MS-2326 download borito 127 DIGI Layout 1 ... - Mozaik Kiadó · Mozaik Kiadó – Szeged, 2019 11-12 FELADATGYÛJTEMÉNY Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatokkal sokszínû

MS-2326_download_borito_127_DIGI_Layout_1 2019.06.24. 9:55 Page 1

Árki TamásKonfárné Nagy KláraKovács IstvánTrembeczki CsabaUrbán János

Mozaik Kiadó – Szeged, 2019

11-12FELADATGYÛJTEMÉNYGyakorlóés érettségirefelkészítõ feladatokkal

s o k s z í n û

Letölthetõ megoldásokkal

Tizedik kiadás

MS-2326_matematika_11_12_10_kiadas_2019.qxd 2019. 06. 18. 15:44 Page 3

Tisztelt Olvasó!

A feladatgyûjtemény, amelyet a kezében tart, egyedülálló a középiskolai matematika feladatgyûjte-mények között. A szokásos tematikus felépítésen túl ugyanis ebben a kötetben évfolyamonként,kisebb fejezetekre bontva találjuk a feladatokat. A könyv felépítése pontosan követi a Sokszínû matematika tankönyvcsalád köteteinek szerkezetét, ígyakik ebbõl a tankönyvbõl tanulnak, közvetlenül alkalmazhatják az órai munka és az önálló gyakorlás,sõt az érettségi felkészülés során is. Ugyanakkor – mivel a feladatgyûjtemény felépítése természetesen megfelel a tantárgy belsõ logikájánakés az iskolákban általánosan alkalmazott kerettanterveknek – minden nehézség nélkül használhatjákazok is, akik más tankönyvekbõl tanulják, illetve tanítják a matematikát.A feladatok nagy száma és változatossága miatt a tanulók bõségesen találnak a maguk számára kitûzöttszintnek megfelelõ gyakorlási lehetõséget. Így a tankönyveket és a feladatgyûjteményt együtt használvakellõ jártasságot szerezhetnek a feladatmegoldásban. Az egyes fejezetek végén található Vegyes feladatok áttekintést adnak az adott fejezet anyagából, ezértjól segíthetik az átfogóbb számonkérés elõtti felkészülést.

A feladatok nehézségének jelöléseMinden fejezetben három különbözõ szintre bontva találjuk a feladatokat:

w x3142 Gyakorló feladatok: olyan feladatok, amelyek – akár a tanórákon, akár házi feladatként –elõsegítik a megtanult ismeretek elmélyítését. (narancssárga színû feladatsorszám)

w x3476 Középszintû feladatok: az adott témakörben más témákhoz is kapcsolódó problémák,melyek megoldása elõsegíti a tantárgy komplex ismeretanyagának ismétlését, a matematikaikompetenciák elsajátítása mellett azok alkalmazását. (kék színû feladatsorszám)

w x3852 Emelt szintû feladatok: az emelt szintû érettségire való felkészülést segítõ problémák,melyek nemcsak megoldásuk nehézségében különböznek az elõzõektõl, hanem felvillantjáka matematika szépségét is. (bordó színû feladatsorszám)

A feladatok sorszámozásaA feladatgyûjtemények feladatainak sorszámozása a tankönyvcsalád egyes köteteire utal.A 9. évfolyam feladatai az 1001-es, a 10. évfolyam feladatai a 2001-es, a 11. évfolyamé a 3001-es,a 12. évfolyamé pedig a 4001-es sorszámtól kezdõdnek. A 12.-es kötetben a négy év anyagátáttekintõ rendszerezõ összefoglalás feladatai az 5001-es sorszámtól indulnak, ezáltal segíti a feladatokközötti válogatást az érettségire történõ felkészüléskor.

MegoldásokA feladatok megoldásai letölthetõk a www.mozaik.info.hu/matematika oldalról. (Részletes információa könyv 287. oldalán olvasható.)A gyakorló feladatok esetén csak a végeredményt közöljük, más esetekben pedig annyira részletezzüka megoldásokat, amennyire azt pedagógiai szempontból szükségesnek tartottuk.

A kitûzött feladatok megoldásához jó munkát és jó tanulást kívánunk!

A szerzõk

MS-2326_matematika_11_12_9_kiadas_2018.qxd 2017.12.07. 12:37 Page 5

TARTALOMJEGYZÉK

6

TARTALOMJEGYZÉKBevezetõ .................................................................................................................................... 5A feladatgyûjteményben használt matematikai jelölések ......................................... 10

A 11. évfolyam feladatai

11.1. Kombinatorika, gráfok (3001-3160)Fibonacci-számok .................................................................................................................. 12Permutációk, variációk ......................................................................................................... 12Ismétlés nélküli kombinációk, Pascal-háromszög ..................................................... 14Binomiális együtthatók, ismétléses kombináció ......................................................... 16Vegyes összeszámlálási feladatok (kiegészítõ anyag) ............................................. 18GRÁFOK – pontok, élek, fokszám .................................................................................... 19GRÁFOK – út, vonal, séta, kör, Euler-vonal (kiegészítõ anyag) ............................. 22Fagráfok (kiegészítõ anyag) ............................................................................................... 24A kombinatorika gyakorlati alkalmazásai ....................................................................... 25Vegyes feladatok .................................................................................................................... 26

11.2. Hatvány, gyök, logaritmus (3161-3241)Hatványozás és gyökvonás (emlékeztetõ) .................................................................... 29Hatványfüggvények és gyökfüggvények ........................................................................ 30Törtkitevõjû hatvány .............................................................................................................. 31Irracionális kitevõjû hatvány, exponenciális függvény .............................................. 32Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlõtlenségek ....................... 33A logaritmus fogalma ........................................................................................................... 37A logaritmusfüggvény ........................................................................................................... 38A logaritmus azonosságai ................................................................................................... 40Logaritmikus egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlõtlenségek ........................ 41Vegyes feladatok .................................................................................................................... 44

11.3. A trigonometria alkalmazásai (3242-3459)Vektormûveletek rendszerezése, alkalmazások (emlékeztetõ) .............................. 47A skaláris szorzat ................................................................................................................... 48Skaláris szorzat a koordináta-rendszerben ................................................................... 50A szinusztétel ........................................................................................................................... 52A koszinusztétel ...................................................................................................................... 54Trigonometrikus összefüggések alkalmazásai ............................................................. 55Összegzési képletek .............................................................................................................. 57

MS-2326_matematika_11_12_2_kiadas_2011_majus.qxd 2011.05.09. 15:32 Page 6

7

TARTALOMJEGYZÉK

Az összegzési képletek alkalmazásai .............................................................................. 58Trigonometrikus egyenletek, egyenletrendszerek ....................................................... 60Trigonometrikus egyenlõtlenségek ................................................................................... 63Vegyes feladatok .................................................................................................................... 64

11.4. Függvények (3460-3554)Az exponenciális és logaritmusfüggvény ...................................................................... 67Egyenletek és függvények ................................................................................................... 69Trigonometrikus függvények .............................................................................................. 70Trigonometrikus egyenletek, egyenlõtlenségek (kiegészítõ anyag) ..................... 72Vegyes feladatok .................................................................................................................... 74Inverz függvények (kiegészítõ anyag) ............................................................................ 77

11.5. Koordináta-geometria (3555-3776)Vektorok a koordináta-rendszerben. Mûveletek koordinátáikkal

adott vektorokkal (emlékeztetõ) ............................................................................... 78Két pont távolsága. Két vektor hajlásszöge.

Területszámítási alkalmazások .................................................................................. 80Szakasz osztópontjának koordinátái. A háromszög

súlypontjának koordinátái ........................................................................................... 82Az egyenest meghatározó adatok a koordináta-rendszerben ................................ 85Az egyenes egyenletei .......................................................................................................... 88Két egyenes metszéspontja, távolsága, hajlásszöge ................................................ 92A kör egyenlete ....................................................................................................................... 94A kör és az egyenes kölcsönös helyzete; két kör közös pontjai ........................... 97A parabola ................................................................................................................................. 99Vegyes feladatok .................................................................................................................... 100

11.6. Valószínûség-számítás, statisztika (3777-3892)Klasszikus valószínûségi modell ...................................................................................... 104Visszatevéses mintavétel .................................................................................................... 109Mintavétel visszatevés nélkül (kiegészítõ anyag) ....................................................... 111Valószínûségi játékok gráfokon (kiegészítõ anyag) ................................................... 112Valóság és statisztika ............................................................................................................ 114Vegyes feladatok .................................................................................................................... 115

A feladatok megoldásai letölthetõk a www.mozaik.info.hu/matematika oldalról.


TARTALOMJEGYZÉK

8

A 12. évfolyam feladatai

12.1. Logika, bizonyítási módszerek (4001-4067)Logikai feladatok, kijelentések ........................................................................................... 118

Logikai mûveletek – negáció, konjunkció, diszjunkció ............................................. 121

Logikai mûveletek – implikáció, ekvivalencia .............................................................. 123

Teljes indukció (emelt szintû tananyag) ......................................................................... 125

Vegyes feladatok ..................................................................................................................... 126

12.2. Számsorozatok (4068-4165)A sorozat fogalma, példák sorozatokra .......................................................................... 128

Példák rekurzív sorozatokra ............................................................................................... 129

Számtani sorozatok ............................................................................................................... 129

Mértani sorozatok .................................................................................................................. 132

Kamatszámítás, törlesztõrészletek kiszámítása .......................................................... 133


12.3. Térgeometria (4166-4511)Térelemek ................................................................................................................................. 137

Testek osztályozása, szabályos testek ........................................................................... 141

A terület fogalma, a sokszögek területe ......................................................................... 145

A kör és részeinek területe .................................................................................................. 149

A térfogat fogalma, a hasáb és a henger térfogata ................................................... 152

A gúla és a kúp térfogata .................................................................................................... 157

A csonka gúla és a csonka kúp ........................................................................................ 160

A gömb térfogata és felszíne ............................................................................................. 163

Egymásba írt testek (kiegészítõ anyag) ......................................................................... 165

Vegyes feladatok I. ................................................................................................................. 167

Vegyes feladatok II. ................................................................................................................ 169

12.4. Valószínûség-számítás, statisztika (4512-4577)Geometriai valószínûség ...................................................................................................... 172

Várható érték (emelt szintû tananyag) ........................................................................... 174

Statisztika .................................................................................................................................. 175



9

TARTALOMJEGYZÉK

Készüljünk az érettségire!

12.5. Rendszerezõ összefoglalás (5001-5620)Gondolkodási módszerek (5001–5113)Halmazok ................................................................................................................................... 182

Kijelentések, események ...................................................................................................... 185

Kombinatorika .......................................................................................................................... 186

Valószínûség-számítás ......................................................................................................... 190

Algebra és számelmélet (5114–5277)Számok és mûveletek ........................................................................................................... 196

Számelmélet, oszthatóság .................................................................................................. 197

Hatvány, gyök, logaritmus ................................................................................................... 200

Mûveletek racionális kifejezésekkel ................................................................................. 204

Egyenletek, egyenlõtlenségek ............................................................................................ 206

Egyenletrendszerek ................................................................................................................ 214

Függvények (5278–5402)A függvény fogalma, grafikonja, egyszerû tulajdonságai ......................................... 217

Mûveletek függvényekkel (kiegészítõ anyag) ............................................................... 226

Függvénytulajdonságok ........................................................................................................ 227

Geometria (5403–5620)Alapvetõ fogalmak .................................................................................................................. 235

Geometriai transzformációk ................................................................................................ 237

Vektorok. Szögfüggvények .................................................................................................. 243

Nevezetes síkidomok tulajdonságai ................................................................................. 247

Koordináta-geometria ........................................................................................................... 253

12.6. Érettségi gyakorló feladatsorokKözépszintû feladatsorok ..................................................................................................... 258

Emelt szintû feladatsorok ..................................................................................................... 279

A feladatok megoldásai letölthetõk a www.mozaik.info.hu/matematika oldalról.


Jelölés Magyarázat

N a természetes számok halmazaZ az egész számok halmazaZ+; Z – a pozitív egész számok halmaza; a negatív egész számok halmazaQ; Q* a racionális számok halmaza; az irracionális számok halmazaQ+; Q – a pozitív racionális számok halmaza; a negatív racionális számok halmazaR a valós számok halmazaR+; R– a pozitív valós számok halmaza; a negatív valós számok halmazaa ÎA; b ÏA a eleme az A halmaznak; b nem eleme az A halmaznak

A Í B A halmaz részhalmaza B halmaznak

C Ì D C halmaz valódi részhalmaza D halmaznak

E Ë F E halmaz nem részhalmaza F halmaznak

A È B; C Ç D; E \F A és B halmaz uniója; C és D halmaz metszete; E és F halmaz különbsége

Æ, {} üres halmaz

A az A halmaz komplementere

½A½ az A halmaz elemszáma

AÞ B; CÛ D ha A, akkor B; C akkor és csak akkor, ha D

[a; b] a, b zárt intervallum[a; b[ a, b balról zárt, jobbról nyitott intervallum

]a; b] a, b balról nyitott, jobbról zárt intervallum

]a; b[ a, b nyitott intervallumn! n faktoriális: n! = n × (n – 1) × (n – 2) ×… ×2 ×1

f : x® az f függvény hozzárendelési szabályaf (x0) az f függvény helyettesítési értéke az x0 helyen

½x½ az x szám abszolút értéke

[x] az x szám egészrésze

{x} az x szám törtrésze

x az x szám négyzetgyöke

xn az x szám n-edik gyöke

a½b az a szám osztója a b számnak

(a, b) az a és b szám legnagyobb közös osztója

[a, b] az a és b szám legkisebb közös többszöröse

AB az A pontból B pontba mutató vektor

a, 0 a vektor, nullvektor

¬ szög

A feladatgyûjteményben használt matematikai jelölések


11. ÉVFOLYAM

32

Irracionális kitevõjû hatvány, exponenciális függvény

w x3175 A következõ függvények értelmezési tartománya a valós számok halmaza. Ábrázoljuk és jelle-mezzük (értékkészlet, növekedés, csökkenés, zérushely) a függvényeket.a) a(x) = 2x – 8; b) b(x) = 2x + 3; c) c(x) = 3x – 1; d) d(x) = 3x + 2;

e) f ) g) g(x) = 2x – 4; h) h(x) = 3x – 2;

i) i(x) = 2x – 3 – 2; j) j(x) = 3x + 1 + 1; k) k(x) = 4x – 1 – 1; l)

m) n) n(x) = 3 ×2x – 1 – 3; o) p)

w x3176 A következõ ábrákon az f (x) = 2x függvénybõl kapott grafikonokat látunk. A grafikonok alapjánadjuk meg az exponenciális függvények hozzárendelési szabályát.a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

x

y

1 5

54

–1–5

–5

i x( )

3x

y

1 5

5

–1–5

–5

h x( )

–2x

y

1

1

5

5

–1–5

–5

g x( )

x

y

1 5

5

–1–5

–5

f x( )

x

y

1 5

5

–1–5

–5

e x( )

x

y

1

1

5

5

–1–5

–5

d x( )

–3

x

y

1

1

5

5

–1–5

–5

c x( )

x

y

1

1

5

5

–1–5

–5

b x( )

x

y

1

1

5

5

a( )x

–1–5

–5

p xx

( ) – .–

=2

43

1o x x( ) ;–= +

32

3 11⋅m xx

( ) – ;=+

15

53Ê

ËÁˆ¯̃

l xx

( ) – ;–

=23

12Ê

ËÁˆ¯̃

f xx

( ) – ;=13

3ÊËÁˆ¯̃e x

x

( ) – ;=12

1ÊËÁˆ¯̃

matematika_11_fgy_fa_2011_majus_2_kiadas.qxd 2011.05.09. 15:40 Page 32

HATVÁNY, GYÖK , LOGARITMUS

33

j)

w x3177 Az autóverseny pályákon óránként mérik az aszfalt hõmérsékletét. Egy nyári napon azt tapasztal-ták, hogy 0 órától délután 3 óráig az aszfalt hõmérséklete jó közelítéssel megadható a

függvénnyel, ahol x a 0 órától eltelt idõt jelenti órában mérve, a hõmérsékletet pedig ºC-bankapjuk.a) Mennyi volt az aszfalt hõmérséklete 0 órakor, illetve reggel 6 órakor?b) Délután háromkor elérte-e az aszfalt hõmérséklete a kritikus 60 ºC-ot?c) Hány százalékkal nõt az aszfalt hõmérséklete reggel 8 és déli 12 óra között?

w x3178 Ábrázoljuk a következõ, valós számok halmazán értelmezett függvényeket:a) f (x) = sgn(3x – 3); b) g(x) = sgn[(5x + 1 – 1) × (5x – 25)];c) h(x) =½2x – 1 – 4½; d) i(x) =½2 ×3x + 1 – 18½.

w x3179 Oldjuk meg grafikusan a következõ egyenleteket:a) 2x + 4 + 11 = 15 × (x + 3); b) 2x + 2 = –4x2 + 3x + 9.

Exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlõtlenségek

w x3180 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egyenleteket:

a) 24x – 3 = 4; b) 33 – 2x = 27; c)

d) e) 2x – 3 ×2x = 16; f ) 3x ×32x – 1 = 9;

g) 52x + 3 ×25 = 53x – 4; h) 49x ×7x – 3 = 74x –5; i)

j) k) l)

m) n) o)

p) q) 132x – 7 = 1; r) 72x + 5 – 1 = 0;

s) 10x ×1002x – 3 – 1 = 0; t) 121x – 5 ×114 – x – 1 = 0; u) 7x = 12x.

5 255 261

4x + = ;

4 642 14 x – ;=319

13 x – ;=2 45 2x + = ;

12525

52

13 6

x

xx

+

+= – ;

11121

114 1

13

x

xx

–– ;

+=

33

181

2

2 3

x

x

–;+ =

22

18

3 5x

x

+= ;

51

1258 7x – ;=

41

164 1x – ;=

t xx

( ) ,= 22 1034⋅

x

y

1 5

5

–1–5–6 –3

–5

j x( )


11. ÉVFOLYAM

34


a) 72x – 1 = 94x – 2; b) c)

d) e) f ) 100x = 0,000001;

g) 49x = –7; h) i)

w x3182 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egyenleteket:a) 125 ×53x = 27 ×27x; b) 3 ×16x = 2 ×92x;c) 9 ×2x ×5x = 100 ×3x; d) 8x + 1 + 4 ×53x + 2 = 125x + 1 + 23x + 2;e) 22x + 4 = 7 ×4x + 7 ×3x + 3x + 2; f ) 32x + 3 – 5 ×24x = 11 ×9x + 42x + 1.

w x3183 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egyenleteket:a) 2x + 3 + 2x + 1 = 10; b) 5x + 4 – 5x + 2 = 24;c) 2 ×3x – 1 + 3x + 3 = 83; d) 3x – 3x – 1 – 7 ×3x – 3 = 33;e) 3 ×2x + 2 – 5 ×2x – 3 ×2x – 2 = 50; f ) 10x + 1 – 4 ×10x – 3 ×10x – 1 = 570;g) 5x – 2 ×5x – 1 – 4 ×5x – 2 + 3 ×5x – 3 = 58;h) 5 ×2x + 1 – 3 ×2x – 7 ×2x – 1 + 3 ×2x – 3 – 9 ×2x – 2 = 26.

w x3184 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egyenleteket:a) 4x – 3 ×2x + 2 = 0; b) 9x – 12 ×3x + 27 = 0;c) 25x – 30 ×5x + 125 = 0; d) 2 ×4x – 17 ×2x + 8 = 0;e) 9x + 1 – 28 ×3x + 3 = 0; f ) 16x + 1 – 65 ×4x + 4 = 0;

g) 3 ×4x – 94 ×2x – 64 = 0; h)

i) j)

k) 10x + 10–x = 2; l)

w x3185 Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következõ egyenletrendszereket:

a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) j)9 3

16 8

5 4 2

2 1 7

x y x

x y y

+

+ +

=

=

– –

–.⎫⎬⎭

15 15

8 2

3 1 2 3

7

x y

x y x

+ +=

=– –;⎫⎬⎭

9 3

5 125 5

2

4

=

=

+x y

x y–;

⋅⎫⎬⎭

7 49

2 64

2 1

8

x y

x y

+

+ +

=

=

–;⎫⎬⎭

5 5 6 120

100 5 12 6 22

2 1

2 2

x y

x y

+ =

+ =

–;

–

– –

⋅⋅ ⋅

⎫⎬⎭

10 7 8

10 2 7 2

2 1

2

x y

x y

–

–;

+ =

=

+

+⋅⎫⎬⎭

2 3 17

3 2 4 3 24

2 1x y

x y

+ + =

+ =

–;

⋅ ⋅⎫⎬⎭

3 4 4 3 42

11 4 3 13

⋅ ⋅⋅

⎫⎬⎭

x y

x y

+ =

=–;

7 5 2 41

5 7 3 2 29

x y

x y

+ =

+ =

⋅⋅ ⋅

⎫⎬⎭

;2 3 7

5 2 3 3 11

x y

x y

+ =

– =⋅ ⋅⎫⎬⎭

;

9 9 343

1

2 1x x+ + =⋅ – .

0 2245

5, ;x x= +1020010

30xx

+ = ;

9 26 3 9 01

2x x+ + =⋅ – ;

71

492 4

7 6–

+=x

x.

10 3

1009

4 3

,;

ÊËÁ

ˆ¯̃

ÊËÁ

ˆ¯̃

+

=x x

53

925

3 7 3ÊËÁˆ¯̃

ÊËÁ

ˆ¯̃

x x+ –

= ;16 42½ ½x – ;=

0 5 12 2 35, ;–x x+ =

116

2564 2 3Ê

ËÁˆ¯̃

– –

;½ ½x

=


HATVÁNY, GYÖK , LOGARITMUS

35

w x3186 Oldjuk meg a valós számok halmazán a következõ egyenlõtlenségeket:

a) 34x – 5 < 27x; b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) j)


a) 24x – 1 ×2x + 2 = 43x – 1 ×2x – 3; b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) 2x + 2 + 21 – x = 9; j) 34 – x + 3x + 2 – 730 = 0;

k) l)

m) n)

o) ; p) .


a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) j) 100sin x = 0,1;

k) l) ;64 21

162 64⋅ x – =4 162 16( ) ;x =

121

12cos ;x =

4 8 16 321 2x x x– ;⋅ ⋅+ =10 1004 4x – ;=

2 85x – ;=4 21 3½ ½ ½ ½x x– ;= +

5 1252 5½ ½x – ;=11 1211½ ½x – ;=

19 192 2 14x x– – ;=23 1

2 9 14x x– ;+ =

827

32

64729

2ÊËÁ

ˆ¯̃ ◊

ÊËÁˆ¯̃

x x +

=13

3 319

3 351 2 3⋅ ⋅x x x+ ++ =– –

2 64 3 8 15 2 72 2512

1 1 3 1⋅ ⋅ ⋅⋅x x x+ ++ =– , ;–

512

65

0 32 2 1

1ÊËÁ

ˆ¯̃ ◊

ÊËÁˆ¯̃

-x x –

, ;=

35

527

259

3 3 4ÊËÁˆ¯̃

ÊËÁ

ˆ¯̃

+

=x x

: ;–

2 5 2 0 012 21⋅ ⋅x x x+ = , ;

32 16 48

168

15 13

1

1310x x x

x

x⋅ ⋅ ⋅

– ––

;=+

7 7 7 71 23 34 4x x x– – – ;⋅ ⋅ =

27

39 3

54

234 2 1

x

xx x

++=

–– ;⋅2 2 4 1

813 4 43 33x x x+ =⋅ ⋅– – ;

18

16322

1

3

1

3

ÊËÁˆ¯̃

x

x

x

x

–

–

–;

+=

5125

25 54 3

14 2 1

x

xx x

–– – ;

+= ⋅

9 3273

2 31

2–

–;x x

x

x⋅ +

+=

116

8 41

3216

14 3 13Ê

ËÁˆ¯̃ ◊ ◊ ◊

xx x

xx

–

.< +819

27 3

1

4

12 3 2

x

xx x

++>

–– ;⋅

4 818

1281 33

2x xx

x– ;◊ ÊËÁˆ¯̃ ◊

++

+£32 161 5x x– ;>

7 493 14 3x + £ ;5 25 1125

1 3x x– ;⋅ + >

23

827

3 4ÊËÁˆ¯̃

x +

> ;12

164

5 3ÊËÁˆ¯̃

x +

£ ;

1614

1x – ;³


11. ÉVFOLYAM

36

m) n) ;

o) ; p) .

w x3189 Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következõ egyenletrendszereket:

a) b)

c) d)

e) ; f ) .


a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) j)

k) l)


a) b) 1 – 6y – y2 = 5–x + 5x + 2;

c)

w x3192 Milyen p valós paraméter értékek esetén van két különbözõ valós megoldása az alábbi egyenletnek:9x + 2 × (p – 3) ×3x + p2 – 4 = 0.

w x3193 Mely (x; y) számpárok elégítik ki a következõ egyenletrendszert:


a) b)14

18

128 03 1Ê

ËÁˆ¯̃

ÊËÁˆ¯̃

x x

– – .–

£4 3 3 212

12 2 1–

– – – –– – ;xx x x> −

64 64 12

2 326

x y

x y

+ =

=+⎫⎬⎭

.

4 2 80 02 2

1tg cos – .x x+ =

5 5 2531

2

2

1⋅ ( )

⎡⎣⎢

⎤⎦⎥+x x

x⋅

–;=

116

1256

2 1ÊËÁ

ˆ¯̃

½ ½x –

.>0 0625 0 5 01

2

, ( , ) ( );< x x⎡⎣⎢

⎤⎦⎥ ¹

25 25 126 512+

+x x£ ⋅ ;2 2 31x x+ – ;³

13 133½ ½x x– ;>25 25 5½ ½x x£ ⋅ ;

2 8164

2

1x

x

◊ ÊËÁˆ¯̃³

+

;33

19

2

15

x x

<ÊËÁˆ¯̃ ;

2 2562 2x x− > ;3 3

2 3

4 1

x

x

+

;

( )

( ) –– –1 1

2 1 02 7 1

y x

yx y+ =

=⎫⎬⎭

5 6 8 5 135

685

13

⋅ ⋅ ⎫⎬⎪

⎭⎪

x y

x y

+ =

+ =

8 4

3 32 3

x y

x y

⋅ =

=–.⎫⎬⎭

25 125

4 2 2 81

x y

x y x y

( )⋅ ⋅

⎫⎬⎪

⎭⎪

=

=⋅;

9 319

5 5

13

3 1

x y

x y

–

–

;⋅ ⎫

⎬⎪

⎭⎪

=

=+

5 3 7 2 17

4 3 5 2 17

2 1

1 3

⋅ ⋅⋅ ⋅

⎫⎬⎭

x y

x y

+

+

=

+ =

–;

–

–

1100

100 25 43

3 2 2 2⋅ ( ) ⋅− x x x=138

13 2 033 122Ê

ËÁˆ¯̃ ◊ ( )

xx x–

–=

7 4716

04 1642x x

x⋅ – – =1

24327 813⋅ x + =


FÜGGVÉNYEK

67

11.4. FÜGGVÉNYEK

Az exponenciális és logaritmusfüggvény

w x3460 Van-e közös pontja a következõ függvényeknek?a) a(x) = log2(x – 1), b(x) = log2x – 1; b) f (x) = g(x) = 2

x – 2.

w x3461 Vázoljuk az alábbi függvények grafikonját. Határozzuk meg az értelmezési tartományukat, érték-készletüket és tengelymetszeteiket.a) f (x) = log4(x + 2); b) g(x) = 3

x – 3;c) h(x) = 2x + 3 – 2.

w x3462 Tekintsük a következõ függvényt:f : x® log3(x – 2) + 3 (x > 2).

Határozzuk meg az f (11) + f (3) értékét.

w x3463 Fejezzük ki az f (x) = 2x függvény esetén az f (a + 1) – f (a – 1) helyettesítési értékét, ha a ÎR.w x3464 Toljuk el az f (x) = log2x, (x > 0) függvényt a (–3; –2) vektorral.

a) Írjuk fel az így kapott függvény hozzárendelési szabályát.b) Hogyan változik ekkor az értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely?

w x3465 Ábrázoljuk a következõ függvényeket:a) x® 2x + 2, x ÎR; b) x ® 3x – 1, x ÎR;

c) x ® x ÎR; d) x ® x ÎR;e) x ® 2–x + 2, x ÎR; f ) x ® log22x, x ÎR+;g) x® log2(x – 4), x ÎR, x > 4; h) x® log24 ×½x – 1½, x ÎR, x ¹ 1.

w x3466 Ábrázoljuk a következõ függvényeket:a) ]–1; +µ[® R, f (x) = log2(x – 1); b) R® R, g(x) = 21 – x;c) R® R, h(x) = 2½x – 2½; d) R\{2}® R, k(x) = log2½x – 2½.

w x3467 Átalakítások után ábrázoljuk a következõ függvényeket:

a) b)

c) d)

e) f )

g) h)

i) j) xx

®1 5 13

, .–

◊ ÊËÁˆ¯̃x

x®1614

12

+;

x x® 14

2 6⋅ + + 3;x xx

® 2 32

1– ;+

x x® 3 2 – ;xx

® 44 1–

;

2 22 2x – – ;xx

® – ;–

32

xx

® 22

;xx® 33 3 3( ) – ;

42

2x –

,92x

,

log13

x,


11. ÉVFOLYAM

68

w x3468 Az alábbi ábrán [–5; 9]-on értelmezett f függvényegy egyenes, egy exponenciális és egy logaritmus-függvény íveibõl tevõdik össze, balról jobbra ha-ladva az ábrán.a) Adjuk meg az f függvényt az alábbi módon:

f : [–5; 9] ®R;

b) Határozzuk meg a függvény értékkészletét.c) Határozzuk meg, hol negatív a függvény.d) Milyen x-re teljesül az f (x) £ 1 egyenlõtlenség?e) Hol veszi fel a függvény a 0 értéket?

w x3469 A megfelelõ azonosságok alkalmazásával alakítsuk át a függvényt értelmezõ kifejezést, majdábrázoljuk a függvényt:

a) x® x ÎR, x ¹ 2; b) x ® 1 – 3–x, x ÎR;c) x ® x ÎR; d) x ® log24x2, x ÎR, x ¹ 0;

e) x ® log0,52x, x ÎR, x > 0; f ) x ® log0,5(x – 2)2, x ÎR, x ¹ 2.w x3470 Ábrázoljuk és jellemezzük a következõ függvényeket:

a) x® log2(x2 – 2x + 1), x ÎR, x ¹ 1; b) x ® x ÎR, x ¹ 1;

c) x ® 2x +½x½, x ÎR; d) x® x ÎR.

w x3471 Ábrázoljuk és jellemezzük a következõ függvényeket:

a) x® lg tg x + lg ctg x, 0 < x < ; b) f (x) =

c) g(x) = x ÎR, x ¹ 0; d) h(x) =

e) k(x) = f ) l(x) =

g) m(x) =

w x3472 Ábrázoljuk és jellemezzük a következõ függvényeket, majd rajzoljuk meg vázlatosan a grafikonjukat:

a) x® log2sin x, 0 < x < p ; b) x ® x > 1;c) x ® log2(x2 – 4), ½x½> 2.

log–

,211

x

x +

3 1

2 1

1

2

– , ,

– , .

x x

x x x

+ ha

ha >

£⎧⎨⎩

log ( ), – ,

, ;–2

1

2 2 2

2 2

x x

xx+ ha <

ha <

£⎧⎨⎩

x x

xx + ha

ha <

1 0

4 02, ,

, ;–³⎧

⎨⎩

½ ½x xx x

, ,

log , ;

ha

+ ha >

£ 11 12

⎧⎨⎪

⎩⎪log ,1

44x

1 1 1

1 1

2

12

– – , ,

log , ;

x x

x x

ha

+ ha >

½ ½½ ½ ½ ½

£⎧⎨⎪

⎩⎪

p2

2 22

x x+ –,

log – ,12

1½ ½x

1

4 2–

,x

22 4

2xx

–– ,

f xxxx

( ), – ,, ,, .

=ha <ha <ha

………

⎧⎨⎪

⎩⎪

5 00 11 9

£££ £

5 9–1–5

1

f

–11 3

y

x


12. ÉVFOLYAM

128

12.2. SZÁMSOROZATOK

A sorozat fogalma, példák sorozatokra

w x4068 Számítsuk ki a következõ sorozatok ötödik és huszadik elemét:a) an = 2n – 12; b) bn = 100 – 5n; c) cn = 2n

2 – 30n;

d) dn = n3 – 15n + 3; e) f )

g) h)

w x4069 Folytassuk az alábbi sorozatokat, adjuk meg a sorozat általános tagját:a) 5; 6; 7; 8; 9; … b) –3; –1; 1; 3; 5; … c) –1; –2; –4; –8; –16; …

d) 1; –1; 1; –1; 1; … e) f )

g) 0; 1; log23; 2; log25; … h) 1; 2; 3; 1; 2; …

w x4070 Ábrázoljuk derékszögû koordináta-rendszerben és számegyenesen a következõ sorozatok elsõ hattagját:

a) b) bn = 2 – (–1)n; c)

d) e) f ) fn = 2 × (–1)n + 3.

w x4071 Határozzuk meg a következõ sorozatok elsõ hat tagját:

a) b) bn = 2010 – 4n; c)

w x4072 Határozzuk meg az an = 3 – 2 × (–1)n sorozat 2010. tagját és az elsõ 2010 tag összegét.

w x4073 Döntsük el, hogy melyik szám a nagyobb az alábbi esetekben:

a) az an = 9 + 3 × (–1)n sorozat 50. tagja vagy a sorozat 25. tagja;

b) az sorozat 12. tagja vagy a bn = (–1)n + 6 + 5 sorozat 99. tagja;

c) az an = 1 sorozat 60. tagja vagy a tizedes tört alakjában a tizedes vesszõ utáni 67. jegy;

d) az sorozat 43. tagja vagy a sorozat 101. tagja;

e) Az an = lg(13n – 1) sorozat 77. tagja vagy a sorozat 7. tagja?

w x4074 Hányadik tagja az alábbi sorozatoknak a 30?

a) an = 8n – 18; b) c) cn =½47 – 7n½;

d) dn = n2 – 11n + 18; e) en = log2 n; f ) f

nn = 60 6

⋅ ⋅sin .p

bn

nn=

+10 203 26–

;

b nnn= + + 146 23

bn

nn=

+7 7

12 88–

an

n = cos7

3⋅ ⋅p

87

an

nn=

+5

3⋅

b nn = + 7

c nn = 4 1– .an n=644

;

enn

= 32

– ;dn

nn =

+5 3

1–

;

cn

nn=

++

2 32

;an

n =35

;

7 7 7 7 73 4 5 6; ; ; ; ; …1 12

13

14

15

; ; ; ; ; …

hn

nn=

2 33

––

.gn

nn=

+3 152 1

–;

f n nn = + 4 1 – ;e nn = + 3 4;


SZÁMSOROZATOK

129

Példák rekurzív sorozatokra

w x4075 Egy számsorozat elsõ eleme 5. Számítsuk ki a sorozat elsõ öt tagját, ha a második tagtól kezdveigaz, hogya) an = 2 ×an – 1 – 6; b) an = –3 ×an – 1 + 21; c) d)

w x4076 Hányféleképpen juthatunk fel egy 10 lépcsõbõl álló lépcsõsoron, ha egyszerre egyet, kettõt vagyhárom lépcsõfokot lépünk?

w x4077 Egy sorozat tagjaira a harmadiktól kezdve teljesül, hogy an = 2 ×an – 1 – an – 2. Mennyi a sorozat2010. eleme és az elsõ 2010 elem összege, ha a1 = a2 = 1?

w x4078 Egy sorozat elemeire a harmadiktól kezdve teljesül, hogy an = an–1 – an–2. Mennyi a sorozat 2009.eleme és az elsõ 2009 tag összege, ha a1 = a2 = 1?

w x4079 Az an sorozatban a1 = p, a2 = q, adott pozitív számok, a sorozat tagjaira igaz, hogy:

Adjuk meg a sorozat 2014. tagját p és q segítségével.

w x4080 Egy sorozat elemei pozitív egész számok, a harmadiktól kezdve mindegyik elem az összes õt meg-elõzõ elem összege. A sorozat elsõ eleme 1.a) Lehet-e eleme a sorozatnak a 2010?b) Mekkora lehet a sorozat második eleme, ha a sorozat n-edik eleme 1000, és n a lehetõ

legnagyobb?

Számtani sorozatok

w x4081 Egy számtani sorozat elsõ tagja –7, differenciája 3. Adjuk meg a sorozat következõ tagjait:a) a11; b) a56; c) a237; d) a2010.

w x4082 Egy számtani sorozat huszadik tagja 41, differenciája 5. Mennyi a sorozata) 21-edik; b) 30-adik; c) 1956-odik tagja?

w x4083 Egy számtani sorozat elsõ tagja 1, differenciája Hányadik tagja a sorozatnak az

a) 1849; b) 2011; c) 3000?

w x4084 Egy számtani sorozat negyvenedik tagja 25-tel kevesebb, mint a tizenötödik tag. Mennyi a sorozatdifferenciája?

w x4085 Kvarc Laci 12 éve gyûjti az értékes ásványokat. Az elsõ évben17 darabot gyûjtött, majd a következõ évek során minden évben9-cel többet, mint az elõzõ évben.a) Hány darab ásványt gyûjtött Laci a 12. évben?b) Mennyi ásványt gyûjtött a 12 év alatt összesen?

23

.

aa

ann

n+

+=+

21 1.

aa

nnn= – .1a an n=

23

11⋅ – – ;


12. ÉVFOLYAM

130

w x4086 A Menõ Manók Társasága hétnapos gyalogtúrát szervezett. A túra elsõ napján 23 km-t gyalogoltak,minden további napon pedig 5 km-rel többet, mint az elõzõ napon.a) Hány kilométer tettek meg a hatodik napon?b) Hány kilométer volt a túra teljes hossza?

w x4087 Frédi részt vett a kõemelõ-bajnokságon. Az elsõ edzésen egy 7 kg-os követ emelt fel. Az edzéseksorán napról napra 5 kg-mal sikerül emelnie a felemelt legnagyobb kõ tömegét. Az edzések 30 napigtartottak.A kõemelõ-bajnokságon minden versenyzõ ötször próbálkozhat, az nyer, aki a legnehezebb követfelemeli.Frédi elsõ kísérletére 10 kg-mal kevesebbet emelt, mint a versenyt megelõzõ utolsó edzésen,de minden további emeléskor 4 kg-mal tudott többet emelni, mint az elõzõ emeléskor. A versenytFrédi világcsúccsal nyerte. Mekkora tömegû kõ felemelése jelentette a világcsúcsot?

w x4088 Egy számtani sorozat harmadik tagja 13, hetedik tagja pedig 25.a) Mennyi a sorozat elsõ eleme és különbsége?b) Mennyi a sorozat elsõ negyven elemének összege?

w x4089 Egy számtani sorozat hatodik tagja 30, tizenegyedik tagja 10.a) Számítsuk ki a sorozat elsõ tagját és differenciáját.b) Mennyi a sorozat elsõ 50 tagjának összege?

w x4090 Van-e olyan számtani sorozat, amelynek elsõ három eleme:

w x4091 Az an számtani sorozat esetén ismert a következõ tagok összege:a3 + a8 = 34 és a2 + a11 = 46.

a) Mennyi a sorozat elsõ eleme és differenciája?b) Tagja-e a sorozatnak a 2012?

w x4092 Egy számtani sorozat elsõ és negyedik tagjának összege 38, a hetedik és harmadik tag különbsége 16.a) Mennyi a 40. és 17. tag különbsége?b) Mennyi a sorozat 23. tagja?c) Mennyi a sorozat elsõ 60 tagjának összege?

w x4093 Egy számtani sorozat tagjaira teljesül, hogy a5 ×a10 = –25 és a2 + a8 = 10. Adjuk meg a sorozatelsõ tagját és differenciáját.

w x4094 Egy számtani sorozat elsõ három tagjának összege –9, a harmadik, negyedik és ötödik tagösszege pedig 39. Melyik ez a sorozat?

w x4095 Egy számtani sorozat elsõ nyolc tagjának összege 14, a hatodik, hetedik, nyolcadik és kilencediktag összege pedig 1. Határozzuk meg a sorozatot.

w x4096 Egy számtani sorozat elsõ négy tagjának összege harmada a következõ négy tag összegének. Hatá-rozzuk meg az elsõ tíz tag és a következõ tíz tag arányát.

w x4097 Egy számtani sorozat ötödik tagja 10. Az elsõ öt tag összege ötöde a következõ öt tag összegének.Mennyi a sorozat differenciája?

3 5 111 5 1

28 5 2⋅ ⋅ ⋅+ ; – ; – ?


SZÁMSOROZATOK

131

w x4098 a) A Long Street páratlan oldalán egytõl 2011-ig vannak szá-mozva a házak. Egy napon a postás az utca páratlan oldalánvégighaladva elõször a 3-as számú, majd minden negyedikházhoz kézbesített levelet. Hány házhoz hozott levelet ezen a napon a postás az utcapáratlan oldalán?

b) A Long Street páros oldalán kettõtõl 2010-ig vannak szá-mozva a házak. Egy napon a postás az utca páros oldalánvégighaladva elõször a 6-os számú, majd minden ötödikházhoz kézbesített levelet. Hány házhoz hozott levelet ezen a napon a postás az utcapáros oldalán?

w x4099 Az an számtani sorozatból ismert tagok: a1 = 18 és ak = 99. Mennyi a k értéke, ha az elsõ k tagösszege 1638?

w x4100 A 17-tõl kezdve a pozitív egész számok sorában összeadtunk minden tizedik számot. Hány darabszámot adtunk össze, ha a kapott összeg 1472?

w x4101 Egy számtani sorozat differenciája 3. Az elsõ n elem összege 5010, az elsõ n + 10 elem összegepedig 6895. Mennyi a sorozat elsõ tagjának és az n-nek az értéke?

w x4102 Egy diáknak 385 oldalas kötelezõ olvasmányt kell elolvasnia. Az elsõ napon 22 oldalt olvas és úgydönt, hogy minden nap 5 oldallal többet olvas el, mint az elõzõ napon.a) Hány nap alatt tudja befejezni a kötelezõ olvasmány elolvasását?b) Hány oldal marad az utolsó napra?

w x4103 Egy nyomdában 30 papírlap közül néhányat 10 részre vágtak, majd az így kapott részek közülnéhányat ismét 10 részre vágtak szét és így tovább. Egy ilyen munkaszakasz után valaki azt mondta:„Most 2010 papírdarabunk van.” Jól számolt-e az illetõ?

w x4104 Egy számtani sorozat elsõ eleme 13, a sorozatra jellemzõ különbség pedig 17. Hány olyan tagjavan a sorozatnak, amely ötjegyû szám?

w x4105 Egy derékszögû háromszög oldalainak mérõszáma egy számtani sorozat három szomszédos eleme.Mekkorák a háromszög szögei?

w x4106 Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat szomszédos elemei. A háromszög kerülete 120 cm.A legrövidebb és leghosszabb oldal szorzata 1431 cm2. Adjuk meg a háromszög területét egytizedesjegyre kerekítve.

w x4107 Egy konvex sokszög belsõ szögeinek mérõszámai egy számtani sorozat egymást követõ elemei.Hány oldalú a sokszög, ha a legkisebb szög 142º30', a legnagyobb szög pedig 172º30'?

w x4108 Az elsõ 201 természetes szám összegében akárhánynak az elõjelét megváltoztatjuk. El lehet-e érni,hogy a kapott összeg 2010 legyen?

w x4109 Adjunk meg különbözõ pozitív egész számokból álló számtani sorozatot, amelynek elemei közöttnincs négyzetszám.

w x4110 Egy számtani sorozat elsõ három elemérõl a következõket tudjuk: az elsõ tag kétjegyû szám,a második tag az elsõ jegyeinek felcserélésével jön létre, a harmadik pedig az elsõbõl úgy kapható,hogy a jegyei közé egy 0-t írunk. Határozzuk meg a számokat.


12. ÉVFOLYAM

132

w x4111 Az an számtani sorozatról tudjuk, hogy ak = m és am = k (k ¹ m). Adjuk meg az an sorozatotk, m és n függvényeként.

w x4112 Az an számtani sorozat differenciája d. Elsõ 5 elemének összege legyen b1, a következõ öt elemösszege b2, a következõ öt elem összege b3, és így tovább. Igazoljuk, hogy bn számtani sorozat.Adjuk meg a1-gyel és d-vel a bn sorozat elsõ tagját és differenciáját.

Mértani sorozatok

w x4113 Egy mértani sorozat elsõ tagja –2, hányadosa Számítsuk ki a sorozat elsõ hat tagját.

w x4114 Egy mértani sorozat negyedik tagja 5, hányadosa –3. Mennyi a sorozat elsõ, hatodik, illetve kilen-cedik tagja?

w x4115 Egy mértani sorozat elsõ tagja 20, a negyedik tag –2,5. Mennyi a sorozat hányadosa? Adjuk mega tizedik elemet és az elsõ 10 tag összegét.

w x4116 Egy mértani sorozat elsõ tagja –3, az ötödik tag –48. Adjuk meg a sorozat hányadosát, számítsuk kia nyolcadik elemét, és az elsõ nyolc tag összegét.

w x4117 Egy mértani sorozat hatodik eleme 28, a nyolcadik eleme pedig 7. Mennyi a sorozat elsõ tagja?Számítsuk ki az elsõ hat tag összegét.

w x4118 Egy mértani sorozat ötödik és nyolcadik tagja is 23. Mennyi az elsõ kilenc tag összege?

w x4119 Egy mértani sorozat hetedik tagja 17, a tizedik tagja pedig –17. Mennyi az elsõ 100 tag összege?

w x4120 Az 1, a 8 és a 22 számokhoz ugyanazt a valós számot adva egy mértani sorozat három szom-szédos elemét kapjuk. Mennyi a mértani sorozat hányadosa?

w x4121 Egy lián hossza minden nap az elõzõ napi hosszánál 25%-kal több. Az elsõ napon 1 méteres volt.Hányadik napon éri el a 15 méteres hosszúságot?

w x4122 Egy mértani sorozat elsõ eleme 3, a hányadosa 5. Hány ötjegyû tagja van a sorozatnak?

w x4123 Egy mértani sorozat harmadik és negyedik tagjának összege 80, az ötödik és harmadik tag különb-sége 240. Melyik ez a sorozat?

w x4124 Egy-egy mértani sorozat tagjaira teljesülnek a következõ összefüggések. Számítsuk ki az egyessorozatok elsõ tagját és hányadosát.

a) b) c) d)

w x4125 Egy mértani sorozat elsõ négy tagjának összege 468, az ötödik, hatodik, hetedik és nyolcadik tagösszege 292 500. Melyik ez a sorozat?

w x4126 Igaz-e, hogy a következõ számok egy mértani sorozat egymást követõ tagjai:

w x4127 Egy számtani sorozat negyedik tagja 10. A sorozat második, harmadik és hatodik eleme egy mértanisorozat három szomszédos tagja. Mennyi a számtani sorozat elsõ tagja, a sorozatra jellemzõdifferencia és a mértani sorozat hányadosa?

7 4 33 1

3 22 3

5 3 3+ +

+⋅ ⋅–

;–

; ?

a aa a

1 2

6 7

1601215

+ =+ =

⎫⎬⎭

.a a a

a a1 2 3

1 3

5715

+ + ==–

;⎫⎬⎭

a a aa

1 2 3

2

5616

+ + ==

⎫⎬⎭

;a aa a

1 2

3 4

1560

+ =+ =

⎫⎬⎭

;

q = – .38


FÜGGVÉNYEK – ÖS SZEFOGLALÁS

217

FÜGGVÉNYEK – ÖSSZEFOGLALÁS

A függvény fogalma, grafikonja, egyszerû tulajdonságai

w x5278 Rajzoljuk meg a következõ lineáris függvények grafikonjait:

a) x® 2x – 3; b) x® c) x ® d) x ® 7;

e) x ® f ) x ® –5 – x.

w x5279 Válasszuk ki az elõzõ feladat lineáris függvényei közüla) az egyenes arányosság; b) konstans;c) egymással párhuzamos; d) nulladfokúfüggvényeket.

w x5280 Írjuk fel annak a lineáris függvénynek a hozzárendelési szabályát, melynek képe illeszkedikaz adott két pontra:a) A(3; 1) és B(–1; 3); b) A(0; –2) és B(2; 1);c) A(–5; 3) és B(7; 3); d) A(0; 0) és B(1; –3).Melyik függvénye) konstans; f ) egyenes arányosság;g) növekvõ; h) szigorúan monoton csökkenõ?

w x5281 Adjuk meg az f lineáris függvény hozzárendelési szabályát, ha

a) m = 5 és illeszkedik a P(1; 7) pontra; b) m = és illeszkedik a P(2; 0) pontra;

c) m = –0,25 és illeszkedik a P(8; 2) pontra; d) m = 0 és illeszkedik a P(7; 5) pontra.

w x5282 Ábrázoljuk a [–3; 6]-on a következõ lineáris függvényeket, és jellemezzük értékkészlet, zérushelyés monotonitás szerint.

a) x® b) x® 1 – x; c) x ® –3; d) x ®

w x5283 Az alábbi ábrán egy f lineáris függvény grafikonjának részletelátható.a) Írjuk fel a függvény hozzárendelési szabályát.b) Határozzuk meg a következõ értéket:

c) Számoljuk ki a függvény zérushelyét.

f f

f

(– ) (– )( )

.3 6

6+

x

y

1

4

8

12

1–1–3–6

f

23

x.13

3x + ;

–34

6 22–

;x

– ;12

x– ;32

5x +


12. ÉVFOLYAM

218

w x5284 Ábrázoljuk a következõ függvényt:

Határozzuk meg a függvény tengelymetszeteit.

w x5285 Tekintsük az alábbi függvényeket:

A következõ pontok közül melyek illeszkednek f, valamint g függvény grafikonjára?A(3; 3), B(4; 0), C(6; –1), D(2; 1), E(0; –3), F(–2; 3).

w x5286 Ábrázoljuk a következõ függvényeket a ]–4; 5[-on:

Adjuk meg az egyes függvényeknél, hol pozitívak az adott intervallumon.

w x5287 Határozzuk meg a valós számok halmazának azt a legbõvebb részhalmazát, amelyen az alábbikifejezések értelmezhetõek:

a) b) 2x – 1.

Ábrázoljuk az ezen a halmazon értelmezett

c) x ® d) x ® 2x – 1

függvényt a [–1; 5[-on. Állapítsuk meg a függvények értékkészletét.

w x5288 Rajzoljuk meg a következõ függvények grafikonjait:

w x5289 Ábrázoljuk a következõ függvényeket a valós számok halmazán:a) x® –½x½; b) x ® ½x – 3½+ 2; c) x ® ½2x – 1½;d) x® –2½x – 1½+ 3; e) x ® 3 –½x + 3½; f ) x ® ½–3x½.

w x5290 Az alábbi ábrán egy f abszolútérték-függvény grafikonja láthatóa [–3; 5[-on ábrázolva.a) Adjuk meg a függvény hozzárendelési szabályát az adott inter-

vallumon.

b) Hol vesz fel a függvény negatív értékeket?

c) Határozzuk meg, mely részeken növekszik a függvény.

d) Hány zérushelye van a függvénynek az adott intervallumon?Adjuk meg ezek helyét is.

1

1 4 5–1–3

f

x

y

f xx x

x xg x

x x

x x( )

– , ,

– , ,( )

– , ,

,=

ha

+ ha <=

+ ha

ha >

2 3 212

2 2

12

2 0³ £⎧

⎨⎪

⎩⎪ 00.

⎧⎨⎪

⎩⎪

2 9 44

2x x

x

––

;+

2 9 44

2x x

x

––

;+

f xx

xg x

x

xh x

x x

x( )

–, ( )

––

( )–

–.=

+= és =

+2 2 242

164

62

f x x g x x( ) – ( ) – .= és = +2 312

2

f xx

x( )–

, .=4 6

3ÎR


FÜGGVÉNYEK – ÖS SZEFOGLALÁS

219

w x5291 Ábrázoljuk függvénytranszformáció segítségével az alábbi függvényeket (x ÎR):a) x® –2x2 + 1; b) x® –(x – 2)2 + 3; c) x ® x2 – 4x + 4;d) x® x2 + 4x + 6.

w x5292 Rajzoljuk meg a következõ függvény grafikonját a [–2; 3[-on:

Jellemezzük a függvényt értékkészlet, zérushely, monotonitás szempontok szerint.

w x5293 Ábrázoljuk a következõ függvényeket:f (x) = (x – 4)2 – 2 és g(x) = –(x + 5)2.

a) Állapítsuk meg, hol veszik fel a függvények a –1 értéket.

b) Határozzuk meg, hogy az adott pontok közül melyek illeszkednek az f és melyek a g függvényre:A(2; 2), B(–3; –4), C(1; 7), D(6; 2), E(–6; –1), F(–1; –1).

w x5294 Ábrázoljuk függvénytranszformációval az alábbi hozzárendelési szabállyal megadott függvé-nyeket:

a) x® b) x® c) x ®

d) x® e) x ® f ) x ®

w x5295 Ábrázoljuk a következõ függvényeket:

a) f (x) = b) g(x) = x ®Adjuk meg azokat az x értékeket, melyekre f (x) ³ 2, illetve g(x) < 0.

w x5296 Az alábbi függvények közül válasszuk ki, melyek a fordított arányosság hozzárendelési szabályai.Ábrázoljuk õket.

a) f (x) = b) g(x) = c) h(x) =

d) i(x) = e) j(x) =

Milyen függvények hozzárendelési szabályát látjuk még? Nevezzük meg õket.

w x5297 Válasszuk ki, melyik hozzárendelési szabály tartozik a grafikonhoz. Adjuk meg a függvény szélsõ-értékét.a) (1) x® x2 + 3;

(2) x® –(x + 2)2 + 3;(3) x® (x – 2)2 – 3;(4) x® –(x – 2)2 + 3.

y

x1–1

f

1

–1

2 43 6

2x

xx

––

( ).¹xx

x2 9

33

–( – );

+¹

––

;12

2x

+5 2

2–

;x3

x;

4 2– – .x2 3 2⋅ x – – ;

4 1⋅ ( – ).x12

3⋅ – ;x– – ;x 4

– ;2 ⋅ xx + 4 2– ;x – ;3

f x x xx x

( ) , ,– , .

= haha <

2

20

2 0³⎧

⎨⎩


12. ÉVFOLYAM

220

b) (1) x®

(2) x® 2½x – 1½– 1;(3) x® 2½x – 1½+ 1;(4) x® 2½x + 1½– 1.

c) (1) x®(2) x®(3) x®(4) x®

w x5298 Adjunk meg 3 olyan értékpárt, amely eleget tesz a hozzárendelésnek:

a) f : Z®N, x® b) g: N®N, x ® (x ¹ 1);

c) h: Z®N, x® d) i: N® Z, x® (x ³ 3).

w x5299 Adjuk meg a következõ függvények grafikonjairól kijelölt pontok hiányzó koordinátáit, és rajzoljukmeg a grafikonokat.

a)

b)

c)

d)

w x5300 A következõ függvényeket ábrázoltuk az ábrán:

a) x® 2x, x Î[–1; 1]; b) x ® x Î[1; 4];

c) x ® x2, x Î[–1; 1]; d) x ® x Î[–3; 1].

Az ábrán ezeket így neveztük el: f, g, h, i. Állapítsuk meg, melyiknév melyik függvényhez tartozik.

1x

,

x,

x

y

1

11 4–1–3

gi

hf

i x x A B C( ) – – , ; , ; , ; – .= 2 2 512

7 4◊ ÊËÁ

ˆ¯̃ ( ) ( )™ ™ ™

h x x A B C( ) – , – ; , ; , ; ;=½ ½3 2 112

5 1+ ÊËÁ

ˆ¯̃ ( ) ( )™ ™ ™

g x x A B C( ) ( – ) – , ; , ; , – ; ;= 274

12

94

12 ™ ™ ™ÊËÁ

ˆ¯̃

ÊËÁ

ˆ¯̃ ( )

f x x A B C( ) – , ; , – ; , ; ;=23

45

15

65

0™ ™ ™ÊËÁ

ˆ¯̃

ÊËÁ

ˆ¯̃ ( )

x – 357

1x + ;

31

x

x –– ;

23

x

x + 2.

2 – x;

– ;x + 2

x1–1

h

–1

y

1

x + 2;

x1–1

g

–1

y

1

12

1 1½ ½x – – ;


287

A FELADATOK MEGOLDÁSAI

A kötet feladatainak megoldásai letölthetõk pdf-ben awww.mozaik.info.hu/matematika oldalról. A letölthetõállományok megegyeznek a feladatgyûjtemény korábbikiadásaihoz mellékelt CD-n lévõ tartalommal.

A megoldások megtekintéséhez az Acrobat Reader programhasználata szükséges. A program ingyenesen letölthetõ azinternetrõl. (Pl. www.adobe.com).

MEGOLDÁSOK – 11. ÉVFOLYAMAz összes 11. évfolyamos feladat megoldását az alábbi állomány tartalmazza:_3001_3892_11_evfolyam.pdf

Az egyes fejezetek külön-külön (kisebb méretû) állományban is elérhetõk (a feladatsorszámra és a fe-jezetre utaló elnevezéssel):

3001-3160_kombinatorika-grafok.pdf3161-3241_hatvany-gyok-logaritmus.pdf3242-3459_trigonometria.pdf3460-3554_fuggvenyek.pdf3555-3776_koordinata-geometria.pdf3777-3892_valoszinuseg-szamitas-statisztika.pdf

MEGOLDÁSOK – 12. ÉVFOLYAMAz összes 12. évfolyamos feladat és a rendszerezõ összefoglalás megoldásait az alábbi állomány tar-talmazza:_4001_5620_12_evfolyam.pdf

Az egyes fejezetek külön-külön (kisebb méretû) állományban is elérhetõk (a feladatsorszámra és a fe-jezetre utaló elnevezéssel):

4001-4067_logika-bizonyitasi-modszerek.pdf4068-4165_szamsorozatok.pdf4166-4511_tergeometria.pdf4512-4577_valoszinuseg-szamitas-statisztika.pdf5001-5620_rendszerezo-osszefoglalas.pdf_kozepszintu-feladatsorok.pdf_emelt-szintu-feladatsorok.pdf

EGY KONKRÉT FELADAT MEGOLDÁSÁNAK KERESÉSEA pdf állományokban a keresõ funkciót (Ctrl+f) használva az „x+feladatsorszám” begépelésévelközvetlenül az adott sorszámú feladat megoldásához ugorhatunk (pl. az x4318 szöveg keresésévela 4318-as feladat megoldásához).


Documents

MS-2326 download borito 127 DIGI Layout 1 ... - Mozaik Kiadó · Mozaik Kiadó – Szeged, 2019 11-12 FELADATGYÛJTEMÉNY Gyakorló és érettségire felkészítõ feladatokkal sokszínû