NAMA; NOVA HERMAWANKELAS; XII TKR . Peluang 1.Permutasi Permutasi r unsur dari n unsur yang tersedia (dituis Pr n atau nPr! adaa" #anya$%ara menyusunr unsur yang#er#eda diam#i dari se$um&uannunsur yangtersedia' Rumus( nPr ) !*rn( *n + ,-nt-" . /anya$ %ara menyusun &engurus yang terdiri dari Ketua0 Se$retaris0dan /enda"ara yang diam#i dari 1 -rang %a-n adaa"2' Penyeesaian 3#anya$ %a-n &engurus 1 4 n ) 1 3#anya$ &engurus yang a$andi&ii" 5 4 r ) 5 nPr ) ) 1P5 ) ) ) 67 %ara !*rn( *n + !*51( *1 + *8 *1 *8 1'9'5*'8 ,-nt-" 8 /anya$ #iangan yang terdiri dari tiga ang$a yang di#entu$ dariang$a:ang$a 50 90 10 60 ;0 dan adian yang di"ara&$an mun%u din-tasi$an dengan n(A!0 dan #anya$nya $e>adian yang mung$in mun%u (ruang sam&e ) S! din-tasi$an dengan n(S! ma$a Peuang $e>adian A dituis P(A! ) n(A! n(S! ,-nt-" . Peuang mun%u mu$a dadu n-m-r 1 dari &eem&aran se#ua" dadusatu $ai adaa"2' Penyeesaian( n(1! ) . dan n(S! ) 6 4 yaitu( .0 80 50 90 10 6 AadiP(1! ) ) 6 . !S(n !1(n ,-nt-" 8 ?aam se#ua" $ant-ng terda&at 9 $eereng mera" dan 5 $eereng #iru ' /ia se#ua" $eereng diam#i dari daam $ant-ng ma$a &euang teram#inya $eereng mera" adaa"2' Penyeesaian( 3 Ke>adian yang di"ara&$an mun%u yaitu teram#inya $eerengmera" ada 9 4 n(mera"! ) 9 3 Ke>adian yang mung$in mun%u yaitu teram#i 9 $eereng mera" dan 5 $eereng #iru 4 n(S! ) 9 C 5 ) ; 3 Aadi &euang $eereng mera" yang teram#i adaa" P(mera"! ) P(mera"! ) !S(n !mera"(n ; 9 ,-nt-" 5 ?aam se#ua" $ant-ng terda&at ; $eereng mera" dan 5 $eereng#iru ' /ia tiga #ua" $eereng diam#i se$aigus ma$a &euang teram#inya $eereng mera" adaa"2' Penyeesaian( 3 /anya$ $eereng mera" ) ; dan #iru ) 5 4 >uma"nya ) .7 3/anya$ %ara mengam#i 5 dari ; 4 ;,5 ) ) ) 51 ) + !*5;(*5 *; *9*'5 *; 5'8'. ;'6'1 3 /anya$ %ara mengam#i 5 dari .7 4 .7,5 ) ) ) .87 3 Peuang mengam#i 5$eereng mera" se$aigus ) ) ) ) + !*5.7(*5 *.7 *;*'5 *.7 5'8'. .7'@'< .87 51 , , 5.7 5; 89 ; 4. Komplemen Kejadian 3 Niai suatu &euang antara 7 sam&ai dengan . 4 7 D &(A! D . 3 P(A! ) 7 4 $e>adian yang tida$ mung$in ter>adi 3 P(A! ) . 4 $e>adian yang &asti ter>adi 3 P(A. ! ) . E P(A! A. adaa" $-m&emen A ,-nt-" . Se&asang suami istri mengi$uti $euarga #eren%ana' Mere$a #er"ara& mem&unyai dua ana$' Peuang &aing sedi$it mem&unyai se-rang ana$ a$i:a$i adaa" 2' Penyeesaian( 3 $emung$inan &asangan ana$ yang a$an dimii$i( $eduanya a$i: a$i0 $eduanya &erem&uan atau . a$i: a$i dan . &erem&uan 4 n(S! ) 5 3 Peuang &aing sedi$it . a$i:a$i ) . E &euang semua &erem&uan ) . E ) . E ) 5 . !S(n !&0&(n 5 8 ,-nt-" 8 ?aam se#ua" $eran>ang terda&at 17 #ua" saa$0 .7 diantaranya #usu$' ?iam#i 1 #ua" saa$' Peuang &aing sedi$it menda&at se#ua" saa$ tida$ #usu$ adaa"2' a' #' %' d' e' 117 1.7 , , . + 117 197 , , . + 117 1.7 P P . + 117 1.7 , , 117 197 , , Penyeesaian( 3 #anya$ saa$ 170 .7 saa$ #usu$ 3 diam#i 1 saa$ 4 r ) 1 3 n(S! ) 17,1 3 Peuang &aing sedi$it . saa$ tida$ #usu$ ) . E &euang semua saa$ #usu$ ) . E 117 1.7 , , 4 #erarti >a=a#annya a 5. Kejadian Saling Lepas Ai$a A dan / adaa" dua $e>adian yang saing e&as ma$a &euang $e>adian A atau / adaa" P(A atau /! ) P(A! C P(/! ,-nt-" . ?ari satu set $artu #ridge (tan&a >-$er! a$an diam#i dua $artu satu&ersatu #erturut:turut0 $emudian $artu terse#ut di$em#ai$an' Peuang teram#inya $artu as atau $artu $ing adaa"2' Penyeesaian( 3 $artu #ridge ) 18 4 n(S! ) 18 3 $artu as ) 9 4 n(as! ) 9 3 P(as!) 3 $artu $ing ) 9 4 n($ing! ) 9 3 P($ing! ) 3 P(as atau $ing! ) P(as! C P($ing! ) 18 9 18 9 C 18 9 ) 18 9 18 < ,-nt-" 8 Se#ua" d-m&et #erisi uang -gam 1 $e&ing ima ratusan dan 8 $e&ing ratusan ru&ia"'?-m&et yang ain #erisi uang -gam . $e&ing ima ratusan dan 5 $e&ing ratusan' Ai$a se#ua" uang -gam diam#i se%ara a%a$ dari saa" satu d-m&et0 &euang untu$ menda&at$an uang -gam ratusan ru&ia" adaa"2' Penyeesaian 3 d-m&et I( 1 $e&ing ima ratusan dan 8 $e&ing ratusan 4P(d-m&et I0ratusan! ) F' ) 3 d-m&et II( . $e&ing ima ratusan dan 5 $e&ing ratusan' 4P(d-m&et II0 ratusan! ) F' ) 3 Aadi &euang menda&at$an uang -gam ratusan ru&ia" 4P(ratusan! ) C ) ; 8 9 5 ; . < 5 ; . < 5 16 8@ 6. Kejadian Saling Bebas Ke>adian A dan / saing #e#as Ai$a $eduanya tida$ saing mem&engaru"i P(A dan /! ) P(A! B P(/! ,-nt-" . Angg-ta &aduan suara suatu se$-a" terdiri dari .8 &utra dan .< &utri'/ia diam#i dua angg-ta dari $e-m&-$ terse#ut untu$ mengi$uti -m#a &er-rangan ma$a &euang ter&ii"nya &utra dan &utri adaa"2' Penyeesaian 3 #anya$ angg-ta &utra .8 dan #anya$ angg-ta &utri .< 4 n(S! ).8 C .< ) 57 3 P(&utra dan &utri! ) P(&utra! B P(&utri! ) B ) 57 .8 57 .< 81 6 8 11 5 ,-nt-" 8 Peuang Amir uus &ada G>ian Nasi-na adaa" 70@7' Sedang$an&euang /adu uus &ada G>ian Nasi-na 70ang ana$ &ana" terse#ut'Pada gam#ar di #a=a"teri"at %-nt-":%-nt-" He$t-r yaitu (Saa" satu >enis $"usus He$t-r adaa" He$t-r &-sisi' Iaitu se#ua" He$t-r yang menun>u$$an >ara$dan ara" reatiJ antara suatu titi$ dengan titi$ ainnya'Vektor satuanVe$t-r satuan adaa" He$t-r yang m-duusnya satu (.! satuan &an>ang' Gntu$ mem&er-e" He$t-r satuan dari se#ua" He$t-r0 He$t-r terse#ut "arus di#agi dengan m-duusnya'Misa$an di%ari He$t-r satuan dari He$t-r?i%ari tere#i" da"uu m-duusnya(Kemudian He$t-r terse#ut di#agi dengan m-duusnyaHe$t-r satuan terse#ut aKim dituis dengan "uruJe dengan inde$s He$t-r asa'1. Pengertian vektor Pada garis berarah dari titik A ke titik B di R 3 mempunyai panjang tertentu dinyatakan sebagai vektor. Vektor dapat dinotasikan dengan : Atau dapat juga dinyatakan sebagai : Dimana adalah vektor satuan. 2. Panjang Vektor Jika titik A x1,y1,z1) dan B x2,y2,z2) maka vektor AB adalah : 3. Vektor Satuan Vektor satuan adalah adalah vektor yang panjangnya satu satuan.Jika vektor maka vektor satuan dari a adalah: 4. Operasi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Vektor dangan Skalar a. Penjumlahan atau pengurangan vektor !ontoh : Diketahui vektor "ilai Ja#ab : b. Perkalian $kalar dengan vektor 5. Rumus Perandingan, Perkalian Skalar Pro!eksi dan Perkalian Silang Vektor a. Perkalian $kalar b. !ross Produ%t d. Rumus Pembagian !ontoh : Diketahui titik A &'( )( 3 *( B +( &'( 3* dan ! '( ,( &)* -itik R membagi AB sehingga .AR / 3RB( vektor yang me#akili adala h : Ja#ab :STATISTIKADalamkehidupansehari-hari, katastatistikdapat diartikansebagai kumpulan angka-angka yang menggambarkan suatu masalah. Statistik korban gempa kabupaten Bantulmisalnya, berisi angka-angka mengenaibanyaknya korban misalnya yang mengalamiluka ringan, luka berat, dan meninggal. Contoh lain misalnya data korban kecelakaanlalu lintas dari kantor polisi lalu lintas.Statistik juga diartikan sebagaisuatu ukuran yang dihitung darisekumpulan data danmerupakan wakil dari data itu. Misalnya rata-rata skor tes matematika kelas X adalah!"ataubendalebih dari #$%pendudukndonesiaberadadi pedesaan. Sedangkanpengertianstatistikasesungguhnyaadalahpengetahuanyangberhubungandengancarapenyusunandata, penyajiandata, dan penarikankesimpulanmengenai suatukeseluruhan berdasarkan data yang ada pada bagian dari keseluruhan tadi.&eseluruhan objek yang diteleti disebut populasi sedangkan bagian dari populasidisebut sampel.Menurut 'ungsinya, statistika dibedakan menjadi dua jenis, yaitu statistika deskripti' danstatistika indukti' (in'erensial). Statistika deskripti' adalah bagian statistika yangmempelajari cara penyusunan dan penyajian data yang dikumpulkan. *enyusunan datadimaksudkan untuk memberikan gambaran mengenai urutan data atau kelompok data,sehingga pengguna data dapat mengenalinya dengan mudah. *enyajian datadimaksudkan untuk memberikan gambaran mengenai data atau kelompok data dalambentuk tabel, diagram, atau gambar.Statistika indukti' atau in'erensialadalah bagian statistika yang mempelajaritata carapenarikan kesimpulan yang +alid mengenaipopulasiberdasarkan datapada sampel.Dalammenarik kesimpulan pada statistika in'erensial biasanya digunakan unsurpeluang.Bilamembicarakan statistika,makatidaklepas denganapa yang disebut data. Datadapat diartikan sebagai keterangan yang diperlukan untuk memecahkan suatumasalah. Berikut ini diberikan macam-macam data ditinjau menurut si'atnya, yaitu,-. Data kualitati', yaitu data yang berbentuk kategori atau atribut.Misal,a. .arga mobil semakin terjangkaub. Murid-murid di SD /egeri 0 rajin-rajin.1. Data kuantitati', yaitu data yang berupa bilangan.Misal,a. Banyaknya siswa pada kelasadalah 12$.b 3inggi pohon itu adalah -$ meter.Menyajikan data dalam bentuk diagramDiagram Garis*enyajiandatastatistik dengan menggunakan diagram berbentuk garislurus disebutdiagramgaris lurus ataudiagramgaris. Diagramgaris biasanya digunakan untukmenyajikan data statistik yang diperoleh berdasarkan pengamatan dari waktu ke waktusecara berurutan.Sumbu X menunjukkan waktu-waktu pengamatan, sedangkan sumbu 4 menunjukkannilaidata pengamatan untuk suatu waktu tertentu. &umpulan waktu dan pengamatanmembentuk titik-titik pada bidang X4, selanjutnya kolomdari tiap dua titik yangberdekatan tadi dihubungkan dengan garis lurus sehingga akan diperoleh diagram garisatau gra'ik garis. 5ntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.Diagram 6ingkaranDiagramlingkaran adalah penyajian data statistik dengan menggunakan gambar yang berbentuklingkaran. Bagian-bagian dari daerah lingkaran menunjukkan bagian bagian atau persen darikeseluruhan. 5ntukmembuat diagramlingkaran, terlebihdahuluditentukanbesarnyapersentasetiapobjek terhadap keseluruhan data dan besarnya sudut pusat sektor lingkaran.Contoh soal7anah pri+at (pengaduan) dari koran Solo *os pada tanggal 11 8ebruari 1$$" ditunjukkanseperti tabel berikut./yatakan data di atas dalam bentuk diagram lingkaran.*enyelesaianSebelum data pada tabel di atas disajikan dengan diagram lingkaran, terlebih dahulu ditentukan besarnyasudut dalam lingkaran dari data tersebut.-. C*/S9.onda9:33 ; $? ; -"?1. *erbaikan9pembangunan9gangguan jalan ; #9-$$ = 0>$? ; 01,2?0. Masalah lingkungan9kebersihan ; >9-$$ = 0>$? ; 1-,>?2. &esehatan9*&MS9@skeskin ; 09-$$ = 0>$? ; -$,"?9-$$ = 0>$? ; 1-,>?>. 7e+italisasi9budaya Aawa ; 1$9-$$ = 0>$? ; !1?!. *arkir ; 09-$$ = 0>$? ; -$,"?". *ekat9penipuan9preman ; !9-$$ = 0>$? ; 1$? ; 0>?-$. *&69Bangunan liar ; 19-$$ = 0>$? ; !,1?--. *6/ dan *D@M ; 19-$$ = 0>$? ; !,1?-1. *ro+ider .* ; !9-$$ = 0>$? ; 1$? ; -$,"?-2. 6ain-lain ; -!9-$$ = 0>$? ; >-,1?Diagram lingkarannya adalah sebagai berikut.Diagram BatangDiagram batang umumnya digunakan untuk menggambarkan perkembangan nilai suatu objek penelitian dalam kurun waktu tertentu. Diagram batang menunjukkan keterangan-keterangan dengan batang-batang tegak atau mendatar dan sama lebar dengan batang-batang terpisah. *erhatikan contoh berikut ini.Contoh soalAumlah lulusan SM@ X di suatu daerah dari tahun 1$$- sampai tahun 1$$2 adalahsebagai berikut./yatakan data di atas dalam bentuk diagram batang.*enyelesaianData tersebut dapat disajikan dengan diagram batang sebagai berikut.Penyajian Data dalam Bentuk Tabel Distribusi Frekuensi*erhatikan contoh data hasil nilai pengerjaan tugas Matematikadari 2$ siswa kelas X berikut ini.>> !< !2 !1 !# !" !< !< !# !-!< !> !2 !0 !- !1 !2 !2 !- !$!2 !! !0 !0 !$ !2 !1 !1 "$ !$!0 >! !1 !1 !< !2 !2 >" ># "$dari data diatas, dapat dibuat tabel distribusi 'rekuensi sbb,stilah-istilah yang banyak digunakan dalam pembahasan distribusi 'rekuensibergolong atau distribusi 'rekuensi berkelompok antara lain sebagai berikut.a. Interval Kelas3iap-tiap kelompok disebut inter+al kelas atau sering disebut inter+al atau kelassaja. Dalam contoh sebelumnya memuat enam inter+al ini.>< C >! D nter+al kelas pertama>" C !$ D nter+al kelas kedua!- C !0 D nter+al kelas ketiga!2 C !> D nter+al kelas keempat!! C !# D nter+al kelas kelima"$ C "1 D nter+al kelas keenamb. Batas KelasBerdasarkan tabel distribusi 'rekuensi di atas, angka >", !-, !2, !!, dan "$merupakan batas bawah dari tiap-tiap kelas, sedangkan angka >!, !$, !0, !>, !#,dan "1 merupakan batas atas dari tiap-tiap kelas.c. Tepi Kelas (Batas yata Kelas!5ntuk mencari tepi kelas dapat dipakai rumus berikut ini.3epi bawah ; batas bawah C $,!,!,< dan tepi atasnya !$,< dan seterusnya.d. "ebar kelas5ntuk mencari lebar kelas dapat dipakai rumus,6ebar kelas ; tepi atas C tepi bawahAadi, lebar kelas dari tabel diatas adalah >!,< C >2,< ; 0.e. Titik Tenga#5ntuk mencari titik tengah dapat dipakai rumus,3itik tengah ; -91 (batas atas E batas bawah)Dari tabel di atas, titik tengah kelas pertama ; -91(>! E >>titik tengah kedua ; -91(!$ E >") ; >#dan seterusnya.Distribusi Frekuensi Kumulati$Da'tar distribusi kumulati' ada dua macam, yaitu sebagai berikut.a. Da'tar distribusi kumulati' kurang dari (menggunakan tepi atas).b. Da'tar distribusi kumulati' lebih dari (menggunakan tepi bawah).5ntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh data berikut ini.Dari tabel di atas dapat dibuat da'tar 'rekuensi kumulati' kurang dari dan lebih dari seperti berikut.%ist&gramDari suatu data yang diperoleh dapat disusun dalam tabel distribusi 'rekuensi dan disajikan dalam bentukdiagram yang disebut histogram. Aika pada diagram batang, gambar batang-batangnya terpisah makapada histogram gambar batang-batangnya berimpit. .istogram dapat disajikan daridistribusi'rekuensitunggal maupun distribusi 'rekuensi bergolong. 5ntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.Data banyaknya siswa kelas X *@ yang tidak masuk sekolah dalam " hari berurutansebagai berikut.P&lig&n Frekuensi@pabila pada titik-titik tengah dari histogram dihubungkan dengan garis dan batangbatangnyadihapus, maka akan diperoleh poligon 'rekuensi. Berdasarkan contoh di atasdapat dibuat poligon 'rekuensinya seperti gambar berikut ini.contoh soal,.asil pengukuran berat badan terhadap -$$ siswa SM* X digambarkan dalam distribusibergolong seperti di bawah ini. Sajikan data tersebut dalam histogram dan poligon 'rekuensi.*enyelesaian.istogram dan poligon 'rekuensi dari tabel di atas dapat ditunjukkan sebagai berikut.P&lig&n Frekuensi Kumulati$Dari distribusi 'rekuensi kumulati' dapat dibuat gra'ik garis yang disebut poligon 'rekuensi kumulati'. Aika poligon 'rekuensi kumulati' dihaluskan, diperoleh kur+a yang disebut kur+a ogi+e. 5ntuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini..asil tes ulangan Matematika terhadap 2$ siswa kelas X *@ digambarkan dalam tabel di samping.a. Buatlah da'tar 'rekuensi kumulati' kurang dari dan lebih dari.b. :ambarlah ogi+e naik dan ogi+e turun.b. 'give naik dan &give turunDa'tar 'rekuensi kumulati' kurang dari dan lebih dari dapat disajikan dalam bidangCartesius. 3epi atas (>!,