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Métodos Matemáticos I. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden. Introducción Casos simples de reducción del orden Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes - PowerPoint PPT Presentation
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1. Introducción
2. Casos simples de reducción del orden
3. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
4. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes constantes
5. Ecuaciones lineales no homogéneas con coeficientes variables
6. El método de las series de potencias
2
0 0
0 0
Sea la ecuación diferencial
0.
Si 0 es un punto singular regular,
entonces
y
para .
Suponemos que la ecuación indicial
1 0
tiene dos raices reales
n nn n
n n
y P x y Q x y
x
xP x P x x Q x Q x
x r
P Q
1
1 2 1 2
1 00
y , con .
Entonces la ecuación diferencial tiene al menos
una solución en serie de Frobenius, dada por
con 0 y 0 ,
y donde los coeficientes se obtienen al sustituir
nn
n
n
y x x a x a x r
a
y
2
1
1 2
20
2
1 2
2 1
en la ecuación.
1. Si no es un entero, la segunda solución es
con 0 ,
y donde los coeficientes se obtienen al sustituir
en la ecuación.
2. Si entonces
nn
n
n
x
y x x b x x r
b
y x
y x y
2
0
2
1 2
2 10
ln con 0 ,
y donde los coeficientes se obtienen al sustituir
en la ecuación.
3. Si es un entero, entonces
ln con 0 ,
y donde los coeficientes
nn
n
n
nn
n
x x x b x x r
b
y x
y x ay x x x b x x r
b
2
0 0
y se obtienen al sustituir
en la ecuación.
Se propone
para y 0, que es la llamada
solución en serie de Frobenius.
Sustituyendo en la ecuación diferencial
1
n
n nn n
n n
nn
a
y x
y x x a x a x
x r x
n n a x
2 1 1 2
0 0 0 0 0
1 1 1 1 2
0 0 0 0 0 0
2
0 0 0
0n n n n
n n n nn n n n n
n nn n n m m n
n n n m m n m mn n n m n m
nn n n
n n n m mn n m
P x n a x Q x a x
P x n a x P x m a x m P a x
Q x a x Q a x
2
0
2
0 0
0 0 0 0 0 0
0
0 0
1 0
Para 0, 1 0 0 ó 1 0.
Para 1, 1 0
Por lo tanto,
1
1
n
nn
n n m n m mn m
n
n n m n m mm
n n m
n n a m P Q a x
n P Q a a P Q
n n n a m P Q a
a m Pn n n P Q
1
0
0 1 2 3
0
0 0
1 2
Caso 1. Si 0, entonces .... 0 y 0.
Caso 2. Si 0, entonces
1 0
que es la llamada ecuación indicial, y de la que se obtiene dos raices,
y .
n
n m mm
Q a
a a a a y x
a
P Q
2
2 2 22
0d y dy
x x x ydx dx
2
10
1
! 1 2
n n
n
xy x J x
n n
2
20
11
! 1 2
nn
n
xy x J x
n n
Caso 1. no es un entero
22 2 2
2
2
10
0
1
! 1 2
n n
n
d y dyx x x ydx dx
xy x J x
n n
2 0 0
21
0 0 21
ln 22
1 1 112 2 3ln 1
2 2!
nn
n
y x Y x J x
x xnY x J xn
donde
Caso 2. 0
22 2
2
2
1 0 20
0
1
2!
n n
n
d y dyx x x ydx dx
xy x J x
n
Caso 3a. es un entero, pero es un semi-entero
2
0
1 3 5Si es un número semi-entero , , ,...2 2 2
entonces
112! 1
está bien definido y es la segunda solución.
nn
n
xJ xn n
1) Hay que demostrar que es solución.
2) Hay que demostrar que y
son linealmente independientes
J x
J x
2
0
1 3 5Si es un número semi-entero , , ,...2 2 2
entonces
112! 1
está bien definido y es la segunda solución.
nn
n
xJ xn n
Caso 3a. es un entero, pero es un semi-entero
2
20
11
! 1 2
nn
n
xy x J x
n n
Caso 3a. es semi-entero
22 2 2
2
2
10
0
1
! 1 2
n n
n
d y dyx x x ydx dx
xy x J x
n n
Caso 3b. es un entero
22 2 2
2
2
10
0
1
! 1 2
n n
n
d y dyx x x ydx dx
xy x J x
n n
22 1
0
1 2 es un entero positivo
Una segunda solución linealmente independiente
se obtiene como sigue:
3. Si , entonces
ln
con 0 , y donde los coeficientes y pueden
ser determinados
nn
n
n
y x a y x x x b x
x r b a
2
1
sustituyendo en la ecuación,
una vez que es conocida.
y x
y x
20
0
ln
ln
nn
n
nn
n
y x J x x x b x
J x x b x
Caso 3b. es un entero
20
ln nn
n
y x J x x b x
Caso 3b. es un entero
12
0
2 2
2
0
1ln
1 1ln 2
1
nn
n
nn
n
y x J x x J x n b xx
y x J x x J x J xx x
n n b x
20
12
0
22 2
0
ln
1ln
1 1ln 2 1
nn
n
nn
n
nn
n
y x J x x b x
y x J x x J x n b xx
y x J x x J x J x n n b xx x
Caso 3b. es un entero
2
0
0
2 2 2 2
0 0
ln 2 1
ln
ln ln 0
nn
n
nn
n
n nn n
n n
J x x x J x x J x n n b x
J x x x J x n b x
J x x b x J x x x b x
Caso 3b. es un entero
2
0
0
2 2 2 2
0 0
2 2 2
ln 2 1
ln
ln ln 0
ln ln ln ln
2
1
nn
n
nn
n
n nn n
n n
nn
n
J x x x J x x J x n n b x
J x x x J x n b x
J x x b x J x x x b x
J x x x J x x x J x x J x x x
J x x J x J x
n n b x
2 2
0 0 0 0
0n n nn n n
n n n
n b x b x b x
Caso 3b. es un entero
2 2 2
2 2
2
0
2
0 0 0
2
0
2
ln ln ln ln
2
1 0
ln
2
1
n n n nn n n n
n n n n
nn n
n
J x x J x x J x J x
J x x x J x x x J x x J x x x
J
x
x x
n n b x n b x b x b x
x
x J x
n n
J x J
n x
x
b x b
2
0
2
0 0
0
2 2 0
n
n
n nn n
n n
x J x n n b x b x
Caso 3b. es un entero
2
0 0
20 2
11 2
2 2
11 2
2 2
11
2 2 0
2 2 0
2 1 2 2 0
2 1 2 2 0
2 1 2
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
x J x n n b x b x
x J x n n b x b x
x J x b x n n b x b x
x J x b x n n b x b x
x J x b x n n
22
2 0nn n
n
b b x
2 12
0
1 2 22
0
2
2 2 2
nn
n
nn
n
J x n d x
x J x n d x
22 2 2
0
1con
2 ! !
n
nn n n
n
J x d x dn n
22
20 0
1 1
! 1 2 2 ! 1
n nnn
nn n
xJ x x
n n n n
Caso 3b. es un entero
2 22 1
0
22
2 2 1 2
2 0
nn
n
nn n
n
n d x b x
n n b b x
1 2 22
0
11 2
2
2 2 2
2 1 2 2 0
nn
n
nn n
n
x J x n d x
x J x b x n n b b x
Caso 3b. es un entero
2 22 1 2
0 2
2 2 1 2 2 0n nn n n
n n
n d x b x n n b b x
1
Como es un entero y además 0,
necesariamente 0
b
2 22 2
0 2
2 2 2 0n nn n n
n n
n d x n n b b x
Caso 3b. es un entero
2 22 2
0 2
2 2 2 0n nn n n
n n
n d x n n b b x
2 22
0
22 2 2
1
2 12 1 2 1
1
2 2
2 2 2
2 1 2 1 2 0
nn
n
nn n
n
nn n
n
n d x
n n b b x
n n b b x
Caso 3b. es un entero
2 2 22 2 2 2
0 1
2 12 1 2 1
1
2 2 2 2 2
2 1 2 1 2 0
n nn n n
n n
nn n
n
n d x n n b b x
n n b b x
2 1 2 1
2 12 1
1
2 1
2 1 2 1 2 0
2 1 2 1 2
Como 0, necesariamente
0 para 1,2,3,...
n n
nn
n
n n b b
bb
n n
b
b n
Caso 3b. es un entero
2 2 22 2 2 2
0 1
2 2 2 2 2 0n nn n n
n n
n d x n n b b x
2 22
0
12 2
2 2 2 2 2 21
12 2 2
2
2 2 22 2 2 2 2 2
2 2 2
2
0
0
1
2
2 2
4 4 0
2 2
4
4
4n m
nn
n
n nn n n n
n n
n nn n n
n
n m mn m
n
n
n d x
n n b b x n n b b x
n
n d x n
n b b x
n b b x
n m m mb b x
2 22 2 2 2 2
0
4 0nn n
n
n nb b x
Caso 3b. es un entero
12 2 2
2 2 2 20 1
2 22 2 2 2 2
0
2 22 2 2 2 2 2
0
12
2 2 21
2 2 4
4 0
2 2 4
4 0
n nn n n
n n
nn n
n
nn n n
n
nn n
n
n d x n n b b x
n nb b x
n d n nb b x
n n b b x
Caso 3b. es un entero
1
2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2
0 1
2 2 4 4 0n nn n n n n
n n
n d n nb b x n n b b x
2 2 2
2 22
4 0 1, 2,3,..., 1
1, 2,3,..., 14
n n
nn
n n b b n
bb n
n n
Caso 3b. es un entero
12 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 20 1
2 22
2 2 4 4 0
, 1, 2,3,..., 14
n nn n n n n
n n
nn
n d n nb b x n n b b x
bb n
n n
02 2
0 024 3 3 2 4
0 046 4 6
02 2
2 1
12 2 2 2 2 1 2 2! 2 1
112 1 12 1 2 2! 2 1 2 3! 3 2 1
...
2 ! ... 3 2 1n n
bb
b bbb
b bbb
bb
n n
Caso 3b. es un entero
12 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 20 1
02 2
2 2
2 2 4 4 0
, 1, 2,3,..., 12 ! ... 3 2 1
1
2 ! !
n nn n n n n
n n
n n
n
n n
n d n n b b x n n b b x
bb n
n n
dn n
2 2 0Si tomamos el término : 2x b d
0 0
2 2 2 2 22 2
Si en la fórmula de arriba hacemos 1 tenemos
2 1 !1 2 ... 3 2 1 2 1 !
n
b bb
0
12 1 !
b
Caso 3b. es un entero
2 22 2 2 2 2 2
0
12
2 2 21
02 2
2 2 4
4 0
, 1, 2,3,..., 12 ! ... 3 2 1
nn n n
n
nn n
n
n n
n d n n b b x
n n b b x
bb n
n n
2El coeficiente está indeterminadob
Caso 3b. es un entero
2 22 2 2 2 2 2
0
12
2 2 21
2 2 4
4 0
nn n n
n
nn n
n
n d n n b b x
n n b b x
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 4 0
1,2,3,...
1 2 24
1,2,3,...
n n n
n n n
n d n n b b
n
b b n dn n
n
Caso 3b. es un entero
12 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 20 1
2 2 2 2 2 2
2 2 4 4 0
1 2 2 , 1, 2,3,...4
n nn n n n n
n n
n n n
n d n n b b x n n b b x
b b n d nn n
22
2 211 1
2 1 4 1bd
n b
Caso 3b. es un entero
12 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 20 1
2 2 2 2 2 2
2 2 4 4 0
1 2 2 , 1, 2,3,...4
n nn n n n n
n n
n n n
n d n n b b x n n b b x
b b n d nn n
2
2 2
22
2 0
02
Como está indeterminado se elige tal que
1 1 11 ...2 2 34 1
de donde
4 1 1 1 11 ...2 2 3
pero 4 1 y
1 1 11 ... 2 2 3
b
b d
db
d d
db
Caso 3b. es un entero
12 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 20 1
2 2 2 2 2 2
222 2
02
2 2 4 4 0
1 2 2 , 1, 2,3,...4
112 1 4 1
1 1 11 ...2 2 3
n nn n n n n
n n
n n n
n d n n b b x n n b b x
b b n d nn n
bdb
db
22 2
1 1 11 1 ...2 2 3 1d
b
Caso 3b. es un entero
12 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 20 1
2 2 2 2 2 2
22 2
02
2 2 4 4 0
1 2 2 , 1, 2,3,...4
1 1 11 1 ...2 2 3 1
1 1 11 ...2 2 3
n nn n n n n
n n
n n n
n d n n b b x n n b b x
b b n d nn n
db
db
42 4
1 1 1 11 1 ...2 2 2 3 2d
b
Caso 3b. es un entero
12 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 20 1
2 2 2 2 2 2
2 2 4 4 0
1 2 2 , 1, 2,3,...4
n nn n n n n
n n
n n n
n d n n b b x n n b b x
b b n d nn n
22 2
1 1 1 1 1 11 ... 1 ...2 2 3 2 3
1,2,3,...
jj
db
j j
j
Caso 3b. es un entero
1 20
2 0 0 21
22
1
01
2 2
1 11 ...2 22 ! 1 ...
1 1 1 11 ... 1 ... ln2 2 2
donde
2 1 !
y
1
2 ! !
n
nn
nn
n
n
n n
dxy x b x b x xn n
d x J x xn n
b
dn n
Caso 3b. es un entero
1 20
2 0 0 21
22
1
021 2
1 11 ...2 22 ! 1 ...
1 1 1 11 ... 1 ... ln2 2 2
donde
1 y
2 1 ! 2 ! !
n
nn
nn
n
n
n n
dxy x b x b x xn n
d x J x xn n
bd
n n
10Si 1, 2 1 ! y la función resultante
se denota y se llama funcion de Bessel de
segunda clase.
b
Y x
Caso 3b. es un entero
1 2
0
2
0 1 1
Definiendo la función de Bessel de segunda como
1 !2 2 ln! 4 2
42 1 12! !
n
kn
n nk
kn
k n k
k j j
zn k z zY z J zk
zz
j j k n k
n
N
2y x Y xCaso 3b. es un entero
22 2 2
2
2
10
0
1
! 1 2
n n
n
d y dyx x x ydx dx
xy x J x
n n
cos
sin
J z J zY z
1 2y x c J x c Y x
22 2 2
2
2
10
0
1
! 1 2
n n
n
d y dyx x x ydx dx
xy x J x
n n
Calcula la energía de un
oscilador armónico cuántico
21
2V x kx
dV xF x kx
dx
2 22 2
2
1
2 2más condiciones a la frontera
y condiciones físicas.
dm x E
m dx
Ecuación de Schrodinger estacionaria:
2 2 22 2 2
2 2
1
2 2 2 2
d dm x E E
m dx d
22
2
d
d
xm
22
2
2
Con tene2
mos
d E
d
E
2
22
0d
d
22
2
Si 0, entonces 0 y
0
x
d
d
xm
2
1/4
2
(2 )
xi
y x i g
22
20
d yx y
dx
2
2 22
10
16
d g dgg
d d
1 2
La solución general es
y x c J x c J x
22 2 2
2
2
0
0
11
! 1 2
nn
n
d y dyx x x ydx dx
xJ x
n n
2
1/4 ; (2 )2
xi y x i g
22
20
d yx y
dx
2 2
1 1/4 2 1/4
La solución general es
2 2
x xy x c xJ i c xJ i
Funciones de Bessel modificadas de primera clase
Funciones de Bessel modificadas de segunda clase
2 sin
I z i J iz
I z I zK z
22
20
d yx y
dx
2 2
1 1/4 2 1/4
Así que, la solución de la ecuación asintótica es
2 2
x xy x c xI c xK
2
1 2 1 21 ...
82
4 11 ...
2 8
x
x
eI x
xx
K x ex x
22
2
2 2
1 1/ 4 2 1/ 4
0
2 2
d yx y
dx
x xy x c xI c xK
2
2
2
1/4 2
21/4 2
1 31 ...
16
1 31 ...
16
x
x
eI x
x x
K x ex x
22
2
2 2
1 1/ 4 2 1/ 4
0
2 2
d yx y
dx
x xy x c xI c xK
22
20
d yx y
dx
2
22
21 2 22
xx
x
ey x c x c x e
xx
2
22
0d
d
22
2
2
Si , entonces y
0
que tiene como solución asintótica
exp2
x
d
d
2
2 2 2 22 2
2
22
exp2
exp exp 1 exp2 2 2
exp2
d
d
d
d
22
2
2
Si , entonces 0
que tiene como solución asintótica exp2
dx
d
2
Obviamente la solución con + es inaceptable
fisicamente pues diverge en el .
La solución asintótica es entonces
exp2
22
2
2
Si , entonces 0
que tiene como solución asintótica exp2
dx
d
22
2
d
d
2
Entonces se propone
exp2u
2 2
2 2 22
2
2 2 2 2
2
exp exp2 2
exp exp2 2
exp exp exp2 2 2
d duu
d d
du u
d
du du d u
d d d
2 2
22
; exp2
du
d
22 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
22
2
exp2
exp2
exp exp exp2 2 2
exp exp 02 2
exp 2 exp exp exp 02 2 2 2
du duu
d d
d uu
d
du d uu u
u
d
u
d
2
2
2
2
2 0
2 1 0
du d uu u
d d
d u duu
d d
2 2
22
; exp2
du
d
22
2
2
2
2
exp2
2 1 0
d
d
u
d u duu
d d
2
22 1 0
d u duu
d d
2
22 1 0
d u duu
d d
0
1
0
22
20
1
nn
n
nn
n
nn
n
u a
duna
d
d un n a
d
2
20
2 1 0 ; nn
n
d u duu u a
d d
2
0 0 0
20 0 0
20 0 0
1 2 1 0
2 1 2 1 0
2 1 2 1 0
n n nn n n
n n n
m n nm n n
m n n
n n nn n n
n n n
n n a na a
m m a na a
n n a na a
20
2
2
2 1 2 1 0
2 1 2 1 0
2 1
2 1
nn n n
n
n n n
n n
n n a na a
n n a na a
na a
n n
2
20
2 1 0 ; nn
n
d u duu u a
d d
2 0
3 1
4 2 0 0
5 3 1 1
1
2 13
3 2 15 15 5 1
4 3 4 3 2 1 4 3 2 17 37 7 3
5 4 5 4 3 2 1 5 4 3 2 1
a a
a a
a a a a
a a a a
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
4 2 0 0
5 3 1 1
6 4 0
7 5 1
5 15 5 1
4 3 4 3 2 1 4 3 2 17 37 7 3
5 4 5 4 3 2 1 5 4 3 2 19 9 5 1
6 5 6 5 4 3 2 111 11 7 3
7 6 7 6 5 4 3 2 1
a a a a
a a a a
a a a
a a a
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
2 0
2 1 1
4 3 4 7 ... 5 1
2 !
4 1 4 5 4 9 ... 7 3
2 1 !
con 1,2,3,...
n
n
n na a
n
n n na a
n
n
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
0 2 4 6
1 3 5 7
La formula de recurrencia es enteramente
equivalente a la ecuación de Schrodinger.
Dado nos permite generar , , ,...
y dado generamos , , ,...
a a a a
a a a a
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
2
2
2 1 2 1 2
2 1 3 3n
n
a n n
a n n n n n
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
2
4 6 2 2 2 22
0
1 ...2! 3! ! 1 ! !
n n n
n
en n n
1
0
Desarrollo de una función en serie de Taylor:
1
!
Formula de Leibniz:
!donde
! !
nn
nn x a
nn k n k
k
d ff x x a
n dx
nf g f g
k
n n
k k n k
2
4 6 2 2 2 22
0
1 ...2! 3! ! 1 ! !
n n n
n
en n n
11
1
1 !coef ! 1 11coef 1 ! 1!
n
n
n nr
n n nn
2
La serie converge, pero se comporta
igual que exp y por lo tanto es
inaceptable tal cual.
2
220
2
2 12 1 0 ; ;
2 1
2
nn n n
n
n
n
d u du nu u a a a
d d n n
a
a n
¡La relación de recurrencia debe cortarse!
y se debe cumplir
2 1n
22
2
2
polinomio constante exp2
2 1
2 1n n
u e u
na a
n n
2 2
Por tanto,
constante exp / 2 ,
lo cual es inaceptable.
La serie termina a partir de .
Esto cortará una de las dos series,
la par o la impar.
La otra serie debe ser cero desde
el principio.
n
¡La relación de recurrencia debe cortarse!
y se debe cumplir
2 1n
par non
2 4par 0 2 4
3 5non 1 3 5
Escribiendo
donde
...
...
u u u
u a a a
u a a a
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
2
2 1
0
y la serie se vuelve un
polinomio de grado
n
n
a
n
2
220
2 12 1 0 ; ;
2 1n
n n nn
d u du nu u a a a
d d n n
Tenemos
22 1
y por tanto,
En
2 2 1
En
1 0,1, 2,3,...
2E n n
¡¡¡ La energía está cuantizada
1
2
0,1,2,3,...
!!!
E n
n
Nótese que para 0
1la energía es
2
n
La energía está cuantizada
1 0,1,2,3,...
2E n n
2
2
22 1 2 1
2 1 2 1
2
2 1
m m m
m m
m nm na a a
m m m m
n ma a
m m
2
2 1 2 1
2 1n n
na a n
n n
2
0 1
2
0 0
/ 20 0
Para 0, sólo tenemos y 0,
0 y todos los otros coeficientes son cero,
así que
y
n a a
a
u a
a e
2
2
2 1m m
n ma a
m m
1
2E
2
0 1
1 1
/ 21 1
Para 1, 0, arbitrario,
y obtenemos todos los demás
coeficientes igual a cero.
y
n a a
u a
a e
3
2E
2
2
2 1m m
n ma a
m m
2
0 1
2 0 0
3 5 7
4 2 2 0
2 / 22 0
Para 2, arbitrario, =0,
2 2 0 4
0 2 0 1 2
0, 0, 0,...
2 2 20
2 2 2 1
y todos los demás cero.
1 2
n a a
a a a
a a a
a a a
a e
5
2E
2
2
2 1m m
n ma a
m m
2
1 0
3 2 1 1 1
5 3 2 3
3 / 23 1
Para 3, arbitrario, =0,
Todos los pares son cero.
2 3 1 4
1 2 1 1 6
2 3 30
3 2 3 1
y todos los demás cero.
2 / 3
n a a
a a a a
a a a
a e
7
2E
2
2
2 1m m
n ma a
m m
Los polinomios son, con excepción
de una constante de normalización,
los polinomios de Hermite.
u
2
2
2 1m m
n ma a
m m
2 exp2n n
m mx A H x x
2 22 2
2
Ecuación de Schrodinger estacionaria
para el oscilador armónico:
1
2 2
dm x E
m dx
2exp2n n
m mx AH x x
2
2
Condición de normalización: 1
exp 1
exp 1
n n
n n
n n
x x dx
m m mAA H x H x x dx
AA H y H y y dym
http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
2exp !2nn nH y H y y dy n
2
2
1 exp 1
exp !2
n n n n
nn n
x x dx AA H y H y y dym
H y H y y dy n
1/4
!2 1
1
2 !
n
n
AA nm
mA
n
2 22 2
2
1/ 4 2
1
2 2
1exp
22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
dm x E
m dx
m m m xx H x
n
E n n
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc7.html#c1
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
Las funciones de onda son ortonormales.
1) Ya demostramos que son normales
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
1/ 2 2
1/ 22
Las funciones de onda son ortonormales.
2) 0 si
1 1exp
2 ! 2 !
1 1exp
2 ! 2 !
i j
i j
i ji j
i ji j
x x dx i j
x x dx
m m m m xH x H x dx
i j
mH y H y y dy
mi j
http://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials
2exp 0m nH y H y y dy
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
Las funciones de onda son ortonormales.
1) Ya demostramos que son normales
2) 0 si i jx x dx i j
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
2
Las funciones de onda constituyen
un conjunto ortonormal completo del
espacio de Hilbert del problema,
que es RL
2 1 * 2 1
1/2 22 1 21
exp 02 !
k kn nn
knn
x x x x dx
m m x mx H x dx
n
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
Si , entonces 0a
a
f x f x f x dx
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
2 * 2
1/2 22 21
exp2 !
1
2
n nn
nn
x x x x dx
m m x mx H x dx
n
nm
2 1 * 2 1
1/22 1
2 2 1 2
2 1
ˆ ˆ
1
2 !
exp exp2 2
0
k kn nn
k
n
k
n nk
p x p x dx
mi
n
m x m d m x mH x H x dx
dx
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
Si , entonces 0a
a
f x f x f x dx
2 * 2
1/22
2 2 2
2
ˆ ˆ
2 !
exp exp2 2
1
2
n nn
n
n n
p x p x dx
m
n
m x m d m x mH x H x dx
dx
m n
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
22
22
1
2
1
2
1
2
x x x nm
p p p m n
x p n
2 22 2
2
1/ 4 2
1
2 2
1exp
22 !
10,1,2,...
2
n nn
n
dm x E
m dx
m m m xx H x
n
E n n
0n n
n
x c x
La solución general es:
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
1/4 21
exp22 !
n nn
m m m xx H x
n
2
Las funciones de onda constituyen
un conjunto ortonormal completo del
espacio de Hilbert del problema,
que es RL
