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8/16/2019 mohr 3d imed

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Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008

Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 1

Sumário e Objectivos

Sumário: Perpendicularidade das Tensões Principais. Elipsóide deLamé. Tensões Octaédricas. Caso Particular do Estado Plano deTensão. Tensões Principais Secundárias. Circunferência ou Circulo deMohr.

Objectivos da Aula: Ser Capaz de proceder à Construção de Mohr para estados planos. Comparar os resultados Analíticos com os

Resultados Gráficos.


2/34



Helicóptero


3/34




4/34



Estrutura de um veículoAutomóvel


5/34



Propagação de Fendas


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Perpendicularidadedas Tensões Principais

Admita-se que o sistema de eixos Oxyz é tal que uma das direcções(por exemplo o eixo dos zz) é coincidente com uma das direcções principais, por exemplo, .Nestas condições as tensões tangenciais, sãonulas e o sistema de equações que permite o cálculo das direcções principais étal que

xx xy

yx yy

zz

0 l

0 m 0

0 0 n

−σ⎡ ⎤⎧ ⎫σ τ⎪ ⎪⎢ ⎥−σ =τ σ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥−σσ

⎣ ⎦⎩ ⎭

Equação

característica

[ ]xx xy

zzxy yy

0− σσ τ

− σ =σ− στ σ


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Soluções da EquaçãoCaracterística

[ ] xx xyzzxy yy

0− σσ τ− σ =σ− στ σ

A equação é verificada se for

0 com 0

ou

0 com 0

yyxy

xyxxzz

yyxy

xyxxzz

=σ−στ

τσ−σ≠σ−σ

≠σ−στ

τσ−σ=σ−σ

No 1º caso a direcção principal correspondente é l=m=0 e n=1

No 2º caso tem de ser n=0, as outras tensões principais, pertencem ao plano xy que é perpendicular a z

σσ 21 e


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Elipsóide de Lamé

No caso de se escolher um sistema de eixos coincidente com asdirecções principais, o tensor das tensões toma a forma

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

σ

σ

σ

3

2

1

00

00

00 Numa faceta cuja normal tem cossenos directores,{l,m,n}, as componentes do vector tensão, T, são

σ= σ=

σ=

33

22

11

nTmT

lT

ou

σ=

σ=

σ=

3

3

2

2

1

1

Tn

T

m

Tl


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Elipsóide de Lamé

Tendo em conta que 1nml 222 =++

σ

=

σ=

σ=

3

3

2

2

1

1

Tn

Tm

Tle que

Obtém-se

1TTT23

23

22

22

21

21 =σ

+σ

+σ

Que corresponde à Equação de um Elipsóide no espaço, o Elipsóide de LaméTeT,T 321


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Tensões Octaédricas

Considere-se que as tensões estão

representadas no sistema deeixos principais, existem oito

planos cujas normais são

igualmente inclinadas em relação

ás direcções principais e que

contém as facetas do octaedrorepresentado na figura. As

facetas deste octaedro têm

cossenos directores iguais em

valor absoluto, no referencial

cartesiano coincidente com os

eixos principais. As tensões

normais que actuam nas faces

deste octaedro são as chamadas

Tensões Octaédricas.

x≡1

y≡2

z≡3


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Os cossenos directores das normais às facetas são iguais entre si everificam a igualdade 2 2 2 1l m n+ + =

3

1n

3

1m

3

1l ±=±=±=

As equações de Cauchy que permitem o cálculo do tensor das tensõesconhecido o versor da normal conduzem às tensões seguintes nasfacetas do Octaedro

3

nT 3

mT 3

lT3

3z2

2y1

1xσ±=σ=

σ±=σ=σ±=σ=


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A componente normal da tensão T , pode ser calculada considerandoo produto do transposto do vector T pelo versor da normal à faceta,

ou seja

3

nT 3

mT 3

lT 33z22y11x σ±=σ=σ±=σ=σ±=σ=

3I

3nmlTnTmTl

13213

22

21

2zyxoct =

σ+σ+σ=σ+σ+σ=++=σ

A componente tangencial da tensão nas facetas do octaedro pode sercalculada considerando a equação

σ−=τ 2oct2oct

2oct T


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3

nT 3

mT 3

lT 33z22y11x σ±=σ=σ±=σ=σ±=σ=

3I

3nmlTnTmTl

13213

22

21

2zyxoct =

σ+σ+σ=σ+σ+σ=++=σ

σ−=τ 2oct2oct

2oct T

( )

( ) ( )I3I9

2

9I

I2I3

19

I

3

1nml

22

21

212

221

212

322

21

2oct

23

222

221

22oct

−=−−=

=−σ+σ+σ=σ−σ+σ+σ=τ



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Estado Plano de Tensão

θ

θ

x

x´

A B

Cyy´

θ

90º x´

yy´

xσxx

σyy

τxy

σxx

σyy

τxy

σ ´´xx

(a)(b)

D EF

x´y´τ


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As Tensões no Sistema de Eixos Oxý´ são

x´x´ xx yy xy

1 cos2 1 cos2sen2

2 2

+ θ − θ= + + θσ σ σ τ

yy xxxý´ xysen2 cos2

2−σ σ= θ + θτ τ

xx yy xx yyyý´ xycos2 sen2

2 2

+ −σ σ σ σ= − θ − θσ τ

xx yy x´x´ yý´+ = +σ σ σ σ


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Tensões Principais-EstadoPlano de Tensão

xx yyx´x´xyd 2sen2 2 sen2 0

d 2−σ σσ = − θ + θ =τ

θ

( )

xy p

xx yy

tang2

/ 2

τ=θ

−σ σ

( )

2

xx yy 2

max xymin

xx yy

x´x´ 22

−⎛ ⎞σ σ+σ σ

= ± +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟⎝ ⎠


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Tensões PrincipaisSecundárias num plano

Considere-se um sistema de eixos ortogonal Oxyz e determinem-se asequações de transformação para as componentes x´x´, yý´, z´z´,

relativamente a um novo sistema de eixos coordenados Oxý´z´ obtidos a

partir dos primeiros por rotação em relação ao eixo dos zz.

x´x´ yy yy xyxx xx1 1) )cos2 sen2( (2 2

= + + − θ + θσ σσ σ σ τ

yy xxx´y´ xysen2 cos2

2

−σ σ= θ + θτ τ

xx yy xx yyy´y´ xycos2 sen2

2 2

+ −σ σ σ σ= − θ − θσ τ

O=O´

z=z´

x yx´

θ


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Tensões PrincipaisSecundárias

Da equação que fornece a tensão de corte ou tangencial se seconsiderar esta tensão nula obtém-se o ângulo θ p que é talque:

( )

22 xy

p

xx yy

tgτ

θ

σ σ

=

−Tendo em conta que tg2θ p=tg(2θ p+π) pode dizer-se queexistem duas direcções Ox´e Oy´ mutuamente ortogonais que

satisfazem a condição de ser τxy=0. Para estas duas direcções éfácil verificar que ∂σx´x´/ ∂θ=0 e ∂σy´y´/ ∂θ=0 .As direcçõesassim definidas dizem-se direcções principais secundárias.


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Tensões PrincipaisSecundárias

As Tensões normais correspondentes, Tensões PrincipaisSecundárias são:2

xx yy 2

1 xy

2

xx yy 22 xy

xx yy

22

xx yy22

−⎛ ⎞σ σ+σ σ

= + +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟⎝ ⎠

−⎛ ⎞σ σ+σ σ= − +σ ⎜ ⎟ τ⎜ ⎟

⎝ ⎠


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Circulo de Mohr para o


xx yy xx yy

x´x´ xycos2 sen22 2

+ −σ σ σ σ= + θ + θσ τ yy xxxý´ xysen2 cos22−σ σ= θ + θτ τ

xx yy xx yyx´x´ xycos2 sen22 2

+ −σ σ σ σ− = θ + θσ τ

xx yy

xý´ xysen2 cos22

−σ σ= − θ + θ

τ τ

Estas Equações Podem ser Escritas com a Forma

Elevando ao quadrado as duas expressões, adicionando e simplificando,obtém-se:

2 2xx yy xx yy2 2x´x´ xý´ xy

2 2+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ σ σ− + = +σ τ τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠


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Circulo de Mohr para oEstado Plano de Tensão

Uma vez que as tensões no sistema de eixos Oxy são conhecidas e astensões no sistema de eixos Oxý´ são desconhecidas e variáveis, a

equação anterior é equivalente à equação de um circulo no plano σ,τ.

2 2

xx yy xx yy2 2x´x´ xý´ xy2 2

+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ σ σ σ− + = +σ τ τ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ou ( )

22 2xýá bx´x´− + =σ τ

ondexx yy

2xx yy 2

xy

a OC2

b R 2

σ

+σ σ= =

−⎛ ⎞σ= = + τ⎜ ⎟

⎝ ⎠


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Circulo de Mohr para oEstado Plano de Tensão

σ

) ,( A xy xx τσ

O C

θ p2

) ,( B xy yy τ−σ

2OC a

yy xx σ+σ==

τ+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ σ−σ 2 xy

yy xx2

2

xx yy

2

xx yy 2xy

a OC2

b R 2

σ

+σ σ= =

−⎛ ⎞σ= = + τ⎜ ⎟⎝ ⎠

σ1σ2

τ

E F

GA

B


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Mudança de Eixos usandoa Construção de Mohr

α2θ p

Aθ

O C

y

x

x´

y´

θ

xxσ

xyτ xxσ

xyτ

yyσ

xx yy

2

+σ σ

x´x´σ

x´y´τ

x´x´ x´y´( , )σ τB


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Círculos de Mohr 3D


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Tensões Normal numaFaceta com normal n

σ≥σ≥σ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

σ

σσ

123

3

2

1

sendo

00

0000

σ=

σ=σ=

3zz

2yy

1xx

nT

nTnT

nnnT 2z32y2

2x1n σ+σ+σ=

Tensão NormalnnnT 2z

23

2y

22

2x

21

2 σ+σ+σ=Tensão T

1nnn 2z2y2x =++

(1) (2)

(3)

As equações (1),(2),(3) constituem um

sistema de equações por solução doqual se pode determinar ascomponentes de n


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Componentes de n –normal à faceta

))((

)(TTT

n

))((

)(TTTn

))((

)(TTT

n

3231

2121n2t

2n2

z

2123

1313n2t

2n2

y

1312

3232n2t

2n2

x

σ−σσ−σ

σσ+σ+σ−+

=

σ−σσ−σ

σσ+σ+σ−+=

σ−σσ−σ

σσ+σ+σ−+

= Considere-se a 1ª equação, passando o denominador para o 1ºmembro e adicionando a ambos osmembros da equação ,obtém-se

( )σ+σ 322

4

1

( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ+σ+σ==+σ+σ− 322x3121322

412

121

2t322

1n

2nR com R TT

( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ−σ+σ==+σ+σ− 132y3221132

412

222

2t132

1n

2nR com R TT

( )[ ] ( ) ( )( ) σσ−σ−σσ−σ+σ+σ==+σ+σ− 122z3231212

412

323

2t212

1n

2nR com R TT

Procedendo de igual modo com as outras duas equações, obtém-se


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Lúcia M.J.S. Dinis2007/2008 Mecânica dos Sólidos 3ª Aula 27

Círculos de Mohr


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Valores Limites dos Raios

[ ])(R )( 3221

113221 σ+σ−σ≤≤σ−σ

[ ] )(R )( 3121231212 σ−σ≤≤σ+σ−σ

[ ]σ−σ+σ≤≤σ−σ 3212132121 )(R )(


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Problemas Propostos -Círculo de Mohr

1) Considere um estado de tensão plano cujas componentes das

tensões são:

a)Desenhe um elemento de dimensões infinitesimais, dx e dy e

represente as tensões a actuarem no elemento. b)Desenhe o círculo de Mohr correspondente ao estado de tensão

referido.c)Indique no círculo de Mohr os pontos A e B que correspondem ao

estado de tensão que se obtém nas direcções x´ e y´ que fazem 40ºno sentido dos ponteiros do relógio com o sistema de eixos inicial.d)Determine o tensor das tensões no sistema de eixos Ox´y´e) Determine as tensões principais.

i jσ = ⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

80 60

60 20


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Problemas Propostos -Circulo de Mohr

2) Desenhe os círculos de Mohr para os estados de tensão seguintes:

σ

Tracção simples

σ=100MPa

a)

corte puro

b) τ=10MPa

Tracção em duasdirecções

σ

c) σ

σ

σ

τ

σ

d) σ

σ

σ σ

e) σ

σ

σ


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3) Considere o estado de tensão seguinte:100 50 20

50 80 50

20 50 40

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦a) Determine as Tensões Principais

b) Desenhe os círculos de Mohr

c) Determine as tensões tangenciais máximas


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3. Considere o Estado Plano de tensão e num ponto do sólido considere que otensor das tensões é

50 30MPa

30 80

−⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.0) a) Determine o tensor das tensões no ponto, num sistema de eixos que se

obtém rodando de 30º, em torno do eixo dos zz no sentido contrário ao dos ponteirosdo relógio, o sistema de eixos inicial.(1.0) b) Determine as Tensões Principais e a tensão de corte máxima.

Utilize a Construção de Mohr


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Problemas Propostos -Circulo de Mohr(4)

4. O campo de Tensões num corpo sólido elástico,homogéneo e isotrópico é definido pelas seguintescomponentes:

( )120 2 , 100 2 e 100 2 yy xy xy xz zx z y z yσ τ τ τ τ

= − = = − = =As restantes componentes do Tensor das Tensões são nulas.

a) Mostre que tal campo de Tensões está necessariamente

associado a um campo de forças de Volume uniforme e paralelo ao eixo dos yy.


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Problemas Propostos -Circulo de Mohr(4 cont)

b) Determine as Tensões principais nos pontos A(0,√2/2, -√2/2)e B=(0 ,-√2/2, √2/2) , e as respectivas direcções.

c) Desenhe os círculos de Mohr correspondentes ao estado de

Tensão no ponto C =(0 ,√2/2, √2/2) .d) À volta do ponto B, desenhe um paralelepípedo elementar defaces paralelas aos planos cartesianos e, sobre cada uma das

faces represente as tensões correspondentes.

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