MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME VARIADO

No MRUV passa a existir a aceleração constante, isso significa que a velocidade varia de uma forma uniforme. Poderíamos citar como exemplo desse tipo de movimento uma pedra caindo de uma certa altura ou um carro freando ao ver os sinal vermelho.

Então, o MRUV é aquele em que o móvel sofre variações de velocidades iguais em intervalos de tempo iguais.

MOVIMENTO ACELERADO

MOVIMENTO RETARDADO

No MRUV, como a aceleração é constante, a aceleração média será igual a instantânea, logo:

a = am

2.FUNÇÃO DA VELOCIDADE

Determinaremos, agora, a expressão que relaciona velocidade e tempo no MRUV. Para isso faremos algumas considerações iniciais.

Observe o esquema abaixo:

- móvel parte com velocidade inicial vo no instante t = 0;

- Num instante t qualquer ele estará com velocidade v.

Demontração

Partindo da definição da aceleração:

Aplicando as observações descritas acima, temos:

Simplificando a expressão, temos que:

Isolando a velocidade v, fica:

Portanto a Função da velocidade no MRUV é dada por:

Gráfico V x t - MUV

Para a equação da velocidade - MUV, V = V0 + at, sendo uma função do 1o grau, o gráfico é uma reta passando ou não pela origem (fig. 2.1).

Figura 2.1- Gráfico V x t - MUV

3. EQUAÇÃO HORÁRIA

A variação de espaço pode ser calculada a partir do gráfico V x t pela área abaixo da reta obtida (fig. 2.1).

S = área do retângulo + área do triângulo = V0 t + (t * at)/2 = S - S0 = V0t +( at2)/2

Resolvendo para S, tem-se que:

S = S0 + v0 t + (a t2)/2

Gráfico S x t - MUV

A equação horária do MUV, S-S0= V0t + ( at2 )/2 é uma função do 2o grau. A representação gráfica desta função é uma parábola .

Figura 3.1- Gráfico espaço (S) versus tempo (t) (A) Parábola com concavidade voltada para cima (a > 0). (B) Parábola com concavidade voltada para baixo (a < 0).

http://www.youtube.com/watch?v=zQva7KUS1Gk

4. ATIVIDADES – SIMULADOR

Acesse o simulador de MRUV no seguinte endereço: http://www.walter-fendt.de/ph14e/acceleration.htm.

Para compreender melhor as fórmulas do MRUV, assista ao vídeo do seguinte endereço eletrônico:

Fig.4.1- Simulador MRUV

Roteiro:

-Acesse o simulador no endereço disponível acima;

-Acrescente valores nos itens: posição inicial; velocidade inicial e aceleração;

-Clique em “start”. Você observará o movimento do carrinho e simultaneamente os gráficos da posição, da velocidade e da aceleração, todos em função do tempo.

- Para modificar os valores e observar um novo movimento e novos gráficos, clique antes em “resert”,para limpar as variáveis preenchidas anteriormente;

-Após as observações, registre em seu caderno suas conclusões.

5. ATIVIDADE EXPERIMENTAL

MATERIAIS:

• Um trilho de alumínio de aproximadamente 1 metro; • Um trilho de alumínio aproximadamente 30 centímetros; • Um volante metálico; • Suportes de madeira; • Cronômetro.

MONTAGEM DO EQUIPAMENTO:

Inclina-se o trilho de alumínio (100 cm) utilizando o suporte de madeira. Marca-se com lápis as posições de zero à 100cm em intervalos de 10 em 10 cm. O trilho menor coloca-se em posição horizontal, na extremidade inferior do trilho de metal com intervalos de 10 em 10 cm.

Para melhor compreensão, observe figura abaixo.

Após a montagem, siga os roteiros descritos abaixo e analise os resultados: Movimento de variação da posição

• Solte o volante a partir do ponto mais alto do trilho que está inclinado, observe o que acontece. • Agora solte o volante a partir dos últimos 10cm do trilho inclinado, observe o que acontece. • Nos dois casos, o volante fez alguma curva quando estava percorrendo o trilho que está inclinado ou o fez

sempre em linha reta? • Observe que o volante se comporta de forma diferente nos dois casos acima, as velocidades do volante

são diferentes nas duas situações quando chega no final do trilho. A velocidade é maior quando maior à distância percorrida pelo volante.

• Solte o volante a partir do ponto zero marcado no trilho e utilize o cronômetro para medir o tempo gasto para ele percorrer todo o trilho (50cm). Depois solte o volante a partir do ponto 10, 20, 30, 40 cm e meça os tempos gasto para que ele chegue ao fim do trilho. Acione o cronômetro no mesmo instante em que soltar o volante de cada posição e complete a tabela a baixo:

Tabela 01 Medida Espaço percorrido t (s)

∆S (0) =0 cm t0 = 0

1 ∆S (0 a 10) =10 cm t1 =

2 ∆S (0 a 20) =20 cm t2 =

3 ∆S (0 a 30) =30 cm t3 =

4 ∆S (0 a 40) =40 cm t4 =

5 ∆S (0 a 50) =50 cm t5 =

♦ Qual foi o comportamento do tempo com relação ao espaço? ♦ Em qual das medidas você acha que a velocidade foi maior no final do trilho? ♦ Podemos entender o movimento como a mudança de posição de um objeto (móvel) no tempo, com

respeito ao referencial. Este ainda pode ser entendido como uniforme ou constante, e variado ou acelerado. Em qual deste tipo de movimento o experimento se encaixa?

Movimento de variação da velocidade

• Solte o volante a partir do ponto zero marcado no trilho e utilize o cronômetro para medir o tempo gasto para que ele chegue ao ponto 10cm. Depois solte o volante partir do ponto 10 cm e meça o tempo gasto para que ele chegue ao ponto 20 cm. Faça a medida com o volante partindo também do ponto 20cm e chegando aos 30cm. Anote estes valores numa tabela como a apresentada a seguir:

Tabela 02 Medida Espaço percorrido t (s)

01 S(00 a 10cm)= 10cm

t =

02 S(10 a 20cm)=10cm t =

03 S(20 a 30cm)=10cm t =

• Isto nos mostra que partindo do repouso e de qualquer posição, a medida do tempo gasto para a esfera percorrer iguais distâncias é a mesma.

• Sabendo que velocidade média é ( ∆S / ∆t ) , utilize a tabela 1 para calcular a velocidade média em que o volante percorreu o espaço entre um ponto e o fim do trilho . Para isso complete a tabela a seguir:

Tabela 03 ∆S (cm) ∆t (s) Velocidade média Vm = ( ∆S /

∆t ) cm/s

∆S(0 a 10) =10 cm t1 = Vm =

∆S(0 a 20) =20 cm t2 = Vm =

∆S(0 a 30) =30 cm t3 = Vm =

∆S(0 a 40) =40 cm t4 = Vm =

∆S(0 a 50) =50 cm t5 = Vm =

♦ Pelos cálculos realizados pode-se perceber que a velocidade média do volante é constante ou sofre uma variação no decorrer da trajetória?

Gráfico de V x t e a equação V(t)

Agora solte o volante das posições no trilho inclinado, mencionadas na tabela abaixo, e observe os tempos medidos no intervalo de 10 cm no trilho que esta na horizontal e calcule a velocidade com os tempos medidos.

Tabela 05 ∆S Tempo nos 10cm do trilho

horizontal Velocidade

V=( ∆ S / ∆ t ) cm/s

∆S(0 a 10) =10 cm t1 = V =

∆S(0 a 20) =20 cm t2 = V =

∆S(0 a 30) =30 cm t3 = V =

∆S(0 a 40) =40 cm t4 = V =

∆S(0 a 50) =50 cm t5 = V =

• Perceba que estas velocidades médias são exatamente as velocidades do volante e em cada posição (10cm, 20cm, 30cm,..). Estas velocidades são chamadas velocidades instantâneas.

• Faça um gráfico com os dados da tabela 05. No eixo x coloque os tempos e no eixo y coloque a velocidade. • Trace a reta passando pelos pontos marcados.

FFaazzeerr oo ddeesseennhhoo ddoo ggrrááffiiccoo • O gráfico é uma reta, sendo assim, a equação da velocidade v(t) em relação ao tempo do MRUV é uma

função do primeiro grau (linear).

Aceleração média

• Esta atividade deve ser desenvolvida para demonstrar que, neste caso, o gráfico v x t é uma reta, o que implica que a relação entre as grandezas é uma relação linear (y (x) = Ax + B) em que A é o coeficiente angular da reta e que na função da velocidade chamamos de aceleração (a);

E o valor de B é o coeficiente linear (V(0) = V0) é a velocidade do inicio da trajetória (t = 0):

V (t) = V0 + at

• Observe que esta equação pode ser encontrada a partir da aceleração;

a = tV∆

∆

= 12

12

ttVV

−

−

Considerando V2 como V, V1 como V0 e partindo do inicio da trajetória (t1=0), temos;

observe

(A= 12

12

xxyy

−

−

↔ a= 12

12

ttVV

−

−

)

atVV

atVVtVV

a

+=

=−

−=

0

0

0

Utilizando os da tabela 05 calcule as acelerações médias e complete a tabela abaixo.

Tempo Velocidade cm/s Aceleração média

t1 = V = a =

t2 = V = a =

t3 = V = a =

t4 = V = a =

t5 = V = a =

• Como se comportou a aceleração do volante durante os espaços?

Gráfico S x t e equação S(t)

• Faça um gráfico com os dados da tabela 01. No eixo x coloque os tempos e no eixo y coloque o espaço. • Trace a reta passando pelos pontos marcados.

FFaazzeerr oo ddeesseennhhoo ddoo ggrrááffiiccoo

• O que você obteve, uma reta inclinada, uma reta sem inclinação ou uma parábola? • Esta atividade deve ser desenvolvida para demonstrar que, neste caso, o gráfico s x t não é uma reta, o

que implica que a relação entre as grandezas não é uma relação linear ( y (x) = Ax + B ) e sim de uma

relação quadrática ( y(x) = Ax 2 + Bx + C), em que o termo C ( y(0) = c) e’ o ponto de inicio da trajetória (t = 0 ) o que corresponderia posição inicial S0, o termo B a velocidade inicial do movimento V0 e A

seria um meio da aceleração do objeto 21

a.

S(t) = S0 + V0t + at²

Em que S(t) e’ a ordenada e t a abscissa.

• Sem utilizar gráficos, a partir dos dados coletados, os alunos podem verificar se os deslocamentos são proporcionais aos quadrado dos tempos.

S(t) = at2/2

• Podemos calcular o valor de a (aceleração) para todos os pontos da tabela a partir da equação;

a = 2S(t) / t2

Tabela 05 Medida Espaço S(t) (cm) t (s) a (cm/s2)

01 S (10) t = a =

02 S (20) t = a =

03 S (30) t = a =

04 S (40) t = a =

05 S (50) t = a =

• Como se comportou a aceleração do volante durante os espaços? • Faça um gráfico aceleração x tempo com os dados da tabela 05. No eixo x coloque os tempos e no eixo y

coloque a aceleração. • Trace a reta passando pelos pontos marcados.

Desenhe o gráfico

EXERCÍCIOS: 1- Um carro viaja com velocidade de 90 km/h (ou seja, 25m/s) num trecho retilíneo de uma rodovia quando, subitamente, o motorista vê um animal parado na sua pista. Entre o instante em que o motorista avista o animal e aquele em que começa a frear, o carro percorre 15m. Se o motorista frear o carro à taxa constante de 5,0m/s, mantendo-o em sua trajetória retilínea, ele só evitará atingir o animal, que permanece imóvel durante todo o tempo, se o tiver percebido a uma distância de, no mínimo: a) 15 m. b) 31,25 m. c) 52,5 m.

d) 77,5 m. e) 125 m. 2- A função horária da posição s de um móvel é dada por s=20+4t-3t2, com unidades do Sistema Internacional. Nesse mesmo sistema, a função horária da velocidade do móvel é a) v = -16 - 3t b)v = -6t c) v =4 - 6t d) v =4 - 3t e) v =4 - 1,5t 3- Um trem em movimento está a 15m/s quando o maquinista freia, parando o trem em 10s. Admitindo aceleração constante, pode-se concluir que os módulos da aceleração e do deslocamento do trem neste intervalo de tempo valem, em unidades do Sistema Internacional, respectivamente, a) 0,66 e 75 b) 0,66 e 150 c) 1,0 e 150 d) 1,5 e150 e) 1,5 e 75 4- Um caminhão com velocidade de 36km/h é freado e pára em 10s. Qual o módulo da aceleração média do caminhão durante a freada? a) 0,5 m/s2

b) 1,0 m/s2

c) 1,5 m/s2

d) 3,6 m/s2

e) 7,2 m/s2 5- Um objeto A encontra-se parado quando por ele passa um objeto B com velocidade constante de módulo igual a 8,0m/s. No instante da ultrapassagem imprime-se ao objeto A uma aceleração, de módulo igual a 0,2m/s2, na mesma direção e sentido da velocidade de B. Qual a velocidade de A quando ele alcançar o objeto B? a) 4,0 m/s b) 8,0 m/s c) 16,0 m/s d) 32,0 m/s e) 64,0 m/s 6-Em um teste para uma revista especializada, um automóvel acelera de 0 a90km/h em 10 segundos. Nesses 10 segundos, o automóvel percorre: a) 250 m b) 900 km c) 450 km d) 450 m e) 125 m 7- Um trem de 100m de comprimento, com velocidade de 30m/s, começa a frear com aceleração constante de módulo 2m/s2, no instante em que inicia a ultrapassagem de um túnel. Esse trem pára no momento em que seu último vagão está saindo do túnel. O comprimento do túnel é: a) 25 m b) 50 m c) 75 m d) 100m e) 125 m

8-Um caminhão, a 72 km/h, percorre 50m até parar, mantendo a aceleração constante. O tempo de frenagem, em segundos, é igual a a) 1,4 b) 2,5 c) 3,6 d) 5,0 e) 10,0 9-Um automóvel parte do repouso no instante t=0 e acelera uniformemente com 5,0m/s£, durante 10s. A velocidade escalar média do automóvel entre os instantes t=6,0s e t=10s, em m/s, foi de a) 40 b) 35 c) 30 d) 25 e) 20 10- Um "motoboy" muito apressado, deslocando-se a 30m/s, freou para não colidir com um automóvel a sua frente. Durante a frenagem, sua moto percorreu 30m de distância em linha reta, tendo sua velocidade uniformemente reduzida até parar, sem bater no automóvel. O módulo da aceleração média da moto, em m/s2, enquanto percorria a distância de 30m, foi de a) 10 b) 15 c) 30 d) 45 e) 108

GABARITO:

1. D 2. C 3. E 4. B 5. C 6. E 7. E 8. D 9. A 10. B