mtk

A. Pemfaktoran Aljabar

Menyederhanakan bentuk pecahan aljabardengan memfaktorkan.

Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c dengan c positif sebagai berikut. - Pecah c = (m n) menjadi perkalian faktor-faktornya. - Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b = (m + n)

Langkah-langkah memfaktorkan bentuk aljabar x2 + bx + c untuk c negatif sebagai berikut. - Pecah c = (m n) menjadi perkalian faktor-faktornya. - Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya b = (m n) - Bilangan yang bernilai lebih besar bertanda sama dengan b, sedangkan bilangan yang

bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya.

Contoh Soal: 1. Faktorkan bentuk aljabar berikut!

a. x2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3) 3 Jumlah

1 3 4

b. x2 13x + 12 = (x 1)(x 12) 12 Jumlah

1 1 2 3

12 12

6 4

13 13

8 7

c. x2 + 4x 12 = (x 2)(x + 6) 12 Jumlah

1 1

2 2

3 3

12 12

6 6 4

4

11 11

4 4 1

1

- ax + bx cx = x(a + b c) - x

2 y2 = (x y)(x + y)

- x2+ 2xy + y2= (x + y) (x + y) = (x + y) 2

- x2 2xy + y2= (x y) (x y) = (x y) 2

- x2+ bx + c = (x + m) (x + n) denganm n = c dan m + n = b

d. x2 15x 16 = (x + 1)(x 16) 16 Jumlah

1 1

2 2

4 4

16 16

8 8 4

4

15 15

6 6 0 0

A. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Bentuk x2 + 2x 48 jika difaktorkan adalah A. (x 6)(x 8) B. (x + 8)(x 6) C. (x 4)(x 12) D. (x + 24)(x 2)

2. Faktor dari y2 4y 12 adalah A. (y 6) (y + 2) B. (y + 6) (y 2) C. (y 3) (y + 4) D. (y + 3) (y 4)

3. Faktor dari 3x2 + 7x 6 adalah A. (3x 2) (x + 3) B. (3x + 3) (x 2) C. (x + 6) (2x 1) D. (x 1) (2x + 6)

4. Salah satu faktor dari 6x2 + 11x 10 adalah A. (3x + 5) C. (2x + 5) B. (2x + 2) D. (3x + 2)

5. Bentuk faktor dari 9x2 1 adalah A. (3x + 1)(3x1) B. 3(3x + 1)(3x 1) C. 3(x +1)(x 1) D. 9(x + 1)(x 1)

6. Bentuk dar 4x2 1 adalah A. (4x + 1)(4x 1) B. 2(2x + 1)(2x 1) C. 4(x + 1)(x 1) D. (2x + 1)(2x 1)

7. Pemfaktoran dari 9a2 16b2 adalah A. (3a 4b)(3a 4b) B. (3a + 4b)(3a + 4b) C. (9a 16b)(9a + 16b)

D. (3a 4b)(3a + 4b)

8. Pemfaktoran dari 25x 49y adalah A. (5a b) (5a + 49b) B. (5a + 7b) (5a 7b) C. (5a 7b) (5a + 7b) D. (25a 7b) (a + 7b)

9. Bentuk faktor dari 4x2 36y2 adalah A. (2x + 6y)(2x 6y) B. (2x 6y)(2x 6y) C. (4x 6y)(x + 6y) D. (4x + 6y)(x + 6y)

10. Faktor dari 81a2 16b2 adalah A. (3a 4b)(27a + 4q) B. (3a + 4b)(27a - 4b) C. (9a - 4b)(9a + 4b) D. (9a - 4b)(9a - 4b)

11. Faktor dari 49p2 64q2 adalah A. (7p 8q)(7p 8q) B. (7p + 16q)(7p 4q) C. (7p + 8q)(7p 8q) D. (7p + 4q)(7p 16q)

12. Faktor dari 16x2 9y2 adalah A. (2x + 3y)(8x 3y) B. (4x 9y)(4x + y) C. (4x + 3y)(4x 3y) D. (2x + 9y)(8x y)

13. Pemfaktoran dari 4x2 + 6x adalah A. (3x + 3) B. 2x (3x 3) C. 2x (3x + 3) D. 2x (3x + 3)

Uji Kompetensi Siswa 2.2

A. Relasi 1. Pengertian Relasi

Relasi antara dua himpunan, misalnya himpunan A dan himpunan B, adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B.

2. Menyatakan Relasi a. Diagram Panah

Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi kurang dari.

b. Himpunan Pasangan Berurutan Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi kurang dari. Jawab: R = {(2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6)}

c. Diagram Cartesius Diketahui A = {2, 3, 5}; B = {4, 5, 6}; dan relasi dari A ke B adalah relasi kurang dari.

B. Fungsi Atau Pemetaan 1. Pengertian Fungsi atau Pemetaan

Fungsi atau Pemetaan adalah relasi khusus yang memasangkan setiap anggota satu himpunan dengan tepat satu anggota satu himpunan yang lain.

Syarat suatu relasi merupakan pemetaan atau fungsi adalah: A. setiap anggota A mempunyai pasangan di B; B. setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B.

2

3

5

4

5

6

A B

2 3 5

4

5

6

Contoh Soal:

1. Diketahui diagram panah: (1) (3)

(2) (4)

Diagram yang menunjukkan pemetaan/fungsi adalah

Penyelesaian:

(i) Diagram panah pada (1) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan di B.

(ii) Diagram panah pada (2) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu 3 mempunyai dua pasangan di B.

(iii) Diagram panah pada (3) merupakan fungsi, karena setiap anggota A mempunyai tepat satu pasangan di B.

(iv) Diagram panah pada (4) bukan fungsi, karena terdapat anggota A yaitu 23 mempunyai dua pasangan di B dan ada anggota A yaitu 3 tidak mempunyai pasangan di B.

2. Menentukan Banyaknya Anggota Himpunan Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) = adan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) = b maka 1. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari A ke B adalahba 2. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari B ke A adalahab.


1. Himpunan pasangan berurutan berikut yang menyatakan relasi kurang dari adalah A. {(1,6), (2,2), (2,4), (3,6)} B. {(1,2), (2,4), (3,2), (3,6)} C. {(1,2), (1,4), (1,6), (2,4), (2,6), (3,6)} D. {(1,2), (1,4), (2,4), (2,6), (3,2), (3,4)}

2. Jika A = {2, 3, 4, 5} dan B = {3, 4, 5, 6}, relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah satu kurangnya dari. Maka relasi tersebut jika dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan adalah A. {(2,1), (3,2), (4,3), (5, 6)} B. {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5), (5,6)} C. {(2,3), (3,4), (4,6), (3,5)} D. {(2,3), (3,4), (4,5), (5,6)}

3. Perhatikan gambar!

Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah A. faktor dari C. kurang dari B. kelipatan dari D. akar dari


Aturan dari relasi yang digambarkan dengan diagram panah diatas ini adalah A. kurang dari C. faktor dari B. lebih dari D. kuadrat dari

5. Diketahui himpunan pasangan berurutan (1). {(1, a), (2, a), (3, a), (4, a) } (2). {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d) } (3). {(1, a), (2, a), (3, b), (4, b) } (4). {{1, a), (2, b), (1, c), (2, d) } Himpunan pasangan berurutan yang merupakan pemetaan/fungsi adalah A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4)

6. Diketahui : P = {(1,1), (1,2), (2,2), (3,3)} R = {(1,1), (2,3), (3,4), (3,5)} Q = {(1,1), (2,3), (3,3), (4,1)} S = {(1,1), (2,3), (3,3), (3,4)}

Himpunan pasangan berurutan di atas, yang merupakan fungsi adalah A. P C. R B. Q D. S

7. Diketahui P = {a, b, c, d} dan Q = {1, 2, 3}. Banyaknya pemetaan yang mungkin dari himpunan P ke himpunan Q adalah A. 81 C. 12 B. 64 D. 7

8. Diketahui X = {1, 2} dab Y = {a, b, c}. Banyaknya fungsi yang mungkin dari Y ke X adalah A. 5 C. 8 B. 6 D. 9

2

3

5

4

5

6

A B


9. Diagram panah dibawah ini yang merupakan fungsi dari himpunan P ke himpunan Q adalah A. C.

B. D.

C. Menentukan Nilai Suatu Fungsi

1. Notasi Fungsi Notasi suatu fungsi:

Dibaca: fungsi f memetakan x anggota A ke y anggota B.

2. Domain, Kodomain, dan Range Fungsi

Bayangan 1 oleh fungsi f adalah f(1) = c Bayangan 2 oleh fungsi f adalah f(2) = a Bayangan 3 oleh fungsi f adalah f(3) = a

Contoh Soal: 1. Fungsi f : x 3x 5 dengan X {3, 2, 1, 0, 1, 2}.

Daerah hasil fungsi f adalah

Penyelesaian: f(x) = 3x 5 Daerah hasil: f(3) = 3(3) 5 = 9 5 = 14

f(2) = 3(2) 5 = 6 5 = 11 f(1) = 3(1) 5 = 3 5 = 8 f(0) = 3(0) 5 = 0 5 = 5 f(1) = 3(1) 5 = 3 5 = 2 f(2) = 3(2) 5 = 6 5 = 1

Jadi daerah hasilnya yaitu {14, 11, 8, 5, 2, 1}

2. Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = 7 2x 3x2, bayangan 3 oleh fungsi tersebut adalah

f : xy atau f : xf(x)

Domain (daerah asal) = A = {1, 2, 3}

Kodomain (daerah kawan) = B = {a, b, c}

Daerah Hasil = {a, c}

Penyelesaian: f(x) = 7 2x 3x2 bayangan 3 yaitu x = 3 substitusi x = 3 ke: f(x) = 7 2x 3x2 f(3) = 7 2(3) 3(3)2 = 7 + 6 3(9) = 13 37 = 24

3. Menghitung Nilai Fungsi Contoh Soal: 1. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 1 2x2.Nilai f (2) adalah

Penyelesaian: Substitusi nilai x = 2 ke fungsi f(x) = 1 2x2 Sehingga f(x) = 1 2x2 f(2) = 1 2.(22)= 1 2.(4)= 1 8= 7

2. Diketahui f(x) = 2x 3, jika f(a) = 7, maka nilai a adalah

Penyelesaian: f(x) = 2x 3, jika f(a) = 7 f(a) =2a 3 7 = 2a 3 2a = 7 + 3 2a = 10

a = = 5

3. Koordinat titik potong fungsi f(x) = 3x 18 dengan sumbu x adalah

Penyelesaian: Fungsi f(x) = 3x 18 , sumbu x, maka y = 0

0 = 3x 18 3x = 18

x = = 6

Jadi koordinat titik potongnya adalah (6, 0).

4. Jikaf(x) = 3x + 1 dan f(a) = 19 maka nilai a adalah

Penyelesaian: f (x) = ax + b f(a) = 19 3a + 1 = 19

3a = 19 1

210

318

3a = 18

a = = 6

5. Suatu fungsi dari P ke Q dinyatakan sebagai {(1, 2 ), (2, 3), (3, 3 ), (4, 4)}. Notasi itu adalah

Penyelesaian: f (x) = ax + b f(x) = y Untuk (2, 3) maka x = 2 dan y = 3

3 = 2a + b 2a + b = 3

Untuk (4, 4) maka x = 4 dan y = 4 4 = 4a + b 4a + b = 4

2a + b = 3 4a + b = 4 2a = 1

a =

a =

Notasinya f (x) = ax + bf : x x + 2

6. Suatu fungsi didefinisikan oleh rumus f(x) = ax + 5 jika f(1) = 1, maka rumus fungsinya adalah

Penyelesaian: f (x) = ax + b f(x) = ax + 5 f(1) = 1 a + 5 = 1

a = 1 5 a = 6

a = = 6

Rumus fungsinya: f(x) = ax + 5 f(x) = 6x + 5

318

21

21

21

21

21

16

Substitusi nilai a = ke: 2a + b = 3

2. + b = 3

1 + b = 3

b = 3 1

b = 2

21

21

7. Fungsi f(x) = ax + b, jika f(2) = 2 dan f(3) = 13 maka nilai f(4) adalah

Penyelesaian: f (x) = ax + b f(2) = 2 2a + b = 2 f(3) = 13 3a + b = 13

2a (3a) = 2 13 2a + 3a = 15 5a = 15

a = = 3

Substitusi nilai a = 3 ke: 2a + b = 2 2(3) + b = 2 6 + b = 2 b = 2 + 6 b = 4

Substitusi nilai a = 3 dan b = 4 ke: f(x) = ax + b f(x) = 3x + 4 maka f(4) f(4) = 3(4) + 4 = 12 + 4 = 8


1. Perhatikan gambar berikut!

Domain dari diagram panah diatas A. {1, 2, 3, 4} C. {1, 6} B. {1, 2, 6} D. {3}


Himpunan daerah hasil (range) dari diagram panah diatas ini adalah. A. {1, 4, 9, 10} C. {1, 2, 3, 4, 5} B. {1, 2, 3, 4} D. {5}

515

Soal Fungsi

3. Diketahui rumus fungsi f(x) = 2x + 5. Nilai f(-4) adalah A. -13 C. 3 B. -3 D. 13

4. Jika f(x) = 3x 2 dan f(a) = 19. Maka nilai a adalah C. 6 C. 55 D. 7 D. 57

5. Diketahuif(x) = 8x+5 dan f(a) = 19. Nilai a adalah A. 2 C. 4 B. 3 D. 5

6. Suatu fungsi linear didefinisikan dengan f(x) = ax + b dengan x R. Jika pada fungsi tersebut diketahui f(-2) = 8 dan f(5) = 13, maka nilai a dan b berturut-turut adalah A. -3 dan 2 C. 2 dan -3 B. -2 dan 3 D. 3 dan -2

7. Suatu fungsi didefinisikan f(x) = 7 dengan x {-2, 0, 2, 4}. Daerah hasil fungsi tersebut adalah A. {6, 7, 8, 9} C. {8, 6, 4, 2} B. {8, 7, 6, 4} D. {8, 7, 6, 5}

8. Diketahui f(x) = 2x 3, pada himpunan bilangan bulat dinyatakan dalam pasangan

berurutan {(a,3), (b,-5), (-2,c), (-1,d)}. Nilai a + b + c d adalah A. -1 C. 2 B. 1 D. 0

9. Suatu fungsi dirumuskan f(x) = ax + b. Jika f(2) = 14 dan f(3) = 1, maka nilai a dan b adalah A. 3 dan 8 C. 2 dan 5 B. 3 dan 8 D. 5 dan -2

10. Fungsi f ditentukan dengan rumus f(x) = ax + b. Bila f(2) = 1 dan f(4) = 7, maka nilai a + 2b adalah A. -7 C. 2 B. -2 D. 7

11. Diketahui f(x) = px + q, f(-1) = -5, dan f(4) = 5. Nilai f(-6) adalah A. 15 C. 7 B. -9 D. 10

12. Suatu fungsi didefinisikan dengan rumus f(x) = mx + n, f(0) = 4, dan f(-1) = 1. Maka nilai f(-3) adalah A. 13 C. 5 B. -5 D. 13

13. Koordinat titik potong fungsi g(x) = 20 5x dengan sumbu y adalah A. (0, 20) C. (4, 0) B. (20, 0) D. (0, 4)

B. Jawablah pertanyaan di bawah ini dengan tepat!

1. Suatu fungsi dirumuskan f:x 3x 2 jika f(a) = 13, maka nilai a adalah

2. Diketahui fungsi f(x) = 2x 2x 12. Nilai dari f( ) =

x21

21

3. Fungsi f didefinisikan dengan rumus f(x) = px + q, f(3) = -10, dan f(-2) = 0. Maka nilai f(-7) adalah

4. Diketahui f(x) = px + q, f(-2) = -13, dan f(3) = 12. Nilai f(5) adalah

A. Menggambar Grafik Persamaan Garis Bentuk Umum persamaan garis: y = mx + c.

Contoh Soal: Gambar persamaan garis 3x 4y + 24 = 0 adalah Penyelesaian: 3x 4y + 24 = 0 3x 4y = 24

3x 4y = 24 x 0 8 y 6 0 (x, y) (0,6) (8,0)

Titik (0, 6) dan (8, 0).

B. Menentukan Kemiringan/Gradien Suatu GariS

1. Gradien dari Persamaan Garis

Garis miring ke kanan, gradien positif

Garis miring ke kiri, gradien negatif

Gradien m =

Contoh Soal: 1. Gradien garis dengan persamaan 4x 2y + 8 = 0 adalah

Penyelesaian: 4x 2y + 8= 0 2y = 4x 8

y =

y = 2x + 4

m = 2

Gradien garis dengan persamaan 4x 2y + 8 = 0 adalah 2 2. Gradien garis dengan persamaan 3x + 2y = 6 adalah

Penyelesaian: 3x + 2y = 6 2y = 3x + 6

y =

x

ykomponen komponen

284

x

263 + x

Gambar grafiknya:

-8

6

y

x

Bentuk: ax + by + c = 0

m = ba

y = x + 3

m =

Gradien garis dengan persamaan 3x + 2y = 6 adalah

2. Gradien Melalui Dua Titik (x1, y1) dan (x2, y2)

Contoh Soal: 1. Gradien garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah

Penyelesaian: Garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah:

x1 y1 x2 y2

Gradien garis yang melalui titik (2 , -6) dan (-2, 4) adalah

23

23

23

25

410

22)6(4

12

12=

=

=

=

xx

yym

25

Gradien m = 12

12

xx

yy



Gradien garis pada gambar di samping adalah

A. C.

B. D.

2. Gradien garis yang melalui titik (-3, 4) dan (-8, -6) adalah A. 10 C. -2 B. 2 D. -10

3. Gradien garis dengan persamaan y 3x

= 2 adalah A. -6 C. 3 B. -3 D. 6

4. Gradien garis 2y + x 4 = 0 adalah

A. C.

B. D.

5. Gradien garis dengan persamaan 4x y + 8 = 0 adalah

A. -4 C.

B. D. 4

6. Gradien garis dengan persamaan 5y = 7 2x adalah

A. 2 C.

B. D.

7. Gradien garis 4x 6y = 24 adalah

A. C.

B. D.

8. Gradien garis -3x 2y = 7 adalah

A. C.

B. D.

9. Gradien garis 2x y = 2 adalah

A. C. 1

B. D. 2

10. Gradien garis x 3y = -6 adalah

25

52

52

25

21

21

41

41

21

41

41

21

52

52

212

23

32

32

23

23

23

32

37

21

21


A. -3 C.

B. D. 3

C. Menentukan Persamaan Garis 1. Persamaan Garis yang Melalui Sebuah titk (x1, y1) dengan gradien m

Contoh Soal:

1. Persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dengan gradien m = 4 adalah

Penyelesaian: Titik (3, 2) dan gradien m = 4 x1 = 3 ; y1 = 2 dan m = 4 Persamaan garis : y y1 = m (x x1) y (2) = 4 (x 3) y + 2 = 4x 12 y = 4x 12 2 y = 4x 14

2. Persamaan garis melalui titik (4, 3) dengan gradien 2 adalah

Penyelesaian: Titik (4, 3) dengan gradien m = 2 x1 = 4 ; y1 = 3 dan m = 2 Persamaan garis : y y1 = m (x x1) y 3 = 2 (x (4) y 3 = 2 (x + 4) y 3 = 2x + 8 2x + 8 = y 3 2x y + 8 + 3 = 0 2x y + 11 = 0

2. Persamaan Garis melalui Dua Titik (x1, y1) dan (x2, y2)

31

31

y y1 = m(x x1)

Smart Solution:

y = mx + c

2 = 4(3) + c

2 = 12 + c

c = 2 12

c = 14

Jadi : y = mx + c

y = 4x 14

Smart Solution:

(x1 x2).y = (y1 y2).x + [(x1 y2) (y1 x2)

Rumus Biasa:

The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again.

Smart Solution:

y = mx + c

3 = 2(4) + c

3 = 8 + c

c = 3 + 8

c = 11

Jadi : y = mx + c

y = 2x+ 11

2x+ 11 = y

2x y + 11 = 0

Contoh Soal:

1. Persamaan garis yang melalui titik (3,6) dan (1,4) adalah Penyelesaian: Cara Biasa: Titik (3 , 6) dan (1, 4)

x1y1x2y2

=

=

=

=

4.(y 6) = 2(x + 3) 4y 24 = 2x 6 4y + 2x = 6 + 24 4y + 2x = 18 2x + 4y = 18 (sama-sama bagi 2) x + 2y = 9

3. Persamaan Garis Melalui (x1, y1) dan Sejajar dengan Garis y = mx + c

Contoh Soal:

1. Persamaan garis melalui titik (-3, 2) dan sejajar dengan garis 2x + 3y = 6 adalah Penyelesaian: Cara Biasa: Gradien garis 2x + 3y = 6 adalah : 2x + 3y = 6 3y = 2x + 6

y =

y = x + 2

m1 =

12

1

yyyy

12

1

xx

xx

646

y)3(1)3(

x

26

y313

+

+x

26

y4

3+x

362 + x

32

32

Smart Solution:

(x1 x2).y = (y1 y2).x + [(x1 y2) (y1 x2)

(3 1).y = (6 4).x + [(34) (6 1)

4y = 2x + [12 6]

4y = 2x 18

2x + 4y = 18 (sama-sama bagi 2)

x + 2y = 9

Syarat dua garis sejajar:

m1 = m2

Persamaan Garis:

y y1 = m(x x1)

Smart Solution:

Titik (-3, 2) berarti x1 = 3 ; y1 = 2

Sejajar garis 2x + 3y = 6

Persamaan garis:

2x + 3y = 2(x1) + 3(y1)

2x + 3y = 2(3) + 3(2)

2x + 3y = 6 + 6

2x + 3y = 0

Karena sejajar berarti m1 = m2 = Titik (-3, 2)

x1y1 Persamaan garis:

y y1 = m (x x1) y 2 = (x (3)

3.(y 2) = 2.(x + 3) 3y 6 = 2x 6 2x + 3y = 6 + 6 2x + 3y = 0

4. Persamaan Garis yang Melalui (x1, y1) dan Tegak Lurus dengan Garis y = mx + c

Contoh Soal:

1. Persamaan garis melalui titik (-4, -2) dan tegak lurus dengan garis 2x + 6y 12 = 0 adalah ....

Penyelesaian Cara Biasa: Gradien garis 2x + 6y 12 adalah: 2x + 6y = 12 6y = 2x + 12

y =

y = x + 2

m1 =

Syarat dua garis tegak lurus: m1m2 = 1

m2 = 1

m2 = 1 3 m2 = 3

32

32

6122 + x

62

31

62

=

31

Syarat Dua Garis Tegak Lurus:

m1 m2 = 1

Persamaan Garisnya:

y y1 = m(x x1)

Titik (4, 2) berarti x1 = 4 ; y1 = 2

Persamaan garis:

y y1 = m (x x1)

y (2) = 3.(x (4)

y (2) = 3.(x + 4)

y + 2 = 3x + 12

y = 3x + 12 2

y = 3x + 10

5.

Persamaan Garis Berdasarkan Grafik melalui titik (x1, y1)

Contoh Soal:

Perhatikan gambar !

Persamaan garis pada gambar adalah

Penyelesaian:

x1 = 4 dan y1 = 3 y1.x + x1.y = x1 . y1 3x 4y = 4 . 3 3x 4y = 12

Smart Solution

y1.x + x1.y = x1 . y1


1. Persamaan garis lurus yang melalui titik (0, 3) dengan gradien -2 adalah A. y = -2x 3 B. y = 2x + 3 C. 2x y = 3 D. y + 2x = 3

2. Persamaan garis yang melalui titik pangkal koordinat dan titik A(3, 4) adalah

A. y = x + 4 C. y = x + 4

B. y = x D. y = x

3. Persamaan garis lurus yang melalui titik (7, 4) dan (9, 6) adalah A. y = 5x + 39 B. 5x y = 39 C. y = 5x 39 D. 5x + y = 39

4. Persamaan garis yang melalui titik (1, 2) dan sejajar dengan garis yang persamaannya y= 2x + 1 adalah A. y = 2x 3 C. y = 2x + 4 B. y = 2x + 3 D. y = 2x 4

5. Persamaan garis yang melalui titik (2,5) dan sejajar dengan garis yang persamaannya 3x 2y 6 = 0 adalah

A. y = x + 5 C. y = x + 5

B. y = x + 8 D. y = x + 8

6. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 5) dan sejajar garis x 3y + 2 = 0 adalah A. 3x y = 17 C. x 3y = -17

B. 3x + y = 17 D. x + 3y = -17

7. Dari garis-garis dengan persamaan: I. y 5x + 12 = 0 II. y + 5x 9 = 0 III. 5yx 12 = 0 IV. 5y + x + 9 = 0 Yang sejajar dengan garis yang melalui titik (2, 1) dan (3, 6) adalah A. I C. III B. II D. IV

8. Persamaan garis melalui titik (2, 1) dan tegak lurus dengan garis y = 2x + 5 adalah A. 2x + y = 0 C. x + 2y = 0 B. 2x y = 0 D. x 2y = 0

9. Diketahuigaris-garis dengan persamaan: (i) 2y 3x + 10 = 0 (ii) 3y + 2x 15 = 0 (iii)3y 2x 5 = 0 (iv) 4y + x + 5 = 0 Pasangan garis yang saling tegak lurus adalah A. (ii) dan (iii) C. (i) dan (ii) B. (ii) dan (iv) D. (i) dan (iii)

10. Garis g tegak lurus dengan garis yang persamaannya 2y 3x = 6. Gradien garis g adalah

A. C.

B. D.

43

34

34

43

32

23

32

23 2

3

32

32

23



1. Gradien garis yang tegak lurus dengan garis 3x + 5y + 20 = 0 adalah

2. Persamaan garis yang sejajar dengan x + y 2 = 0 dan melalui titik (-5, 0) adalah

3. Persamaan garis yang sejajar dengan garis 2x + 3y + 6 = 0 dan melalui titik (2, 5) adalah

4. Persamaan garis yang melalui titik (-2, 3) dan sejajar dengan garis yang melalui titik (5, 2) dan (-1, -1) adalah

5. Persamaan garis yang melalui titik (6, 1) dan tegak lurus dengan garis y = 3x + 2 adalah

6. Persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan mempunyai gradien adalah

7. Persamaan garis yang melalui titik (5, 4) dan tegak lurus terhadap garis yang melalui titik (1, 3) dan (4, 6) adalah

x + y + 9 = 0

8. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(2, 3) dan tegak lurus terhadap garis dengan persamaan: y = + 9 adalah

53

x32

A. Pengertian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Sistem persamaan linear dua variable adalah dua persamaan linear dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian. Apabila terdapat dua persamaan linear dua variabel yang berbentuk ax + by = c dan dx + ey = f atau biasa ditulis

Maka dikatakan dua persamaan tersebut membentuk sistem persamaan linear dua variabel. Penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel tersebut adalah pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

B. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

1. Metode Grafik Contoh Soal: Dengan metode grafik, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua

variabel . Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian: Untuk memudahkan menggambar grafik dari x + y = 5 dan x y = 1, buatlah tabel nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut x + y = 5 x 0 5 y 5 0 (x, y) (0,5) (5,0)

x y = 1 x 0 1 y 1 0 (x, y) (0,1) (1,0)

Dari gambar tampak bahwa koordinat titik potong kedua garis adalah (3, 2). Jadi, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x y = 1 adalah {(3, 2)}.

2. Metode Eliminasi Contoh Soal: Dengan metode eliminasi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua


Penyelesaian: 2x + 3y = 6 dan x y = 3 Langkah I (Eliminasi variabel y)

=+

=+

fey dx cby ax

=

=+

1 5

yxyx

=

=+

3 632

yxyx

- x , y disebut variabel

- a, b, d, f disebut keifisien

- c , f disebut konstanta

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 1

x + y = 5

x y = 1

Y

X

Untuk mengeliminasi variabel y, koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x y = 3 dikalikan 3. 2x + 3y = 6 1 2x + 3y = 6 x y = 3 3 3x 3y = 9 2x 3x = 6 9 x = 3 x = 3

Langkah II (Eliminasi variabel x) Untuk mengeliminasi variabel x, koefisien x harus sama, sehingga persaman 2x + 3y = 6 dikalikan 1 dan persamaan x y = 3 dikalikan 2.

2x + 3y = 6 1 2x + 3y = 6 x y = 3 2 2x 2y = 6 3y (2y) = 6 6 5y = 0

y =

y = 0

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 0)}.

3. Metode Substitusi Contoh Soal: Dengan metode substitusi, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua


Penyelesaian: Persamaan (1) 2x + 3y = 6 Persamaan (2) x y = 3 x = y + 3 Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) 2x + 3y = 6 2(y + 3) + 3y = 6 2y + 6 + 3y = 6 2y + 3y = 6 6 5y = 0

y =

y = 0

Selanjutnya substitusi nilai y = 0, ke persamaan (2) y = 0 x = y + 3

x = 0 + 3 x = 3


50

=

=+

3 632

yxyx

50

4. Metode Gabungan Cara Cepat: Persamaan 1 adalah A1x + B1y = C1 Persamaan 2 adalah A2x + B2y = C2

maka:

Untuk mencari nilai y kita substitusi nilai x yang telah didapat ke persamaan 1 atau persamaan 2.

Contoh Soal: 1. Dengan metode gabungan, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear

dua variabel . Jika x, y variabel pada himpunan bilangan real.

Penyelesaian: Cara Pertama: Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi dan substitusi, diperoleh: 2x + 3y = 6 1 2x + 3y = 6 x y = 3 2 2x 2y = 6 3y (2y) = 6 6 5y = 0

y = = 0

Selanjutnya substitusi nilai y = 0 ke x y = 3

x 0 = 3 x = 3


Cara Kedua:

Persamaan 1 adalah 2x + 3y = 6 A1x + B1y = C1 Persamaan 2 adalah x y = 3 A2x + B2y = C2

maka:

Selanjutnya substitusi nilai x = 3 ke x y = 3

3 y = 3 y = 3 3 y = 0


2. Penyelesaian sistem persamaan 2x + 4y + 2 = 0 dan 3x y 11 = 0 adalah x1 da y1. Nilai x1 + y1 adalah A. -5 B. -1 C. 1 D. 5

( ) ( )( ) ( )2112

1221

BABACBCB

x

=

=

=+

3 632

yxyx

50

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 35

152369

2369

12316133

==

+

+=

=

=x

Kunci jawaban : C Penyelesaian: Persamaan (1) 2x + 4y + 2 = 0 2x + 4y = 2 Persamaan (2) 3x y 11 = 0 3x y=11

2x + 4y = 2 3 6x + 12y= 6 3x y = 11 2 6x 2y= 11 14y= 28 14y = 28

y =

y1 = 2

Substitusi nilai y1 = 2 ke: 2x + 4y = 2 2x + 4.(2) = 2 2x 8 = 2 2x = 2 + 8 2x = 6

x =

x1 = 3

Jadix1 + y1 = 3 + (2) = 1


1. Penyelesaian sistem persamaan x y = 12 dan x + y = 6 adalah A. (3, -9) C. (3, 9) B. (9, -3) D. (-9, 3)

2. Nilai y yang merupakan penyelesaian dari 3x y = 12 dan x + 4y = 17 adalah A. 3 C. 6 B. 5 D. 7

3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x 2y = 10 dan 3x + 2y = -2 adalah A. {(2, 4)} C. {(2, 4)}

B. {(2,4)} D. {(2,4)}

4. Nilai x yang merupakan penyelesaian dari 2x 5y = 2 dan 5x + 2y = 34 adalah A. 2 C. 6 B. 4 D. 8

5. Penyelesaian sistem persamaan 3x 2y = 12 dan 5x + y = 7 adalah x = p dan y = q. Nilai dari 4p + 3q adalah A. 17 C. 10 B. 1 D. 17

1428

36

Uji Kompetensi Siswa

6. Dari sistem persamaan 3x + 2y = 8 dan x 5y = 37, nilai 6x + 4y adalah A. 30 C. 16 B. 16 D. 30

7. Penyelesaian sistem persamaan dari 2x + 3y = 26 dan 3x + 4y = 37 adalah x dan y. Nilai x y adalah A. 3 C. 5 B. 4 D. 6

8. Himpunan penyelesaian sistem persamaan 2x + 3y = 19 dan x y = 8 adalah {(x,y)}. Nilai x 7y = A. 50 C. 40 B. 40 D. 50

9. Diketahui persamaan y = ax + b. Jika y = 3 untuk x = 1 dan y = 9 untuk x = 3, maka nilai 3a + 2b adalah A. 9 C. 0 B. 3 D. 6

10. Diketahui sistem persamaan 2x + y = 13 dan 3x 2y = 2. Nilai 7x + 3y adalah A. 47 C. 35 B. 43 D. 19

11. Himpunan penyelesaian sistem persamaan 3x + 2y = 19 dan 2x y = 1 adalah {(x,y)}. Nilai 4x 5y = A. 18 C. 12 B. 13 D. 22


1. Diketahui sistem persamaan 2x 3y = 18 dan x + 4y = 2. Nilai x + y =

2. Penyelesaian dari sistem persamaan x 3y = 1 dan x 2y = 2 adalah

3. Penyelesaian dari sistem persamaan y = 2x + 5 danx + 3y = 1 adalah

4. Jika x dan y merupakan penyelesain dari 4x + y = 7 dan x + 2y = 5, maka nilai 3x y adalah

5. Penyelesaian dari 2x + 3y = 10 dan 3x + y = 4 adalah x = a dan y = b. Nilai dari a 2b =

C. Membuat Model Matematika Dan Menyelesaikan Masalah Sehari-Hari Yang Melibatkan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita sebagai berikut. 1. Mengubah kalimat-kalimat pada soal cerita menjadi beberapa kalimat matematika (model

matematika), sehingga membentuk sistem persamaan linear dua variabel. 2. Menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel. 3. Menggunakan penyelesaian yang diperoleh untuk menjawab pertanyaan pada soal cerita.

Contoh Soal:

1. Harga 3 kemeja dan 2 celana adalah Rp300.000,00, sedangkan 1 kemeja dan 4 celana harus dibayar Rp400.000,00. Harga sebuah kemeja adalah

Penyelesaian: Misalkan: Kemeja = x Celana = y 3 kemeja dan 2 celana adalah Rp300.000,00 3x + 2y = 300.000 1 kemeja dan 4 celana harus dibayar Rp400.000,00 x + 4y = 400.000

3x + 2y = 300.000 2 6x + 4y = 600.000 x + 4y = 400.000 1 x + 4y = 400.000

5x = 200.000

x =

x = 40.000 Jadi harga sebuah kemeja (x) adalah Rp40.000,00

2. Jumlah dan selisih dua buah bilangan masing-masing 12 dan 4. Selisih kuadrat kedua bilangan itu adalah

Penyelesaian: Misalkan: bilangan 1 = x bilangan 2 = y Jumlah dua buah bilangan 12 x + y = 12 Selisih dua buah bilangan 4 x y = 4 x + y = 12 x y = 4 + 2x = 16 x = 8

Selisih kuadrat = 82 42 = 48

5000.200

Substitusi nilai x = 8

ke x + y = 12

8 + y = 12

y = 12 8

y = 4


1. Jumlah dua bilangan cacah adalah 34 dan selisih kedua bilangan itu adalah 4. Hasil kali kedua bilangan itu adalah A. 130 C. 140 B. 135 D. 145

2. Harga 2 pasang sepatu dan 3 pasang sandal adalah Rp 175.000,00 sedangkan harga 3 pasang sepatu dan 4 pasang sandal adalah Rp 255.000,00. Harga sepasang sepatu dan 2 pasang sandal adalah A. Rp71.000,00 C. Rp95.000,00 B. Rp90.000,00 D. Rp105.000,00

3. Harga 3 buah CD dan 4 buah kaset adalah Rp 230.000,00. Sedangkan harga 2 buah CD dan 5 buah kaset yang sama adalah Rp 200.000,00. Harga 4 buah CD dan 5 buah kaset adalah A. Rp 250.000,00 C. Rp 400.000,00 B. Rp 300.000,00 D. Rp 460.000,00

4. Pada sebuah toko, Hida dan Anis membeli terigu dan beras dengan merk yang sama. Hida membeli 6 kg terigu dan 10 kg beras seharga Rp 84.000,00, sedangkan Anis membeli 10 kg terigu dan 5 kg beras seharga Rp 70.000,00. Harga 8 kg terigu dan 20 kg beras adalah A. Rp 152.000,00 C. Rp 128.000,00 B. Rp 130.000,00 D. Rp 120.000,00

5. Harga 4 kg gula pasir dan 3 liter minyakgorengadalah Rp 40.000,00, sedangkan harga 3 kg gula pasir dan 2 liter minyak goreng adalah Rp 28.500,00. Harga 2 kg gula pasir adalah A. Rp 11.000,00 C. Rp 12.000,00 B. Rp 11.500,00 D. Rp 12.500,00

6. Besar uang Agnes adalah 4 kali uang Ketut, sedangkan selisih uang Agnes dan Ketut adalah Rp Rp 36.000,00. Jumlah uang Agnes dan Ketut adalah A. Rp 45.000,00 C. Rp 60.000,00 B. Rp 48.000,00 D. Rp 72.000,00

7. Di lapangan parkir terdapat 105 kendaraan yang terdiri dari sepeda motor dan mobil. Jika jumlah roda seluruh kendaraan tersebut (tanpa ban serep) adalah 290 roda, maka banyaknya mobil di tempat parkir tersebut adalah A. 35 C. 60 B. 40 D. 70

8. Harga dua baju dan satu kaos Rp 170.000,00, sedangkan harga satu baju dan tiga kaos Rp 185.000,00. Harga tiga baju dan dua kaos adalah A. Rp 275.000 C. Rp 475.000 B. Rp 375.000 D. Rp 575.000

9. kali harga sebuah komputer. Harga 5 buah computer dan 2 buah mesin foto copy adalah Rp 60.000.000,00. Harga sebuah mesin foto copy tersebut adalah A. Rp 20.000.000 C. Rp 30.000.000 B. Rp 25.000.000 D. Rp 35.000.000

10. Di dalam kandang terdapat bebek dan kambing sebanyak 15 ekor. Jika banyak kakinya ada 40 buah, maka banyaknya kambing adalah ekor. A. 4 C. 6 B. 5 D. 10

Soal Persamaan Linier Dua Variabel

A. TEOREMA PYTHAGORAS

Teorema Pythagoras: AC2 = AB2 + BC2 b2 = a2 + c2 AB2 = AC2 BC2 a2 = b2 c2 BC2 = AC2 AB2 c2 = b2 a2

Teorema Pythagoras: PR2 = PQ2 + RQ2 q2 = r2 + p2 PQ 2 = PR2 RQ2 r2 = q2 p2 RQ2 = PR 2 PQ 2 p2 = q2 r2

Contoh Soal:

1. Perhatikan gambar dan pernyataan berikut.

(1) a2 = b2 c2 (2) b2 = a2 + c2 (3) c2 = a2 + b2 (4) a2 = c2 b2

Pernyataan yang benar adalah .... A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4)

Kunci jawaban : A Sisi miring pada segitiga panjangnya adalah b satuan Sehingga b2 = a2 + c2 atau a2 = b2 c2

a

c

b

A B

C

b

c

a

P Q

R

q

r

p

SOAL ULANGAN HIMPUNAN BAGIAN 1

C.

Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1.

Perhatikan gambar dibawah ini!

Pernyataan-pernyataan di bawah ini yang benar untuk segitiga siku-siku ABC adalah A.

c2 + a2 = b2 C. c2 + b2 = a2

B.

c2 b2 = a2 D. a2 + b2 = c2

2.

Segitiga PQR siku-siku di Q, jika PQ = 4 cm dan PR = 5 cm, maka panjang QR adalah A.

3 cm C. 16 cm B.

9 cm D. 20 cm

3.

Panjang hipotenusa segitiga siku-siku adalah 30 cm, jika panjang salah satu sisinya 18 cm, maka panjang sisi lainnya adalah A.

6 cm C. 24 cm B.

8 cm D. 35 cm

4.

Panjang hipotenusa sebuah segitiga siku-siku samakaki dengan panjang sisi siku-siku 5 cm adalah A.

cm C. cm B.

cm D. cm

5.


Nilai x pada gambar di bawah adalah A.

cm C. cm B.

cm D. cm

6.


Dalil Pythagoras pada gambar di atas adalah A.

a2 = b2 + c2 C. b2 = a2 + c2

B.

a2 = c

2 b2 D. b2 = a2 c2

7.


Panjang BD pada gambar di bawah ini adalah A.

10 cm C. 34 cm B.

26 cm D. 36 cm

5 7550 125

10 2012 40

B. TRIPEL PYTHAGORAS

Contoh Soal:

1. Perhatikan bilangan-bilangan berikut : (1) 13, 12, 5 (2) 6, 8, 11 (3) 7, 24, 25 (4) 20, 12, 15 Bilangan-bilangan di atas, yang merupakan tripel Pythagoras adalah A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4)

Kunci jawaban: B (1) 132 = 122 + 52

169 = 144 + 25 169 = 169 Jadi 13, 12, 5 merupakan tripel Pythagoras

(3) 252 = 242 + 72 625 = 576 + 49 625 = 625 Jadi 7, 24, 25 merupakan tripel Pythagoras

Jawaban yang benar (1) dan (3)

2. Perhatikan ukuran-ukuran segitiga berikut ini (1) 4 cm, 5 cm, 6 cm (2) 17 cm, 15 cm, 8 cm (3) 8 cm, 10 cm, 12 cm (4) 25 cm, 7 cm, 24 cm Yang merupakan segitiga siku-siku adalah A. (1) dan (2) B. (1) dan (3) C. (2) dan (3) D. (2) dan (4)

Kunci jawaban: D Segitiga siku-siku dapat dibentuk apabila panjang sisi-sinya merupakan tripel pythagoras. (2) 172 = 152 + 82

289 = 225 + 64 289 = 289 Jadi 17, 15, 8 merupakan tripel Pythagoras

(4) 252 = 72 + 242 625 = 46 + 576 625 = 625

Jadi 25, 7, 24 merupakan tripel Pythagoras

SOAL ULANGAN HIMPUNAN BAGIAN 1

D. Pilihlah jawaban yang paling tepat dengan memberi tanda silang (X) pada huruf a, b, c atau d!

1. Rangkaian bilangan berikut merupakan panjang sisi-sisi sebuah segitiga: (i) 8 cm, 15 cm, 19 cm (ii) 12 cm, 16 cm, 20 cm (iii)15 cm, 20 cm, 30 cm (iv) 7 cm, 10 cm, 12 cm Yang merupakan segitiga siku-siku adalah A. (ii) dan (iv) C. (i) dan (iii) B. (ii) dan (iii) D. (i) dan (iv)

2. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah A. 12, 13, 6 C. 24, 5, 25 B. 14, 48, 50 D. 10, 6, 7

3. Diketahui ukuran-ukuran sisi segitiga sebagai berikut : (i). 5, 9, 13 (ii). 5, 12, 13 (iii) 7, 24, 25 (iv) 7, 24, 26 Dari ukuran-ukuran segitiga di atas, yang dapat membentuk segitiga siku-siku adalah A. (i) dan (ii) C. (iii) dan (iv) B. (ii) dan (iv) D. (ii) dan (iii)

4. Pasangan tiga bilangan di bawah ini yang merupakan tripel Pythagoras adalah A. 4, 3, 6 C. 6, 8, 11 B. 5, 3, 4 D. 8, 10, 12

5. Perhatikan gambar dibawah ini!

Panjang sisi segitiga PQR pada gambar di atas ini adalah 8 cm, maka panjang QB adalah C. cm C. cm D. cm D. cm

6. Dari segitiga berikut yang merupakan segitiga siku-siku adalah segitiga dengan panjang sisi A. 6 cm, 8 cm, dan 10 cm B. 10 cm, 12 cm, dan 14 cm C. 10 cm, 15 cm, dan 20 cm D. 7 cm, 15 cm, dan 18 cm

21

21

48 3040 20

Documents

mtk