ( sec x ) = sec x tan x ;

dx

d( csc x ) = - csc x cot x

Contoh

Tunjukkan bahawa )(tanxdx

d= sec2 x

Penyelesaian

)(tanxdx

d

= dx

d( )

cos

sin

x

x =

x

xdx

dxx

dx

dx

2cos

)(cossin)(sincos −=

x

xx2

22

cos

sincos +=

x2cos

1= sec2 x

Contoh

Cari terbitan kedua bagi y = x

x

cos1

sin

−

Penyelesaian

y = x

x

cos1

sin

−

y′ = 2

2

)cos1(

sin)cos1(cos

x

xxx

−−−


25

y′′ = 2

22

)cos1(

)sin(coscos

x

xxx

−+−

= 2)1(cos

1cos

−−

x

x

= 1cos

1

−x

Contoh

Cari persamaan bagi tangen kepada lengkungan y = cos x pada titik x = 6

π

Penyelesaian

y = cos x ⇒dx

dy = - sin x ; at x =

6

π,

dx

dy or m = - sin

6

π =

2

1−

Titik pada lengkungan ialah ( 6

π , cos

6

π ) = (

6

π,

2

3 )

Persamaan tangen ialah y - 2

3 =

2

1− ( x - 6

π )

2y - 3 = - x + 6

π atau x + 2y - 3 -

6

π = 0

Aktiviti Percubaan

Cari terbitan bagi y = x

x

tan

sec1− . Seterusnya nilaikan y′ (

3

π )


26

Pentaksiran kendiri

1. Cari kadar perubahan isipadu V bagi sebuah kubus terhadap

(a) panjang diagonal x untuk salah satu permukaan bagi kubus.

(b) panjang diagonal d untuk salah satu diagonal bagi kubus.

2. Sebuah objek bergerak secara lurus dan sesarannya, x pada masa t ≥0

diberi oleh x (t) = 2 + 3t – t2 . Cari sesaran, halaju, pecutan dan lajunya

pada masa t = 4 s.

3. Fungsi kos dan revenue untuk penghasilan x unit sesuatu produk adalah

C (x) = 4x + 400 ; R (x) = 20x - 50

2x for 0 ≤ x ≤ 1000

(a) Cari fungsi keuntungan dan tentukan titik “break-even”.

(b) Cari keuntungan marginal dan tentukan paras pengeluaran di mana

keuntungan marginal adalah sifar.

4. Bezakan setiap fungsi yang berikut :

(a) y = sin2 x ; (b) y = cos2x ; (c) y = cot x

1.9 Pembezaan Tersirat

Jika y ialah satu fungsi terbezakan dalam x yang memuaskan suatu persamaan

tertentu dalam x. Kadang-kadang adalah sukar untuk memperoleh terbitan y

terhadap x kerana kita tidak dapat mengungkapkan y secara eksplisit dalam sebutan x.

Namun, kita masih dapat mencari dx

dy dengan menggunakan kaedah pembezaan

tersirat atau secara implisit.


27

Contoh

Bezakan terhadap x bagi x2 + y2 = 9

Penyelesaian

x2 + y2 = 9

Dengan membezakan kedua-dua belah terhadap x, kita dapat

dx

d(x 2) +

dx

d( y2 ) =

dx

d(9)

2x + 2y dx

dy = 0

dx

dy = -

y

x atau

dx

dy= -

21 x

x

−

Contoh

Cari dx

dy dengan menggunakan pembezaan tersirat.

(a) 3xy – y2 + 2 = x – 4y (b) sin y = 2xy

Penyelesaian

(a) 3xy – y2 + 2 = x – 4y

Bezakan kedua-dua belah terhadap x, kita dapat

3x dx

dy+ 3y – 2y

dx

dy+ 0 = 1 - 4

dx

dy

(3x – 2y + 4) dx

dy = 1 – 3y

dx

dy =

423

31

+−−

yx

y


28

( b ) sin y = 2 xy

Bezakan kedua-dua belah terhadap x, kita dapat,

(cos y) ( dx

dy) = 2 (x

dx

dy + y)

(cos y –2 x ) dx

dy = 2y

dx

dy =

xy

y

2cos

2

−

Aktiviti Percubaan

Use implisit differentiation to obtain dx

dy in terms of x and y

(a) 4x2 + 9y2 = 36 (b) cos (x – y) = 2xy

Contoh

Cari persamaan tangen kepada lengkungan 2x3 + 2y3 = 9xy pada titik (1, 2)

Penyelesaian

Bezakan kedua-dua belah persamaan :

dx

d(2x3 + 2y3 ) =

dx

d(9xy)

6x2 + 6y2 dx

dy = 9 ( y + x

dx

dy )

(6y2 – 9x) dx

dy = 9y – 6x2

dx

dy =

xy

xy

32

232

2

−−


29

Pada titik (1, 2), dx

dy=

5

4

38

26 =−−

Persamaan tangen kepada lengkungan pada titik (1, 2) ialah

y – 2 = 5

4 (x – 1) atau 4x – 5y = 6

Aktiviti Percubaan

Cari persamaan bagi tangen kepada lengkungan x2 + y2 = 3xy - 1 pada

titik (2, 1)

Contoh

Ungkapkan 2

2

dx

yd dalam sebutan x and y diberi y3- x2

= 4

Penyelesaian

y3- x2 = 4

Bezakan terhadap x , kita dapat

3y2 dx

dy - 2x = 0

Bezakan terhadap x lagi, kita dapat

3y2 dx

d(

dx

dy) + (

dx

dy) )3( 2y

dx

d- 2 = 0

3y2 2

2

dx

yd + 6y 2)(

dx

dy - 2 = 0

Gantikan dx

dy=

23

2

y

x dari atas, kita dapat,


30

3y2 2

2

dx

yd + 6y (

23

2

y

x)2 - 2 = 0

Maka, 2

2

dx

yd=

5

23

9

86

y

xy −

Nota: Pembezaan tersirat boleh dilakukan kepada suatu persamaan dalam x

dan y jika hanya terdapat satu fungsi y dalam x yang memuaskan persamaan

tersebut.

Aktiviti Percubaan

Ungkapkan 2

2

dx

yd dalam sebutan x dan y diberi 2xy + y2 = 16

Pentaksiran Kendiri

1. Dengan menggunakan pembezaan tersirat, dapatkan dx

dy dalam sebutan x

dan y.

(a) x2 – x2y + xy 2 + y2 = 8

(b) cos (y) = x y

2. Cari persamaan bagi tangen dan normal pada titik di atas lengkungan yang

berikut.

(a) 4x2 + 9y2 = 72 at ( -2, 3 )

(b) x2 – 3xy + y2 = -1 at ( 2, 1 )


31

TAJUK 2 MELAKAR GRAF – 3 JAM

HASIL PEMBELAJARAN

Melakar graf fungsi asas dengan menggunakan Geometer’s Sketchpad (GSP) dan

secara manual.

KERANGKA TAJUK 2

2.1 Melakar graf dengan menggunakan Geometer’s Sketchpad (GSP)

2.2 Melakar graf secara manual

2.1 Melakar graf dengan menggunakan Geometer’s Sket chpad (GSP)

Untuk melakar graf dengan GSP, ikut langkah-langkah berikut:

1. Buka GSP, paparan berikut akan ditayangkan. Kedudukan menu bar di atas dan

tool bar di tepi kiri.


32

2. Klik pada fungsi Graph. Menu tarik bawah berikut akan dipaparkan.

3. Klik pada Define Coordinate System. Satah Cartes berikut akan ditayangkan.

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

4. Klik Graph semula. Pada menu tarik bawah, klik pada Plot New Function. Arahan

ini akan memaparkan Calculator.

Masukkan fungsi baru seperti dengan kalkulator biasa. Contoh, masukkan


33

(x-3)^2, kalkulator akan menunjukkan persamaan f(x) = (x-3)2.

Klik pada OK. Graf untuk fungsi baru akan dipaparkan pada satah Cartes.

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

f x( ) = x-3( )2

5. Klik pada mana-mana untuk deselect graf dan fungsi. Jika anda tidak mahu grid

ditunjukkan, klik Graph diikuti oleh Hide Grid.

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-15 -10 -5 5 10 15

f x( ) = x-3( )2

6. Anda boleh memplotkan lebih daripada satu fungsi pada satah itu. Jika anda

ingin mengeditkan fungsi anda, kllik pada fungsi itu untuk select fungsi itu. Kemudian


34

pergi ke menu bar dan klik pada Edit. Menu tarik bawah akan terbit. Klik pada Edit

Function…

Kalkulator akan terbit. Buat pengeditan dan kemudian klik OK.

7. Untuk membuat lakaran baru, klik File pada menu bar diikuti oleh New Sketch

pada menu tarik bawah.

8. Untuk mengakhiri sesi anda, klik File pada menu bar diikuti oleh Save As pada

menu tarik bawah.

Pentaksiran Kendiri

Plot graf bagi setiap fungsi yang berikut dengan menggunakan GSP:

a. f(x) = x(x-2)(x+3)

b. f(x) = 22

+−

x

x

c. f(x) = 2 sin(x + 4π

)


35

2.2 Melakarkan Graph bagi Fungsi Rasional secara m anual.

Pada amnya, fungsi rasional lebih sukar untuk dilakarkan berbanding dengan fungsi

polinomial. Kita perlu menganalisis tingkahlaku sesuatu fungsi rasional. Langkah-

langkah untuk melakarkan R(x), di mana R(x ) = ( )

( )

P x

Q x adalah seperti berikut:

Langkah 1 - Menentukan asimptot menegak

Apabila fungsi penyebut, Q(x) menghampiri sifar, R(x) akan cenderung kepada ± ∞ .

Katakan nilai sifar bagi Q(x) ialah x = c di mana c ialah suatu pemalar. Apabila x c→ ,

nilai ∞→)(xR , maka x = c menjadi asimptot menegak bagi fungsi R(x).

Langah 2- Menentukan asimptot mengufuk

Jika apabila x ∞±→ , nilai R(x) menghampiri suatu pemalar L, maka garis y = L menjadi

asimptot mengufuk bagi fungsi itu.

Secara ringkas, jika asimptot menegak atau mengufuk bagi fungsi R(x) wujud, ia

ditakrifkan seperti berikut:

Apabila x ∞±→ , nilai R(x) menghampiri suatu pemalar L, maka garis y = L akan

menjadi asimptot mengufuk bagi fungsi itu.

Apabila x c→ , di mana c ialah suatu pemalar dan nilai ∞→)(xR , maka x = c akan

menjadi asimptot menegak bagi fungsi R(x).

Langkah 3 – Menentukan pintasan-x dan y jika wujud

Langkah 4 – Lakarkan graf

Contoh 1

Lakar graf bagi fungsi f (x) = 1

2x −

Penyelesaian

1. Sifar fungsi penyebut ialah 2, maka x = 2 menjadi asimptot menegak.


36

Apabila x → 2 + ( sangat dekat dengan 2 di sebelah kanan), f (x ) → ∞ ;

Apabila x → 2 - (sangat dekat dengan 2 di sebelah kiri), f(x ) → - ∞ ;

2. Apabila x → ∞ , f (x) → 0;

Apabila x → - ∞ , f (x) → 0

Maka, garis y = 0 atau paksi-x menjadi asimptot mengufuk.

3. Pintasan-y ialah (0, 1

2− )

4. Lakarkan graf seperti dalam gambarajah di bawah.

Graf bagi f (x) = 2

1

−x

Contoh 2

Lakar graf fungsi rasional f (x) = 2 3

2

x

x

+−

Penyelesaian

1. Sifar bagi fungsi penyebut ialah 2, maka garis x = 2 menjadi asimptot menegak.

Apabila x 2→ , ∞→)(xf , maka x = 2 menjadi asimptot menegak bagi f(x).

Apabila x menghampiri 2 dari kanan, f(x) → + ∞ dan

apabila x menghampiri 2 dari kiri, f (x) → - ∞ .

2. Apabila x ∞→ , f(x) 2→ ; dan apabila x −∞→ , f(x) 2→ , maka y = 2

menjadi asimptot menegak.


37

Alternatif

Kita boleh memeriksa pengangka dan penyebut fungsi f(x), jika kedua-duanya

mempunyai darjah yang sama (darjah sepunya ialah 1) dan pekali-pekali utama adalah

2 dan 1, maka kita simpulkan bahawa y = 2 ialah asimptot mengufuk

3. Pintasan-x ialah (3

2− , 0) dan pintasan-y ialah (0, -

3

2)

4, Lakar graf bagi f(x) adalah seperti dalam gambarajah di

bawah.

Graf of f(x) = 2

32

−+

x

x


38

TAJUK 4 KAMIRAN

4.1 Sinopsis Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang dua konsep kamiran iaitu

kamiran sebagai antiterbitan atau kamiran tak tentu dan kamiran sebagai hasil tambah

ketakterhinggaan yang dikenali sebagai kamiran tentu. Seterusnya pelajar akan dapat

memperlihatkan hubungan erat antara dua konsep tersebut dan beberapa teknik

kamiran yang biasa digunakan.

4.2 Hasil Pembelajaran 1. Menentukan kamiran tak tentu melalui antiterbitan.

2. Mengira kamiran tentu dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus.

3. Menentukan kamiran dengan pelbagai teknik

4.3 Kerangka Tajuk

4.4 Antiterbitan Operasi untuk mencari suatu fungsi bila terbitannya diberi dinamakan antiterbitan. Ini

ditunjukkan dalam takrif berikut:

Proses pencarian bagi fungsi ini disebut antiterbitan .

Kamiran

Aplikasi Kamiran Kamiran tak tentu dan

Kamiran tentu

Konsep Antiterbitan

Andaikata kita diberi suatu fungsi . Sekiranya kita boleh dapatkan satu fungsi sehinggakan

=

Maka tersebut dinamakan antiterbitan bagi .


39

Contoh:

1. Jelaskan,

2. Jika , tentukan antiterbitannya.

Penyelesaian :

1. Maka dan , iaitu adalah antiterbitan kepada

2. Diberi

Ringkasnya,

Latihan :

Tentukan fungsi antiterbitan bagi:

1. = 4x3 – 6x2 + 5x + 7

2. = + +

3. = − +

4.5 Kamiran Tak Tentu dan Kamiran Tentu

4.5.1 Kamiran Tak Tentu

Set kesemua antiterbitan fungsi disebut kamiran tak tentu . Kamiran tak tentu

disimbolkan denga notasi

Dan dibaca sebagai “kamiran (tak tentu) terhadap ”. Oleh itu sekiranya

adalah antiterbitan , maka kita peroleh takrif berikut:

Takrif kamiran tak tentu bagi sebarang pemalar c, yang adalah antiterbitan


40

Jadual di bawah menunjukkan rumus kamiran fungsi piawai

Rumus fungsi piawai Rumus fungsi piawai dengan pemalar

Contoh:

Tentukan kamiran tak tentu bagi:

1.

2.

3.

4.

Penyelesaian:

, dimana

2.

3.


41

4.

Latihan :

Tentukan kamiran tak tentu berikut:

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6. 12.

4.5.1.1 Hukum Asas Kamiran

Jika selanjar di dalam (a,b) dan adalah antiterbitan bagi fungsi dalam

(a,b), maka dengan menggunakan takrif antiterbitan kita perolehi hukum kamiran

berikut:

1. adalah pemalar

2.

Hukum ini boleh dikembangkan untuk digunakan melebihi dua fungsi kamiran

Contoh :

Cari kamiran tak tentu bagi fungsi berikut:

1.

2.

3.


42

Penyelesaian :

1.

2.

3.

Latihan:

Cari kamiran tak tentu :

1. 7.

2. 8.

3. 9.

4. 10.

5. 11.

6.

4.5.1.2 Teknik Kamiran

Pengamiran suatu fungsi tidak semestinya boleh terus didapati daripada fungsi-fungsi

asas maka perlunya teknik-teknik berikut digunakan bagi menyelesaikan kamiran fungsi

tertentu.

(a) Kaedah Gantian

Kaedah ini menukarkan bentuk fungsi kepada bentuk piawai fungsi kamiran. Terdapat

dua jenis gantian yang boleh digunakan samada gantian ungkapan algebra atau

gantian fungsi trigonometri. Dengan menggantikan sebagai dan

maka kita perolehi


43

Contoh:

Kamirkan fungsi berikut:

1.

2.

Penyelesaian:

1. Gantikan , maka

Gantikan ke dalam

2. Gantikan , maka iaitu

Seterusnya gantikan

Latihan :

Dengan menggunakan kaedah gantian, tentukan nilai kamiran berikut:

1. 5.

2. 6.

3. 7.

4. 8.


44

(b) Kaedah Berperingkat

Sekiranya dan adalah fungsi yang terbezakan, maka pembezaan hasil darab

mengikut rumus ialah:

Dengan mengkamirkan kedua-dua belah persamaan, kite perolehi

iaitu

Oleh itu, rumus kamiran berperingkat ialah:

Contoh:

Kamirkan:

1.

2.

Penyelesaian :

1. Ambil

Maka

Oleh itu ;

2. Gantikan,


45

Ulangi kaedah ini untuk kamiran di sebelah kanan

Oleh itu ;

Latihan :

Dengan menggunakan kaedah berperingkat, dapatkan nilai kamiran berikut:

1.

2.

3.

4.

(c) Kaedah Pecahan Separa

Berikutnya, lihat kamiran berbentuk

Yang mana dan adalah fungsi polinomial, dan darjah kurang dari

Syarat:

Sekiranya darjah melebihi atau sama dengan , maka perlulah dibahagi dengan .

Ini bergantung sama ada boleh diungkapkan sebagai hasil darab linear dan kuadratik.

Jenis polinomial dan pecahansepara

Kes 1:


46

Kes 2 :

Kes 3 :

Contoh :

1. Tentukan , yang dan dalam bentuk pecahan separa

dan kemudian tentukan antiterbitannya

Penyelesaian:

Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan kita peroleh

Bila ,

Bila

Bila

Oleh itu,

2. Tentukan nilai

Penyelesaian :


47

Bila Bila Untuk mendapatkan nilai andaikan lalu kita peroleh

Oleh itu ;

Sebab bila

Dan bila

Latihan:

Dengan menggunakan kaedah pecahan separa, dapatkan nilai kamiran berikut:

1. 3.

2. 4.

4.5.2 Kamiran Tentu

Pertimbangkan fungsi selanjar dalam selang maka kamiran dalam selang ini

disebut kamiran tentu dan notasi yang digunakan ialah , jika had ini wujud

Teorem 4.1 (Teorem Asas Kalkulus )

Jika selanjar pada selang dan adalah antiterbitan bagi dalam selang

tertutup , maka


48

Nilai dikatakan kamiran dan nilai adalah kamiran.

Sifat-sifat Kamiran Tentu

Jika dan adalah selanjar pada selang

1. jika

2. jika

3. jika suatu pemalar

4. bagi sebarang pemalar

5.

6. Jika boleh dikamirkan dalam selang tertutup yang mengandungi dan ,

, jika

7. Teorem Nilai Min : Jika fungsi selanjar pada selang , maka wujud suatu

nombor

dalam supaya

Contoh ;

Nilaikan

a) b)

Penyelesaian :

a)

b)


49

4.6 Aplikasi Kamiran

4.6.1 Luas Rantau

Jika selanjar dalam selang [a,b] dan pertimbangkan rantau R di bawah garis lengkung

. Lukis satu garis menerusi rantau di sebarang titik , yang menyambungkan

sempadan-sempadan bahagian atas dan bawah rantau. Garis ini di panggil keratan

rentas. Garis ini di gerakkan ke kanan dan ke kiri (atau dari atas ke bawah) iaitu dari

kedudukan terendah ke kedudukan tertinggi nilai (atau nilai ).

i) Jika , (graf berada di atas paksi –x) maka luas graf y = f(x) dari

kepada , di dalam kawasan dibendung oleh paksi ialah

Pertimbangkan satu keratan rentas yang selari dengan paksi-y. Luas keratan rentas ini

ialah di mana berada dalam selang – .

Maka luas di bawah graf adalah hasil tambah keratan rentas iaitu

Luas =

Luas keratan


50

ii) Jika , (graf berada di bawah paksi – ), maka luas bagi graf y = f(x) dari

kepada , di dalam kawasan dibendung oleh paksi ialah

Luas keratan rentas ialah

Maka luas di bawah graf ialah

iii) Luas yang dibendung di antara dua graf fungsi dan ,

bagi nilai kepada ialah

Luas =

Keratan rentas

Keratan rentas


51


Maka luas kawasan terbendung pada rajah di atas ialah

Kaedah yang sama boleh digunakan untuk keratan rentas yang selari dengan

paksi – dan diperolehi

Luas keratan rentas . Maka luas bagi kawasan yang terbendung dalam rajah

di atas ialah

=

Keratan rentas


52

Contoh:

Dapatkan luas rantau yang disempadani oleh graf dan

seperti pada rajah berikut

Penyelesaian:

Contoh:

Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf , paksi- dan garis – garis

x = 2 dan x = 4 seperti pada rajah berikut :

Luas =

2


53

Penyelesaian: Kita akan dapat jawapan yang silap jika luas itu kita hitung kerana

kamiran itu memberikan luas aljabar bukannya luas sebenar. Luas sebenar ialah

Sebab dalam selang sebenar [2,3] garis y = 0 adalah lebih besar dari lengkung

y = x ( x – 3 ) manakala yang sebaliknya berlaku dalam selang [3,4]. Oleh itu, luas

sebenar ialah

Latihan:

1.Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh setiap graf pada rajah di bawah.

)

)

)

)


54

2. Cari luas yang dibatasi oleh lengkung dan paksi –x.

3. Cari luas yang dibatasi oleg lengkung dan paksi dan garis .

4. Cari luas yang dibatasi oleh lengkung yang diberikan :

4.6.2 Isipadu Bongkah

Bab ini akan membincangkan bagaimana mendapatkan isi padu bongkah

kisaran apabila satu rantau dalam koordinat kartesan dikisarkan. Selain itu kita

juga ingin mencari isipadu satu bongkah yang keratan rentasnya tidak sekata

(bukan berbentuk silinder}. Hirisan bongkah yang berserenjang dengan

f


55

paksinya (samada paksi-x atau paksi-y) menjadi n keping hirisan dan isipadu

bongkah adalah hasil tambah hirisan ini. Hasil tambah Riemann seterusnya

digunakan untuk mendapatkan penghampiran tepat kepada isipadu bongkah.

(A) Isipadu Bongkah Hirisan

Contoh 1:

Tapak satu bongkah adalah satu bulatan dengan jejari 4 unit. Keratan rentas bongkah

berserenjang dengan paksi x memberntuk segi tiga sama dengan ketinggian 2 unit. Cari

isi padu bongkah tersebut.

Penyelesaian:

Luas hirisan segi tiga sama ialah

Maka

Gunakan kaedah kamiran gentian trigonometri kita perolehi

Keratan rentas berserenjang dengan paksi - x

Isi padu =


56

Perhatian :

Jika diberikan keratan rentas dengan paksi – y adalah satu segi tiga maka

gunakan rumus yang kedua iaitu:

Luas keratan rentas dimana .

Isipadu bongkah ialah

Jawapan yang diperoleh adalah berbeza kerana isipadu bongkah hirisan yang

diberikan dalam rajah yang pertama adalah berbeza dengan isipadu bongkah hirisan

yang diberikan olah rajah yang kedua.

CONTOH 2

Satu bongkah mempunyai tapak berbentuk bulatan dengan jejari 4 unit. Cari isipadu

bonglah tersebut jika keratan rentas yang berserenjang dengan diameter bulatan

membentuk segi tiga sama dengan sisinya berada atas tapak bongah tersebut.

PENYELESAIAN:


57


Maka isipadu bongkah ialah

LATIHAN

1. Tapak sebuah bongkah berbentuk separuh bulatan berjejari 4 unit. Keratan

rentas berseranjang dengan diameter adalah merupakan segi tiga tepat bertapak

sama. Cari isipadu bongkah ini.

2. Tapak sebuah bongkah dibatasi oleh lengkung dan . Jika

keratan rentas berserenjang dengan paksi y membentuk segi empat sama, cari

isipadu bongkah ini.

3. Tapak sebuah bongkah yang berbentuk bulatan . Setiap keratan

rentasnya berbentuk segi tiga sama. Cari isi padu bongkah ini.

(B) ISIPADU KISARAN

Katakan selanjar dalam selang [ a, b ] dan positif. Jika kawasan R dikisarkan di

sebarang garis maka satu bongkah akan terjana. Jika R dikisarkan pada paksi x (atau

garis yang selari dengan paksi x ), isipadu kisarannya boleh ditentukan dengan cara

berikut:


58

Pertimbangkan satu segi empat tepat dalam rantau yang diberikan. Jika ialah

sebarang nombor dalam subselang maka kita perolehi satu segi empat yang

lebarnya ialah dan panjangnya .

Apabila segi empat tepat ini dikisarkan pada paksi – x maka terbentuk satu cakera

membulat dengan jejari dan tebalnya . Hasil tambah semua isipadu cakera ini

adalah

Apabila maka

Isipadu

Garis di mana rantau dikisar dinamakan paksi kisaran.

(i) KAEDAH CAKERA

(a) Paksi –x sebagai paksi kisaran

jejari


59

Isipadu cakera

Isipadu =

CONTOH 3

Rantau yang dibatasi oleh , paksi x dan paksi y dikisarkan pada paksi x di

antara x =0 hingga x = 2. Dapatkan isipadu bongkah yang terhasil.

PENYELESAIAN:


60

CONTOH 4

Dapatkan isipadu pepejal yang terjana apabila dikisarkan

pada paksi –x.

PENYELESAIAN:

(b) Paksi –y sebagai paksi kisaran

Cara yang sama jika rantau R dikisar pada paksi-y maka satu pepejal akan diperolehi.

Maka isipadu rantau yang dikisarkan pada paksi y adalah

Isipadu

CONTOH 5

Dapatkan isipadu pepejal yang diperolehi apabila rantau yang terbendung oleh

lengkung

Isipadu

Isipadu cakera

jejari


61

dikisarkan pada paksi-y.

PENYELESAIAN:

Isipadu

(ii) KAEDAH WASHER (CAKERA BERLUBANG)

Pertimbangkan dua fungsi dan selanjar dalam selang [a, b]. Jika rantau R yang

dibatasi oleh dan dan (seperti rajah di bawah) dikisar pada paksi x atau

garis selari dengan paksi x maka kita perolehi satu pepejal berbentuk cakera lubang.


62

R – jejari luar, r – jejari dalam

Isipadu cakera berlubang ini ialah .

Iaitu isipadu cakera besar yang ditolakkan dengan isipadu cakera yang kecil. Maka

isipadu pepejal kisaran adalah

CONTOH 6

Rantau di antara garis dan lengkung diputar pada garis . Dapatkan

isipadu pepejal yang terhasil.

PENYELESAIAN:

Isipadu keratan rentas

Maka


63

CONOTH 7

Cari isipadu bongkah jika kawasan yang dibendung oleh dan

pada paksi x sekeliling garis .

Isipadu kisaran

CONTOH 8

Cari Isipadu bongkah terjana apabila rantau yang dibatasi dan

dikisarkan pada paksi y.


64

PENYELESAIAN:

Selesaikan persamaan untuk mendapatkan titik persilangan di antara graf terlebih

dahulu

Maka titik persilanga ialah (1, -1) dan (4, 2)


65

(iii) KAEDAH PETALA SILINDER

Katakan selanjar pada selang [a, b] dan bagi semua x dalam selang.

Rantau R lihat rajah dibawah yang dibatasi oleh lengkung , paksi –x, garis tegak

dan dikisarkan pada suatu garis, maka satu bongkah akan terjana.

Bongkah ini berbentuk silinder membulat berlubang ( silinder tipis atau petala)

(a) Isipadu melibatkan satu lengkung

Pertimbangkan rantau R yang dibatsai lengkung seperti rajah dibawah

dikisarkan pada paksi y. Diketahui isipadu hirisan satu silinder yang terbentuk

mempunyai jejari dalam r dan jejari luar R dan tinggi h ialah

Isipadu =


66

Perhatikan: adalah tinggi silinder terbentuk dan jejari petala silinder ialah yang

diperolehi dari jarak keratan rentas dari paksi kisaran.

Cara yang sama jika rantau R bagi dikisarkan pada paksi-y, isipadu yang

terjana ialah .

CONTOH 9

Rantau yang di batasi garis dan dikisarkan pada paksi –

y . Dapatkan isipadu yang terjana.

Isipadu =


67

PENYELESAIAN:

Perhatikan sekiranya keratan rentas selari dengan paksi x diambil kaedah cakera

berlubang perlu digunakan :

Isipadu =

Isipadu


68

Perhatikan :

Bagi soalan ini kaedah cakera lebih mudah perkiraannya kerana hanya melibatkan satu

kamiran mudah sahaja.

(a) Isipadu melibatkan dua lengkung

Jika R dikisarkan pada paksi y (atau garis lain yang selari dengan paksi kisaran),

isipadu kisaran ini ialah


69

CONTOH 10

Cari isipadu bongkah jika kawasan yang dibendung oleh dan

dikisarkan sekeliling paksi y.

PENYELESAIAN:

Isipadu kisaran ialah

Perhatikan:


70

Kaedah cakera berlubang juga boleh digunakan jika keratan rentas selari dengan paksi

x diambil :

CONTOH 11

Kawasan yang terbatas di antara lengkung dan dikisarkan pada

paksi y. Dapatkan isipadu pepejal yang terjana.

Cari titik persilangan dua graf ini dahulu:

Maka titik persilangan ialah (0,0) dan (-2,4).

Gunakan keratan rentas selari dengan paksi – y. Kaedah petala silinder digunakan :

Isipadu


71

Perhatikan:

Kamiran menggunakan keratan rentas selari dengan paksi – x lebih sukar jika

digunakan. Kenapa?

Latihan

1. Tentukan nilai kamiran tertentu

a) b)

2. Lakar dan dapatkan luas rantau yang disempadani lengkung dan garis berikut:

a) dan paksi-x

b) dan paksi –x

3. Lakarkan dan dapatkan luas rantau di antara lengkung dan garis berikut.

a) dan b) dan

4. Cari isipadu bongkah terjana apabila rantau yang

dibatasi oleh lengkung yang dinyatakan dikisar pada paksi x.

a) dan

b) dan

c) dan

d) dan

e) dan

f) dan paksi – x

5. Cari isipadu terjana apabila rantau yang dibatasi oleh parabola dan

dikisarkan sekitar paksi – y.

6. Cari isipadu pepejal yang diterima jika rantau yang dibatasi oleh ,

paksi-x, dan dikisarkan pada garis


72

7. Dapatkan isipadu pepejal jika rantau yang terbatas oleh lengkung, paksi-x dan

paksi-y dikisarkan pada paksi-x.


73

8. Dapatkan isipadu pepejal jika rantau yang terbatas pada rajah dalam soalan (7

(a) , 7 (b)) dikisarkan

(a) Paksi – y

(b) Garis x = 2

(c) Garis y = 3

9. Cari isipadu pepejal yang terjana apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung

dan dikisarkan sekitar paksi – x.

10. Cari isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dan

dikisarkan sekitar paksi –x.

11. Lakarkan rantau yang dibatasi oleh lengkung dan Dapatkan

a) Luas rantau diantara lengkung

b) Isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dikisar sekitar paksi – x.

c) Isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dikisarkan sekitar garis

12. Gunakan kaedah petala silinder untuk mendapatkan isipadu yang terjana apabila

rantau yang dibatasi oleh dan paksi – x, paksi – y dikisarkan pada

garis .

13. Cari isipadu bongkah yang terjana apabila rantau dibatasi oleh lengkung

dan garis dan paksi – x dikisarkan pada garis berikut :

a)

b)

c)

Documents

Modul MTE3108 Pembezaan & Pengamiran