Métodos Matemáticos I - UVa

La ecuación ’test’

E. de Ingenierías Industriales 2012-13

Métodos Matemáticos I

Jesús Rojo

08. Estabilidad lineal


Parte 2. Estabilidad lineal y métodos para ecuaciones’stiff’Estabilidad linealEstabilidad no lineal






1 La ecuación ’test’



Comenzamos el estudio de un tipo de estabilidad para los sistemasy ecuaciones lineales que recibe el nombre de estabilidad lineal.En general los sistemas que se presentan en los fenómenos físicos,químicos, mecánicos, económicos, etc. no son nunca lineales,porque los fenómenos ’naturales ’ son mucho más complejos que loque expresa la simple linealidad. Sin embargo, muchas veces laaproximación lineal es importante; a veces es un buen modelo parael fenómeno; otras veces es una aproximación que orienta elverdadero desarrollo, aunque no contenga toda su diversidad. Sesuele hablar de la primera aproximación para referirse a laaproximación lineal de un fenómeno más complejo.



A veces esta primera aproximación describe casi exactamente unfenómeno; en ese caso poder resolverlo exacta o numéricamentedeja el problema resuelto casi por completo. Otras veces laaproximación no es del todo exacta, aunque las líneas de laaproximación lineal guíen el desarrollo del fenómeno. Finalmente,hay ocasiones en que las direcciones del modelo lineal y del modelocompleto son divergentes. Y, naturalmente, este último caso es elque plantea problemas más difíciles de abordar con las herramientasmatemáticas.Hablaremos un capítulo más tarde de esta disparidad entre unmodelo y su versión lineal.

Lo que ahora vamos a ver es que los sistemas lineales, o sea,

y′ = Ay ,

(autónomos, claro) con A una matriz constante y m ×m,



y para m = 1 la ecuación lineal escalar autónoma

y ′ = λ y

o no autónomay ′ = λ y + g(x) ,

a pesar de su sencillez, no siempre son ’bien tratados’ por losmétodos numéricos.Hablaremos de ’stiff’ (así, con esta palabra inglesa) o rígidos parareferirnos a estas ecuaciones y sistemas que se integran condificultad con buena parte de los métodos que hemos estudiado.Aunque la ’stiffness’ o rigidez es, como veremos, una propiedad queno es de sí o no, sino cuantitativa, lo que nos hará hablar deecuaciones más o menos stiff.

Comenzaremos por mostrar algunos ejemplos sencillos de lo quequeremos decir.



Los ficheros elaborados en ’Maple’ con los nombresEuleryStiff1.mws, EuleryStiff2.mws y EuleryStiff3.mwsnos enseñan lo que ocurre cuando integramos con el método deEuler dos problemas bien sencillos y de solución sencilla ycompletamente conocida. El primero y el tercero lo hacen parael problema escalar lineal autónomo

y ′ = −110 y ,y el segundo para la ecuación lineal no autónoma

y ′ = −50 (y − cos(x)) .

En ambos casos, un paso de tamaño adecuado no es suficiente.La mala integración sólo se arregla cuando hacemos el pasobastante más pequeño.Y el culpable no es, como veremos, el bajo orden del método deEuler; ocurre lo mismo para métodos de orden más elevado.Y, además, el método implícito de Euler, que es también deorden 1 no presenta estos problemas, como también se muestra.



Las gráficas más relevantes son, para y ′ = −110 y con Euler

en las que se ve que la solución numérica es ’errante’ hasta queun paso, en este caso de 0.005, la lleva a la proximidad de laverdadera solución.



Sin embargo, el método implícito de Euler (precisamente por serimplícito) a pesar de ser del mismo orden, aproximarazonablemente la solución con el mayor paso de los anteriores.

Obsérvese que la separación de la solución es razonable cuandosólo se están dando 4 pasos en el 1ntervalo [0, 0.2] mostrado.



También para y ′ = −50 (y − cos(x)) con Euler ocurre el mismofenómeno



Y de nuevo el método implícito de Euler lo soluciona incluso conel mayor paso de los anteriores.




Una de las conclusiones que resultarán al final de este capítulo esque la sencilla ecuación escalar autónoma

y ′ = λ y

permite comprobar la estabilidad lineal de los métodos numéricos.Pero también explicaremos que es imprescindible tratar esta con λcomplejo, que es lo que supondremos de ahora en adelante. Laecuación precedente, con λ ∈ C se denomina ecuación test deDahlquist; si la hacemos acompañar (por simplicidad) de lacondición inicial y(0) = 1, el problema resultante tiene ay(x) = eλ x como única solución en [0,+∞] o en cualquierintervalo [0, b] que nos parezca oportuno.



Esta ecuación test tenía un comportamiento stiff bastante acusadocuando λ = −110, como ya hemos vieto en un ejemplo. Y enrealidad es así siempre que λ sea un número real negativo demódulo algo grande. Generalmente se expresa esto con

λ << 0 ,

de significado bastante obvio. La causa es que, entonces, lasolución decae rápidamente (exponencialmente) hacia 0.Pero si λ es complejo lo que equivale a lo anterior es que

<(λ) << 0 ;

esto es así porque y(x) = eλ x = e<(λ) x e i =(λ) x y la parte e i =(λ) x

es de módulo 1 siempre. El decaimiento a 0 depende entonces sólode la otra parte.



¿Qué valores proporciona el método de Euler

yn+1 = yn + h f (yn) ,

para el problema dado por la ecuación test? Como f (y) = λ y ,lo que resulta es

yn+1 = (1 + h λ) yn ,

o sea, queyn = (1 + h λ)n

(recuérdese que y0 = y(0) = 1), como se sigue fácilmente porrecurrencia.Cuando <(λ) << 0 y la solución exacta y(x) = eλ x decae enmódulo exponencialmente a 0, la aproximación numérica sólosigue el mismo camino cuando

|1 + h λ| < 1 ;



Por el contrario, la situación en que |1 + h λ| > 1 hace que elmódulo de yn = (1 + h λ)n tienda a infinito, separándose de lasolución exacta de forma ’brutal’. Si |1 + h λ| = 1 la soluciónnumérica no tiende a infinito, aunque tampoco decae a 0, sino quese mantiene de módulo 1 constantemente. Se suele añadir estecaso al primero o al segundo según interese.Examinando el valor de 1 + h λ para λ ∈ C, con <(λ) << 0, yh > 0, es fácil ver que, para el funcionamiento correcto (o sea|1 + h λ| < 1) de la solución numérica, es obligado mantener h envalores pequeños. Por ejemplo, para nuestra ecuación y ′ = −110 yel ejemplo visto en EuleryStiff1.mws muestra que h debe estaren un intervalo (0, h0] para un valor h0 entre 0.01 y 0.05; unexamen más cuidadoso muestra que h0 ∼ 0.018.



Es evidente que la conveniencia de optimizar operaciones yevaluaciones de f llevan a la búsqueda de métodos que no tenganesta dificultad que el método de Euler presenta para losproblemas stiff. Los métodos implícitos que hemos visto hacepoco van en este sentido.Los ejemplos de EuleryStiff2.mwsy EuleryStiff3.mwsdejaban ver que el método implícito de Euler, en su formaexacta, no exigía tomar h pequeño salvo por el objetivo delacercamiento a la solución exacta, sobre todo a causa de suorden un poco bajo.En lo que sigue vamos a ver que la dualidad métodosexplícitos-métodos implícitos de Runge-Kutta es la clave delos comportamientos acerca de la estabilidad lineal, o sea, de loscomportamientos de cara a los problemas stiff.



Aparcamos el método de Euler para probar lo que ocurre enotros casos. Fijémonos en el ’método del punto medio’ que seescribía como

k1 = f (xn, yn) ,k2 = f (xn + 1

2 h, yn + 12 h k1)

yn+1 = yn + h k2) .

Para la ecuación test y ′ = λ y con f (y) = λ y vamos teniendo

k1 = λ yn ,k2 = λ (yn + 1

2 h k1) = λ (1 + 12 h λ) yn ,

y, finalmente,yn+1 = yn + h k2 = (1 + h λ+ 1

2 h2 λ2 ) yn ,

por lo que yn = (1 + h λ+ 12 h2 λ2 )n y0 .

Similar al de Euler, pero 1 + h λ ha sido reemplazado por

1 + h λ+ 12 h2 λ2 .



Lo más importante que el desarrollo anterior es que la expresión aconsiderar (1 + h λ o 1 + h λ+ 1

2 h2 λ2, dependiendo del caso)contiene h y λ siempre emparejadas. Para un método convendríatal vez decir lo que debe suceder con h; pero eso no es en principioposible (ya que depende del valor de λ). Lo único que es posible esconcluir lo que debe ocurrir con

z = h λ ,

para luego, si es que conocemos el problema, o sea λ, hacerprecisiones sobre h.Mantendremos siempre esta variable z = h λ agrupada. Estavariable, producto de h > 0 y de λ ∈ C toma valores complejos.Para los métodos vistos hemos tenido

yn+1 = r(z) yn y yn = r(z)n y0



conr(z) = 1 + z

en el caso de Euler, y

r(z) = 1 + z + 12 z2

en el caso del ’método del punto medio’.Llamaremos función de estabilidad a la función r(z) , z = hλpara la que

yn+1 = r(z) yn y yn = r(z)n y0

En el caso de Euler r(z) = 1 + z , en el ’del punto medio’r(z) = 1 + z + 1

2 z2; otros métodos traerán diferentes funcionesde estabilidad, no siempre polinómicas.


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