Monografia Numeros Adimensionales y Momento Lineal

8/10/2019 Monografia Numeros Adimensionales y Momento Lineal

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INGENIERA AGROINDUSTRIAL FENMENOS DE TRANSPORTE

NDICE

INTRODUCCIN ........................................................................................................ 2

NMEROS ADIMENSIONALES .............................................................................. 3

1. NMERO DE EULER ............................................................................................. 3

1.1 SIGNIFICADO DEL NUMERO DE EULER ................................................. 3

1.2 IMPORTANCIA ................................................................................................. 4

2. NMERO DE FROUDE ......................................................................................... 4

2.1 SIGNIFICADO DEL NMERO DE FROUDE .............................................. 5

2.2 APLICACIN EN EL FLUJO DE CANALES ABIERTOS ........................ 6

3. EL NMERO DE REYNOLDS .............................................................................. 6

3.1 GENERALIDADES ........................................................................................... 7

3.2 ESQUEMA DE INSTALACIN PARA LA EXPERIENCIA DE REYNOLDS........................................................................................................................................ 10

4. NMERO DE WEBER .......................................................................................... 13

5. EL PRINCIPIO DE MACH .................................................................................... 14

6. TEORA DE BUCKINGHAM ................................................................................ 18

7. ECUACIN DE MOMENTUM LINEAL ............................................................. 20

8. CONCLUSIONES .................................................................................................... 27

9. BIBLIOGRAFA ...................................................................................................... 28


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INTRODUCCIN

Este trabajo consiste en un estudio del anlisis dimensional y una posterior

profundizacin bibliogrfica sobre una serie de nmeros adimensionales, centrndonos

en los procesos fsicos de transmisin del calor, mecnica de fluidos y en menor medida

transferencia de masa.

El anlisis dimensional, es una herramienta experimental importante en la dinmica de

fluidos y otras reas de la ingeniera. La ventaja de esta herramienta es la dinmica de

fluidos y otras reas de la ingeniera. Asimismo permite prescindir de la solucin de las

ecuaciones de transporte.

Existen tres mtodos de anlisis dimensional: el enfoque de ecuaciones diferenciales y

los desarrollados por Raleigh y Buckingham respectivamente. De estos anlisis seobtienen los nmeros adimensionales, los cuales relacionan fuerzas y propiedades del

sistema en estudio o parte del mismo y se usan como ciertos criterios de similitud en el

escalamiento de cualquier modelo.

El objetivo de este estudio es intentar dar una visin clara sobre el significado fsico,

definicin, obtencin de estos nmeros y evolucin en el tiempo de su significado por

parte de los diferentes autores.

El estudio sobre estos nmeros adimensionales se centra en los procesos de transmisinde calor por conveccin, conduccin y radiacin, y procesos de mecnica de fluidos.


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NMEROS ADIMENSIONALES

1. Nmero de Euler (Eu)El nmero de Euler se define como la relacin entre las fuerzas de inercia y las fuerzas

de presin, por ejemplo un estrechamiento (Duarte y Jos, 2011); segn Daz (2006)

permite establecer relaciones entre las fuerzas de inervia debidas a a presin y las de

tensin superficial, determinando una serie de parmetros adimensionales que

describen el comportamiento de los fluidos. Controla el termino de los efectos de la presin termodinmica con respecto a la

presin dinmica. Por ejemplo en flujos confinados que trabajan a alta presion, se

tiene Eu grande; en cambio en flujo con superficie libre el Eu es pequeo (Martnez,

2004).Se usa para caracterizar prdidas de carga en el flujo; por ejemplo, a un flujo

horizontal sin friccin le corresponde un nmero de Euler unitario, y cuanta ms

prdida de carga se produzca en su movimiento, menor ser su nmero de Euler

(Batchelor, 1967).

Interpretacin fsica: E = p 1.1. Significado del Nmero de Euler

Consideremos un prototipo y su modelo semejantes dinmicamente. En tal caso

se cumplir la siguiente ecuacin:

= = (1)Y como es la casa de reas y la de celeridades, la ecuacion equivale adecir:

= (2)Y permutando los medios

= = (3)


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De donde se deduce que todos los sistemas que sean semejantes dinmicamente

tendrn el mismo nmeor de Newton. Como la ecuacin (1) es una consecuencia

directa de la segunda ley de Nwyton, se comprende que ser aplicable a todos los

fenmenos en que las fuerzas de inercia jueguen un papel preponderante. Ahora bien, se adems intervienen resistencias de tipo hidrulico, tambin es inmediata

su aplicacin en virtud de la expresin de dichas resistencias. Claro est que, en

este caso, s la razn de las densidades de los fluidos por donde se mueven los

cuerpos modelo y prototipo y no la razn de las densidades de stos.

Como en los problemas de Mecnica de fluidos intervienen frecuentemente juntas

la fuerza y la superficie en forma de presin = /, el nmero de Newton seescribe frecuentemente en la forma:

= O tambin:

= Conocida por el nombre de nmero de Euler (Fernandez & Pujal, 1985).

1.2. Importancia

Este nmero es de gran importancia cuando se estudian las prdidas de energa en

una conduccin con base en la diferencia de presiones entre dos puntos

determinados . Es de suma importancia en el fenmenos de cavitacin (Duarte &

Jos, 2011), en el flujo en turbomquinas hidralicas es importante para evaluar

los efectos de la cavitacin.

2. Nmero de Froude (Fr) El nmero de Froude (Fr) es un nmero adimensional que relaciona el efecto de las

fuerzas de inercia y la fuerzas de gravedad que actan sobre un fluido (Mott, 2006).

Controla los efectos del campo central de fuerzas en donde pueda estar el fluido, lo

mas normal es que sea exclusivamente el campo gravitacional. Cuanto mayor sea el

Fr menor ser la importancia de la fuerza gravitacional (Martnez, 2004). Se aplica a


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los diferentes tipos de fluidos que tiene superficies libres. Es otra forma de definir el

tipo de flujo en un canal (Gherardelli, 2008), cuya interpretacin fisica es:

F = fuerzas de inerciafuerzas de gravedad

En flujo confinado (limitado por una superficie rgida), el orden de magnitud de las

fuerzas de inercia es mayor que el de las fuerzas gravitacionales, con lo que se tiene

Fr altos, y por lo tanto son poco importantes los efectos gravitacionales.

En flujo con superficie libre, se tiene Fr bajos del orden de la unidad; y su valor

determina el diverso comportamiento del flujo ante perturbaciones (Martnez, 2004).

2.1. Significado del Nmero de Froude:Las fuerzas de inercia (F), en base al segundo principio de la dinmica, se define

como el producto entre la masa (m) y la aceleracin (a), pero como nos referimos

a un fluido escribiremos la masa como densidad por volumen (Mott, 2006). En

forma dimensional se escribe:

[ ] = [ ] = [ ] = = (1)Para simplificar la definicin de fuerzas de inercia en nuestro sistema

escribiremos:

= = (2)Donde l y t sern, respectivamente, una distancia y un tiempo caractersticos de

nuestro sistema.

El peso (P) resulta ser el producto entre la masa y la aceleracin de la gravedad.

[] = [ ] = (3)Para simplificar escriibremos asi:

= 3 (4)Entonces la relacin entre las fuerzas de inercia y de gravedad se puede escribiras:

= fuerzas de inerciafuerzas de gravedad = /3 = = Entonces se define el nmero de Froude: = (5)


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2.2. Aplicacin en el flujo de canales abiertos

El mecanismo principal que sostiene flujo en un canal abierto es la fuerza de

gravitacin. Por ejemplo, la diferencia de altura entre dos embalses har que el

agua fluya a travs de un canal que los conecta. El parmetro que representa este

efecto gravitacional es el Nmero de Froude, puede expresarse de forma

adimensional. Este es til en los clculos del resalto hidrulico, en el diseo de

estructuras hidrulicas y en el diseo de barcos.

= Donde:

Profundidad hidraulica [m]

v Velocidad media de la seccin del canal [m/s]

g - aceleracin de la gravedad [m/s]

El flujo se clasifica como:

Fr1, Flujo supercrtico o rpido, tiene una velocidad relativamente alta y poca

profundidad prevalece la energa cintica. Propios de cauces de gran pendiente

o ros de montaa.

3. EL NMERO DE REYNOLDS

El nmero de Reynolds es quiz uno de los nmeros adimensionales ms utilizados.

La importancia radica en que nos habla del rgimen con que fluye un fluido, lo que

es fundamental para el estudio del mismo. Si bien la operacin unitaria estudiada no

resulta particularmente atractiva, el estudio del nmero de Reynolds y con ello la

forma en que fluye un fluido son sumamente importantes tanto a nivel experimental,

como a nivel industrial. (Universidad Iberoamericaa, 2008)


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Los diferentes regmenes de flujo y la asignacin de valores numricos de cada uno

fueron reportados por primera vez por Osborne Reynolds en 1883. Reynolds observ

que el tipo de flujo adquirido por un lquido que fluye dentro de una tubera depende

de la velocidad del lquido, el dimetro de la tubera y de algunas propiedades fsicasdel fluido. As, el nmero de Reynolds es un nmero adimensional que relaciona las

propiedades fsicas del fluido, su velocidad y la geometra del ducto por el que fluye.

3.1. GENERALIDADES

La experiencia confirma que el escurrimiento de los fluidos reales puede tener

lugar de dos formas distintas: laminar y turbulento.

Las caractersticas fundamentales del escurrimiento laminar son el paralelismo

entre los distintos filamentos que componen la corriente y el retorno a esta

situacin, an despus de ocurrida cualquier perturbacin del rgimen de

velocidades (debida a causas externas al fluido que escurre).

En cambio, si las perturbaciones consiguen mantenerse, el escurrimiento se

denomina turbulento. Para velocidades medias relativamente importantes el

escurrimiento se caracteriza por un entremezclado de las partculas fluidas con un

intenso intercambio de masa y no pudindose definir filamentos como en el caso

del movimiento laminar.

El rgimen turbulento se caracteriza por su elevada inestabilidad, es decir la

variacin instantnea de velocidades y el intercambio de masa ms que evidente.

En el rgimen laminar los estratos no se mezclan entre s y slo tiene lugar el

intercambio molecular entre los mismos, lo que da origen a la denominada

viscosidad dinmica o absoluta como propiedad inherente del fluido en particular.

Figura N 1. Regmenes de flujo.


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Justamente los valores relativamente bajos de la viscosidad frente a su masa

especfica son los que hacen inestables a los escurrimientos dando lugar al

rgimen turbulento. El agua presenta una viscosidad baja en relacin a su masa

especfica, por lo tanto es muy fcil que escurra en rgimen turbulento.Basta apreciar brevemente el escurrimiento del agua, hasta simplemente con

un grifo domiciliario abierto, para apreciar la falta de uniformidad real de un

lquido (o fluido por extensin) en rgimen turbulento, pues las trayectorias de

las partculas son absolutamente distintas en el tiempo, contrariando en

principio lo que definimos como escurrimiento uniforme.

Boussisneq determin que en un determinado punto del espacio en un medio

contnuo en rgimen turbulento, la velocidad media temporal si se consideran

tiempos suficientemente largos (superiores al minuto) se la puede considerar

como invariable y representativa del escurrimiento.

Al reemplazar las velocidades instantneas por estas velocidades medias

temporales se obtiene el rgimen uniforme, el que se simplifica an ms si se

tiene en cuenta para el caso de las conducciones unidimensionales el concepto

de velocidad media U en cada seccin transversal.

Un ejemplo clarificador de los conceptos de Boussisneq, que posibilitan

uniformizar al rgimen turbulento en base al concepto de velocidades

medias temporales, es el siguiente:

Si se considera un recipiente de un volumen dado alimentado por una

conduccin y regulado con una vlvula abierta en una dada posicin (por

ejemplo totalmente abierta), el volumen V se llenar en un tiempo t. Si se

repite el proceso numerosas veces tomando el tiempo, se podr apreciar que el

volumen ser llenado siempre en ese mismo tiempo t.


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Figura N 2. Ejemplo para interpretar a Boussisneq

Si se determinara hipotticamente el volumen llenado en un tiempo muy

pequeo (por ejemplo dcimas de segundo) y se midiera ese tiempo, se

encontrara que el tiempo t para llenar el volumen, multiplicando el pequeo

volumen por el nmero necesario de veces para lograr el volumen V, dara

muy distinto al medido en las reiteras experiencias a largo plazo.

Figura N 3. Velocidad media

Fcil es inferir que la definicin del concepto de caudal que pasa por la

conduccin, se obtiene simplemente de determinar el cociente

= Adems la velocidad media, se determina fcilmente teniendo en cuenta que


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= = 4 Por lo que

= 4 De esta forma se realiza en forma simple, con criterio tecnolgico y

empricamente la integracin que el concepto de velocidad media implica,

dado que por definicin es:

= 1 d 3.2. ESQUEMA DE INSTALACIN PARA LA EXPERIENCIA DEREYNOLDS

Reynolds, en 1881, realiz experiencias que le permitieron definir y

cuantificar, a travs del nmero que lleva su nombre, la forma en que escurre

un fluido.

Las experiencias consistieron en hacer escurrir un caudal de agua variable avoluntad a travs de un tubo cilndrico horizontal de vidrio transparente.

Lograba visualizar un filamento mediante la inyeccin de un colorante a travs

de una aguja inyectora, colocada en el abocinamiento de entrada del tubo.

Observ que para pequeos caudales (consecuentemente bajas velocidades)

con el mismo lquido y el mismo tubo (viscosidad y dimetro del tubo

constantes) el cambio de rgimen se produca a velocidades tanto ms altas

cuanto ms altas fueran las viscosidades cinemticas de los fluidos empleados.

Nota. Dado que la viscosidad del fluido es funcin de la temperatura, pudo

determinar numerossimas experiencias, tan solo variando la temperatura del

mismo.

Esto le permiti a Reynolds definir el nmero adimensional que lleva su

nombre, que gobierna el proceso y que para tubos cilndricos se expresa:


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= Donde:

Re = Nmero de Reynolds

D = Dimetro del tubo [L]

U = Velocidad promedio del lquido en la seccin tranversal [] = Densidad del lquido [] = Viscosidad del lquido [.]

En la Figura N 4 se presenta el esquema de la instalacin adoptada hoy

por muchos laboratorios y concretada, en el ao 1942, por el Ing. Miganne

en el laboratorio Guillermo Cspedes de la Universidad Nacional de La

Plata. Puede observarse que el tubo de experiencias se ha dispuesto vertical

mientras que la instalacin original de Reynolds presentaba el tubo

horizontal.

Figura N 4. Instalacin para la Experiencia de Reynolds


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Con esto se logra aumentar la sensibilidad de las experiencias puesto que

se corrige el defecto de la instalacin original, en la que el filamento

coloreado debido a la mayor masa especfica del colorante no guarda una

posicin horizontal. Es ms, la accin de la gravedad es tal que en muchasocasiones el filamento coloreado podra llegar a tocar las paredes del tubo.

Evidentemente, con el tubo vertical, al provocarse un escurrimiento en

sifn se soluciona el problema.

A partir del nmero adimensional de Reynolds, se define el valor por

debajo del cual el escurrimiento del fluido ha de responder siempre a la

caracterstica de laminar.

Segn Schiller el valor crtico corresponde a 2300; para valores menores

el rgimen es netamente laminar. Para valores comprendidos entre 2300 y

200000, el escurrimiento tiene caractersticas de poco turbulento,

hacindose netamente turbulento para valores mayores de 200000.

El nmero de Reynolds puede variar segn sea la dimensin lineal que se

utilice. En general, se opta por el dimetro del conducto en el caso de

escurrimientos a presin en conductos circulares.

En caso de conductos no circulares la dimensin lineal a ser utilizada es el

Radio medio hidrulico definido como:

= En el que es la seccin mojada (seccin del fluido en escurrimiento)

y el permetro mojado (la longitud de contacto entre la seccin y e l

fluido). Esta definicin del Nmero de Reynolds es muy utilizada en

Escurrimientos a superficie libre o canales. (Prez Farras, 2005)

Para el caso de secciones transversales circulares se tiene que:

= = 4 = / La expresin anterior posibilita calcular otras formas que no sean la

circular, reemplazando en el Nmero de Reynolds D por 4 R.


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El nmero de Reynolds escrito en funcin de la viscosidad dinmica o

cinemtica del agua variable con la temperatura y del Dimetro resulta:

= . .

4. NUMERO DE WEBER

Este nmero adimensional es til en el anlisis de flujos en donde existe una superficie

entre dos fluidos diferentes. Es til en analizar flujos multifsicos en superficies

curvadas, flujos de capas finas y en la formacin de gotas y burbujas. Este nmero

tambin es muy usado en la mecnica de fluidos, as como tambin es muy utilizado

en el anlisis de flujos, siempre y cuando exista una superficie entre dos fluidos

distintos.

El nmero de Weber es considerado como una medida relativa a la inercia del fluido,

que es comparada con la tensin superficial que actan en la superficie de separacin

lquido - gas. La tensin superficial del lquido en la superficie de una gota es lo que

mantiene la forma de la misma. (Herrez Snchez , 2010)

El nmero puede interpretarse como la razn de la energa superficial de una muestra

de fluido con dimensin L a su energa cintica

3/).

Nmero de Weber = = En donde es la densidad del fluido, V es la velocidad caracterstica del fluido, L es

longitud caracterstica, tensin superficial. Este nmero requiere la presencia de

una superficie libre, pero si estn involucrados objetos grandes, como botes en un

fluido como por ejemplo el agua, este efecto es muy pequeo.

Debe su nombre a Moritz Weber (1871-1951), del Instituto Politcnico de Berln, quedesarrollo las leyes de semejanza en su forma actual. Fue Weber quin descubri la

importancia de tan singular y til nmero. El nmero de Weber juega un papel

importante solo si el orden es la unidad o menor, lo que ocurre normalmente cuando

la curvatura de la superficie es comparable en tamao a la profundidad del lquido.

Por ejemplo, en gotas, flujos capilares, ondas de pequeas longitud y modelos

hidrulicos en pequeas dimensiones.

El nmero de Weber es un parmetro importante en atomizacin de un lquido. El

nmero de Weber da la razn caracterstica entre las fuerzas aerodinmicas que


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ejercen el gas sobre una pelcula delgada y las fuerzas de tensin que actan en la

superficie del lquido. La tensin superficial del lquido en la superficie de una gota

es lo que mantiene la forma de la misma. Si una gotita es sometida a la accin de un

chorro de aire, y existe una velocidad relativa entre el gas y la gotita, fuerzas inercialesdebido a dicha fuerza hacen que la gotita se deforme. Si el numero Weber es

demasiado grande, las fuerzas inerciales superan a las fuerzas de tensin superficiales,

hasta el punto en que la gotita se desintegra en gotas an ms pequeas.

A nmeros de Weber pequeos el lquido experimenta separacin subcrtica, en la

cual la tensin superficial jala la delgada capa liquida hacia una sola columna que

despus se separa para formar gotas relativamente grandes. A valores supercrticos de

Weber, la pelcula liquida se separa de forma aerodinmica en finos tamaos de gotasdel orden del grosor de la pelcula L. Por lo tanto, el criterio del nmero de Weber

puede ser til al pronosticar el tamao esperado de la gotita en la atomizacin de un

lquido, es parmetro significativo en la combustin de una turbina de gas y en los

cohetes.

El nmero de Weber uno interviene si no hay superficie libre excepto si hay cavitacin

de lquido a valores muy bajos de numero de Euler. Por la tanto, en fluidos viscosos

a bajas velocidades sin superficie libre el nico parmetro adimensional importantees el nmero de Reynolds. (2007)

5. EL PRINCIPIO DE MACH

El principio de Mach es una hiptesis sobre la naturaleza de las fuerzas no inercialesexpresada por primera vez por el fsico Ernst Mach en 1893. Este principio se enuncia

de la siguiente forma:

"La inercia de cualquier sistema es el resultado de su interaccin con el restodel Universo. En otras palabras, cada partcula del universo ejerce una influencia

sobre todas las dems partculas."

El principio de Mach sobre la condicionalidad de la masa inerte y sobre el carcter

absoluto de la aceleracin a causa de la accin de las estrellas lejanas tambin es

dudoso ya que explica las propiedades internas de un cuerpo a travs de las

propiedades de otros cuerpos. Claro que la idea en s es hermosa. Si consideramos

que todo en el mundo est interrelacionado y existe una cierta ecuacin ideal total de
http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Machhttp://es.wikipedia.org/wiki/1893http://es.wikipedia.org/wiki/Inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Universohttp://es.wikipedia.org/wiki/Universohttp://es.wikipedia.org/wiki/Inerciahttp://es.wikipedia.org/wiki/1893http://es.wikipedia.org/wiki/Ernst_Mach


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estado, entonces cualquier propiedad de los cuerpos debera determinarse por la

influencia del resto del Universo. Empero, cada una de las partculas debera

considerarse como individual. Este camino es ms fcil para la ciencia, que va de un

menor a un mayor conocimiento, ya que no se puede abarcar lo que es "inabarcable".Prcticamente, si consideramos la distribucin heterognea de la masa (en objetos

compactos) y las diferentes magnitudes de las fuerzas de atraccin de los objetos

cercanos y lejanos, entonces obtendramos u "jaloneo" total en vez de un giro

uniforme o de un movimiento uniforme por inercia.

Categricamente el principio de Mach no puede ser comprobado: tanto la expulsin

de todos los cuerpos del Universo como la tendencia artificial hacia cero de la

constante gravitacional, una abstraccin que no tiene nada que ver con la realidad.

Sin embargo, experimentalmente se puede evaluar el efecto de las " estrellas lejanas"

si se considera que la masa del Universo est concentrada principalmente en objetos

compactos.

La fuerza de atraccin de una estrella de masa semejante a la del Sol ~2.103 kilogramos, la cual se encuentra a una distancia de 1 ao luz

~9.10 metros es

equivalente a la accin de un peso cuya masa es de slo ~25 gramos y que seencuentra a 1 metro de distancia. Utilicemos por ahora la dudosa teora de la Granexplosin y consideremos que el tiempo de existencia del Universo es

de ~2.10 aos.Incluso si las estrellas se alejaran volando a la velocidad de la luz, el Universo tendra

unas dimensiones de ~2.10 aos luz. Consideramos que la distancia promedioentre las estrellas ms cercanas es de 1 ao luz. Aumentamos intencionalmente todas

las magnitudes, por ejemplo, la masa del Universo y su densidad ~ ~ 10 21g/cm . Consideremos ahora que al alejarse los cuerpos uno del otro al doble dedistancia, la fuerza disminuye cuatro veces y as sucesivamente. Intentemos imitar la

fuerza de interaccin de todo el Universo en una cierta direccin. Incluso si

consideramos la distancia media entre los cuerpos ms cercanos igual a 1 ao luz, a

una distancia de un metro es necesario colocar un masa en gramos (sumamos

hasta 2.10)


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~251 1 4 1 9 = 251 ~25 6 < 50 Prcticamente el coeficiente 6 expresa cierto aumento efectivo de la densidad sobrela lnea de observacin. Para la imitacin de "todo el Universo" se puede tomar una

esfera metlica gruesa de radio exterior igual a un metro y se puede hacer el grosor

variable en la direccin hacia el centro (para la imitacin de las heterogeneidades se

puede incluso hacer una estructura acicular cerca del radio interior).

Supongamos que el grosor de la esfera slida es de 0,6 metros, es decir, del centro

hasta 0,4 metros tenemos el nicho y de ah en adelante hasta 1 metro tenemos el metal.

Entonces a la masa con una densidad de ~8.3 g/cm le corresponder a una

columna cilndrica de radio 0,35 cm. En la realidad debemos considerar la influencia

de las estrellas en el cono y no slo en el cilindro. Aunque tambin tenemos un cono

metlico esfrico, de cualquier modo evaluemos el orden de la magnitud.

Descompongamos el cono en capas cilndricas, las cuales aparecen a medida que se

incorporan nuevas capas de estrellas (Fig. N 5).

Figura N 5. El principio de Mach y la influencia del Universo.

Cada nueva capa ser mayor que la anterior en estrellas. La distancia desde el

centro hasta la frontera ms cercana de cada capa de estrellas se puede encontrar de

la analoga con los tringulos: 1 = . Entonces tenemos = 1 /.


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Luego tenemos que la correccin para la masa (sumamos hasta 2.10) seencuentra como

(1 14 ) 1

6 < 1 6

1

1 6.10log 2.10~ 1 0.02 De esta manera, nuestra construccin alcanza con creces para la consideracin de la

accin de "todo el Universo". Por supuesto que si el Universo es infinito, la serie

armnica obtenida diverger y la construccin ser no adecuada. Pero esto contradice

tanto a la TGR como a los puntos de vista actuales y a los datos observacionales.

Coloquemos ahora bolitas en resortes dentro de la esfera. Para evitar efectos indirectos

se puede succionar el aire de dentro de la construccin y aislar adicionalmente las

bolitas de la esfera mediante un contenedor delgado. Si empezamos a girar la esfera

entonces, de acuerdo al principio de Mach, deber aparecer una fuerza centrfuga y

las bolitas se separarn. Aqu la fuerza centrfuga deber ser la misma que si giraran

las propias bolitas. Parece bastante obvio que esto no es posible ya que tal efecto se

habra descubierto hace mucho. De esta manera regresamos a los conceptos absolutos

de aceleracin, masa, espacio y tiempo determinados ya por Newton. Pero el

experimento descrito podra resultar til para la determinacin de las correcciones a

la ley esttica de Newton. Aqu las bolitas debern tener bastante libertad para

moverse y girar ya que no se conoce de antemano la direccin de la accin de las

fuerzas correctoras y de los momentos de las fuerzas.

Influenciado por las ideas de Hume y Kant, impresion a sus colegas con su

metodologa cientfica rigurosa y sus postulados epistemolgicos. Estando en Praga,escribi Contribuciones al Anlisis de las Sensaciones, donde explicita su visin

positivista de la ciencia.

Sostena que la investigacin solo puede emprenderse a travs de la observacin ya

que los fenmenos no pueden analizarse sin experimentos o sensaciones. Nada en

ciencia puede postularse si no puede verificarse empricamente. Esto lo llev a

rechazar conceptos metafsicos como el espacio absoluto y el tiempo, e ignorar

tomos y molculas en la teora fsica. Todo esto le trajo conflictos con muchos


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contemporneos, incluyendo Max Planck, y Ludwig Boltzmann. Sus ideas han

perdurado aunque no l mismo, es casi un desconocido.

6. TEORA DE BUCKINGHAM

Teorema de Pi de Buckingham

El Teorema de (pi) de Vaschy -Buckingham es el teorema fundamental del anlisis

dimensional. El teorema establece que dada una relacin fsica expresable mediante

una ecuacin en la que estn involucradas n magnitudes fsicas o variables, y si dichas

variables se expresan en trminos de k cantidades fsicas dimensionalmente

independientes, entonces la ecuacin original puede escribirse equivalentemente

como una ecuacin con una serie de n - k nmeros adimensionales construidos con

las variables originales.

Este teorema proporciona un mtodo de construccin de parmetros adimensionales,

incluso cuando la forma de la ecuacin es desconocida. De todas formas la eleccin

de parmetros adimensionales no es nica y el teorema no elige cules tienen

significado fsico.

El anlisis dimensional nos ayuda a simplificar y encontrar la forma ms sencilla de

trabajar con muchas cantidades fsicas (estas siendo independientes), esto es para

reducir el nmero de parmetros para que sea ms sencillo de trabajar. El principal

teorema del anlisis dimensional es el teorema de pi de Buckingham, el autor de este

teorema es Edgar Buckingham, ya que l era un especialista en anlisis dimensional.

Estos nos dejan identificar similares en los sistemas, y as poder reducir los

parmetros haciendo que todo sea ms fcil de organizar. Los pasos para concluir este

teorema son pocos pero muy eficientes y fciles de seguir:

1. Se cuenta el nmero de variables con dimensiones

2. Se cuenta las unidades que se estn utilizando

3. Se calcula el nmero de grupos adimensionales (n-m)

4. Se fija variables para calcular los parmetros

5. Las variables que se toman como fijas sus dimensiones no se deben repetir

porque se anularan


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6. A cada uno de los clculos de parmetros se le pone pi1, pi2, pi3..pi 7.

La pi que tenga la funcin calculada se pondr primero y las dems sern sus

igualdades. As que el teorema que estamos usando es muy eficaz para poder resolver

situaciones donde tenemos muchas variables, las funciones tienden a depender de

muchas variables. As que al poder reducir las operaciones a realizar nos ahorra

tiempo. (2008). Ejemplo:

Consideremos el pndulo matemtico que realiza oscilacin es pequeas y que tiene

longitud (l), periodo (p) y sometido a la aceleracin de la gravedad (g); es importante

sealar que para usar el anlisis dimensional debe tenerse una idea lo ms clara

posible de las magnitudes fundamentales involucradas en el fenmeno, en este caso,estamos suponiendo que el fenmeno est determinado por tres magnitudes

dimensionales: p, l, g.

Supongamos que existe la ley libre de unidades

f(p, l, g) = 0

Ya que hay tres magnitudes dimensionales tendremos n= 3.

Para las dimensiones tenemos, puesto que las unidades de p son, digamos , las de l

metros y las de la aceleracin de la gravedad :

[] = [] = [] =

y entonces m= 2 (dos dimensiones involucradas).

Con lo anterior tenemos la matriz:

= 1 0 20 1 1 El rango r= 2; por tan to, tenemos nr= 1 magnitudes adimensionales que se forman

con p, l, g, digamos, . Adems, son equivalentes las leyes f (p, l, g) = 0 y F ( ) = 0.


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Cmo obtener ?

Se construye con las tres magnitudes que determinan al sistema, de la siguiente

manera:

= , imponindole la condicin de adimensionalidad [ ] = 1; entonces[ ] = + debe ser la unidad, lo que nos da el sistema de ecuaciones 2 = 0 y = 0

Observen que este sistema se puede obtener de Av = 0, considerando al vector

V = (x, y, z).

Una solucin del sistema es z = 1/2, y =1/2, x = 1. Entonces

= / / = Y adems, la ley ( ) = 0 es equivalente a f (p, l, g) = 0 que es la ley para lasmagnitudes dimensionales.

Si se propone una funcin lineal F en :

,

Donde a, b son constantes entonces = c, con c constante, es decir

= Esta expresin, obtenida usando el anlisis dimensional, debe ser constatada o

eliminada va la experimentacin (la relacin real es p = 2 ). (Quintanar Medina,2009)

7. ECUACIN DE MOMENTUM LINEAL

Para la descripcin del movimiento de un fluido recurriremos a las leyes generales de

la Mecnica (leyes de Newton, leyes de conservacin de la cantidad de movimiento

y de la energa), junto con relaciones especficas condicionadas por la fluidez.

A escala microscpica la materia, y en particular un fluido est compuesta de

molculas a cierta distancia promedio con espacio vaco entre ellas. Estas molculasestn continuamente movindose y colisionando entre s. Un anlisis exacto del


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problema debiera tener en cuenta la accin de cada molcula o grupo de molculas en

el fluido. Este procedimiento, con algunas simplificaciones importantes es el que se

adopta en Teora Cintica y en Mecnica Estadstica, pero es an demasiado complejo

para utilizarlo en el trabajo diario de hidrulica.

En la mayor parte de los clculos hidrulicos, el inters est realmente centrado en

manifestaciones macroscpicas promedio que resultan de la accin conjunta de una

gran cantidad de molculas, manifestaciones como la densidad, la presin o la

temperatura. En la prctica es posible hacer una simplificacin importante, suponer

que todas estas manifestaciones son el resultado de la accin de una hipottica

distribucin continua de materia, a la que denominaremos el continuo, o el medio

continuo, en lugar de estudiar el conglomerado real de las molculas discretas, demucha mayor complejidad. De esta forma a la hora de estudiar nuestros problemas

sustituiremos la materia real por este medio continuo ficticio, cuyas propiedades

varan de forma continua y reflejan las propiedades macroscpicas del medio real.

Este concepto del medio continuo permite una gran simplificacin en el anlisis. Por

supuesto, este enfoque debe utilizarse nicamente cuando arroje resultados

razonablemente correctos. Por ejemplo, no puede utilizarse cuando el recorrido libre

medio de las molculas es del orden de las magnitudes caractersticas del problema.

En estas condiciones, la accin de cada molcula individual es significativa y debe

estudiarse individualmente.

Por ejemplo, consideremos la accin sobre una superficie de la pared en el caso de un

depsito cerrado que contiene un gas a una cierta presin, en un estado estacionario.

Incluso a baja presin, la gran cantidad de colisiones de molculas sobre la superficie

da lugar a una fuerza global que en la prctica puede considerarse independiente del

tiempo, comportamiento que ser correctamente simulado por nuestro hipottico

medio contino. Ahora bien, si la presin fuera tan baja que nicamente quedaran en

el tanque unas pocas molculas de forma que el recorrido libre medio de las mismas

es del orden de magnitud del elemento considerado, se observar una actividad

errtica segn las molculas individuales o los grupos de molculas bombardean la

superficie y no se podr hablar de una fuerza constante, sino de una serie de choques

aleatorios contra la superficie. Este comportamiento no podra ser reflejado por

nuestro medio continuo. Lo mismo ocurrira si considerando el gas discreto real,


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tomamos una superficie muy pequea, de forma que su tamao es del orden del

recorrido libre medio de las molculas.

Sin embargo, si ya estamos trabajando con el medio continuo y con magnitudes

macroscpicas, un elemento de volumen infinitesimal ser un elemento de volumen

del medio continuo y no de la materia real discreta, con lo que trabajaremos con la

confianza de que a partir del mismo obtendremos las magnitudes macroscpicas.

(Martin Domingo, 1997)

El momentum (cantidad de movimiento) es la cantidad dinmica por excelencia en la

descripcin Newtoniana del movimiento de un objeto. La velocidad es ms simple de

comprender en forma intuitiva, porque se puede ver con nuestros propios ojos. No es

tan directo visualizar el momentum, aunque est directamente relacionado con la

velocidad, pero es conveniente usarlo porque, a diferencia de la velocidad, tiene un

carcter dinmico (relacionado a la causa del movimiento). En la aproximacin no

relativista, el momentum de una partcula de masa m que se mueve con velocidad v

respecto a un observador dado es:

p = m v

Lo esencial en la dinmica del movimiento est en que los objetos interactan, y esainteraccin altera sus posiciones espaciales en funcin del tiempo. Cada interaccin

entre un par de objetos signica una fuerza sobre uno de los objetos y una fuerza igual

y opuesta sobre el otro (sta es la Tercera Ley del Movimiento de Newton). (UTFSM,

2009)

La segunda ley de Newton para un sistema inercial de coordenadas, viene dada por la

siguiente ecuacin:

F dP dt /

Siendo:

P : el momento lineal, que vale:

P v dm v dVmasa volumen

( * ) ( * * )

Siendo:

v : Vector velocidad.m: Masa.


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V: Volumen.

Por otra parte la fuerza resultante ( F ), incluye las fuerzas de superficie y msicas que

actan sobre el sistema:

F F Fm s

Aplicndolo a la formulacin de sistemas y volmenes de control.

( / ) ( *( * * )) * *sup

dP dt v v dAt

v dVsistemaerficiedeccontrol volumencontrol

Sustituyendo el trmino de fuerzas, obtenemos:

F F Fm s = trol volumenconcontrol erficiedec

sistema dV vt

dAvvdt P d **))**(*()/(sup

Esta ecuacin establece que la suma de todas las fuerzas (de superficie y msicas),

que actan sobre un volumen de control no acelerado, es igual a la suma de la relacin

de cambio de momento, dentro del volumen de control, ms la relacin neta de flujo

del momento que sale a travs de la superficie de control.

La deduccin de la ecuacin anterior se explica a continuacin.

El punto de partida es la segunda ley de Newton o ley de conservacin de cantidad demovimiento, que para un cuerpo o partcula solida con masa constante es escrita con

el formato ms usual como:

Donde P es la cantidad de movimiento, m es la masa del cuerpo, v y a son la velocidady la aceleracin de la partcula en su trayectoria, respectivamente, y F es la sumatoriade fuerzas exteriores actuando sobre la partcula.

En palabras dicha ley establece que la variacin de la cantidad de movimiento de un

cuerpo en relacin a un sistema de referencia inercial, es igual a la sumatoria de las

fuerzas exteriores que actan sobre el mismo.

Como se sabe, por otra parte, el movimiento puede tener una componente lineal y otra

rotacional. Por lo tanto el principio de conservacin de cantidad de movimiento se


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aplica a ambos movimientos. Por simplicidad para hacer referencia a la conservacin

de cantidad de movimiento lineal, en este libro se usa el vocablo en latn momentum .

Y a su debido tiempo se har referencia a la conservacin de cantidad de movimiento

rotacional, en forma integral y en forma diferencial.Al termino ma se lo puede ver tambin como representando las fuerzas de inercia,

asociadas con la masa. Por otra parte, en Mecnica de Fluidos por conveniencia al

trmino F se lo separa en dos. Uno representando las fuerzas superficiales que actan

sobre una partcula de fluido, F s, como es el caso de la presin y tensiones

superficiales y otro representando las fuerzas msicas , Fm, como es el caso de la fuerza

gravitatoria. Es importante observar que las fuerzas msicas son aquellas generadas

por el campo gravitatorio, sobre la masa de la partcula de fluido y por eso se considera

como una fuerza externa a la misma, aun cuando su efecto se manifieste en el interior

de la partcula. Es decir el trmino de fuerza es,

F = F s + F m

Luego cuando la ecuacin anterior se aplique a una partcula de fluido, F s representa

las fuerzas ejercidas por el resto del fluido sobre la partcula y F m la fuerza ejercida

por la atraccin gravitatoria en las proximidades de la tierra. Estos sern los dos tipos

de fuerzas externas consideradas en las ecuaciones generales. Si al analizar un

problema se observa que en el mismo intervienen fuerzas de otro tipo como podran

ser de flotacin, magnticas, entre otras, las mismas se deben incorporar con el

formato que corresponda.

As la ecuacin aplicada a la conservacin de cantidad de movimiento lineal, o

momentum , de una partcula de fluido en relacin a un sistema inercial en forma

vectorial puede ser escrita como:

Esta ecuacin expresa la relacin entre variacin de cantidad de movimiento y fuerzas

exteriores siguiendo a la partcula de fluido. Es decir es la segunda ley de Newton con

formato Lagrangiano. En otras palabras, como se ha comentado que ocurre en los

cursos bsicos en Fsica, las leyes se aplican a cuerpos en movimiento que conservan


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su masa y se los sigue en Fundamentos de Mecnica de Fluidos. Sin embargo la

descripcin que se convino en usar es la espacial o Euclidiana, la cual expresa esa

misma ley pero para un punto fijo del espacio para un fluido en movimiento.

Luego una de las transformaciones necesarias de la ecuacin dada es escribirla paraun volumen de control y con descripcin espacial o Euclidiana. Este es el primer paso

y se lo hace a seguir usando el teorema de Transporte ya visto. Es decir, a seguir se

aplicara la ecuacin mostrada arriba a una regin finita de fluido o sistema y usando

el teorema de Transporte se obtendr la correspondiente para un volumen de control

inercial fijo en el espacio. Siempre que se use el concepto de sistema para el caso de

un fluido en movimiento, al mismo se lo considera en tiempos muy prximos de tal

forma que dicho sistema deforme, pero no se desintegre en partes.

El primer paso consiste en escribir la ley de conservacin de cantidad de movimiento

para un sistema de fluido en movimiento del siguiente modo:

Donde ahora (P) sistema simboliza la cantidad de movimiento lineal total o momentum

total de ese sistema conformado por un conglomerado de partculas de fluido en

movimiento.

Es decir considerando que la velocidad v es la propiedad intensiva de cantidad de

movimiento lineal, luego:

Luego la ecuacin mostrada expresa la conservacin de momentum para un sistema o

volumen material que contiene, en dos tiempos muy prximos, las mismas partculas

de fluido. Si ahora se usa la derivada sustancial o total para expresar la variacin de

la cantidad de movimiento P, se obtiene,


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La cual expresa la variacin de cantidad de movimiento respecto a un punto fijo, no

siguiendo al fluido. Usando el teorema de Transporte tenemos:

Donde para este caso N = P y la propiedad i ntensiva es = v. As resulta:

Donde VC significa Volumen de Control y SVC Superficie de Volumen de Control.

Por tanto igualando ecuaciones, tenemos:

La cual es la ecuacin integral de conservacin de cantidad de movimiento lineal para

un volumen de control fijo, en relacin a una referencia inercial.

Las fuerzas superficiales o de contacto sobre la SVC pueden ser expresadas del

siguiente modo:

Donde t(n) recibe el nombre de vector tensin y es una fuerza por unidad de rea o

tensin que representa en cada punto de la SVC las fuerzas superficiales exteriores

que actan sobre el VC, n es el vector unitario normal externo a SVC de forma que

dA = ndS es el vector diferencial de rea en la direccin del vector unitario normal y

dS es el escalar diferencial de rea. La nomenclatura t(n) no significa que la fuerza es

normal a la superficie, sino que depende del vector normal a la superficie.

Y las fuerzas msicas pueden ser escritas como:


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Siendo g el vector aceleracin de la gravedad.As la ecuacin integral de cantidad de movimiento lineal o momentum es:

8. CONCLUSIONES: Las diferentes aplicaciones del numero adimensional de Euler son las

relacionadas al fenmeno de cavitacin este proceso importante en el tema de

mecnica de fluidos. Este proceso define una relacin entre las fuerzas de inercia

debidas a la presin, que puede ser un estrechamiento en el caudal de un fluido,

por lo tanto es de gran importancia al estudiar prdidas de energa en una

conduccin relacionada con una diferencia de presiones, dependiendo de la

intensidad de las fuerzas que actan sobre el fluido se podr clasificar los que

tienen Eu alto (flujos confinados a alta presin) y los de Eu bajo (flujo sin friccin

con superficie libre).

La principal aplicacin del nmero adimensional de Froude est en los canales

abiertos, pues se sabe que este nmero se aplica a los diferentes tipos de fluidos

que tienen superficie libre, como el flujo en un canal. Relaciona el efecto de las

fuerzas de inercia con las fuerzas de gravedad que actan sobre un fluido; segn

esto, en un canal el flujo se clasifica en flujo sub crtico o tranquilo (Fr < 1), flujo

crtico (Fr = 1) y flujo supercrtico o rpido (Fr > 1); en cada uno de los casos se

observa la importancia de conocer la relacin entre las fuerzas de inercia y

gravedad que actan sobre un fluido y as clasificarlos correctamente.

El anlisis dimensional nos ayuda a simplificar y encontrar la forma ms sencilla

de trabajar con muchas cantidades fsicas (estas siendo independientes), esto es

para reducir el nmero de parmetros para que sea ms sencillo de trabajar. Estos


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nos dejan identificar similares en los sistemas, y as poder reducir los parmetros

haciendo que todo sea ms fcil de organizar.

9.

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Documents

Monografia Numeros Adimensionales y Momento Lineal