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MÉTODOS MATEMÁTICOS

Prof. Dr. Paulo H. D. Santos [email protected]

AULA 1

Apresentação do Plano de Ensino; EDOs de 1ª Ordem – Parte 1. 10/03/2015

Aula 1 – Apresentação do Plano de Ensino; EDOs de 1ª Ordem – Parte 1. Métodos Matemáticos 3/48

Sumário

Conteúdo Programático

Metodologia

Avaliação

Critério de Aprovação

Data das Avaliações

Referências

Capítulo 1 - EDO de 1ª Ordem

1.1) Conceitos Básicos;

1.2) Equações Diferenciais Separáveis;

1.3) Equações Diferenciais Exatas.


Conteúdo

Programático


Capítulo 1

1.1) Conceitos Básicos; 1.2) Equações Diferenciais Separáveis;

1.3) Equações Diferenciais Exatas; 1.4) Fatores de Integração;

1.5) Equações Diferenciais Lineares

Capítulo 2

2.1) Equações Diferenciais de 2ª Ordem Lineares Homogêneas;

2.2) Equações Homogêneas com Coeficientes Constantes;

2.3) Modelagem: Sistema Massa-Mola; 2.4) Equação de Euler-

Cauchy; 2.5) Teoria da Existência e Unicidade (Wronskiano);

2.6) Equação Não-Homogênea; 2.7) Solução por Coeficientes

Indeterminados; 2.8) Solução por Variação de Parâmetros;

2.9) Modelagem: Oscilação Forçada e Ressonância.


Capítulo 3

3.1) Método das Séries de Potência; 3.2) Teoria e Conceitos Básicos;

3.3.1) Equação de Legendre; 3.3.2) Polinômio de Legendre;

3.4) Método de Frobenius; 3.5) Equação e Função de Bessel;

3.6) Algumas Propriedades de Jn(x); 3.7) Funções de Bessel de 2ª

Espécie.

Capítulo 4

4.1) Transformada de Laplace: Transformada, Inversão e Linearidade;

4.2.1) Derivadas e Integrais. 4.2.2) Equações Diferenciais e

Problemas de Valor Inicial; 4.3) Deslocamento em s e t;

4.4) Diferenciação e Integração de Transformadas; 4.5) Convolução

e Equações Integrais;


Capítulo 5

5.1) Séries de Fourier: Funções Periódicas e Séries Trigonométricas;

5.2.1) Séries de Fourier; 5.2.2) Ortogonalidade de um Sistema

Trigonométrico; 5.3) Funções de Período p = 2L Qualquer;

5.4) Funções Pares e Ímpares.

Capítulo 6

6.1) Equações Diferenciais Parciais: Definição; 6.2) Separação de

Variáveis: Uso das Séries de Fourier; 6.3) Equação da Difusão:

Solução por Séries de Fourier; 6.4) Membrana Circular: Uso das

Séries de Fourier-Bessel.


Metodologia


Aulas expositivas do conteúdo programático com a

utilização de recursos audiovisuais.

Trabalhos para fixação do conteúdo.


Avaliação


As avaliações serão compostas por duas provas e listas de

exercícios.

As provas terão 70% de peso na avaliação.

As listas de exercícios (entregues na data marcada) terão

30% de peso na avaliação.

Um trabalho final deve ser apresentando no final do curso.


O conceito da disciplina será computado, de forma

normalizada, através da média das avaliações e do trabalho:

=

31 2Av Av Trab

MF


Data das Avaliações

1ª Avaliação: 16/04/15

2ª Avaliação : 26/05/15

Apresentação do Trabalho: 27/05/15 (Quarta-feira) e 28/05/15


Trabalho Final

1. Será escolhido através de sorteio um método matemático;

2. Deve-se escolher um problema de um artigo de periódico ou de um livro para ser resolvido através do método matemático escolhido;

3. O modelo matemático deve ser implementado e simulado no software Maple;

4. O programa implementado deve ser impresso e os resultados devem ser apresentados no final do curso.


Referências


Referências

1. Hartman P. Ordinary differential equations, Wiley, 1964.

2. Ince E.L. Ordinary Differential Equations, 1920.

3. Figueiredo D. G, Equações Diferenciais Aplicadas, IMPA, 2009, Terceira

Edição.

4. Soares M. Ordinary Differential Equations with Applications to Mechanics,

Springer, 2007.

5. Agarwal R. and O'Regan D., Ordinary and Partial Differential Equations - With

Special Functions, Fourier Series, and Boundary Value Problems, Springer,2009.

6. Kreider, D. L.; Kuller, R. G.; Ostberg, D. R. e Perkins, F. W., (1972).

7. Introdução a Análise Linear, Vol. 1, e 3. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico S.A.

8. Figueiredo D. G, _Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, IMPA,

2010.

9. Lima E. L., Espaços Métricos, Terceira Edição, IMPA, 1993.

10. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10 Ed., 2011.


Capítulo 1

EDOs de 1ª Ordem


1.1) Conceitos Básicos

O processo de criação de um modelo, obtenção da sua solução matemática e a interpretação dos resultado obtidos em termos físicos é chamado de modelagem matemática ou, resumidamente, modelagem.

Muitas concepções físicas, tais como a velocidade e aceleração, são representadas por derivadas.

Um modelo é muitas vezes uma equação (chamada de uma equação diferencial) contendo derivadas de uma função desconhecida.



Uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) é uma equação que contém uma ou várias derivadas de uma função desconhecida, que costumamos chamar de y(x) (ou, por vezes, y(t) se a variável independente é tempo t).

A equação y também pode conter funções conhecidas de x (ou de t) e constantes.

Uma EDO é dita ser de ordem n, se a enésima derivada da função y desconhecida é a maior derivada de y na equação.

O conceito de ordem dá uma classificação útil para as EDOs de primeira ordem, segunda ordem e assim por diante.

Logo, (1) é de primeira ordem, (2) de segunda ordem e (3) de terceira ordem.



Neste capítulo vamos considerar EDOs de primeira ordem.

Tais equações contem apenas a primeira derivada y' e pode conter y e qualquer função de x.

Portanto, podemos escrevê-la como

(4) F(x, y, y’) = 0

ou nesta forma

y’ = f (x, y).

Esta é chamada de forma explícita, em contraste com a forma implícita (4).

Por exemplo, a EDO implícita x−3 y’ − 4y2 = 0 (onde x ≠ 0) pode ser escrita na forma explícita: y’ = 4x3y2.



Uma função

y = h(x)

é chamada de uma solução para uma determinada EDO (4) num intervalo aberto a < x < b, se h(x) está definida e é diferenciável ao longo deste intervalo;

Além disso, a equação se torna uma identidade se y e y‘ são substituídas por h e h', respectivamente.

A curva (gráfico) de h é chamada de curva da solução.

Aqui, o intervalo aberto significa que os pontos finais a e b não são considerados como pontos pertencentes ao intervalo.

Além disso, a < x < b inclui intervalos infinitos -∞ <x <b, a <x <∞, ∞ <x <∞ (a reta real) como casos especiais.



EXEMPLO 1: Solução por Cálculo (Curvas de solução).

A EDO y‘ = dy/dx = cos(x) pode ser resolvida diretamente por integração de ambos os lados.

De fato, usando o cálculo obtemos y = ∫cos(x)dx = sen(x) + c, onde c é uma constante arbitrária. Esta é uma família de soluções.

Logo, cada valor de c, por exemplo: 2,75 ou 0 ou -8 dá uma dessas curvas abaixo (Fig. c = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4).



EXEMPLO 2: Crescimento Exponencial.

Do cálculo sabemos que y = ce0.2t possui a derivada

Assim y é uma solução de y‘ = 0.2y. Esta EDO tem a seguinte forma y‘ = ky.

Se a constante k for positiva, pode-se modelar o crescimento exponencial, por exemplo, de bactérias ou de colônias de populações de animais. Ela também se aplica aos seres humanos para determinar o crescimento populacional de pequenos países (conhecida como lei de Malthus).

0.20.2 0.2tdyy ce y

dx



EXEMPLO 2: Crescimento Exponencial.

Da mesma forma, y'= -0.2y (k possui um sinal de menos à direita) tem a solução y = ce-0.2t, modelo para o decaimento exponencial (por exemplo, uma substância radioativa).

Crescimento exponencial Decaimento exponencial



Notem que cada EDO nestes exemplos tem uma solução que contém uma constante c arbitrária.

Tal solução contendo uma constante c arbitrária é chamada de solução geral da EDO .

Veremos que c às vezes não é completamente arbitrária, mas deve ser restrita a algum intervalo para evitar expressões complexas na solução.

Devemos desenvolver métodos para encontrar soluções gerais únicas.

Logo, poderemos dizer que é a solução geral de uma determinada EDO (em vez de uma solução geral).



Geometricamente, a solução geral de uma EDO é uma família de infinitas curvas de solução, uma para cada valor da constante c.

Se escolhermos uma c específica (por exemplo, c = 6,45 ou 0 ou -2,01) obteremos o que é chamado de uma solução particular da EDO . Uma solução particular não contém quaisquer constantes arbitrárias.

Na maioria dos casos existem soluções gerais e cada solução que não contém uma constante arbitrária é obtida como uma solução particular, atribuindo um valor adequado para c.

Exceções para essa regra podem ocorrer, mas são de menor interesse pois não possuem aplicações práticas.



PROBLEMA DO VALOR INICIAL (PVI)

Na maioria dos casos, a única solução de um determinado problema (solução particular) é obtida a partir de uma solução geral para uma condição inicial y (x0) = y0, com valores dados x0 e y0, que são usados para determinar um valor para a constante arbitrária c.

Geometricamente esta condição significa que a curva de solução deve passar pelo ponto (x0, y0) no plano-xy.

Uma EDO juntamente com uma condição inicial é chamado de um Problema do Valor Inicial.

Assim, se a EDO é explícita, y‘ = f (x, y), o problema do valor inicial possui a forma

(5) y’ = f (x, y), y(x0) = y0.



EXEMPLO 3: Radioatividade (Decaimento Exponencial).

Dada uma quantidade de uma substância radioativa, por exemplo, 0,5 g (grama), determine a quantidade dessa substância num tempo qualquer posterior.

Informações físicas: experimentos mostram que em cada instante a substância radioativa se decompõe, assim diminui com o tempo. Siga as seguintes passos para resolver o problema:

1º Passo: Desenvolvimento de um modelo matemático para o processo físico.

2º Passo: Determinação de uma solução matemática.

3º Passo: Interpretação do resultado.





y(t) representa a quantidade de substância ainda presente num instante t qualquer. Pelas leis da física, a velocidade (ou taxa) de decomposição y'(t) = dy/dt é proporcional a y(t). Esta formulação é representada pela EDO de primeira ordem:

(6)

Onde a constante k é positiva. Para que ocorra um decaimento (decomposição), deve existir um sinal negativo do lado direito da igualdade da EDO.

O valor de k foi determinado experimentalmente (por exemplo para o rádio 88Ra226, k = 1,4×10-11 s-1).

dy

kydt





Agora, o valor inicial dado é de 0,5 g, e podemos chamar o instante correspondente t = 0. Em seguida, temos a condição inicial y (0) = 0,5.

Este é o momento no qual o processo se inicia. Esta condição é chamada de condição inicial (a qual, no entanto, é também utilizada quando a variável independente não é o tempo t ou quando se escolhe um tempo t que não seja t = 0).

Por isso, o modelo matemático do processo físico é um problema do valor inicial

(7)

, (0) 0.5.dy

ky ydt




2º Passo: Solução Matemática.

A EDO (6) modela o decaimento exponencial e tem a solução geral (com a constante arbitrária c e k, já definida pelo modelo)

(8) y (t) = ce-kt.

Vamos agora determinar c usando a condição inicial.

Como y (0) = c a partir de (8), obtém-se y (0) = c = 0,5.

Assim, a solução particular que rege o nosso processo é dada por

(9) y (t) = 0.5e-kt (k> 0).




2º Passo: Solução Matemática.

Sempre verifique seus resultados – você pode ter cometido algum erro ao resolver o problema ou pode ter digitado errado alguma variável num determinado software no computador!

Verifique pela diferenciação da equação da solução (9) se a equação (7) e a condição inicial (y (0) = 0,5) são satisfeitas:

dy/dt = −0.5ke−kt = −k · 0.5e−kt = −ky, y(0) = 0.5e0 = 0.5.




3º Passo: Interpretação dos Resultados. A equação (9) fornece a quantidade de substância radioativa em função do tempo t. O processo de decomposição inicia-se a partir da uma quantidade inicial e diminui com o tempo (k é positivo).

Notem que o limite de y é zero quando t → ∞.


1.2) Equações Diferenciais Separáveis

Muitas EDOs úteis na prática, por meio de manipulações puramente algébricos, podem ser reduzidas à forma

(1) g(y) y’ = f (x)

Então, podemos integrar em ambos os lados em relação a x, obtendo

(2) ∫g(y) y’dx = ∫f (x) dx + c.

Sabendo que y’dx = dy, obtém-se

(3) ∫g(y) dy = ∫f (x) dx + c.

Se f e g são funções contínuas, as integrais em (3) existem e pela solução delas obtém-se uma solução geral para equação (1).

Este método de resolução de EDOs é chamado de método da separação de variáveis, e (1) é chamada de equação separável, porque em (3) as variáveis são agora separáveis: x só aparece no lado direito e y apenas no lado esquerdo.



EXEMPLO 4: Problema de Transferência de Calor (Lei de

Resfriamento de Newton)

Uma esfera de cobre é subitamente resfriada. Inicialmente ela está a

100oC e é colocada num banho termostatizado, no qual o fluido de

trabalho está a 30oC . Após 3 min, a temperatura da esfera é de 70oC .

Determine o tempo necessário para a esfera atingir 31oC .





Solução: 1º Passo

O modelo é dado pela Lei de Resfriamento de Newton que é representado pela seguinte EDO,

(4)

Inicialmente, a temperatura da esfera está a 100oC. Assim, T(0) = 100, é a condição inicial.

Além disso, após 3 min a temperatura da esfera está a 70oC. Essa condição, T(3) = 70, deve ser utilizada para calcular a constante de proporcionalidade k.

dTk T T

dt






A ODE (4) é separável. Fazendo a separação, a integração e aplicando exponencial em ambos os lados obtém-se

Utilizando a condição inicial e a condição em t = 3 min, obtém-se a constante arbitrária c e a constante de proporcionalidade,

c = 70 e k = -0,1865

Assim,

(5)

ktT T ce

0,186570 tT T e






Notem que as condições de contorno e inicial estão reproduzidas no gráfico.



Redução da EDO para Forma Separável

Certas EDOs não-separáveis podem se tornar separáveis por transformações que introduzem para y uma nova função desconhecida.

Discutiremos esta técnica para uma classe de EDOs de importância prática, por exemplo:

(8)

onde f é uma função qualquer (diferenciável) de y/x, tal como sen(y/x), (y/x)4 e assim por diante. (Tais EDOs são às vezes chamadas de EDOs homogêneas).

' .

yy f

x



Redução da EDO para Forma Separável

A forma dessa ODE sugere que se estabeleça y/x = u; logo,

(9) y = ux e pela derivada do produto, y’ = u’x + u.

Substituido em y‘ = f (y / x), então obtém-se u'x + u = f (u) ou u'x = f (u) - u.

Percebe-se que se f(u) - u ≠ 0, esta pode ser separada:

(10)

.( )

du dx

f u u x


1.3) Equações Diferenciais Exatas

Relembrando dos cálculos que se uma função tem derivadas parciais contínuas, sua derivada (também chamada de derivada total) é dada por:

A partir disso, afirma-se que se u (x, y) = c = const, du = 0.

.u u

du dx dyx y



Uma EDO de primeira ordem M(x, y) + N(x, y)y‘ = 0, escrita como (dy = y'dx)

(1) M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0

é chamada de uma equação diferencial exata se a forma diferencial M(x, y)dx + N(x, y)dy é exata, ou seja, essa forma é o diferencial

(2)

de alguma função u(x, y). Então, (1) pode ser escrita como:

du = 0.

Pela integração obtemos imediatamente a solução geral de (1) na seguinte forma,

(3) u(x, y) = c.

u udu dx dy

x y



Comparando (1) e (2), percebe-se que (1) é uma equação diferencial exata se houver alguma função u(x, y) tal que

(4) (a) (b)

A partir disso pode-se obter uma equação para verificar se (1) é ou não é exata.

Suponde que M e N sejam contínua e que as suas primeiras derivadas parciais sejam também contínuas numa região no plano-xy, cujo limite é uma curva fechada sem auto-interseções.

Portanto, pela diferenciação parcial de (4), obtém-se

uM

x

.

uN

y

2M u

y y x

2

.N u

x x y



Pela consideração de continuidade, as duas derivadas parciais segundas são iguais, assim,

(5)

Esta condição não é apenas necessária, mas também suficiente para que (1) seja uma equação diferencial exata.

Se (1) é exata, a função u(x,y) pode ser encontrada por inspeção ou pela seguinte maneira sistemática.

A partir de (4a), temos por integração em relação a x:

(6)

.

M N

y x

( );u Mdx k y



Nesta integração, y é considerada como uma constante e k(y) desempenha o papel de uma "constante" de integração.

Para determinar k(y), deriva-se ∂u/∂y de (6) e utiliza-se (4b) para obter dk/dy;

Por fim, integra-se dk/dy para obter k.



Se uma determinada EDO não for exata, pode-se transformá-la em exata da seguinte maneira.

Multiplica-se a EDO não-exata (7) por uma função F que, em geral, será uma função de x e y:

(12) P(x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

O resultado é dado pela seguinte equação:

(13) FP dx + FQ dy = 0, que é exata.

Logo, pode-se resolvê-la como acabamos de discutir nos slides anteriores.

Tal função é chamada de fator de integração de (12).


Lista de Exercícios – 1 (Entregar no dia 17/03/15)


Referências

Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 10th

Ed., JOHN WILEY & SONS, INC., USA, 2011.

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