UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE ELECTRNICA Y ELCTRICA

E.A.P. INGENIERA DE ELECTRNICA

SEMANA 05:

MOVIMIENTO CURVILNEO

MOVIMIENTO RELATIVO

LIC. FANNY E. MORI ESCOBAR

Cuando un mvil se mueve en una trayectoria curva, la direccin de su velocidad cambia.

Movimiento Circular Uniforme

Cuando una partcula se mueve con rapidez constante.

La aceleracin es exactamente perpendicular a la velocidad: si componente paralela.

Determinacin del cambio de velocidad, aceleracin media y aceleracin instantnea

S

O

O

R

R

Estos dos tringulos son similares

Ejemplo 01

En un juego mecnico, los pasajeros viajan con rapidez constante en un crculo de 5m. de radio, dando una vuelta completa cada 4s. Qu aceleracin tiene?

Movimiento Circular no Uniforme

A

B

C

D

E F

G

H

A Rapidez mnima: aceleracin radial mnima, aceleracin tangencial cero.

B-C-D Aumento de la rapidez: aceleracin tangencial en la misma direccin que la velocidad.

E Rapidez mxima: aceleracin radial mxima, aceleracin tangencial cero.

F-G-H Disminucin de la rapidez: la aceleracin tangencial es opuesta

Ejemplo 02

Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal circular que tiene un radio de 90 m. Si el

carro incrementa su rapidez a razn constante de 2,1

m/s2 partiendo desde el reposo, determine el tiempo

necesario para alcanzar una aceleracin de 2,4 m/s2.

Cul es su velocidad en ese instante.

Solucin Se sabe que la aceleracin

tangencial es constante e

igual a

La aceleracin normal ser

La aceleracin total ser

La velocidad en este instante ser

2

0

2,1 /

0 2,1

t

t

a m s

Entonces

v v a t

v t

2 22 2(2,1 ) 0.049 /

90n

v ta t m s

2

2

2 2 2 2

2 2 2 2

2,1 0.049

2,1 [0.049 ]

2, 4 2,1 [0.049 ]

4,87

t t n

t n

va a e e

a e t e

a t

t

t

2.1 10.2 /v t m s

Ejemplo 03 Una caja parte del reposo en A

e incrementa su rapidez a razn de at = (0.2t) m/s

2 y

viaja a lo largo de la pista

horizontal mostrada. Determine

la magnitud y direccin de la

aceleracin cuando pasa por B

La posicin de la caja en

cualquier instante es S medida

a partir del punto fijo en A.

La velocidad en cualquier

instante se determina a partir de

la aceleracin tangencial, esto

es

0 0

2

0.2 (1)

0.2

0.1 (2)

t

v t

a v t

dv tdt

v t

Solucin

Para determinar la velocidad en

B, primero es necesario

determinar S = f(t), despus

obtener el tiempo necesario

para que la caja llegue a B. es

decir

De la geometra se tiene

sB = 3 + 2(2)/4 = 6.142 m.

Entonces tenemos

2

2

0 0

3

0.1

0.1

0,0333 (3)

S t

dsv t

dt

ds t dt

S t

36,142 0,0333

5,69

t

t s

Remplazando el tiempo en las ecuaciones (1) y (2) resulta

En el punto B el radio de curvatura

es = 2 m, entonces la aceleracin ser

La aceleracin total ser

Su modulo y direccin sern

2

2

( ) 0.2(5.69) 1.138 /

0.1(5.69) 3.238 /

B t B

B

a v m s

v m s

22( ) 5.242 /BB n

B

va m s

2

,

1,138 5,242

BB t B t n

B t n

va a e e

a e e

2 2 2

2

1,138 [5,242]

5,36 /

a

a m s

1 5.242[ ] 77,751,138

tg

Ejemplo 04

Una partcula se mueve en una trayectoria curva de

tal manera que en cierto instante tiene una velocidad

v y una aceracin a. Demuestre que el radio de

curvatura puede obtenerse a partir de la ecuacin

3

1 vxa

v

Ejemplo 04 Sabemos que la aceleracin en

cualquier instante es

Multiplicando ambos miembros

por la velocidad v tenemos

Debido a que la aceleracin

tangencial son colineales su

producto vectorial es nulo.

Entonces tenemos

Remplazado la aceleracin

normal tenemos

t na a a

t n

t n

t n

a a a

vxa vx a a

vxa vxa vxa

0

90

n

n n

n

n

vxa vxa

vxa vxa

vxa vxa va sen va

2

3

( )

1

vvxa v

vxa

v

Ejemplo

Ejemplo

Ejemplo Partiendo desde el reposo, un bote a motor viaja

alrededor de una trayectoria circular de radio r = 50 m con una velocidad . Determine la magnitud de la velocidad y de la aceleracin del bote en t = 3 s.

Anlisis del movimiento relativo de dos partculas usando ejes en traslacin

Hasta ahora se ha estudiado el movimiento absoluto de una partcula usando un marco de referencia fijo.

Sin embargo, existen ejemplos en el que la trayectoria del movimiento de una partcula es complicada, de modo que es ms factible analizar el movimiento en partes usando dos o ms marcos de referencia.

Por ejemplo, el movimiento de una partcula localizada en la hlice de un avin , mientras ste est en vuelo , es ms fcil describirlo si observamos primero el movimiento del avin a partir de un sistema de referencia fijo y despus se superpone vectorialmente el movimiento circular de la partcula medida a partir de un marco de referencia mvil unido al aeroplano.

Anlisis del movimiento relativo de dos partculas usando ejes en traslacin

En esta seccin nos ocuparemos del estudio del movimiento solo a marcos de referencia en traslacin. El anlisis del movimiento

relativo de partculas usando marcos de referencia en rotacin se

tratar en el curso de Dinmica.

Movimiento relatico: posicin

Consideremos dos partculas A y B movindose en las trayectorias mostradas

Las posiciones absolutas de A y B con respecto al observador fijo en el marco de referencia OXYZ sern

El observador B slo experimenta traslacin y se encuentra unidos al sistema de referencia mvil Oxyz

La posicin relativa de A con respecto al observador B , es

Ar OA Br OB

/A B A Br r r

Movimiento relativo: Velocidad Derivando la ecuacin de la posicin relativa se tiene

/A B A Bv v v

Movimiento relativo: Aceleracin Derivando la ecuacin de la velocidad relativa se tiene

/A B A Ba a a

Ejemplo 01 Un tren T, viajando a una velocidad constante de 90 km/ h, cruza

una carretera, como se muestra en la figura. Si el automvil A est

viajando por la carretera con una velocidad de 67,5 km/h.

Determine la magnitud y direccin de la velocidad relativa del tren

con respecto al auto.

Solucin

La velocidad relativa es medida desde el observador ubicado en el

auto al cual se le asocial el sistema

de referencia OXY,

Como las velocidades de T y A son conocidas, entonces la velocidad

relativa se obtiene de

/

/

/

90 (67.5cos 45 67.5sin 45 )

{42.3 47.7 ) /

T A T A

T A

T A

v v v

i i j v

v i j km h

solucin

La magnitud de la velocidad relativa ser

La direccin de la velocidad relativa es

2 2 2

/ (42.3 47.7 ) 63.8 /T Av km h

/

/

47.7tan

42.3

48.40

T A y

T A x

v

v

solucin Dos aviones estn volando horizontalmente a la misma elevacin, como

se indica en la figura. El avin A est volando en una trayectoria recta, y

en el instante mostrado desarrolla una velocidad de 700 km/h y una

aceleracin de 50 km/h2. El avin B est volando en una trayectoria

curva circular de 400km de radio con una rapidez de 600 km/h y est

decreciendo su rapidez a razn de 100 km/h2. Determine la velocidad y

la aceleracin relativa de B medida por el piloto A

Solucin

Al avin A esta movindose rectilneamente y se asocia un

marco de referencia mvil Oxy.

La velocidad relativa de B respecto de A es

El avin B tiene aceleracin normal y tangencial pues se

mueve en una curva.

La aceleracin normal ser

Aplicando la ecuacin para determinar la aceleracin

relativa se tiene

/

/

/

600 700

100 / 100 /

B A B A

B A

B A

v v v

v

v km h km h

22900 /BB n

va km h

/

/

2

/

900 100 50

900 150 /

B A B A

B A

B A

a a a

i j j a

a i j km h

Solucin

En un determinado instante los carros A y B estn viajando con

velocidades de 18m/s y 12m/s,

respectivamente. Adems en

dicho instante la velocidad de A

est disminuyendo a razn de

2m/s2 y B experimenta un

incremento de su velocidad a

razn de 3 m/s2. Determine la

velocidad y la aceleracin de B

con respecto de A

Solucin El sistema de referencia fijo est

en tierra y el marco mvil en el

auto A. Por tanto se tiene

La direccin de la velocidad relativa ser

La aceleracin normal ser

La aceleracin relativa ser

Su direccin ser

/

/

/

2 2

/

12 18cos60 18sin 60

9 3.588 /

9 3.588 9.69 /

B A B A

B A

B A

B A

v v v

j i j v

v i j m s

v m s

/

/

3.588tan

9

21.7

B A y

B A x

v

v

221.440 /BB n

va m s

/

/

2

/

1.440 3 2cos60 2sin 60

2.440 4.732 /

B A B A

B A

B A

a a a

i j i j a

a i j m s

2

/ 5.32 /

62.7

B Aa m s

Ejemplo Los pasajeros que viajan en el

avin A que vuela horizontalmente a

velocidad constante de 800 km/h

observan un segundo avin B que

pasa por debajo del primero

volando horizontalmente. Aunque el

morro de B est sealando en la

direccin en la direccin

45noreste, el avin B se presenta

a los pasajeros de A como

separndose de ste bajo el ngulo

de 60 representado. Halle la

velocidad verdadera de B

Solucin El marco mvil est asociado al

avin A donde se efectan las

observaciones relativas

La velocidad de A es conocida en mdulo y direccin, el ngulo de

60 de la velocidad relativa de B

respecto de A es conocido y la

velocidad verdadera de B tiene

una direccin de 45. Entonces

tenemos.

Aplicando estas ecuaciones en la velocidad relativa se tiene

Resolviendo estas ecuaciones se obtiene

/B A B Av v v

/ / /

(800 ) /

[ cos 45 45 ]

[ cos60 60 ]

A

B B B

B A B A B A

v i km h

v v i v sen j

v v i v sen j

/

/

:

cos 45 800 cos60

:

45 60

B B A

B B A

componente i

v v

componente j

v sen v sen

/ 586 / ; 717 /B A Bv km h v km h