O ravninskim krivuljama

Definicija 1. Svaki skup od 1 točaka ili pravaca u ravnini neprekinuto povezanih nekim zakonom naziva se ravninskom krivuljom.

Ovisno o matematičkom zakonu koji ih definira, krivulje se dijele na algebarske i transcendentne, već prema tome je li ih moguće u pravokutnom Kartezijevu koordinatnom sustavu predočiti algebarskom ili transcendentnom jednadžbom. Algebarske krivulje mogu se klasificirati u odnosu na neka svojstva: red, razred i stupanj.

Definicija 2. Red realne algebarske krivulje jednak je broju n svih sjecišta, realnih i imaginarnih, te krivulje i bilo kojeg pravca njezine ravnine.

Definicija 3. Razred realne algebarske krivulje jednak je broju m svih tangenata, realnih i imaginarnih, koje je moguće položiti na tu krivulju iz bilo koje točke njezine ravnine.

Ako su za neku krivulju red i razred jednaki, n = m, krivulja ima stupanj n.

Teorem. Dvije realne ravninske algebarske krivulje km i kn – od kojih je jedna m-tog, a druga n-tog reda – sijeku se u m n točaka. Sjecišta mogu biti realna i konjugirano imaginarna.

O zakrivljenosti krivuljaSvaka kružnica siječe svaku krivulju kn n-tog reda svoje ravnine u 2n točaka.

Padnu li zajedno dva realna sjecišta kružnice i krivulje, kružnica se zove dirna kružnica krivulje kn u toj točki.

T T

Padnu li zajedno tri realna sjecišta kružnice i krivulje, kružnica se zove oskulacijska kružnica ili kružnica zakrivljenosti krivulje kn u toj točki.

Padnu li zajedno četiri sjecišta kružnice i krivulje, kružnica se zove hiperoskulacijska kružnica krivulje kn u toj točki.

T

Napomena. Hiperoskulacijska kružnica postoji samo u tjemenima krivulje, odnosno u točkama u kojima zakrivljenost poprima ekstremne vrijednosti.

Definicija 4. Zakrivljenost krivulje u točki T jednaka je recipročnoj vrijednosti polumjera oskulacijske kružnice u toj točki.

Dvije krivulje 2. reda sijeku se u četiri točke.

rr

O krivuljama drugog stupnja

Krivulja drugog reda ima s nekim pravcem dva sjecišta koja mogu biti:

realna i različita – sekanta

konjugirano imaginarna – pasanta

realna koja su pala u istu točku – tangenta

Krivulje drugog stupnja zovu se još čunjosječnice ili konike.

Važno! Prostor u kojemu će se provoditi daljnja razmatranja bit će realni projektivni prostor, odnosno uobičajeni prostor našeg zamišljanja, nadopunjen beskonačno dalekim elementima na sljedeći način: – Svaki pravac ima jednu beskonačno daleku točku u kojoj ga sijeku svi s njim paralelni pravci.– Svaka ravnina ima jedan beskonačno dalek pravac u kojem se siječe sa svima njoj paralelnim ravninama. Sve beskonačno daleke točke svih pravaca jedne ravnine leže na njezinu beskonačno daleku pravcu.

Klasifikacija krivulja 2. stupnja prema vrsti sjecišta s beskonačno dalekim pravcem ravnine:

1 21 2E E1 2g P = P H H

elipsa (kružnica) parabola hiperbola

Svaki pravac ravnine, pa i beskonačno dalek pravac, siječe svaku koniku te ravnine u dvjema točkama. Slijedi:

konjugirano imaginarna sjecišta realna sjecišta pala zajedno realna i različita sjecišta

S

O promjerima krivulja drugog stupnjaDefinicija 5. Promjer krivulje 2. reda skup je polovišta međusobno paralelnih tetiva.

Središte krivulje 2. reda polovište je svakog promjera.

Konjugirani promjeri konika

Definicija 6. Dva su promjera konike konjugirana ako prvi raspolavlja tetive paralelne s drugim promjerom, i obratno.

Definicija 7. Dva su promjera konike konjugirana ako su tangente na koniku u krajnjim točkama jednog promjera paralelne s drugim promjerom, i obratno.

Par konjugiranih promjera konike koji su međusobno okomiti zovu se osi konike.

Iz def.7. Svaka dva međusobno okomita promjera kružnice konjugiran su par promjera.

S

S.

Veliku i malu os elipse moguće je dobiti Rytzovom konstrukcijom (06).