Notas de Aula - Métodos Matemáticos

METODOS I

MS550 A - Metodos de Matematica Aplicada I

F520 A - Metodos Matematicos da Fsica I

Prof. Jayme Vaz

Primeiro Semestre de 2013

Captulo 1Preliminares

1.1 As Equacoes da Fsica-Matematica

A descricao matematica de muitos sistemas, em particular daquelesdescritos pelas leis da Fsica, se faz geralmente em termos de equacoesdiferenciais (ED), embora nao seja incomum encontrarmos tambemequacoes integrais ou ate mesmo equacoes integro-diferenciais. Den-tro de uma perspectiva historica, os chamados Metodos da Fsica-Matematica, ou da Matematica Aplicada de uma forma mais geral, po-dem ser vistos como um conjunto de ferramentas desenvolvidas tendocomo objetivo principal solucionar problemas envolvendo esses tipos deequacoes, muito embora em varios casos essas ferramentas adquiriraminteresse intrnseco e levaram a importantes areas de pesquisa.

O principal objetivo pratico ao estudar as ED e encontrar suassolucoes. Ocorre que isso, em geral, nao e uma tarefa simples. Mesmonao sendo uma tarefa simples, seria desejavel que pelo menos tivesse-mos um metodo geral para buscar essas solucoes. A realidade, porem,

1

2 1. PRELIMINARES

e que os varios metodos conhecidos para resolver uma ED dependemcrucialmente da natureza dessa ED. Em outras palavras: um metodopode ser efetivo para uma classe de ED e nao para outra. Por isso, oestudo das ED deve comecar por estabelecer uma classificacao util eefetiva dessas equacoes para depois estudarmos os metodos de solucaode ED de uma determinada classe.

Um primeiro criterio que podemos utilizar para classificar as ED ede acordo com o numero de variaveis dependentes (VD) e variaveisindependentes (VI) da equacao. Podemos classificar as ED em Equa-coes Diferenciais Ordinarias (EDO) , Equacoes DiferenciaisParciais (EDP) e Equacoes Diferenciais Totais (EDT) segundoo numero de VD e VI, a saber:

tipo VI VD

EDO 1 1EDP > 1 1EDT 1 > 1

As ED tambem sao classificadas de acordo com ordem e grau.Dizemos que uma ED e de ordem n quando a ordem da maior derivadaenvolvida nessa ED for justamente n. Se a ED for polinomial nasderivadas, dizemos que o grau da ED e a potencia da derivada demaior ordem envolvida nessa equacao. Uma ED e dita linear quandoela for linear na VD e todas as suas derivadas presentes na equacao;caso contrario a ED e dita nao-linear.

1.1.1 EDO

Uma EDO de ordem n e portanto uma equacao da forma

F (x, y, y, . . . , y(n)) = 0,

onde x e a VI e y e a VD. Encontrar uma solucao dessa EDO significaencontrar uma funcao y = (x) tal que essa equacao seja satisfeita nosentido de uma identidade,

F(x, (x), (x), . . . , (n)(x)

) 0.

A EDO linear de ordem n mais geral e da forma

P0(x)y(n) + P1(x)y

(n1) + + Pn1(x)y + Pn(x)y +Q(x) = 0.

1.1. AS EQUACOES DA FISICA-MATEMATICA 3

A importancia das EDO e colossal. Desde a formulacao das leis domovimento por Newton que as EDO desempenham um papel essencialna descricao de uma vasta gama de fenomenos. Denotando, comohabitual nesses casos, a VI por t, a chamada segunda lei de Newtone geralmente apresentada na forma d~p/dt = ~F , onde ~p = m~v e omomentum de um objeto (m e sua massa e ~v sua velocidade) no qualage uma forca ~F . Quando esse objeto e uma partcula pontual essaED pode ser escrita como

md2~x

dt2= ~F

(~x,d~x

dt, t

),

onde ~x = ~x(t) e o vetor que descreve a posicao da partcula e ondeassumimos que a forca que age sobre ela pode depender da sua posicao,velocidade e variar com o tempo.

Um dos exemplos mais simples de ED e a do oscilador harmonico(OH), ou seja,

d2x

dt2+ 2x = 0 (1.1)

Poderamos dedicar paginas e mais paginas a discutir e apresentar osmais diversos contextos onde a equacao do oscilador harmonico (EOH)surge ou possa vir a surgir. O exemplo mecanico mais simples e o dosistema massa-mola, onde a constante e dada por =

k/m,

sendo k a constante da mola. Quando efeitos de amortecimento (porexemplo, presenca de forcas de atrito) sao levados em conta e aindatemos a presenca de forcas externas, temos a EOH amortecido e forcado

d2x

dt2+

dx

dt+ 2x = F

(x,dx

dt, t

).

onde e uma constante. Se F = 0 dizemos que a EDO e homogenea.Em muitos casos a forca externa depende apenas do tempo e assimtemos

d2x

dt2+

dx

dt+ 2x = F (t). (1.2)

Essa e uma EDO de segunda ordem, linear, nao-homogenea e comcoeficientes constantes.

4 1. PRELIMINARES

As EDO de segunda ordem, lineares e com coeficientes variaveistambem tem grande importancia. Como exemplos podemos destacara equacao de Bessel,

x2y + xy + (x2 2)y = 0 (1.3)

e a equacao de Legendre,

(1 x2)y 2xy + y = 0 (1.4)

dentre muitas outras com denominacoes geralmente associadas aos no-mes de grandes matematicos. Mas o que destacam essas e outras EDOdentro da ampla classe de EDO com coeficientes variaveis? Muitasdessas EDO surgem quando tentamos resolver certas EDP usando ummetodo chamado separacao de variaveis. Por isso, ao inves de exibirum compendio dessas importantes EDO, e mais interessante olharmosprimeiro para onde elas surgem.

1.1.2 EDP

Quando passamos a estudar fenomenos nos quais o conceito de campopassa a ter uma importancia fundamental, como por exemplo no ele-tromagnetismo ou na dinamica de fludos, surgem as EDP. Uma EDPe uma equacao da forma

F (x, y, . . . , u, ux, uy, . . . , uxx, uxy, . . .) = 0,

onde x, y, . . . sao as VIs, u a VD e ux = u/x, etc. Uma funcaou = u(x, y, . . .) e uma solucao (ou superfcie integral) dessa EDP seela satisfaz a equacao na forma de uma identidade. Encontrar umasolucao de uma EDP e uma tarefa muito mais ardua do que no casode uma EDO, tanto que podemos encontrar problemas em aberto ape-sar da enorme quantidade de estudos produzidos a este respeito. UmProblema envolvendo uma EDP consiste em encontrar uma solucaoda EDP satisfazendo certas condicoes. Por exemplo: encontrar umasolucao que tem um determinado valor em uma dada hipersuperfciedo espaco de coordenadas (x1, . . . , xn). O tipo e a utilidade de umacondicao ira depender da equacao em questao.

Dizemos que uma EDP e linear quando for linear em u e todas assuas derivadas, mas se uma EDP for linear apenas na derivada de maior


ordem dizemos que ela e quase-linear. Os exemplos mais importantesde EDP sao as lineares de segunda ordem, que em n VIs sao da forma

L[u] =n

i,j=1

Aij(x)uxixj +nj=1

Bi(x)uxi + F (x)u = G(x), (1.5)

onde x = (x1, . . . , xn), Aij = Aji e aproveitamos para definir o opera-dor diferencial L[u]. Se G = 0 dizemos que a equacao e homogenea,caso contrario dizemos que e nao-homogenea.

Os exemplos mais importantes de EDP sao de segunda ordem e line-ares. Sao essas equacoes que as vezes sao chamadas de As Equacoesda Fsica-Matematica.

Equacao da onda

A amplitude u = u(x, t) das vibracoes transversais livres de umacorda em um ponto x no instante t e descrita pela equacao

utt = c2uxx. (1.6)

Essa EDP e conhecida como a equacao da onda. A constante c eidentificada como sendo a velocidade da onda. A generalizacao envol-vendo mais dimensoes espaciais e

utt = c22u (1.7)

onde 2 e o operador laplaciano. Como modelos descritos por essaequacao, em duas dimensoes podemos pensar nas vibracoes de umamembrana e em tres dimensoes na propagacao de ondas acusticas oude ondas ssmicas em meios homogeneos, isotropicos e elasticos. Mo-delos mais realistas para propagacao de ondas podem levar em conta apossibilidade da velocidade da onda variar de acordo com a frequenciaou a amplitude da onda. Com a presenca de forcas externas temos aequacao nao-homogenea

utt c22u = F (x, t). (1.8)

6 1. PRELIMINARES

Equacao da difusao - Equacao do calor

Outro exemplo importante de EDP e a equacao de difusao do calor,ou simplesmente equacao do calor ou equacao de difusao,

ut = kuxx. (1.9)

Essa equacao descreve, por exemplo, a situacao idealizada da variacaoda temperatura u = u(x, t) ao longo de um meio unidimensional comdifusividade termica k ou a variacao da concentracao de partculas uem um processo coletivo de difusao unidimensional. A generalizacaopara um maior numero de dimensoes espaciais e

ut = k2u (1.10)

Equacao de Laplace

Em muitos problemas, em particular naqueles onde estamos inte-ressados no calculo de potenciais, como por exemplo o potencial ele-trostatico u em uma regiao sem cargas, encontramos a equacao

2u = 0 (1.11)

Essa e a equacao de Laplace. Suas solucoes sao muitas vezes deno-minadas funcoes harmonicas. Exemplos bem conhecidos de funcoesharmonicas sao as partes real e imaginaria de uma funcao analtica.

Equacao de Poisson

A generalizacao da equacao de Laplace envolvendo um termo nao-homegeneo e chamada equacao de Poisson. Por exemplo, quando ocalculo do potencial envolve uma regiao com fontes, como o potencialeletrostatico em uma regiao com densidade de carga , a equacao a serconsiderada e a

2u = (1.12)

com = (x1, . . . , xn).


Equacao de Helmholtz

Uma outra generalizacao da equacao de Laplace leva o nome deequacao de Helmholtz, ou seja,

2u+ k2u = 0 (1.13)

onde k e uma constante. Essa equacao surge, por exemplo, quandoseparamos as partes espaciais e temporal da amplitude da funcao naequacao de onda.

Equacao de Schrodinger

Na mecanica quantica uma partcula e descrita pela chamada funcaode onda (x, t), que satisfaz a equacao de Schrodinger

i~

t= ~

2

2m2 + V (x) (1.14)

Enquanto nas equacoes anteriores a variavel dependente u era umafuncao real, nessa equacao (x, t) e uma funcao complexa. As cons-tantes ~ e m sao, respectivamente, a constante de Planck e massa dapartcula, e V (x) e uma funcao real (energia potencial). A equacao deSchrodinger independente do tempo e

~2

2m2 + V (x) = E (1.15)

Equacoes de Maxwell

As equacoes de Maxwell sao um conjunto de quatro equacoes di-ferenciais parciais que constituem-se na base do eletromagnetismo. Osobjetos basicos desse sistema de equacoes (no vacuo) sao os campos ve-toriais E e B, o campo eletrico e o campo magnetico, respectivamente,a densidade de carga e a densidade de corrent J. Nas chamadasunidades naturais, as equacoes de Maxwell sao

E = , B Et

= J, (1.16)

B = 0, E + Bt

= 0. (1.17)

8 1. PRELIMINARES

1.1.3 EDT

Uma EDT e uma equacao da forma

F (x, y, z, . . . , y, z, . . . , y(m), z(m), . . .) = 0,

onde x e a VI, y, z, . . . as VDs e y = dy/dx, etc. De particular im-portancia sao as equacoes de primeira ordem,

ni=1

ai(x, y1, . . . , yn)dyidx

+ p(x, y1, . . . , yn) = 0,

que frequentemente sao escritas na forma

ni=1

ai(x, y1, . . . , yn)dyi + p(x, y1, . . . , yn)dx = 0.

Esse problema e tambem chamado problema de Pfaff . Um dosprincipais exemplos e a primeira lei da termodinamica,

TdS = dE + P dV

onde as variaveis envolvidas sao a entropia S, energia E e volume Vdo sistema termodinamico. Um problema de Pfaff pode ser resolvidoquando temos uma funcao (x, y1, . . . , yn) tal que

ai =

yi, p =

x

(fora um possvel fator comum) uma vez que nesse caso a EDT pode serescrita como d = 0, que tem como solucao (x, y1, . . . , yn) = k = cte.Nesse caso a ED tambem e denominada exata.

1.2 Sistemas de Coordenadas

A representacao de pontos por meio de coordenadas e de importanciafundamental na matematica e em suas aplicacoes. Em um espaco eu-clidiano n-dimensional as coordenadas de um ponto sao dadas por uman-upla (x1, . . . , xn), onde xi (i = 1, . . . , n) sao numeros reais. Dentreos mais diversos sistemas de coordenadas que podemos imaginar, as

1.2. SISTEMAS DE COORDENADAS 9

coordenadas cartesianas ocupam um papel central. Nas coordena-das cartesianas cada curva coordenada e uma reta dada pela intersecaodos planos definidos por valores constantes das demais coordenadas.Para simplificar a discussao, vamos nos limitar ao caso tridimensional.Na figura 1.1 podemos ver, por exemplo, que uma reta coordenada nadirecao x (curva-x) e dada pela intersecao dos planos y = cte e z = cte.

y

x

zy = cte

z = cte

x = cte

Figura 1:Figura 1.1: Curvas coordenadas em coordenadas cartesianas.

Existem situacoes, porem, onde o uso de outro sistema de coorde-nada pode ser mais conveniente do que o cartesiano. Para lidar comisso podemos conceber outros sistemas de coordenadas a partir da in-terseccao de superfcies arbitrarias e nao apenas de planos - veja afigura 1.2. Essas sao denominadas coordenadas curvilneas. Va-mos denotar essas coordenadas por (q1, q2, q3) e supor que elas estaorelacionadas com as coordenadas cartesianas (x, y, z) atraves de

x = x(q1, q2, q3), y = y(q1, q2, q3), z = z(q1, q2, q3), (1.18)

10 1. PRELIMINARES

onde supomos que o jacobiano J = (x, y, z)/(q1, q2, q3) 6= 0. Astransformacoes inversas sao qi = qi(x, y, z) (i = 1, 2, 3). Dessa formapodemos identificar um ponto P atraves de coordenadas cartesianas(x, y, z) ou atraves das coordenadas curvilneas (q1, q2, q3).

y

x

z

eq3

eq2eq1

q2 = cteq1 = cte

q3 = cte

Figura 1:Figura 1.2: Curvas coordenadas em coordenadas curvilneas.

Para que o uso de coordenadas curvilneas seja proveitoso nao bastaapenas saber escrever as coordenadas de um ponto. Existem conceitosde analise vetorial definidos em termos de coordenadas cartesianas queprecisamos traduzir em coordenadas curvilneas para que essas coor-denadas sejam um instrumento efetivo de trabalho.

Vamos considerar um ponto representado pelo vetor r. Em coorde-nadas cartesianas temos em cada ponto definida uma base ortonormalde vetores {ex, ey, ez} que pode ser escrita a partir do vetor r como

ex =r

x, ey =

r

y, ez =

r

z.


Esses sao os vetores ilustrados na figura 1.1 ao longo da direcao dasretas coordenadas correspondentes. Em muitos textos, esses vetoressao denotados por {i, j,k}.

Da mesma forma, em termos de coordenadas curvilneas temos osvetores

r

qi, (i = 1, 2, 3).

Uma vez que as curvas coordenadas agora sao em geral curvas propri-amente ditas e nao retas como no caso cartesiano, devemos interpretaresses vetores como vetores tangentes as curvas coordenadas. Essesvetores em geral nao sao unitarios e mudam de direcao em cada ponto,ao contrario do caso cartesiano.

Usando a regra da cadeia podemos escrever

r

qi=x

qiex +

y

qiey +

z

qiez, (1.19)

de onde segue que rqi2 = rqi rqi =

(x

qi

)2+

(y

qi

)2+

(z

qi

)2, (1.20)

o que mostra claramente que esses vetores tangentes nao sao em geralunitarios. Definimos entao os vetores tangentes unitarios eqi ,

eqi =1

hi

r

qi, (i = 1, 2, 3), (1.21)

onde definimos os fatores de escala

hi =

(x

qi

)2+

(y

qi

)2+

(z

qi

)2. (1.22)

Esses vetores estao ilustrados na figura 1.2.Os vetores {eq1 , eq2 , eq3} nao sao, em geral, ortogonais. Iremos, en-

tretanto, exigir a ortogonalidade desses vetores. Diremos que (q1, q2, q3)sao coordenadas curvilneas ortogonais se os vetores tangentes fo-rem mutuamente ortogonais, ou seja, se

eqi eqj = 0x

qi

x

qj+y

qi

y

qj+z

qi

z

qj= 0, (i 6= j). (1.23)

Essa condicao de ortogonalidade leva a uma grande simplificacao dasexpressoes envolvendo coordenadas curvilneas.

12 1. PRELIMINARES

Integracao Vetorial

Para o calculo de integrais de linha, area e volume em coordenadascurvilneas precisamos saber escrever os respectivos elementos diferen-ciais de linha, area e volume nessas coordenadas. Uma vez que

dr =

(dr

dt

)dt =

3i=1

r

qidqi, (1.24)

em termos dos vetores tangentes unitarios temos

dr =3i=1

hidqieqi . (1.25)

Dada uma curva r = r(t), o elemento diferencial de comprimento e

dr =

drdt dt. (1.26)

Dessa forma, para a curva r = (q1(t), q2(t), q3(t)),

dr =

(h1dq1dt

)2+

(h2dq2dt

)2+

(h3dq3dt

)2dt. (1.27)

Alem da conhecida integralC fdr, podemos ainda considerar as se-

guintes integrais: (i)C fdr, (ii)

C A dr, e (iii)

C A dr, onde e

denotam os produtos escalar e vetorial, respectivamente.O elemento vetorial de area orientado e

dS =

(r

s rt

)ds dt, (1.28)

onde denota o produto vetorial e as coordenadas (s, t) parametri-zam a superfcie em questao, r = r(s, t). Em termos da base {eqi},definimos

eqi eqj = eqk , (1.29)onde (i, j, k) = {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}. Alternativamente, pode-mos escrever

eqi eqj =3

k=1

ijkeqk , (1.30)


onde ijk denota o smbolo de Levi-Civita, definido como

123 = 231 = 312 = 1,

132 = 213 = 321 = 1,ijk = 0 nos outros casos.

(1.31)

Note que ijk e antissimetrico com relacao a quaisquer dois de seusndices.

Com isso

dS =3

i,j=1

(hiqis

eqi

)(hjqjt

eqj

)ds dt

=3

i,j,k=1

ijkhihjqis

qjt

eqk ds dt,

ou seja, podemos escrever

dS =3

k=1

dSkeqk = n dS, (1.32)

onde

dSk =3

i,j=1

ijkhihjqis

qjt

ds dt, (1.33)

n =

(r

s rt

)/rs rt, dS = rs rt

ds dt. (1.34)As integrais de superfcie tpicas sao da forma (i)

fdS, (ii)

A dS,

e (iii) A dS. A integral (ii) e o fluxo do campo vetorial A atraves

da superfcie .Para o elemento diferencial de volume dV temos

dV =

[(r

s rt

) ru

]ds dt du. (1.35)

Com isso temos

dV =3

i,j,k=1

ijkhihjhkqis

qju

qku

ds dt du. (1.36)

14 1. PRELIMINARES

Tomando agora s = q1, t = q2 e u = q3, e notando que qi/qj = ij ,essa expressao se reduz a

dV =

3i,j,k=1

ijkhihjhki1j2k3 dq1dq2dq3,

e com isso

dV = h1h2h3 dq1dq2dq3 = J dq1dq2dq3, (1.37)

onde o jacobiano J = (x, y, z)/(q1, q2, q3) pode ser escrito em termosdo produto dos fatores de escala. As integrais de volume que podemosconsiderar sao (i)

v f dV e (ii)

v A dV .

Gradiente, Divergente e Rotacional

Ja as expressoes para o gradiente de um campo escalar e o rotacionale divergente de um campo vetorial sao mais elaboradas e requerem umcerto cuidado em suas formulacoes.

1.2.1 Gradiente

A expressao para grad f pode ser obtida sem dificuldade de

grad f dr = df. (1.38)

De fato, escrevendo

grad f =

3i=1

Aieqi

e usando a eq.(1.25) temos

grad f dr =3i=1

Aihidqi.

Por outro lado,

df =

3i=1

f

qidqi.


Comparando as duas expresses segundo a eq.(1.38) temos Aihi =f/qi. Dessa forma, o gradiente de um campo escalar f e dadopor

grad f = f = 1h1

f

q1eq1 +

1

h2

f

q2eq2 +

1

h3

f

q3eq3 , (1.39)

onde introduzimos a notacao alternativa f para denotar o gradientede f .

1.2.2 Divergente

A expressao para o divergente div V = V de um campo vetorialV dado por

V = V1eq1 + V2eq2 + V3eq3

ja e um pouco mais elaborada. Seja a coordenada curvilnea qi. Daexpressao anterior para o gradiente, segue que

qi =1

hieqi ,

e com isso

qi qj =1

hihjeqi eqj =

1

hihjeqk .

Com isso podemos escrever

(Vkeqk) = (Vkhihjqi qj)= (Vkhihj) (qi qj) + Vkhihj (qi qj) ,

onde usamos a identidade

(fV) = (f) V + f V.

Usando ainda a identidade

(V U) = (V) UV (U),

podemos ver que

(qi qj) = (qi) qj qi (qj) = 0,

16 1. PRELIMINARES

onde usamos a conhecida propriedade = 0. Sendo assim, temos

(Vkeqk) = (Vkhihj) (qi qj) = (Vkhihj) 1

hihjeqk

=

3l=1

Vkhihjql

1

hlhihjeql eqk =

1

hihjhk

(Vkhihj)

qk,

onde usamos a propriedade de ortonormalidade, ou seja, eql eqk = lk.Com isso, definimos o divergente do campo vetorial V como sendodado pela expressao

div V = V = 1h1h2h3

[

q1(h2h3V1)

+

q2(h3h1V2) +

q3(h1h2V3)

].

(1.40)

1.2.3 Rotacional

Vamos agora buscar uma expressao para o rotacional rot V = Vdo campo vetorial V. Usando a identidade

(fV) = (f)V + fV

podemos escrever

(Vieqi) = (Vihiqi) = (Vihi)qi + Vihiqi

= (Vihi)1

hieqi =

l={i,j,k}

1

hl

(Vihi)

ql

1

hieql eqi ,

onde usamos a identidade = 0. Com isso

(Vieqi) =1

hj

(Vihi)

qj

1

hieqj eqi +

1

hk

(Vihi)

qk

1

hieqk eqi

= 1hihj

(Vihi)

qjeqk +

1

hihk

(Vihi)

qkeqj .

Finalmente, tomando (i, j, k) = {(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}, segue quepodemos definir o rotacional de um campo vetorial V como sendo


dado pela expressao

rot V = V = 1h1h2h3

[((h3V3)

q2 (h2V2)

q3

)h1eq1

+

((h1V1)

q3 (h3V3)

q1

)h2eq2 +

((h2V2)

q1 (h1V1)

q2

)h3eq3

].

Podemos compactar essa expressao lembrando da regra do desenvolvi-mento de Laplace dos determinantes, de modo que

rot V = V = 1h1h2h3

h1eq1 h2eq2 h3eq3

q1

q2

q3h1V1 h2V2 h3V3

. (1.41)1.2.4 Laplaciano

O laplaciano2f de um campo escalar f e definido como sendo dadopor div grad f . Usando as expressoes anteriores para o gradiente e odivergente, segue que podemos expressar o laplaciano como

2f = 1h1h2h3

[

q1

(h2h3h1

q1

)+

q2

(h1h3h2

q2

)+

q3

(h1h2h3

q3

)]f

(1.42)

Exemplo 1.1. Definimos as coordenadas cilndricas (, , z) como

x = cos ,

y = sin ,

z = z.

(1.43)

A coordenada e denominada distancia (ou posicao) radial, a coordenada ea posicao angular ou azimutal (ou simplesmente azimute) e a coordenada z ea posicao axial, longitudinal ou vertical. Temos 0 < , 0 2 e < z

18 1. PRELIMINARES

e

eez

y

x

z

z = cte

= cte

= cte

Figura 3:

3

Figura 1.3: Coordenadas cilndricas e representacao dos vetoresunitarios e, e e ez.

O jacobiano dessa transformacao e J = hhhz = , o que mostra que para = 0(que corresponde a reta coordenada z, tambem chamada de eixo longitudinalou cilndrico) a transformacao apresenta problemas pois o angulo nao estabem definido nesse caso. Os vetores unitarios sao dados em termos dos vetoresunitarios cartesianos atraves de

e = cos ex + sin ey,

e = sin ex + cos ey,ez = ez.

(1.44)

Esses vetores estao ilustrados na figura 1.3.


Das eqs.(1.39-1.42) temos

grad f =f

e +

1

f

e +

f

zez, (1.45)

div V =1

(V)

+

1

V

+Vzz

, (1.46)

rot V =

(1

Vz (V)

z

)e +

(Vz Vz

)e +

1

((V)

V

)ez,

(1.47)

e para o laplaciano,

2f = 1

(f

)+

1

22f

2+2f

z2(1.48)

er

e

e

y

x

z

r = cte

= cte

= cte

r

Figura 2:

2

Figura 1.4: Coordenadas esfericas e representacao dos vetores unitarioser, e e e.

20 1. PRELIMINARES

Exemplo 1.2. Definimos as coordenadas esfericas (r, , ) por

x = r sin cos,

y = r sin sin,

z = r cos ,

(1.49)

onde 0 r < , 0 , 0 2. A coordenada r e denominadadistancia radial (ou raio), o angulo e o angulo de inclinacao, polar ou de zenite(ou ainda colatitude), e o angulo e o angulo azimutal ou longitude. Os fatoresde escala sao

hr = 1, h = r, h = r sin ,

e o jacobiano da transformacao e J = hrhh = r2 sin . Portanto J = 0

quando r = 0, caso em que os angulos e nao estao definidos, ou quando = 0, (ou seja, toda reta coordenada z), caso em que o angulo nao estadefinido. Os vetores unitarios, ilustrados na figura 2.1, sao

er = sin cosex + sin siney + cos ez,

e = cos cosex + cos siney sin ez,e = sinex + cosey.

(1.50)

Das eqs.(1.39-1.42) temos

grad f =f

rer +

1

r

f

e +

1

r sin

f

e, (1.51)

div V =1

r2(r2Vr)

r+

1

r sin

(sin V)

+

1

r sin

V

, (1.52)

rot V =1

r sin

((sin V)

V

)er +

1

r

(1

sin

Vr (rV)

r

)e

+1

r

((rV)

r Vr

)e,

(1.53)

e para o laplaciano

2f = 1r2

r

(r2f

r

)+

1

r2 sin

(sin

f

)+

1

r2 sin2

2f

2(1.54)

Exemplo 1.3. Seja um vetor constante e r o vetor posicao. Vamos calcularv = r e v em diferentes sistemas de coordenadas. Como primeiropasso, uma vez que o vetor e constante, podemos escolher um dos eixoscartesianos por exemplo, o eixo z como estando alinhado com o vetor ,


o que simplificara os calculos uma vez que nesse caso temos = ez, onde = ||. Em coordenadas cartesianas o vetor posicao e r = xex + yey + zez.Com isso

v =

ex ey ez0 0 x y z

= (yex + xey),e

v =

ex ey ez

x

y

zy x 0

= 2ez = 2.Em coordenadas cilndricas, o vetor posicao e escrito como r = e+zez. Dessaforma

v =

e e ez0 0 0 z

= ee

v = 1

e e ez

z0 2 0

= 2ez = 2.Em coordenadas esfericas o vetor posicao e r = rer. Entretanto, a expressaopara ja nao e mais tanto simples pois precisamos expressar ez em termos de{er, e, e}. Para isso escrevemos ez como

ez = (ez er)er + (ez e)e + (ez e)e (1.55)

e usamos a eq.(1.50) para calcular os produtos escalares entre parenteses. Efe-tuando os calculos encontramos que

ez = cos er sin e.

Com isso temos

v =

er e e

cos sin 0r 0 0

= r sin ee

v = 1r2 sin

er re r sin e

r

0 0 r2 sin2

= 2 cos er 2 sin e = 2.

22 1. PRELIMINARES

Exemplo 1.4. Vamos expressar as componentes da velocidade e da aceleracao deuma partcula em termos de coordenadas cilndricas e esfericas. Em coordenadascartesianas, uma vez que {ex, ey, ez} sao vetores constantes, a velocidade e aaceleracao sao dadas simplesmente por

v =dr

dt= xex + yey + zez, a =

d2r

dt2= xex + yey + zez,

onde x = dx/dt, x = d2x/dt2, etc. Entretanto, Entretanto, isso ja naoocorre com as coordenadas cilndricas e esfericas. Podemos dizer que as ba-ses {e, e, ez} e {er, e, e} movem-se ao longo do espaco. De fato, usando aeq.(1.44), encontramos facilmente que

e = e, e = e, ez = 0, (1.56)Em coordenadas cilndricas r = e + zez, e com a regra de Leibniz temos

v = e + e + zez + zez.

Usando as expressoes acima para e e ez, encontramos que

v = e + e + zez.

De forma analoga, obtemos

a = ( 2)e + ( + 2)e + zez.Ja para coordenadas esfericas, a eq.(1.50) nos fornece que

er = e + sin e,

e = er + cos e,e = sin er cos e.

(1.57)

A obtencao dessas expressoes e um pouco mais trabalhosa do que no caso daeq.(1.56) pois precisamos expressar {ex, ey, ez} em termos de {er, e, e}. Paraisso usamos a expressao na eq.(1.55) e analogas para ex e ey. Claro que o mesmotambem deve ser feito nas equacoes envolvendo as coordenadas cilndricas, mascomo nesse caso as expressoes sao muito mais simples, basta uma inspecao visualpara identificarmos os vetores em questao e chegarmos ao resultado dado pelaeq.(1.56). Agora, para a velocidade e a aceleracao, encontramos, apos calcularas derivadas e agrupar os termos, que

v = rer + re + r sin e,

a = (r r2 2r sin2 )er + (r + 2r 2r sin cos )e+ (r sin + 2r sin + 2r cos )e.

1.3. SEPARACAO DE VARIAVEIS 23

1.2.5 Teoremas Integrais

A expressao dos operadores diferenciais em termos de coordenadascurvilneas ortogonais encontra uma importante aplicacao dentro dosteoremas integrais do calculo de funcoes de varias variaveis. De fato,se V e um volume limitado por S = V e n e o vetor normal de S,entao o teorema de Gauss diz que

V A dV =

S

A n dS, (1.58)

e se uma superfcie S e limitada por uma curva fechada simples C =S, o teorema de Stokes diz que

S(A) n dS =

C

A dr, (1.59)

onde A e um campo vetorial satisfazendo condicoes adequadas de di-ferenciabilidade. Como esses teoremas envolvem calculo de integrais,e isso nem sempre e uma tarefa simples, o uso de um certo sistema decoordenadas pode simplificar os calculos em questao.

Exemplo 1.5. Seja v = r, onde e um vetor constante. Vamos calcularC

v dr, onde C e uma circunferencia no plano xy. Ja vimos que, usandocoordenadas cilndricas, podemos escrever v na forma v = e, onde = ez.Para uma circunferencia de raio R temos dr = Rde, e com isso

C

v dr = 2

0

Re Rde = 2

0

R2d = 2R2.

Por outro lado, tambem calculamos v usando coordenadas cilndricas, queresultou em v = 2. O vetor normal ao crculo S e n = ez, e dessa forma

S

( v) n dS =S

2ez ez dS = 2S

dS = 2R2,

verificando, como esperado, o teorema de Stokes.

1.3 Separacao de Variaveis

O principal metodo de solucao de uma EDP linear e atraves deseparacao de variaveis. A ideia desse metodo e buscar solucoesu(x1, . . . , xn) que possam ser escritas na forma

u(x1, . . . , xn) = X1(x1) Xn(xn).

24 1. PRELIMINARES

Vamos tomar como exemplo a equacao de difusao. Escrevendo u(x, t) =X(x)T (t) e substituindo na eq.(1.9) temos

X(x)T (t) = kX (x)T (t) = X(x)

X(x)=

1

k

T (t)T (t)

.

Nessa ultima equacao o lado esquerdo e uma funcao apenas de x, en-quanto o lado direito e uma funcao apenas de t. Como essas variaveissao independentes, essa situacao so pode ocorrer se as funcoes de cadalado forem iguais a um mesmo valor constante. Denotando essa cons-tante por , segue que as funcoes X(x) e T (t) devem satisfazer

X (x) X(x) = 0,T (t) kT (t) = 0.

E preciso, obviamente, determinar essa constante , que chamaremosconstante de separacao, mas deixaremos esse problema de lado.O fato importante a ser notado agora e que conseguimos com issoreduzir um problema envolvendo uma EDP a um problema envolvendoa resolucao de duas EDO, que em muitos casos, e em particular nessesacima, nao e uma tarefa difcil.

De um modo geral, a utilidade do metodo de separacao de variaveisdepende da forma da EDP. Em outras palavras, uma EDP pode serseparavel em um sistema de coordenadas e nao ser separavel em outro.

Exemplo 1.6. Vamos considerar a EDP

uxx + uxy + uyy = 0.

Escrevendo u(x, y) = X(x)Y (y) encontramos

X (x)Y (y) +X (x)Y (y) +X(x)Y (y) = 0

e nao temos uma situacao onde de um lado ha uma funcao apenas de x e dooutro uma funcao apenas de y. Porem, a forma da EDP depende das coordenadasutilizadas. Sejam as coordenadas (, ) dadas por

= x+ y, = x y.

Nessas novas coordenadas a EDP acima fica escrita como

3U + U = 0,


onde U(, ) = u(x, y) = u(( + )/2, ( )/2). Fazendo agora a separacaode variaveis U(, ) = ()H() temos

3()H() + ()H () = 0 = 3()

()= H

()

H(),

e com isso a EDP torna-se separavel. Sendo assim, uma EDP pode ser separavelem um sistema de coordenadas e nao ser separavel em outro.

Para ilustrar nossa exposicao, vamos tomar uma equacao em parti-cular: a equacao de Laplace. Vamos comparar a separacao de variaveispara essa equacao em coordenadas cilndricas e esfericas, ou seja,

1

r

r

(ru

r

)+

1

r22u

2+2u

z2= 0, (1.60)

1

r2

r

(r2u

r

)+

1

r2 sin

(sin

u

)+

1

r2 sin2

(2u

2

)= 0,

(1.61)

onde usamos as expressoes para laplaciano em coordenadas cilndricase esfericas dadas pelas eqs.(1.48, 1.54), respectivamente. Vamos agoraescrever

u(r, , z) = R(r)()Z(z),

u(r, , ) = R(r)()().

Deixando os detalhes dos calculos de lado por enquanto, as equacoesque obtemos atraves da separacao de variaveis sao

r2d2R

dr2+ r

dR

dr+ (r2 )R = 0, (1.62)

d2

d2+ = 0, (1.63)

d2Z

dz2 Z = 0, (1.64)

no caso cilndrico, e

r2d2R

dr2+ 2r

dR

dr R = 0, (1.65)

1

sin

d

d

(sin

d

d

)+(

sin2

) = 0, (1.66)

d2

d2+ = 0, (1.67)

26 1. PRELIMINARES

no caso esferico. Nessas equacoes , , , denotam as constantes deseparacao, que ainda devem ser determinadas.

As eqs.(1.63,1.64,1.67) sao bem conhecidas. Sao ED lineares comcoeficientes constantes, e suas solucoes sao bem conhecidas. Depen-dendo do sinal da constante envolvida, trata-se da eq.(1.1) do OH. Aeq.(1.65) tambem e familiar para quem ja teve uma introducao as ED;trata-se de uma equacao de Euler.

Para identificarmos a eq.(4.85) precisamos fazer uma mudanca devariavel. Supondo > 0 e definindo =

r e escrevendo R() =

R(/) a eq.(4.85) fica

2d2Rd2

+ dRd

+ (2 )R = 0. (1.68)

Se > 0 identificamos essa equacao como sendo a equacao de Bessel(1.3). Se < 0 definimos = i

|| e chegamos a

2d2Rd2

+ dRd (2 + )R = 0, (1.69)

que e chamada equacao de Bessel modificada.Quanto a eq.(1.66), para a colocarmos em uma forma conhecida

devemos definir = cos . Escrevendo P() = (arccos ) e fazendo amudanca de variavel chegamos a

(1 2)d2Pd2 2 dP

d+

(

1 2)P = 0. (1.70)

Essa e a equacao de Legendre associada. Comparando com aeq.(1.4) vemos que a equacao de Legendre e o caso particular destacom = 0,

(1 2)d2Pd2 2 dP

d+ P = 0. (1.71)

No caso da equacao de Laplace, sabemos que existem 11 sistemas decoordenadas nos quais ela e separavel. Essas coordenadas sao as: (i)cartesianas; (ii) cilndricas; (iii) esfericas; (iv) conicas; (v) elipsoidais;(vi) elptica cilndrica; (vii) esferoidal oblata; (viii) parabolica; (ix)parabolica cilndrica; (x) paraboloidal; (xi) esferoidal prolata.

Por outro lado, a separabilidade de uma EDP em um conjunto deEDO nao e garantia de que o problema de resolver uma EDP esteja


resolvido. Como veremos, um aspecto fundamental de um problemaenvolvendo uma EDP sao as condicoes iniciais e/ou de contorno. A se-parabilidade das condicoes envolvidas no problema e uma outra parteimportante e fundamental, que pode determinar o sucesso ou nao daaplicacao do metodo. Isso, entretanto, sera visto oportunamente, prin-cipalmente atraves de exemplos.

Finalmente, podemos notar que as equacoes de Bessel e de Legendresao exemplos de EDO da forma

P (x)y +Q(x)y +R(x)y = 0,

onde P (x), Q(x) e R(x) sao funcoes satisfazendo certas propriedades(que ainda iremos considerar), que sao muito importantes em suasaplicacoes. Muitas dessas EDO levam o nome de seus grandes estu-diosos alem das ja mencionadas, temos tambem, por exemplo, asequacoes de Hermite, Laguerre, Tchebyshev, etc. Estudar essas EDOe um dos nossos objetivos.

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Notas de Aula - Métodos Matemáticos