modul.mercubuana.ac.id€¦ · Web viewMatematika Dasar Bilangan Irasional dan Logaritma Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer Teknik Informatika 02

MODUL PERKULIAHAN

Matematika Dasar

Bilangan Irasional dan Logaritma

Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh

Ilmu Komputer Teknik Informatika 02 87005 Drs. Sumardi Hs., M.Sc.

Abstract Kompetensi

Modul ini membahas pengertian Sistim Bilangan dan Bilangan Berpangkat, operasi bilangan, teorema bilangan, pembagi persekutuan terbesar(PBB), kelipatan persekutuan terkecil (KPK),Rumus-rumus pangkat bilangan.

Mahasiswa dapat memahami pengertian Sistim Bilangan dan Bilangan Berpangkat, operasi bilangan, teorema bilangan, pembagi persekutuan terbesar(PBB), kelipatan persekutuan terkecil (KPK),Rumus-rumus pangkat bilangan.agar

‘14 1

Matematika DasarPusat Bahan Ajar dan ELearning

Drs. Sumardi Hs., M.Sc. http://www.mercubuana.ac.id

dapat menerapkan pada soal-soal yang diberikan.

‘14 2



BILANGAN IRASIONAL DAN SIFAT-SIFAT LOGARITMA

02.1. BILANGAN IRASIONAL

A. PENGERTIAN BILANGAN IRASIONAL

Bilangan irasional adalah bilangan tidak dapat diukur secara langsung,

kebanyakan bilangan ini berbentuk akar murni ( , , ).

Bentuk akar adalah bilangan atau akar suatu bilangan rasional yang hasilnya

merupakan bilangan irasional. Misal : . Bukan bentuk akar murni

karena hasilnya rasional yaitu 2, 3, 4 dan 7, sedangkan bentuk akar murni contohnya :

, , , 3 , 2 .

Bentuk akar , n disebut indeks yaitu bilangan yang lebih besar dari satu,

disebut tanda akar,.notasi untuk akar pangkat tiga ,sedangkan notasi untuk akar

kuadrat ditulis atau lebih sering disingkat .

Bilangan rasional : bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau

desimal berulang .

Contoh : 1/3 = 0,33333333

2/7 = 0,285714285714........

Bilangan irasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau

desimal berulang.

Contoh : = 1,414213562....

Log 2 = 0,201029995....

= 3,141592654.....

B. SIFAT-SIFAT BENTUK AKAR

Jika m dan n bilangan bulat, maka:

a. !

Contoh :

‘14 3



02

b. ,

Contoh :

c. ,

Contoh :

. =

C. OPERASI ALJABAR

a. Operasi penjumlahan dan pengurangan

Bentuk aljabar hanya bisa dijumlahkan atau dikurangkan pada peubah-peubah

yang sejenis

Contoh : 3a + 2a = ( 3 + 2 ) a = 5a

7b - 3b = ( 7 – 3 ) b = 4b

3a + 2b = tidak dapat dijumlahkan karena peubah a dan b tidak

sejenis.

Begitu pula dengan bentuk akar.Bentuk akar dapat dijumlahkan dan dikurangkan

jika sejenis.

Contoh :

3 + 7 = (3+7)

2 = tidak dapat dijumlahkan

b. Operasi perkalian

‘14 4



Contoh :

6 . 3 = 18

c. Operasi pembagian

Contoh :

d. Menarik akar kuadrat

Contoh :

(2 - 3 )2 = (2 )2 – 2. (2 ). (3 ) + (3 )2

= 4.3 - 12 + 9.5 = 12 - 12 + 45

= 57 - 12

LATIHAN SOAL 1

1. Ubahlan ke bentuk pangkat rasional

………….. ……………

2.

3. =

4. =

5. Jika x = dan y =

‘14 5



Maka x . y = …………..

6. Jika p = dan q =

Maka (p – q)2 adalah ........

7. ……..

8. ………….

9. …………….

PILIHLAH YANG PALING TEPAT

1.Bentuk ekuivalen dengan …………

a. b. c. d. e.

2. Bentuk sederhana dari

- + = …………..

a. - 8 b. - 4 c. - 2 d. 2 e.7

3. = …………..

a. b. c. d. e.

4. ………………

a. 4 b. c.2 d. 2 e.5

5. …………..

a. 6 b. 6 c. d. e.1

D. MENYEDERHANAKAN BENTUK AKAR

Penulisan bentuk akar dikatakan sederhana jika memenuhi syarat-syarat tertentu,

yaitu :

1. Tidak mengandung faktor yang pangkatnya lebih dari satu. Contoh :‘14 6



, x > 0 bentuk paling sederhana

bukan bentuk sederhana

Proses penyelesaian :

2. Tidak ada bentuk akar pada penyebut. Contoh :


bentuk sederhana

Proses merasionalkan penyebut dalam pecahan :

3. Tidak mengandung pecahan. Contoh :


bentuk sederhana

Proses penyelesaian bentuk pecahan didalam akar :

4. Menyederhanakan Akar

Contoh:

Contoh menyederhanakan bentuk akar yang lain:

1. x = 2

2. = .

3.

‘14 7



4. =

5.

=

LATIHAN SOAL 2

1. ………..

2. …………

3. …………..

4. ………….

5. ……………..

6 = ………….

7. = …………..

8. = ……………….

9. = …………..

10. = ………..

E. MERASIONALKAN PENYEBUT YANG BENTUK AKARNYA JUMLAH ATAU SELISIH DARI DUA BILANGAN.

Sifat perkalian istimewa :

( a + b ) ( a – b ) = a2 - b2

( a + b ) disebut kawan (conjugate ) dari ( a – b ) dan ( a – b ) adalah kawan dari ( a +

b ).Hasil kali dari pasangan sekawan seperti ini selalu menghasilkan bilangan rasional.

( a + ) ( a - ) = ( a2 ) – ( )2 = a2 - b

.

‘14 8



=

Contoh :

1.

2.

LATIHAN SOAL 3

1. …………………… 2. ………………..

3. ……… 4. ………… 5. …………..

‘14 9



02.2. LOGARITMA DAN SIFAT-SIFATNYA

A. DEFINISI LOGARITMA Untuk menyelesaikan bilangan berpangkat seperti ;

22 = ..........; 33 = ........... ; 52 = ........

Bilangan pokok dan pangkatnya diketahui sehingga dapat menentukan hasilnya.

Bagaimana dapat menentukan pangkatnya jika bilangan pokok dan hasil

perpangkatannya diketahui ?

5x = 125 ; 10x = 100 ; 16x = 4

Soal diatas dapat diselesaikan dengan logaritma

Hubungan antara perpangkatan dan logaritma yaitu LOGARITMA ADALAH INVERS DARI PERPANGKATAN, secara umum ditulis sebagai berikut :

ax = b

Logaritma suatu bilangan b dengan bilangan pokok a adalah x

a log b = x

a disebut bilangan pokok logaritma atau basis

b disebut yang dilogaritmakan atau numerus

x. disebut hasil logaritma

a > 0 ; a 1 ; b > 0

Jika bilangan pokok 10, boleh tidak ditulis . contoh : 10 log 3 = log 3

Mengubah bentuk ax = b menjadi a log b = x

Contoh :35 = 243 menjadi 3log 243 = 5

‘14 10



a 2/3 = 4 menjadi alog 4 =

Tuliskan dalam bentuk logaritma bilangan berpangkat berikut !

2n = 8

33 = 27

43 = 64

5-2 = 1/25

51/2 =

Mengubah a log b = x menjadi a x = b

Contoh :

3log 81= 4 menjadi 34 = 81 2log 6 = x menjadi 2x = 6

Tuliskan ke dalam bentuk bilangan berpangkat !

a.

b.

c. log 1000 = 3

d.

e.

B. SIFAT-SIFAT LOGARITMA

SIFAT 1 :

a log a = 1 , a log 1 = 0 ,

3 log 1 = 0

SIFAT 2 :

a log(b.c) = a log b + a log c

‘14 11



3 log 8 = 3log 2.4 = 3 log 2 + 3 log 4

2log 10 = 2log 2.5 = 2log 2 + 2log 5

3log + 3log 6 = 3log .6 = 3log 3 = 1

5log + 5log 75 = 5log .75 = 5log 25 = 5log 52 = 2 5log 5 = 2

SIFAT 3 :

a log = a log b – a log c

4 log = 4 log 2 – 4log 3

3log 30 - 3log 10 = 3log = 3log 3 = 1

5log 50 - 5log 2 = 5log = 5log 25 = 5log 52 = 2 5log5 = 2

SIFAT 4 :

a log bc = c . a log b

log 9 = log 32 = 2 log 3

SIFAT 5 :

a log b . b log c = a log c

6 log 3. 3 log 7 = 6 log 7

SIFAT 6 :

a log 2 b = ( a log b )2

2 log 2 5 = ( 2log 5 )2

‘14 12



5log3 7 = ( 5log 7 )3

SIFAT 7 :

l og b m = . a log b

log 34 = 2 log 3

SIFAT 8 :

p log a =

bukti: dg bantuan log: a log b . log a = log b

. log a = log b log b = log b

4 log 5 = rumus penggantian bilangan pokok logaritma t > 0;

3log 7 =

CONTOH SOAL :

1). 3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 = ?

Jawab :

3 log 9 + 3 log 18 – 3 log 2 = 3 log = 3 log 81 = 3 log 34

= 4 3 log 3 = 4

2). Diketahui : Log 2 = 0,3010

Log 3 = 0, 4771

Log 5 = 0,6990

Log 7 = 0,8451

‘14 13



Hitung :

a. Log b. log 15 c. Log d. log

Jawab :

a. Log = log 7 – 2 = -2 log 7 = -2 (0,8451) = - 1,6902

b. Log 15 = log 3. 5 = log 3 + log 5 = 0,4771 + 0,6990 = 1,1761

c. Log

d. Log = log 2 ½ = 1/ 2 log 2 = 1/ 2 x 0,3010 = 0,1505

3. Ubahlah 2 log 6 menjadi logaritma dengan bilangan pokok 3 !

Jawab :

4. Jika 3 log 5 = P

a). 5 log 3 = ? b). 9 log 125 = ? c). 9 log = ?

Jawab :

a).

b). 9 log 125 = 3 2log 53 = 3 log 5 =

c). 9 log = 3 2 log 5 ½ = 3log 5 =

5. 3 log 64 x 4 log 36 x 6 log =

Jawab : 3 log 43 x 4log 62 x 6 log 3 ½ =

3 3 log 4 x 2 4 log 6 x ½ 6 log 3 =

(3 x 2 x 1/2 ) 3 log 3 = 3.1 = 3

LATIHAN SOAL 1 :

‘14 14



1.4 log 6 = P 16 log 2. 5 log 7 = P 25 log 7 =

3. Diketahui : log 3 = 0,4771

Log 2 = 0,3010

Log 8 + log 6 – log

4. Diketahui : 4 log 3 = P

4 log 5 = q

4 log 8 = r

a. 4 log 40 =…..

b. 4 log 15 = …..

5. Jika 2 log a + 2 log b = 12, Berapa a. b = ….

6. Jika 32 log x = 64, maka x =….

7. 5 log x = a 5 log y = b 5 log z = c

=

=

8. 9 log 125 x 25 log 81 = …….

9. 5 log 12 1/2 + 5 log 2 = ……

10. 2 log 1/3 + 2 log 24 = ……...

C. PENENTUAN LOGARITMA BILANGAN ANTARA 0 DAN 1 Tentukan nilai – nilai logaritma berikut !

a. log 0,528

b. log 0,0528

c. log 0,00528

Jawab :

a. log 0,528 = log 5,28 X 10-1 = log 5,28 + log 10-1 = 0,723 - 1 = - 0,277

b. log 0,0528 = log 5,28 X 10-2 = log 5,28 + log 10-2 = 0,723 - 2 = - 1,277

c. log 0,00528 = log 5,28 X 10-3= log 5,28 + log 10-3 = 0,723 – 3 = - 2,277

D. PENENTUAN LOGARITMA BILANGAN LEBIH DARI 10 Tentukan nilai-nilai logaritma berikut !

‘14 15



a. log 382,6

b. log 4.008,5

c. log 27.054

Jawab :

a. log 382,6 = log 3,826 X 102 = log 3,826 + log 102 = 0,583 + 2 = 2,583

b. log 4.008,5 = log 4,0085 x 103 = log 4,0085 + log 103 = 0,603 + 3 = 3,603

c. log 27.054 = log 2,7054 x 104 = log 2,71 + log 104 = 0,433 + 4 = 4,433

SOAL 1 : BILANGAN AKAR

1. = .........................

a. 0 b. 1 c. e. -2 d.

2. = ...........................

a. 2 2x b. 2 2x+1 c. 2 3x d. 2 3x+1 e. 2 3x+2

3. = ............................

a. 5 + b. 5 − c. 4 + d. 4 − e. 2 +

4. = ................

a. 4 + b. 4 − c. − d. − e. c dan d benar

5. Jika x < 5 maka = .........................

a. x + 5 b. x – 5 c. 5 – x d. x – 6 e. 6 – x

6. Bentuk sederhana dari adalah ........................

a. 3(3 + 2 ) c. −(3 − 2 ) e. −(3 + 2 )

b. −3(3 + 2 ) d. 3(3 −2 )

7. = ..................................

a. b. c. 1 d. 3 e. 9

‘14 16



8. = .............................

a. 2 b. 2x c. 2x+1 d. 22x+1 e. 22x+2

9. = ........................

a. 3x-1 b. 33x-1 c. 34x+1 d. 32xe. 34x

10. Untuk x = 212 maka = ..........................a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

LATIHAN SOAL 2 : LOGARITMA

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Jika : 4 log 3 = p

4log 5 = q

4log 8 = r

Selesaikan untuk soal 8,9 dan 10

8. 4log 40 =

9. 4log 15 + 4log 8 =

10. 4log 2 + 4log 20

SOAL-SOAL PILIHAN GANDA

11. 2log − 3log = ................

a. 0 b. c. d. e.

12. Jika log 2 = p, log 3 = q dan log 5 = r . Maka log 150 = .....................

a. 1 + p + q c. 1 + q + r e. 2pqr

b. 1 + p + r d. pqr

‘14 17



13. 5log 150 − 5log 24 + 5log 4 = .....................................

a. 5 b. 4 c. 3 d. 2 e. 1

14. Jika log 2 = x maka log 5 = ...................

a. 1 – x b. 1 + x c. x d. 2x e. x2

15. Jika 2log 25 = x, maka 2log 0,04 = ........................

a. −1 b. 1 c. –x d. −4x e.

16. Jika 2log x . 5log 2 = 4 maka x = ......................

a. 54 b. 52 c. 45 d. 24 e. 25

17. = ...................

a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 e. 5

‘14 18



SOAL 3: SOAL UAN

Materi Pokok : Bentuk akar, Eksponen, dan Persamaan eksponen

1. Bentuk sederhana dari ( 1 + 3 ) – ( 4 – ) adalah ….

a. – 2 – 3 b. – 2 + 5 c. 8 – 3 d. 8 + 3 e. 8 + 5

2. Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ….

a. b. c. d. e.

3. Nilai dari

a. – 15 b. – 5 c. – 3 d, e. 5

4. Nilai dari untuk x = 4 dan y = 27 adalah ….

a. b. c. d. e.

Materi Pokok : Persamaan dan pertidaksamaan Eksponen dan Logaritma

5. Akar-akar persamaan 32x+1 – 28.3x + 9 = 0 adalah x1 dan x2. Jika x1 > x2, maka nilai 3x1 – x2 = …

a. – 5 b. – 1 c. 4 d. 5 e. 7

6. Akar – akar persamaan 2.34x – 20.32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

7. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log.2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah ….

a. 2log 3 b. 3log 2 c. – 1 atau 3 d. 8 atau ½ e.

8. Penyelesaian pertidaksamaan log (x – 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ….

a. x > 6 b. x > 8 c. 4 < x < 6 d. – 8 < x < 6 e. 6 < x < 8

9. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan : 2 log x log (2x + 5) + 2 log 2 adalah ….

a. < x 8 b. – 2 x 10 c. 0 < x 10 d. – 2 < x < 0 e. x < 0

10. Himpunan penyelesaian persamaan 2.9x – 3x+1 + 1 = 0 adalah ….‘14 19



a. { ½ , 1 } b. { –½ , –1 } c. { –½ , 1 } d. { 0 , 3log ½ } e. { ½ , ½log 3 }

11. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan adalah ….

a. x < –14 b. x < –15 c. x < –16 d. x < –17 e. x < –18

12. Himpunan penyelesaian persamaan xlog ( 10x3 – 9x ) = xlog x5 adalah ….

a.{ 3 } b. { 1,3 } c. { 0,1,3 } d. { –3, –1,1,3 } e.{–3,–1,0,1,3}

13. Nilai x yang memenuhi adalah ….

a. 1 < x < 2 b. 2 < x < 3 c. –3 < x < 2 d. –2 < x < 3 e. –1 < x < 2

14. Jika x1 dan x2 adalah akar – akar persamaan (3log x)2 – 3.3log x + 2 = 0, maka x1.x2 = ….

a. 2 b. 3 c. 8 d. 24 e. 27

15. Penyelesaian pertidaksamaan adalah ….

a. x > –1 b. x > 0 c. x > 1 d. x > 2 e. x > 7

16. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2log (x2 – 3x + 2 ) < 2log ( 10 – x ), x R adalah ….

a. b.

c. d. e. { }

17. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 9log ( x2 + 2x ) < ½ adalah ….

a. –3 < x < 1 b. –2 < x < 0 c. –3 < x < 0 d. –3 < x < 1 atau 0 < x < 2

e.3 < x < –2 atau 0 < x < 1

18.Diketahui 2x + 2–x = 5. Nilai 22x + 2–2x =….

a. 23 b. 24 c. 25 d. 26 e. 27

19.Nilai 2x yang memenuhi adalah ….

b. 2 b. 4 c. 8 d. 16 e. 32

20.Batas – batas nilai x yang memenuhi log ( x – 1 )2 < log ( x – 1 ) adalah ….

‘14 20



c. x < 2 b. x > 1 c. x < 1 atau x > 2 d. 0 < x < 2 e. 1 < x < 2

Daftar Pustaka

1. Murray R. Spiegel, “Matematika Dasar” (Schaum Series), Pen. Erlangga, Jakarta, 1999.

2. Edward J. Cairns, “Mathematics for Applied Engineering”, Prentice Hall, New Jersey, USA, 1967.

3. Yusuf Yahya, Suryadi, Agus, “Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi”, Pen. Ghalia Indonesia, Jakarta, 1990.

4. Stroud, K.A., Erwin Sucipto, 1991: Matematika Untuk Teknik, Erlangga, Jakarta.

5. Browsing Internet.

‘14 21



Documents

modul.mercubuana.ac.id€¦ · Web viewMatematika Dasar Bilangan Irasional dan Logaritma Fakultas Program Studi Tatap Muka Kode MK Disusun Oleh Ilmu Komputer Teknik Informatika 02